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Théorie de Files d’Attente
Ramon Puigjaner
Universitat de les Illes Balears
Palma, Espagne
Université Paul Sabatier. Toulouse
Université Paul Sabatier. Toulouse.
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INDICE
Caractéristiques d'un modèle de files d'attente
Notation
Variables et relations fondamentales
Processus de Poisson
Processus de Naissance-Mort
Files M/M/m/B/K
File M/G/1
Files G/G/1: Méthode de diffusion
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
Caractéristiques d'un modèle de files d'attente
Source de clients Station de service
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
Caractéristiques de la source des clients Processus d'arrivée Quantité de service Taille de la population
Caractéristiques de la station de service Nombre de serveurs Nombre de files d'attente Capacité des files Gestion de la file Politique de service
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
Notation
A/S/m [/B/K/DS]
A: distribution du temps entre arrivées,
S: distribution du temps de service,
m: nombre de serveurs,
B: capacité du système (par défaut: infinie),
K: taille de la population (par défaut: infinie),
DS: politique de service (par défaut: FCFS).
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
Variables fondamentales T: variable aléatoire du temps entre arrivées.
fréquence d'arrivée (= 1/E[T])
S: variable aléatoire du temps de service.
capacité de service (1/E[S]). Ou nombre moyen de travaux qui peut accepter un serveur par unité de temps . S'il y a m serveurs, la capacité totale de service est m.
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
Variables fondamentales N: nombre de travaux dans la station de service
(variable aléatoire discrète).
Nq: nombre de travaux en attente de recevoir service (variable aléatoire discrète).
Ns: nombre de travaux en train de recevoir service (variable aléatoire discrète).
R: temps de réponse du système (variable aléatoire continue).
W: temps d'attente dans la file (variable aléatoire continue).
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
Rapports fondamentaux Condition de stabilité: La fréquence moyenne
d'arrivées doit être plus petite que la capacité moyenne de service:
< m
Elle n'est pas applicable aux systèmes avec population et/ou capacité finies.
Equation du nombre de travaux:
N = Nq + Ns
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
Relations fondamentales Equation du temps:
R = W + S
Loi de Little:
Nombre moyen de travaux dans le système =
= Fréquence d'arrivée temps moyen de réponse.
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
Loi de Little
Clients
Temps
J
T
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
Loi de LittleFréquence d'arrivée =
= Nombre d'arrivées/Temps d'observation = I/T
Temps moyen dans le système = J/I
Nombre moyen de travaux dans le système =
= J/T = I/T J/I =
= Fréquence d'arrivée Temps moyen dans le système
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
Processus de Poisson N(t), pour t 0 est un processus de Poisson si:
N(0) = 0, Le nombre d'arrivées en intervalles indépendants sont
mutuellement indépendants, Pour un intervalle de temps suffisamment petit
[t, t + t] s'accomplit que:la probabilité d'arrivée d'un client est t + (t),la probabilité d'arrivée de deux clients ou plus est (t)la probabilité d'aucune arrivée est 1 - t + (t)
Les trois probabilités précédentes dépendent de t mais non de t
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
Processus de Poisson
E[N(t)]=t
Var[N(t)]=t
tei
ttN
!
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Distribution exponentielle Les temps entre arrivées consécutives d'un processus
de Poisson suivent une distribution exponentielle
Sans mémoire (propriété de Markov):
0pour ,
0pour ,1
1Pr1Pr
0Pr
tedt
tdFtf
tetF
etTtT
etN
tTT
tT
t
t
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Propriétés des processus de Poisson Superposition de processus de Poisson
Décomposition d'un processus de Poisson
.
…
1
2
m
…
1
2
m
p1
p2
pm
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Processus de Naissance-Mort Il s'agît d'un type particulier de processus
stochastique outil pour modeler des systèmes dans lesquels les clients arrivent et complètent son service un par un.
L'état du système est représenté par la variable aléatoire du nombre de clients, k.
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Processus de Naissance-Mort Si Pk(t) est la probabilité qu’il y ait k éléments à l’instant
t et dans un intervalle suffisamment petit l’état du système ne peut varier qu’en un élément, c’est à dire, pour qu’à l’instant t + t il y ait k éléments:
Ou à l’instant t il y a k éléments et il n’y a aucun changement pendant t.
Ou à l’instant t il y a k - 1 éléments et il y a une arrivée pendant t.
Ou à l’instant t il y a k + 1 éléments et il y a un départ pendant t.
L’état du système ne peut être jamais négatif.
