Table des matières
4 Intégrales généralisées 2
4.1 Dé�nitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4.1.1 Intégrales impropres à gauche ou à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4.1.2 Quatre résultats élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.1.3 Extensions des dé�nitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Critères de convergence et de divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.1 Les critères au programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.2 Deux critères hors-programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1
Chapitre 4
Intégrales généralisées
Dans ce chapitre nous allons nous intéresser à l'intégrale d'une fonction sur un intervalle semi-
ouvert ou ouvert. Nous allons voir que les analogies avec les séries numériques sont nombreuses,
pour aider le lecteur à identi�er ces liens nous reprenons la structure de ce chapitre.
4.1 Dé�nitions et premières propriétés
4.1.1 Intégrales impropres à gauche ou à droite
Dé�nition 4.1.1 (intégrale impropre à droite)
Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soit f une fonction continue
sur [a, b[.
• On dit que l'intégrale généralisée (ou impropre)
∫ →ba
f(t) dt converge si et seulement si la
fonction F : [a, b[ −→ R
x 7−→∫ x
af(t) dt
admet une limite �nie en b.
Lorsque c'est le cas, cette limite est notée
∫ b
af(t) dt et est appelée intégrale impropre de f
sur [a, b[.
• On dit que l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt diverge si et seulement si elle ne converge pas.
Remarque 4.1.2
• Une intégrale impropre n'est pas une intégrale au sens qui était celui du cours de première
année : c'est une limite.
• Déterminer la nature d'une intégrale impropre consiste à déterminer si cette intégrale
impropre est convergente ou divergente.
• Nous utiliserons dans le cours la notation
∫ →ba
f(t) dt. Cette notation est souvent remplacée
par
∫ b
af(t) dt : dans ce cas il convient de déterminer si
∫ b
af(t) dt est bien dé�nie ou non,
c'est à dire la nature de l'intégrale impropre.
Remarquons que si f est une fonction continue sur un intervalle [a, b], le réel
∫ b
af(t) dt peut
être vu de deux manières : comme F (b)− F (a) où F désigne une primitive quelconque de f sur
2
[a, b] mais aussi comme la limite de
∫ x
af(t) dt lorsque x tend vers b par valeurs inférieures. La
proposition suivante montre qu'il n'y a pas d'incohérence :
Proposition 4.1.3
Soient a et b deux réels tels que a < b. Soit f une fonction continue sur [a, b].
On a :
limx→ b
x < b
∫ x
af(t) dt =
∫ b
af(t) dt.
Démonstration :
La fonction f est continue sur [a, b] donc est bornée (sur [a, b]). Soit M un réel tel que, pour tout x de [a, b],
|f(x)| ≤M .
Pour tout x de [a, b[, on a :∣∣∣∣∫ b
a
f(t)dt−∫ x
a
f(t) dt
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∫ b
x
f(t) dt
∣∣∣∣ (d'après la relation de Chasles)
≤∫ b
x
|f(t)| dt
≤∫ b
x
M dt (pour tout x de [a, b], |f(x)| ≤M)
= M (b− x).
On a limx→ b
x < b
M (b− x) = 0, d'où, par encadrement : limx→ b
x < b
∣∣∣∣∫ b
a
f(t)dt−∫ x
a
f(t)dt
∣∣∣∣ = 0 et donc :
limx→ b
x < b
∫ x
a
f(t)dt =
∫ b
a
f(t)dt.
Proposition 4.1.4
Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soit f une fonction continue
sur [a, b[.
Si f est positive sur [a, b[ et que l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt converge, on a :
0 ≤∫ b
af(t) dt.
Démonstration :
La fonction f est continue sur [a, b[ donc admet des primitives sur [a, b[. Soit F l'une d'elles.
Pour tout x de [a, b[, on a : ∫ x
a
f(t) dt = F (x)− F (a).
Comme F est de dérivée f qui est positive sur [a, b[, la fonction F est croissante. Ainsi, pour tout x de [a, b[,
on a F (x)− F (a) ≥ 0 (⇐⇒ F (a) ≤ F (x)).
D'où : ∫ b
a
f(t) dt = limx→ b
x < b
∫ x
a
f(t)dt = limx→ b
x < b
F (x)− F (a) ≥ 0.
3
Exercice 1
Exercice 1 de la feuille d'exercices distribuée.
Exemple 4.1.5 (Exemple de Riemann en +∞)
Soit α un réel. D'après l'exercice précédent, l'intégrale impropre
∫ →+∞
1
1
xαdx converge si
et seulement si α > 1.
Remarque 4.1.6
Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soit f une fonction continue
sur [a, b[.
Puisque l'intégrale impropre
∫ b
af(t) dt est par dé�nition une limite (et pas l'intégrale d'une
fonction continue sur un segment), nous ne pouvons pas appliquer de changement de variable
ou d'intégration par parties directement à cette intégrale. Nous pouvons en revanche e�ectuer
ces manipulations aux intégrales
∫ x
af(t) dt (pour tout x de [a, b[), comme nous l'avons vu
dans l'exercice précédent.
Dé�nition 4.1.7 (intégrale impropre à gauche)
Soit b un réel. Soit a un réel strictement inférieur à b ou −∞. Soit f une fonction continue
sur ]a, b].
• On dit que l'intégrale impropre
∫ b
→af(t) dt converge si et seulement si la fonction
F : ]a, b] −→ R
x 7−→∫ b
xf(t) dt
admet une limite �nie en a.
