Gaston Gaston LagRafLagRaf arrive,arrive,Gaston Gaston LagRafLagRaf arrive,arrive,Faites Graphe Faites Graphe àà vous!vous!
pour dpour déécouvrir la couvrir la
ththééorie des graphesorie des graphes7 d7 dééfisfis
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
7 Défis7 Défis1.1. Les bisesLes bises
2.2.Le ballon de footLe ballon de foot
3.3.La carte de gLa carte de gééoo 5.5. Le dessinLe dessin
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
3.3.La carte de gLa carte de gééoo
4.4.Les dominosLes dominos
5.5. Le dessinLe dessin
6.6. PlatonPlaton
7.7. Le circuitLe circuit
8.8. ........
Défi nDéfi n°°°°°°°°11En Belgique, on ne se fait qu’une fois la bise, en, France,
2, 3, 4 fois, cela dépend de…heu,
1.1. Les bisesLes bises
2.2. Le ballon de footLe ballon de foot
3.3. La carte de gLa carte de gééoo
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
dépend de…heu, bref, le nombre de personnes qui ont
habité la terre et qui ont donné un
nombre impair de bises est-il pair ou
impair ?
3.3. La carte de gLa carte de gééoo
4.4. Les dominosLes dominos
5.5. Le dessinLe dessin
6.6. PlatonPlaton
7.7. Le circuitLe circuit
ModélisationModélisation
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
SommetAdjacents
Ordre
VocabulaireVocabulaire
8
1
9
5
VocabulaireVocabulaire
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
IsoléPendant
9
7
6
4
32
10
ArêteDegré
VocabulaireVocabulaire
d(x5)=48
1
9
5
VocabulaireVocabulaire
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
9
7
6
4
32
10
Différents types de graphesDifférents types de graphes
Graphe simple
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Multi-graphe
Différents types de graphesDifférents types de graphes
Graphe connexe
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Graphe non connexe
Différents types de graphesDifférents types de graphes
Graphe complets1 2
2
K2
K3
K
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
13
1
2
34
1
2
3
4
5
K3
K4
K5
Différents types de graphesDifférents types de graphes
1 2
3 4
5 6
Graphe bipartite
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
71 2
3 4
5
Graphe bipartite complet ( K2,3)
La somme des degrés des sommets d’un graphe est égale à deux fois son nombre d’arêtes.
∑ d(x) = 2 A5
5
Deux propriétésDeux propriétés
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
12
2
33
4
4
6
6
7 78
8
Le nombre de sommets de degré impaird'un graphe est pair.
5
5
Deux propriétésDeux propriétés
Σd(x)=2A
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
12
2
33
4
4
6
6
7 78
8
Σd(x)=2A Σd(x)= Σdi(x)+ Σdp(x)
pairs
ProblèmeProblème concretconcret
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
?
Défi nDéfi n°°°°°°°°22
Le ballon de football est un polyèdre dont toutes les faces sont
des hexagones ou
1.1. Les bisesLes bises
2.2. Le ballon de Le ballon de
footfoot
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
des hexagones ou pentagones réguliers.
Sans les compter, combien y a-t-il de
pentagones et d'hexagones?
footfoot
3.3. La carte de gLa carte de gééoo
4.4. Les dominosLes dominos
5.5. Le dessinLe dessin
6.6. PlatonPlaton
7.7. Le circuitLe circuit
H HP
ModélisationModélisation
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
H H
HH
HH
H
H
P
PP
PP
Qu’est-ce qu’un graphe planaire?
1 2
1 2
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
3
4 5
3
4 5
Qu’est-ce qu’un graphe planaire?
1 2
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
3
4 5
Qu’est-ce qu’un graphe planaire?
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Non planaires
2
6
C
Face ou régionFace ou région
Faces
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
3
4 5
A B
S – A + F = 2
Formule Formule d'Eulerd'Euler
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
A
B C
D
• S = nombre de sommets
• A = nombre d'arêtes • F = nombre de faces
Résolution de notre Résolution de notre problème.problème.
