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Troisième session : simulations numériques
Quelques généralités sur les simulations numériques
Comparaisons analytique / numérique
Migration d’un système de deux planètes
Migration dans un disque turbulent
Migration et transfert radiatif
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Troisième session : simulations numériques
Quelques généralités sur les simulations numériques
Comparaisons analytique / numérique
Migration d’un système de deux planètes
Migration dans un disque turbulent
Migration et transfert radiatif
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Simulations numériques
Techniques utilisées dans la littératurepour l’étude des interactions de maréedisque-planète :
- Méthodes à grille
- SPH (Smooth Particle Hydrodynamics)
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Principe des méthodes à grilles
Il s’agit de discrétiser les équations hydrodynamiquesdans le temps et dans l’espace ( sur une grille).
Les équations différentielles sont remplacées par deséquations aux différences finies
La difficulté consiste à assurer que les lois deconservation physiques (masse, moment linéaireet angulaire, énergie) soient vérifiées égalementdans la version discrète.
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Exemple de grille
La densité (desurface en 2D) estattribuée au centredes cellules (ouzones).
On examine la miseà jour, de la date tvers la date t+Δt, dela densité de lacellule centrale.
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Mise à jour conservative
Σij(t)
∂Σ⁄∂t + ∇.(Σv)=0∫zone ∫zone
Théorème de Stokes
∂Σ⁄∂t + v.dS=0∫zone ∫surface zone
Version discrète :
δΜ/δt=−∑facesFlux
F4
F1F2
F3= -F1+F2-F3-F4
Où : F1 = v1 . L . Σ1
v1
Σ1L
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Mise à jour conservative
Σij(t)
F4
F1F2
F3
v1
Σ1L
Chaque flux estpartagé par les deuxcellules avoisinantes.
Cela assure laconservation de laquantité (ici la masse).
On parle d’étapeconservative
La difficulté consisteen l’évaluation des flux
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Evaluation des flux
Premier cas : grille alternée (staggered mesh)
Dans les codes à grille alternée, les quantitésscalaires sont attribuées au centre des zones(densité, pression, etc.), alors que les vitessessont attribuées aux interfaces.
Vxij Vx
i+1j
Vyij+1
Vyij
Avantage : les vitessessont prêtes à être utiliséespour le calcul des fluxRespecte au mieux le« centrage » des équations.
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Evaluation des flux
Les méthodes à grille alternée nécessitentle recours à une viscosité artificielle au voisinagedes chocs, pour amortir des oscillations post-chocinstables.
Codes à grille alternée :
ZEUS, NIRVANA, FARGO (code polaire 2D dédié), etc.
A ce jour, tous les résultats de simulations numériquespubliés sur le problème des protoplanètes immergées,obtenus avec des codes à grille, l’ont été avec des codesà grilles alternées (sauf un -Nelson & Benz- PPM ).
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Méthodes de type Godunov
Il existe un autre type de code à grille, plus récent, basésur la résolution du problème de Riemann.
Cellule degauche :état gauche
Cellule dedroite :état droit
vL vR
ρL ρR
tem
psCaractéristiques
La résolution du problème de Riemann permet de donnerune évaluation du flux (de masse, moment, énergie) à l’interface
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Méthodes de type Godunov
Avantages des méthodes de type Godunov:
Toutes les quantités, y compris les vitesses, sontcentrées. Plus besoin de gérer des grilles alternées.
Meilleures propriétés de conservation (conservationde l’énergie).
A taille de grille égale, meilleure résolution effective.(pas besoin de viscosité artificielle qui lisse les chocs).
Inconvénients : plus lents que les codes à grille alternées
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Méthodes de type Godunov
Les deux parties importantes d’un code basé sur uneméthode de type Godunov:
- le solveur de Riemann il en existe une multitude, adaptés aux problèmes que
l’on désire traiter.
- la prédiction des états gauche/droit: on n’utilise pas directement le contenu des cellules (ordre trop
bas en temps et espace trop diffusif).
xt
t+δt
On cherche à prédirel’état gauche à t+δt/2,à l’interface.
On cherche à prédirel’état droit à t+δt/2,à l’interface.
On peut par exemple« remonter » lescaractéristiques.Exemple : PPM
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Sillage dans les méthodes de type Godunov
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Condition de Courant
Encore appelée condition CFL (Courant, Friedrich, Levy)
Les caractéristiques ne doivent pas se propager de plusd’une zone sur un pas de temps limitation du pas de temps
δt < δx/max(v+cs)
Cette condition est particulièrement contraignantedans les disques Képlériens.
