L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Théorie des Langages FormelsChapitre 1
Florence Levé
Année 2017-2018
1/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Au sujet de l’unité d’enseignementLa théorie des langages formels est une des matières fondamentalesde l’informatique.
Objectifs de l’enseignement :I comprendre les concepts de base de la théorie des langages
formels ;I comprendre son rôle et son intérêt en informatiqueI savoir manipuler et utiliser langages, automates, grammaires.
De nombreuses notions et approches de l’informatique vontêtre évoquées, notamment à travers les exemples :
I algorithmique, complexité, preuve de programme, expressionsrégulières, . . .
Pré-requis : connaissance minimale de la notion d’ensembleModalités de contrôle des connaissances :
I sup(E, (E+P)/2),I pas le droit aux documents.
2/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Bibliographie
Introduction à la calculabilité, P. Wolper, Dunod 2006 (3èmeédition), chapitres 1 à 4.Théorie des automates (méthodes et exercices corrigés),P. Séébold, Vuibert 1999.Méthodes mathématiques pour l’informatique (4ème édition),J. Vélu, chapitres 21 et 22, Dunod 2005.Théorie des langages et des automates, J.-M. Autebert,Masson 1994 (deuxième partie, p41–67).Éléments de théorie des automates,J. Sakarovitch, Vuibert 2003 (chapitre 1, p55–232).Nombreux sites webs : n’hésitez pas à faire vos propresrecherches.Ce cours est basé sur celui dispensé par Gwénaël Richommejusqu’en 2009.
3/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Qu’est-ce que les langages formels ?
Un langage formel = un ensemble de mots.
ExemplesI L’ensemble des mots définis dans un dictionnaire.I L’ensemble des phrases que l’on peut écrire en français.
•Remarque : alphabet = lettres, espace et symboles de
ponctuation, . . .
I L’ensemble des programmes en langage JAVA.
4/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques problématiques
Analyse lexicale : est-ce que mon programme utilise les motsde base du langage ?
I utilisation d’automates dans les compilateurs.
Analyse syntaxique : est-ce que les mots/phrases de monprogramme sont correctement construits ?
I utilisation de grammaires dans les compilateurs.I (problème : reconnaissance des langues naturelles)
Est-ce que le programme fait ce que je veux ?I indécidable.I preuve à la main dans de nombreux cas !
Quels langages peuvent être reconnus par une machine ?
5/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques originesDes besoins similaires dans 3 thématiques :
Informatique :I Besoin de décrire de manière finie certains langages infinisI Premiers langages de programmation : algol, ...I Claude Shannon 1949 : description de protocoles de
communicationLogique :
I Besoin de définir formellement le discours mathématiqueI Stephen Cole Kleene 1954 : montre qu’un langage est
reconnaissable si et seulement s’il peut être engendré, à partirdes lettres de l’alphabet, à l’aide des trois opérations union,produit et étoile.
LinguistiqueI Besoin de décrire les langues naturellesI Début des années 50 : premières tentatives visant à utiliser
l’ordinateur pour traduire un texteI Noam Chomsky 1956 : hiérarchie des langages.
6/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
La Hiérarchie des langages de Chomsky
Langages récursivement énumérables
Langages contextuels
Langages algébriques
Langages rationnels
7/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
La Hiérarchie des langages de Chomsky
Langages récursivement énumérables
Langages contextuels
Langages algébriques
Langages rationnels
{rationnels}I = {reconnaissables}I langages reconnus par un automate et/ou définis par une
expression régulière.7/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
La Hiérarchie des langages de Chomsky
Langages récursivement énumérables
Langages contextuels
Langages algébriques
Langages rationnels
⇢ {algébriques}I langages définis par une grammaire ou reconnus par un
automate à pile.
7/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
La Hiérarchie des langages de Chomsky
Langages récursivement énumérables
Langages contextuels
Langages algébriques
Langages rationnels
⇢ {contextuels}I langages définis par une grammaire contextuelle.
