Équations polynomiales et nombres complexes Équations du second degré
Suite du cours de Math F112
Le cours d’aujourd’hui est le dernier cours du Module T. À partir deVendredi 22 Février le cours se sépare en deux parties:
Les B1-BIOL, B1-CHIM, B1-IRBI, B1-SCIE + B2/3 GEOL-GEOGsuivront le Module S avec César Lecoutre. (Fin du cours pour lesB1-GEOG et B1-GEOL) Le local est le même qu’aujourd’hui:l’amphithéâtre Lameere. Les horaires du cours restent inchangés.Les B1-INFO suivront le Module SI du cours, avec Julie deSaedeleer. Il aura lieu à la Plaine dès le 22 Février (voir GeHolpour le local, qui risque de changer pendant les tout premierscours pour se stabiliser ensuite).Important: l’horaire du module SI change un peu: ce sera le lundide 14h à 16h et le vendredi de 8h à 10h.Toutes les infos du cours seront sur l’UV dans la section moduleSI. Les slides seront uploadés la veille du cours.
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À partir deVendredi 22 Février le cours se sépare en deux parties:
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Le local est le même qu’aujourd’hui:l’amphithéâtre Lameere. Les horaires du cours restent inchangés.Les B1-INFO suivront le Module SI du cours, avec Julie deSaedeleer. Il aura lieu à la Plaine dès le 22 Février (voir GeHolpour le local, qui risque de changer pendant les tout premierscours pour se stabiliser ensuite).Important: l’horaire du module SI change un peu: ce sera le lundide 14h à 16h et le vendredi de 8h à 10h.Toutes les infos du cours seront sur l’UV dans la section moduleSI. Les slides seront uploadés la veille du cours.
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Les horaires du cours restent inchangés.Les B1-INFO suivront le Module SI du cours, avec Julie deSaedeleer. Il aura lieu à la Plaine dès le 22 Février (voir GeHolpour le local, qui risque de changer pendant les tout premierscours pour se stabiliser ensuite).Important: l’horaire du module SI change un peu: ce sera le lundide 14h à 16h et le vendredi de 8h à 10h.Toutes les infos du cours seront sur l’UV dans la section moduleSI. Les slides seront uploadés la veille du cours.
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Pour ne pas se tromper
Julie de Saedeleer(Module SI)
César Lecoutre(Module S)
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Visite des copies de Math F112
La visite des copies de Math F112 aura lieu:
Le Mardi 26 Février 2019, de 10h à 14h, au local 5.06 du bâtiment N/O
Modalités pratiques: on vous fera rentrer dans la salle par groupesde 10 élèves à la fois, et vous aurez au maximum 10 minutes pourconsulter votre copie. Il se peut donc que vous deviez attendre un peu.
Si vous n’êtes pas disponibles le 26 Février: vous pouvez donnerprocuration à un-e autre élève qui suit le cours de Math F112. Pour cefaire, vous devez signer une demande de procuration (un modèle deprocuration est disponible sur MonULB, dans Document Manager).
Si aucune procuration (déjà signée) n’est fournie au moment de lavisite des copies, vous ne pourrez pas avoir accès à la copie de
quelqu’un d’autre.
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Modalités pratiques: on vous fera rentrer dans la salle par groupesde 10 élèves à la fois, et vous aurez au maximum 10 minutes pourconsulter votre copie. Il se peut donc que vous deviez attendre un peu.
Si vous n’êtes pas disponibles le 26 Février: vous pouvez donnerprocuration à un-e autre élève qui suit le cours de Math F112. Pour cefaire, vous devez signer une demande de procuration (un modèle deprocuration est disponible sur MonULB, dans Document Manager).
Si aucune procuration (déjà signée) n’est fournie au moment de lavisite des copies, vous ne pourrez pas avoir accès à la copie de
quelqu’un d’autre.
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Modalités pratiques:
on vous fera rentrer dans la salle par groupesde 10 élèves à la fois, et vous aurez au maximum 10 minutes pourconsulter votre copie. Il se peut donc que vous deviez attendre un peu.
Si vous n’êtes pas disponibles le 26 Février: vous pouvez donnerprocuration à un-e autre élève qui suit le cours de Math F112. Pour cefaire, vous devez signer une demande de procuration (un modèle deprocuration est disponible sur MonULB, dans Document Manager).
Si aucune procuration (déjà signée) n’est fournie au moment de lavisite des copies, vous ne pourrez pas avoir accès à la copie de
quelqu’un d’autre.
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Modalités pratiques: on vous fera rentrer dans la salle par groupesde 10 élèves à la fois,
et vous aurez au maximum 10 minutes pourconsulter votre copie. Il se peut donc que vous deviez attendre un peu.
Si vous n’êtes pas disponibles le 26 Février: vous pouvez donnerprocuration à un-e autre élève qui suit le cours de Math F112. Pour cefaire, vous devez signer une demande de procuration (un modèle deprocuration est disponible sur MonULB, dans Document Manager).
Si aucune procuration (déjà signée) n’est fournie au moment de lavisite des copies, vous ne pourrez pas avoir accès à la copie de
quelqu’un d’autre.
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Il se peut donc que vous deviez attendre un peu.
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Si vous n’êtes pas disponibles le 26 Février:
vous pouvez donnerprocuration à un-e autre élève qui suit le cours de Math F112. Pour cefaire, vous devez signer une demande de procuration (un modèle deprocuration est disponible sur MonULB, dans Document Manager).
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quelqu’un d’autre.
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Le Mardi 26 Février 2019, de 10h à 14h, au local 5.06 du bâtiment N/O
Modalités pratiques: on vous fera rentrer dans la salle par groupesde 10 élèves à la fois, et vous aurez au maximum 10 minutes pourconsulter votre copie. Il se peut donc que vous deviez attendre un peu.
Si vous n’êtes pas disponibles le 26 Février: vous pouvez donnerprocuration à un-e autre élève qui suit le cours de Math F112. Pour cefaire, vous devez signer une demande de procuration (un modèle deprocuration est disponible sur MonULB, dans Document Manager).
Si aucune procuration (déjà signée) n’est fournie au moment de lavisite des copies, vous ne pourrez pas avoir accès à la copie de
quelqu’un d’autre.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Contenu de la section
5 Équations polynomiales et nombres complexesÉquations du premier degréRacines carréesÉquations du second degréRacines n-èmes d’un nombre complexeÉquations polynomiales de degrés supérieur
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Racines n-èmes
Rappel
On ne parle jamais de la racine carrée (ou cubique, etc...) d’un nombrecomplexe, mais des racines.
DéfinitionSoit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine ne de z toutnombre complexe w tel que wn = z .
Exemple
i est racine quatrième de 1: car i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1. −i aussi.
