Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur
Rôle d’une interface irrégulière dans la propagationd’ondes
Anna Rozanova-Pierrat, B. Sapoval, M. Filoche, D. Grebenkov
LAGA, Université Paris 13
14 juin 2010
1 / 46
1 IntroductionMotivationQuestions
2 Étude d’une cavité composée de deux milieuxModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat
3 Étude d’un guide d’onde composé de deux milieuxModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat
4 Propagation de la chaleurModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat
1 IntroductionMotivationQuestions
2 Étude d’une cavité composée de deux milieuxModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat
3 Étude d’un guide d’onde composé de deux milieuxModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat
4 Propagation de la chaleurModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Motivation Questions
Mur anti-bruitBarrière Absorbante Acoustique. Matériau : ciment-bois
Brevet Colas-École Polytechnique US patent4 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Motivation Questions
Absorption du mur anti-bruit
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Motivation Questions
Irrégularité et “localisation” des fonctions propres[Sapoval et al., JASA 102, 1997] −uj = λjuj , uj |∂Ω = 0
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Motivation Questions
Autre exemple de “localisation”[S. Félix et al., Journal of Sound and Vibration, 299, 2007]
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Motivation Questions
Localisation “à cheval”[S. Félix et al., Europhysics letters, 85(1), 2009]
Pour Ω = Ω1
⊔
Ω2
−ψj = λjψj dans Ω1,
− div(
1ρR + iρI
∇ψj
)
= λj1
KR + iKI
ψj dans Ω2,
∂ψj
∂ν= 0 sur ∂Ω,
Ω2
Ω1
Γ
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Motivation Questions
Localisation “à cheval”[S. Félix et al., Europhysics letters, 85(1), 2009]
Pour Ω = Ω1 ∪Ω2
−ψj = λjψj dans Ω1,
− div(
1ρR + iρI
∇ψj
)
= λj1
KR + iKI
ψj dans Ω2,
∂ψj
∂ν= 0 sur ∂Ω,
ψj |Γ− = ψj |Γ+
∂ψj
∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ−
= − 1ρR + iρI
∂ψj
∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ+
Ω2
Ω1
Γ
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Motivation Questions
Localisation “à cheval”[S. Félix et al., Europhysics letters, 85(1), 2009]
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Motivation Questions
Localisation “à cheval”[S. Félix et al., Europhysics letters, 85(1), 2009]
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Motivation Questions
Modèles sans dissipationInfluence d’une interface irrégulière
Modes propres du Laplacien
Localisation ?
Phénomène “à cheval” ?
Propagation
des ondes acoustiques
Transmission en énergie
Comparaison entre phénomènes decouplages et de la propagation
de la chaleur
Aux temps courts
Aux temps longs
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1 IntroductionMotivationQuestions
2 Étude d’une cavité composée de deux milieuxModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat
3 Étude d’un guide d’onde composé de deux milieuxModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat
4 Propagation de la chaleurModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Modélisation : Problème
ρ1, c1
ρ2, c2
Ω1Ω1Ω1
Ω2Ω2Ω2
ΓΓ
Γ
∂p∂ν
∣
∣
∣
∂Ω= 0
p est la pression acoustique
sur Γ on a l’égalité des pressions et des vitesses
p|Γ− = p|Γ+
1ρ1
∂p∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ−
= − 1ρ2
∂p∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ+
.
