Rapport de Statistiques Rapport de Statistiques AppliquéesAppliquées
«Etude des propriétés statistiques «Etude des propriétés statistiques
d’une série à haute fréquence : d’une série à haute fréquence : le Notionnel»le Notionnel»
L. Benarousse, E. Benhamou, T. Bornhauser, B. GuezL. Benarousse, E. Benhamou, T. Bornhauser, B. Guez
Soutenance 22/06/98 slide n°1Soutenance 22/06/98 slide n°1
Plan de l’exposéPlan de l’exposé
Introduction : présentation des donnéesIntroduction : présentation des données Statistique généraleStatistique générale Adéquation à un processus ARCHAdéquation à un processus ARCH ConclusionConclusion
Soutenance 22/06/98 slide n°2Soutenance 22/06/98 slide n°2
Présentation des Données (1)Présentation des Données (1)
Origine : contrat Matif sur NotionnelOrigine : contrat Matif sur Notionnel– 471.919 points471.919 points– 1er avril 1994- 27 mars 19971er avril 1994- 27 mars 1997
Transformation initiale de la sérieTransformation initiale de la série– nettoyagenettoyage– recollementrecollement
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Présentation des Données (2)Présentation des Données (2)
Discrétisation de la sérieDiscrétisation de la série– 5, 10, 30 mn, 1h 30, 7h 305, 10, 30 mn, 1h 30, 7h 30– passage au logarithme (rendements)passage au logarithme (rendements)
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Statistique descriptiveStatistique descriptive
Similitude avec l’étude de TeiletcheSimilitude avec l’étude de Teiletche Caractéristiques des sériesCaractéristiques des séries
– trend positif (moyenne positive)trend positif (moyenne positive)– skewness négativeskewness négative– kurtosis significativement différente de troiskurtosis significativement différente de trois
InterprétationInterprétation– augmentation en moyenne du coursaugmentation en moyenne du cours– valeurs extrêmes négativesvaleurs extrêmes négatives– présence de queues de distribution épaisses présence de queues de distribution épaisses
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Stationnarité des séries : TestsStationnarité des séries : Tests
Tests de racine unitéTests de racine unité Dickey Fuller Dickey Fuller
YYtt==YYt-1 t-1 + + tt
Dickey Fuller augmentéDickey Fuller augmenté
YYtt= = + + t + t + YYt-1t-1 + + ii YYt-it-i + + tt
KPSSKPSSYYtt= = tt + r + rtt + u + utt
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Stationnarité des séries:RésultatsStationnarité des séries:Résultats
Soutenance 22/06/98 slide n°7Soutenance 22/06/98 slide n°7
Forte non stationnarité de la série bruteForte non stationnarité de la série brute
Stationnarité de la série différenciéeStationnarité de la série différenciée
Evolution avec la fréquence Evolution avec la fréquence
Effet leptokurtiqueEffet leptokurtique
KurtosisKurtosis Exposant caractéristiqueExposant caractéristique
• entre 1,3 et 1,8entre 1,3 et 1,8• gaussienne : 2 gaussienne : 2
Effet de la fréquenceEffet de la fréquence
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Tests d’adéquationTests d’adéquation
Tests du Tests du 22
adéquation rejetée pour les lois classiques:adéquation rejetée pour les lois classiques:– normalesnormales– lognormaleslognormales– weibull weibull – StudentStudent
Tests de Kolmogorov SmirnovTests de Kolmogorov Smirnovmêmes résultatsmêmes résultats
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Saisonnalité Saisonnalité
Etude d’une journée moyenneEtude d’une journée moyenne
Saisonnalité à 3 moisSaisonnalité à 3 mois
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8 10 12 14 16
NUMERO
0.0002
0.0003
0.0004
MOY
Saisonnalité Saisonnalité
Série brute et série désaisonnaliséeSérie brute et série désaisonnalisée
Coefficient de Hurst: Coefficient de Hurst:
processus à mémoire longueprocessus à mémoire longue
Soutenance 22/06/98 slide n°11Soutenance 22/06/98 slide n°11
0 100 200 300 400 500 600
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Autocorrelogrammes de la serie originale et serie desaisonnalisee
Modèle ARCH (1)Modèle ARCH (1)
Caractéristique de la série (5mn)Caractéristique de la série (5mn)• leptokurtiqueleptokurtique• dissymétriquedissymétrique• ordre de différenciation = 1ordre de différenciation = 1• exposant caractéristique 1,3 et 1,8exposant caractéristique 1,3 et 1,8
IGARCH = modèle bien adapté.IGARCH = modèle bien adapté.• leptokurtiqueleptokurtique• hétéroscédastiquehétéroscédastique
Soutenance 22/06/98 slide n°12Soutenance 22/06/98 slide n°12
Modèle ARCH (2)Modèle ARCH (2)
Calibration de modèlesCalibration de modèles• détermination des ordres par les détermination des ordres par les
corrélogrammes corrélogrammes • tests de significativité (Student)tests de significativité (Student)• critère Akaïke (AIC) et Schwarz (BIC)critère Akaïke (AIC) et Schwarz (BIC)• test de normalité : Jarque Beratest de normalité : Jarque Bera• test d’autocorrélation des résidus (Ljung-Box)test d’autocorrélation des résidus (Ljung-Box)• test de Lagrange d’homoscédasticitétest de Lagrange d’homoscédasticité
