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Schémas d’augmentation universels
pour la navigation dans les réseauxPierre Fraigniaud (CNRS, U. Paris 7),
Cyril Gavoille (U. Bordeaux),Adrian Kosowski (U. Gdansk, Pologne),
Zvi Lotker (U. Ben Gurion, Israël) et Emmanuelle Lebhar (CNRS, U. Paris 7).
LIAFA
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Graphes augmentés• “Effet petit monde”: découverte de chemins très
courts avec une vision locale.
• Modélisation [Kleinberg’00]:
• L’algorithme glouton pour la recherche du chemin.
• Les graphes augmentés pour la structure du réseau.
M. Smith
Farmer
Wyoming
M. SMOOTH
Physician
Boston
2
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Graphes augmentés• Graphe augmenté (G,φ):
• un graphe G
• + 1 lien aléatoire / noeud u selon une
distribution φu: φu(v)=Pr{u →v}.
3
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Graphes augmentés• Graphe augmenté (G,φ):
• un graphe G
• + 1 lien aléatoire / noeud u selon une
distribution φu: φu(v)=Pr{u →v}.
3
Distribution: Pr{u →v} prop.elle à 1/|u-v|2[Kleinberg 2000]
Ex:
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Navigation• Routage glouton dans un graphe augmenté:
• connaissance des distances dans G,
• connaissance locale des liens aléatoires.
4
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Navigation• Routage glouton dans un graphe augmenté:
• connaissance des distances dans G,
• connaissance locale des liens aléatoires.
4
(G,φ), est f(n)-navigable ssi:
• Il existe une distribution φ t.q.
• le routage glouton dans (G,φ) calcule des routes d’espérance au plus f(n) entre toute paire.
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Navigation• Routage glouton dans un graphe augmenté:
• connaissance des distances dans G,
• connaissance locale des liens aléatoires.
4
• Exemple:
• Les grilles de dim° d sont O(log2n)-navigables.
(G,φ), est f(n)-navigable ssi:
• Il existe une distribution φ t.q.
• le routage glouton dans (G,φ) calcule des routes d’espérance au plus f(n) entre toute paire.
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Graphes navigables• Graphes polylog(n)-navigables:
• Grilles de dim° d [Kleinberg’00]/ Croissance bornée [Duchon, Hanusse,L.,Schabanel’05]/ dim° doublante bornée [Slivkins’05]/ largeur arborescente bornée [Fraigniaud’05]/ graphes excluant un mineur fixe [Abraham, Gavoille’06].
➡ Schémas d’augmentation spécifiques.
5
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Graphes navigables• Graphes polylog(n)-navigables:
• Grilles de dim° d [Kleinberg’00]/ Croissance bornée [Duchon, Hanusse,L.,Schabanel’05]/ dim° doublante bornée [Slivkins’05]/ largeur arborescente bornée [Fraigniaud’05]/ graphes excluant un mineur fixe [Abraham, Gavoille’06].
➡ Schémas d’augmentation spécifiques.
5
• Schéma d’augmentation universel?
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Graphes navigables• Graphes polylog(n)-navigables:
• Grilles de dim° d [Kleinberg’00]/ Croissance bornée [Duchon, Hanusse,L.,Schabanel’05]/ dim° doublante bornée [Slivkins’05]/ largeur arborescente bornée [Fraigniaud’05]/ graphes excluant un mineur fixe [Abraham, Gavoille’06].
➡ Schémas d’augmentation spécifiques.
5
• Schéma d’augmentation universel?
• Il existe des graphes non polylog(n)-navigables (aucune distribution possible).[Fraigniaud,L.,Lotker’06]
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Graphes navigables• Graphes polylog(n)-navigables:
• Grilles de dim° d [Kleinberg’00]/ Croissance bornée [Duchon, Hanusse,L.,Schabanel’05]/ dim° doublante bornée [Slivkins’05]/ largeur arborescente bornée [Fraigniaud’05]/ graphes excluant un mineur fixe [Abraham, Gavoille’06].
➡ Schémas d’augmentation spécifiques.
5
• Schéma d’augmentation universel?
• Tous les graphes sont √n - navigables(distribution uniforme).
