Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Table des matières CONTENU DE COURS CHAPITRE DU LIVRE
Révision des notions du cours MEC1420
11
Principes de base 1 13 Révision MEC1410: statique Voir MEC1410 19 Chargement uniaxial 2 26
Diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants 3 38 Contraintes dans les poutres en flexion 4 34 Torsion des sections circulaires 6.1; 6.2; 6.3.1; 6.3.2 57 Superposition de contraintes 7 65 Critères de défaillance des matériaux (ductiles : Tresca et Von Mises; fragiles) 10.1 à 10.4 incl. 74 Déformations 8 77 Relation contraintes/déformations 9.1à 9.6 incl. 83 Torsion des sections ouvertes et composées 6.3, 6.4 et 6.5 97 Section rectangulaire minces; Applications aux profilés minces 6.4 et 6.5, 16.1, 16.4.4;
16.6.2; 16.6.3; fig. 16.13 104
Flexion gauche 133 Efforts internes et analyse des contraintes associés à la flexion gauche 17.4 à 17.6 incl. 134 Contraintes dues à la flexion pure 17.7 138
1
Instabilité, flambement des colonnes, déversement de poutres, voilement 165 Définition de stabilité 11.1 167 Stabilité d’une membrure rigide en compression 11.2 168 Stabilité d’une membrure élastique en compression 11.3 184 Formule d’Euler 11.4 205 Colonne « rotule-rotule » soumise à une charge excentrée 11.5 210 Conception d’une colonne 11.6 217 Méthode de résolution approx. pour une poutre-colonne (chargement combiné) 11.7.3 et 11.7.4 222 Déversement latéral des poutres 11.8 238 Voilement des sections à parois minces 11.9 et 11.10 239
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2
Méthodes d’analyse basées sur l’énergie de déformation (Méthodes énergétiques) 245 Énergie de déformation 9.7.1 et 9.7.2 249 Énergie de déformation : traction, flexion et torsion 14.1 et 14.2 253 Théorème de Maxwell-Betti 14.3 261 Théorème de Castigliano 14.4 269 Théorème de Castigliano pour systèmes isostatiques et hyperstatiques 14.4.1 et 14.4.2 275, 290 Effets de l’effort tranchant 14.5 313
Concepts d’analyse limite et contraintes résiduelles 341 Modèles du comportement des matériaux 12.1-12.2 342 Analyse limite au chargement uniaxial, en torsion, à la flexion 12.3-12.5 344, 352, 362 Contraintes résiduelles 12.6-12.7, notes de cours 387
Concentration de contrainte 409 Valeur théorique du facteur de concentration de contrainte 10.2 + notes de cours 414 Comportement des matériaux en présence de concentration de contrainte Notes de cours 432 Fatigue 445 Mécanismes de rupture par fatigue Notes de cours 448 Méthode d’essai normalisé 454 Diagramme S-N 457 Limite d’endurance Chargement non complètement renversé Diagramme de Goodman 477 Contraintes combinées normales et de cisaillement 493 Dommage cumulatif 510 Joints structuraux Joints boulonnés (effets du cisaillement direct et du moment de torsion) 15.1 – 15.3 Joints soudés soumis à une charge excentrée 15.7 – 15.10
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3
MEC1420
MEC1410
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4
MEC1420
MEC2405
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5
RDMII MEC1410
MEC1410
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6
MEC1410
RDMII
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7
RDMII
MEC1410
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8
RDMII
MEC2310
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9
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10
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Révision du cours RDMI et statique
• Notes de cours divisées en 4 parties 1. Notions de contrainte (chap 1-4, 6) 2. Évaluation de la résistance (chap 7 et 10) 3. Déformations (chap 8 et 9) 4. Torsion avancée (chap 6 et 16)
11
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Formulaire type à l’examen
12
Chargement uniaxial Cylindre à paroi mince sous pression
Flexion
Torsion
Section rectangulaire cylindre tube
cylindre tube
(cylindre)
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Contenu de la partie 1
• Révision des chapitres 1-4 et 6 du manuel Résistance des matériaux, 3e édition, Bazergui et al.
• Études des contraintes pour les trois types de chargement simple d’une membrure droite
z
yx
xP
yP
L
az
yx
L
T
Chargement axial Chargement en flexion Chargement en torsion Traction-compression et réservoir sous pression
Combinaisons des chargements
13
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Conception de structures mécaniques
• Critères de conception 1. Résistance 2. Rigidité 3. Instabilité 4. Fatigue
Résistance
Rigidité
Instabilité
Fatigue
Contenu pour le cours MEC2405
Révision RDM I, flexion gauche, analyse limite, concentration de contrainte
Révision RDM I, méthodes énergétiques
Instabilité de membrures rigides, flambement de membrures élastiques
Chargements cycliques
14
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Résistance des matériaux II 5
Conception de structures mécaniques
1. Résistance • Prédire les contraintes maximales et les
comparer à un critère de défaillance • Éviter les déformations plastiques
2. Rigidité • Prédire les valeurs maximales des
déformations ou des déplacements
3. Instabilité • Éviter l’effondrement de la structure suite
à un phénomène d’instabilité
4. Fatigue • Prédire la durée de vie d’une structure
sous chargements cycliques
15
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Résistance des matériaux II 5
Conception de structures mécaniques
1. Résistance • Prédire les contraintes maximales et les
comparer à un critère de défaillance
2. Rigidité
• Prédire les valeurs maximales déformations ou les déplacements
3. Instabilité • Éviter l’effondrement de la structure
suite à un phénomène d’instabilité
4. Fatigue • Durée de vie d’une structure sous
chargements cycliques
maxd d
Ex. critère sur le déplacement
Facteur de sécurité en résistance
Formule d’Euler, Code ACNOR
Loi de Goodman, Loi de Miner
n
i i
i
N
n
1
0,1
0,1// ry
yyamp
rz
zzamp
r M
MF
M
MF
C
C
int
int
Contra e permiseF S
Contra e induite
16
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Résistance des matériaux II 5
Évaluation de la résistance de pièces mécaniques, l’ingénieur doit évaluer le facteur de sécurité (FS) :
Contrainte permise est évaluée à partir des propriétés du matériau de la pièce et des critères de défaillance (chap. 10) Contrainte induite est calculée à partir du chargement et de la géométrie de la pièce (chap. 1 à 6 et 7)
eintContra
cetanRésis
induiteeintContra
permiseeintContraSF
17