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Modélisation : Problème
ρ, c
∂p∂ν
∣
∣
∣
∂Ω= 0
− div(
1ρ∇p)
=1ρ
ω2
c2p ⇐⇒
−ψ = λψ dans Ω
∂ψ
∂ν= 0 sur ∂Ω
λj = ω2j /c
2 sont les valeurs propres
ωj sont les fréquences propres∫
Ω ψlψjdxdy = δlj
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Modélisation : Problème
ρ1, c1
ρ2, c2
∂p∂ν
∣
∣
∣
∂Ω= 0
− div(
1ρ1
∇p)
=1ρ1
ω2
c21
p dans Ω1
− div(
1ρ2
∇p)
=1ρ2
ω2
c22
p dans Ω2
1ρ1
∂p∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ−
= − 1ρ2
∂p∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ+
p|Γ− = p|Γ+
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Modélisation : Problème
ρ1, c1
ρ2, c2
∂ψj
∂ν
∣
∣
∣
∂Ω= 0
c2 = c1/n, λj = ω2j /c
21 (n ∈ R, n > 1)
− div(
1ρ1
∇ψj
)
=1ρ1
λjψj dans Ω1
− div(
1ρ2
∇ψj
)
=n2
ρ2
λjψj dans Ω2
1ρ1
∂ψj
∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ−
= − 1ρ2
∂ψj
∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ+
ψj |Γ− = ψj |Γ+
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Modélisation : Problème
Ω1
Ω2
∂ψj
∂ν
∣
∣
∣
∂Ω= 0
− div (∇ψj) = λjψj dans Ω1
− div(
ρ1
ρ2
∇ψj
)
= n2 ρ1
ρ2
λjψj dans Ω2
∂ψj
∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ−
= − ρ1
ρ2
∂ψj
∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ+
ψj |Γ− = ψj |Γ+
(λj − λl)
[∫
Ω1
ψjψl + n2 ρ1
ρ2
∫
Ω2
ψjψl
]
= 0
Si m =ρ2
ρ1
= n2,
∫
Ωψjψl = δjl
L = (IΩ1(x , y) +
mn2
IΩ2(x , y))∆
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Modélisation : Problème
Ω1
Ω2
∂ψj
∂ν
∣
∣
∣
∂Ω= 0
λj = ω2j /c
21
c2 = c1/n
ρ2 = mρ1
−ψj = λjψj dans Ω1
− div(
1m∇ψj
)
=n2
mλjψj dans Ω2
∂ψj
∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ−
= − 1m∂ψj
∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ+
ψj |Γ− = ψj |Γ+
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Aspects numériques : Dimensions
ρ1, c1
ρ2, c2
Ω1Ω1Ω1
Ω2Ω2Ω2
ΓΓ
Γ
l
b 1b 2
ρ2 = 30ρ1, c2 = c1/6
l = 1, b1 = 1 + (1 +√
5)/2 ≈ 2.618, b2 = 2.1
COMSOL Script (Multiphysics)
Éléments finis de Lagrange d’ordre 1
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Maillage
maillage “uniforme” triangulaire≈ 16 nœuds sur le plus petit segment de fractalNombre total d’éléments : 561916Nombre de degrés de liberté : 281913
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Méthode de résolution
Méthode itérative basée sur l’espace de Krylov Kd
d ≈ 2N (N nombre de fonctions propres à trouver)Ax = λBx au voisinage de σ ⇐⇒ (A− σB)x = λBx auvoisinage de 0
Trouver les plus grandes valeurs propres de la matriceC = (A− σB)−1BRoutines ARPACK en Fortran basées sur l’algorithme d’ArnoldiIRAM (Implicity Restarted Arnoldi Method)
Solver SPOOLES (matrice symétrique)Factorisation LDLT
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Couplage (n = 6, m = 30, l = 1, b1 = 1 + (1 +√
5)/2,
b2 = 2.1)Modes numéro 11, 13 et 72
a) b) c)
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Applications : Surface d’existence
S =1
∫
Ω |u|4dxdy
∫
Ω|u|2dxdy = 1
Ωu =
F sur Ω0 sur R
2 \Ω
∫
ΩF 2
dxdy = F 2 vol(Ω) = 1 ⇒ F =1
vol(Ω)1
2
⇒ S =1
∫
Ω |u|4dxdy=
1F 4 vol(Ω)
=1
1
vol(Ω)2 vol(Ω)= vol(Ω)
16 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Couplage en énergie
Produit scalaire équivalent dans L2 :
< ψi , ψj >L2(Ω)=
∫
Ω1
ψiψjdxdy +n2
m
∫
Ω1
ψiψjdxdy = δi ,j
Surface d’existence Sj :
Sj =1
∫
Ω1|ψj |4dxdy +
(