Nombre d'arêtes =2
P5H6 +
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Nombre de sommets =
Nombre de faces =
3P5H6 +
P+H
S – A + F = 2
P5H6 +P5H6 + P+H- + = 2
Résolution de notre Résolution de notre problème.problème.
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
2P5H6 +
3P5H6 + P+H- + = 2
P = 12P = 12
Une autre relation intéressante
5P = 3H5P = 3H
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
5P = 3H5P = 3H
12
Solution
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
20
Critères de planaritéCritères de planarité
Y a-t-il un moyen de déterminer si une
représentation de graphe est celle d’un graphe
planaire ?
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
planaire ?
Graphe planaire →→→→ sous -graphes planaires
sous-graphes non planaires →→→→ Graphe non planaireRéciproque fausse!
Théorème admisThéorème admis
Soit G un graphe planaire et connexe avec n ����3 sommets .
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
avec n ����3 sommets . Alors G contient au plus 3n − 6 arêtes .
Tout graphe acyclique Tout graphe acyclique est planaireest planaire
2
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1 3
45
6
Les graphes complets Les graphes complets sont ...sont ...
2
• Planaires jusqu'à l'ordre 4 :
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
13
1
2
34
• Non planaire à partir de l'ordre 5:
4
Les graphes complets Les graphes complets sont ...sont ...
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
2
3
5
• De type K1,n sont planaires :
3
Les graphes bipartites Les graphes bipartites complets... complets...
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
2
3
45
6
7
• De type K2,n sont planaires :
12
3
3
Les graphes bipartites Les graphes bipartites complets ... complets ...
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
4
12
4
56
36
Les graphes bipartites... Les graphes bipartites... Les graphes bipartites Les graphes bipartites
completscomplets ……
de type Kde type K3,33,3 ne sont pas planaires.ne sont pas planaires.
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
2
4
5
36
Les graphes bipartites... Les graphes bipartites... Les graphes bipartites …Les graphes bipartites …
Pourtant, ses sousPourtant, ses sous--graphes le sont!graphes le sont!
4
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
2
4
5
12
3
5
6
ConséquenceConséquence
36 4
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
2
4
5
1
2
3
5
Pas suffisantPas suffisant
4
7 8 4
expansion
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
2
3
5
6 9
10
1
2
3
5
Théorème de KuratowskiThéorème de Kuratowski
Un graphe fini est planaire si et seulement
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Un graphe fini est planaire si et seulement s'il ne contient pas de sous-graphequi soit une expansion de K5 ou K3,3
Défi nDéfi n°°°°°°°°33Combien de couleurs au
minimum faut-il pour colorer
chaque pays de la
1.1. Les bisesLes bises
2.2. Le ballon de footLe ballon de foot
3.3. La carte de La carte de
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
chaque pays de la carte d’Europe de telle sorte que 2 pays voisins ne soient pas de la même couleur ?
ggééoo
4.4. Les dominosLes dominos
5.5. Le dessinLe dessin
6.6. PlatonPlaton
7.7. Le circuitLe circuit
ModélisationModélisation
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Coloration d’un grapheColoration d’un graphe
Graphe planaire
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
ColorationColoration
B O
M
B O
M
B O
O
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
O BR V O B
5 couleurs 3 couleurs suffisent
Coloration incorrecte
nombre chromatique χ(G)
Nombre chromatique de Nombre chromatique de graphes complets Kgraphes complets Knn
3 χχχχ=nVoici K4χ=4
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
2
4
cycle élémentaire cycle élémentaire
1 3
4
4
Nbre pair de sommets� χ=2
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
25
1
2
3
4
Nbre impair de sommets� χ=3
…
Étape 1Étape 1 Attribuer à chaque sommet du graphe un nombre.Attribuer à chaque sommet du graphe un nombre.
