MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE FERHAT ABBAS - SETIF 1
FACULTE DE TECHNOLOGIE
DEPARTEMENT D'ELECTROTECHNIQUE
TRAITEMENT DU SIGNAL
ANALOGIQUE ET NUMERIQUE
COURS DE MASTER AUTOMATIQUE ETSYSTEMES – MAS71
Réalisé en 2017/2018 par
Dr. LATRECHE SamiaMaître de Conférences Classe B
MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE FERHAT ABBAS - SETIF 1
FACULTE DE TECHNOLOGIE
DEPARTEMENT D'ELECTROTECHNIQUE
TRAITEMENT DU SIGNAL
ANALOGIQUE ET NUMERIQUE
COURS DE MASTER AUTOMATIQUE ETSYSTEMES – MAS71
Réalisé en 2017/2018 par
Dr. LATRECHE SamiaMaître de Conférences Classe B
Traitement du signal analogique et numérique Module MAS71
Dr. S. LATRECHE Master 1 Automatique et Systèmes Page i
TABLE DES MATIERES
Sommaire PageAvant-proposChapitre 1 : CLASSIFICATION DES SIGNAUX 011.1 INTRODUCTION 011.2 DEFINITIONS 011.2.1 Signal 011.2.2 Bruit 011.2.3 Théorie du signal 011.2.4 Traitement de signal 021.2.5 Domaines d'application 031.3 CLASSIFICATION DES SIGNAUX 031.3.1 Classification phénoménologique 031.3.2 Classification énergétique 041.3.3 Classification morphologique 041.4 SIGNAUX USUELS 051.4.1 Fonction signe 051.4.2 Fonction échelon 051.4.3 Fonction rampe 051.4.4 Fonction rectangulaire 051.4.5 Fonction triangulaire 061.4.6 Impulsion de Dirac 061.4.7 Peigne de Dirac 061.4.8 Fonction sinus cardinal 071.4.9 Application 07Chapitre 2 PRINCIPAUX RESULTATS DE LA THEORIE DU SIGNAL 082.1 INTRODUCTION 08
2.2 PROPRIETES TEMPORELLES 08
2.2.1 Corrélation 08
2.2.2 Produit de convolution 09
2.2.3 Résolution graphique 10
2.2.4 Application 10
2.3 PROPRIETES FREQUENTIELLES 10
2.3.1 Transformation de Fourier des fonctions périodiques-Série de Fourier 102.3.2 Transformation de Fourier des fonctions 13
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2.3.3 Transformée de Fourier du produit de convolution 15EXERCICES 16Chapitre 3 ANALYSE ET SYTHESE DES FILTRES ANALOGIQUES 18
3.1 INTRODUCTION 18
3.2 FILTRAGE DES SIGNAUX ANALOGIQUES 20
3.2.1 Filtres idéaux (Gabarits) 20
3.2.2 Filtres réels 20
3.2.3 Types de filtres 21
3.2.4 Circuit d’un filtre passe-bas 22
3.2.5 Circuit d’un filtre passe-haut 23
3.2.6 Circuit du filtre passe-bande 24
3.2.7 Filtre de Butterworth à partir du gabarit 263.2.8 Filtres de Tchebychev 283.3 SYNTHESE DES FILTRES ANALOGIQUES 30EXERCICES 31Chapitre 4 ECHANTILLONNAGE DES SIGNAUX 33
4.1 INTRODUCTION 33
4.2 NUMERISATION 33
4.2.1 Echantillonnage 33
4.2.2 Quantification 36
4.2.3 Codage 38
EXERCICES 39
Chapitre 5 TRANSFORMEE DISCRETE ET FENETRAGE 40
5.1 INTRODUCTION 40
5.2 REPRESENTATION DES SIGNAUX ET SYSTEMES DISCRETS 40
5.3 TRANSFORMEE EN Z 41
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5.3.1 Définition41
5.3.2 Propriétés de la transformée en Z 41
5.3.3 Quelques exemples de transformées en Z (signaux causaux) 43
5.4 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES DISCRETS 435.4.1 Définition 43
5.4.2 Représentation fréquentielle 44
5.5 TRANSFORMEE DE FOURIER D'UN SIGNAL DISCRET 45
5.5.1 Définition 46
5.5.2 Propriétés 46
5.5.3 Egalité de Parseval 46
5.6 TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE -TFD 46
5.6.1 Fenêtrage 46
5.6.2 Echantillonnage en fréquence 48
5.7 TRANSFORMEE DE FOURIER RAPIDE – TFR (FFT) 49
EXERCICES 50
Chapitre 6 : ANALYSE ET SYNTHESE DES FILTRES NUMERIQUES52
6.1 FILTRAGE DES SIGNAUX NUMERIQUES 52
6.1.1 Représentation d'un filtre numérique 52
6.2 CLASSIFICATION DES FILTRES 536.2.1 Structure des filtres non récursifs RIF 536.2.2 Structure des filtres récursifs RII 546.3 SYNTHESE DES FILTRES RIF 556.3.1 Méthode de la fenêtre 566.3.2 Méthode de la fenêtre : méthodologie 566.3.3 Exemple 576.3.4 Réalisation de filtres RIF 57
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6.4 SYNTHESE DES FILTRES RII 586.4.1 Méthode de l'invariance impulsionnelle 596.4.2 Transformation bilinéaire 596.4.3 Exemple 606.4.4 Réalisation d'un filtre RII 616.5 CONCLUSION SUR LES FILTRES 626.5.1 Filtre de réponse impulsionnelle finie RIF 626.5.2 Filtre de réponse impulsionnelle infinie RII 62EXERCICES
Bibliographie
Résumé
63
Traitement du signal analogique et numérique Module MAS71
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Avant-propos
Le module « Traitement du signal analogique et numérique » est destiné à faire connaitre à
l’apprenant des concepts sur la représentation temporelle et fréquentielle des signaux et des
systèmes analogiques et numériques et effectuer les traitements de base tels que le filtrage et
l’analyse spectrale numérique. Pour ces raisons et par le biais de ce module, nous allons
rendre service à l’apprenant ou au futur master d’avoir une solide formation en Automatique
grâce à un certain nombre de lois et des théorèmes fondamentaux afin d’assimiler et
comprendre ultérieurement une technologie qui évolue et se complique chaque jour.
Public cible : Ce cours s'adresse à l’ensemble des étudiants de 1ère Année Master
Automatique Option: Automatique et Systèmes.
Prérequis : Pour bien suivre le module « Traitement du signal analogique et
numérique » avec succès, l’étudiant devra posséder les connaissances suivantes :
Théorie du signal,
Les bases mathématiques.
Objectifs pédagogiques :
Objectif principal : A l'issu de ce module, l’apprenant sera en mesure effectuer les
traitements de base tels que le filtrage et l’analyse spectrale numérique.
Objectifs spécifiques : A l'issu de ce module, l’apprenant sera en mesure :
D’appliquer les méthodes d’analyse et de synthèse des filtres analogiques à savoir les
filtres passifs, actifs, passe-bas, passe-haut, passe-bande, Tchebyshev et Butterworth;
De bien assimiler le passage du signal continu au signal discret à savoir
l’échantillonnage, la reconstruction et la quantification :
Découvrir les notions sur les transformées de Fourrier TFTD (Transformée de Fourier
à Temps Discret), la TFD (Transformée de Fourier Discrète) et la TFR (Transformée
de Fourier Rapide) ;
D’analyser et de synthétiser les filtres numériques ;
Le filtrage et l’analyse spectrale sont des techniques de base dans le traitement
numérique du signal. Leur principale fonction est d’isoler, de renforcer ou d’atténuer
certaines composantes fréquentielles d’un signal numérique.
Traitement du signal analogique et numérique Module : MAS71
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Chapitre 1 CLASSIFICATION DES SIGNAUX
1.1 INTRODUCTION
Les applications de l'électricité sont généralement regroupées en deux domaines principaux
largement indépendants : les techniques de l'énergie et les techniques de l'information.
La théorie et le traitement des signaux est une discipline appartenant aux deuxièmes
techniques particulières.
L'universalité de la théorie et le traitement des signaux, est attestée par la diversité des
secteurs d'application : industriels, scientifiques, biomédicaux, militaires, spatiaux, etc...
Le mot signal vient de signe - signum en Latin - qui dénote un objet, une marque, un élément
de langage, un symbole convenu pour servir à une information. [1]
1.2 DEFINITIONS [1]
1.2.1 Signal : Un signal est la représentation physique de l'information, qu'il convoie de
sa source à sa destination. C’est une expression d’un phénomène qui peut être mesurable
par un appareil de mesure. Bien que la plupart des signaux soient des grandeurs électriques
(généralement courant, tension, champ, …) la théorie du signal reste valable quelle que soit
la nature physique du signal. La description mathématique des signaux est l'objectif de la
théorie du signal. Elle offre les moyens d'analyser, de concevoir et de caractériser des
systèmes de traitement de l'information.
1.2.2 Bruit : Un bruit est un phénomène perturbateur gênant la transmission ou
l'interprétation d'un signal.
1.2.3 Théorie du signal : La théorie du signal fournit la description mathématique (ou
modélisation) des signaux. C'est l’ensemble des outils mathématiques qui permet de décrire
les signaux et les bruits émis par une source, ou modifiés par un système de traitement. La
théorie de l’information est l’ensemble des outils mathématiques qui permet de décrire la
transmission de messages véhiculés d’une source vers un destinataire.
Traitement du signal analogique et numérique Module : MAS71
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Figure 1.1 Ressources scientifiques de la théorie du signal
1.2.4 Traitement de signal : C’est la discipline technique qui, s’appuyant sur les ressources
de l’électronique, de l’informatique et de la physique appliquée, a pour objet l’élaboration ou
l’interprétation des signaux porteurs de l’information. Son application se situe dans tous les
domaines concernés par la transmission ou l’exploitation des informations transportées par
ces signaux.
Un système de mesure a de façon générale la structure de la figure ci-dessous, le phénomène
physique que l’on veut étudier est présenté par un capteur qui le transforme en un signal
électrique tension ou courant, à ce niveau un bruit s’ajoute. Le signal transmit à travers le
canal de transmission atteint le récepteur, puis il subit un traitement pour extraire
l’information utile sans bruit.
Figure 1.2 Chaine de transmission d’un signal analogique
Les ressources technologiques du traitement du signal sont :
Figure 1.3 Ressources technologiques de la théorie du signal
Processus aléatoires Algèbre linéaire et
Analyse fonctionnelle
Electricité générale
Théorie du signal et de l'information
Physique AppliquéeTechniques ElectroniquesInformatique
Traitement des signaux
Systèmephysique
Capteur Canal de transmission Récepteur Traitement
Bruit
Signal électrique + bruit Bruit
Information utile
et bruit résiduel
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1.2.5 Domaines d'application
Télécommunication ; Technique de mesures ; Etude de vibrations mécaniques ; Surveillance
de processus industriels ; Radar ; Acoustique ; Reconnaissance de formes ; Traitement
d'images ; Analyses biomédicales ; Géophysique ; Astronomie…
1.3 CLASSIFICATION DES SIGNAUX [1]
On peut envisager plusieurs modes de classification pour les signaux suivant leurs propriétés.