√nPr≥1/√n
• Il existe des graphes non polylog(n)-navigables (aucune distribution possible).[Fraigniaud,L.,Lotker’06]
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Augmentation universelleA) Augmentation a posteriori pour tout graphe :
• Borne inf: Ω(n1/√(logn)) - ? - Borne sup: O(√n)
6
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Augmentation universelleA) Augmentation a posteriori pour tout graphe :
• Borne inf: Ω(n1/√(logn)) - ? - Borne sup: O(√n)
6
➡ Il existe un schéma d’augmentation qui permet un routage glouton Õ(n1/3) entre toute paire pour tout graphe. [SPAA’07]
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Augmentation universelleA) Augmentation a posteriori pour tout graphe :
• Borne inf: Ω(n1/√(logn)) - ? - Borne sup: O(√n)
6
B) Augmentation a priori : déf° des matrices d’augmentation universelles.
➡ Il existe un schéma d’augmentation qui permet un routage glouton Õ(n1/3) entre toute paire pour tout graphe. [SPAA’07]
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Augmentation universelleA) Augmentation a posteriori pour tout graphe :
• Borne inf: Ω(n1/√(logn)) - ? - Borne sup: O(√n)
6
B) Augmentation a priori : déf° des matrices d’augmentation universelles.
• Indépendantes de l’étiquetage:Ω(√n) pas.
• Etiquettes < log n : Ω(nb) pas.
• Matrice + étiquetage: O(min(pathshape(G),√n)).
Bornes sur le nombre de pas du glouton :
➡ Il existe un schéma d’augmentation qui permet un routage glouton Õ(n1/3) entre toute paire pour tout graphe. [SPAA’07]
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A) Tous les graphes sontÕ(n1/3)-navigables.
7
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Distributions 1/B(r)
• Augmentation des graphes à croissance bornée:
• Bu(2r) ≤ c. Bu(r).
• Pr(u→v) ~ 1/Bu(d(u,v)).
8
Bcible(r)Bsource(2r)
Pr≥ cte
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Distributions 1/B(r)
• Augmentation des graphes à croissance bornée:
• Bu(2r) ≤ c. Bu(r).
• Pr(u→v) ~ 1/Bu(d(u,v)).
8
Bcible(r)Bsource(2r)
Pr≥ cte➡ Distr° non uniforme + cardinalités bien réparties
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Distributions 1/B(r)
• Augmentation des graphes à croissance bornée:
• Bu(2r) ≤ c. Bu(r).
• Pr(u→v) ~ 1/Bu(d(u,v)).
8
Bcible(r)Bsource(2r)
Pr≥ cte➡ Distr° non uniforme + cardinalités bien réparties
• Augmentation uniforme:
Pr≥ 1/ (cardinalité ensemble) √n
Pr≥1/√n
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Distributions 1/B(r)
• Augmentation des graphes à croissance bornée:
• Bu(2r) ≤ c. Bu(r).
• Pr(u→v) ~ 1/Bu(d(u,v)).
8
Bcible(r)Bsource(2r)
Pr≥ cte➡ Distr° non uniforme + cardinalités bien réparties
• Augmentation uniforme:
Pr≥ 1/ (cardinalité ensemble) √n
Pr≥1/√n
➡Compromis: taille de l’ensemble - diamètre de l’ensemble
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Diamètre glouton O(n2/5)
• Augmentation:
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans Bu(n2/5).
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans G.
9
![Page 22: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/22.jpg)
Diamètre glouton O(n2/5)
• Augmentation:
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans Bu(n2/5).
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans G.
9
Bcible(r) de taille n3/5source
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Diamètre glouton O(n2/5)
• Augmentation:
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans Bu(n2/5).
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans G.
9
Pr≥ (1/2)x(n3/5 /n)= 1/(2n2/5)
Bcible(r) de taille n3/5source
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Diamètre glouton O(n2/5)
• Augmentation:
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans Bu(n2/5).
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans G.
9
Pr≥ (1/2)x(n3/5 /n)= 1/(2n2/5)
Bcible(r) de taille n3/5source
➡ On entre dans la boule après O(n2/5) étapes en espérance.
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Diamètre glouton O(n2/5)• Augmentation:
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans Bu(n2/5).
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans G.
10
Bcible(r) de taille n3/5
Bu(n2/5)
Plus court chemin u-cible
u
cible
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Diamètre glouton O(n2/5)• Augmentation:
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans Bu(n2/5).
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans G.