Si ρ > 0 est un nombre réel, ρ1n (la racine ne dans R) est encore
une racine ne dans C.Si z = exp(iθ), alors exp
(i θn
)est une racine ne de z : car(
exp(iθ
n
))n= exp
(niθ
n
)= exp(iθ).
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Racines n-èmes
Rappel
On ne parle jamais de la racine carrée (ou cubique, etc...) d’un nombrecomplexe, mais des racines.
DéfinitionSoit un entier n ≥ 1 et z un complexe.
On appelle racine ne de z toutnombre complexe w tel que wn = z .
Exemple
i est racine quatrième de 1: car i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1. −i aussi.
Si ρ > 0 est un nombre réel, ρ1n (la racine ne dans R) est encore
une racine ne dans C.Si z = exp(iθ), alors exp
(i θn
)est une racine ne de z : car(
exp(iθ
n
))n= exp
(niθ
n
)= exp(iθ).
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Racines n-èmes
Rappel
On ne parle jamais de la racine carrée (ou cubique, etc...) d’un nombrecomplexe, mais des racines.
DéfinitionSoit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine ne de z
toutnombre complexe w tel que wn = z .
Exemple
i est racine quatrième de 1: car i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1. −i aussi.
Si ρ > 0 est un nombre réel, ρ1n (la racine ne dans R) est encore
une racine ne dans C.Si z = exp(iθ), alors exp
(i θn
)est une racine ne de z : car(
exp(iθ
n
))n= exp
(niθ
n
)= exp(iθ).
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Racines n-èmes
Rappel
On ne parle jamais de la racine carrée (ou cubique, etc...) d’un nombrecomplexe, mais des racines.
DéfinitionSoit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine ne de z toutnombre complexe w tel que wn = z .
Exemple
i est racine quatrième de 1: car i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1. −i aussi.
Si ρ > 0 est un nombre réel, ρ1n (la racine ne dans R) est encore
une racine ne dans C.Si z = exp(iθ), alors exp
(i θn
)est une racine ne de z : car(
exp(iθ
n
))n= exp
(niθ
n
)= exp(iθ).
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Racines n-èmes
Rappel
On ne parle jamais de la racine carrée (ou cubique, etc...) d’un nombrecomplexe, mais des racines.
DéfinitionSoit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine ne de z toutnombre complexe w tel que wn = z .
Exemple
i est racine quatrième de 1:
car i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1. −i aussi.
Si ρ > 0 est un nombre réel, ρ1n (la racine ne dans R) est encore
une racine ne dans C.Si z = exp(iθ), alors exp
(i θn
)est une racine ne de z : car(
exp(iθ
n
))n= exp
(niθ
n
)= exp(iθ).
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Racines n-èmes
Rappel
On ne parle jamais de la racine carrée (ou cubique, etc...) d’un nombrecomplexe, mais des racines.
DéfinitionSoit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine ne de z toutnombre complexe w tel que wn = z .
Exemple
i est racine quatrième de 1: car i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1.
−i aussi.
Si ρ > 0 est un nombre réel, ρ1n (la racine ne dans R) est encore
une racine ne dans C.Si z = exp(iθ), alors exp
(i θn
)est une racine ne de z : car(
exp(iθ
n
))n= exp
(niθ
n
)= exp(iθ).
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Racines n-èmes
Rappel
On ne parle jamais de la racine carrée (ou cubique, etc...) d’un nombrecomplexe, mais des racines.
DéfinitionSoit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine ne de z toutnombre complexe w tel que wn = z .
Exemple
i est racine quatrième de 1: car i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1. −i aussi.
Si ρ > 0 est un nombre réel, ρ1n (la racine ne dans R) est encore
une racine ne dans C.Si z = exp(iθ), alors exp
(i θn
)est une racine ne de z : car(
exp(iθ
n
))n= exp
(niθ
n
)= exp(iθ).
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Rappel
On ne parle jamais de la racine carrée (ou cubique, etc...) d’un nombrecomplexe, mais des racines.
DéfinitionSoit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine ne de z toutnombre complexe w tel que wn = z .
Exemple
i est racine quatrième de 1: car i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1. −i aussi.
Si ρ > 0 est un nombre réel, ρ1n (la racine ne dans R) est encore
une racine ne dans C.
Si z = exp(iθ), alors exp(i θn
)est une racine ne de z : car(
exp(iθ
n
))n= exp
(niθ
n
)= exp(iθ).
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Rappel
On ne parle jamais de la racine carrée (ou cubique, etc...) d’un nombrecomplexe, mais des racines.
DéfinitionSoit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine ne de z toutnombre complexe w tel que wn = z .
Exemple
i est racine quatrième de 1: car i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1. −i aussi.
Si ρ > 0 est un nombre réel, ρ1n (la racine ne dans R) est encore
une racine ne dans C.Si z = exp(iθ), alors exp
(i θn
)est une racine ne de z :
car(exp
(iθ
n
))n= exp
(niθ
n
)= exp(iθ).
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On ne parle jamais de la racine carrée (ou cubique, etc...) d’un nombrecomplexe, mais des racines.
DéfinitionSoit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine ne de z toutnombre complexe w tel que wn = z .
Exemple
i est racine quatrième de 1: car i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1. −i aussi.
Si ρ > 0 est un nombre réel, ρ1n (la racine ne dans R) est encore
une racine ne dans C.Si z = exp(iθ), alors exp
(i θn
)est une racine ne de z : car(
exp(iθ
n
))n=
exp(niθ
n
)= exp(iθ).
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Rappel
On ne parle jamais de la racine carrée (ou cubique, etc...) d’un nombrecomplexe, mais des racines.
DéfinitionSoit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine ne de z toutnombre complexe w tel que wn = z .
Exemple
i est racine quatrième de 1: car i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1. −i aussi.
Si ρ > 0 est un nombre réel, ρ1n (la racine ne dans R) est encore
une racine ne dans C.Si z = exp(iθ), alors exp
(i θn
)est une racine ne de z : car(
exp(iθ
n
))n= exp
(niθ
n
)=
exp(iθ).
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Racines n-èmes
Rappel
On ne parle jamais de la racine carrée (ou cubique, etc...) d’un nombrecomplexe, mais des racines.
DéfinitionSoit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine ne de z toutnombre complexe w tel que wn = z .
Exemple
i est racine quatrième de 1: car i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1. −i aussi.
Si ρ > 0 est un nombre réel, ρ1n (la racine ne dans R) est encore
une racine ne dans C.Si z = exp(iθ), alors exp
(i θn
)est une racine ne de z : car(
exp(iθ
n
))n= exp
(niθ
n
)= exp(iθ).
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Expression des racines ne
Le théorème suivant donne une manière pratique de calculer desracines ne à partir de la forme polaire:
Théorème
Si z est donné sous forme polaire z = ρexp(iθ) (ρ ≥ 0), alors lesracines ne de z sont les nombres w0, . . . ,wn−1 définis par
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
En particulier, si z , 0, il y a exactement n racines ne de z.