7/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
La Hiérarchie des langages de Chomsky
Langages récursivement énumérables
Langages contextuels
Langages algébriques
Langages rationnels
⇢ {récursivement énumérables}I langages acceptables par une machine de Turing (permet
d’étudier la décidabilité d’un problème).
7/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée :
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une_histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire_de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de_toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Texte en entrée : Une histoire de toto de plus
de t
t o t o
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
t
t
lettre différente de t
lettre différente
de o et de t
lettre
différente
8/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations1. Recherche de motif dans un texte
Applications de la recherche de mots/motifsI Recherche dans un index
•index d’un fichier ;
•index du web.
I Recherche de virus•
fichier : un mot (une suite) de 0 et de 1.
•virus : un mot (ou un ensemble de mots)
•base des signatures : un gros automate (version simplifiée)
9/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisationsExemple 2. Compilation
Génération de compilateurs (et donc de nouveaux langagesinformatiques)
I Automates : analyse lexicale ;I Grammaires : analyse syntaxique.I Remarque : la science de la compilation fait appel à des
techniques supplémentaires : transformation de code, contrôlede type, ...)
10/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations3. REGEXP (REGular EXPressions)
Expressions régulièresUtilisées par les mécanismes de recherche/remplacement
I éditeurs de texte : JEdit, emacsI Recherche dans des dictionnaires en ligne : dictionnaire de
l’académie française (essayer par exemple ˆa[a-z]*iste)I commandes de base unix : ls, grep, sed, . . .I inclus dans des langages de script : perl, javascript, . . .
11/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Quelques utilisations4. Liens avec d’autres domaines
Les langages formels apparaissent ou sont liés à de nombreuxdomaines, de l’informatique ou non :
réseaux, systèmes d’exploitation, logiciels (compilation,traduction, vérification),modélisation, présentation de protocoles, algorithmescalculabilité, complexité, logique,combinatoire des mots, dynamique symbolique, théorie desnombres,linguistique (traitement de la langue naturelle),électronique,bioinformatique (séquençage du génome),imagerie (analyse d’images),. . .
12/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Le plan du cours
Un langage est un ensemble de mots. Pour étudier les langages, leplan du cours sera le suivant :
Définitions, mots, langages, langages rationnelsAutomates et langages reconnaissables
I définitions, fonctionnement d’un automateI équivalence avec langages rationnelsI déterminismeI minimalité
Langages non reconnaissableGrammaires
13/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Lettres et alphabets
Un langage est un ensemble de mots. Un mot est écrit avec deslettres appartenant à un alphabet.
Lettre : symboles.Alphabet : ensemble fini non vide de lettres.
Exemples
1. Alphabet latin, grec, . . .2. Chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }3. Caractères ASCII, UNICODE, . . .4. Parties de ces alphabets : {a, b}, {0, 1}
Attention : les symboles doivent être non ambigüs !
{a, b, ab},{ab, a, ba}
�ne sont pas des alphabets.
14/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Lettres grecques courantes
lettre minuscule majusculealpha ↵beta �gamma � �delta � �epsilon "phi � �psi rho ⇢mu µnu ⌫
15/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Mots
Mot : suite de lettres.I Notation : les lettres sont accolées.
I Exemples : bonjour, abaababaab, 0110101, . . .
I Formellement, a1 . . . an est le mot constitué dans l’ordre deslettres a1 puis a2 puis . . . an.
I On ne tient pas compte de la signification éventuelle.
Mot vide : suite vide de lettres : ".
Attention ! Ne pas confondre le mot vide " avec l’ensemble vide ;
16/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
La concaténation
Définition : la concaténation de deux mots u et v est le motobtenu en mettant bout à bout dans l’ordre les lettres de u
puis les lettres de b.
Notation : uv ou u.v
La concaténation est aussi appelée produit de concaténation
Exemple : (aabac).(dab) vaut aabacdab
Formellement, si⇢
n � 0 et p � 0 sont deux entiers,a1, . . . , an, b1, . . . , bp sont des lettres,
alors(a1 . . . an).(b1 . . . bp) = a1 . . . anb1 . . . bp
17/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
La concaténation
Définition : la concaténation de deux mots u et v est le motobtenu en mettant bout à bout dans l’ordre les lettres de u
puis les lettres de b.