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Résistance des matériaux II 5
Contrainte
tanceRésisSF
Chargements Uniaxial (tension-compression)
Flexion Torsion Effort tranchant
(flexion)
Contraintes Normales () de Cisaillement ()
Propriétés des matériaux (essai normalisé)
Statique Tresca
Von Mises Mohr Modifié
Critères de défaillance
Fatigue Goodman
Goodman modifié
18
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Rappel de certaines notions de MEC1410 (1/4)
• Diagramme de corps libéré (DCL) en 3D – Addition vectorielle – Calcul du moment causé par une force
19
MEC1410: Cours #6 p. 6 MEC1410: Cours #6 p. 7
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Rappel de certaines notions de MEC1410 (2/4)
• Propriétés de surface – Position du centroïde
20
MEC1410: Cours #7 p. 4 MEC1410: Cours #7 p. 15
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Résistance des matériaux II 5
Rappel de certaines notions de MEC1410 (3/4)
• Propriétés de surface – Second moments de surface (Iy, Iz)
• Théorème des axes parallèles • Rayon de giration (k = (I/A)1/2) nous utiliserons r dans ce cours
21
MEC1410: Cours #11 p. 12 MEC1410: Cours #11 p. 9
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Rappel de certaines notions de MEC1410 (4/4)
• Propriétés de surface – Moment produit d’une surface (Iyz)
• Théorème de translation
22
MEC1410: Cours #11 complément p. 1 MEC1410: Cours #11 complément p. 2
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Rappel: Contrainte et élément infinitésimal
• Dans un état de contrainte le plus complet, chaque cube (ou élément) infinitésimal d’un solide est soumis à trois contraintes sur chacun de ses six plans – Une contrainte normale i – Deux contraintes de cisaillement ij orthogonales entre
elles et qui reposent dans le plan
xy
z
xy
xz x
y
yxyz
zzx
zy
23
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Résistance des matériaux II 5
Rappel: Contrainte et élément infinitésimal
Contrainte – Normale (ex. x) – De cisaillement (ex. xy)
+ - (+) si face (+) et direction (+)
ou
(+) si face (–) et direction (-) sinon (-)
Logo des notes de cours
+ -
x
y
Face et direction
Face
Direction
Chap 1-4, 6
5
24
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Résistance des matériaux II 5
Sections les plus couramment rencontrées en ingénierie
Pleine Creux
Rectangulaire
Ronde
Profilé
I C L
Chap 1-4, 6
Arbres de transmission
Plancher de maison
25
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Résistance des matériaux II 5
Dans la grande majorité des cas, les équations que l’ingénieur utilise pour calculer les contraintes se résument à : – Chargement uniaxial (Chap 2) – Chargement de flexion – Chargement de torsion – Chargement combiné:
• axial-flexion • axial-torsion • flexion-torsion • flexion-axial-torsion
z
yx
xP
x
Uniaxial
N.B.: Comprend aussi les cylindres à paroi mince sous pression
Chap 1-4, 6
26
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Résistance des matériaux II 5
Chargement uniaxial, section rectangulaire
xxRP
z
yx
xP
xR
z
yx
xP
hbA ; A
Pxx
z
yx
xPb
h
x
xy xz yz 0y z
Chap 1-4, 6
thtbhbAA
Pxx 22
Section pleine Section évidée
27
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Résistance des matériaux II 5
Chargement uniaxial, barreau circulaire plein
AP
x
xP
r
z
yx A
Px
xPr
z
yx A
Px
0
0
rxrx
r
Pour un barreau plein: A = r2
x
z
r
y
Vue plan yz
Chap 1-4, 6
28
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Résistance des matériaux II 5
Cylindre à paroi mince sous pression
• Cas particulier de chargement uniaxial • Important en génie mécanique
• Applications
– Vérins pneumatiques et hydrauliques, – Tuyauterie de distribution d’eau, d’air comprimé ou de vapeur – Réservoirs sous pression tels que les chaudières thermiques, les
échangeurs de chaleur, les réservoirs d’air comprimé
MEC3200 - Transmission de chaleur MEC3210 - Systèmes de pompage, ventilation et compresseurs MEC3350 - Systèmes hydrauliques et pneumatiques
Chap 1-4, 6
29
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• Rapport: rayon moyen (rm) / épaisseur de la paroi (t) > 10
• Distribution de la contrainte tangentielle () est constante à travers la paroi
• Type:
r
r
t
p
x
Cylindre à paroi mince sous pression
Contrainte dans la direction x, x = 0
Contrainte dans la direction x, x 0
OUVERT FERMÉ ou
Chap 1-4, 6
30
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Résistance des matériaux II 5
Cylindre fermé à paroi mince soumis à une pression interne p et à une force axiale F en tension
0oupr
mp r
t
2 2m
x
m
p r F
t r t
Partie de la contrainte due à la pression
Partie de la contrainte due à la force extérieure F
r
x
r
t
p
x
b
F
Chap 1-4, 6
y
z
31
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Résistance des matériaux II 5
Vérification des formules par éléments finis (Ansys)
Paroi mince (t = 4mm) Paroi épaisse (t = 20mm)
• P = 1 MPa • rm = 80mm
θ = 19.95
r = 1
x = 9.8
Contrainte en MPa
θ = 20.1
r= 9.96
x= 1.4
32
Valeurs prises sur la surface intérieure
r
x
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Résistance des matériaux II 5
Exemple: Cylindre avec deux conditions d’appui F
En équilibre
p
piston 0x
F pA F RA
p
ApA R
RA
Fx Fx
Fx = 0
OUVERT p
À compléter
F
Appui à la base
Appui en haut
33
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Résistance des matériaux II 5
Flexion ordinaire (moment fléchissant M et effort tranchant V)
Dans la plupart des cas, les équations que l’ingénieur utilise pour calculer les contraintes se résument à :
• Chargement uni-axial • Chargement de flexion (Chapitres 3 et 4, R de M) • Chargement de torsion • Chargement combiné:
– axial-flexion – axial-torsion – flexion-torsion – flexion-axial-torsion
Contraintes
z
yx
L
zM y
P
L
a
xxjx et
Flexion pure (moment fléchissant M seulement)
Chap 1-4, 6
34
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Résistance des matériaux II 5
Flexion Pure – Moment concentré (MB) sur une poutre rectangulaire pleine – Moment interne (MAB) qui engendre la contrainte; ici MAB est égal à MB
• c = distance du plan neutre à la fibre extrême (ici, c = h/2)
c
L
b
h
A B
6
hbS
2
z
12
hbI
3
z
0
0
yzxzxy
zy
z
AB
z
ABx
S
M
I
cM
Contraintes aux fibres extrêmes
ABM
z
yx
L
BM
MB MAB x
Chap 1-4, 6
35
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Flexion Pure – Moment concentré sur une poutre rectangulaire à paroi mince
z
ABx
I
cM
x
y
z
ABM
b
h2/h
2/h
t
Contraintes aux
fibres extrêmes 2h
c Rappel: Comment calculer Iz?