Lorsque c'est le cas, cette limite est notée
∫ b
af(t) dt et est appelée intégrale impropre de f
sur ]a, b].
• On dit que l'intégrale impropre
∫ b
→af(t) dt diverge si et seulement si elle ne converge pas.
Remarque 4.1.8
• Là encore la notation
∫ b
af(t) dt (à la place de
∫ b
→af(t) dt) est plus courante mais plus
ambigüe.
• On montre facilement que la proposition (4.1.3) a son analogue �à gauche�. La dé�nition
précédente n'entraîne donc pas d'incohérence.
Exercice 2
Exercice 2 de la feuille d'exercices distribuée.
Exemple 4.1.9 (Exemple de Riemann en 0)
Soit α un réel. D'après l'exercice précédent, l'intégrale impropre
∫ 1
→0
1
xαdx converge si et
seulement si α < 1.
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4.1.2 Quatre résultats élémentaires
Proposition 4.1.10 (intégration par parties pour les intégrales impropres)
Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soient f et g deux fonctions
de classe C 1 sur [a, b[.
On a les résultats suivants :
• Si la fonction fg admet une limite �nie en b par valeurs inférieures alors les intégrales
impropres
∫ →ba
f(t)g′(t) dt et
∫ →ba
f ′(t)g(t) dt sont de même nature.
• Si de plus les intégrales convergent, on a l'égalité :∫ b
af(t)g′(t) dt = lim
x→ b
x < b
[f(t)g(t)]ba +
∫ b
af ′(t)g(t) dt.
Démonstration de la proposition :
• ◦ Supposons que la fonction fg admet une limite �nie en b par valeurs inférieures et que l'intégrale impropre∫ →ba
f ′(t)g(t)dt converge et montrons que l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t)g′(t) dt converge.
Pour tout x de [a, b[, on a, par intégration par parties :∫ x
a
f(t)g′(t) dt = f(x)g(x)− f(a)g(a) +∫ x
a
f ′(t)g(t) dt. (∗)
Comme l'intégrale impropre
∫ →ba
f ′(t)g(t)dt converge,
∫ x
a
f ′(t)g(t)dt admet une limite (�nie) lorsque x tend
vers b par valeurs inférieures. De plus, la fonction fg admet une limite �nie en b par valeurs inférieures donc le
membre de droite de l'égalité (∗) admet une limite �nie lorsque x tend vers b par valeurs inférieures. On en déduit
que
∫ x
a
f(t)g′(t) dt admet une limite (�nie) lorsque x tend vers b par valeurs inférieures c'est à dire que l'intégrale
impropre
∫ →ba
f(t)g′(t) dt converge.
◦ Le travail pour établir la réciproque est analogue : il su�t d'inverser les rôles de f et g.
• Par hypothèse, les intégrales
∫ →ba
f(t)g′(t) dt et
∫ →ba
f ′(t)g(t) dt convergent donc :
limx→ b
x < b
∫ x
a
f(t)g′(t) dt =
∫ b
a
f(t)g′(t) dt et limx→ b
x < b
∫ x
a
f ′(t)g(t) dt =
∫ b
a
f ′(t)g(t) dt.
D'où le résultat en passant à la limite dans l'égalité (∗).
Remarque 4.1.11
• Bien entendu, la proposition précédente a son analogue �à gauche�.
• En pratique, on n'utilise que rarement ce résultat directement : on reprend le raisonnement
de la démonstration dans le cas particulier considéré.
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Proposition 4.1.12 (changement de variable pour les intégrales impropres)
Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soient f une fonction continue
sur [a, b[ et ϕ une fonction de classe C 1 strictement monotone sur [a, b[.
On a les résultats suivants :
• Si la fonction f est continue sur l'intervalle d'extrémités α = ϕ(a) et β = limt→ b
t < b
ϕ(t)
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(fermé en α et ouvert en β) alors les intégrales impropres
∫ →ba
f (ϕ(t))ϕ′(t) dt et
∫ →βα
f(x) dx
sont de même nature.
• Si de plus les intégrales convergent, on a l'égalité :∫ b
af (ϕ(t))ϕ′(t) dt =
∫ β
αf(x) dx.
Démonstration de la proposition :
• On traite le cas ϕ strictement croissante (le cas où ϕ est strictement décroissante est laissée au lecteur). Le
tableau de variation de ϕ est alors le suivant :
x a b
ϕ(x)
α
���
�
β
Le théorème de la bijection assure que le tableau de variation de ϕ−1 est le suivant :
x α β
ϕ−1(x)
a
���
�
b
Supposons que la fonction f est continue sur l'intervalle d'extrémités α = ϕ(a) et β = limt→ b
t < b
ϕ(t) (fermé en α
et ouvert en β).
La fonction f est continue sur [a, b[ donc admet des primitives. Soit F l'une d'elles. La fonction F ◦ ϕ est de
dérivée ϕ′ × f ◦ ϕ, d'où, pour tout y de [a, b[ :∫ y
a
f (ϕ(t))ϕ′(t) dt = [F (ϕ(t))]ya =
∫ ϕ(y)
ϕ(a)
f(x) dx =
∫ ϕ(y)
α
f(x) dx
◦ Supposons que l'intégrale impropre
∫ →ba
f (ϕ(t))ϕ′(t) dt converge.
Par bijectivité de ϕ, l'égalité précédente peut se réécrire : pour tout z de [α, β[, on a :∫ ϕ−1(z)
a
f (ϕ(t))ϕ′(t) dt =
∫ z
α
f(x) dx.