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Processus de Naissance-Mort La probabilité de l'état dépend de t, mais celle du
changement (naissance ou mort) dépend seulement de t
Pk(t + t) = Pk(t) pk,k(t) + Pk - 1(t) pk - 1,k(t) +
+ Pk + 1(t) pk + 1,k(t) + (t), pour k > 0
P0(t + t) = P0(t) p0,0(t) + P1(t) p1,0(t) + (t),
pour k = 0
0
1k
k tP
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Processus de Naissance-Mort Les processus de naissance et de mort sont des
processus de Poisson de paramètres dépendants de l'état, k et k:
pour k > 0
Pk(t + t) = Pk(t) [1 - kt + (t)] [1 - kt + (t)] +
+Pk - 1(t) [k – 1t + (t)] +
+ Pk + 1(t) [k + 1t + (t)] + (t)
pour k = 0
P0(t + t) = P0(t) [1 - 0t + (t)]+
+ P1(t) [1t + (t)] + (t)
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Processus de Naissance-Mort pour k > 0
pour k = 0
t
ttPtPtP
t
tPttP
kkkkkkk
kk
1111
t
ttPtP
t
tPttP
1100
00
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Processus de Naissance-Mort pour k > 0
pour k = 0
Equations de Chapman-Kolmogorov
tPtPtPdt
tdPkkkkkkk
k1111
tPtPdt
tdP1100
0
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Processus de Naissance-Mort Si ce système arrive à un régime stationnaire, c’est à
dire que les probabilités sont indépendantes de l’instant,
Pk(t) = pk , pour k 0
Donc
0 = -(k + k)pk + k - 1pk - 1 + k + 1pk + 1, pour k > 0
0 = -0p0 + 1p1, pour k = 0
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Processus de Naissance-Mort Vers l’état Ek il y a un flux d’entrée à`partir des états Ek +
1 et Ek - 1, de
k - 1pk - 1 + k + 1pk + 1
Des l’état Ek il y a un flux de sortie vers les états Ek + 1 et Ek - 1, de
(k + k)pk
Si le système est en équilibre les deux flux doivent être égaux,
k - 1pk - 1 + k + 1pk + 1 = (k + k)pk
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Processus de Naissance-Mort À partir de l'équation de Kolmogorov en régime
stationnaire pour k = 0,
Remplaçant dans l'équation de Kolmogorov en régime stationnaire pour k = 1,
1
001
pp
2
11
21
1002
22001
00100
ppp
ppp
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Processus de Naissance-Mort En général
1
1
0 1
0
11
1
0 10
1
1
k
k
i i
i
k
kk
k
i i
ik
p
ppp
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files M/M/m/B/K
Ces files sont des cas particuliers des processus de
naissance-mort puisqu’il s’agît de systèmes dans
lesquels les arrivées au système (processus de
naissance) et les sorties comme conséquence de la fin
des services (processus de mort) sont tous les deux
poissoniens
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/1 une file avec un seul serveur temps entre arrivées des clients répartis
exponentiellement avec une valeur moyenne 1/, indépendante du nombre de clients que sont dans le système
temps de service des clients répartis exponentiellement avec une valeur moyenne 1/, indépendante du nombre de clients que sont dans le système
k = , pour k = 0, 1, .... k = , pour k = 1, 2, ....
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/1
0
1
2
k - 1
k + 1
k
. . . .
1
0
0
1
00
1
1
k
k
kk
ik
p
ppp
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/1
pk = (1 - )k , pour k = 0, 1, ...
11
11
10p
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30
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/1
11
/1
1
1
11
11
11
11
11
20
22
2
11
1
1
11
sNR
pNk
kkkpN
kkN
k
k
k
k
k
k
k
k
kk
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31
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/ (nombre infini de serveurs)
k = , k = 0, 1, ....
k = k, k = 1, 2, ....
k - 1
k + 1
k
0
1
2 . . .
.(k +1) (k +2) k(k -1) 32
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32
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/ (nombre infini de serveurs)
/
/
1
0
0
1
00
!
1
!
11
1!
1
1
ek
p
e
k
p
kp
ipp
k
k
k
k
kk
ik
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33
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/ (nombre infini de serveurs) Le nombre moyen de clients dans le système
N = /
Le temps moyen de réponse, par application de la loi de Little,
R = 1/ = s
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/mk = , k = 0, 1, ....
k = min(k, m)
d’où
k = k, pour 0 k m
k = m, pour m k
0
1
22
m
. . ..
3 m m m(m -1) m-1 m+1
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35
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/m
1
1
00
0
1
00
0
1
00
1
1
!!
!
1
1
!