Il y a deux choses à démontrer dans ce théorème :que chaque wk , pour un k entre 0 et n −1, est bien une racine ne
de zet qu’il n’y en a pas d’autres.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Expression des racines ne
Le théorème suivant donne une manière pratique de calculer desracines ne à partir de la forme polaire:
Théorème
Si z est donné sous forme polaire z = ρexp(iθ) (ρ ≥ 0), alors lesracines ne de z sont les nombres w0, . . . ,wn−1 définis par
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
En particulier, si z , 0, il y a exactement n racines ne de z.
Il y a deux choses à démontrer dans ce théorème :que chaque wk , pour un k entre 0 et n −1, est bien une racine ne
de zet qu’il n’y en a pas d’autres.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Expression des racines ne
Le théorème suivant donne une manière pratique de calculer desracines ne à partir de la forme polaire:
Théorème
Si z est donné sous forme polaire z = ρexp(iθ) (ρ ≥ 0)
, alors lesracines ne de z sont les nombres w0, . . . ,wn−1 définis par
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
En particulier, si z , 0, il y a exactement n racines ne de z.
Il y a deux choses à démontrer dans ce théorème :que chaque wk , pour un k entre 0 et n −1, est bien une racine ne
de zet qu’il n’y en a pas d’autres.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Expression des racines ne
Le théorème suivant donne une manière pratique de calculer desracines ne à partir de la forme polaire:
Théorème
Si z est donné sous forme polaire z = ρexp(iθ) (ρ ≥ 0), alors lesracines ne de z sont les nombres w0, . . . ,wn−1 définis par
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
En particulier, si z , 0, il y a exactement n racines ne de z.
Il y a deux choses à démontrer dans ce théorème :que chaque wk , pour un k entre 0 et n −1, est bien une racine ne
de zet qu’il n’y en a pas d’autres.
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Expression des racines ne
Le théorème suivant donne une manière pratique de calculer desracines ne à partir de la forme polaire:
Théorème
Si z est donné sous forme polaire z = ρexp(iθ) (ρ ≥ 0), alors lesracines ne de z sont les nombres w0, . . . ,wn−1 définis par
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
En particulier, si z , 0, il y a exactement n racines ne de z.
Il y a deux choses à démontrer dans ce théorème :que chaque wk , pour un k entre 0 et n −1, est bien une racine ne
de zet qu’il n’y en a pas d’autres.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Expression des racines ne
Le théorème suivant donne une manière pratique de calculer desracines ne à partir de la forme polaire:
Théorème
Si z est donné sous forme polaire z = ρexp(iθ) (ρ ≥ 0), alors lesracines ne de z sont les nombres w0, . . . ,wn−1 définis par
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
En particulier, si z , 0, il y a exactement n racines ne de z.
Il y a deux choses à démontrer dans ce théorème :que chaque wk , pour un k entre 0 et n −1, est bien une racine ne
de zet qu’il n’y en a pas d’autres.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Expression des racines ne
Le théorème suivant donne une manière pratique de calculer desracines ne à partir de la forme polaire:
Théorème
Si z est donné sous forme polaire z = ρexp(iθ) (ρ ≥ 0), alors lesracines ne de z sont les nombres w0, . . . ,wn−1 définis par
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
En particulier, si z , 0, il y a exactement n racines ne de z.
Il y a deux choses à démontrer dans ce théorème :
que chaque wk , pour un k entre 0 et n −1, est bien une racine ne
de zet qu’il n’y en a pas d’autres.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Expression des racines ne
Le théorème suivant donne une manière pratique de calculer desracines ne à partir de la forme polaire:
Théorème
Si z est donné sous forme polaire z = ρexp(iθ) (ρ ≥ 0), alors lesracines ne de z sont les nombres w0, . . . ,wn−1 définis par
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
En particulier, si z , 0, il y a exactement n racines ne de z.
Il y a deux choses à démontrer dans ce théorème :que chaque wk , pour un k entre 0 et n −1, est bien une racine ne
de z
et qu’il n’y en a pas d’autres.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Expression des racines ne
Le théorème suivant donne une manière pratique de calculer desracines ne à partir de la forme polaire:
Théorème
Si z est donné sous forme polaire z = ρexp(iθ) (ρ ≥ 0), alors lesracines ne de z sont les nombres w0, . . . ,wn−1 définis par
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
En particulier, si z , 0, il y a exactement n racines ne de z.
Il y a deux choses à démontrer dans ce théorème :que chaque wk , pour un k entre 0 et n −1, est bien une racine ne
de zet qu’il n’y en a pas d’autres.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Preuve du théorème.
Rappel
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
Démonstration.On commence par vérifier que chaque wk est une racine ne dez = ρexp(iθ). En effet:
wnk =
(n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
))n
= ρexp(ni(θ+ 2kπ)
n)
= ρexp(i(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ+ 2kπ) + i sin(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ) + i sin(θ))
= ρexp(iθ) = z
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Preuve du théorème.
Rappel
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
Démonstration.On commence par vérifier que chaque wk est une racine ne dez = ρexp(iθ). En effet:
wnk =
(n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
))n
= ρexp(ni(θ+ 2kπ)
n)
= ρexp(i(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ+ 2kπ) + i sin(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ) + i sin(θ))
= ρexp(iθ) = z
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Preuve du théorème.
Rappel
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
Démonstration.On commence par vérifier que chaque wk est une racine ne dez = ρexp(iθ). En effet:
wnk =
(n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
))n
= ρexp(ni(θ+ 2kπ)
n)
= ρexp(i(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ+ 2kπ) + i sin(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ) + i sin(θ))
= ρexp(iθ) = z
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Preuve du théorème.
Rappel
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
Démonstration.On commence par vérifier que chaque wk est une racine ne dez = ρexp(iθ). En effet:
wnk =
(n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
))n
= ρexp(ni(θ+ 2kπ)
n)
= ρexp(i(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ+ 2kπ) + i sin(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ) + i sin(θ))
= ρexp(iθ) = z
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Preuve du théorème.
Rappel
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
Démonstration.On commence par vérifier que chaque wk est une racine ne dez = ρexp(iθ). En effet:
wnk =
(n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
))n
= ρexp(ni(θ+ 2kπ)
n)
= ρexp(i(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ+ 2kπ) + i sin(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ) + i sin(θ))
= ρexp(iθ) = z
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Preuve du théorème.
Rappel
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
Démonstration.On commence par vérifier que chaque wk est une racine ne dez = ρexp(iθ). En effet:
wnk =
(n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
))n
= ρexp(ni(θ+ 2kπ)
n)
= ρexp(i(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ+ 2kπ) + i sin(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ) + i sin(θ))
= ρexp(iθ) = z
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Preuve du théorème.