Chap 1-4, 6
ABx
z
M y
I
où
Augmentation linéaire de la contrainte normale en fonction de la distance par rapport au plan neutre
36
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Résistance des matériaux II 5
Flexion pure
1 212
23
21
htI
z
3 4
x
y
z b
h
t
2th
y
tb 2
h
1 23
4z
'z
AyIIzz
2'43 2
ttb
thttbI
z2
2122
223
43
4321 zzz
III
ttbthttbhtIz
23261 233
t
Rappel: Comment calculer Iz?
Chap 1-4, 6
37
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Dans la plupart des cas, les équations que l ’ingénieur utilise pour calculer les contraintes se résument à :
• Chargement uni-axial • Chargement de flexion ordinaire: avec moment
fléchissant et effort tranchant • Chargement de torsion • Chargement combiné:
– axial-flexion – axial-torsion – flexion-torsion – flexion-axial-torsion
Flexion ordinaire (moment fléchissant et effort tranchant)
yP
L
a
xjx et
Chap 1-4, 6
38
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
ch
b
LAR
CR
P
ba
Flexion ordinaire Charge concentrée sur une poutre ayant des appuis simples
Après avoir calculer les réactions Ra et RB la procédure de solution est :
1- Tracer le diagramme des efforts tranchants
2- Tracer le diagramme des moments fléchissants (Mz)
3- Calculer les contraintes xjx et x
y
zVABz MM
RA
A B C
x
Chap 1-4, 6
39
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
1- Tracer le diagramme des efforts tranchants
Le diagramme des efforts tranchants varie d’une quantité égale à - (la force concentrée) à l ’endroit où celle-ci est appliquée
0V
AR
CR
P
ch
b
L
x
y
z
ARCR
ba
P
x
xqV
qdx
dV
xVM
Vdx
dM
Chap 1-4, 6
40
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
2- Tracer le diagramme des moments fléchissants
V
0
AR
CRP
zM
0
aRM Az max
ch
b
L
x
y
z
ARCR
P
ba
x
x
Vdx
dMxVM
Chap 1-4, 6
41
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
3- Calculer la contrainte
On fait une coupe de la pièce à une distance x de l’appui gauche
z
ABx
I
cM
V
0
AR
BRP
ABM
0
maxzM
xRM AAB
x
y
zVABM
x
y
z
x
x
x
RA
Chap 1-4, 6
42
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
3- Calculer la contrainte au point critique
MAB est maximum à x = a, là où V = 0
z
Ax S
aR
x
y
z
P
V
x
a
ABM
V
0
AR
CRP
zM
0
maxz AM R a
x
x
z
Ax S
aR
x
RA
Chap 1-4, 6
43
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
z
yx
L
zM
0
0
ABMz
y
L
ABMx
0V
zM
M
V
x
x
xqV
qdx
dV
xVM
Vdx
dM
A B
Chap 1-4, 6
Exemple 1: Flexion pure
44
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Charge uniformément
distribuée sur une partie de la poutre
-
y
z x
-RA
RA
h
RB
0 +
mNw /,0
02 w
RRaR A
AA
M
xqVqdxdV
xVMVdx
dM
0w
RB
1l
1lRB
aRA
la
0w
RA
z
0
AA
x S
w2R
aR
q = -w0
x
x
z
0
AA
x S
w2R
aR
Points importants à identifier
Chap 1-4, 6
Exemple 2
45
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Représentation de σx par ÉM de l’exemple 2
46
Charge distribuée
h = 30mm
AR
y
z
x N/mm500 w
b = 50mm
mm600l
z
x
RB
mm300a
Le calcul théorique donne une contrainte normale maximale de 225 MPa
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
h
Il faut bien calculer les réactions aux appuis
-
RB
RB +
AR
AR
y
z
x
P
0w
zM
V
x
x
Ici, V passe par zéro à deux sections de la pièce ; il faut alors calcule x aux deux endroits pour trouver les contraintes maximales
Chap 1-4, 6
Exemple 3
47
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
-RA
y
z
x x+x
RA
h
RA a
RB
P
a b
RB
x
Contrainte de cisaillement due à l ’effort tranchant
xMxxM
Px
x
V
zMxxV xV
xM xxM
xq
x
Dans cette poutre, à une distance x de l’origine, isolons une section de longueur x
Chap 1-4, 6
48
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
)11.4(xVMM0M xxx Un élément de poutre de longueur x est en équilibre:
y
z
x
xV
xxV
x xx b
hxxV xV
xMxxM
)3.4(0 adAF xx
)12.412.4( betaI
yM
z
x avec
x
Chap 1-4, 6
49
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Si on isole un élément de cette section d’aire dont le centroïde est situé à une distance de l’axe neutre, il faut ajouter une force interne Fx pour que l’élément soit en équilibre:
'y
est mesurée sur la face sur laquelle agit V
'A
'A
c
xV
x+x x
'y xF
y
z
x
b
xxV
'A
)13.4(0
x
A
xx
A
xx FdAdAF
C’est cette force Fx qui cause une contrainte de cisaillement.