Remarquons que lorsque z tend vers β par valeurs inférieures, ϕ−1(z) tend vers b par valeurs inférieurs. Or,
par hypothèse,
∫ y
a
f (ϕ(t))ϕ′(t) dt admet une limite �nie lorsque y tend vers b par valeurs inférieures donc∫ ϕ−1(z)
a
f (ϕ(t))ϕ′(t) dt admet une limite lorsque z tend vers β par valeurs inférieures. Ainsi, avec l'égalité pré-
cédente, on en déduit que
∫ z
α
f(x)dx admet une limite �nie lorsque z tend vers β par valeurs inférieures, c'est à
dire que l'intégrale impropre
∫ →βα
f(x) dx converge.
◦ Supposons que l'intégrale impropre
∫ →βα
f(x)dt converge. On a vu plus haut que pour tout y de [a, b[,
on a : ∫ y
a
f (ϕ(t))ϕ′(t) dt =
∫ ϕ(y)
α
f(x)dx.
Remarquons que lorsque y tend vers b par valeurs inférieures, ϕ(y) tend vers β par valeurs inférieurs. Or, par
hypothèse,
∫ z
α
f(x) dx admet une limite �nie lorsque z tend vers β par valeurs inférieures donc
∫ ϕ(y)
α
f(x) dx
7
admet une limite lorsque y tend vers b par valeurs inférieures. Ainsi, avec l'égalité précédente, on en déduit que∫ y
a
f (ϕ(t))ϕ′(t)dt admet une limite �nie lorsque y tend vers b par valeurs inférieures, c'est à dire que l'intégrale
impropre
∫ →ba
f (ϕ(t))ϕ′(t)dt converge.
• On a vu plus haut que pour tout y de [a, b[, on a :∫ y
a
f (ϕ(t))ϕ′(t) dt =
∫ ϕ(y)
α
f(x)dx.
Par hypothèse, les intégrales
∫ →ba
f (ϕ(t))ϕ′(t) dt et
∫ →βα
f(x) dx convergent donc :
limy → b
y < b
f (ϕ(t))ϕ′(t) dt dt =
∫ b
a
f (ϕ(t))ϕ′(t)dt et limz → β
z < β
∫ z
α
f(x)dt =
∫ β
α
f(x)dt.
Comme limy → b
y < b
ϕ(y) = β, on obtient le résultat en passant à la limite dans l'égalité précédente.
Remarque 4.1.13
• Bien entendu, la proposition précédente a son analogue �à gauche�.
• En pratique, on n'utilise que rarement ce résultat directement : on reprend le raisonnement
de la démonstration dans le cas particulier considéré.
Proposition 4.1.14 (linéarité des intégrales impropres)
Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soient f et g deux fonctions
continues sur [a, b[. Soit λ un réel. On suppose que les intégrales impropres
∫ →ba
f(t) dt et∫ →ba
g(t) dt convergent.
On a les résultats suivants :
• L'intégrale impropre
∫ →ba
(f(t) + g(t)) dt converge et on a :
∫ b
a(f(t) + g(t)) dt =
∫ b
af(t) dt+
∫ b
ag(t) dt.
• L'intégrale impropre
∫ →ba
(λf(t)) dt converge et on a :
∫ b
a(λf(t)) dt = λ
∫ b
af(t) dt.
Remarque 4.1.15
Bien entendu, la proposition précédente a son analogue �à gauche�.
Démonstration de la proposition :
• Pour tout x de [a, b[, on a : ∫ x
a
(f(t) + g(t)) dt =
∫ x
a
f(t) dt+
∫ x
a
g(t) dt. (∗)
Les intégrales impropres
∫ →ba
f(t) dt et
∫ →ba
g(t)dt sont convergentes par hypothèse. On en déduit que
∫ x
a
f(t)dt
et
∫ x
a
g(t) dt admettent une limite lorsque x tend vers b par valeurs inférieures. Ainsi
∫ x
a
(f(t) + g(t)) dt admet
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une limite lorsque x tend vers b par valeurs inférieures, donc l'intégrale impropre
∫ →ba
(f(t) + g(t)) dt converge.
De plus, en passant à la limite (lorsque x tend vers b par valeurs inférieures) dans l'égalité (∗), on obtient que
l'intégrale impropre de f + g sur [a, b[ est donnée par :∫ b
a
(f(t) + g(t)) dt =
∫ b
a
f(t)dt+
∫ b
a
g(t)dt.
• Pour tout x de [a, b[, on a : ∫ x
a
(λf(t)) dt = λ
∫ x
a
f(t)dt. (∗∗)
L'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt est convergente par hypothèse. On en déduit que
∫ x
a
f(t) dt admet une limite
lorsque x tend vers b par valeurs inférieures. Ainsi
∫ x
a
(λf(t)) dt admet une limite lorsque x tend vers b par
valeurs inférieures, donc l'intégrale impropre
∫ →ba
(λf(t)) dt converge. De plus, en passant à la limite (lorsque x
tend vers b par valeurs inférieures) dans l'égalité (∗∗), on obtient que l'intégrale impropre de λf sur [a, b[ est
donnée par : ∫ b
a
(λf(t)) dt = λ
∫ b
a
f(t) dt.
La proposition suivante montre que la nature d'une intégrale impropre est une caractéristique
locale :
Proposition 4.1.16 (relation de Chasles pour les intégrales impropres)
Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soient f une fonction continue
sur [a, b[ et c un réel appartenant à l'intervalle [a, b[.
On a les résultats suivants :
• L'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt converge si et seulement si l'intégrale impropre
∫ →bc
f(t) dt
converge.