Rappel
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
Démonstration.On commence par vérifier que chaque wk est une racine ne dez = ρexp(iθ). En effet:
wnk =
(n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
))n
= ρexp(ni(θ+ 2kπ)
n)
= ρexp(i(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ+ 2kπ) + i sin(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ) + i sin(θ))
= ρexp(iθ) = z
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Preuve du théorème.
Rappel
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
Démonstration.On commence par vérifier que chaque wk est une racine ne dez = ρexp(iθ). En effet:
wnk =
(n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
))n
= ρexp(ni(θ+ 2kπ)
n)
= ρexp(i(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ+ 2kπ) + i sin(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ) + i sin(θ))
= ρexp(iθ)
= z
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Preuve du théorème.
Rappel
wk = n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
)où k = 0, . . . ,n −1
Démonstration.On commence par vérifier que chaque wk est une racine ne dez = ρexp(iθ). En effet:
wnk =
(n√ρ exp
(i
(θ+ 2kπ)
n
))n
= ρexp(ni(θ+ 2kπ)
n)
= ρexp(i(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ+ 2kπ) + i sin(θ+ 2kπ))
= ρ(cos(θ) + i sin(θ))
= ρexp(iθ) = z
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Suite de la preuve.
Pour le second point, considérons w une racine ne de z = ρexp(iθ) quenous écrivons sous la forme:
w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn = |z |= ρ. Ceci montre déjà que r = n
√ρ.
Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn , on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).C’est-à-dire :
cos(nϕ) = cos(θ) et sin(nϕ) = sin(θ)
Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors, nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,d’où
ϕ =θ+ 2kπ
n.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Suite de la preuve.
Pour le second point, considérons w une racine ne de z = ρexp(iθ) quenous écrivons sous la forme:
w = r exp(iϕ).
Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn = |z |= ρ. Ceci montre déjà que r = n
√ρ.
Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn , on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).C’est-à-dire :
cos(nϕ) = cos(θ) et sin(nϕ) = sin(θ)
Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors, nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,d’où
ϕ =θ+ 2kπ
n.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Suite de la preuve.
Pour le second point, considérons w une racine ne de z = ρexp(iθ) quenous écrivons sous la forme:
w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ),
et en particulier|wn |= rn = |z |= ρ. Ceci montre déjà que r = n
√ρ.
Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn , on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).C’est-à-dire :
cos(nϕ) = cos(θ) et sin(nϕ) = sin(θ)
Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors, nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,d’où
ϕ =θ+ 2kπ
n.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Suite de la preuve.
Pour le second point, considérons w une racine ne de z = ρexp(iθ) quenous écrivons sous la forme:
w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn =
|z |= ρ. Ceci montre déjà que r = n√ρ.
Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn , on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).C’est-à-dire :
cos(nϕ) = cos(θ) et sin(nϕ) = sin(θ)
Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors, nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,d’où
ϕ =θ+ 2kπ
n.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Suite de la preuve.
Pour le second point, considérons w une racine ne de z = ρexp(iθ) quenous écrivons sous la forme:
w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn = |z |=
ρ. Ceci montre déjà que r = n√ρ.
Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn , on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).C’est-à-dire :
cos(nϕ) = cos(θ) et sin(nϕ) = sin(θ)
Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors, nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,d’où
ϕ =θ+ 2kπ
n.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Suite de la preuve.
Pour le second point, considérons w une racine ne de z = ρexp(iθ) quenous écrivons sous la forme:
w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn = |z |= ρ.
Ceci montre déjà que r = n√ρ.
Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn , on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).C’est-à-dire :
cos(nϕ) = cos(θ) et sin(nϕ) = sin(θ)
Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors, nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,d’où
ϕ =θ+ 2kπ
n.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Suite de la preuve.
Pour le second point, considérons w une racine ne de z = ρexp(iθ) quenous écrivons sous la forme:
w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn = |z |= ρ. Ceci montre déjà que r = n
√ρ.
Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn , on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).C’est-à-dire :
cos(nϕ) = cos(θ) et sin(nϕ) = sin(θ)
Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors, nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,d’où
ϕ =θ+ 2kπ
n.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Suite de la preuve.
Pour le second point, considérons w une racine ne de z = ρexp(iθ) quenous écrivons sous la forme:
w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn = |z |= ρ. Ceci montre déjà que r = n
√ρ.
Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn ,
on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).C’est-à-dire :
cos(nϕ) = cos(θ) et sin(nϕ) = sin(θ)
Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors, nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,d’où
ϕ =θ+ 2kπ
n.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Suite de la preuve.
Pour le second point, considérons w une racine ne de z = ρexp(iθ) quenous écrivons sous la forme:
w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn = |z |= ρ. Ceci montre déjà que r = n
√ρ.
Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn , on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).
C’est-à-dire :cos(nϕ) = cos(θ) et sin(nϕ) = sin(θ)
Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors, nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,d’où
ϕ =θ+ 2kπ
n.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Suite de la preuve.
Pour le second point, considérons w une racine ne de z = ρexp(iθ) quenous écrivons sous la forme:
w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn = |z |= ρ. Ceci montre déjà que r = n
√ρ.
Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn , on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).C’est-à-dire :
cos(nϕ) = cos(θ) et sin(nϕ) = sin(θ)
Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors, nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,d’où
ϕ =θ+ 2kπ
n.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Suite de la preuve.
Pour le second point, considérons w une racine ne de z = ρexp(iθ) quenous écrivons sous la forme:
w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn = |z |= ρ. Ceci montre déjà que r = n
√ρ.
Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn , on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).C’est-à-dire :
cos(nϕ) = cos(θ) et sin(nϕ) = sin(θ)
Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors,
nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,d’où
ϕ =θ+ 2kπ
n.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Suite de la preuve.
Pour le second point, considérons w une racine ne de z = ρexp(iθ) quenous écrivons sous la forme:
w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn = |z |= ρ. Ceci montre déjà que r = n
√ρ.
Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn , on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).C’est-à-dire :
cos(nϕ) = cos(θ) et sin(nϕ) = sin(θ)
Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors, nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,
d’où
ϕ =θ+ 2kπ
n.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Suite de la preuve.
Pour le second point, considérons w une racine ne de z = ρexp(iθ) quenous écrivons sous la forme:
w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn = |z |= ρ. Ceci montre déjà que r = n
√ρ.
Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn , on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).C’est-à-dire :
cos(nϕ) = cos(θ) et sin(nϕ) = sin(θ)
Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors, nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,d’où
ϕ =θ+ 2kπ
n.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Fin de la preuve.
Pour l’instant, on a donc montré qu’une racine n-ème de z = ρexp(iθ)est de la forme
wk = n√ρexp
(θ+ 2kπ
n
)pour un certain k ∈Z.