Chap 1-4, 6
50
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
x+x x y
z x
b est mesuré à y1 (surface glissante)
est le second moment de toute la section par rapport à z
Q est le premier moment de surface
xV
c
'y yx
b
V
1y
xy
'A
zI
' 'y y
yx xy
z z
V Q V A y
I b I b
Chap 1-4, 6
Contrainte de cisaillement due à l ’effort tranchant
51
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
La figure ci-dessous illustre la répartition en intensité des contraintes de
cisaillement dues à l’effort tranchant dans un profilé en I. On remarque :
– les contraintes de cisaillement sont nulles aux fibres extrêmes de la poutre – la contrainte de cisaillement est maximale à l’axe neutre de la poutre – la majeure partie de l’effort tranchant est reprise dans l’âme de la poutre – les contraintes de cisaillement sont relativement constantes dans l’âme
Chap 1-4, 6
Contrainte de cisaillement due à l ’effort tranchant
52
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Exemple : Calculer les contraintes de cisaillement dues à l’effort tranchant Vy en A-A et en B-B :
Dimensions en mm
6 440 10z
I mm
A A B
B 20
6
10
5
125 260
102
yV
y
x
z
Section A-A est dans l’âme de la poutre, sous la semelle supérieure. Section B-B est dans la semelle supérieure, à 20 mm de l’extrémité gauche.
Chap 1-4, 6
53
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
À la section d’étude A-A :
La contrainte de cisaillement se calcule : où Q = le premier moment de l’aire de la section de la poutre qui est au dessus
de la section d étude par rapport à l’axe neutre, soit
y
xy
z
V Q
I b
mmbet
mmxyAQ
6
105,12712510102'' 33
A A b 6
10
5
125 260
102
z
y
Chap 1-4, 6
54
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
À la section d’étude B-B :
B
B 20
6
10
5
125 260
102
z
y
3 3' ' 20 10 125 25 10
10 , l'épaisseur de la semelle
Q A y mm
et
b mm
Chap 1-4, 6
y
xy
z
V Q
I b
55
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Résultats FEM
xz
xy
56
Force de cisaillement Vy=142.4 kN
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Dans la grande majorité des cas, les équations que l ’ingénieur utilise pour calculer la sollicitation se résument à :
• Chargement uni-axial • Chargement de flexion • Chargement de torsion • Chargement combiné:
– axial-flexion – axial-torsion – flexion-torsion – flexion-axial-torsion
z
yx
L
T
Torsion
xj
Chap 1-4, 6
57
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Barreau circulaire plein
J
rTx
2
4r
J
r x
y
z
T
T
y
z x
0
0
rxr
rx
Torsion
Contrainte de cisaillement
à la surface externe
z
y
Vue plan yz
J: second moment polaire (constante de torsion)
Chap 1-4, 6
58
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Torsion
Tube circulaire
J
rTx 0
0
rxr
rx
Contrainte de cisaillement
à la surface externe
x
y
z
T
T
r
ir
y
z x
4 4( )
2e i
r rJ
J = 2r3t
où r est le rayon moyen
Chap 1-4, 6
59
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Torsion Tube rectangulaire à paroi mince
Contrainte de cisaillement
moyenne dans la paroi
x = n = s = 0
xn = ns = 0 t A M x
xs
2
t h t b A
moyen périmètre
du intérieur l'
à surface laest A
x
y
zb
h
t
xM
xM
Chap 1-4, 6
est constant dans
l’épaisseur
60
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
yP
L
a
z
yx
xP
0
0
yzxzxy
zy
A
Px
bI
QV)ou(
0
zxzxy
yzzy
z
zx S
M
0
0
rxr
rx
J
rTx
Résumé
x = n = s = 0
xn = ns = 0 t A M x
xs
2
z
yx
L
xMT ou
x
y
z
b
h
t
xM
xM
Chap 1-4, 6
61
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
yP
L
a
z
y x
xP
Résumé
z
yx
L
xMT ou
x
y
z
b
h
t
xM
xM
Chap 1-4, 6
Exemples de section
Axial Toutes les sections constantes selon l’axe x
Changements de section Concentration de contrainte (chap. 10)
Pression cyl. à paroi mince
Section sans plan de symétrie flexion gauche (chap. 17)
Nouveaux en RDM II
Flexion section simple
Torsion section circulaire (x,r,)
Torsion section fermée mince (x,s,n)
Torsion section ouverte mince
Torsion section combinée
Révision partie 4
62
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Dans la grande majorité des cas, les équations que l ’ingénieur utilise pour calculer la sollicitation se résument à :
• Chargement uni-axial • Chargement de flexion • Chargement de torsion • Chargement combiné:
– axial-flexion – axial-torsion – flexion-torsion – flexion-axial-torsion
z
yx T
L
PzM
Chap 1-4, 6
63
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Contraintes aux fibres
externes (r: rayon externe)
Chargement combiné Flexion-axial-torsion
2
4r
J
J
rTx
4
4r
I
2rA
A
P
I
cMz
r x
y
z
T
T
PP
zM z
M
Chap 1-4, 6
64
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Contenu de la partie 2: Chapitres 7 et 10
• Objectifs – Comprendre la définition d’un état plan de contrainte – Calculer les contraintes selon une orientation arbitraire – Calculer les contraintes principales et leur orientation – Représenter l’état de contrainte à l’aide du cercle de Mohr – Calculer la valeur du cisaillement maximal – Évaluer la résistance d’un matériau ductile avec les critères
d’écoulement (Tresca et von Mises)
Chap 7 et 10
65
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Formulaire type à l’examen
Chapitre 7 Superpositions de contraintes (état plan de contrainte sur la surface z)
cos 2 sin 22 2
x y x y
x xy
sin 2 cos 2
2x y
x y xy
2
21,2 2 2 xy
x y x y
1
2tan 2 xy
x y
1 2x y x y
