Download - Regle de Bioche Pour Le Calcul Integral
INTÉGRATION : LES RÈGLES DE BIOCHE
Sophie Térouanne � 1ère année GThE
Les règles de Bioche constituent une méthode permettant de déterminer le meilleur chan-
gement de variable possible pour calculer l'intégrale d'une fonction rationnelle de fonctions
trigonométrique de la forme R(sinx, cos x), où R est une fraction rationnelle.
1 Choix du changement de variable
1.1 Règles de Bioche
Il s'agit d'observer les invariances de la di�érentielle R(sinx, cos x) dx pour choisir le chan-
gement de variable adéquat.
� si R(cos(x), sin(x)) dx est invariante par l'opération
{x → −x
dx → − dx, alors on pose :
t = cos x , dt = − sinx dx.
� si R(cos(x), sin(x)) dx est invariante par l'opération
{x → π − x
dx → −dx, alors on pose :
t = sinx , dt = cos x dx.
� si R(cos(x), sin(x)) dx est invariante par l'opération
{x → π + x
dx → dx, alors on pose :
t = tan x , dt =1
cos2 xdx =
(1 + tan2 x
)dx
1.2 Changement de variable "universel"
On peut toujours poser le changement de variable suivant :
t = tan(x/2).
On a alors :
cos(x) =1− t2
1 + t2, sin(x) =
2t
1 + t2, tan(x) =
2t
1− t2, dx =
2 dt
1 + t2.
1
2 Exemples
1. Primitives de sin3(x) :
On teste les di�érents changements de variable :
� Par l'opération x → −x, la di�érentielle sin3(x) dx devient
sin3(−x)d(−x) = (−1)3 sin3(x)(− dx) = sin3 x dx.
Cette di�érentielle est invariante par x → −x, donc on pose :
t = cos x, dt = − sinx dx.
Ainsi,
sin3(x) dx = sin2 x · sinx dx = (1− cos2 x)(sinx dx) = (1− t2)(−dt),
dont les primitives sont
t3
3− t + C =
13
cos3 x− cos x + C.
On pouvait aussi calculer ces primitives par linéarisation du polynôme trigonométrique. Véri�ez
que l'on retrouve bien le même résultat.
2. Primitives de1
1 + sin2 x:
� Par l'opération x → −x, la di�érentielle 11 + sin2 x
dx devient
11 + sin2(−x)
d(−x) =1
1 + (− sinx)2(− dx) = − 1
1 + sin2 xdx.
Cette di�érentielle n'est pas invariante par x → −x.� Par l'opération x → π − x, la di�érentielle 1
1 + sin2 xdx devient
11 + sin2(π − x)
d(π − x) =1
1 + (− sinx)2(− dx) = − 1
1 + sin2 xdx.
Cette di�érentielle n'est pas invariante par x → π − x.� Par l'opération x → π + x, la di�érentielle 1
1 + sin2 xdx devient
11 + sin2(π + x)
d(π + x) =1
1 + sin2 x( dx).
Cette di�érentielle est invariante par x → π + x, donc on pose :
t = tan x, dt = (1 + tan2(x)) dx =1
cos2 xdx,
(ou dx =
dt
1 + t2
).
Ainsi,
dx
1 + sin2 x=
1cos2 x
dx
1cos2 x
+sin2 x
cos2 x
=
dx
cos2 x1 + 2 tan2 x
=dt
1 + 2t2,
dont les primitives sont∫dt
1 + 2t2=
1√2
∫d(√
2)t(√
2t)2 + 1=
√2
2Arctan(
√2t) + C, C ∈ R
Finalement, on en déduit∫dx
1 + sin2 x=
√2
2Arctan(
√2 tanx) + C, C ∈ R
Sophie Térouanne - IUT GThE Grenoble Première année 2