10
Bcible(r) de taille n3/5
Bu(n2/5)
Plus court chemin u-cible
u
ciblePr(u→bleu)
≥(1/2) x (n2/5/2) / Bu(n2/5)
= Ω(1/n1/5) ≤ n3/5
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Diamètre glouton O(n2/5)• Augmentation:
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans Bu(n2/5).
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans G.
10
Bcible(r) de taille n3/5
Bu(n2/5)
Plus court chemin u-cible
u
cible
+ au plus n1/5 intervalles bleus
Pr(u→bleu)≥
(1/2) x (n2/5/2) / Bu(n2/5) = Ω(1/n1/5)
≤ n3/5
![Page 28: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/28.jpg)
Diamètre glouton O(n2/5)• Augmentation:
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans Bu(n2/5).
• Proba 1/2 : u tire v uniformément dans G.
10
Bcible(r) de taille n3/5
Bu(n2/5)
Plus court chemin u-cible
u
cible
+ au plus n1/5 intervalles bleus
Pr(u→bleu)≥
(1/2) x (n2/5/2) / Bu(n2/5) = Ω(1/n1/5)
≤ n3/5
E(# étapes) ≤ O(n2/5)+ O(n1/5)x n1/5 = O(n2/5).
![Page 29: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/29.jpg)
Diamètre glouton Õ(n1/3)
11
• Principe clé du O(n2/5) :
1- Entrer dans un ensemble de taille réduit.
2- Progresser dans l’ensemble en tirant dans de plus petits ensembles.
1 2
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Diamètre glouton Õ(n1/3)
• Nouvelle augmentation :
• u choisit un niveau i entre 1 et log n.
• u tire v uniformément dans Bu(2i).
• THM : diamètre glouton Õ(n1/3) pour tout graphe.
11
• Principe clé du O(n2/5) :
1- Entrer dans un ensemble de taille réduit.
2- Progresser dans l’ensemble en tirant dans de plus petits ensembles.
1 2
![Page 31: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/31.jpg)
Diamètre glouton Õ(n1/3)
12
• Principe de l’analyse:
![Page 32: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/32.jpg)
Diamètre glouton Õ(n1/3)
12
• Principe de l’analyse:
Bcible(r) de taille n2/3source
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Diamètre glouton Õ(n1/3)
12
• Principe de l’analyse:
Bcible(r) de taille n2/3source
→O(n1/3) étapes
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Diamètre glouton Õ(n1/3)
12
• Principe de l’analyse:
Bcible(r) de taille n2/3source
→O(n1/3) étapes
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Diamètre glouton Õ(n1/3)
12
• Principe de l’analyse:
Bcible(r) de taille n2/3source
→O(n1/3) étapes
Bu(2k)
Plus court chemin u-cible
u
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Diamètre glouton Õ(n1/3)
12
• Principe de l’analyse:
Bcible(r) de taille n2/3source
→O(n1/3) étapes
Bu(2k)
Plus court chemin u-cible
u
→O(n1/3/2k) étapes à chaque k
Bu(2k+1)
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Diamètre glouton Õ(n1/3)
12
• Principe de l’analyse:
Bcible(r) de taille n2/3source
→O(n1/3) étapes
Bu(2k)
Plus court chemin u-cible
u
→O(n1/3/2k) étapes à chaque k
Bu(2k+1)
→Õ(n1/3) étapes pour contenir la cible
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Diamètre glouton Õ(n1/3)
13
• Principe de l’analyse:
Bu(2k1)
u
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Diamètre glouton Õ(n1/3)
13
• Principe de l’analyse:
Bu(2k1)
u
![Page 40: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/40.jpg)
Diamètre glouton Õ(n1/3)
13
• Principe de l’analyse:
Bu(n1/3)
u cible
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Diamètre glouton Õ(n1/3)
13
• Principe de l’analyse:
→Õ(n1/3) étapes pour contenir la cible dans un rayon n1/3.
Bu(n1/3)
u cible
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Diamètre glouton Õ(n1/3)
13
• Principe de l’analyse:
→Õ(n1/3) étapes pour contenir la cible dans un rayon n1/3.
Bu(n1/3)
u cible
→Õ(n1/3) étapes pour atteindre la cible à l’intérieur de cette boule.