n2
m
)2 ∫
Ω2|ψj |4dxdy
Énergie totale Ej d’un mode ψj :
Ej =< ψj , ψj >L2(Ω)=∫
Ω1|ψj |2dxdy + n2
m
∫
Ω1|ψj |2dxdy ,
Ej = E (Ω1)j + E (Ω2)
j
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Couplage en énergie
Énergie totale Ej d’un mode ψj :
Ej =∫
Ω1|ψj |2dxdy + n2
m
∫
Ω1|ψj |2dxdy ,
Ej = E (Ω1)j + E (Ω2)
j
Couplage en énergie CEj d’un mode ψj :
CEj = 4
E (Ω1)j E (Ω2)
j
E 2j
0 pas couplé
1 couplé
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Couplage en énergie (n = 6, m = 30)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110
−8
10−6
10−4
10−2
100
F0
F2
F1
CE j
ωj l/(2πc1)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x 10−3
10−8
10−6
10−4
10−2
100
Sj
CE j
F0
F1
F2
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Couplage en énergie (n = 4, m = n2)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.510
−8
10−6
10−4
10−2
100
F0
F2
F1
CE j
ωj l/(2πc1)
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.810
−6
10−4
10−2
100
Sj
CE j
F0, < CEj >F0= 0.1822, < Sj >F0= 1.11491
F1, < CEj >F1= 0.2708, < Sj >F1= 0.8732
F2, < CEj>F2= 0.2825, < Sj >F2= 0.8620
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1 IntroductionMotivationQuestions
2 Étude d’une cavité composée de deux milieuxModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat
3 Étude d’un guide d’onde composé de deux milieuxModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat
4 Propagation de la chaleurModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
But recherché (dans l’espace temporel)
Ω1, Z1 = c1ρ1 Ω2, Z2 = c2ρ2
x = 0
∂p∂ν
= 0
∂p∂ν
= 0
pI = Aei(ωt−k1x)
pR
pT
c2 = c1/n ρ2 = mρ1 Z2 =mn
Z1
λj =2πcj
ωλ2 =
λ1
nkj =
2πλj
=ω
cj
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
But recherché dans l’espace fréquentiel
Ω1, Z1 = c1ρ1 Ω2, Z2 = c2ρ2
x = 0
∂p∂ν
= 0
∂p∂ν
= 0
pI = 2πAe−ik1x
pR
pT
pΩ1+ k2
1 pΩ1= δx (−∞) dans Ω1 pΩ1
= pI+pR
pΩ2+ k2
2 pΩ2= 0 dans Ω2 pΩ2
= pT
pΩ1|Γ = pΩ2
|Γ1ρ1
∂pΩ1
∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ−
= − 1ρ2
∂pΩ2
∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ+
22 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
But recherché : transmission/refléxion en énérgie
Ω1, Z1 = c1ρ1 Ω2, Z2 = c2ρ2
x = 0
l
x = x0
pI = 2πAe−ik1x
pR
pT
Flux d’énergie transmise fT (ω) = −12
Re
(
∫ l
0
i1ρ2ω
pT∂x pT dy
)
23 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
But recherché : transmission/refléxion en énérgie
Ω1, Z1 = c1ρ1 Ω2, Z2 = c2ρ2
x = 0
l
x = x0
pI = 2πAe−ik1x
pR
pT
Flux d’énergie transmise fT (ω) = −12
Re
(
∫ l
0
i1ρ2ω
pT∂xpT dy
)
Flux d’énergie incidente fI = −12
Re
(
∫ l
0
i1ρ1ω
pI∂x pIdy
)
=12
4π2A2lρ1c1
23 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
But recherché : transmission/refléxion en énérgie
Ω1, Z1 = c1ρ1 Ω2, Z2 = c2ρ2
x = 0
l
x = x0
pI = 2πAe−ik1x
pR
pT
Flux d’énergie transmise fT (ω) = −12
Re
(
∫ l
0
i1ρ2ω
pT∂xpT dy
)
Flux d’énergie incidente fI = −12
Re
(
∫ l
0
i1ρ1ω
pI∂x pIdy
)
=12
4π2A2lρ1c1
Transmission en énergie τ(ω) =fTfI
= −Re
(
∫ l
0
iρ1c1
4π2A2lρ2ωpT∂x pT dy
)
Réflexion en énergie r(ω) = 1− τ(ω)23 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Cas analytique
Ω1, Z1 = c1ρ1 Ω2, Z2 = c2ρ2
x = 0
pI = Ae−ik1x
pR = Reik1x
pT = T e−ik2x
(
Ae−ik1x + Reik1x)∣
∣
∣
x=0= Te−ik2x
∣
∣
∣
x=0⇒ A + R = T
1ρ1
∂(
Ae−ik1x + Reik1x)