• Lorsque les intégrales impropres
∫ →ba
f(t) dt et
∫ →bc
f(t) dt convergent, on a :
∫ b
af(t) dt =
∫ c
af(t) dt+
∫ b
cf(t) dt.
Remarque 4.1.17
Bien entendu, la proposition précédente a son analogue �à gauche�.
Démonstration de la proposition :
• ◦ Supposons que l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt converge et montrons que l'intégrale impropre
∫ →bc
f(t)dt
converge.
Pour tout x de [a, b[, on a : ∫ x
c
f(t)dt =
∫ a
c
f(t) dt+
∫ x
a
f(t)dt. (∗)
Comme l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt converge,
∫ x
a
f(t)dt admet une limite �nie lorsque x tend vers b par
valeurs inférieures. Avec (∗), on en déduit que
∫ x
c
f(t) dt admet une limite lorsque x tend vers b par valeurs
inférieures, et donc l'intégrale impropre
∫ →bc
f(t) dt converge.
◦ Supposons que l'intégrale impropre
∫ →bc
f(t)dt converge et montrons que l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t)dt
converge.
Pour tout x de [a, b[, on a : ∫ x
a
f(t) dt =
∫ c
a
f(t)dt+
∫ x
c
f(t) dt. (∗∗)
9
Comme l'intégrale impropre
∫ →bc
f(t) dt converge,
∫ x
c
f(t)dt admet une limite �nie lorsque x tend vers b par
valeurs inférieures. Avec (∗∗), on en déduit que
∫ x
a
f(t) dt admet une limite lorsque x tend vers b par valeurs
inférieures, et donc l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt converge.
• Pour tout x de [a, b[, on a : ∫ x
a
f(t) dt =
∫ c
a
f(t)dt+
∫ x
c
f(t) dt. (∗∗)
Les intégrales impropres
∫ →ba
f(t)dt et
∫ →bc
f(t)dt sont convergentes par hypothèse, on peut donc passer à la
limite (lorsque x tend vers b par valeurs inférieures) dans l'égalité (∗∗).On obtient ainsi :
limx→ b
x < b
∫ x
a
f(t) dt
︸ ︷︷ ︸=
∫ b
a
f(t) dt
(par dé�nition)
=
∫ c
a
f(t)dt+ limx→ b
x < b
∫ x
c
f(t) dt
︸ ︷︷ ︸=
∫ b
c
f(t) dt
(par dé�nition)
d'où le résultat.
4.1.3 Extensions des dé�nitons
Dé�nition-Proposition 4.1.18 (intégrale impropre à gauche et à droite)
Soit a un réel ou −∞. Soit b un réel ou +∞ (avec a < b dans le cas où a et b sont des réels).
Soit f une fonction continue sur ]a, b[.
• On dit que l'intégrale impropre
∫ →b→a
f(t) dt converge si et seulement si il existe un réel c
appartenant à ]a, b[ tel que les intégrales impropres
∫ c
→af(t) dt et
∫ →bc
f(t) dt convergent.
• Lorsque c'est le cas, le réel
∫ c
af(t) dt+
∫ b
cf(t) dt est appelé intégrale impropre de f sur
]a, b[ et est noté
∫ b
af(t) dt.
Démonstration :
Montrons que la dé�nition donnée est indépendante de c.
• Soient c et d deux réels appartenant à ]a, b[. D'après la relation de Chasles (cf proposition (4.1.16)) l'intégrale
impropre
∫ c
→af(t)dt converge si et seulement si l'intégrale impropre
∫ d
→af(t)dt converge. De même l'intégrale
impropre
∫ →bc
f(t) dt converge si et seulement si l'intégrale impropre
∫ →bd
f(t)dt converge. On en déduit que les
intégrales impropres
∫ c
→af(t)dt et
∫ →bc
f(t)dt convergent si et seulement si les intégrales impropres
∫ d
→af(t)dt
et
∫ →bd
f(t)dt convergent.
• Supposons que les intégrales impropres précédentes convergent. Pour tout couple (x, y) d'éléments de ]a, b[,
on a : ∫ c
x
f(t)dt+
∫ y
c
f(t) dt =
∫ d
x
f(t) dt+
∫ y
d
f(t) dt (∗)
En passant à la limite dans l'égalité (∗) lorsque x tend vers a par valeurs supérieures, on obtient, pour tout y de
]a, b[ : ∫ c
a
f(t) dt+
∫ y
c
f(t)dt =
∫ d
a
f(t) dt+
∫ y
d
f(t)dt
et donc en passant à la limite lorsque y tend vers b par valeurs inférieures :∫ c
a
f(t) dt+
∫ b
c
f(t)dt =
∫ d
a
f(t)dt+
∫ b
d
f(t) dt
10
d'où le résultat.
Exemple 4.1.19
Montrons que l'intégrale impropre
∫ →+∞
→−∞
1
1 + t2dt converge et déterminons
∫ +∞
−∞
1
1 + t2dt.
Pour tout x de [0,+∞[, on a :∫ x
0
1
1 + t2dt = [Arctan(t)]x0 = Arctan(x).
Comme limx→+∞
Arctan(x) =π
2, l'intégrale impropre
∫ →+∞
0
1
1 + t2dt converge et on a
∫ +∞
0
1
1 + t2dt =
π
2.
De même, pour tout y de ]−∞, 0], on a :∫ 0
y
1
1 + t2dt = [Arctan(t)]0y = −Arctan(y) −−−−→y→−∞
−(−π2
)=π
2.