Notation : uv ou u.v
La concaténation est aussi appelée produit de concaténation
Exemple : (aabac).(dab) vaut aabacdab
Formellement, si⇢
n � 0 et p � 0 sont deux entiers,a1, . . . , an, b1, . . . , bp sont des lettres,
alors(a1 . . . an).(b1 . . . bp) = a1 . . . anb1 . . . bp
17/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
La concaténation
Définition : la concaténation de deux mots u et v est le motobtenu en mettant bout à bout dans l’ordre les lettres de u
puis les lettres de b.
Notation : uv ou u.v
La concaténation est aussi appelée produit de concaténation
Exemple : (aabac).(dab) vaut aabacdab
Formellement, si⇢
n � 0 et p � 0 sont deux entiers,a1, . . . , an, b1, . . . , bp sont des lettres,
alors(a1 . . . an).(b1 . . . bp) = a1 . . . anb1 . . . bp
17/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Monoïde
Propriétés de la concaténation :I
u" = u = "uI (uv)w = u(vw)
Propriété : l’ensemble des mots muni de la concaténationforme un monoïde.
Monoïde : ensemble muni d’une opération interne associativepossédant un élément neutre.
Autres exemples de monoïdes : (IN,+), (IN+,⇥)
L’ensemble des mots définis sur un alphabet A se note A
⇤
18/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Monoïde libre
Propriété fondamentale :Tout mot se décompose de manière unique sur les lettres.
a1 . . . an = b1 . . . bp implique⇢n = p
et ai = bi pour tout 1 i n.
Le monoïde A
⇤ est dit libre (de base A).
19/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Longueur
Longueur d’un mot : nombre de lettres qui le composent.
Notation : |u| est la longueur de u.
Exemple : |abaab| = 5
Propriétés :I |"| = 0
I |uv | = |u|+ |v |
20/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Longueur
Longueur d’un mot : nombre de lettres qui le composent.
Notation : |u| est la longueur de u.
Exemple : |abaab| = 5
Propriétés :I |"| = 0
I |uv | = |u|+ |v |
20/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Longueur
Longueur d’un mot : nombre de lettres qui le composent.
Notation : |u| est la longueur de u.
Exemple : |abaab| = 5
Propriétés :I |"| = 0
I |uv | = |u|+ |v |
20/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Nombre d’occurrences
|u|a : nombre d’occurrences de la lettre a dans un mot u
Exemple : |abaab|a = 3
Propriétés :I |"|a = 0
I |uv |a = |u|a + |v |aI |u| =
X
a2A
|u|a
21/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Nombre d’occurrences
|u|a : nombre d’occurrences de la lettre a dans un mot u
Exemple : |abaab|a = 3
Propriétés :I |"|a = 0
I |uv |a = |u|a + |v |aI |u| =
X
a2A
|u|a
21/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Nombre d’occurrences
|u|a : nombre d’occurrences de la lettre a dans un mot u
Exemple : |abaab|a = 3
Propriétés :I |"|a = 0
I |uv |a = |u|a + |v |aI |u| =
X
a2A
|u|a
21/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Un peu de vocabulaire
Facteur : u = pvs
Préfixe (facteur gauche) : dans l’exemple précédent, p, pv ,sont des préfixes de u.
Suffixe (facteur droit) : dans l’exemple précédent, s, vs sontdes suffixes de u.
Exemple : Facteurs, préfixes et suffixes du mot abaab ?
22/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Ensembles
Un ensemble est caractérisé par la notion d’appartenance
I pour un ensemble E , tout objet x appartient ou non à E .
Ix 2 E : x appartient à E
(on dit aussi que x est dans E ) ;
Ix 62 E : x n’appartient pas à E .
23/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Définitions d’ensemble
Par extension : en précisant les valeurs de l’ensemble entreaccolades (valeurs séparées par des virgules).
I Exemple : E = {a, c , f }Par compréhension, en précisant la propriété que vérifient lesélements de l’ensemble.