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B) Matrices d’augmentation
universelles
14
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Matrices d’augmentation
15
• Une matrice d’augmentation:
1 2 3 4 5 6
1 0 1/2 1/4 1/4 0 0
2 1/3 1/3 1/3 0 0 0
3 1/5 0 1/5 1/5 1/5 1/5
4 1/2 0 0 0 0 1/2
5 0 1/8 1/8 1/8 1/8 1/2
6 1/6 1/3 1/6 1/6 0 1/6
1 2
3
4
5
6
no
eu
ds
destinations des liens
→ Σ ≤1
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Matrices d’augmentation
15
• Une matrice d’augmentation:
1 2 3 4 5 6
1 0 1/2 1/4 1/4 0 0
2 1/3 1/3 1/3 0 0 0
3 1/5 0 1/5 1/5 1/5 1/5
4 1/2 0 0 0 0 1/2
5 0 1/8 1/8 1/8 1/8 1/2
6 1/6 1/3 1/6 1/6 0 1/6
1 2
3
4
5
6
no
eu
ds
destinations des liens
→ Σ ≤1
Pr=1/6
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Matrices d’augmentation
16
• Une matrice d’augmentation + un graphe étiqueté: une augmentation aléatoire.
![Page 47: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/47.jpg)
Matrices d’augmentation
16
• Une matrice d’augmentation + un graphe étiqueté: une augmentation aléatoire.
• Question:
• Donnons une matrice, l’adversaire étiquette le graphe de la pire façon possible.
➡ Y a-t-il une matrice meilleure que l’uniforme?
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Matrices d’augmentation
16
• Une matrice d’augmentation + un graphe étiqueté: une augmentation aléatoire.
• Question:
• Donnons une matrice, l’adversaire étiquette le graphe de la pire façon possible.
➡ Y a-t-il une matrice meilleure que l’uniforme?
1,2,3,4,5,6→ → diamètre glouton < √n ?
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Matrices d’augmentation
16
• Une matrice d’augmentation + un graphe étiqueté: une augmentation aléatoire.
• Question:
• Donnons une matrice, l’adversaire étiquette le graphe de la pire façon possible.
➡ Y a-t-il une matrice meilleure que l’uniforme?
Réponse: non.
1,2,3,4,5,6→ → diamètre glouton < √n ?
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Augmentation anonyme
17
• THM: Pour toute matrice d’augmentation, il est possible d’étiqueter le chemin pour avoir un diamètre glouton Ω(√n).
Lemme : pour toute matrice d’augmentation M, il existe un
ensemble I de √n indices tq Σpij<1
pour i,j dans I.I
I
Σ<1
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Augmentation anonyme
18
• THM: Pour toute matrice d’augmentation, il est possible d’étiqueter le chemin pour avoir un diamètre glouton Ω(√n).
![Page 52: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/52.jpg)
Augmentation anonyme
18
• THM: Pour toute matrice d’augmentation, il est possible d’étiqueter le chemin pour avoir un diamètre glouton Ω(√n).
![Page 53: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/53.jpg)
Augmentation anonyme
18
• THM: Pour toute matrice d’augmentation, il est possible d’étiqueter le chemin pour avoir un diamètre glouton Ω(√n).
Etiquettes de I
![Page 54: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/54.jpg)
Augmentation anonyme
18
• THM: Pour toute matrice d’augmentation, il est possible d’étiqueter le chemin pour avoir un diamètre glouton Ω(√n).
Etiquettes de I
E(# liens longs) = Σpij < 1
![Page 55: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/55.jpg)
Augmentation anonyme
18
• THM: Pour toute matrice d’augmentation, il est possible d’étiqueter le chemin pour avoir un diamètre glouton Ω(√n).
Etiquettes de I
E(# liens longs) = Σpij < 1
Source Cible
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Matrices d’augmentation
19
• Une matrice d’augmentation + un étiquetage particulier associé: une augmentation aléatoire.
![Page 57: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/57.jpg)
Matrices d’augmentation
19
• Une matrice d’augmentation + un étiquetage particulier associé: une augmentation aléatoire.
• Question:
• En associant une matrice universelle à un procédé d’étiquetage universel, peut-on améliorer les performances? Algo(Matrice, Etiquetage)[G]
![Page 58: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/58.jpg)
Matrices d’augmentation
19
• Une matrice d’augmentation + un étiquetage particulier associé: une augmentation aléatoire.