L’algorithme de Welsh et Powell.
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
Repérer le degré de Repérer le degré de
chaque sommet.chaque sommet.
Sommets Degrés
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
3
5
4
6
2
4
4
1
2
Étape 2Étape 2
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
4
8
3
2
0
1
4
1
Classer les sommets du graphe dans Classer les sommets du graphe dans
l’ordre décroissant de leur degrél’ordre décroissant de leur degré
Degré Sommets
8 S10
5 S6
5 S3
4 S5
4 S8
4 S15
4 S9
3 S4
Étape 3Étape 3
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
3 S4
3 S11
2 S2
2 S7
2 S12
1 S1
1 S14
1 S16
0 S13
Degrés Sommets Couleurs
8 S10
5 S6
5 S3
4 S5
4 S8
4 S15
4 S9
3 S4
Étape 4Étape 4Attribution des couleursAttribution des couleurs
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
3 S4
3 S11
2 S2
2 S7
2 S12
1 S1
1 S14
1 S16
0 S13
Voici le résultat:Voici le résultat:
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Théorème des Théorème des 44 couleurscouleurs
Tout graphe planaire est
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Tout graphe planaire estcoloriable en 4 couleurs.
AutresAutres applicationsapplications dede lalacolorationcoloration dede graphesgraphes
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Défi nDéfi n°°°°°°°°44
Est-il possible d’aligner toutes
1.1. Les bisesLes bises
2.2. Le ballon de footLe ballon de foot
3.3. La carte de gLa carte de gééoo
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
d’aligner toutes les pièces d’un
domino en respectant la continuité ?
4.4. Les dominosLes dominos
5.5. Le dessinLe dessin
6.6. PlatonPlaton
7.7. Le circuitLe circuit
: sommets 0, 1, …, 6
: arête
ModélisationModélisation
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
13
3
4
4cycle eulcycle euléérienrien
K7
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
2
25
5
66 70
cycle 1
12
2
36
Graphe eulérienGraphe eulérien
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
3
4
45
5
6
1
12
2
36
Graphe eulérienGraphe eulérien
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
cycle eulérien
3
4
45
5
6
Léonhard Euler (1707-1783)
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Un graphe simple connexe G=(X ,A) est eulérien si et
Théorème d’EulerThéorème d’Euler
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
G=(X ,A) est eulérien si et
seulement si tous ses sommets
sont de degré pair.
∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ X, d(x) est pair.
1
13
3
4
4
d(x)=6 → pair
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
2
25
5
66 70
5
6
7 5
6
7
cycle c1 cycle c2
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
cycle c1 cycle c2 cycle c3
1
2
3
4
0 -1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 0
cycle c1
cycle c2
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
0 – 1 – 3 – 6 – 2 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 0
cycle c2
3 4
6
d(x)=5 → impair
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
2 5
Défi nDéfi n°°°°°°°°55
Est-il possible de tracer ces figures sans lever le crayon et sans repasser
1.1. Les bisesLes bises
2.2. Le ballon de footLe ballon de foot
3.3. La carte de gLa carte de gééoo
5.5. Le dessinLe dessin
6.6. PlatonPlaton
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
deux fois par le même trait ?
4.4. Les dominosLes dominos 7.7. Le circuitLe circuit
Extension Extension du théorème ddu théorème d’’’’’’’’EulerEuler
Degrés impairs
Degrés impairs
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
12
2
3
34
4
5 5
Degrés impairs
Degrés pairs
Degrés pairs
ThéorèmeThéorème
Un graphe simple est semi-eulérien ssi
au plus 2 de ses sommets sont de degré impair.
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
sont de degré impair.