Chapitre 10 Critères de défaillance
Tresca max min
max 2 2Y
S
max min max2Y YS S
FS
2Y
YS
SS
Von Mises 2 2 2
1 2 2 3 3 1
1
2 YS
0,577YS Y
S S
66
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Toutes les contraintes agissant sur une des faces du cube unitaire sont nulles (ici, la face z) ainsi que toutes les contraintes agissant sur les autres faces, dans la direction z. (z = 0 et xz= zx= yz= zy= 0) Très fréquent en ingénierie
xy
z
xy
xz x
y
yxyz
zzx
zy
État plan de contrainte
Chap 7 et 10
x
xx
y
xy
yx
yx
xy
x
xy
z
xyyx
y
Simplification à un élément 2D
y
xy
67
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
État plan de contrainte – Contraintes en un point selon une orientation arbitraire (x’-y’)
• On calcule les contraintes x ,y et xy suivant les directions x et y choisies
• On définit un nouveau système d ’axes x’ et y’ qui fait un angle avec le système x,y; l’axe x positif est l’axe de référence
• En utilisant les équations d’équilibre dans le système x’-y’ (Fx’ = 0; Fy’=0; Mz=0), on établit les expressions pour le calcul des contraintes x’ ,y’ et x’y’ dans le nouveau système
x ’
xy
xy
y
x
y y ’
x ’
θ
x ’y ’
x
Chap 7 et 10
! Attention à la convention
de signe de
68
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Pour transformer x ,y et xy en x’ ,y ’ et x’y’
' '
' ' '
0 cos 2 sin 22 2
0 sin 2 cos 22
x y x y
x x xy
x y
y x y xy
F
F
x ’
xy
xy
y
x
y y ’
x ’
θ
x ’y ’
x
(7.14)
(7.15)
Chap 7 et 10
69
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
État plan de contrainte – Contraintes principales 1 , 2 et 3 en un point
''' 20 yx
x
d
d
(7.14)
2 sin 2 cos 2 2 xy
y x y x ' x
2 2 2 xy
2 y x y x
2 , 1
(7.18) et (7.19)
(7.24)
Sur les plans où se trouvent les contraintes principales, les contraintes de cisaillement sont nulles.
Chap 7 et 10
Contraintes principales en
un point
3 0ou valeur connuez
70
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
État plan de contrainte – Cercle de Mohr
Pour tracer le cercle de Mohr d’un état plan de contrainte dans le plan x-y, on procède de la façon suivante :
• Placer les points X (x ,xy) et Y (y , -xy) dans un système d’axes - • Joindre les deux points par une droite et déterminer le point d ’intersection C
avec l’axe (c = (x + y) /2)
y
x
y’
x’
),( xyxX
),(' ''' yxxX
),(' ''' yxyY
C
2
),( xyyY
• Le cercle de Mohr est le cercle dont le centre est C et qui passe par les points X et Y. • L’état de contrainte selon le système x’-y’ est également représenté par le cercle
x
y
xyyx
x
y
Chap 7 et 10
71
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
État plan de contrainte – Cercle de Mohr Contraintes principales 1 et 2
• L’axe 1 de la contrainte principale 1 fait un angle 1 avec l’axe x
• Sur les plans des contraintes principales, les contraintes de cisaillement sont nulles.
x
y
1
),( xyxX
),( xyyY
C
)0,(1 1)0,(2 2
12
yx
xy
22tg 1
Chap 7 et 10
! Attention à la valeur
calculée de 1
72
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
État plan de contrainte – Cercle de Mohr Cisaillement maximal max
• En état plan de contrainte, la contrainte de cisaillement maximal se situe sur un plan dont la normale d est à 45 par rapport à l’axe 1 (sens trigonométrique négatif à partir de l ’axe 1).
),( xyxX
),( xyyY
C
)0,(1 1)0,(2 2
),( max dD
12
x
y
d
45
e
Chap 7 et 10
73
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Chap. 10 - Critères d’écoulement: Tresca
2/max YS
1Y1 S
Essai de traction
123
max
max
min
3,2 1
Pièce réelle
1
2
3
max
1
2 YS
FS
2
),,min(),,max( 321321max
Cisaillement
maximal Cas général 3D
L’écoulement d’un matériau ductile se produit lorsque max atteint une valeur critique.
Chap 7 et 10
74
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
213
232
221 )()()(
21
YSFS
L’écoulement d’un matériau ductile se produit lorsque l’énergie de distorsion atteint une valeur critique.
Chap 7 et 10
Contrainte équivalente de von Mises
dans le système d’axes 1-2-3
Chap. 10 - Critères d’écoulement: von Mises
75
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Chap. 8 Déformations Chap. 9 Relations contraintes-déformations
• Objectifs: – Connaître la définition d’un état plan de déformation – Savoir définir les déformations à partir des déplacements – Savoir calculer les déformations normales et de cisaillement selon
une orientation quelconque; application des lectures de jauges – Appliquer les relations contraintes-déformations (Loi de Hooke) – Solutionner le cas particulier de la séance de laboratoire no. 2
• Étude des déformations dans un panneau de cisaillement
Chap 8 et 9
Contenu de la partie 3: Chapitres 8 et 9
76
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Déformation Les forces extérieures sur un solide causent : • un déplacement de l’ensemble des points constituant le solide • un mouvement relatif entre les points du solide déformation du solide • Comme pour le cas des contraintes, l’étude des déformations dans un
solide est réalisée pour un état plan. Ici, c’est l’état plan de déformation, qui est différent de l’état plan de contraintes.
• Les côtés CAB d’un élément unitaire de longueurs x et y avant l’application d’une force extérieure se retrouvent en C’A’B’ après chargement.
• Ce faisant, le point A s’est déplacé de la distance u selon l ’axe x et de v selon l ’axe y.