Ainsi l'intégrale impropre
∫ 0
→−∞
1
1 + t2dt converge et on a
∫ 0
−∞
1
1 + t2dt =
π
2.
On en déduit que l'intégrale l'intégrale impropre
∫ →+∞
→−∞
1
1 + t2dt converge et que l'on a :
∫ +∞
−∞
1
1 + t2dt =
∫ 0
−∞
1
1 + t2dt+
∫ +∞
0
1
1 + t2dt = π.
On montre de la même façon la généralisation du changement de variable pour les intégrales
impropres suivante :
Proposition 4.1.20 (changement de variable pour les intégrales impropres bis)
Soit a un réel ou −∞. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soient f une fonction
continue ]a, b[ et ϕ une fonction de classe C 1 sur ]a, b[.
On a les résultats suivants :
• Si la fonction f est continue sur l'intervalle d'extrémités α = limt→ a
t > b
ϕ(t) et β = limt→ b
t < b
ϕ(t)
(ouvert en α et β) alors les intégrales impropres
∫ →b→a
f (ϕ(t))ϕ′(t) dt et
∫ →β→α
f(x) dx sont de
même nature.
• Si de plus les intégrales convergent, on a l'égalité :∫ b
af (ϕ(t))ϕ′(t) dt =
∫ β
αf(x) dx.
11
Dé�nition 4.1.21 (fonctions à ensemble de points de discontinuité �ni)
Soit a un réel ou −∞. Soit b un réel ou +∞ (avec a < b dans le cas où a et b sont des réels).
Soient n un élément de N∗ et a1, a2, . . ., an des réels tels que : a < a1 < a2 < . . . < an < b.
On pose a0 = a et an+1 = b. Soit f une fonction continue sur ]a, b[ sauf éventuellement en
les points a1, a2, . . ., an.
• On dit que l'intégrale impropre
∫ →b→a
f(t) dt converge si et seulement si, pour tout i de [[0, n]],
l'intégrale impropre
∫ →ai+1
→aif(t) dt converge.
• Lorsque c'est le cas, le réel
n∑i=0
∫ ai+1
ai
f(t) dt est appelé intégrale impropre de f sur ]a, b[ et
est noté
∫ b
af(t) dt.
Remarque 4.1.22
• La convergence de l'intégrale impropre
∫ →b→a
f(t) dt ne dépend pas de f(a1), f(a2), . . .,
f(an). En cas de convergence
∫ b
af(t) dt ne dépend pas non plus de ces réels.
• Dans le cas où f est continue par morceaux sur [a, b], on retrouve le résultat vu en première
année.
Exercice 3
Exercice 4 de la feuille d'exercices distribuée.
4.2 Critères de convergence et de divergence
Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soit f une fonction continue
sur [a, b[.
Lorsqu'on peut déterminer, pour tout x de [a, b[,
∫ x
af(t) dt, il est facile de déterminer la nature de
l'intégrale impropre
∫ →ba
f(x) dx : il su�t de déterminer si
∫ x
af(t) dt admet une limite lorsque x
tend vers b par valeurs inférieures ou non.
Dans cette partie nous allons voir que même lorsque l'on ne peut pas expliciter
∫ x
af(t) dt, on
dispose de résultats permettant de déterminer la nature de l'intégrale impropre
∫ →ba
f(x) dx (ces
résultats auront bien entendu leurs analogues �à gauche�).
4.2.1 Les critères au programme
Proposition 4.2.1
Soit a un réel. Soit f une fonction continue sur [a,+∞[.
On a l'implication suivante :
Si f admet une limite �nie l en +∞ et que l'intégrale impropre
∫ →+∞
af(t) dt converge alors
l = 0.
12
Démonstration :
Raisonnons par l'absurde. Supposons que f admette une limite �nie l non nullr en +∞ et que l'intégrale impropre∫ →+∞
a
f(t) dt converge.
• Cas l > 0. Puisque limx→+∞
f(x) = l, il existe un réel A tel que :
∀t ≥ A , f(t) ≥ l
2. (∗)
D'où, pour tout x de [A,+∞[ :∫ x
a
f(t)dt =
∫ A
a
f(t)dt+
∫ x
A
f(t) dt
≥∫ A
a
f(t)dt+
∫ x
A
l
2dt (d'après (∗))
=
∫ A
a
f(t)dt+l
2
∫ x
A
1dt
=
∫ A
a
f(t)dt+ (x−A) l2.
Commel
2> 0, on a lim
x→+∞(x−A) l
2= +∞. On en déduit, par comparaison :
limx→+∞
∫ x
a
f(t) dt = +∞
ce qui contredit la convergence de l'intégrale impropre
∫ →+∞
a
f(t)dt.
• Cas l < 0. La preuve est analogue. Puisque limx→+∞
f(x) = l, il existe un réel A tel que :
∀t ≥ A , f(t) ≤ l
2. (∗∗)
D'où, pour tout x de [A,+∞[ :∫ x
a
f(t) dt =
∫ A
a
f(t)dt+
∫ x
A
f(t) dt
≤∫ A
a
f(t)dt+
∫ x
A
l
2dt (d'après (∗∗))
=
∫ A
a
f(t)dt+l
2
∫ x
A
1dt
=
∫ A
a
f(t)dt+ (x−A) l2.
Commel
2< 0, on a lim
x→+∞(x−A) l
2= −∞. On en déduit, par comparaison :
limx→+∞
∫ x
a
f(t) dt = −∞
ce qui contredit la convergence de l'intégrale impropre
∫ →+∞
a
f(t) dt.