I Ensemble des entiers pairs =
{x 2 IN | x mod 2 = 0}I Ensemble des mots sur A de longueur paire =
{x 2 A
⇤ | |x | mod 2 = 0}
24/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Égalité
Deux ensembles sont égaux si les éléments de l’unappartiennent à l’autre et réciproquement.En d’autres termes E = F
I si pour tout x dans E , x appartient à F etpour tout x dans F , x appartient à E
I (avec les notations de la logique)(8x 2 E , x 2 F ) et (8x 2 F , x 2 E )
Exemples, avec a, b et c trois lettres différentes :I {ab, ac , a, b} = {a, ab, b, ac}I {a, bc} = {a, a, bc , a, bc , a}
AttentionI {ab, ac , a, b} 6= {ab, ac}I {ab, ac , b} 6= {ab, ac , a}
25/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Notation de la logique
Très utile pour synthétiser des idées/présentations !Un langage à apprendre !9 il existe8 pour tout) implique : dire qu’une propriété p implique une propriété q
signifie que si la propriété est vérifiée alors la propriété q l’estaussi(p ) q) est aussi une propriété (vraie si p est fausse), est équivalent à : dire qu’une propriété p équivaut à unepropriété q signifie que p et q sont simultanément vraie ousimultanément fausse.
26/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Inclusion
Un ensemble E est dit inclus dans un ensemble F si toutélément de E appartient à F (8x 2 E , x 2 F ).
I Notation : E ✓ F
Un ensemble E est dit strictement inclus dans un ensemble F
si E ✓ F et E 6= F .I Notation : E ⇢ F
Exemples :I {ab, ac , a, b} ✓ {a, ab, b, ac} (en fait =)I {ab, ac} ⇢ {ab, ac , a, b}I {ab, ac , a, b} 6⇢ {ab, ac}
Propriété importante :X ✓ Y et Y ✓ X , X = Y
27/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Ensemble vide
L’ensemble constitué d’aucun élément.Notation : ;.Exercice
I " :•
le mot vide
•d’ici à la fin de ce cours, l’expression rationnelle désignant
l’ensemble {"}I ; : l’ensemble videI {"} : l’ensemble ayant comme seul élément le mot vide.I {;} : l’ensemble ayant comme seul élément l’ensemble vide.
28/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Implémentation d’ensemble
Tableaux pour ensembles finis, voire tableaux triésMais il peut y avoir plus efficace : arbres, . . .Automates. . .
29/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Opérations ensemblistes
Union. X [ Y = {x | x 2 X ou x 2 Y }.Intersection. X \ Y = {x | x 2 X et x 2 Y }.Complémentation.
X \ Y = {x | x 2 X et x 62 Y } (= X \ (X \ Y )).Diagramme de Venn :
Y
Y\XX\Y
X
Y
X Y
X
30/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Propriétés (1/4)
X [ ; = X ,X \ ; = ;,X \ ; = X ,; \ X = ;.X [ X = X ,X \ X = X ,X \ X = ;.
31/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Propriétés (1/4)
X [ ; = X ,X \ ; = ;,X \ ; = X ,; \ X = ;.X [ X = X ,X \ X = X ,X \ X = ;.
31/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Propriétés (1/4)
X [ ; = X ,X \ ; = ;,X \ ; = X ,; \ X = ;.X [ X = X ,X \ X = X ,X \ X = ;.
31/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Propriétés (1/4)
X [ ; = X ,X \ ; = ;,X \ ; = X ,; \ X = ;.X [ X = X ,X \ X = X ,X \ X = ;.
31/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Propriétés (1/4)
X [ ; = X ,X \ ; = ;,X \ ; = X ,; \ X = ;.X [ X = X ,X \ X = X ,X \ X = ;.
31/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Propriétés (1/4)
X [ ; = X ,X \ ; = ;,X \ ; = X ,; \ X = ;.X [ X = X ,X \ X = X ,X \ X = ;.
31/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Propriétés (1/4)
X [ ; = X ,X \ ; = ;,X \ ; = X ,; \ X = ;.X [ X = X ,X \ X = X ,X \ X = ;.
