![Page 1: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/1.jpg)
Transport optimal
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon
Ecole Normale Superieure de Cachan
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 2: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/2.jpg)
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 3: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/3.jpg)
Le probleme de G. Monge (1781)
Le critere de Monge
infT#µ=ν
∫Ω
c(x ,T (x))dµ(x)
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 4: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/4.jpg)
Le probleme de G. Monge (1781)
Si f et g sont les densites de µ et ν, T injective et reguliere :
Une condition... inutilisable !
ν = T #µ⇐⇒ det(JT ) =f
g T
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 5: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/5.jpg)
Le probleme de L. Kantorovich (1942)
Le critere de Kantorovich
minγ∈Π(µ,ν)
∫Ω×Ω
c(x , y)dγ(x , y)
ou Π(µ, ν) = γ ∈ P(Ω× Ω) | π1#γ = µ, π2#γ = ν
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 6: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/6.jpg)
Dualite
C’est un probleme linaire sous contraintes convexes.
Probleme dual
sup
∫φdµ+
∫ψdν : φ⊕ ψ ≤ c
Des φ, ψ realisant ce sup sont des potentiels de Kantorovitch.
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 7: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/7.jpg)
Quelques resultats
Theoreme de Brenier
Si µ λ et c(x , y) = h(x − y) ou h est strictement convexe, alors
il existe un unique plan de tranfert optimal γ
ce transfert derive d’un transport T
Dans le cas c2(x , y) = 12 |x − y |2
T = Id−∇φ = ∇(
Id2
2− φ
)= ∇χ
ou χ convexe et φ est un potentiel de Kantorovich.
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 8: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/8.jpg)
Cas discret
µ =1
n
n∑i=1
δxi ν =1
n
n∑j=1
δyj
Caracterisation des plans optimaux
Il existe toujours une permutation optimale.
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 9: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/9.jpg)
L’algorithme des encheres
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 10: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/10.jpg)
Des resultats satisfaisants
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 11: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/11.jpg)
Enonce du probleme
Enonce du probleme d’optimisation
θδ : T ∈ T (µ, ν) 7−→ sup‖x−y‖<δ
‖T (x)− T (y)‖
ou T (µ, ν) = T ∈ B(Ω,Ω) : T #µ = ν
Reformulation a la Kantorovich
ϑδ : γ ∈ Π(µ, ν) 7−→ sup‖x−x ′‖<δ
(x,y),(x′,y′)∈Supp(γ)
‖y − y ′‖
ou Π(µ, ν) = γ ∈ P(Ω× Ω) : π1#γ = µ, π2#γ = ν
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 12: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/12.jpg)
Existence d’un γ optimal
Theoreme
Si µ, ν ∈ P(Ω), δ > 0, il existe un plan de transfert γ ∈ Π(µ, ν)minimisant le cout
ϑδ : γ 7−→ sup‖x−x ′‖<δ
(x,y),(x′,y′)∈Supp(γ)
‖y − y ′‖
Idee de la preuve :
ϑδ(γ) =∥∥|π2(a)− π2(b)| 1‖π1(a)−π1(b)‖<δ
∥∥L∞(γ⊗γ)
Fonctionnelle semi-continue inferieure sur un compact.
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 13: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/13.jpg)
Existence d’un T optimal
Theoreme
Ω ⊂ R compact, µ, ν ∈ P(Ω). Si µ est sans atome, alors il existeun transport optimal T ∈ T (µ, ν) pour le cout
θδ : T 7−→ sup|x−y |<δ
|T (x)− T (y)|
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 14: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/14.jpg)
Apercu de la preuve
Soit γ optimal de cout K et :
g(x) = sup y : (x , y) ∈ Supp (γ)f (x) = inf y : (x , y) ∈ Supp (γ)
La bande [f , g ] = (x , y) : f (x) ≤ y ≤ g(x) verifie :
Supp (γ) ⊂ [f , g ]
∀(x , y), (x ′, y ′) ∈ [f , g ], (∣∣x − x ′
∣∣ < δ =⇒∣∣y − y ′
∣∣ ≤ K )
Idee : Elargir [f , g ] et chercher T t.q. GT ⊂ [f , g ]
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 15: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/15.jpg)
Apercu de la preuve
Elargissement de la bande avec les transformees :
φ↓(x) = supy∈X ,|y−x |<δ
φ(y)− K
φ↑(x) = infy∈X ,|y−x |<δ
φ(y) + K
Etude de la regularite des transformees
Existence d’un transport dans la bande [f ↑↓, f ↑]
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 16: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/16.jpg)
Un stage complet et diversifie
? Etude du cours de Filippo Santambrogio
? Groupe de lecture avec Adina Ciomaga
? Redaction d’un memoire detaillant les resultats de la theorie
? Lecture de deux articles de recherche recents
? Travail sur un algorithme de recherche de transport discret
? Travail sur un probleme ouvert, resolution en dimension 1En cours en dimensions superieures...
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 17: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/17.jpg)
Bibliographie
? Y. Brenier et al., Reconstruction of the early Universe
? H. Brezis, Analyse Fonctionnelle
? G. Carlier & I. Ekeland, Equilibrium structure of abidimensional asymetric city
? C. Villani, Topics in optimal transporation
? C. Villani, Optimal Transport
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal
![Page 18: Transport optimal - Image Processingdev.ipol.im/~morel/Soutenances stages licence 2011/2...Transport optimal C ecile Carr ere , Didier Lesesvre, Paul Pegon Ecole Normale Sup erieure](https://reader030.vdocuments.fr/reader030/viewer/2022040816/5e603cd0158c5e270e13da1a/html5/thumbnails/18.jpg)
On aime le transport !
Cecile Carrere, Didier Lesesvre, Paul Pegon Transport optimal