Finalement l = 0.
Remarque 4.2.2
• Les inégalités (∗) et (∗∗) sont claires graphiquement, on les obtient en choisissant un ε
bien adapté dans la dé�nition quanti�ée de limx→+∞
f(x) = l.
• La réciproque de cette proposition est fausse : l'intégrale impropre
∫ →+∞
1
1√tdt diverge
(cf exemple (4.1.5)) et limx→+∞
1√x= 0.
13
• Le lecteur pourra se convaincre à l'aide de l'exercice 5 de la feuille d'exercices que l'intégrale
impropre
∫ →+∞
af(t) dt peut être convergente sans que l'on ait lim
x→+∞f(x) = 0.
L'analogue à gauche de la proposition précédente est :
Proposition 4.2.3
Soit b un réel. Soit f une fonction continue sur ]−∞, b].On a l'implication suivante :
Si f admet une limite �nie l en −∞ et que l'intégrale impropre
∫ b
→−∞f(t) dt converge alors
l = 0.
Proposition 4.2.4 (intégrale faussement impropre)
Soient a et b deux réels tels que a < b. Soit f une fonction continue sur [a, b[ admettant une
limite �nie l en b.
On a les résultats suivants :
• L'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt converge.
• L'intégrale de f sur [a, b[ est donnée par :∫ b
af(t) dt =
∫ b
af̃(t) dt
où f̃ désigne le prolongement par continuité de f sur [a, b], c'est à dire la fonction :
f̃ : [a, b] −→ R
x 7−→
{f(x) si x ∈ [a, b[
l sinon.
Remarque 4.2.5
• Le résultat de cette proposition est clair graphiquement.
• Bien entendu, la proposition précédente a son analogue �à gauche�.
Démonstration de la proposition :
D'après la proposition (4.1.3), on a limx→ b
x < b
∫ x
a
f̃(t)dt =
∫ b
a
f̃(t) dt. Or, pour tout x de [a, b[,
∫ x
a
f̃(t)dt =
∫ x
a
f(t)dt
donc l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt converge et on a :
∫ b
a
f(t) dt = limx→ b
x < b
∫ x
a
f(t)dt =
∫ b
a
f̃(t)dt.
14
Proposition 4.2.6 (cas des fonctions paires ou impaires)
Soit a un réel strictement positif.
• Soit f une fonction continue et paire sur ]− a, a[.On a les résultats suivants :
◦ L'intégrale impropre
∫ →a→−a
f(t) dt converge si et seulement si l'intégrale impropre∫ →a0
f(t) dt converge.
◦ En cas de convergence, l'intégrale de f sur ]− a, a[ est donnée par :∫ a
−af(t) dt = 2
∫ a
0f(t) dt.
• Soit f une fonction continue et impaire sur ]− a, a[.On a les résultats suivants :
◦ L'intégrale impropre
∫ →a→−a
f(t) dt converge si et seulement si l'intégrale impropre∫ →a0
f(t) dt converge.
◦ En cas de convergence, l'intégrale de f sur ]− a, a[ est donnée par :∫ a
−af(t) dt = 0.
Démonstration :
• ◦ L'implication=⇒ découle immédiatement de la dé�nition-proposition (4.1.18). Montrons l'implication⇐=.
La fonction f étant paire, on a, pour tout x de ]− a, 0] :∫ 0
x
f(t) dt =
∫ −x0
f(t) dt.
Comme l'intégrale impropre
∫ →a0
f(t) dt converge on obtient :
limx→ −ax > −a
∫ 0
x
f(t) dt = limx→ −ax > −a
∫ −x0
f(t) dt = limy → a
y < a
∫ y
0
f(t) dt =
∫ a
0
f(t)dt.
Donc l'intégrale impropre
∫ 0
→−af(t)dt converge et donc l'intégrale impropre
∫ →a→−a
f(t) dt converge d'après la
dé�nition-proposition (4.1.18).
◦ On a :∫ a
−af(t) dt =
∫ 0
−af(t)dt+
∫ a
0
f(t) dt (d'après la dé�nition-proposition (4.1.18))
=
∫ a
0
f(t) dt+
∫ a
0
f(t)dt (d'après le point précédent)
= 2
∫ a
0
f(t)dt
d'où le résultat.
• La démonstration est tout à fait analogue à la précédente et est laissée au lecteur.
Exercice 4
Exercice 7 de la feuille d'exercices distribuée.
15
Théorème 4.2.7
Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soit f une fonction continue
et positive sur [a, b[.
Soit F la fonction :F : [a, b[ −→ R
x 7−→∫ x
af(t) dt
.
On a les résultats suivants :
• La fonction F est croissante et positive (sur [a, b[).
• L'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt converge si et seulement si la fonction F est majorée (sur
[a, b[).
• Si l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt converge, on a, pour tout x de [a, b[ :
∫ x
af(t) dt ≤
∫ b
af(t) dt.
• Si l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt diverge alors limx→ b
x < b
∫ x
af(t) dt = +∞.
Démonstration :
Montrons le premier point. Puisque f est continue sur [a, b[, la fonction F est dérivable sur [a, b[ de dérivée f .
Comme f est positive sur [a, b[, on en déduit que la fonction F est croissante. Comme F (a) =
∫ a
a
f(t)dt = 0, F
est positive sur [a, b[.
Les autres points découlent alors du théorème dit �de la limite monotone�.