Il reste à vérifier qu’il suffit de se limiter à kcompris entre 0 et n −1.Pour cela, remarquons simplement l’égalité :
wk+n = n√ρ exp
(iθ+ 2(k + n)π
n
)= n√ρ exp
(i(θ+ 2kπ
n+ 2π
))= n√ρ exp
(iθ+ 2kπ
n
)= wk .
Donc, quelle que soit la valeur de k , wk se trouve parmi w0,w1, . . . ,wn−1.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Fin de la preuve.
Pour l’instant, on a donc montré qu’une racine n-ème de z = ρexp(iθ)est de la forme
wk = n√ρexp
(θ+ 2kπ
n
)pour un certain k ∈Z. Il reste à vérifier qu’il suffit de se limiter à kcompris entre 0 et n −1.
Pour cela, remarquons simplement l’égalité :
wk+n = n√ρ exp
(iθ+ 2(k + n)π
n
)= n√ρ exp
(i(θ+ 2kπ
n+ 2π
))= n√ρ exp
(iθ+ 2kπ
n
)= wk .
Donc, quelle que soit la valeur de k , wk se trouve parmi w0,w1, . . . ,wn−1.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Fin de la preuve.
Pour l’instant, on a donc montré qu’une racine n-ème de z = ρexp(iθ)est de la forme
wk = n√ρexp
(θ+ 2kπ
n
)pour un certain k ∈Z. Il reste à vérifier qu’il suffit de se limiter à kcompris entre 0 et n −1.Pour cela, remarquons simplement l’égalité :
wk+n = n√ρ exp
(iθ+ 2(k + n)π
n
)
= n√ρ exp
(i(θ+ 2kπ
n+ 2π
))= n√ρ exp
(iθ+ 2kπ
n
)= wk .
Donc, quelle que soit la valeur de k , wk se trouve parmi w0,w1, . . . ,wn−1.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Fin de la preuve.
Pour l’instant, on a donc montré qu’une racine n-ème de z = ρexp(iθ)est de la forme
wk = n√ρexp
(θ+ 2kπ
n
)pour un certain k ∈Z. Il reste à vérifier qu’il suffit de se limiter à kcompris entre 0 et n −1.Pour cela, remarquons simplement l’égalité :
wk+n = n√ρ exp
(iθ+ 2(k + n)π
n
)= n√ρ exp
(i(θ+ 2kπ
n+ 2π
))
= n√ρ exp
(iθ+ 2kπ
n
)= wk .
Donc, quelle que soit la valeur de k , wk se trouve parmi w0,w1, . . . ,wn−1.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Fin de la preuve.
Pour l’instant, on a donc montré qu’une racine n-ème de z = ρexp(iθ)est de la forme
wk = n√ρexp
(θ+ 2kπ
n
)pour un certain k ∈Z. Il reste à vérifier qu’il suffit de se limiter à kcompris entre 0 et n −1.Pour cela, remarquons simplement l’égalité :
wk+n = n√ρ exp
(iθ+ 2(k + n)π
n
)= n√ρ exp
(i(θ+ 2kπ
n+ 2π
))= n√ρ exp
(iθ+ 2kπ
n
)
= wk .Donc, quelle que soit la valeur de k , wk se trouve parmi w0,w1, . . . ,wn−1.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Fin de la preuve.
Pour l’instant, on a donc montré qu’une racine n-ème de z = ρexp(iθ)est de la forme
wk = n√ρexp
(θ+ 2kπ
n
)pour un certain k ∈Z. Il reste à vérifier qu’il suffit de se limiter à kcompris entre 0 et n −1.Pour cela, remarquons simplement l’égalité :
wk+n = n√ρ exp
(iθ+ 2(k + n)π
n
)= n√ρ exp
(i(θ+ 2kπ
n+ 2π
))= n√ρ exp
(iθ+ 2kπ
n
)= wk .
Donc, quelle que soit la valeur de k , wk se trouve parmi w0,w1, . . . ,wn−1.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Fin de la preuve.
Pour l’instant, on a donc montré qu’une racine n-ème de z = ρexp(iθ)est de la forme
wk = n√ρexp
(θ+ 2kπ
n
)pour un certain k ∈Z. Il reste à vérifier qu’il suffit de se limiter à kcompris entre 0 et n −1.Pour cela, remarquons simplement l’égalité :
wk+n = n√ρ exp
(iθ+ 2(k + n)π
n
)= n√ρ exp
(i(θ+ 2kπ
n+ 2π
))= n√ρ exp
(iθ+ 2kπ
n
)= wk .
Donc, quelle que soit la valeur de k , wk se trouve parmi w0,w1, . . . ,wn−1.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Fin de la preuve.
Pour l’instant, on a donc montré qu’une racine n-ème de z = ρexp(iθ)est de la forme
wk = n√ρexp
(θ+ 2kπ
n
)pour un certain k ∈Z. Il reste à vérifier qu’il suffit de se limiter à kcompris entre 0 et n −1.Pour cela, remarquons simplement l’égalité :
wk+n = n√ρ exp
(iθ+ 2(k + n)π
n
)= n√ρ exp
(i(θ+ 2kπ
n+ 2π
))= n√ρ exp
(iθ+ 2kπ
n
)= wk .
Donc, quelle que soit la valeur de k , wk se trouve parmi w0,w1, . . . ,wn−1.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Les racines de l’unité
Un cas particulier est z = 1.
Dans ce cas, les racines n-èmes de 1sont appelées racines ne de l’unité et sont données par :
wk = exp(i
2kπn
)où k = 0, . . . ,n −1.
w14k = 1
y
xw13
w12
w11w10
w9
w8
w7
w6
w5
w4 w3
w2
w1
w0
Nous pouvons les représentergéométriquement : ce sont lessommets d’un polygone régulier àn côtés centré en 0.
On voit par exemple que les ra-cines 4-èmes de 1 sont 1,i ,−1,− i :les sommets d’un carré centré en0.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Les racines de l’unité
Un cas particulier est z = 1. Dans ce cas, les racines n-èmes de 1sont appelées racines ne de l’unité et sont données par :
wk = exp(i
2kπn
)où k = 0, . . . ,n −1.
w14k = 1
y
xw13
w12
w11w10
w9
w8
w7
w6
w5
w4 w3
w2
w1
w0
Nous pouvons les représentergéométriquement : ce sont lessommets d’un polygone régulier àn côtés centré en 0.
On voit par exemple que les ra-cines 4-èmes de 1 sont 1,i ,−1,− i :les sommets d’un carré centré en0.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Les racines de l’unité
Un cas particulier est z = 1. Dans ce cas, les racines n-èmes de 1sont appelées racines ne de l’unité et sont données par :
wk = exp(i
2kπn
)où k = 0, . . . ,n −1.
w14k = 1
y
xw13
w12
w11w10
w9
w8
w7
w6
w5
w4 w3
w2
w1
w0
Nous pouvons les représentergéométriquement : ce sont lessommets d’un polygone régulier àn côtés centré en 0.