Chap 8 et 9
y
x
x
y
A
'A 'B
B
u v
C'C
xy
2
uu x
x
vv x
x
77
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Déformations
Les déformations normales x et y et de cisaillement xy sont définies de la façon suivante :
x
v
y
uCABBAC
y
v
AC
ACCA
x
u
AB
ABBA
xy
y
x
'''
''
''
Chap 8 et 9
y
x
x
y
A
'A 'B
B
u v
C'C
xy
2
uu x
x
vv x
x
• Déformations: c’est ce qui existe physiquement. • Contraintes: c’est un concept commode pour faire des calculs
78
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Déformations
• La méthode expérimentale la plus répandue et la plus utile en ingénierie pour l’analyse des contraintes est basée sur la mesure des déformations à l’aide des jauges de déformation
• Connaissant les déformations, les contraintes peuvent être calculées à l’aide de la loi de Hooke (Chap. 9)
• Ce sont les contraintes qui permettent d’évaluer le facteur de
sécurité (FS) d’une pièce soumise à des forces extérieures connues
Chap 8 et 9
Une jauge mesure une déformation normale et elle est toujours dans un état plan de contrainte parce qu’elle est collée sur une surface libre. Donc, 3 = 0.
79
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Fil dont la résistance électrique R varie avec son allongement. Elle mesure une déformation exclusivement dans l’axe de son fil. – On colle solidement la jauge sur la surface de la pièce. Lorsqu’une
force agit sur la pièce, celle-ci se déforme. – La jauge subit alors la même déformation et sa résistance électrique
varie en conséquence:
• On enregistre le changement de résistance. • Après une calibration adéquate, on déduit
la déformation.
– Il n’existe aucune méthode simple qui permette de mesurer une déformation de cisaillement .
kR
R
Chap 8 et 9
Jauges de déformation
Échantillon « disque » instrumentée de 3 rosettes
80
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
On sait que : où 3 en général est connue On sait aussi que : (pour état plan de contrainte en z)
et que : (loi de Hooke)
• Une jauge ne mesure qu’une déformation normale() • Elle ne peut pas mesurer une déformation de cisaillement ()
321 ,, FS
xyyx ,,, 21
xyyxxyyx ,,,,
Chap 8 et 9
81
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
À partir de trois valeurs de déformation normale (a, b, c) mesurées suivant des orientations quelconques mais connues, (a, b, c ) on peut déterminer x, y et xy de la façon suivante : Dans ce système, l’axe x est l’axe de référence. Les angles i sont mesurés à partir de cet axe ; ils sont positifs dans le sens anti-horaire. Ensemble de jauges: une rosette
a
b
c
a
b
c
x
y
c
xy
c
yxyx
c
b
xy
b
yxyx
b
a
xy
a
yxyx
a
2sin2
2cos22
2sin2
2cos22
2sin2
2cos22
Ceci constitue un système de trois équations à trois
inconnues x, y, xy
Chap 8 et 9
! Attention à la convention
de signe de
82
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Chap. 9 Relations contraintes-déformations (Loi de Hooke)
GGG
E
E
E
yz
yzxz
xz
xy
xy
yxzz
xzyy
zyxx
;;
1
1
1
2133
1322
3211
1
1
1
E
E
E
Axes x, y et z Axes 1, 2 et 3
Chap 8 et 9
83
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Rappel: Propriétés mécaniques
• Module d’Young (E)
• Module de cisaillement (G)
• Coefficient de Poisson (v)
E
G
)1(2 v
EG
L
Tv
F F
Direction longitudinale
Direction transversale
Chap 8 et 9
84
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Questions :
• Que vaut max (1, 2, 3)?
• Quelle est l ’orientation de max ?
• Quel est l’effort tranchant qui
passe dans le panneau?
x
y
F
F
Étude des déformations dans un panneau de cisaillement (séance de laboratoire no. 2)
Chap 8 et 9
Panneau
Cadre
85
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
x
y
F
2/F 2/F
030060
060 a
b
c
V2/F
2/F
x
Panneau de cisaillement (séance de laboratoire no. 2)
x
2/F
2/F 2/F
a
b
2/F
b
aF
2
b
aF
2
Efforts internes dans le cadre
86
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
2/F
cornièrespanneau VVV
AV xypanneau
A
x
yF
2/F 2/F
C
C
Coupe C-C
Panneau de cisaillement (séance de laboratoire no. 2)
On suppose la contrainte uniforme sur la surface A
87
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Panneau de cisaillement (séance de laboratoire no. 2)
0
0
xy
yx
12
x
yF
2/F 2/F
),0( X
),0( Y
1
2
045x
03
2
1
3
21
Contraintes principales et orientation
Contraintes selon le système d’axes x-y
1
88
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
x
y
F
2/F 2/F
x
y
F
2/F 2/F
030
060
060a
b
c
030
060
060 a
b
c
Laboratoire Étude ici
Panneau de cisaillement (séance de laboratoire no. 2)
89
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Relations pour une rosette à 0o ± 60o
cos(2 60) sin(2 60)2 2 2
cos(0) sin(0)2 2 2
cos( 2 60) sin( 2 60)2 2 2
d'où on tire
2
32
3 3
x y x y xy
a
x y x y xy
b
x y x y xy
c
x b xy a c
by a c
a
b
c
x
y2/1 2/3
2/32/1
1 0
060
060
Formules pour rosette à 60
90
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Les déformations étant mesurées suivant trois directions a, b et c connues, on peut calculer les déformations suivant les directions x, y et z. À ce stade, on peut :
• calculer les déformations principales 1, 2, 3 puis les contraintes principales 1, 2, 3
ou • calculer les valeurs de x, y et xy puis les
contraintes principales 1, 2, 3
Panneau de cisaillement (séance de laboratoire no. 2)
91
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
2133
1322
33211
E
1E
1
0oùE
1
G
E
1E
1
0oùE
1
xy
xy
yxzz
xzyy
zzyxx
max2 YS
FS
321321max
2
xy
2
yxyx
2,1
,,min,,max
:veuton
222
0
;22
3
2
2
2,1
z
xy
yxyx
2
,,min,,max 321321max
cbaxyyx ,,,,