Remarque 4.2.8
D'après la relation de Chasles (cf proposition (4.1.16)), le théorème précédent reste vrai si
f(x) n'est positif que pour tout x de [c, b[ pour un certain élément c de ]a, b[.
L'analogue �à gauche� de ce théorème est :
Théorème 4.2.9
Soit b un réel. Soit a un réel strictement inférieur à b ou −∞. Soit f une fonction continue
et positive sur ]a, b].
Soit F la fonction :
F : ]a, b] −→ R
x 7−→∫ b
xf(t) dt
.
On a les résultats suivants :
• La fonction F est décroissante et positive (sur ]a, b]).
• L'intégrale impropre
∫ b
→af(t) dt converge si et seulement si la fonction F est majorée (sur
]a, b]).
16
• Si l'intégrale impropre
∫ b
→af(t) dt converge, on a, pour tout x de ]a, b] :
∫ b
af(t) dt ≥
∫ b
xf(t) dt.
• Si l'intégrale impropre
∫ b
→af(t) dt diverge alors lim
x→ a
x > a
∫ b
xf(t) dt = +∞.
Corollaire 4.2.10 (théorème de comparaison)
Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soient f et g deux fonctions
continues et positives sur [a, b[.
On suppose que, pour tout x de [a, b[ :
f(x) ≤ g(x).
On a les résultats suivants :
• Si l'intégrale impropre
∫ →ba
g(t) dt est convergente alors l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt
est convergente.
• Si l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt est divergente alors l'intégrale impropre
∫ →ba
g(t) dt est
divergente.
Démonstration du corollaire :
Notons F et G les fonctions suivantes :
F : [a, b[ −→ R G : [a, b[ −→ R
x 7−→∫ x
a
f(t)dt x 7−→∫ x
a
g(t)dt.
• On a :
Pour tout t de [a, b[ : f(t) ≤ g(t)
d'où pour tout x de [a, b[ :
∫ x
a
f(t)dt ≤∫ x
a
g(t)dt
d'où pour tout x de [a, b[ :
∫ x
a
f(t)dt ≤∫ b
a
g(t)dt (d'après le troisième point
du théorème (4.2.7))
d'où pour tout x de [a, b[ : F (x) ≤∫ b
a
g(t)dt.
Ainsi la fonction F est majorée sur [a, b[, donc elle converge d'après le deuxième point du théorème (4.2.7).
• 1ère méthode : ce résultat est la contraposée du premier point. 2ème méthode :
On a vu plus haut que, pour tout x de [a, b[,
∫ x
a
f(t)dt ≤∫ x
a
g(t) dt. Or, d'après le dernier point du théorème
(4.2.7), on a limx→ b
x < b
∫ x
a
f(t)dt = +∞.
Par comparaison on en déduit limx→ b
x < b
∫ x
a
g(t) dt = +∞ et donc l'intégrale impropre
∫ →ba
g(t) dt diverge.
L'analogue �à gauche� de ce corollaire est :
17
Corollaire 4.2.11
Soit b un réel. Soit a un réel strictement inférieur à b ou −∞. Soient f et g deux fonctions
continues et positives sur ]a, b].
On suppose que, pour tout x de ]a, b] :
f(x) ≤ g(x).
On a les résultats suivants :
• Si l'intégrale impropre
∫ b
→ag(t) dt est convergente alors l'intégrale impropre
∫ b
→af(t) dt est
convergente.
• Si l'intégrale impropre
∫ b
→af(t) dt est divergente alors l'intégrale impropre
∫ b
→ag(t) dt est
divergente.
Remarque 4.2.12
• D'après la relation de Chasles (cf proposition (4.1.16)), le théorème de comparaison reste
vrai si l'inégalité f(x) ≤ g(x) n'est vraie que pour tout x de [c, b[ (ou de ]a, c] selon le cas),
où c est un élément de ]a, b[.
• Le théorème de comparaison donne une méthode pour établir la convergence ou la diver-
gence d'une intégrale impropre :
◦ Pour montrer que l'intégrale impropre d'une fonction positive converge, il su�t de
majorer cette fonction par une fonction (positive) dont l'intégrale impropre converge.
◦ Pour montrer que l'intégrale impropre d'une fonction positive diverge, il su�t de
minorer cette fonction par une fonction positive dont l'intégrale impropre diverge.
Les résultats obtenus sur les fonctions positives permettent d'obtenir une condition su�sante de
convergence pour les fonctions de signe quelconque, c'est ce que nous allons voir maintenant.
Dé�nition 4.2.13
Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soit f une fonction continue
sur [a, b[.
On dit que l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt est absolument convergente si et seulement si
l'intégrale impropre
∫ →ba|f(t)| dt converge.
18
Remarque 4.2.14
• La notion de convergence absolue d'une intégrale impropre n'a de l'intérêt que pour les
fonctions qui ne sont pas positives sur l'intervalle considéré.
En e�et, avec les notations précédentes, si f est positive sur [a, b[, on a clairement l'équiva-
lence :
l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt converge
⇐⇒ l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt converge absolument.
• Bien entendu, la dé�nition précédente a son analogue �à gauche�.
Théorème 4.2.15
Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soit f une fonction continue
sur [a, b[. On suppose que l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt est absolument convergente.
On a les résultats suivants :
• L'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt converge.
•∣∣∣∣∫ b
af(t) dt
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a|f(t)| dt.
Remarque 4.2.16
Bien entendu, le théorème précédent a son analogue �à gauche�.