On voit par exemple que les ra-cines 4-èmes de 1 sont 1,i ,−1,− i :les sommets d’un carré centré en0.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Les racines de l’unité
Un cas particulier est z = 1. Dans ce cas, les racines n-èmes de 1sont appelées racines ne de l’unité et sont données par :
wk = exp(i
2kπn
)où k = 0, . . . ,n −1.
w14k = 1
y
xw13
w12
w11w10
w9
w8
w7
w6
w5
w4 w3
w2
w1
w0
Nous pouvons les représentergéométriquement : ce sont lessommets d’un polygone régulier àn côtés centré en 0.
On voit par exemple que les ra-cines 4-èmes de 1 sont 1,i ,−1,− i :les sommets d’un carré centré en0.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Les racines de l’unité
Un cas particulier est z = 1. Dans ce cas, les racines n-èmes de 1sont appelées racines ne de l’unité et sont données par :
wk = exp(i
2kπn
)où k = 0, . . . ,n −1.
w14k = 1
y
xw13
w12
w11w10
w9
w8
w7
w6
w5
w4 w3
w2
w1
w0
Nous pouvons les représentergéométriquement : ce sont lessommets d’un polygone régulier àn côtés centré en 0.
On voit par exemple que les ra-cines 4-èmes de 1 sont 1,i ,−1,− i :les sommets d’un carré centré en0.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Les racines de l’unité
Un cas particulier est z = 1. Dans ce cas, les racines n-èmes de 1sont appelées racines ne de l’unité et sont données par :
wk = exp(i
2kπn
)où k = 0, . . . ,n −1.
w14k = 1
y
xw13
w12
w11w10
w9
w8
w7
w6
w5
w4 w3
w2
w1
w0
Nous pouvons les représentergéométriquement : ce sont lessommets d’un polygone régulier àn côtés centré en 0.
On voit par exemple que les ra-cines 4-èmes de 1 sont 1,i ,−1,− i :
les sommets d’un carré centré en0.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Les racines de l’unité
Un cas particulier est z = 1. Dans ce cas, les racines n-èmes de 1sont appelées racines ne de l’unité et sont données par :
wk = exp(i
2kπn
)où k = 0, . . . ,n −1.
w14k = 1
y
xw13
w12
w11w10
w9
w8
w7
w6
w5
w4 w3
w2
w1
w0
Nous pouvons les représentergéométriquement : ce sont lessommets d’un polygone régulier àn côtés centré en 0.
On voit par exemple que les ra-cines 4-èmes de 1 sont 1,i ,−1,− i :les sommets d’un carré centré en0.
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Question
Déterminez les 4 racines 4-èmes de i .
Réponse
En ecrivant i = exp(i π2
), les racines 4-èmes de i sont données par:
wk = exp(i(π
8+
2kπ4
))pour 0 ≤ k ≤ 3.
Ces racines sont donc:
exp(iπ
8
), exp
(i(π
8+π
2
))= exp
(i5π8
),
exp(i(π
8+π
))= −exp
(iπ
8
), exp
(i(π
8+
3π2
))= exp
(− i
3π8
).
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Question
Déterminez les 4 racines 4-èmes de i .
Réponse
En ecrivant i = exp(i π2
),
les racines 4-èmes de i sont données par:
wk = exp(i(π
8+
2kπ4
))pour 0 ≤ k ≤ 3.
Ces racines sont donc:
exp(iπ
8
), exp
(i(π
8+π
2
))= exp
(i5π8
),
exp(i(π
8+π
))= −exp
(iπ
8
), exp
(i(π
8+
3π2
))= exp
(− i
3π8
).
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Question
Déterminez les 4 racines 4-èmes de i .
Réponse
En ecrivant i = exp(i π2
), les racines 4-èmes de i sont données par:
wk = exp(i(π
8+
2kπ4
))pour 0 ≤ k ≤ 3.
Ces racines sont donc:
exp(iπ
8
), exp
(i(π
8+π
2
))= exp
(i5π8
),
exp(i(π
8+π
))= −exp
(iπ
8
), exp
(i(π
8+
3π2
))= exp
(− i
3π8
).
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Question
Déterminez les 4 racines 4-èmes de i .
Réponse
En ecrivant i = exp(i π2
), les racines 4-èmes de i sont données par:
wk = exp(i(π
8+
2kπ4
))pour 0 ≤ k ≤ 3.
Ces racines sont donc:
exp(iπ
8
), exp
(i(π
8+π
2
))= exp
(i5π8
),
exp(i(π
8+π
))= −exp
(iπ
8
), exp
(i(π
8+
3π2
))= exp
(− i
3π8
).
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Question
Déterminez les 4 racines 4-èmes de i .
Réponse
En ecrivant i = exp(i π2
), les racines 4-èmes de i sont données par:
wk = exp(i(π
8+
2kπ4
))pour 0 ≤ k ≤ 3.
Ces racines sont donc:
exp(iπ
8
),
exp(i(π
8+π
2
))= exp
(i5π8
),
exp(i(π
8+π
))= −exp
(iπ
8
), exp
(i(π
8+
3π2
))= exp
(− i
3π8
).
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Question
Déterminez les 4 racines 4-èmes de i .
Réponse
En ecrivant i = exp(i π2
), les racines 4-èmes de i sont données par:
wk = exp(i(π
8+
2kπ4
))pour 0 ≤ k ≤ 3.
Ces racines sont donc:
exp(iπ
8
), exp
(i(π
8+π
2
))=
exp(i5π8
),
exp(i(π
8+π
))= −exp
(iπ
8
), exp
(i(π
8+
3π2
))= exp
(− i
3π8
).
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Question
Déterminez les 4 racines 4-èmes de i .
Réponse
En ecrivant i = exp(i π2
), les racines 4-èmes de i sont données par:
wk = exp(i(π
8+
2kπ4
))pour 0 ≤ k ≤ 3.
Ces racines sont donc:
exp(iπ
8
), exp
(i(π
8+π
2
))= exp
(i5π8
),
exp(i(π
8+π
))= −exp
(iπ
8
), exp
(i(π
8+
3π2
))= exp
(− i
3π8
).
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Question
Déterminez les 4 racines 4-èmes de i .
Réponse
En ecrivant i = exp(i π2
), les racines 4-èmes de i sont données par:
wk = exp(i(π
8+
2kπ4
))pour 0 ≤ k ≤ 3.
Ces racines sont donc:
exp(iπ
8
), exp
(i(π
8+π
2
))= exp
(i5π8
),
exp(i(π
8+π
))=
−exp(iπ
8
), exp
(i(π
8+
3π2
))= exp
(− i
3π8
).
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Question
Déterminez les 4 racines 4-èmes de i .