1.3.1 Classification phénoménologique
1.3.1.1 Définitions : On considère la nature de l'évolution du signal en fonction du temps. Il
apparaît deux types de signaux :
- Les signaux déterministes : ou signaux certains, leur évolution en fonction du temps
peut être parfaitement modélisée par une fonction mathématique. On retrouve dans cette
classe les signaux périodiques, les signaux transitoires, les signaux pseudo-aléatoires,
etc…
- Les signaux aléatoires : leur comportement temporel est imprévisible. Il faut faire appel
à leurs propriétés statistiques pour les décrire. Si leurs propriétés statistiques sont
invariantes dans le temps, on dit qu'ils sont stationnaires.
1.3.1.2 Sous classes de signaux déterministes : Parmi les signaux déterministes, on
distingue :
-Les signaux périodiques, satisfaisant à la relation : x(t) = x(t + kT) où k est un entier qui
obéit à une loi de répétition cyclique régulière de période T.
-Les signaux non périodiques, qui ne jouissent pas de cette propriété.
1.3.1.3 Exemples de signaux déterministes : Les signaux sinusoïdaux sont un cas
particulier de ces signaux qui sont périodiques : s(t) = A. sin[(2π/T)t + φ] avec A : amplitude
et φ : la phase
Figure 1.4 Signal sinusoïdal
Traitement du signal analogique et numérique Module : MAS71
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Les signaux non périodiques suivants sont des cas particuliers :( ) = pour > 0 ( ) = pour > 0 ( ) = 1
Figure 1.5 Exemples de signaux déterministes
1.3.2 Classification énergétique
Dans la classification énergétique, on considère l'énergie des signaux. On distingue :
- Les signaux à énergie finie possèdent une puissance moyenne nulle et une énergie finie.
-Les signaux à puissance moyenne finie possèdent une énergie infinie et sont doncphysiquement irréalisables.
Energie d'un signal x(t)⇒
dttxWx
2)(
Puissance d'un signal x(t)⇒
2/
2/
2)(
1lim
T
TT
dttxT
Px
1.3.3 Classification morphologique
On distingue les signaux à variable continue des signaux à variable discrète ainsi que
ceux dont l'amplitude est discrète ou continue.
On obtient donc 4 classes de signaux :
- Les signaux analogiques dont l'amplitude et le temps sont continus.
- Les signaux quantifiés dont l'amplitude est discrète et le temps continu.
- Les signaux échantillonnés dont l'amplitude est continue et le temps discret.
- Les signaux numériques dont l'amplitude et le temps sont discrets.
Figure 1.6 Classification morphologique
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1.4 SIGNAUX USUELS [1]
1.4.1 Fonction signe
La fonction signe, notée sgn est une fonction réelle de la
variable réelle définie par :( ) = −1 < 01 > 0Par convention, on admet pour valeur à l'origine :
sgn (t) =0 pour t=0.Fonction signe
1.4.2 Fonction échelon
La fonction échelon unité, ou simplement échelon est une
fonction réelle de la variable réelle définie par :( ) = 0 < 01 ≥ 0Fonction échelon
1.4.3 Fonction rampe
La fonction rampe, notée r, est une fonction réelle de la
variable réelle définie par : ( ) = . ( )D ou: ( ) = 0 ≤ 0> 0Fonction rampe
1.4.4 Fonction rectangulaire
On l'appelle aussi fonction porte
( ) = 1 | | < 20 | | > 2Elle sert de fonction de fenêtrage élémentaire.
D’une manière générale pour une impulsion rectangulaire
d’amplitude A, de durée T centrée en = :( ) = . [( − )/ ]
Fonction rectangulaire
Fonction rectangulaire décalée
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1.4.5 Fonction triangulaire
Cette fonction est définie par
( ) = 1 − | | | | ≤ 10Fonction triangulaire
1.4.6 Impulsion de Dirac
L'impulsion de Dirac correspond à une fonction porte dont
la largeur T tendrait vers 0 et dont l'aire est égale à 1.( ) = 1 = 00 ≠ 0On peut considérer δ(t) comme la dérivée de la fonction
échelon ( ) = ( ) Impulsion de Dirac
Figure 1.7 Signaux usuels
Propriétés :
Intégrale∫ ( ) = 1∫ ( ). ( ) = (0)∫ ( ). ( − ) = ( )Produit( ). ( ) = (0). ( ) = (0)( ). ( − ) = ( ). ( − ) = ( )
Identité( ) ∗ ( ) = ( ) Translation( ) ∗ ( − ) = ( − )( − ) ∗ ( − ) = ( − − )1.4.7 Peigne de Dirac
On appelle peigne de Dirac une
succession périodique d’impulsions de
Dirac.
( ) = ( − )T est la période du peigne.
Peigne de Dirac
Cette suite est parfois appelée train d'impulsions ou fonction d'échantillonnage.
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1.4.8 Fonction sinus cardinal
La fonction sinus cardinal est définie par :( ) = sin( )Avec lim → =1
Cette fonction joue un rôle très important en
traitement du signal.
Fonction sinus cardinal
Propriétés :( ) = 1 ( ) = 11.4.9 Application
Représenter les signaux suivants :
δ(t+2), δ( t-3) , 2δ( t-1), x(t) = δ( t+1)- δ( t) + δ( t-2) , u(t – 1) et 2u(t + 2)
Correction :
δ(t+2) δ(t-3)
2δ(t-1)x(t) = δ(t+1)- δ(t) + δ(t-2)
u(t – 1)2u(t +2)
1 -2
-2 1 3 -1 2
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Chapitre 2 PRINCIPAUX RESULTATS DE LA THEORIE DU SIGNAL
2.1 INTRODUCTION
Un signal est décrit par une fonction mathématique et il est régit par deux représentations:
La représentation temporelle dont la variable est : y= f(t)
La représentation fréquentielle dont la variable est : y= F(f).
Un signal est caractérisé par sa durée, sa période si elle existe, et son amplitude. Ces trois
paramètres conduisent à la représentation temporelle du signal. Il est aussi caractérisé par sa
fréquence, sa bande passante, et sa phase c’est-à-dire la représentation fréquentielle ou la
représentation spectrale. La transformée de Fourier permet le passage de la représentation
temporelle à la représentation fréquentielle. C'est une généralisation de la série de Fourier pour des
signaux non périodiques [2],[3].
2.2 PROPRIETES TEMPORELLES [2],[3]
2.2.1 Corrélation
Pour comparer deux signaux entre eux, ou faire ressortir une caractéristique d’un signal noyé dans
le bruit, on compare le signal x(t) pris à un instant « t », à un signal y(t) pris à un instant « t’= t -τ
».
2.2.1.1 Inter corrélation
L'inter corrélation compare deux signaux réels x(t) et y(t) retardée, elle traduit la ressemblance
entre deux formes : Cx,y (τ) = ∫-∞ x(t)y(t- τ)dt
Pour les signaux complexes : Cx,y (τ) = ∫-∞ x(t)y*(t- τ)dt
Exemple : Si y(t) est une version retardée de t0
de x(t), donc C x,y(t) sera maximale pour t = -t0
; en examinant son temps de pic, on peut estimer le décalage entre x et y
2.2.1.2 Auto corrélation
L’auto corrélation réalise une comparaison entre un signal x(t) et ses copies retardées. Pour les
signaux réels : Cx,x(τ) = ∫-∞ x(t)x(t- τ)dt
Propriétés de la corrélation
C x,x (t) est maximale pour t = 0.
C x,y (t) = C x,y(-t) : c'est une fonction paire.
C x,y (t) = x( t ) * y( -t ) et C x,x (t) = x( t ) * x( -t ).
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2.2.2 Produit de convolution
2.2.2.1 Définition
On appelle produit de convolution de deux fonctions x(t) et h(t) pour t Є [0 ∞]
x(t) Système h(t) y(t)= x(t)*h(t)
Figure 2.1 Réponse du système
Equation générale de la convolution :
Y(t) = x(t) * h(t) = ∫ x (t-τ).h(τ).dτ = ∫ x (t-τ).h(τ).d τ
2.2.2.2 Propriétés du produit de convolution
Soit les trois signaux continus : f1[t], f2[t] et f3[t]
a- La commutativité :
f1[t] * f2[t] = f2[t] * f1[t]
b- La distributivité
(f1[t] + f2[t])* f3[t] = (f1[t] * f3[t]) + (f2[t] * f3[t])
c- L’associativité
f1[t] * f2[t] * f3[t] = f1[t] * (f2[t] * f3[t]) = (f1[t] * f2[t]) * f3[t]
d- L’élément neutre
f[t] * δ[t] = ∫ f (τ). δ(t- τ). dτ = f[t]
e- Soit le signal d’entrée f(t), s(t) est la réponse du système telle que :
f(t) * δ(t-t0) = s(t) = f(t - t0)
f(t) δ(t-t0) f(t-t0)
t
t t0 t t0
t
Figure 2.2 Réponse du système à l’instant t0
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2.2.3 Résolution graphique
Le calcul du produit de convolution de deux fonctions x(t) et h(t) s’effectue comme suit :
1. Représentation de x(τ)
2. Représentation de h(τ)
3. Prendre l’image de h(τ) par rapport à l’axe des ordonnées c’est-à-dire représenter h(-τ)
4. Effectuer la translation sur l’axe du temps, c’est-à-dire représenter h(t-τ)
5. Effacer l’axe horizontal à l’aide de h(-τ) et calculer le produit de convolution y(t) en limitant
les bornes de l’intégrale par la surface commune entre x(τ) et h(-τ) :
y(t) = x(t)*h(t) = ∫x(τ). h(t-τ) dτ
2.2.4 Application
Soit un système S, caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t). Si on excite ce système par un
signal x(t), on aura une réponse y(t). Soient les deux signaux continus x(t) et h(t) telle que :
x(t) = 1 pour 0 ≤ t ≤ 4 sinon x(t) = 0
h(t) =1 pour -2 ≤ t ≤ 2 sinon h(t) = 0
a - Déterminer le produit de convolution y(t) = x(t) * h(t).
b - Représenter le produit de convolution y(t).
2.3 PROPRIETES FREQUENTIELLES [2],[3]
2.3.1 Transformation de Fourier des fonctions périodiques-Série de Fourier
L’introduction de la transformée et de la Série de Fourier permet de donner une autre
représentation des signaux très intéressante pour la théorie de l’information et du
signal. Cette décomposition exponentielle ou trigonométrique permet d’exprimer le signal en
fonction de ses harmoniques.
2.3.1.1 Décomposition sous une forme trigonométrique
Un signal continu périodique s(t) de période T, continu par morceaux et vérifiant les conditions
de Dirichlet, peut être décomposé en Série de Fourier selon la Décomposition trigonométrique
suivante : Pour tout signal s(t) réel où s(t) = s(t + T0), on peut écrire :
1
000 )2sin()2cos()(n
nn tnfBtnfAAts
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0
0
0 )(1T
dttsTA A0 est la valeur moyenne de s(t)
0
0
0 )2cos().(2T
n dttfntsTA pour n≥1
0
0
0 )2sin().(2T
n dttfntsTB pour n≥1
Si s(t) est paire => Bn = 0 pour n ϵ N*
Si s(t) est impaire => An = 0 pour n ϵ N (A0 = 0)
L’expression de s(t) peut s’écrire :
1
00 )2cos()(n
nn tnfCAts
avec22
nnn BAC et φn= arctg(-Bn/An)
2.3.1.2 Spectre du signal périodique
Le spectre en fréquence d’un signal périodique est constituer de la composante continue avec à la
fréquence nulle d’amplitude A0, du fondamental à la fréquence f0 d’amplitude C1 et des différents
harmoniques situés aux fréquences f = nf0 d’amplitudes respectives Cn.
