K.REDJDAL
TRANSFORMATION DE LAPLACE
La transformée de Laplace a une grande utilité dans l’analyse des systèmes
dynamiques linéaires. La plus intéressante des propriétés de la transformation de
Laplace est que l’intégration et la dérivation deviennent des divisions et des
multiplications.
La transformée de Laplace permet par exemple de ramener La résolution des
équations différentielles linéaires à coefficients constants à la résolution
d’équations affines.
Cette transformation est très utilisée pour résoudre des équations et les systèmes
différentiels et particulièrement en électricité, électronique, théorie de la chaleur,
théorie du signal ….
1- Définitions et exemples
Soit f une fonction de la variable réelle t définie sur l’intervalle [ 0 ; +[ (
f(t)=0 pour t<0) ; à valeurs réelles ou complexes, continue par morceaux. On
pose :
(1)
Cette fonction F se nomme transformée de Laplace de la fonction f. On la note
aussi Lp[f]. On suppose qu’il existe un nombre et un nombre M , tels que t
0 , | f(t) | et
M , pour assurer la convergence de cette intégrale (1) . Sous
cette hypothèse F(p) est alors définie sur [ ; +[.
La fonction f est appelée fonction originale et la fonction F est dite image de f.
Exemple 1: Transformation d'une constante réelle K
Exemple 2: Transformation de la fonction linéaire f(t)=t ( fonction rampe)
(intégration par parties)
dttfepF pt )()(0
K.REDJDAL
Exemple 3: Transformation de la fonction parabole f(t)=t2
Exemple 4: Transformation de la fonction parabole f(t)=eat ( a réel)
Exemple 5: Transformation des fonctions trigonométrique f(t)=cos(bt) et
f(t)= sin(bt) ( b réel)
On utilisera les formules d'Euler pour déterminer les transformations des
fonctions trigonométriques.
K.REDJDAL
2- Propriétés de la transformation de Laplace
2-1- Linéarité
Soient f et g deux fonctions de la variable t telle que f(t)=0 pour t <0.
et particulièrement la transformée de Laplace d'une fonction nulle est nulle.
Cette propriété découle de la linéarité des intégrales.
2-2- Dérivation
Soient f une fonction de la variable t telle que f(t) =0 pout t <0.
La démonstration de cette relation se fat par intégration par parties.
En considérant que on déduit que :
Par récurrence , on obtient :
où est la dérivée nième de la fonction f(t).
2-3- Intégration
Soit f une fonction de la variable t telle que f(t)=0 pour t <0 .
Illustration : Soit
K.REDJDAL
2-4- Fonction périodique
Soit f une fonction de la variable t ( t >0) définie sur [0 ; T] périodique et de
période T.
Exemple 6 : signal rampe
Soit f la fonction définie par
périodique de période 1.
La transformation de Laplace de cette fonction périodique s'écrit :
Comme
( intégration par parties)
K.REDJDAL
2-5- Théorème du retard
Soit f la fonction définie par
La transformation de Laplace de f s'écrit :
Le coefficient
2-6- Théorème de l'amortissement
Soit f la fonction de la variable t telle que f(t)=0 pour t <0. On peur vérifier
par simple utilisation de la définition que :
Exemple 7 :
2-7- Théorème de changement d'échelle temporelle
Soit f la fonction de la variable t telle que f(t)=0 pour t <0. On peur vérifier
que :
Exemple 8 :
2-8- Théorème de convolution
On appelle convolution de deux fonctions f et g définies telles que
f(t)=g(t)=0 pour t <0, la fonction h notée h=f*g définie par :
Ce produit de convolution est commutatif et associatif.
K.REDJDAL
On démontre alors que :
Exemple 9 :
Considérons les deux fonctions f et g suivantes:
Sachant que
La convolution des fonctions f(x)=cosx et g(x) =sinx est la fonction
Ainsi la transformée de Laplace de la fonction
est égale au
produit des transformations des fonctions cosinus et sinus soit :
On en déduit que :
Exemple 10 :
On peut aussi utiliser la convolution pour trouver la fonction originale dont la
transformée de Laplace est donnée.
Soit h la fonction dont la transformée de Laplace s'écrit :
K.REDJDAL
Cette transformé peut s'écrire comme le produit de deux transformées de
Laplace :
qui est la transformée de f(t)= t et
qui est la
transformée de g(t) = sint.