Réponse
En ecrivant i = exp(i π2
), les racines 4-èmes de i sont données par:
wk = exp(i(π
8+
2kπ4
))pour 0 ≤ k ≤ 3.
Ces racines sont donc:
exp(iπ
8
), exp
(i(π
8+π
2
))= exp
(i5π8
),
exp(i(π
8+π
))= −exp
(iπ
8
),
exp(i(π
8+
3π2
))= exp
(− i
3π8
).
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Question
Déterminez les 4 racines 4-èmes de i .
Réponse
En ecrivant i = exp(i π2
), les racines 4-èmes de i sont données par:
wk = exp(i(π
8+
2kπ4
))pour 0 ≤ k ≤ 3.
Ces racines sont donc:
exp(iπ
8
), exp
(i(π
8+π
2
))= exp
(i5π8
),
exp(i(π
8+π
))= −exp
(iπ
8
), exp
(i(π
8+
3π2
))=
exp(− i
3π8
).
Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe
Question
Déterminez les 4 racines 4-èmes de i .
Réponse
En ecrivant i = exp(i π2
), les racines 4-èmes de i sont données par:
wk = exp(i(π
8+
2kπ4
))pour 0 ≤ k ≤ 3.
Ces racines sont donc:
exp(iπ
8
), exp
(i(π
8+π
2
))= exp
(i5π8
),
exp(i(π
8+π
))= −exp
(iπ
8
), exp
(i(π
8+
3π2
))= exp
(− i
3π8
).
Équations polynomiales et nombres complexes Équations polynomiales de degrés supérieur
Contenu de la section
5 Équations polynomiales et nombres complexesÉquations du premier degréRacines carréesÉquations du second degréRacines n-èmes d’un nombre complexeÉquations polynomiales de degrés supérieur
Équations polynomiales et nombres complexes Équations polynomiales de degrés supérieur
Équations polynomiales de degrés supérieur
Soit P(z) = anzn + · · ·+ a1z + a0 est un polynôme de degré n àcoefficients complexes. Nous définissons :
DéfinitionUne racine r ∈C de P est dite de multiplicité m ≥ 1 si on peut écrire
P(z) = (z − r)mQ(z),où Q est un polynôme de degré n −m dont r n’est pas une racine.
Nous énonçons le théorème fondamental suivant, que nous nemontrerons pas:
Théorème (Théorème fondamental de l’algèbre)
Tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes(comptées avec leur multiplicité).
Équations polynomiales et nombres complexes Équations polynomiales de degrés supérieur
Équations polynomiales de degrés supérieur
Soit P(z) = anzn + · · ·+ a1z + a0 est un polynôme de degré n àcoefficients complexes. Nous définissons :
Définition
Une racine r ∈C de P est dite de multiplicité m ≥ 1 si on peut écrireP(z) = (z − r)mQ(z),
où Q est un polynôme de degré n −m dont r n’est pas une racine.
Nous énonçons le théorème fondamental suivant, que nous nemontrerons pas:
Théorème (Théorème fondamental de l’algèbre)
Tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes(comptées avec leur multiplicité).
Équations polynomiales et nombres complexes Équations polynomiales de degrés supérieur
Équations polynomiales de degrés supérieur
Soit P(z) = anzn + · · ·+ a1z + a0 est un polynôme de degré n àcoefficients complexes. Nous définissons :
DéfinitionUne racine r ∈C de P est dite de multiplicité m ≥ 1 si
on peut écrireP(z) = (z − r)mQ(z),
où Q est un polynôme de degré n −m dont r n’est pas une racine.
Nous énonçons le théorème fondamental suivant, que nous nemontrerons pas:
Théorème (Théorème fondamental de l’algèbre)
Tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes(comptées avec leur multiplicité).
Équations polynomiales et nombres complexes Équations polynomiales de degrés supérieur
Équations polynomiales de degrés supérieur
Soit P(z) = anzn + · · ·+ a1z + a0 est un polynôme de degré n àcoefficients complexes. Nous définissons :
DéfinitionUne racine r ∈C de P est dite de multiplicité m ≥ 1 si on peut écrire
P(z) = (z − r)mQ(z),
où Q est un polynôme de degré n −m dont r n’est pas une racine.
Nous énonçons le théorème fondamental suivant, que nous nemontrerons pas:
Théorème (Théorème fondamental de l’algèbre)
Tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes(comptées avec leur multiplicité).
Équations polynomiales et nombres complexes Équations polynomiales de degrés supérieur
Équations polynomiales de degrés supérieur
Soit P(z) = anzn + · · ·+ a1z + a0 est un polynôme de degré n àcoefficients complexes. Nous définissons :
DéfinitionUne racine r ∈C de P est dite de multiplicité m ≥ 1 si on peut écrire
P(z) = (z − r)mQ(z),où Q est un polynôme de degré n −m
dont r n’est pas une racine.
Nous énonçons le théorème fondamental suivant, que nous nemontrerons pas:
Théorème (Théorème fondamental de l’algèbre)
Tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes(comptées avec leur multiplicité).
Équations polynomiales et nombres complexes Équations polynomiales de degrés supérieur
Équations polynomiales de degrés supérieur
Soit P(z) = anzn + · · ·+ a1z + a0 est un polynôme de degré n àcoefficients complexes. Nous définissons :
DéfinitionUne racine r ∈C de P est dite de multiplicité m ≥ 1 si on peut écrire
P(z) = (z − r)mQ(z),où Q est un polynôme de degré n −m dont r n’est pas une racine.
Nous énonçons le théorème fondamental suivant, que nous nemontrerons pas:
Théorème (Théorème fondamental de l’algèbre)
Tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes(comptées avec leur multiplicité).
Équations polynomiales et nombres complexes Équations polynomiales de degrés supérieur
Équations polynomiales de degrés supérieur
Soit P(z) = anzn + · · ·+ a1z + a0 est un polynôme de degré n àcoefficients complexes. Nous définissons :
DéfinitionUne racine r ∈C de P est dite de multiplicité m ≥ 1 si on peut écrire
P(z) = (z − r)mQ(z),où Q est un polynôme de degré n −m dont r n’est pas une racine.
Nous énonçons le théorème fondamental suivant, que nous nemontrerons pas:
Théorème (Théorème fondamental de l’algèbre)
Tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes(comptées avec leur multiplicité).
Équations polynomiales et nombres complexes Équations polynomiales de degrés supérieur
Équations polynomiales de degrés supérieur
Soit P(z) = anzn + · · ·+ a1z + a0 est un polynôme de degré n àcoefficients complexes. Nous définissons :
DéfinitionUne racine r ∈C de P est dite de multiplicité m ≥ 1 si on peut écrire
P(z) = (z − r)mQ(z),où Q est un polynôme de degré n −m dont r n’est pas une racine.
Nous énonçons le théorème fondamental suivant, que nous nemontrerons pas:
Théorème (Théorème fondamental de l’algèbre)
Tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes(comptées avec leur multiplicité).