DessinonsDessinons
1
12
2
3
34
4
5 5
1
12
2
3
34
4
5 5
1 2
34
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
2 3
5
4
3 43 4
1
2
3
DessinonsDessinons
1
12
2
3
34
5 5
6
1
12
2
3
34
5 5
6
1 2
34
1 2
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
51
6
2
43
3 463 46
34
1
2 3
les 7 ponts de les 7 ponts de KönigsbergKönigsberg
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Défi nDéfi n°°°°°°°°66Une fourmi se
ballade sur des polyèdres
platoniciens. Existe -t-il un chemin
1.1. Les bisesLes bises
2.2. Le ballon de footLe ballon de foot
3.3. La carte de gLa carte de gééoo
4.4. Les dominosLes dominos
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Existe -t-il un chemin qui lui permette de
visiter une seule fois chaque sommet ?
4.4. Les dominosLes dominos
5.5. Le dessinLe dessin
6.6. PlatonPlaton
7.7. Le circuitLe circuit
DéfinitionDéfinition
o Polyèdre
polyèdre polyèdre
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
o Convexe
o Régulier
polyèdre polyèdre platonicienplatonicien
Il en existe 5Il en existe 5Le cube Le tétraèdre L’octaèdre
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Le dodécaèdre L’icosaèdre
Le cubeLe cube
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
�
Le tétraèdreLe tétraèdre
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
�
L’octaèdreL’octaèdre
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
�
Le dodécaèdreLe dodécaèdre
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
�
L’icosaèdreL’icosaèdre
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
�
Cycle HamiltonienCycle Hamiltonien
1 2
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
34
Propriété nPropriété n°°11
Un graphe possédant un sommet de degré 1 ne peut être hamiltonien.
1
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
2
3
4
5
6
Propriété nPropriété n°°22
Si un sommet dans un graphe est de degré 2, alors, les deux arêtes incidentes à ce sommet doivent faire partie du cycle hamiltonien.
1
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
hamiltonien. 1
2
3
4
5
Propriété nPropriété n°°33
Les graphes complets Kn sont hamiltonienslorsque n est supérieur à 3.
2
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1
2
3
45
Autres propriétésAutres propriétés
Théorème d’Ore d(x) + d(y) ≥n
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Corolaire de Diracd(x) ≥n/2
Conditions suffisantesConditions suffisantes
Mais non
nécessaires !
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1 2
3
45
Pas completPas OrePas Dirac
Le cubeLe cube
78
Ne répond à aucune propriété.
Pourtant, voici un cycle hamiltonien:
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1 2
3 4
5 6
Le tétraèdreLe tétraèdre
Graphe de type K4
Voici un cycle hamiltonien:
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
L’octaèdreL’octaèdre
Ore � Pour tout x, y , d(x)+d(y)=8>6
1Voici un cycle hamiltonien:
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
2 3
4 56
Le dodécaèdreLe dodécaèdre
Ne répond à aucun critère.
Pourtant, voici un cycle hamiltonien:
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
L’icosaèdreL’icosaèdre
Ne répond à aucun critère.
Pourtant, voici un cycle hamiltonien:
1
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
2 3
4
5
67
8 9
10
11
12
La course du cavalierLa course du cavalier
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Il y a des millions de solutions!
Euler et la symétrieEuler et la symétrie
37 62 43 56 35 60 41 50
44 55 36 61 42 19 34 59
63 38 53 46 57 40 51 48
≠ → 32
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
54 45 64 39 52 47 58 33
1 26 15 20 7 32 13 22
16 19 8 25 14 21 6 31
27 2 17 10 29 4 23 12
18 9 28 3 24 11 30 5
≠ → 32
Carrés semiCarrés semi--magiquesmagiques
1 30 47 52 5 28 43 54
48 51 2 29 44 53 6 27
31 46 49 4 25 8 55 42
50 3 32 45 56 41 26 7
260
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
50 3 32 45 56 41 26 7
33 62 15 20 9 24 39 58
16 19 34 61 40 57 10 23
63 14 17 36 21 12 59 38
18 35 64 13 60 37 22 11
260
130
130
Et tout cela grâce à Et tout cela grâce à Hamilton!Hamilton!