1
1
m
k
mk
mk
k
mi
m
ik
kk
ik
m
m
k
mp
mmp
mipp
kp
ipp
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/1/B: Capacité finiek = , pour k < B
k = 0, pour k B
k = , pour k = 1, 2, ....
0
1
2
B - 1
B
. . . .
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37
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/1/B: Capacité finie
pk = 0, pour k > B
Bkpppkk
ik
pour ,0
1
00
1
1
0
1
1
1
1
BB
k
kp
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38
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/1//K: Population finiek = (K - k), pour 0 k K
k = 0, pour k K
k = , pour k = 1, 2, ....
0
K
1
2
K - 1
K
2
. . . .(K -1) (K -2)
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39
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/1//K: Population finie
1
00
0
1
00
!
!
0pour ,!
!
K
k
k
kk
ik
kK
Kp
KkkK
Kp
iKpp
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40
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/1//K: Population finie Utilisation du serveur
= 1 - p0
Par application de la loi de Little au serveur
Fréquence moyenne d’entrée de clients à la station
e = (1 - p0)
e
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41
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/m/B/Kk = (K - k), pour 0 k < B
k = 0, pour k B
k = k, pour 0 k m
k = m, k > m
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42
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/m/B/K
0
K
1
2
2
3
(K -1) (K -2)
. . . .
. . . .
B -1 B
. . . .
. . . .
m -1 m m +1
( K-m +2)
( m -1)
( K-m +1)
m m m
m m
( K-B +2) ( K-B +1)
( K-m -1) ( K-m )
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43
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/m/B/K
Bkmmm
k
k
Kp
m
iK
i
iKpp
mkk
Kp
i
iKpp
km
k
m
ik
kk
ik
pour ,!
!
1
0pour ,1
0
1
00
0
1
00
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44
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/M/m/B/K : Conclusion S’il n’y a pas des limites ni dans la population ni
dans la capacité du système serveur-file, le calcul de la probabilité p0 exige la sommation d’une série infinie; il s’agît donc d’un problème analytique.
S’il y a quelque limite dans la population ou dans la capacité du système, le nombre d’états est fini et l'addition à faire pour le calcul de p0 l’est aussi. Nous sommes en face d’un problème numérique puisque le système est toujours stable et il est toujours possible d’obtenir le résultat.
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45
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/G/1 Source infinie.
Intervalles de temps entre arrivées consécutives répartis exponentiellement avec moyenne tm = 1/.
Temps de service répartis d’après n’importe quelle fonction. Son degré d’aléatorieté est défini par sont coefficient quadratique de variation.
2
22
sK s
s
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46
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/G/1 Valeur moyenne du temps de service: s = 1/.
Discipline de la file: FIFO.
Pour que la file atteigne un régime stationnaire stable il faut la condition de stabilité
= / = s < 1
Un seul serveur.
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47
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/G/1 Une nouvelle arrivée trouvera en moyenne N clients,
en service et N - en attente. Chaque client dans la file recevra un service moyen
de s = 1/. Si R0 est le temps de service résiduel
R = R0 + (N - )s + s Par la loi de Little
N / = R0 + (N - )s + s
10RN
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48
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/G/1 f(x): fonction de densité de probabilité
s: moyenne
M2: moment de second ordre
A: période de temps très long sur lequel on à disposé les intervalles de service.
En moyenne il y aura A/s intervalles sur A
Un intervalle est de longueur x avec probabilité f(x)dx
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49
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/G/1 Nombre moyen d’intervalles de longueur x sur A
Portion moyenne d’A couverte par des intervalles de longueur x
s
dxxAf
s
dxxAxf
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50
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/G/1 probabilité g(x)dx que l’intervalle élu au hasard soit
de longueur x
longueur moyenne de l’intervalle élu
s
dxxxfdxxg
s
M
s
dxxfxxdxxgmr
2
0
2
0
Université Paul Sabatier. Toulouse.
51
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/G/1 Puisque le point d’observation est équiprobable sur
tout l’intervalle, le temps résiduel est
Remplaçant dans l'équation du temps de réponse
s
MmR r
222
0
12
22M
N
Université Paul Sabatier. Toulouse.
52
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
File M/G/1 : Formules de Khintchin-Pollaczeck
2
22
2
222
2
112
1112
1
112
112
ssKsR
sKN
ss
ss
Université Paul Sabatier. Toulouse.
53
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Modèle de Skinner Les arrivées suivent un processus de Poisson de
moyenne .
Service de durée A, avec distribution FA(t).
Après donner service, le serveur reste en latence
pendant un temps B, avec distribution FB(t).
Z = A + B avec distribution FZ(t).