Onconnait , , on mesure , ,a b c a b c
92
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
À partir de x , y et xy on solutionne pour obtenir les déformations principales :
: de Loi
0 ) ( 0 1 1
2 1 3 3
E E
Hooke
(8.15)
321321max ,,min,,max
2 2
1,2 2 2 2x y x y xy
93
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
12
03
21
12
),0( X
),0( Y
03
2
1
030060
060 a
b
c
3
)2/,( xyyY
3
ac
o120 o120
030
060
060a
b
c
x
y
Cercle de Mohr: Contraintes Cercle de Mohr: Déformations
94
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Formulaire type à l’examen
Chapitre 8 Déformations
cos 2 sin 22 2 2
x y x y xy
x
sin 2 cos 2
2 2 2x y x y xy
1 2x y x y
Chapitre 9 Relations contraintes / déformations / température
1x x y z
v TE
xy
xyG
1y y z x
v TE
yz
yzG
1z z y x
v TE
xzxz
G
Énergie de déformation
1
2 x x y y z z xy xy yz yz zx zx
V
U dV
95
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
• Objectifs – Dessiner la propagation du flux de cisaillement sur la
section d’une structure en torsion – Savoir calculer la contrainte de cisaillement et la
constante de torsion (J) pour une section • ouverte (mince et épaisse) • fermée
– Identifier la contrainte de cisaillement maximale dans une section composée (en utilisant la compatibilité géométrique)
Chap 6 et 16
Révision partie 4: Chapitres 6 et 16
96
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
T
T
T TT
TT
Sections fermées Sections ouvertes
tA
Txs 2
J
tTxy 3
3
1tbJ
t
ds
AJ
24
JG
LT
y
zx
TTT T T
1
23 T
Section composée
J
Trx
Compatibilité géométrique
Formule
générale
Section circulaire
trrr
J
rJ
ie 344
4
22
)(
2
Rayon moyen T
Chap 6 et 16
97
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Chapitre 16, TORSION AVANCÉE
16.1 Introduction
16.2 Méthode de Saint-Venant
16.3 Fonction de contraintes
16.4 Quelques solutions particulières
16.4.1 Procédure
16.4.2 Barreau elliptique
16.4.3 Barreau triangulaire
16.4.4 Résolution pour une section rectangulaire
16.5 ...............
Chapitre 6, LA TORSION
6.1 Introduction
6.2 Sections circulaires
6.3 Tube à parois minces
6.4 Sections ouvertes minces (méthode de calcul)
6.4.1 Section rectangulaire mince
6.4.2 Application aux profilés minces
6.5 .........
Chap 6 et 16
98
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Section fermée q, le flux de cisaillement ( une définition), est une force / unité de longueur de paroi, N / m. Sur une section fermée, q est constant autour de la section même si l’épaisseur t varie
tdnq xs
t
t
xs
2/
2/
)principale e(contraint 0
Donc,
0
3
n
nsxnsnx
tTq
T
x ns
x
Chap 6 et 16
est constant dans
l’épaisseur
99
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Section fermée Avec
et
On obtient : et :
tdnq xs
t
t
xs
2/
2/
AqT 2
0 dsqshTM x
q = constant suivant la direction s
Équation d’équilibre
A = aire du périmètre moyen Asdsh 2
min2 tA
Txs txs épaisseur l'sur constant
sd
T
Ad
q
)(sh
t
x ns
Chap 6 et 16
100
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
est l’aire à l’intérieur du périmètre moyen de la section
Section fermée Contrainte de cisaillement maximale
A
min2 tA
Txs
T
tT
A
xn
s
xs est maximum pour tmin
Puisque q est constant selon s, si t augmente, xs diminue
Chap 6 et 16
101
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Déformation observée en torsion
x
Dans un barreau circulaire
s
xzxy et Dans un barreau prismatique
zouy
r
y
z
Chap 6 et 16
102
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Déformations de cisaillement pour section prismatique
b
t
Chap 6 et 16
103
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Déformations de cisaillement pour section prismatique
Changement de l’angle droit :
dans le plan x-z, donc xz et xz
dans le plan x-y, donc xy et xy
y
Chap 6 et 16
104
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Simulation par ÉF
105
T = 100 kN.m
Rectangle mince:
160x10x80mm
Rectangle épais:
160x40x80mm
T
y
xz
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
106
Simulation par ÉF: rectangle mince en torsion
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
107
Simulation par ÉF: rectangle épais en torsion
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Contraintes de cisaillement pour les 2 épaisseurs Rectangle mince Rectangle épais
τxz
τxy
108 La déformation a été amplifiée d’un facteur 100
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Contrainte normale σx pour les 2 épaisseurs
Rectangle mince Rectangle épais
109 La déformation a été amplifiée d’un facteur 100
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Résolution pour une section rectangulaire
Si b/t > 10, k1 = k2 =1,0
C’est le cas que nous étudierons
k1
k2
Constante de torsion xy
Section 16.4.4 du volume
xy
Chap 6 et 16
110
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Section ouverte (barreau rectangulaire) • Contrairement à une section fermée, le
flux q, pour circuler, doit passer deux fois (aller retour) sur l’épaisseur t.
• Ceci fait que le cisaillement change de sens sur l’épaisseur t et la section est beaucoup moins efficace pour transmettre de la torsion
• Contraintes et constante de torsion
y
x
z
T
T
ty
x
z
b
L
xy varie linéairement selon z J
tTxy 3
3
1tbJ
)principale contrainte ( 0 Donc
00
3
z
xzyzzyx et
Chap 6 et 16
111
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
1t
2b2b
1b 1b 1b
2t
1t1t
2t
3b3t
3b3t
2t2b
TTT
Section ouverte (barreau rectangulaire)
• Sections en I, en C ou en L (exemples de sections ouvertes) – Inefficaces pour transmettre un couple de torsion.