L’L’icosianicosian gamegame
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
William Rowan Hamilton
Aujourd’hui encore, la Aujourd’hui encore, la théorie des graphes théorie des graphes hamiltonienshamiltoniens n’a pas n’a pas
été percée à jour et les été percée à jour et les
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
été percée à jour et les été percée à jour et les recherches continuent recherches continuent
toujours dans ce toujours dans ce domaine.domaine.
Défi nDéfi n°°°°°°°°77Un parcours de santé est aménagé pour les sportifs dans le parc de la ville. Il
est composé de chemins en sens unique, et de repères
tous distants de 500
1.1. Les bisesLes bises
2.2. Le ballon de footLe ballon de foot
3.3. La carte de gLa carte de gééoo
4.4. Les dominosLes dominos
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
tous distants de 500 mètres, comme indiqué sur
la figure ci-contre. Tout trajet commence en S1 et
se termine en S4. Combien y a-t-il de trajets
différents de 1.5 Km ? 2.0 Km ? 2.5 Km ?
4.4. Les dominosLes dominos
5.5. Le dessinLe dessin
6.6. PlatonPlaton
7.7.Le circuitLe circuit
ModélisationModélisation
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
arêtes à sens unique!
DiDi--graphegraphe
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
1010
Matrice d’adjacenceMatrice d’adjacence
S1 S2 S3 S4
S
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
M.=M.=M.=M.=
0110
1010
1000
1010 S1
S2
S3
S4
ThéorèmeThéorème
Soit G(X,A), un digraphe, avec X = {x1; x2 : : : ;xn}
de matrice d’adjacence M(G) =(mi,j).Notons Mk=(m(k)i,j )
Alors m vaut
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Alors m(k)i,j vaut
le nombre de chemins de longueur k, différents, allant du sommet xi au sommet xj .
2010
2120
Résolution du problèmeRésolution du problème
Trajets différents de 1.5 Km de l’entrée S 1 à la sortie S 4 ?
S1 S2 S3 S4
S1
S
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
M.M.M.M.3333====
1220
2120
2010
Chemins de 500 m
S2
S3
S4
Résolution du problèmeRésolution du problème
Trajets différents de 2 Km de l’entrée S 1 à la sortie S 4 ?
2120S1 S2 S3 S4
S1
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Chemins de 500 m
M.M.M.M.4444====
1120
1210
2010
2120 S1
S2
S3
S4
Résolution du problèmeRésolution du problème
Trajets différents de 2,5 Km de l’entrée S 1 à la sortie S 4 ?
3230
S1 S2 S3 S4
S1
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Chemins de 500 m
3120
3230
3220
3230
M.M.M.M.5555====S2
S3
S4
Un dernier problèmeUn dernier problème
Le plus court cheminLe plus court chemin
Le voyageur de Le voyageur de
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Le voyageur de Le voyageur de
commercecommerce
H F
Le plus court cheminLe plus court chemin
2
10
41
poidspoids
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
D A
B
D C A
E
2
1
1
3
6
12
73
1
OptimiserOptimisertempstempsdistancedistance coûtcoût
Algorithme de DijkstraAlgorithme de Dijkstra
GloutonGlouton
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Edsger Wybe Dijkstra (1930-2002)
GloutonGlouton
Affecter la valeur de
poids 0 au sommet αααα
Affecter la valeur P=∞∞∞∞aux autres sommets
Sélectionner le sommet X
non encore sélectionné
de poids minimumY a-t-il d’autres
Non
Oui
Y a-t-il des sommets X non sélectionnés?
Oui
Pour tout sommet Y adjacent à X,
calculer p=poids de X+poids de l’arête X-Y
P > pAffecter la valeur
de p à P
Choisir un sommet Y non sélectionné
Y a-t-il d’autres
sommets Y
adjacents à X?