31/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Propriétés (2/4)
(commutativité)⇢
X [ Y = Y [ X ,X \ Y = Y \ X .
Attention !X \ Y n’est pas nécessairement égal à Y \ X
Exemple X = {a}, Y = {b}.I
X \ Y = X = {a},I
Y \ X = Y = {b}.
32/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Propriétés (3/4)
(associativité)⇢
X [ (Y [ Z ) = (X [ Y ) [ Z ,X \ (Y \ Z ) = (X \ Y ) \ Z .
On peut donc enlever les parenthèses
Attention ! on peut avoir X \ (Y \ Z ) 6= (X \ Y ) \ Z .
Exemple : X = {a, b}, Y = {a}, Z = {a} :I
X \ (Y \ Z ) = X ,I (X \ Y ) \ Z = {b}
33/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Propriétés (3/4)
(associativité)⇢
X [ (Y [ Z ) = (X [ Y ) [ Z ,X \ (Y \ Z ) = (X \ Y ) \ Z .
On peut donc enlever les parenthèses
Attention ! on peut avoir X \ (Y \ Z ) 6= (X \ Y ) \ Z .
Exemple : X = {a, b}, Y = {a}, Z = {a} :I
X \ (Y \ Z ) = X ,I (X \ Y ) \ Z = {b}
33/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Propriétés (3/4)
(associativité)⇢
X [ (Y [ Z ) = (X [ Y ) [ Z ,X \ (Y \ Z ) = (X \ Y ) \ Z .
On peut donc enlever les parenthèses
Attention ! on peut avoir X \ (Y \ Z ) 6= (X \ Y ) \ Z .
Exemple : X = {a, b}, Y = {a}, Z = {a} :I
X \ (Y \ Z ) = X ,I (X \ Y ) \ Z = {b}
33/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Propriétés (4/4)
(distributivité)⇢
X \ (Y [ Z ) = (X \ Y ) [ (X \ Z ),X [ (Y \ Z ) = (X [ Y ) \ (X [ Z ).
Lois de de Morgan :⇢X \ (Y \ Z ) = (X \ Y ) [ (X \ Z ),X \ (Y [ Z ) = (X \ Y ) \ (X \ Z ).
34/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Propriétés (4/4)
(distributivité)⇢
X \ (Y [ Z ) = (X \ Y ) [ (X \ Z ),X [ (Y \ Z ) = (X [ Y ) \ (X [ Z ).
Lois de de Morgan :⇢X \ (Y \ Z ) = (X \ Y ) [ (X \ Z ),X \ (Y [ Z ) = (X \ Y ) \ (X \ Z ).
34/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Produit cartésien
Le produit cartésien sera utile pour définir les transitionspossibles d’un automate.
Soient E1, . . . ,En des ensembles, le produit cartésien de cesensembles est égal à l’ensemble des n-uplets (x1, . . . , xn) telsque xi 2 Ei pour chaque i , 1 i n :
E1 ⇥ E2 ⇥ . . .⇥ En = {(x1, . . . , xn) | xi 2 Ei , 1 i n}
Exemple : {a, b}⇥ {ab, ba, c} =
{(a, ab), (a, ba), (a, c), (b, ab), (b, ba), (b, c)}
Exemple : {1, 2}⇥ {a, b}⇥ {2, 3} ={(1, a, 2), (1, a, 3), (1, b, 2), (1, b, 3), (2, a, 2), (2, a, 3), (2, b, 2), (2, b, 3)}
35/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Produit cartésien
Le produit cartésien sera utile pour définir les transitionspossibles d’un automate.
Soient E1, . . . ,En des ensembles, le produit cartésien de cesensembles est égal à l’ensemble des n-uplets (x1, . . . , xn) telsque xi 2 Ei pour chaque i , 1 i n :
E1 ⇥ E2 ⇥ . . .⇥ En = {(x1, . . . , xn) | xi 2 Ei , 1 i n}
Exemple : {a, b}⇥ {ab, ba, c} =
{(a, ab), (a, ba), (a, c), (b, ab), (b, ba), (b, c)}
Exemple : {1, 2}⇥ {a, b}⇥ {2, 3} ={(1, a, 2), (1, a, 3), (1, b, 2), (1, b, 3), (2, a, 2), (2, a, 3), (2, b, 2), (2, b, 3)}
35/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Produit cartésien
Le produit cartésien sera utile pour définir les transitionspossibles d’un automate.