Le spectre d’une fonction périodique, de période T0 avec T0 = 1/f0, est discontinu et composé de
raies dont l’écart minimum est, sur l’axe des fréquences, f0.
2.3.1.3 Représentation spectrale unilatérale
A partir de l’expression de s(t), on peut construire la représentation spectrale du signal dans un
plan amplitude –fréquence.
C’est la succession de pics ou raies d’amplitude Cn et positionnés aux fréquences nf0.
s(f)
C1 C3 Cn
C2
0 f0 2f0 3f0 nf0 f
Figure 2.3 Représentation spectrale du signal s(t)
Traitement du signal analogique et numérique Module MAS71
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2.3.1.4 Décomposition sous une forme exponentielle
Un signal périodique s(t) de période T0, peut être décomposé en Série de Fourier selon la
décomposition exponentielle suivante :
L’expression de s(t) peut se mettre sous la forme complexe suivante :
1
20
0)()(n
tnfjenfSts
Avec S(nf0) = ½(An – jBn) =1/T0 s(t ) ejn2πf0t dt pour n≥1 et S(0) = A0
Les valeurs négatives de n sont introduites dans un but de simplification, s(t) étant réel d’où nous
avons : A-n = An et B-n = - Bn
S(nf0) représente les composantes du spectre en fréquence de s(t), grandeur complexe, qui a pour
module 220 2
1)( nn BAnfS et phase φ(nf0) = arctg(-Bn/An).
L’expression du spectre S(f) est :
S(f)=∑S(nf0)δ(f-nf0) avec S(nf0)=׀ S(nf0) ׀.ejφ(nf0
)
S(f)
S(-nf0) S(-3f0) S(-2f0) S(-f0) S(f0) S(2f0) S(3f0) S(nf0)
S(0)
- nf0 -3f0 -2f0 -f0 0 f0 2f0 3f0 nf0 f
Figure 2.4 Représentation bilatérale du spectre d’un signal périodique
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2.3.1.5 Propriétés
Si s(t) est paire => Bn = 0 et Sn = S-n
Si s(t) est impaire => An = 0 et Sn = -S-n
2.3.2 Transformation de Fourier des fonctions
La transformée de Fourier permet d’obtenir une représentation en fréquence (représentation
spectrale) des signaux déterministes, continus et non périodiques. Elle exprime la répartition
fréquentielle de l’amplitude, de la phase et de l’énergie (ou de la puissance) des signaux
considérés.
2.3.2.1 Définition
Soit x(t) un signal déterministe non périodique, sa transformée de Fourier est :
x(t) TF X(f)
+∞
X(f) =TFx(t) ; X (f) = ∫ x(t).e-j2π ft dt
-∞
X(f) indique quelle "quantité" de fréquence f est présentée dans le signal x(t) sur l’intervalle]-∞ +∞
[. X(f) est une fonction de f, généralement complexe :
X(f) = RéelX(f) + j.ImagX(f) = X(f).ejφ(f) = X(f) cos(φ(f)) + j X(f).sin(φ(f))
Le module est l’amplitude du spectre :
Argument de φ(f) = arg(X(f)) = arctg(I[X(f)] / R[X(f)])
La transformation inverse est donnée par :
X(f) TF-1 x(t)
x(t)= TF-1X(f) ;
dfefXtx ftj 2)()(
2.3.2.3 Propriétés de la TF
Soit les deux signaux analogiques s(t) et r(t) à partir de lesquels on définit les propriétés de la
transformée de Laplace suivantes :
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s(t) S(f)
Linéarité α.s(t) + β.r(t) α.S(f) + β.R(f)
Translation s(t - t0) e-2jπft0 S(f)
e-2jπf0t s(t) S(f – f0)
Conjugaison s*(t) S*(-f)
Dérivation dns(t)/dtn (j2πf)nS(f)
Dilatation s(at) avec a≠0 (1/|a|)S(f/a)
Convolution s(t)*r(t) S(f).R(f)
s(t).r(t) S(f)*R(f)
Dualité S(t) s(-f)
2.3.2.4 Cas particulier : Transformée de Fourier de Dirac
Le signal : s(t) Transformée de Fourier du signal : S( f )
δ(t) 1
δ(t – τ) e j 2 π f τ
e j 2 π
f0t
δ ( f + f0 )
2.3.2.5 Application :
Calculer et représenter la transformée de Fourier d’un signal sinusoïdale s(t) d’amplitude S
et de fréquence f0 telle que : s(t) = S cos(2πf0t)
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Correction:
S(f)=∫ s(t )e-j2πft dt =S. ∫ cos(2πf0t)e-j2πftdt
or cos(2πf0t)=(ej2πf0t + e-j2πf0t)/2 formule d’Euler
S(f)=S. ∫ e-j2πft (ej2πf0t + e-j2πf0t)/2dt = S/2[ ∫ e-j2πft ej2πf0t dt+ ∫ e-j2πft e-j2πf0tdt]
= S/2[ ∫ e-j2π(f-f0)t dt+ ∫ e-j2π(f+f0)tdt]
S(f)= S/2[δ(f-f0)+δ(f+f0)]
TF[S. cos(2πf0t)]= S/2[δ(f-f0)+δ(f+f0)]
Figure 2.5 Représentation temporelle et fréquentielle du signal cosinus
Remarque :
La transformée de Fourier d’une fonction cosinus de fréquence f0 et d’amplitude S,
est la somme de deux impulsions de Dirac centrée sur les fréquences –f0 et +f0 ; et
d’amplitude la moitié de celle du signal : S /2.
La transformée de Fourier d’une fonction sinus de fréquence f0 et d’amplitude S, est la
somme de deux impulsions de Dirac centrée sur les fréquences –f0 avec une amplitude S/2 et
sur +f0 avec une amplitude -S /2.
2.3.3 Transformée de Fourier du produit de convolution
TF [ a(t) * b(t)]=A( f ).B( f )
Remarque :
TF [ h(t) *δ(t)]=TF[h(t)] .TF[δ (t)] = TF[h(t)] = H ( f )
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EXERCICES
Exercice 1
Soit le signal v(t) ci-contre :
1. Donner sa décomposition en série de Fourier jusqu’à
l’ordre 9.
2. Dessiner son spectre en amplitude jusqu'à l'ordre 9.
Pour un signal triangulaire s(t) alternatif d'amplitude E on
a :
...5cos
5
13cos
3
1cos
2
8)(
22wtwtwt
Ets
Exercice 2
Soit le signal v(t) dont la décomposition en série de Fourier est (en Volts) :
...7sin
7
15sin
5
13sin
3
1sin25)( wtwtwtwttv
1- Donner sa valeur moyenne V0.
2- Dessiner son spectre en amplitude jusqu’à l’ordre 7.
3- Calculer sa valeur efficace Veff.
4- Calculer son taux de distorsion harmonique D.
On donne :8
...7
1
5
1
3
11
2
222
Exercice 3 Calculer la transformée de Fourier des signaux :
1- rec(t/2T) ;
2- tri(t) ;
3- δT(t)
Exercice 4
Montrer que la transformée de Fourier de la fonction signe est
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Exercice 5
La transformée de Fourier du signal sinusoïdal : s(t)=cosw0t est S(f)=1/2[δ (f+f0)+ δ (f-f0)]
Déduire la transformée de Fourier du signal sinusoïdal : s(t)=sinw0t (utiliser la propriété de
translation).
Exercice 6
Calculer et représenter la fonction de convolution x(t) et h(t) représentées par les figures suivantes
en fixant x(t) et en balayant par h(t).
x(t) h(t)
2A
A
0 T t 0 2T t
Exercice 7
a. Calculer la transformée de Fourier les signaux x(t) et y(t) représentés par :
x(t) y(t)
1 1
-τ/2 τ/2 -τ/2 τ/2
b. Déduire la TF de z(t) représentée par la figure suivante:
2
1
τ 2τ t
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Chapitre 3 ANALYSE ET SYTHESE DES FILTRES ANALOGIQUES
3.1 INTRODUCTION
En électronique, on a besoin de traiter des signaux provenant de différentes sources (capteurs
de température, signaux audio…). Un bruit indésirable provenant soit du canal de
transmission, soit des composants qui constituent le circuit électronique, peut se superposer à
ces signaux.
Il n’y a pas un système électronique qui ne fasse appel à, au moins, un filtre. La
plupart en comporte de grande quantité. Le filtrage est une forme de traitement de signal, qui
consiste à séparer les composantes spectrales de ce signal selon leurs fréquences, il est obtenu
en envoyant le signal à travers un ensemble de circuits électroniques, qui modifient son
spectre de fréquence et/ou sa phase et donc sa forme temporelle. Il peut s’agir soit :
- d’éliminer ou d’affaiblir des fréquences parasites indésirables
- d’isoler dans un signal complexe la ou les bandes de fréquences utiles.
3.1.1 Applications : [4], [5]
-Systèmes de télécommunication (téléphone, télévision, radio, transmission de
données…).
- Systèmes d’acquisition et de traitement de signaux physiques (surveillance
médicale, ensemble de mesure, radars…)
- Alimentation électrique….
3.1.2 Les types de filtres [6]
On classe les filtres en deux grandes familles :
A. Les filtres numériques : ils sont réalisés à partir de la structure intégrée micro-
programmable. Ils sont totalement intégrables, souples et performants. Ils sont utilisés chaque
fois que c’est possible. Ils sont pour l’instant limités à des fréquences pas trop élevées (f <
100MHz). On ne les utilisera pas si on doit limiter la consommation et ils nécessitent un pré-
filtrage pour éviter le repliement spectral avant la numérisation du signal et un post-filtre de
lissage.
B. Les filtres analogiques : ils se divisent en plusieurs catégories :
Les filtres passifs qui font appels essentiellement à des inductances, des résistances et des
condensateurs. Jusqu’aux années 70, c’était les seuls filtres conçus. Ils sont actuellement
utilisés pour les hautes fréquences.
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Les filtres actifs sont constitués de condensateurs, de résistances et d’éléments actifs qui
sont essentiellement des AOP (Amplificateur Opérationnel). Ils sont moins encombrants,
faciles à concevoir et moins coûteux que les filtres passifs mais restent limités en fréquence
(f < 1MHz à cause de l’AOP). Ils consomment plus et nécessitent une source
d’alimentation
C. Circuits passifs vs circuits actifs
Filtres passifs
Inconvénients :
- nécessitent parfois des composants volumineux (condensateurs et bobines).