• Question:
• En associant une matrice universelle à un procédé d’étiquetage universel, peut-on améliorer les performances? Algo(Matrice, Etiquetage)[G]
➡Oui pour une grande classe de graphes.
![Page 59: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/59.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
20
• Matrice d’augmentation du chemin de Kleinberg:
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Matrice + étiquetage idoine
20
• Matrice d’augmentation du chemin de Kleinberg:1/log n
1/log n1/log n
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Matrice + étiquetage idoine
20
• Matrice d’augmentation du chemin de Kleinberg:1/log n
1/log n1/log n
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Matrice + étiquetage idoine
20
• Matrice d’augmentation du chemin de Kleinberg:1/log n
1/log n1/log n
![Page 63: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/63.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
20
• Matrice d’augmentation du chemin de Kleinberg:1/log n
1/log n1/log n
![Page 64: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/64.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
20
• Matrice d’augmentation du chemin de Kleinberg:1/log n
1/log n1/log n
![Page 65: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/65.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
21
![Page 66: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/66.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
21
1 1 1 1 1
![Page 67: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/67.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
21
1 1 1 1 10 0 0 0 0 0
![Page 68: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/68.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
21
1 1 1 1 10 0 0 0 0 01 1 1
![Page 69: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/69.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
21
1 1 1 1 10 0 0 0 0 01 1 10 0 0
![Page 70: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/70.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
21
1 1 1 1 10 0 0 0 0 01 1 10 0 01 1
![Page 71: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/71.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
21
1 1 1 1 10 0 0 0 0 01 1 10 0 01 10
![Page 72: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/72.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
21
1 1 1 1 10 0 0 0 0 01 1 10 0 01 10
000 001 001 01 01 01 1
000 0 p 0 p 0 0 p
001 p 0 0 p 0 0 p
001 p 0 0 p 0 0 p
01 0 p
01 0
01 0
0 0
p = 1/log n
...
![Page 73: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/73.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
22
• L’idée:
![Page 74: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/74.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
22
• L’idée:
1- Chercher les séparateur du graphe.
![Page 75: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/75.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
22
• L’idée:
2- Leur associer les étiquettes des séparateurs dans la matrice M de l’arbre binaire.
1- Chercher les séparateur du graphe.
![Page 76: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/76.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
22
• L’idée:
3- Appliquer l’augmentation de la matrice M.
2- Leur associer les étiquettes des séparateurs dans la matrice M de l’arbre binaire.
1- Chercher les séparateur du graphe.
![Page 77: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/77.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
22
• L’idée:
3- Appliquer l’augmentation de la matrice M.
2- Leur associer les étiquettes des séparateurs dans la matrice M de l’arbre binaire.
1- Chercher les séparateur du graphe.
Graphe G
![Page 78: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/78.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
22
• L’idée:
3- Appliquer l’augmentation de la matrice M.
2- Leur associer les étiquettes des séparateurs dans la matrice M de l’arbre binaire.
1- Chercher les séparateur du graphe.
Graphe G
Chemin-décomposition de G
![Page 79: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/79.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
22
• L’idée:
3- Appliquer l’augmentation de la matrice M.
2- Leur associer les étiquettes des séparateurs dans la matrice M de l’arbre binaire.
1- Chercher les séparateur du graphe.
Graphe G
Chemin-décomposition de G
étiquetage
![Page 80: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/80.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
22
• L’idée:
3- Appliquer l’augmentation de la matrice M.
2- Leur associer les étiquettes des séparateurs dans la matrice M de l’arbre binaire.
1- Chercher les séparateur du graphe.
Graphe G
Chemin-décomposition de G
+
étiquetage
![Page 81: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/81.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
22
• L’idée:
3- Appliquer l’augmentation de la matrice M.
2- Leur associer les étiquettes des séparateurs dans la matrice M de l’arbre binaire.
1- Chercher les séparateur du graphe.