Non Oui
Oui
La plus courte chaîne de αααα à ωωωω est obtenue
en écrivant de droite à gauche le chemin partant de ωωωω
Non
Le plus court cheminLe plus court chemin
H
D C
F
2
2
1
10
6 4
3
H
D C
F
2
2
1
10
6 4
3
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
B
D C A
E
1
2
1
12
37
3
B
D C A
E
1
2
1
12
37
3
0000
∞∞∞∞
∞∞∞∞
Le plus court cheminLe plus court chemin
H F
2 1
10
6 4
H F
2 1
10
6 4
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞2222DDDD
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
B
D C A
E
1
2
1
12
37
3
B
D C A
E
1
2
1
12
37
3
0000
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞1111DDDD
Le plus court cheminLe plus court chemin
H F
2 1
10
6 4
H F
2 1
10
6 4
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
2222DDDD
4444BBBB
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
B
D C A
E
1
2
1
12
3
6
7
3
B
D C A
E
1
2
1
12
3
6
7
3
0000
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
1111DDDD
4444BBBB
13131313BBBB
Le plus court cheminLe plus court chemin
H F
2 1
10
6 4
H F
2 1
10
6 4
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
2222DDDD
4444BBBB3333HHHH
12121212HHHH
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
B
D C A
E
1
2
1
12
37
3
B
D C A
E
1
2
1
12
37
3
0000
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
1111DDDD
4444BBBB
13131313BBBB
3333HHHH
Le plus court cheminLe plus court chemin
H F
2 1
10
6 4
H F
2 1
10
6 4
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
2222DDDD
4444BBBB3333HHHH
12121212HHHH9999CCCC
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
B
D C A
E
1
2
1
12
37
3
B
D C A
E
1
2
1
12
37
3
0000
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
1111DDDD13131313BBBB10101010CCCC
Le plus court cheminLe plus court chemin
H F
2 1
10
6 4
H F
2 1
10
6 4
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
2222DDDD
4444BBBB3333HHHH
12121212HHHH9999CCCC
13131313FFFF
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
B
D C A
E
1
2
1
12
3
6
7
4
3
B
D C A
E
1
2
1
12
3
6
7
4
3
0000
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
1111DDDD
4444BBBB
13131313BBBB
3333HHHH
10101010CCCC
13131313FFFF
Le plus court cheminLe plus court chemin
H
D C
F
2
2
1
10
6 4
3
H
D C
F
2
2
1
10
6 4
3
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
∞∞∞∞
2222DDDD
4444BBBB3333HHHH
12121212HHHH9999CCCC
13131313FFFF11111111EEEE
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
B
D C A
E
1
2
1
12
37
3
B
D C A
E
1
2
1
12
37
3
0000
∞∞∞∞
∞∞∞∞
1111DDDD13131313BBBB10101010CCCC
E ACHD
Traveling Salesman Problem ou TSP
1) Par tous les points d’un parcours,
Le voyageur de commerce
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
d’un parcours,
2) Sans passer deux fois au même endroit,
3) Par le trajet le plus court.
N villes reliées entre elles
Ville départ →→→→n-1 chemins
Traitement en1 ns
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Ville départ →→→→n-1 cheminsEtape 2 →→→→n-2 chemins
…(n-1)!/2
Nombre de villes n
Nombre de trajets
Temps de traitement
Traitement en1 ns
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
10 (9!) / 2 = 181 440 1,8.10-4 s
100(99!) / 2
= 4,7.10155
4,7.10146 s
Soit environ 4,7.10139 années
$$ $$
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
$$ $$
En conclusionEn conclusion
• Claude BERGE
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
• Claude BERGE• Le « père » de la
théorie moderne des graphes.
En conclusionEn conclusion
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
En conclusionEn conclusion
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
En conclusionEn conclusion
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
En conclusionEn conclusion
ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
Logiciel
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ThThééorie des graphes ISL Marcheorie des graphes ISL Marche--enen--FamenneFamenne
– Coloration– Chemin eulérien– Chemin le plus court– …