Avantages :
- passifs, donc ne nécessitent pas d'alimentation (exemple : enceintes acoustiques)
Filtres actifs
Inconvénients :
- nécessitent une alimentation
- bande passante limitée donc limitation aux fréquences basses
- sensibles à leurs composants passifs (condensateurs et résistances)
- produisent du bruit
- limités en tension
Avantages :
- permettent une intégration à grande Échelle (et notamment dans les processeurs)
TYPE COMPOSANTS SPECIFITES
Filtrenumérique
Circuits logiques intégrés
Signaux numérisés F < 100MHz convient en grande série entièrement programmable
Filtres passifsR, L et C, Composants
piézoélectriques (quartz) F élevée pas d’alimentation non intégrable
Filtres actifs AOP, R et C F < 1 MHz besoin d’alimentation tension filtrée faible < 12V
Filtres àcapacité
commutée
AOP, Interrupteur commandéMOS, R et C intégrées
F < qq MHz besoin d’alimentation intégrable fréquence programmable
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- fiables
- coût de fabrication réduit
3.2 FILTRAGE DES SIGNAUX ANALOGIQUES
3.2.1 Filtres idéaux (Gabarits)
Le cas idéal est un filtrage qui élimine totalement les bandes indésirables sans transition et
sans introduire de déphasage dans les bandes conservées.
Figure 3.1 Filtrage idéal d’une composante fréquentielle
Selon la bande rejetée, on rencontre les 4 grandes catégories de filtres.
Figure 3.2 Catégories des filtres
3.2.2 Filtres réels
En pratique il n’est pas possible d’atteindre parfaitement les performances précédentes.
Comme tout système linéaire, un filtre obéît à une équation différentielle linéaire :( ) + ⋯+ ( ) + ( ) = ( ) + ⋯+ ( ) + ( );… ; sont des coefficients réels.
Exemple : Considérons le circuit R-L-C de la figure suivante
Figure 3.3 Circuit RLC
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On peut écrire : ( ) = ( ) + ( ) + ( )( ) = ( )
Donc( )+ ( ) + ( ) = ( )
Cas général :
En régime harmonique permanent, le signal d’entrée s’écrit ( ) = sin( ). La solution
de l’équation est du type ( ) = sin( + ). Le rapport exprime l’action du filtre sur
l’amplitude et représente le déphasage introduit par le filtre sur la composante de pulsation
ω.
Figure 3.4 Opération du traitement du signal
3.2.3 Types de filtres
Un filtre est un circuit électronique qui réalise une opération de traitement du signal. Il atténue
certaines composantes d'un signal et en laisse passer d'autres. Il existe plusieurs types de
filtres, dont les plus connus sont :
Filtre passe-bas : Il ne laisse passer que les fréquences au-dessous de sa fréquence de
coupure. C'est un atténuateur d'aiguës pour un signal audio.
Filtre passe-haut : Il ne laisse passer que les fréquences au-dessus d'une fréquence
déterminée, appelée "fréquence de coupure". Il atténue les autres (les basses fréquences).
Filtre passe-bande : Il ne laisse passer qu'une certain bande de fréquences (et atténue tout ce
qui est au-dessus ou en-dessous). Il est très utilisé dans les récepteurs radio, tv… pour isoler le
signal que l'on désire capter.
Filtre rejecteur de bande : aussi appelé filtre trappe, cloche ou coupe-bande, est le
complémentaire du passe-bande. Il atténue une plage de fréquences. Cela peut être utile pour
diminuer certains parasites par exemple.
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3.2.4 Circuit d’un filtre passe-basLe concept de filtre passe-bas est d'atténuer les fréquences supérieures à sa fréquence de coupure
fc et ce, dans le but de conserver uniquement les basses fréquences. La fréquence de coupure du
filtre est la fréquence séparant les deux modes de fonctionnement idéaux du filtre: passant ou
bloquant, il peut être du premier ou deuxième ordre.
Figure 3.5 Filtre passe-bas du premier ordre
La fonction de transfert de ce filtre est :
jRCwV
VA
in
outV
1
1
Fonction de transfert harmonique :
)(log20)(;1
1)( jwHwH
wwjjwH dB
c
Figure 3.6 Diagramme de Bode (Amplitude)
Fonction de transfert harmonique du deuxième ordre :
2
2
21)(
cc
c
wjwwjw
wjwjwH
Avec =1/Q coefficient d’amortissement, Q facteur de qualité
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Figure 3.7 Gain en Décibels du passe-bas de 2ème ordre
3.2.5 Circuit d’un filtre passe-haut
Le concept de filtre passe-haut est d'atténuer les fréquences inférieure à sa fréquence de
coupure fc et ce, dans le but de conserver uniquement les hautes fréquences. La fréquence de
coupure du filtre est la fréquence séparant les deux modes de fonctionnement idéaux du filtre:
bloquant ou passant.
Figure 3.8 Filtre passe-haut du 1er ordre
La fonction de transfert du filtre et de l’harmonique sont données comme suit :
jRCw
jRCw
V
VA
wjw
wjwjwH
in
outv
c
c
1
1)(
Figure 3.9 Diagramme de Bode d'amplitude
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3.2.6 Circuit du filtre passe-bande
Un filtre passe-bande est un filtre ne laissant passer qu’un intervalle de fréquences, celui-ci
étant limité par la fréquence de coupure basse et la fréquence de coupure haute du filtre.
Les applications en électronique sont multiples. Un circuit passe-bande peut servir à éliminer
le bruit du signal, si l'on sait que le signal a des fréquences comprises dans une gamme de
fréquences déterminée. C'est aussi un circuit passe-bande qui permet, en radiocommunication,
de sélectionner la fréquence radio écoutée.
Figure 3.10 Filtre passe-bande du deuxième ordreFonction de transfert harmonique :
2
2
21)(
cc
c
wjwwjw
wjwjwH
La bande passante :Q
ff 0
La fréquence centrale : 210 cc xfff
Figure 3.11 Diagramme de Bode
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Formes canoniques des filtres du 1er et du 2ème ordre
1er ordre
Passe-bas :
cw
wj1
1Passe-haut :
c
c
w
wj
w
wj
1
2ème ordre
Passe-bas :2
21
1
cc w
wj
w
wj
Passe-haut :2
21
2
cc
c
w
wj
w
wj
w
wj
Passe-bande :2
2
21
cc
c
w
wj
w
wj
w
wj
Coupe-bande :2
2
21
1
cc
c
w
wj
w
wj
w
wj
Le passage d'un type à l'autre s'effectue facilement par changement de variable.
Passe-bas vers Passe-haut :s
s1
Passe-bas vers Passe-bande :0
12;11
f
fcfcB
ss
Bs
avec B : bande passante ;
fc1 et fc2 : fréquences de coupure ; f0 : fréquence centrale du filtre
1er ordre
Passe-bas : Passe-haut :
2ème ordre
Passe-bas: Passe-bande: Passe-haut:
Figure 3.12 Réalisation par circuits passifs
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Décomposition sous forme de produit : Une fonction de transfert d'ordre n quelconque peut
se décomposer en un produit de fonctions de transfert élémentaires d'ordres 1 et 2 (les ordres
s'ajoutent) : )()...().()( 21 jwHjwHjwHjwH n
Quand les modules élémentaires (schémas-blocs ou modules électroniques) sont mis en
cascade (en série), les ordres s'ajoutent. Exemple pour l'ordre N=5 :
=
Dans les diagrammes de Bode, les courbes de gain (en dB) s'additionnent :
3.2.7 Filtre de Butterworth à partir du gabarit : On part du gain en Décibels
pN w
wH
;
1
1log20)(log20
22
Soit Ap le gain à la pulsation w=wp, soit Ω=1, on peut démontrer que l’on a : 110 10 Ap
On peut démontrer que l’ordre du filtre est donné par :a
Ap
N
log2
log210log 10
avec
p
aa w
w ; le résultat peut être fractionnaire et l’ordre choisi est l’entier supérieur. On peut
démontrer que la fréquence de coupure à -3dB est liée à la fréquence fp par la relation:
N
pc
ww
; il suffit d’imposer que le gain soit –Ap (dB) pour w=wp ; on a alors Ω2N=1 et la
seule inconnue est ε ; on impose que la courbe passe par le point (wp, -Aa)et la seule inconnuesera N.
H1 H2 H3 H
N=2 N=2 N=1 N=5
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Une fois les pôles de la fonction de transfert calculés, les pôles complexes conjugués sont
regroupés ensemble. Chaque paire correspond ‡ une cellule élémentaire (passe-bas) du 2ème
ordre. Le pôle simple réel, s'il existe (ordre impair), correspond à la cellule élémentaire
(passe-bas) du 1er ordre.
Forme développée :
n=1 : s+1
n=2 : s2+1.41s+1
n=3 : s3+2s2+2s+1
n=4 : s4+2.6131s3+3.4142s2+2.6131s+1
n=5 : s5+3.2361s4+5.2361s3+5.2361s2+3.2361s+1
n=6 : s6+3.8537s5+7.4741s4+9.1416s3+7.4741s2+3.8537s+1
Forme factorisée :
n=1 : s+1
n=2 : s2+1.41s+1
n=3 : (s+1)(s2+s+1)
n=4 : (s2+0.765s+1)(s2+1.848s+1)
n=5 : (s+1) (s2+0.618s+1)(s2+1.618s+1)
n=6 : (s2+1.932s+1)(s2+1.414s+1) (s2+0.518s+1)
3.2.8 Filtres de Tchebychev : Il existe deux types :
Type 1 : 1;
1
1)(
22
2
p
N w
wT
wH et Type 2 : 1;
1
)(22
22
2
pN
pN
w
wT
w
wT
wH avecpw
w
le polynôme d’ordre N est désigné par TN (w) comme suit : N
N wjwwT 21Re)(
Caractéristiques
Type 1 : Oscillations dans la bande passante :
1)(1
12
wH
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Figure 3.13 Diagramme d’oscillation de la bande type 1
Type 2 : Oscillations dans la bande atténuée :21
)(0
wH
Figure 3.14 Diagramme d’oscillation de la bande type 2
On part du gain en dB :p
N w
wH
;
1
1log20)(log20
22. On peut montrer que le
paramètre est défini par : 110 10 Ap
où Ap est l’atténuation à wp et que l’ordre N du filtre
est donné par :)(arg
110arg
10
a
Ap
ch
ch
N
avecp
aa w
w est la pulsation réduite d’atténuation
minimale en bande atténuée. Les coefficients du polynôme sont donnés en fonction du gain Ap
(en général, on prend 0,5 ou 1) et de l’ordre du filtre N. Pour Ap=1dB on a:
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Forme développée :
n=1 : 0.509s+1
n=2 : 0.907s2+0.9957s+1
n=3 : 2.0353s3+2.0116s2+2.5206s+1
n=4 : 3.628s4+3.4568s3+5.2749s2+2.6942s+1
n=5 : 8.1415s5+7.6271s4+13.75s3+7.933s2+4.7264s+1
n=6 : 14.512s6+13.47s5+28.02s4+17.445s3+13.632s2+4.456s+1
Forme factorisée :
n=1 : 0.509s+1
n=2 : 0.907s2+0.996s+1
n=3 : (2.024s+1)(1.006s2+0.497s+1)
n=4 : (3.579s2+2.411s+1)(1.014s2+0.283s+1)
n=5 : (3.454s+1) (2.329s2+1.091s+1)(1.012s2+1.81s+1)
n=6 : (8.019s2+3.722s+1)(1.793s2+0.609s+1) (1.009s2+0.126s+1)
3.3 SYNTHESE DES FILTRES ANALOGIQUES [7] , [8]
Selon un gabarit donné du filtre, on est capable de dimensionner ce filtre. Pour faire la
synthèse d'un filtre on suit l'organigramme suivant :
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Et puis on passe à la réalisation électronique. On souhaite réaliser un filtre passe-hautsatisfaisant les contraintes suivantes : en bande passante Ap=1dB à fp=4kHz et en bandeatténuée Aa=40dB à fa=2kHz pour lesquelles on accepte une ondulation dans la bandepassante de 1dB.