MGraphe G
Chemin-décomposition de G
+
étiquetage
![Page 82: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/82.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
23
• Pathshape = min( pathwidth, pathlength). [def°]
distance ≤ pathlength nombre ≤ pathwidth
![Page 83: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/83.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
23
• Pathshape = min( pathwidth, pathlength). [def°]
distance ≤ pathlength nombre ≤ pathwidth
• THM : il existe une matrice M et un étiquetage E t.q. tout G étiqueté par E et augmenté par M a un diamètre glouton:
O( min( pathshape(G).log2n, √n))
![Page 84: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/84.jpg)
Matrice + étiquetage idoine
23
• Pathshape = min( pathwidth, pathlength). [def°]
distance ≤ pathlength nombre ≤ pathwidth
• THM : il existe une matrice M et un étiquetage E t.q. tout G étiqueté par E et augmenté par M a un diamètre glouton:
O( min( pathshape(G).log2n, √n))
➡ Les arbres sont O(log3n)-navigables. (pathwidth=logn)
➡ Les graphes AT-free sont O(log2n)-navigables. (pathlength=cte)
![Page 85: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/85.jpg)
Réduire la matrice?
24
• Une matrice d’augmentation + un étiquetage particulier associé: une augmentation aléatoire.
![Page 86: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/86.jpg)
Réduire la matrice?
24
• Une matrice d’augmentation + un étiquetage particulier associé: une augmentation aléatoire.
• Question:
• Si l’on donne des étiquettes de taille < ε log n, peut-on préserver une augmentation polylog(n)-navigable?
➡ Peut-on réduire la taille de la matrice (ex : √n)?
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Réduire la matrice?
24
• Une matrice d’augmentation + un étiquetage particulier associé: une augmentation aléatoire.
• Question:
• Si l’on donne des étiquettes de taille < ε log n, peut-on préserver une augmentation polylog(n)-navigable?
➡ Peut-on réduire la taille de la matrice (ex : √n)?
Réponse: non.
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Réduire la matrice?
25
• THM: tout schéma d’augmentation (matrice, étiquetage) utilisant des étiquettes de taille ε log n, pour ε <1 sur le chemin produit un diamètre glouton Ω(n(1-ε)/3).
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Réduire la matrice?
25
• Soit b < (1-ε)/3 et a > 2 b.
• Etiquette “populaire”: possédée par au moins na noeuds.
• THM: tout schéma d’augmentation (matrice, étiquetage) utilisant des étiquettes de taille ε log n, pour ε <1 sur le chemin produit un diamètre glouton Ω(n(1-ε)/3).
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Réduire la matrice?
25
• Soit b < (1-ε)/3 et a > 2 b.
• Etiquette “populaire”: possédée par au moins na noeuds.
• THM: tout schéma d’augmentation (matrice, étiquetage) utilisant des étiquettes de taille ε log n, pour ε <1 sur le chemin produit un diamètre glouton Ω(n(1-ε)/3).
• Nombre d’étiquettes : nε.
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Réduire la matrice?
25
• Soit b < (1-ε)/3 et a > 2 b.
• Etiquette “populaire”: possédée par au moins na noeuds.
• THM: tout schéma d’augmentation (matrice, étiquetage) utilisant des étiquettes de taille ε log n, pour ε <1 sur le chemin produit un diamètre glouton Ω(n(1-ε)/3).
• Nombre d’étiquettes : nε.
• Nombre d’étiquettes non populaires : au plus nε.
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Réduire la matrice?
26
• Nombre d’étiquettes non populaires : au plus nε.
• Etiquette “populaire”: possédée par au moins na noeuds.
• THM: tout schéma d’augmentation (matrice, étiquetage) utilisant des étiquettes de taille ε log n, pour ε <1 sur le chemin produit un diamètre glouton Ω(n(1-ε)/3).
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Réduire la matrice?
26
• Nombre d’étiquettes non populaires : au plus nε.
• Etiquette “populaire”: possédée par au moins na noeuds.
• THM: tout schéma d’augmentation (matrice, étiquetage) utilisant des étiquettes de taille ε log n, pour ε <1 sur le chemin produit un diamètre glouton Ω(n(1-ε)/3).
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Réduire la matrice?
26
• Nombre d’étiquettes non populaires : au plus nε.
• Etiquette “populaire”: possédée par au moins na noeuds.
• THM: tout schéma d’augmentation (matrice, étiquetage) utilisant des étiquettes de taille ε log n, pour ε <1 sur le chemin produit un diamètre glouton Ω(n(1-ε)/3).
nb nb nb nb
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Réduire la matrice?
26
Lemme : au moins un intervalle ne contient que des étiquettes populaires.
• Nombre d’étiquettes non populaires : au plus nε.
• Etiquette “populaire”: possédée par au moins na noeuds.