Démonstration du théorème :
Introduisons les fonctions suivantes :
f+ : [a, b[ −→ R et f− : [a, b[ −→ R
x 7−→
{f(x) si f(x) > 0
0 sinonx 7−→
{0 si f(x) > 0
−f(x) sinon
.
Les fonctions f+ et f− sont continues sur [a, b[ et, pour tout x de [a, b[, on a (le véri�er !) :
f(x) = f+(x)− f−(x) , |f(x)| = f+(x) + f−(x) , f+(x) ≥ 0 et f−(x) ≥ 0. (∗)
• ◦ Montrons que les intégrales impropres
∫ →ba
f+(t) dt et
∫ →ba
f−(t)dt convergent.
Pour tout x de [a, b[ on a :
0 ≤ f−(x) d'où f+(x) ≤ f+(x) + f−(x)
d'où f+(x) ≤ |f(x)| (d'après (∗)).
Puisque l'intégrale impropre
∫ →ba
|f(t)| dt converge par hypothèse et que f+ est positive sur [a, b[, l'intégrale
impropre
∫ →ba
f+(t) dt converge d'après le théorème de comparaison. On obtient de façon tout à fait analogue la
convergence de l'intégrale impropre
∫ →ba
f−(t) dt.
◦ Comme les intégrales impropres
∫ →ba
f+(t) dt et
∫ →ba
f−(t) dt convergent, l'intégrale impropre
∫ →ba
(f+(t)− f−(t)
)dt
converge d'après la proposition (4.1.14) et donc l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t) dt converge (pour tout t de [a, b[,
on a f(t) = f+(t)− f−(t) d'après (∗)).
19
• On a : ∣∣∣∣∫ b
a
f(t)dt
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∫ b
a
(f+(t)− f−(t)
)dt
∣∣∣∣ (d'après (∗))
=
∣∣∣∣∫ b
a
f+(t) dt−∫ b
a
f−(t) dt
∣∣∣∣ (d'après la proposition (4.1.14))
≤∣∣∣∣∫ b
a
f+(t) dt
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫ b
a
f−(t)dt
∣∣∣∣ (inégalité triangulaire)
=
∫ b
a
f+(t)dt+
∫ b
a
f−(t) dt (car f+ et f− sont positives)
=
∫ b
a
(f+(t) + f−(t)
)dt (d'après la proposition (4.1.14))
=
∫ b
a
|f(t)| dt (d'après (∗)).
4.2.2 Deux critères hors-programme
Le théorème suivant relie, dans un cas particulier, la nature d'une intégrale impropre à celle
d'une série numérique :
Théorème 4.2.17
Soient n0 un élément de N et f une fonction continue, positive et décroissante sur [n0,+∞[.
On a les résultats suivants :
• La série∑n≥n0
f(n) converge si et seulement si l'intégrale impropre
∫ →+∞
n0
f(t) dt converge
(autrement dit, la série∑n≥n0
f(n) et l'intégrale impropre
∫ →+∞
n0
f(t) dt sont de même nature).
• En cas de convergence, on a, pour tout n de N tel que n ≥ n0 :∫ +∞
n+1f(t) dt ≤
+∞∑k=n+1
f(k) ≤∫ +∞
nf(t) dt.
Démonstration : laissée au lecteur (on utilise l'inégalité f(n+ 1) ≤∫ n+1
n
f(t) dt ≤ f(n) valable pour tout n de
[[n0,+∞[[ -cf chapitre 2-).
Théorème 4.2.18
Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soient f et g deux fonctions
continues sur [a, b[.
Si f est positive sur [a, b[ et que l'on a f(x) ∼x→b
g(x) alors les intégrales impropres
∫ →ba
f(t) dt
et
∫ →ba
g(t) dt sont de même nature.
Remarque 4.2.19
Bien entendu, le théorème précédent a son analogue �à gauche�.
Démonstration du théorème :
Puisque f(x) ∼x→b
g(x), il existe une fonction λ dé�nie sur [c, b[ telle que, pour tout x de [c, b[, g(x) = λ(x)f(x) et
20
telle que limx→ b
x < b
λ(x) = 1.
• Montrons d'abord qu'il existe un élément d de [a, b[ supérieur ou égal à c tel que, pour tout x de [d, b[, g(x) ≥ 0.
Puisque limx→ b
x < b
λ(x) = 1, il existe un réel d de [a, b[ supérieur ou égal à c tel que, pour tout x de [d, b[, λ(x) ≥ 0.
Pour tout x de [d, b[, on a donc :
g(x) = λ(x)︸︷︷︸≥0
f(x)︸︷︷︸≥0
≥ 0.
• Supposons que l'intégrale impropre
∫ →ba
f(t)dt converge et montrons que l'intégrale impropre
∫ →ba
g(t)dt
converge.
Puisque limx→ b
x < b
λ(x) = 1, il existe un réel e de [a, b[ tel que, pour tout x de [e, b[, λ(x) ≤ 3
2.
Ainsi, pour tout x de [a, b[ tel que x ≥ max(d, e), on a : 0 ≤ g(x) = λ(x)f(x) ≤ 3
2f(x).
Puisque l'intégrale impropre
∫ →bmax(d,e)
f(t) dt converge (cf proposition (4.1.16)) l'intégrale impropre
∫ →bmax(d,e)
3
2f(t)dt
converge (cf proposition (4.1.14)), donc d'après le théorème de comparaison l'intégrale impropre
∫ →bmax(d,e)
g(t)dt
converge et donc l'intégrale impropre
∫ →ba
g(t) dt converge.
On montre la réciproque de façon analogue.
21