Normalisation du gabarit : on normalise les fréquences par rapport à fp comme suit :
f → F = f/fp ; fp → Fp = fp/fp=1 ; fa → Fa = fa/fp=0.5
Pour le gabarit passe-bas normalisé correspondant, on fait le changement de variable de latransposition Passe-bas vers Passe-haut suivant :
s → 1/s ↔ (jw/wp) → (wp/jw)
Pour f=fa :
(jfa/fp) → (-jfp/fa) ↔ j0.5 →-j2
Détermination de l’ordre du filtre :
)(arg
110arg
10
a
Ap
ch
ch
N
avec 509.0110110 10
1
10 Ap
et 2p
aa w
w
Traitement du signal analogique et numérique Module MAS71
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5.4)2(arg
509.0/110arg 10
ch
ch
N
Aa
on prend N=5
La fonction de transfert normalisée à partir de la table des polynômes de Chebyshev est :
1181.0012.11091.1329.21454.3
1)(
22
ssssssH
Transposition vers le type de filtre de départ (passe-haut) :
s → 1/s →1179.0988.0
988.0
1468.0429.0
429.0
129.0
29.0)(
2
2
2
2
ss
sx
ss
sx
s
ssH
Dénormalisation :
2
33
2
3
2
22
2
2
321
212111
1
)()()()()(2
wc
wj
wc
wj
wc
wj
x
wc
wj
wc
wj
wc
wj
x
wc
wj
wc
wj
jwxHjwxHjwHjwHsHf
wj
w
wjs
pp
Identification :
wc1=86.665rd/s ; wc2=38.372rd/s ; wc3=25.285rd/s
fc1= 13.8Hz ; fc2=6.1Hz ; fc3=4Hz
ξ2=0.357 ; ξ3=0.09
EXERCICES
Exercice 01 : Soit le filtre RC suivant :
1. Exprimer la fonction de transfert (G = Us / Ue) en fonction de R et C.2. Quel est le type de ce filtre et quel son ordre ?3. Exprimer la fréquence de coupure fc en fonction de R et C.
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4. Calculer la valeur du condensateur ainsi que la valeur de la tension de sortie du filtrepour fc = 627 kHz, R = 6,8 kΩ et Ue = 2 V
Exercice 02 :
1. Donner le schéma d’un filtre RL passe-haut 1er ordre. Exprimer sa fonction de transfert G
= tension de sortie / tension d’entrée.
2. La résistance R est de 10 kΩ et la fréquence de coupure fc est de 3,5 KHz. Une tension de
1,6 V est mesurée à la sortie du filtre lorsqu'un signal de K MHz est appliqué à l'entrée.
Calculer la valeur de la bobine ainsi que la valeur de la tension à l'entrée du filtre.
3. Dessiner les diagrammes de Bode de la phase et de l'amplitude.
Exercice 03 :
1. Donner le schéma d’un filtre RL passe-bas 1er ordre. Exprimer sa fonction de transfert
G = tension d’entrée / tension de sortie.
2. La résistance R est de 820Ω et la fréquence de coupure fc est de 10kHz. Une tension
de 1,91V est mesurée à la sortie du filtre lorsqu'un signal de 1kHz est appliqué à l'entrée,
calculer la valeur de la bobine ainsi que la valeur de la tension à l'entrée du filtre.
Exercice 04 :
Soit le circuit suivant : Ue = 10V ; R = 10kΩ ; L = 100mH.
1. Calculer l’impédance totale (ZT) vue par la source alternative si elle génère un sinus ayant
une fréquence de 100kHz? Quelle est la fréquence de coupure du circuit ?
2. Que valent Us, Av (dB) et le déphasage φ à la fréquence de coupure?
3. Si on branche en parallèle avec L une charge de 4k7, quelle sera la tension Us maximale
possible et la nouvelle fréquence de coupure?
4. Que valent Us, Av (dB) et le déphasage φ à la fréquence de coupure?
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Chapitre 4 ECHANTILLONNAGE DES SIGNAUX
4.1 INTRODUCTION
La conversion d’un signal analogique sous forme numérique implique une double approximation.
D’une part, dans l’espace des temps, le signal fonction du temps ( ) est remplacé par ses valeurs( ) à des instants multiples entiers d’une durée T; c’est l’opération d’échantillonnage. D’autre part,
dans l’espace des amplitudes, chaque valeur ( ) est approchée par un multiple entier d’une quantité
élémentaire q; c’est l’opération de quantification. La valeur approchée ainsi obtenue est ensuite
associée à un nombre ; c’est le codage, ce terme étant souvent utilisé pour désigner l’ensemble, c’est-à-
dire le passage de la valeur ( )au nombre qui la représente.
4.2 NUMERISATION [8], [9]
La conversion analogique numérique est la succession de trois effets sur le signal analogique :
- l’échantillonnage pour rendre le signal discret.
- la quantification pour associer à chaque échantillon une valeur.
- le codage pour associer un code à chaque valeur.
4.2.1 Echantillonnage
4.2.1.1 Définition
L’échantillonnage consiste à prélever à des instants précis, le plus souvent équidistants, les valeurs
instantanées d’un signal. Le signal analogique s(t), continu dans le temps, est alors représenté par un
ensemble de valeurs discrètes : ( ) = ( ) avec n entier et la période d’échantillonnage.
Cette opération est réalisée par un circuit appelé « préleveur ou échantillonneur» symbolisé souvent
par un interrupteur.
Figure 4.1 Echantillonnage
L’intervalle entre deux échantillons successifs est appelé pas d’échantillonnage et = 1/ fréquence
d’échantillonnage.
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4.2.1.2 Echantillonnage idéal
L’échantillonnage idéal est modélisé par la multiplication du signal continu ( )et d’un peignede
Dirac de période .
( ) = ( ). ( ) = ( ) ( − ) = ( ) ( − )Le spectre du signal échantillonné est donc le suivant :
La transformée de Fourier d'un peigne de Dirac (en temps) est un peigne de Dirac (en fréquence).
( ) = 1 ( − )( ) = [ ( )] ∗ ( )
Donc : ( ) = ∑ ( ) ∗ ( − )⇒ ( ) = ∑ ( − )On obtient donc un spectre infini qui provient de la périodisation du spectre du signal d’origine
autourdes multiples de la fréquence d’échantillonnage.
Figure 4.2 Echantillonnage idéal
Si , la fréquence maximale du spectre du signal à échantillonner, est supérieure à /2, la restitution
du signal original sera impossible car il va apparaître un recouvrement spectral lors de
l’échantillonnage. On dit qu’on est en sous-échantillonnage.
Figure 4.3 Recouvrement spectral
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Le théorème de SHANNON montre que la reconstitution correcte d’un signal nécessite que la
fréquence d’échantillonnage soit au moins deux fois plus grande que la plus grande des
fréquences du spectre du signal : > 24.2.1.3 Echantillonnage réel
En pratique, l’échantillonnage s’effectue en commandant un interrupteur par un train d’impulsions
étroites. Il est donc impossible d’obtenir des échantillons de durée quasiment nulle. La modélisation de
l’échantillonnage par un peigne de Dirac est donc erronée. En fait, chaque impulsion va avoir une
durée très courte . L’échantillonnage peut donc être modélisé par la multiplication dusignal par une
suite de fonction rectangle (ou porte) de largeur.
Figure 4.4 Echantillonnage réel
L’expression du signal d’échantillonnage devient donc :
( ) = − = ( ) ∗ ( − )Et par conséquent, sa transformée de Fourier est égale à : ( ) = ( ). ∑ ( − )Comme l’expression du signal échantillonné est : ( ) = ( ). ( )Sa transformée de Fourier devient :( ) = ( ) ∗ ∑ ( ). ( − ) donc ( ) = ( ).∑ ( − )On retrouve la même allure de spectre modulé en amplitude par une fonction en sinus cardinale.
Figure 4.5 Reconstitution du signal
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Pour se rapprocher d’un échantillonnage idéal et qu’ainsi le signal soit facilement reconstructible, il
faut que soit le plus petit possible.
Dans le cas où est du même ordre de grandeur que , il faudra >> 2 .
4.2.1.4 Echantillonnage-blocage
En pratique, on n'échantillonne pas un signal pour le reconstruire juste après. L'échantillonnage est
utilisé pour prélever le signal à des instants multiples de et ensuite convertirles échantillons sous
forme d'un code binaire (8, 12, 16 bits, ...). Cette conversion est effectuée par l’intermédiaire d’un
convertisseur analogique-numérique (CAN). Cette conversion n’est pas instantanée. Si le signal à
convertir varie trop rapidement, il est nécessaire de procéder au blocage du signal pour avoir une
conversion sans erreur. On utilise donc un échantillonneur-bloqueur qui mémorise la tension à
convertir et la maintient constante pendant toute la durée de conversion.
L’effet de blocage peut être modélisé par une fonction porte décalée de /2 :
( ) = − −= ( − ) ∗ ( − )
Echantillonnage-blocage consiste donc à la multiplication du signal par y(t). La transformée de Fourier
du signal échantillonné est donc :
( ) = ( ). ( − ) .Le spectre est identique au précédent. Le terme en – traduit un déphasage entre le signalinitial et
le signal échantillonné. En principe, on maintient la valeur de l’échantillon sur toute la période
d’échantillonnage donc égale à . Ainsi, pour = , on a un déphasage de – .
4.2.2 Quantification
3.3.2.1 Définition
La quantification consiste à associer à une valeur réelle x quelconque, une autre valeur appartenant à
un ensemble fini de valeurs et ce suivant une certaine loi : arrondi supérieur, arrondi le plus proche,
etc…
L’écart entre chaque valeur est appelé pas de quantification.
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Le fait d’arrondir la valeur de départ entraîne forcément une erreur de quantification que l’on appelle
le bruit de quantification.
3.3.2.2 Quantification uniforme
La loi de quantification uniforme utilise un pas de quantification (∆) constant entre chaquevaleur .
Figure 4.6 Quantification
Le bruit de quantification est dans ce cas un signal aléatoire. Ces caractéristiques sont doncdéfinies
par ses propriétés statistiques. On peut alors démontrer que la puissance du bruit dequantification est
égale à : = ∆12Le rapport signal sur bruit dû à la quantification est donc égale à := 10La puissance du signal à quantifier est égale à sa valeur efficace au carré:= 10 12 ∆Si l’on décompose la plage de variation du signal à quantifier en 2 intervalles de largeur ∆(avec
nle nombre de bits utilisés pour coder le signal quantifié).