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54
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Modèle de Skinner
Après un cycle de service et latence, le serveur
regarde la file pour voir s’il y a des clients.
Si elle n’est pas vide, le serveur commence une nouvelle
période de service.
Si elle est vide, le serveur commence une nouvelle
latence C, avec distribution FC(t).
Université Paul Sabatier. Toulouse.
55
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Modèle de Skinner
A B C
Az
Z
C
C mm
M
m
MR
12
1
222
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56
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusion Hypothèse de distribution normale du nombre de
clients dans le système.
N(t) variation de la longueur de la file entre t et t + . Alors, si suffisamment grand, N(t) suit une distribution normale d’une façon approchée
E[N(t)] = ( - ) = Var[N(t)] = (Ka
2 + Ks2 ) =
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57
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusion fréquence d’arrivée,
capacité de service (o l’inverse du temps moyen de service),
Ka2 coefficient quadratique de variation du temps
entre arrivées ta, Ka2 = Var (ta)2,
Ks2 coefficient quadratique de variation du temps de
service ts, Ks2 = Var (ts)2.
Université Paul Sabatier. Toulouse.
58
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusion Remplacement du processus discret par un processus
continu.
Le processus discret N(t) est approché par un processus continu x(t), dont les changements incrementales dx(t) sont repartis d’après une distribution normale avec moyenne dt et variance dt
dx(t) = dt + z(t) (dt)1/2
où z(t) est un processus gaussien blanc.
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59
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusion
x0 la valeur initiale
p(x0, x, t)dx = Pr[x x(t) x + dt | x(0) = x0]
x
txxp
x
txxp
t
txxp
,,,,
2
,, 02
02
0
Université Paul Sabatier. Toulouse.
60
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusion Introduction des conditions de contour.
L'équation de diffusion est résolue avec la condition de contour x(t) > 0 (barrière reflétante) o p(x0, x, t) = 0 pour x < 0.
Pour le cas stationnaire, la dérivée par rapport au temps dans l'équation précédente doit être zéro.
1,,0 0
dxtxxp
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61
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusionCondition de stabilité < 0 ou <
Condition de contour
/2
00
2
0en ,0,,,,
2
exp
xxxpdx
xxdp
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62
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusion Discretisation du processus de diffusion et
ajustement pour le cas d’un nombre faible de clients dans le système.
Distribution géométrique avec le même facteur de décrément e-2/.
Par le théorème du limite central on ne peut pas espérer des résultats significatifs pour un faible nombre de clients dans le système. On sait que la probabilité d’avoir la file vide est = 1 - /.
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63
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusionAlors on ajuste la distribution géométrique pour n = 0 et on utilise e-2/ comme facteur de décrément. Si on représente la distribution approchée du nombre de clients dans le système, bâtie de cette façon, par (n), on obtient
(n) = 1 - , si n = 0
(n) = (1 - ) n-1 , si n > 0
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64
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusion Résultats de l’approche par le retour instantané.
f(x) = R(e- - 1) ex, pour x 1
f(x) = R(1 - ex), pour 0 x 1
'
'
12
22
R
KK sa
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65
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusion Résultats de l’approche par le retour instantané.
La condition de stabilité exige = / < 1.
Si on admet = ', R = .
La longueur moyenne de la file sera
22
1
122
1 22
0
sa KKxfdxL
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66
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusion Résultats de l’approche par le retour instantané.
Pour Ka = 1, nous avons
2
1
122
1
12
11
2
2
2
sKP
s
sKP
KLL
KL
KL
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67
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusion Résultats de l’approche par le retour instantané.
Avec l'approximation R = on discretise la distribution; pour ceci il y a plusieurs alternatives.
Soit P = 1 - , la première consiste à faire
p1(i) = f(i), pour i 1
p1(0) = P
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68
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusion Résultats de l’approche par le retour instantané.
p1(0) = 1 -
ˆ1
ˆ
ˆˆ1ˆ1ˆ
111
111
i
ii
iipL
e
ip
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69
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusion Résultats de l’approche par le retour instantané.
Deuxième discretisation: probabilité p2(i) égal à la fonction continue de distribution entre i - 1 et i
2
121
11
2pour ,ˆˆ1ˆ
1ˆ11 10
2
2
22
2
2
212
22
sKP
sa
ii
i
KLL
KKL
idxxfip
pp
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70
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusion Résultats de l’approche par le retour instantané.
Troisième discretisation: réussir que la longueur de file coïncide avec celle de Khintchin-Pollaczeck
'
22
2
22
ˆ
121
'
11'
12'
e
KKL
KK
sa
sa