Rappel...
• Caractérisation des matrices inversibles:- propriétés des matrices inversibles- transformations linéaires
• Matrices bloc.
Aujourd’hui
• Décomposition des matrices:– décomposition LU– application: réseau de résistances
• Solution itérative de systèmes linéaires.
– Méthode de Jacoby
5. Décomposition des matrices
• Décomposition LU
Il est parfois utile de pouvoir séparer une matrice en un produit de matrices.
Une des décompositions les plus utilisées est la décomposition LU, ou triangularisation.
Il y en a d’autres; nous les verrons plus tard.
Décomposition LU
• LU: « lower-upper ».
• Une matrice admet une décomposition LU si:
A = LU où
000000
**000
****0
*****
,
1***
01**
001*
0001
UL
Pourquoi LU?
• Ax = b
Facile à résoudre si on connaît L et U.
Ax = b
LUx = b
En posant Ux = y on obtient 2 systèmes simples car ils sont triangulaires.
x
L
A
yU
b
Ux = y et Ly = b
Comment faire cette triangularisation?
• Réduction de A sous forme échelon par des manipulations sur les lignes.
– Mettre A sous forme échelon U par des opérations de remplacement de lignes (pas d’échange de ligne, sinon « LU permuté »).
– Choisir L tel que la même séquence d’opérations va produire I.
Application: circuits résistifs en cascade
• Quadripôles résistifs.
• Matrice de transfert.
• Lois d’Ohm et de Kirchhoff.
Synthèse de circuits
• La matrice de transfert décrit les propriétés d’entrée-sortie du circuit (réseau).
• Un ingénieur doit d’abord déterminer si un tel circuit est réalisable.
• Ensuite, il pourra décomposer la matrice, si possible en des composants déjà disponibles.
Applet Java
http://www.gel.ulaval.ca/~fortier/MAT19961/Demo/resistance/
6. Solution itérative de systèmes linéaires
• Solutions d’un système linéaire
– méthodes directes (triangularisation,…)
– méthodes itératives (approchent numériquement la solution)
Pourquoi les méthodes itératives?
• Si la matrice est grande et avec beaucoup d’entrées nulles (« sparse »), le calcul itératif peut s’avérer beaucoup plus efficace.
Problème à résoudre
• On veut résoudre:
Ax = b
• On pose:
A = M - N
• On a alors:
(M - N)x = b
Mx - Nx = b
Mx = Nx + b
Récurrence
• De façon générale, on cherche à calculer:
Mx(k+1) = Nx(k) + b, k = 0, 1, 2,…
avec A = M - N
Récurrence (suite)
• On veut avoir:
x(k+1) x* (la solution)
• Il faut choisir M afin que x(k+1) soit facile à calculer.
Méthode de Jacoby
• On suppose que la diagonale de A n’a pas d’éléments nuls.
• Soit D la matrice diagonale formée à partir de la diagonale de A.
• M = D, N = D - A
Méthode de Jacoby (suite)
Dx(k+1) = (D - A)x(k) + b, k = 0, 1, 2,…
• On pose x(0) = 0.
– En pratique, on peut utiliser autre chose selon les informations disponibles.
Méthode de Gauss-Seidel
• On pose M = partie triangulaire inférieure de A.
Mx(k+1) = (M - A)x(k) + b, k = 0, 1, 2,…
Jacoby c. Gauss-Seidel
• Jacoby est quelques fois plus rapide que Gauss-Seidel, mais en général, c’est le contraire.
• Traitement parallèle: Jacoby est plus rapide.
Convergence
• Parfois, l’une ou les deux méthodes ne convergent pas.
• Une condition permet de garantir la convergence:– la valeur absolue d’un élément de la diagonale est
plus grande que la somme des valeurs absolues des autres éléments de la ligne correspondante.
Calcul manuel
• Pour le calcul manuel, il est plus simple d’utiliser la récursion:
x(k+1) = M-1Nx(k) + M-1b, k = 0, 1, 2,…
• On évite ainsi d’avoir à résoudre en système n n à chaque itération.
Calcul manuel (suite)
• La façon la plus rapide de calculer M-1N etM-1b est de faire:
[ M N b] ~ [I M-1 N M-1b]
Prochain cours...
• Solution itérative de systèmes linéaires.
• Application à l’infographie.