Alors = 2 . ∆ et ∆= Ainsi : = 10 12 + 20 log 2= 10 12 + 20 2 + 20≈ 6.02 + 10.8 + 20
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Ainsi, le cas d’un convertisseur analogique-numérique, chaque fois que l’on rajoutera un bit dans le
résultat de conversion, on améliorera le rapport signal sur bruit dû à la quantification d’environ 6dB.
Exemple
Si l’on veut numériser une sinusoïde et que l’on fixe = 2.Dans ce cas, = √ et
≈ 6.02 + 10.8 + 20 2√2≈ 6.02 + 1.77
4.2.3 Le codage
Il existe diverses façons d’établir la correspondance entre l’ensemble des amplitudes quantifiées et
l’ensemble des nombres binaires qui doivent les représenter.
Les signaux à coder ayant des amplitudes en général positives et négatives, les représentations
préférées sont celles qui conservent l’information de signe. Les plus courantes pour les codages à
échelon constant sont les suivantes :
– signe et valeur absolue
– binaire décentré
– complément à 1
– complément à 2.
Les représentations en signe et valeur absolue et en binaire décentré sont les plus commodes pour la
conversion Analogique/Numérique ; les deux autres sont surtout utilisées dans les circuits de calcul
numérique.
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EXERCICES
Exercice 1
Soit ( ) = 2 cos(2 ) échantillonné à = 4 .
Calculer la transformée de Fourier du signal échantillonné ( ).Exercice 2
Calculer la transformée de Fourier du même signal échantillonné à = .Exercice 3
Soit ( ) à support spectral borné et la fréquence maximale. On échantillonne ( ) à= 2 et on bloque chaque échantillon pendant une durée = 1/ .
Ecrire le signal ( ) échantillonné et calculer sa transformée de Fourier.
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Chapitre 5 TRANSFORMEE DISCRETE ET FENETRAGE
5.1 INTRODUCTION
Les systèmes linéaires discrets constituent un domaine très important du traitement numérique
du signal. Ces systèmes se caractérisent par le fait que leur fonctionnement est régi par une
équation de convolution. L’analyse de leurs propriétés se fait à l’aide de la Transformation en
Z, qui joue pour les systèmes discrets le même rôle que la transformée de Laplace ou de
Fourier pour les systèmes continus.
5.2 REPRESENTATION DES SIGNAUX ET SYSTEMES DISCRETS [10], [11]
Un système discret est un système qui convertit une suite de données d’entrée x(n) en une
suite de sortie y(n). Il est linéaire si la suite x1(n) + ax2(n) est convertie en la suite y1(n) +
ay2(n). Il est invariant dans le temps si la suite x(n – n0) est convertie en la suite y(n – n0) quel
que soit n0 entier.
Soit u0(n) la suite unitaire définie par :( ) = 1 pour = 0( ) = 0 pour ≠ 0Toute suite x(n) peut se décomposer en une somme de suites unitaires convenablement
décalées :
( ) = ( ) ( − )
Figure 5.1 Décalage des échantillons
D’autre part soit h(n) la suite qui constitue la réponse du système à la suite unitaire ( ). Ala suite ( − ) correspond la réponse h(n – m) en raison de l’invariance temporelle. La
linéarité entraîne alors la relation suivante :
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( ) = ( )ℎ( − ) = ℎ( ) ( − ) = ℎ( ) ∗ ( )C’est l’équation de convolution qui caractérise le système linéaire invariant dans le temps. Un
tel système est donc complètement défini par la donnée de la suite h(n), qui est appelée
réponse impulsionnelle du système.
Ce système possède la propriété de causalité si la sortie à l’indice n = n0 ne dépend que des
entrées aux indices : ≤ . Cette propriété implique que h(n) = 0 pour n<0, et la sortie est
donnée par :
( ) = ℎ( ) ( − )5.3 TRANSFORMEE EN Z [11], [12]
5.3.1 Définition
La transformée en z est un outil particulièrement pratique lorsqu’on veut résoudre des
équations récurrentes linéaires à coefficients constants. Elle ne constitue pas un outil
indispensable pour le traitement du signal mais offre des interprétations très utiles du
comportement des systèmes à temps discret en termes de pôles et zéros.
Donc la transformation en z est une application qui transforme une suite ( )(définie sur
les entiers) en une fonction ( ) d'une variable complexe nommée z, telle que :
( ) = ( ) = ( ) , ∈ ℂLa variable n représente en général le temps discrétisé, la variable complexe z ne représente
rien de particulier, il s'agit d'une création purement abstraite.
Lorsqu'on analyse le signal ( ), on dit que l'on est dans le domaine temporel, lorsqu'on
étudie ( ), le domaine est appelé fréquentiel par analogie avec la transformée de Fourier.
5.3.2 Propriétés de la transformée en Z
Linéaire : ( ) + ( ) = ( ) + ( ) , ∀( , ) ∈ ℝ Théorème du retard : ( − ) = ( )
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Théorème de l'avance : ( + ) = ( ) − (0) − (1) − ⋯ ( − 1) Multiplication par n :
( ) = − ( ) Modulation : ( ) = ( )Cette propriété permet, en multipliant le signal par un signal exponentiel , de modifier la
position des pôles et des zéros de sa transformée en z. La valeur du paramètre a découle de la
modification particulière choisie.
Théorème de la convolution discrète (Théorème de Borel) : ( ) ∗ ( ) = ( ). ( ) Théorème de la valeur initiale (signaux causaux) :lim→ ( ) = lim→ ( ) Théorème de la valeur finale (signaux causaux) :lim→ ( ) = lim→ ( − 1) ( ) Théorème : Retard
Soit x un signal discret causal. Le signal retardé de n0 (n0∈N) est le signal y défini par :
y(n) = x(n − n0)u(n − n0). On a :
( ) = ( ) Théorème : Avance
Soit x un signal discret causal. Le signal avancé de n0 (n0∈N) est le signal y défini par :
y(n) = x(n + n0). On a :
( ) = ( ( ) − ( ) )
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5.3.3 Quelques exemples de transformées en Z (signaux causaux)
La transformée en z de la suite canonique, ou suite de Dirac, ou impulsion unité discrète est : ( ) = ( ) = 1La transformée en z de l’impulsion unité discrète retardée de l est : ( − ) = ( − ) =On constate que si la séquence ( ) est retardée de l échantillons, sa transformée en z est
multipliée par . La transformée en z de l’échelon unité discret est :
( ) = = − 1La transformée en z de la rampe unité causale est : ( ) = = ( − 1)5.3.4 Transformée en Z inverse
Il s'agit de retrouver les valeurs aux instants d'échantillonnage ( ) à partir de la
transformée en Z ( ). La transformée en z inverse est donnée par l'expression :
( ) = ( ) = 12 ( )Ou C est un chemin fermé parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et
appartenant entièrement au domaine de convergence (chemin entourant tous les pôles de
F(z)). En pratique, ce calcul s'effectue souvent à l'aide du théorème des résidus et la formule
devient dans le cas d'un signal causal :( ) = ( )( )5.4 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES DISCRETS [10]
5.4.1 Définition
Un signal analogique est défini à tout instant t et est donc représentable mathématiquement
par une fonction continue du temps f(t). Contrairement au signal analogique, un signal à
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temps discret n'est défini qu'aux instants d'échantillonnage nTe, multiples entiers de la période
d'échantillonnage Te. Les valeurs qu’il prend à ces instants sont notés f(n) et appelés
échantillons.
5.4.2 Représentations fréquentielles
L’analyse fréquentielle des signaux apporte une information supplémentaire importante.
Pour les différents cas de signaux, classés selon les caractéristiques continu ou discret et
périodique ou transitoire, la représentation fréquentielle possède des propriétés particulières
équivalentes continue ou discrète et périodique ou non périodique. De plus les méthodes,
utilisées pour calculer ces représentations spectrales, ne sont pas les mêmes selon ces
différents types de signaux.
Signal Spectre
Méthode de calcul Caractéristiques
Continu et périodique
Continu et non
périodique
Discret et non périodique
Discret et périodique
Série de Fourier
Transformée de Fourier
Transformée de Fourier
Transformée de Fourier
discrète (TFD)
Discret et non périodique
Continu et non périodique
Continu et périodique
Discret et périodique
Figure 5.2 Représentation fréquentielle
En effet, le spectre d’un signal continu est non périodique. Que le signal soit périodique (cas
1) ou non (cas 2), il est obtenu à partir du développement en série de Fourier pour le cas 1 et
de la transformée de Fourier pour le cas 2. Le spectre d’un signal discret et non périodique
(cas 3) est continu et périodique et obtenu à partir de la transformée de Fourier. Par contre le
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calcul du spectre d’un signal périodique et discret (cas 4) utilise une nouvelle transformée : la
transformée de Fourier discrète (TFD).
D’une façon générale, si l’on désire avoir une représentation spectrale numérique (calcul par
ordinateur), le calcul des raies spectrales implique une discrétisation en fréquence, ce qui a
pour conséquence de rendre le signal temporel périodique et discret. Le calcul de façon
pratique est limité à une tranche du signal, ce qui revient à des transformées identiques pour
un signal non périodique et un signal périodique, c’est-à-dire que le signal transitoire doit être
considéré comme périodiquement répété en dehors de son domaine d’existence.
5.5 TRANSFORMEE DE FOURIER D'UN SIGNAL DISCRET [10], [11], [12]
5.5.1 Définition
Un signal discret est défini par une suite d’échantillons espacés entre eux d’une période Te. La
transformée de Fourier appliquée à un signal discret x(n) devient donc :
n
FenfjenxfX /2)()(
Si cette série converge, la transformée de Fourier inverse est définie par :
dfefXFe
nxFe
Fe
Fenfj
2/
2/
/2)(1
)(
Remarques
On vérifie bien que X(f) est une fonction périodique de période Fe (à cause de
l’échantillonnage). Si on remplace f par (f + kFe) :
ee
e
ee
e
F
nfj
F
nkFj
F
nfj
F
kFfnj
eeee 2222
5.5.2 Propriétés
x(n) X(f)
Linéarité αx(n) + βy(n) αX(f) + βY(f)
Translation x(n – n0) e-j2πn0f/Fe X(f)
Modulation e-j2πnf0 x(n) X(f – f0)
Dilatation x(an) avec a ≠ 0 1/ X(f/a)׀a׀
Convolution x(n)*y(n) X(f).Y(f)
x(n).y(n) X(f)*Y(f)
Conjugaison x*(n) X*(-f)
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5.5.3 Egalité de Parseval
En utilisant la propriété de convolution, on obtient l’expression de conservation de l’énergie :
dffXnxn
Fe
Fe
2/
2/
22)()(
5.6 TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE –TFD [10], [11], [12]
5.6.1 Fenêtrage
Avec un ordinateur, il est impossible de calculer la transformée de Fourier d’un signal
discret. En effet il faudrait un temps et une mémoire infinie. Pour ces raisons, on est toujours
amené à travailler avec un nombre fini de points N. Cela revient à dire que les signaux
exploités numériquement sont toujours une troncation de signaux réels.