∂x
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x=0
=1ρ2
∂Te−ik2x
∂x
∣
∣
∣
∣
∣
x=0
⇒
k1
ρ1
(A− R) =k2
ρ2
T , kj =ω
cj⇒ A− R =
Z1
Z2
T
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Cas général
Ω1
Ω2
x = 0
l
l1 l2
x1 = −L1 x2 = L2
pI = 2πAe−ik1x
pR
pT
PM
L1
PM
L2
E. Turkel, A.Yefet, Appl. Num. Math., 1998.F. Collino et P. Monk, SIAM J. Sci. Comp., 1998.
Sj(x) = 1 +σj(x)
ikjσj(x) =
3cj
2ljln(105)
(x − xj)2
l2j
xj = (−1)j(Lj + lj) Rj = −e−2ikj
∫ lj
0(1+
σj (x)
ikj)dx
25 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Guide d’onde
∂
∂x
(
1ρ1
(
1S1
∂p∂x
+∂e−ik1x
∂x
))
+∂
∂y
(
S1
ρ1
∂p∂y
)
+k2
1
ρ1
S1p = 0 PML1
∂
∂x
(
1ρ1
∂(p + e−ik1x )
∂x
)
+∂
∂y
(
1ρ1
∂p∂y
)
+k2
1
ρ1
(p + e−ik1x ) = 0 Ω1
∂
∂x
(
1ρ2
∂p∂x
)
+∂
∂y
(
1ρ2
∂p∂y
)
+k2
2
ρ2
p = 0 Ω2
∂
∂x
(
1S2ρ2
∂p∂x
)
+∂
∂y
(
S2
ρ2
∂p∂y
)
+k2
2
ρ2
S2p = 0 PML2
26 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Aspects numériques : Maillage triangulaire
λ2
r
x = 0
l
4λ1 4λ2
x1 = −6l/16− 4λ1 x2 = 6l/16 + 4λ2
λ1
r2λ1
r 2λ2
r
λ1 ∈ [0.1, 0.3] r = 25
λ1 ∈ [0.301, 1] r = 50
λ1 ∈ [1.001, 5] r = 100
Maillage adaptatiféléments finis de Lagrange d’ordre 1
27 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Maillage adaptatif
28 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Méthode de résolution
Solver SPOOLES (matrice symétrique)factorisation LDLT
0 1 2 3 4 50.883
0.884
0.885
0.886
0.887
0.888
0.889
0.89
Tra
nsm
issi
onτ
λ
29 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Analyse des solutions
30 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Analyse des solutions
31 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Réflexion en énergie (n = 4, m = n2 et n = 6, m = 30)
Contraste n = 4, m = n2
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
l/λ
Réfl
exio
n
Fractal 0
Fractal 1
Fractal 2
Contraste n = 6, m = 30
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
l/λR
éflex
ion
Fractal 0
Fractal 1
Fractal 2
32 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Comparaison empirique entre les phénomènes de couplages
CEj et de la transmission τ
Guide d’onde infini
Source
Source
Cavité acoustique
CEm ⇐⇒ τ
τ = f (CEm)
33 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Comparaison empirique entre les phénomènes de couplages
CEj et de la transmission τ
Couplage avec la source
u(x , t) =∞∑
j=1
cos(√
λj t)(u0, ψj)ψj(x , y)
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
F0
√
λj
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
F1
√
λj
33 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Comparaison empirique entre les phénomènes de couplages
CEj et de la transmission τ
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
√
λj
τ
33 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Comparaison empirique entre les phénomènes de couplages
CEj et de la transmission τ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
Tra
nsm
issi
onτ
2πl/λ
αi > 0.13αi > 0.11ταi > 0.17
33 / 46
1 IntroductionMotivationQuestions
2 Étude d’une cavité composée de deux milieuxModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat
3 Étude d’un guide d’onde composé de deux milieuxModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat
4 Propagation de la chaleurModélisationAspects numériquesApplications physiques du résultat