Soient E1, . . . ,En des ensembles, le produit cartésien de cesensembles est égal à l’ensemble des n-uplets (x1, . . . , xn) telsque xi 2 Ei pour chaque i , 1 i n :
E1 ⇥ E2 ⇥ . . .⇥ En = {(x1, . . . , xn) | xi 2 Ei , 1 i n}
Exemple : {a, b}⇥ {ab, ba, c} =
{(a, ab), (a, ba), (a, c), (b, ab), (b, ba), (b, c)}
Exemple : {1, 2}⇥ {a, b}⇥ {2, 3} ={(1, a, 2), (1, a, 3), (1, b, 2), (1, b, 3), (2, a, 2), (2, a, 3), (2, b, 2), (2, b, 3)}
35/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Cardinal
cardinal d’un ensemble fini = son nombre d’éléments.
Notation : Card(E ) ou #E
Exemple :I
Card({a, b}) = 2
ICard({ab, ba, c}) = 3
ICard({a, b}⇥ {ab, ba, c}) = 6.
ICard({1, 2}⇥ {a, b}⇥ {2, 3}) = 8
Pour E1,E2, . . . ,En (n � 1) des ensembles finis,
Card(E1⇥E2⇥ . . .⇥En) = Card(E1)⇥Card(E2)⇥ . . .⇥Card(En)
36/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Cardinal
cardinal d’un ensemble fini = son nombre d’éléments.
Notation : Card(E ) ou #E
Exemple :I
Card({a, b}) = 2
ICard({ab, ba, c}) = 3
ICard({a, b}⇥ {ab, ba, c}) = 6.
ICard({1, 2}⇥ {a, b}⇥ {2, 3}) = 8
Pour E1,E2, . . . ,En (n � 1) des ensembles finis,
Card(E1⇥E2⇥ . . .⇥En) = Card(E1)⇥Card(E2)⇥ . . .⇥Card(En)
36/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Cardinal
cardinal d’un ensemble fini = son nombre d’éléments.
Notation : Card(E ) ou #E
Exemple :I
Card({a, b}) = 2
ICard({ab, ba, c}) = 3
ICard({a, b}⇥ {ab, ba, c}) = 6.
ICard({1, 2}⇥ {a, b}⇥ {2, 3}) = 8
Pour E1,E2, . . . ,En (n � 1) des ensembles finis,
Card(E1⇥E2⇥ . . .⇥En) = Card(E1)⇥Card(E2)⇥ . . .⇥Card(En)
36/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Cardinal
cardinal d’un ensemble fini = son nombre d’éléments.
Notation : Card(E ) ou #E
Exemple :I
Card({a, b}) = 2
ICard({ab, ba, c}) = 3
ICard({a, b}⇥ {ab, ba, c}) = 6.
ICard({1, 2}⇥ {a, b}⇥ {2, 3}) = 8
Pour E1,E2, . . . ,En (n � 1) des ensembles finis,
Card(E1⇥E2⇥ . . .⇥En) = Card(E1)⇥Card(E2)⇥ . . .⇥Card(En)
36/36
L’enseignement Introduction Mots Ensembles
Cardinal
cardinal d’un ensemble fini = son nombre d’éléments.
Notation : Card(E ) ou #E
Exemple :I
Card({a, b}) = 2
ICard({ab, ba, c}) = 3
ICard({a, b}⇥ {ab, ba, c}) = 6.
ICard({1, 2}⇥ {a, b}⇥ {2, 3}) = 8
Pour E1,E2, . . . ,En (n � 1) des ensembles finis,
Card(E1⇥E2⇥ . . .⇥En) = Card(E1)⇥Card(E2)⇥ . . .⇥Card(En)
36/36