On construira donc un signal tronqué xT(n). Il résulte de la multiplication des échantillons de
x(n) par une fenêtre d'analyse (ou encore fenêtre de troncature) qui limitera xT(n) à N
échantillons. En pratique, on calcule donc :
1
0
/2)()(N
n
FenfjTT enxfX
La fenêtre d’analyse est définie par une suite d’échantillons y[n] tels que :
100
10.
Nnetnpournx
Nnpournxnynx
T
T
Mais le fait de tronquer un signal peut notablement affecter son spectre.
Exemple
Troncature d’une sinusoïde par un fenêtrage rectangulaire.
Soit x(t) = S cos(2πf0t) et y(t) = rect(t/T).
On sait que X(f) = ½ S [δ(f - f0)+ δ(f + f0)]
et que Y(f) = T. sinc(Tf)
Donc si on effectue la troncature de x(t) sur une durée T :
)()()().()( fYfXtytxtx TT
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Figure 5.2 Troncature des signaux
Remarques
On constate que le fait de tronquer le signal tend à élargir les raies contenues dans le
spectre. Plus la fenêtre sera large plus les raies seront étroites et tendront vers les Dirac
originaux. On le conçoit aisément dans le domaine temporel puisque plus la fenêtre est large,
plus le signal tronqué se rapproche du signal d’origine.
Si on ne conserve qu’une période de la sinusoïde, les deux sinus cardinaux se
chevaucheront bien avant d’avoir atteint des amplitudes négligeables. Ainsi, plus on voudra
une résolution importante en fréquence plus il faudra conserver un nombre important de
périodes temporelles du signal à analyser. La qualité de la représentation spectrale sera
d'autant plus grande que la période d'acquisition T sera longue.
La fenêtre rectangulaire n'est pas forcément la meilleure. Dans le domaine temporel, elle
interrompe brusquement le signal à ces extrémités générant des hautes fréquences. Dans le
domaine fréquentiel, la fonction sinc a des lobes non négligeables loin de f = 0 qui déforme le
spectre.
Afin de compenser ces défauts, toute une série de fenêtres ont été imaginées. Aucune n'est
idéale, toutes ont leurs qualités et défauts suivant les applications voulues.
Par exemple, la fenêtre de Hanning présente dans le domaine fréquentiel des lobes
secondaires qui deviennent vite négligeables, mais au prix d'un lobe principal plus large.
Ainsi, le spectre sera moins précis au voisinage de f0 mais moins bruité dans les hautes
fréquences.
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Figure 5.4 Décalage des échantillons
5.6.2 Echantillonnage en fréquence
En fait, lorsque l’on veut représenter le spectre XT(f), il faut calculer XT(f) pour toutes les
valeurs de f qui est une variable continue. Ceci est impossible avec un ordinateur qui ne peut
traiter que des valeurs de f discrètes. Comme XT(f) est périodique de période Fe, on découpe
donc cet intervalle en M parties égales et on ne calcule XT(f) que pour les multiples de Fe/M :
on effectue un échantillonnage fréquentiel de pas ∆f=Fe/M.
On remplace donc par ∆f et le calcul de la transformée de Fourier devient :
1,...,0)()(1
0
/2
MpourkenxfXN
n
FefnkjTT
1,...,0)()(1
0
/2
MpourkenxfXN
n
MnkjTT
On vient ainsi d'introduire la transformée de Fourier discrète, le problème réside dans le choix
du pas d’échantillonnage en fréquence et donc du choix de M. En effet, le fait
d’échantillonner en fréquence revient à périodiser dans le domaine temporel la partie du
signal qui a été tronquée :
kT
TF
kTT fkttxfkffXkX )/().()().()(
1
Ainsi, suivant le choix de ∆f , plusieurs cas peuvent se présenter lors de la reconstitution du
signal dans le domaine temporel à partir de son spectre échantillonné :
∆f >1/T : La résolution spectrale ∆f est trop grande. On a un recouvrement dans le domaine
temporel. Si on choisit une résolution spectrale trop grande, on ne peut pas reconstituer le
signal dans le domaine temporel correctement.
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∆f <1/T Il n’y aura plus de repliement temporel, mais des intervalles durant lesquels lesignal dont on calcule le spectre sera nul.
∆f =1/T On a un signal périodique idéal. On périodise la fenêtre temporelle choisie avant lecalcul spectral.
En pratique, on choisira donc toujours ∆f de telle sorte à avoir ∆f = 1/T. Comme T = N Te et
∆f = Fe/M, on en déduit que Fe/M = 1/NTe⇒ M = N:
Ainsi, la définition de la transformée de Fourier discrète devient :
1,...,0)()(1
0
/2
NpourkenxkXN
n
NnkjTT
Remarques
A Fe fixe, plus la durée d’acquisition sera longue et plus la résolution en fréquence sera fine.
A N fixe, plus Fe sera importante et plus la condition de Shannon sera respectée mais moins la
résolution en fréquence sera fine et la durée d’acquisition longue.
5.7 TRANSFORMEE DE FOURIER RAPIDE – TFR (FFT) [10], [11], [12]
Pour obtenir une valeur particulière de XT(k), il faut par exemple :
Pour n = 0 : )0sin()0()0cos()0()( TTT jxxkX
2 produits complexes et 1 somme complexe.
Pour n = 1 : )/2sin()1()/2cos()1()0sin()0()0cos()0()( NkjxNkxjxxkX TTTTT
4 produits complexes et 3 sommes complexes
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Pour n = N-1 :
2N produits complexes et 2(N-1) sommes complexes
Ainsi, pour obtenir les N valeurs de XT[k], il faut donc 2N2 multiplications et 2(N-1)N
additions. Par exemple, un signal où N = 1024 échantillons (soit 1ko en mémoire si chaque
échantillon est codé sur 8 bits), le nombre de multiplications est de 2097152 et celui des
additions de 2095104. On arrive très vite à des temps de calcul très longs. Si ces durées ne
sont pas gênantes pour des traitements en temps différé, il n’en est pas de même en temps
réel. En effet, plus le temps de calcul sera important et plus la fréquence maximale du signal à
analyser sera réduite (Shannon).
Pour pouvoir utiliser la transformée de Fourier discrète en temps réel, on dispose
d’algorithmes de calcul permettant d’obtenir les résultats beaucoup plus rapidement sous
certaines conditions. Ces algorithmes sont connus sous le nom de Transformée de Fourier
Rapide (TFR) ou Fast Fourier Transform (FFT).
EXERCICES
Exercice 1
Donner la transformée en z de la fonction numérique discrète x(n) représentée par le
graphique ci-contre (elle est aussi nulle dans les parties non représentées).
Exercice 2
Calculer la transformée en z de la fonction causale suivante et calculer ses zéros et/ou ses
pôles
0 1 2 3 4 5…∞( ) 1 4 6 4 1 0… 0
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Même question pour la fonction causale suivante.
0 1 2 3 4 5 6 7 8…∞( ) 0 0 0 1 4 6 4 1 0… 0
Exercice 3
Calculer la transformée en z des fonctions discrètes suivantes.
- 1( ) = 0.2 ( )- 2( ) = 0.2 ( )Vérifier que les théorèmes de la valeur initiale et finale s’appliquent
Exercice 4
Trouver l’original des fonctions suivantes :( ) = . et ( ) = .( . )Exercice 5
Calculer la transformée en z de la fonction discrète suivante.
( ) = 1( − 2)( − 3)Exercice 6
Calculer la transformée de Fourier discrète du signal suivant :[ ] = 1, 2, 1, 0 .Exercice 7
Calculer la transformée de Fourier discrète de la suite suivante :[0] = [1] = 1, [2] = [3] = −1Exercice 8
Calculer la transformée de Fourier discrète inverse du signal suivant :[ ] = 40,−29.11 + 22.86, 17.63 + 10.72, 5.47 − 8.77, 5.47 + 8.77,17.63 − 10.70 ,−29.11 − 22.86 .
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Chapitre 6 : ANALYSE ET SYNTHESE DES FILTRES NUMERIQUES
6.1 FILTRAGE DES SIGNAUX NUMERIQUES [6], [12]
Un filtre numérique est une combinaison linéaire d’échantillons. Le filtrage et l’analyse
spectrale sont des techniques de base dans le traitement numérique du signal. Leur principale
fonction est d’isoler, de renforcer ou d’atténuer certaines composantes fréquentielles d’un
signal numérique.
6.1.1 Représentation d'un filtre numérique :
Un filtrage numérique peut être représenté en utilisant plusieurs types de spécifications.
a. Fonction de transfert en z :
2 ( ) = ( )( ) = ∑∑Exemple :
19428.0333.0
0976.0195.0097.0
)(
)()(
12
12
zz
zz
zX
zYzH
b. Réponse impulsionnelle (transformée en z inverse de H(z)) :
0
).()(n
nznhzH
Exemple :
Soit donc un filtre numérique dont la relation de récurrence s'écrit :
2
)1()()(
nynxny
La fonction de transfert en Z de ce filtre est donnée par :
12
1
)(
)()(
zzX
zYzH
La transformée inverse de H(z) donne les éléments h(n) suivants :
)(2
1
2
1)( nUnh
n
Donc
00
)(2
1
2
1)()(
n
nn
n
n znUznhzH
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c. Equation aux différences :
N
i
N
iii nyanxbny
0 0
)1()1(.)(
Exemple :
)2(333.0)1(9428.0)2(097.0)1(1952.0)(0976.0)( nynynxnxnxny
d. Représentation d'un filtre numérique
a- forme directe
b- Forme parallèle
Figure 6.1 Représentations sous forme de fonctions de transfert en z
6.2 CLASSIFICATION DES FILTRES [12], [13], [14]
Il existe deux sortes de filtres numériques : RIF et RII, ils peuvent être classés selon plusieurs
critères :
1) La longueur de la réponse impulsionnelle implique deux types de filtres :
RIF, i.e. h(n) = 0 pour n <0 et n >N
RII, i.e. h(n) ≠ 0 q soit n,
2) Le type de représentation, ou de structure, implique deux types de filtres récursifs (ai = 0)
et non récursifs.
A l'exception de cas particuliers, les filtres récursifs et non récursifs sont respectivement
équivalents aux filtres RII et RIF.
6.2.1 Structure des filtres non récursifs RIF [14]
N
iNNi NnxbNnxbnxbnxbnxbny
0110 )(.)1(....)1()(.)1(.)(
Ou bien :
( ) =
S(z)
HM(z)
H2(z)
H1(z)
E(z)S(z)E(z) H(z)
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Figure 6.2 Structure des filtres RIF
Exemple de filtre RIF :
Soit le filtre obéissant à la relation suivante : y(n) = ½ [x(n) + x(n+1)], seuls les deux
premiers coefficients b0 et b1 sont différents de zéro. La réponse impulsionnelle de ce filtre
est représentée ci-dessous.
Figure 6.3 Réponse impulsionnelle du filtre RIF
6.2.2 Structure des filtres récursifs RII
( ) = ( − ) − ( − )
N
i
ii
N
i
ii
zazb
zDzN
zD
zNzH
1
0 .1
1.