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Modèle ARCH (3)Modèle ARCH (3) RésultatsRésultats
• AR(1) avec résidus ARCHAR(1) avec résidus ARCH• rejet de la normalité des résidusrejet de la normalité des résidus• autocorrélation des résidusautocorrélation des résidus• hétéroscédasticitéhétéroscédasticité
ModèlesModèles• ARIMA : AR(1)ARIMA : AR(1)
XXtt=1.73 10=1.73 10-6-6-0.0164 X-0.0164 Xt-1t-1++
~BB(0,1.21 10~BB(0,1.21 10-7-7))
Soutenance 22/06/98 slide n°14Soutenance 22/06/98 slide n°14
Modèle ARCH (4)Modèle ARCH (4)
ModèlesModèles• ARCH (1) sur AR(1)ARCH (1) sur AR(1)
XXtt=1.567 10=1.567 10-7-7+0.0219 X+0.0219 Xt-1t-1++
~BB(0,~BB(0,) )
• GARCH(1,1) sur AR(1)GARCH(1,1) sur AR(1)XXtt=2.0810=2.0810-6-6-0.03 X-0.03 Xt-1t-1++
~BB(0,~BB(0,) )
Soutenance 22/06/98 slide n°15Soutenance 22/06/98 slide n°15
Modèle ARCH (5)Modèle ARCH (5)
Justification d’un modèle GARCHJustification d’un modèle GARCH• hétéroscédasticitéhétéroscédasticité• augmentation sensible du critère AIC et augmentation sensible du critère AIC et
BIC BIC – amélioration de 1% entre ARIMA/ARCHamélioration de 1% entre ARIMA/ARCH– amélioration de 2% entre ARCH/GARCHamélioration de 2% entre ARCH/GARCH
• corrélation des résiduscorrélation des résidus• leptokurticité des résidusleptokurticité des résidus
Soutenance 22/06/98 slide n°16Soutenance 22/06/98 slide n°16
Modèle ARCH (6)Modèle ARCH (6) Défauts:Défauts:
• leptokurticité des résidusleptokurticité des résidus
loi conditionnelle non normaleloi conditionnelle non normale– StudentStudent
– Gaussienne généraliséeGaussienne généralisée
• dissymétrie des donnéesdissymétrie des données
modèle à seuil et asymétriemodèle à seuil et asymétrie– modèle PGARCH avec seuilmodèle PGARCH avec seuil
– modèle TGARCH (peu intéressant)modèle TGARCH (peu intéressant)
– modèle à deux composantesmodèle à deux composantes
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Modèle ARCH (7)Modèle ARCH (7)
RésultatsRésultats• modèle le plus performant modèle le plus performant
– PGARCH PGARCH – avec loi de Studentavec loi de Student– et effet de seuilet effet de seuil
• amélioration des critères AIC et BICamélioration des critères AIC et BIC• prise en compte des défautsprise en compte des défauts
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Prévision et modèles ARCHPrévision et modèles ARCH RésultatsRésultats
• prévisions plates prévisions plates • choix de l’ensemble d’informationchoix de l’ensemble d’information
– prévisions à horizon donnéprévisions à horizon donné– prévisions adaptativesprévisions adaptatives
• point de retournementpoint de retournement– faible influencefaible influence– imprévisibilité d’un nouveau point de retournementimprévisibilité d’un nouveau point de retournement
• très grand intervalle de confiancetrès grand intervalle de confiance
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Prévisions et résultatsPrévisions et résultats AR(1) (1 mois)AR(1) (1 mois)
GARCH(1,1) (10 mn) (1 heure)GARCH(1,1) (10 mn) (1 heure)
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0 10 20 30 40 50
128.
30
128.
35
128.
40
0 20 40 60 80 100
127.
812
8.0
128.
212
8.4
128.
6
0 20 40 60 80 100
128.
30
128.
35
128.
40
128.
45
128.
50
Prévisions et résultatsPrévisions et résultats GARCH(1,1) (1 mois)GARCH(1,1) (1 mois)
GARCH(1,1) (1 an et 3 mois)GARCH(1,1) (1 an et 3 mois)
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0 20 40 60 80 100
128.
30
128.
35
128.
40
128.
45
128.
50
0 20 40 60 80 100
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30
128.
35
128.
40
128.
45
128.
50
Prévisions et résultatsPrévisions et résultats PGARCH(1,1) loi de Student (1 mois)PGARCH(1,1) loi de Student (1 mois)
GARCH(1,1) (1 mois)GARCH(1,1) (1 mois)
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25
128.
30
128.
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128.
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128.
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128.
50
0 20 40 60 80 100
128.
30
128.
35
128.
40
128.
45
128.
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ConclusionConclusion
Impact de la fréquence de la sérieImpact de la fréquence de la série Rejet de la normalité des rendementsRejet de la normalité des rendements Rejet d’adéquation à des lois classiquesRejet d’adéquation à des lois classiques Amélioration sensible de la modélisation Amélioration sensible de la modélisation
avec un modèle PGARCH avec loi avec un modèle PGARCH avec loi conditionnelle de Student et effet de seuilconditionnelle de Student et effet de seuil
Extensions possibles (analyse bivariée et Extensions possibles (analyse bivariée et causalité)causalité)
Soutenance 22/06/98 slide n°23Soutenance 22/06/98 slide n°23