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Condition CFL en disque Képlérien
δt < δφ / Ω = Cte × r3/2
Terme très contraignant vers la frontière interne de la grille
Régiond’intérêt
_ROI = 1
_Inner Bound. = 6.1
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Advection azimuthale rapideIl est beaucoup plus efficace de travailler sur les vitessesrésiduelles en azimuth (cela revient, pour chaque anneaude cellules, à se placer dans un référentiel tournant).
Azimuth
Vite
sse
v.δt Azimuth
Vite
sse
v.δt
On peut ainsi utiliser des pas de temps beaucoup plusgrands, à condition d’opérer sur les résultats un décalagecorrespondant à 〈v〉×δt
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radius
azim
uth
Limite dûe au cisaillement
Ces deux élémentsfluides sontdéconnectés aprèsun pas de temps
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Limite dûe au cisaillement
Apparition d’un « couplagerouge-noir » vers la frontièreinterne
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FARGO Standard
Gain de vitesse dans ce cas: 33
Exemple de gain en vitesse
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Migration dans un disque turbulent
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Comparaison numérique / analytique
D’Angelo & al 2003 Bate & al 2003
Pas tout à fait la même chose mais presque
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Migration de deux planètes géantes
Exemple : système « Jupiter-Saturne » dans unenébuleuse protoplanétaire de densité surfaciqueuniforme.
On néglige l’accrétion du gaz sur ces objets
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Jupiter va adopter une migration lente de type II
Saturne va migrer plus rapidement (type I… ouemballement)
Saturne va donc « rattraper » Jupiter.
Elle va aller se verrouiller sur une résonance de moyen mouvement avec Jupiter.
À ce moment-là, les sillons des planètes se superposent, donc on a un sillon commun.
Quelle va être l’évolution de ce système de deuxplanètes verrouillées en résonance, et possédantun sillon commun ?
Migration de deux planètes géantes
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Distance à l’étoile
Densitéde surface
Jupi
ter
Sat
urneLe disque externe agit sur
Saturne
Le disque interne agit surJupiter.
La migration doit sefaire vers l’extérieur
Migration de deux planètes géantes
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Migration de deux planètes géantes
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Migration de deux planètes géantes
Noter cet épisoded’emballement
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Migration de deux planètes géantes
Jupiter et Saturne migrentde concert vers l’extérieur.
A un certain moment, lamigration de Saturnes’emballe. Jupiter repartvers l’intérieur.
Le gap commun estbeaucoup plus « sale » lorsque les deux planètesmigrent de concert.
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Succession d’emballements versl’extérieur puis versl’intérieur.
Il y a une légèredérive globale vers l’extérieur
Emballement
Verrouillage enrésonance (3:2)
Comportement à long terme
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Les effets mutuels entre protoplanètes géantespeuvent donc modifier qualitativement leur migration
Le devenir du système à long terme (lorsque le gazdisparaît) est encore à étudier. Il peut être instable.
Dans ce cas, l’issue probable est que l’une desplanètes est éjectée, et l’autre reste sur une orbiteképlérienne excentrique.
Pourrait expliquer l’origine de l’excentricité desplanètes extrasolaires qui n’ont pas migré jusqu’àl’étoile centrale ?
Migration de deux planètes géantes
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Simulations d’un système existant : GJ876
But : on essaie de retrouver les excentricités observées.
Snellgrove & al.
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Simulations d’un système existant
Kley & Bryden 2004Les codes n’amortissent pasassez l’excentricité !
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Migration et transfert radiatif
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Migration en présence de turbulence MHD
L’origine de la viscosité effective des disquesprotoplanétaires est vraisemblablement la turbulenceMHD issue de l’instabilité magnéto-rotationnelle (MRI)découverte par Balbus & Hawley en 1991.
Décrire cette turbulence numériquement est un problème exigeant : champ magnétique, besoin d’une résolution élevée (< H) besoin d’une grande dynamique en rayons simulations nécessairement 3D
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Migration en présence de turbulence MHD
Il est donc difficile de réaliser des simulations de planètes immergées dans des disques investispar de la turbulence MHD (besoin d’un nombred’orbites important, simulations nécessairementglobales en azimuth).
Nelson, Papaloizou & Snellgrove (QMUL) se sontintéressés à ce problème
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Migration en présence de turbulence MHD
Planète de 30 M⊕ immergée dans undisque protoplanétaireturbulent.