)(
1.)(
)(
)()(
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Figure 6.4 Structure des filtres RII
Exemple de filtre RII :
Soit un filtre obéissant à la relation suivante : y(n) = ½ [x(n) + y(n -1)]. La transformée en Z
de ce filtre s’écrit : Y(z) = 1/[2 – z-1]. La transformée en Z inverse permet de déterminer
l’élément h(n) de la réponse impulsionnelle : h(n) = ½(1/2)n. Il s’agit bien d’une réponse
impulsionnelle infinie, le système est stable h(n) = 0 quand n→ ∞.
La réponse impulsionnelle du filtre est donnée ci-dessous :
Figure 6.5 Réponse impulsionnelle du filtre RII
6.3 SYNTHESE DES FILTRES RIF [6]
Il existe de nombreuses méthodes
- Méthode de la fenêtre
- Optimisation par moindres carrés
- Calcul des coefficients par approximation de Tchebychev
- Par TFD récursive etc.....
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6.3.1 Méthode de la fenêtre [14]
A partir du gabarit fréquentiel, effectuer la synthèse d'un filtre RIF réalisable (causalité) à
phase linéaire → contrainte de symétrie des coefficients :
h(n) = h(N – 1 - n) avec 0 ≤ n ≤ (N-1)/2
Figure 6.6 Gabarit réel continu
∆F = fs - fc : largeur de la bande de transition
Le filtre est caractérisé par :
- la bande passante BP
- la bande atténuée (ou coupée)
- la largeur ∆F de la zone de transition
- l'amplitude des oscillations en bande passante d1
- l'amplitude des ondulations en bande atténuée d2
6.3.2 Méthode de la fenêtre : méthodologie
1. A partir du gabarit réel du filtre, déterminer la longueur de la RIF :
f
FN e
2110 10
1log
3
2
Remarque : La bande de transition est plus importante que les oscillations.
2. A partir du gabarit idéal du filtre, on peut déterminer les coefficients du filtre par TFD-1.
21
21
2)()( dfefHnh fnj
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h(n) est symétrique car H(f) réel linéaire, en revanche h(n) est potentiellement infini.
3. Limitation de la réponse impulsionnelle à N échantillons (troncature) : La pondération de
la réponse impulsionnelle idéale h(n) par une suite discrète w(n) : hN(n) = h(n).w(n)
6.3.3 Exemple :
w(n) est la fenêtre rectangulaire en fréquence, on a donc :
)sin(
)sin()()(*)()(
f
fNfWavecfWfHfH N
Figure 6.7 Pondération de la réponse impulsionnelle
n
Bnnh
ffBavecdfefHnhdfefHnh
B
B
fnjFe
Fe
fnj
sin)(
2
21)()()()(
2/
2/
22/
2/
2
Figure 6.8 TF de la réponse impulsionnelle
6.3.4 Réalisation des filtres RIF
Filtre causal à réponse impulsionnelle finie de longueur N :
1
0
)()()(N
k
khknxny
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Trois opérations élémentaires permettent de réaliser le filtre RIF:
1- Retard (registre à décalage).
2- Opérateurs arithmétiques + et *
3- Registres pour la pondération
Figure 6.9 Réalisation non récursive
6.4 SYNTHESE DES FILTRES RII [6], [13], [14]
Principe
- Calculer un filtre analogique H(s)
- Transformer le filtre analogique en un filtre numérique équivalent H(z)
Contraintes
• Transformer une fonction rationnelle H(s) en une fonction rationnelle H(z)
• Conserver la stabilité du filtre analogique
- Transformer le demi-plan complexe gauche en l'intérieur du cercle unité
- Transformer l'axe des imaginaires en cercle unité
Figure 6.10 Méthode de réalisation
Méthode
- Conservation de la réponse impulsionnelle du filtre analogique ("numérisation").
- Transformation bilinéaire
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6.4.1 Méthode de l'invariance impulsionnelle
Principe : On échantillonne la réponse impulsionnelle d'un filtre analogique connu
enTtaednnageEchantillo
aTL
a thnThthsH
)()()()(1
Réponse en fréquence
L'échantillonnage de ha(t) entraîne une périodisation du spectre
k ea
ed T
kfH
TfH
1)(
Condition de Shannon à respecter par conséquent
Pôles : Correspondance entre les pôles de H(s) et les pôles de H(z) : b →ebTe
Exemple : soit le filtre analogique défini par :
ee bTbTTZbnTe
ennageEchantillobtTL
ez
z
zezHenTheth
bssH
11
1)()()(
1)(
1
Si Re(b) < 0, alors |exp(b)| < 1 : le pôle du filtre numérique appartient au cercle unité. On a
donc bien une conservation de la stabilité
Précautions
La réponse du filtre numérique sera proche de celle du filtre analogique dans la bande [-Fe/2,
Fe/2]. Si le filtre analogique a une réponse fréquentielle nulle en dehors de cette bande. Cette
méthode est utile seulement dans le cas de filtres analogiques à bande limitée.
6.4.2 Transformation bilinéaire
Pour passer de H(s) → H(z) avec Te : fréquence d'échantillonnage
1
1
1
1.
2
z
z
Tes
Pôles
Tes
Tesz
2
2
Si s a une partie réelle négative, z est de module inférieur à 1 → conservation de la stabilité.
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Figure 6.11 Passage de H(s) → H(z)
Déformation des fréquences
La transformation entraîne une relation non linéaire entre les fréquences fa du domaine
analogique et les fréquences fd du domaine numérique.
)(tan1
)tan(1 1
eae
dede
a TfT
fTfT
f
Distorsion harmonique
- Définir le gabarit du filtre numérique
- Convertir ce gabarit en un gabarit correspondant au filtre analogique par la relation (2)
- Faire la synthèse du filtre analogique (Butterworth, Tchebychev …) →Ha(s)
- Transformer Ha(s) en Hd(z).
6.4.3 Exemple
On utilise des fonctions modèles classiques de types filtres de Butterworth, Tchebychev…
Soit un filtre de Butterworth analogique défini par la fonction H(s) suivante :
22
2
2)(
cc
c
wsws
wsH
On applique la transformation bilinéaire :1
1
1
1.
2
z
z
Ts
e
Après calcul et en prenant wc = 2 Te = 2 on obtient :
5724.04514.1
120302.0)(
2
2
zz
zzzH
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Fréquence de coupure du filtre analogique Fc = 0.318 Hz
Fréquence de coupure du filtre numérique
HzFcFc 176.02*318.0tan2
1 1
Figure 6.12 Bande passante du filtre
6.4.4 Réalisation d'un filtre RII
Filtre causal à réponse impulsionnelle infinie :
M
rr
N
kk rnxbknyany
01
)()()(
Figure 6.13 Réalisation récursive
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6.5 CONCLUSION SUR LES FILTRES
6.5.1 Filtre de réponse impulsionnelle finie RIF :
- Toujours stable
- Phase linéaire
- Facile à concevoir
- La durée des transitoires = longueur du filtre.
6.5.2 Filtre de réponse impulsionnelle infinie RII :
- Peuvent être instables
- Phase non linéaire
- Nécessitent moins d’opérations et de places mémoires
- Plus efficaces que RIF.
x(n) X(z) Région de convergence
δ(n) 1 Tous z
u(n) 1/(1-z-1) ׀z׀ ˃1
an.u(n) 1/(1-az-1) ׀z׀ ˃ ׀a׀
nan.u(n) az-1/(1-az-1)2 ׀z׀ ˃ ׀a׀
-an.u(-n-1) 1/(1-az-1) ׀z׀ ׀a׀˂
-nan.u(-n-1) az-1/(1-az-1)2 ׀z׀ ׀a׀˂
EXERCICES
Exercice 1
1- Préciser la nature du filtre (RIF/RII) représenté
sur la figure suivante et donner son équation aux
différences.
2- Calculer et représenter la réponse impulsionnelle
h(n).
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Exercice 2
1- Donner l’équation aux différences du
filtre représenté sur la figure suivante, puis
calculer sa fonction de transfert.
2- Calculer les pôles et les zéros de ce
filtre.
3- A quelle condition est-il stable.
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REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
[1] - Patrick Duvaut, François Michaut et Michel Chuc, Introduction au traitement du
signal - exercices corrigés et rappels de cours, Hermes Science Publications, 1996.
[2] - Tahar Neffati, Traitement du signal analogique : Cours, Ellipses Marketing, 1999.
[3] - Francis Cottet, Traitement des signaux et acquisition de données - Cours et
exercices corrigés, 4ème édition, Dunod, Paris, 2015.
[4] - Messaoud Benidir, Théorie et traitement du signal : Méthodes de base pour
l'analyse et le traitement du signal, Dunod, 2004.
[5] - Maurice Bellanger, Traitement numérique du signal : Théorie et pratique, 9ème
édition, Dunod, Paris, 2012.
[6] - R. Boite et H. Leich, Les filtres numériques : Analyse et synthèse des filtres
unidimensionnels, 3ème édition révisée et augmentée, Masson, 1990.
[7] - Étienne Tisserand, Jean-François Pautex et Patrick Schweitzer, Analyse et
traitement des signaux méthodes et applications au son et à l’image, 2ème édition,
Dunod, Paris, 2008.
[8] - M. Bellanger, Traitement numérique du signal : Théorie et pratique, 6ème édition,
Dunod, 1990.
[9] - M. Kunt, Traitement numérique des signaux, édition Dunod, 1981.
[10] - Y. Thomas, Signaux et Systèmes Linéaires, Edition Masson, 1994.
[11] - M. Bellanger, Traitement numérique du signal, Edition Dunod, 1993.
[12] - G. Blanchet et M. Charbit, Traitement numérique du signal, Edition Hermès,
1998.
[13] - S. Mitra, Digital Signal Processing : A computer based approach", McGraw Hill
Edition, 1998
[14] - A. Quinquis, Le traitement du signal sous Matlab, Edition Hermès, 2000
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RESUME
Le traitement du signal est la discipline technique qui a pour objet l’élaboration ou
l’interprétation des signaux porteurs de l’information. Son application se situe dans tous les
domaines concernés par la transmission ou l’exploitation des informations transportées par
ces signaux.
Ce manuscrit traite tout d’abord la classification des signaux sous forme
phénoménologique (déterministes et aléatoires), sous forme énergétique (énergie et puissance)
et sous forme morphologique (analogique, quantifié, échantillonné et numérique).
La deuxième partie donne un aperçu sur les propriétés temporelles (corrélation, inter-
corrélation, l’autocorrélation et la convolution) et les propriétés fréquentielles (série de
Fourier, transformée de Fourier, analyse spectrale).
La troisième partie porte sur les filtres analogiques qui consistent à séparer les
composantes spectrales du signal selon leurs fréquences, d’éliminer ou d’affaiblir les
fréquences parasites indésirables et d’isoler dans un signal complexe les bandes de fréquences
utiles.
La quatrième partie traite le passage de l’analogique au numérique en échantillonnant
les signaux continus, en les quantifiant et en les codant à partir des différents types
d’échantillonneurs.
La représentation des signaux numériques et l’analyse fréquentielle sont traitées dans
la cinquième partie de ce manuscrit. La transformée en z - TZ, la transformée de Fourier
discrète- TFD et la transformée de Fourier rapide - TFR sont les outils pratiques dans ces
opérations.
La dernière partie porte sur l’analyse et la synthèse des filtres numériques. Le filtrage
et l’analyse spectrale sont des techniques de base dans le traitement numérique du signal.