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Modélisation : Problème
D1
D2
Ω1Ω1Ω1
Ω2Ω2Ω2
ΓΓ
Γ
ut − div ((D1IΩ0+ D2IΩ1
)∇u) = 0
u|t=0 = IΩ1(x , y)/ vol(Ω1)
∂u∂ν
∣
∣
∣
∣
∂Ω= 0 u|Γ− = u|Γ+
D1
∂u∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ−
= − D2
∂u∂ν
∣
∣
∣
∣
Γ+ 35 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
But recherché
Ni (t) =
∫
Ωi
u(t, x , y)dxdy
u =1
vol(Ω1)
∞∑
k=0
e−λk tuk
∫
Ω1
ukdxdy
Ni (t) =1
vol(Ω1)
∞∑
k=0
e−λk t
∫
Ω1
ukdxdy∫
Ωi
ukdxdy
N1(t) + N2(t) = const
N2(t) pour t → 0
N2(t) pour t → +∞36 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Cas analytique
√
D1
D2
sin
(
√
λk
D1
b1
)
cos
(
√
λk
D2
b2
)
+ cos
(
√
λk
D1
b1
)
sin
(
√
λk
D2
b2
)
= 0
Ω1
Ω2
l
b2
−b1
0
y N1(t) + N2(t) = 1
N1(t) =b1
b1 + b2
+2D1
b1
∞∑
k=1
e−λk t
λk
·
·sin2(b1
√
λk
D1)
b1 + b2 + b2(D1
D2− 1) sin2(b1
√
λk
D1)
N1(t)→b1
b1 + b2
t → +∞
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Cas analytique
Théorème
Pour t → 0, il existe une constante C > 0 tel que
N2(t) ∼ C√
t
Preuve
Résultat transformée de Laplace et fonction zêta spectrale⇒ ∃C1 > 0 et ∃C2 > 0 t. q. C1
√t ≤ N2(t) ≤ C2
√t
Projet Pour des intérfaces régulières :paramétrixe du noyau de la chaleurH. McKean et I. Singer,S.Minakshisundaram et Å Pleijel
Pour des intérfaces irrégulières/fractales :formule asymptotique de Weyl/rôle des anglesM. Lapidus
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Cas analytique 1D
u = 1
∂u∂ν
= 0
ut − div (D∇u) = 0
u|t=0 = 0
u1D =2√π
∫ +∞
x√
4Dt
e−z2
dz
N2(t) =
∫ ∞
0
u(x , t)dx =2√
Dt√π
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Aspects numériques : Dimensions
b1
b2
ℓ
Ω1
Ω2
Γδ?
6
ε
Contraste D1/D2 = 100 (n = 10)
l = 1
b1 = b2
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Maillage
Maillage adaptatif l/30, éléments finis de Lagrange d’ordre 2
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Méthodes de résolution différentes (fractale 0, n = 10)
10−10
10−5
100
10−6
10−4
10−2
100
log(t)
log(
N2)
Bleu : solution en temps de l’équation de la chaleur 2DVert : solution en temps de l’équation de la chaleur 1DRouge : formule analytique avec 10000 vecteurs propres 1D
Noir :√
D2tb2
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Propagation en temps 2D (n = 10, t = 10−2, 10−1, 0.5)
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Propagation en temps 2D (n = 10, t = 1, 10, 25)
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Propagation en temps 2D (n = 10, t = 0.06, 2.4, 7.4)
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Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Propagation en temps 2DMilieu unique (D1 =∞, D2 = 1/100, l = 1, b1 =∞, b2 = 3l/4 )
10−2
10−1
100
10−3
10−2
10−1
100
F0
F1
F2
F3
√D2t/l
vale
urm
oyen
neN
2(t
)/N
2(∞
)
Asymptotes : 1√π
2i√
D2t/l avec i = 0, 1, 2, 3 (générations de
la fractale)45 / 46
Introduction Fonctions propres Guide d’onde Chaleur Modélisation Aspects numériques Applications physiques
Propagation en temps 2DDeux milieux (D1 = 1, D2 = 1/100, l = 1, b1 = b2 = 3)
10−2
10−1
100
10−3
10−2
10−1
100
F0
F1
F2
F3
√D2t/b2
vale
urm
oyen
neN
2(t
)/N
2(∞
)
Asymptotes : 2i√
D2tb2
avec i = 0, 1, 2 (génération de lafractale)
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