La fonction h(t) peut alors être considérée comme la convolution de f etg :
Remarque :
On peut évidemment retrouver ce résultat par une procédure de décomposition ,
en écrivant :
et on reconnaît alors la transformée de la
fonction
On utilise notamment le produit de convolution dans les systèmes d'entrée-sortie
avec une fonction de transfert h(t) assurée par l'opérateur
Le signal de sortie n'est autre que la convolution du signal d'entrée et de la
fonction transfert par l'opérateur :
On peut alors déterminer le signal de sortie à partir de la relation :
et de la transformation inverse ( voir tableau
ci-dessous)
Exemple 11
On considère le système du premier ordre suivant :
K.REDJDAL
où le signal d'entrée est l'échelon unitaire soit :
de
transformée E(p). La fonction de transfert h(t) est donnée par sa
transformation de Laplace
.
L'expression du signal de sortie s(t) est alors caractérisé par la convolution e*h
dont la transformée de Laplace est :
; qui se
décompose sous la forme :
En utilisant les transformées inverses , le signal s(t) s'écrit:
2-9- Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale
Soit f une fonction définie par f(t) pour t 0 et f(t)=0 pour t <0.
On démontre que :
Théorème de la valeur initiale
Théorème de la valeur finale
K.REDJDAL
2-10- Dérivée de la transformation de Laplace
Soit f une fonction définie par f(t) pour t 0 et f(t)=0 pour t <0.
On démontre que :
Ainsi
3- Tableaux des principales transformations
Fonctions f (t) ( t>0) Transformation F(p) Domaine
K.REDJDAL
Où
4- Applications à la résolution d'équations différentielles
Exemple 12: Résoudre l'équation suivante en utilisant la transformée de
Laplace
On a :
K.REDJDAL
L'équation différentielle s'écrit alors avec la transformation de Laplace
En utilisant le tableau des transformées de Laplace, on déduit :
Exemple 13: Résoudre l'équation différentielle du 3ème ordre suivante
soit
K.REDJDAL
Exemple 14: Résoudre le système différentiel linéaire suivant où x , y et z
sont des fonctions de la variable réelle t.
En utilisant la transformée de Laplace, on transforme ce système
différentiel en un système linéaires classiques à 3 inconnues
La transformée de Laplace appliquée au système s'écrit :
soit
En posant le système
s'écrit :
soit sous la forme générale :
La résolution de ce système donne :
K.REDJDAL
En en utilisant le tableau des transformations de Laplace, on retrouves
les fonctions originales solutions su système:
Exemple 15: Résoudre le système différentiel linéaire suivant
K.REDJDAL
En posant on obtient le système
suivant :
En additionnant membre à membre , on trouve Y=-Z
En replaçant alors Z par -Y dans la première , on trouve:
soit : et
K.REDJDAL
EXERCICES SUR LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
Exercice 1: Donner les fonctions originales dont les transformées de Laplace
sont :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercice 2: Résoudre les équations différentielles en utilisant la transformée
de Laplace
Exercice 3: Résoudre les systèmes différentiels suivants
Exercice 4: On considère l'onde carrée périodique de période T représentée
ci dessous :
K.REDJDAL
Quelle est la transformée de Laplace de cette onde.
Exercice 5: On considère la fonction
Tracer le graphe de f et déterminer la transformée de Laplace de f .
Exercice 6: On considère la fonction causale défi nie sur R par :
a) Représenter graphiquement e(t)
b) Calculer la transformée de Laplace E(p) de e(t)
c) L'étude d'un circuit électrique conduit à étudier la tension de sortie s reliée à
la tension d'entrée par la formule 4 s'(t) + s(t) = e(t) avec s(0)=0
Montrer que la transformée de Laplace de s(t) est :
d) Déterminer les fonctions originales ayant pour transformée :
En déduire que :
K.REDJDAL
TRANSFORMATION DE LAPLACE : REPONSES
Exercice 1: Donner les fonctions originales dont les transformées de Laplace
sont :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercice 2: Résoudre les équations différentielles en utilisant la transformée
de Laplace
Réponse :
Réponse :
Exercice 3: Système différentiel linéaire
Réponse :
K.REDJDAL
Exercice 4: On considère l'onde carrée périodique de période T représentée
ci dessous :
La transformée de Laplace de cette onde est :
Réponse :
Exercice 5: On considère la fonction
Tracer le graphe de f et déterminer la transformée de Laplace de f .
Réponse :
Exercice 6: On considère la fonction causale défi nie sur R par :
a) Représenter graphiquement e(t)
Intervalles 0 1 2
u(t) 1 1 1
u(t-2) 0 0 1
e(t) 4 4 0
4
K.REDJDAL
b) Calculer la transformée de Laplace E(p) de e(t)
c) L'étude d'un circuit électrique conduit à étudier la tension de sortie s reliée à
la tension d'entrée par la formule 4 s'(t) + s(t) = e(t) avec s(0)=0
d) Déterminer les fonctions originales ayant pour transformée :
Les fonctions originales des transformées de Laplace ci dessus sont
respectivement : u(t) ; u(t-2) ;
u(t) ;
Comme
K.REDJDAL
C'est à dire