Le sillage est à peineapparent.
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Migration en présence de turbulence MHD
Planète de 10 M⊕ immergée dans undisque protoplanétaireturbulent.
Le sillage a pratiquement disparu.
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Migration en présence de turbulence MHD
Planète de 3 M⊕ immergée dans undisque protoplanétaireturbulent.
Le sillage n’est plusapparent.
Cela ne signifie pasqu’il a disparu, maisles perturbations dedensité de surface sontdominées par les ondesMHD.
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Migration en présence de turbulence MHD
Sillages + ondes MHD en représentation cartésienne
30 M⊕ 10 M⊕
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Migration en présence de turbulence MHD
Couples (externe, interneet total) exercés sur uneplanète de 30 M⊕ dans undisque laminaire.
Même chose dans un disque turbulent On considère les moyennestemporelles.
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Migration en présence de turbulence MHD
Couples (externe, interneet total) exercés sur uneplanète de 30 M⊕ dans undisque laminaire.
Moyennes temporelles descouples dans un disqueturbulent (moyennés entre0 et t).
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Migration en présence de turbulence MHD
Comportement similaire pour une planète de pluspetite masse (ici 3 M⊕).
Couple instantané Couple moyenné
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Migration en présence de turbulence MHD
On voit que, sur le petit nombre d’orbites couvert parces simulations (qui durent des mois sur des machinesparallèles…), la migration peut avoir pour bilan netun déplacement vers l’extérieur… ou vers l’intérieur.
Le chemin suivi par le demi grand-axe a(t) s’apparenteà une marche au hasard migration diffusive.
Dans la limite Mp 0, les embryons planétaires tendraientà tous suivre une marche aléatoire de même loi.
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Migration en présence de turbulence MHD
Questions ouvertes :
Qu’en est-il des effets de sillage « traditionnels » ?Viennent-ils simplement se superposer au couple bruité dû à la turbulence ?
Résout ou exarcerbe le problème de la migrationtrop rapide des protoplanètes de quelques massesterrestres ?
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Ouverture des gaps en disques turbulents
Les mêmes auteurs se sont penchés sur le problèmede l’ouverture des gaps par des planètes géantes dansdes disques « MR » turbulents.
Planète géante en disquelaminaire
Planète géante en disqueturbulent
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Ouverture des gaps en disques turbulents
Sillage moins bien défini que dans le cas laminaire.
À viscosité effective égale, le gap dans un disqueturbulent est plus large que dans un disque laminaire(surprenant !…)
Disque laminaire
Disque turbulent
Il semble que la planèteinhibe, au moins partiellement,la turbulence dans le voisinagede son orbite.
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Ouverture des gaps en disques turbulents
Energie magnétiquedans le voisinaged’une planète dede masse M=3 MJ.
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Migration dans un disque turbulent
Migration et transfert radiatif
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Migration de type II et irradiation des disques
Irradiation directe de la photosphèredu disque par des rayons issus de l’étoile centrale
Disque vu par la tranche
H/R ∝ R2/7
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Migration de type II et irradiation des disques
Que se passe-t-il si on ouvre un gap dans un tel disque ?
orbite
Couple dusillage interne
Couple dusillage externe
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Migration de type II et irradiation des disques
Que se passe-t-il si on ouvre un gap dans un tel disque ?
orbite
Couple dusillage interne
Couple dusillage externe
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Migration de type II et irradiation des disques
Log (Rayon) 10 AU
Latit
ude
Masset, Dullemond,Bouwman & Audit,travail en cours.
Simulations mixteshydro + transfertradiatif (méthodedu tenseur variabled’Eddington).
Gap
cré
é p
ar u
ne p
lan
è te
géa
nte
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Migration de type II et irradiation des disques
Rayon (AU)
Le rapportd’aspect augmentede 30 à 40 % au traversde l’orbite
Le couplesur la planètepeut s’annuler,ou devenirpositif.
Est-cesuffisant pourgarantir quela planète nemigrera plusvers l’intérieur?
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Résumé
Migration planétaire : effet de sillage W.R. Ward 1997 (Icarus)
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Résumé
Sillage Gap
EmballementExcentricités:hors sujet !Effets de maréecircularisent les orbites.Difficile d’obtenir lesexcentricités des planètesextrasolaires par interactiondisque – planète…
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Que s’est-il passé dans le système solaire ?
?
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Bon ski !!!