Chap 6 et 16
112
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Section composée
Pour améliorer une section ouverte telle qu’un profilé en I, on peut souder une plaque sur toute la longueur de la poutre. Pour l’analyse en torsion, on décompose la poutre combinée en deux sections ouvertes,1 et 2, et une section fermée, 3.
yx
z
1
23 T
x
Chap 6 et 16
113
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Simulation ÉF de la section composée avec 3 types de soudure
114 y
x
z
102 mm 10
6 240 10
Vue de dessus
encastrement
Aux extrémités Multipoints Continue
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Section composée connectée par des soudures aux extrémités
Concentration de contraintes
au niveau des soudures
115
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Section composée connectée par des soudures multiples
116
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Section composée connectée par des soudures continues
117
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Deux plaques parallèles réunies par un seul cordon de soudure constituent deux sections ouvertes.
Par contre, les deux mêmes plaques réunies par deux
cordons de soudure sur toute leur longueur deviennent une
section fermée
T
xy
x
z
x
Chap 6 et 16
Section composée
118
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Section composée
Exemple: – Deux cordons de
soudure sur toute la longueur du profilé
Section ouverte
Section fermée
T
Illustration de la circulation du flux de cisaillement
Chap 6 et 16
119
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Section composée
Exemple: On veut connaître TTOT permis pour une valeur de SY connue.
1t1b
2b 2t
L
TOTT
1
2
3
TOTT
LLLL 321
Chap 6 et 16
120
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Procédure de solution : • 1- Établir la répartition de Ttot dans
1 , 2 et 3 (équilibre) • 2- Assurer la compatibilité de
déformation comme un corps solide • 3- Calculer les relations T- • 4- Calculer les contraintes • 5- Calculer TTOT permis
1t1b
2b 2t
L
TOTT
1
2
3
TOTT
LLLL 321
Chap 6 et 16
121
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
321 TTTTTOT
1t1b
2b 2t
L1
2
3
1T
1T
2T
2T
3T
3T
iLLLL 321
1t1b
2b 2t
L
TOTT
1
2
3
TOTT
Chap 6 et 16
122
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5 Solution : 1- Équilibre : T1, T2 et T3 sont les parties du couple total TTOT reprises respectivement par les sections 1, 2 et 3.
321 TTTTTOT
1t1b
2b 2t
L1
2
3
1T
1T
2T
2T
3T
3T
iLLLL 321
Chap 6 et 16
123
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
2- Compatibilité : Les sections 1, 2 et 3 sont solidaires. Elles se déforment comme un corps solide sous l ’action du couple TTOT. Donc, Si on appelle =/L, on a :
12
3
i 321
L
ii
321
Chap 6 et 16
124
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
2- Compatibilité : 3- Relations T - : ou que
iii
i
ii
ii
GJ
T
GJ
LT
L
ii
321
33
3
22
2
11
1
GJ
T
GJ
T
GJ
T
1t1b
2b 2t
L1
2
3
1T
1T
2T
2T
3T
3T
iLLLL 321
Chap 6 et 16
125
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
2- Compatibilité : 3- Relations T - : Si les valeurs de Gi sont identiques :
iii
i
ii
ii
GJ
T
GJ
LT
GJ
T
GJJJ
TTT
GJ
T
GJ
T
GJ
T
TOT
TOT
)(
321
321
3
3
2
2
1
1
i
ii
L
321
Rappel: Formule trigonométrique
fdb
eca
f
e
d
c
b
a
Lorsque même matériau
dans sections 1,2 et 3
Chap 6 et 16
126
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
3- Relations T - : J1 et J2 : constantes de torsion pour une section ouverte J3 : constante de torsion pour une section fermée circulaire:
TOT
TOT
J
T
JJJ
TTT
J
T
J
T
J
T
)(
321
321
3
3
2
2
1
1
322
31121 3
1tbtbJJ
33
3
2
3
2
3
2
3 22444
tr
t
r
A
t
périmètre
A
t
ds
AJ
1t
i321 LLLL
1b
2b 2t
L1
2
3
1T
1T
2T
2T
3T
3T
r
3t
A
Chap 6 et 16
127
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
4- Calcul de : a) sections ouvertes (1)
TOT
TOT
J
T
J
T
J
T
2
2
1
1
TOT
TOTxs
J
tT
J
tT 1
1
111)(
1
111)(
J
tTxs
1t1b
2b 2t
L1
2
3
1T
1T
2T
2T
3T
3T
iLLLL 321
Même approche pour section (2)
TOT
TOTxs
J
tT
J
tT 2
2
222)(
Chap 6 et 16
128
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
4- Calcul de : a) sections ouvertes (1 et 2)
TOT
etdeTOT
ouvertxsJ
tT 21max
max )(
TOT
TOT
xsJ
tT 11)(
TOT
TOT
xsJ
tT 22)(
1t1b
2b 2t
L1
2
3
1T
1T
2T
2T
3T
3T
iLLLL 321
Utiliser la plus grande épaisseur pour calculer
la contrainte maximale des sections ouvertes
Chap 6 et 16
129
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
4- Calcul de : b) section fermée (3)
3
33 22
)(tA
T
tA
Txs
TOT
TOT
J
T
J
T
3
3
3
3
3
33 2
12
)(tAJ
JT
tA
T
TOT
TOT
xs
1t1b
2b 2t
L
TOTT
1
2
3
TOTT
3T
3T
3
33 2
1)(
tAJ
JT
TOT
TOT
xs
Chap 6 et 16
130
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
5- Calcul de TTOT permis: TTOT permis est le plus petit des deux valeurs calculées .
1t
1b
2b 2t
L
TOTT
1
2
3
TOTT
33
22
)( tAJ
J
FS
ST TOTY
ferméTOT
21max2)(
etde
TOTY
ouvertTOTt
J
FS
ST
Chap 6 et 16
131
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
Calcul de FS lorsque la valeur de T est connue: a) sections ouvertes (1 et 2)
b) Section fermée (3)
1t
1b
2b 2t
L
TOTT
1
2
3
TOTT
ouvertxs
YSFS
max2
21max2 etdeTOT
TOTY
tT
JSFS
32 xs
YSFS
3
3
2
2
JT
tAJSFS
TOT
TOTY
Chap 6 et 16
132
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
133
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
134
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
135
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Résistance des matériaux II 5
136