• THM: tout schéma d’augmentation (matrice, étiquetage) utilisant des étiquettes de taille ε log n, pour ε <1 sur le chemin produit un diamètre glouton Ω(n(1-ε)/3).
nb nb nb nb
![Page 96: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/96.jpg)
Réduire la matrice?
27
nb nb nb nb
étiquettes populaires seulement
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Réduire la matrice?
27
• Pour une étiquette qui apparaît X fois, la probabilité dans la matrice est divisée par X.
nb nb nb nb
étiquettes populaires seulement
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Réduire la matrice?
27
• Pour une étiquette qui apparaît X fois, la probabilité dans la matrice est divisée par X.
nb nb nb nb
étiquettes populaires seulement
• Soit u dans l’intervalle.
• Pr(u a un lien dans l’intervalle) ≤ nb / na.
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Réduire la matrice?
27
• E(nombre de longs liens dans l’intervalle) ≤ n2b-a < 1.
• Pour une étiquette qui apparaît X fois, la probabilité dans la matrice est divisée par X.
nb nb nb nb
étiquettes populaires seulement
• Soit u dans l’intervalle.
• Pr(u a un lien dans l’intervalle) ≤ nb / na.
![Page 100: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/100.jpg)
Réduire la matrice?
27
• E(nombre de longs liens dans l’intervalle) ≤ n2b-a < 1.
• Pour une étiquette qui apparaît X fois, la probabilité dans la matrice est divisée par X.
nb nb nb nb
étiquettes populaires seulement
• Soit u dans l’intervalle.
• Pr(u a un lien dans l’intervalle) ≤ nb / na.
Source Cible
![Page 101: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/101.jpg)
Réduire la matrice?
27
• E(nombre de longs liens dans l’intervalle) ≤ n2b-a < 1.
• Pour une étiquette qui apparaît X fois, la probabilité dans la matrice est divisée par X.
nb nb nb nb
étiquettes populaires seulement
• Soit u dans l’intervalle.
• Pr(u a un lien dans l’intervalle) ≤ nb / na.
Source Cible
E(étapes de à ) =Ω(n(1-ε)/3).Source Cible
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Conclusion
28
• Augmentation universelle à postériori:
➡ Borne inf :Ω(n1/√(logn)) - GAP - Borne sup : Õ(n1/3)
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Conclusion
28
• Augmentation universelle à postériori:
➡ Borne inf :Ω(n1/√(logn)) - GAP - Borne sup : Õ(n1/3)
• Augmentation universelle par matrice:
➡ Matrices seules : pas d’espoir d’amélioration.
![Page 104: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/104.jpg)
Conclusion
28
• Augmentation universelle à postériori:
➡ Borne inf :Ω(n1/√(logn)) - GAP - Borne sup : Õ(n1/3)
• Augmentation universelle par matrice:
➡ Matrices seules : pas d’espoir d’amélioration.
➡ Matrices + étiquetage associé: amélioration.
![Page 105: Schémas d’augmentation universels pour la navigation dans …• Routage glouton dans un graphe augmenté: • connaissance des distances dans G, • connaissance locale des liens](https://reader035.vdocuments.fr/reader035/viewer/2022071422/611bc003387fe5509223cec6/html5/thumbnails/105.jpg)
Conclusion
28
• Augmentation universelle à postériori:
➡ Borne inf :Ω(n1/√(logn)) - GAP - Borne sup : Õ(n1/3)
• Augmentation universelle par matrice:
➡ Matrices seules : pas d’espoir d’amélioration.
➡ Matrices + étiquetage associé: amélioration.
➡ Somme de matrices : combinaisons d’augmentations.
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Conclusion
28
• Augmentation universelle à postériori:
➡ Borne inf :Ω(n1/√(logn)) - GAP - Borne sup : Õ(n1/3)
• Augmentation universelle par matrice:
➡ Matrices seules : pas d’espoir d’amélioration.
➡ Matrices + étiquetage associé: amélioration.
➡ Somme de matrices : combinaisons d’augmentations.
➡ Peut-on faire mieux que O(√n) pour les augmentations par matrices?
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Merci
• Référence:
Universal Augmentation Scheme for Network Navigability: Overcoming the √n-Barrier, P. Fraigniaud, C. Gavoille, A. Kosowski, Z. Lotker, E. Lebhar, SPAA 2007.
• www.liafa.jussieu.fr/~elebhar/SPAA07a.pdf