Équations polynomiales et nombres complexes Équations polynomiales de degrés supérieur
Équations polynomiales de degrés supérieur
Soit P(z) = anzn + · · ·+ a1z + a0 est un polynôme de degré n àcoefficients complexes. Nous définissons :
DéfinitionUne racine r ∈C de P est dite de multiplicité m ≥ 1 si on peut écrire
P(z) = (z − r)mQ(z),où Q est un polynôme de degré n −m dont r n’est pas une racine.
Nous énonçons le théorème fondamental suivant, que nous nemontrerons pas:
Théorème (Théorème fondamental de l’algèbre)
Tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes(comptées avec leur multiplicité).
Applications des nombres complexes
Contenu de la section
6 Applications des nombres complexes
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Contenu de la section
6 Applications des nombres complexesFonctions réelles à valeurs complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec lesnombres complexes
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Fonctions réelles à valeurs complexes
Une fonction réelle à valeurs complexes est
une fonction f :R→C.Comme C est identifiable à R2, un certain nombre de définitions setransposent aisément du cas
« fonction réelle à valeurs dans R2 »au cas
« fonction réelle à valeurs complexes ».
En particulier la notion de dérivée: pour dériver une fonction à valeurscomplexes, il suffit de dériver en considérant que i est une constante.
Ceci revient effectivement à dériver « composante par composante ».
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Fonctions réelles à valeurs complexes
Une fonction réelle à valeurs complexes est une fonction f :R→C.
Comme C est identifiable à R2, un certain nombre de définitions setransposent aisément du cas
« fonction réelle à valeurs dans R2 »au cas
« fonction réelle à valeurs complexes ».
En particulier la notion de dérivée: pour dériver une fonction à valeurscomplexes, il suffit de dériver en considérant que i est une constante.
Ceci revient effectivement à dériver « composante par composante ».
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Fonctions réelles à valeurs complexes
Une fonction réelle à valeurs complexes est une fonction f :R→C.Comme C est identifiable à R2,
un certain nombre de définitions setransposent aisément du cas
« fonction réelle à valeurs dans R2 »au cas
« fonction réelle à valeurs complexes ».
En particulier la notion de dérivée: pour dériver une fonction à valeurscomplexes, il suffit de dériver en considérant que i est une constante.
Ceci revient effectivement à dériver « composante par composante ».
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Fonctions réelles à valeurs complexes
Une fonction réelle à valeurs complexes est une fonction f :R→C.Comme C est identifiable à R2, un certain nombre de définitions setransposent aisément du cas
« fonction réelle à valeurs dans R2 »au cas
« fonction réelle à valeurs complexes ».
En particulier la notion de dérivée: pour dériver une fonction à valeurscomplexes, il suffit de dériver en considérant que i est une constante.
Ceci revient effectivement à dériver « composante par composante ».
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Fonctions réelles à valeurs complexes
Une fonction réelle à valeurs complexes est une fonction f :R→C.Comme C est identifiable à R2, un certain nombre de définitions setransposent aisément du cas
« fonction réelle à valeurs dans R2 »
au cas« fonction réelle à valeurs complexes ».
En particulier la notion de dérivée: pour dériver une fonction à valeurscomplexes, il suffit de dériver en considérant que i est une constante.
Ceci revient effectivement à dériver « composante par composante ».
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Fonctions réelles à valeurs complexes
Une fonction réelle à valeurs complexes est une fonction f :R→C.Comme C est identifiable à R2, un certain nombre de définitions setransposent aisément du cas
« fonction réelle à valeurs dans R2 »au cas
« fonction réelle à valeurs complexes ».
En particulier la notion de dérivée: pour dériver une fonction à valeurscomplexes, il suffit de dériver en considérant que i est une constante.
Ceci revient effectivement à dériver « composante par composante ».
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Fonctions réelles à valeurs complexes
Une fonction réelle à valeurs complexes est une fonction f :R→C.Comme C est identifiable à R2, un certain nombre de définitions setransposent aisément du cas
« fonction réelle à valeurs dans R2 »au cas
« fonction réelle à valeurs complexes ».
En particulier la notion de dérivée: pour dériver une fonction à valeurscomplexes, il suffit de dériver en considérant que i est une constante.
Ceci revient effectivement à dériver « composante par composante ».
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Fonctions réelles à valeurs complexes
Une fonction réelle à valeurs complexes est une fonction f :R→C.Comme C est identifiable à R2, un certain nombre de définitions setransposent aisément du cas
« fonction réelle à valeurs dans R2 »au cas
« fonction réelle à valeurs complexes ».
En particulier la notion de dérivée:
pour dériver une fonction à valeurscomplexes, il suffit de dériver en considérant que i est une constante.
Ceci revient effectivement à dériver « composante par composante ».
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Fonctions réelles à valeurs complexes
Une fonction réelle à valeurs complexes est une fonction f :R→C.Comme C est identifiable à R2, un certain nombre de définitions setransposent aisément du cas
« fonction réelle à valeurs dans R2 »au cas
« fonction réelle à valeurs complexes ».
En particulier la notion de dérivée: pour dériver une fonction à valeurscomplexes,
il suffit de dériver en considérant que i est une constante.
Ceci revient effectivement à dériver « composante par composante ».
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Fonctions réelles à valeurs complexes
Une fonction réelle à valeurs complexes est une fonction f :R→C.Comme C est identifiable à R2, un certain nombre de définitions setransposent aisément du cas
« fonction réelle à valeurs dans R2 »au cas
« fonction réelle à valeurs complexes ».
En particulier la notion de dérivée: pour dériver une fonction à valeurscomplexes, il suffit de dériver en considérant que i est une constante.
Ceci revient effectivement à dériver « composante par composante ».
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Fonctions réelles à valeurs complexes
Une fonction réelle à valeurs complexes est une fonction f :R→C.Comme C est identifiable à R2, un certain nombre de définitions setransposent aisément du cas
« fonction réelle à valeurs dans R2 »au cas
« fonction réelle à valeurs complexes ».
En particulier la notion de dérivée: pour dériver une fonction à valeurscomplexes, il suffit de dériver en considérant que i est une constante.
Ceci revient effectivement à dériver « composante par composante ».
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Exemple
Dérivons la fonction y définie par
y(x) = exp(λx),où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).
Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Exemple
Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).
Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Exemple
Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C.
Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).
Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
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Exemple
Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).
Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
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Exemple
Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) =
exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).
Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
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Exemple
Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).
La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).
Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Exemple
Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :
y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).
Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes
Exemple
Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) =
a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).
Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
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Exemple
Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx))
+ exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).
Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
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Exemple
Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).
Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
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Exemple
Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:
y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).
Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
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Exemple
Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).
Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
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Exemple
Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) =
(a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
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Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) =
λexp(λx) = λy(x).Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
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Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) =
λy(x).Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
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Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).
Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
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Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).
Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe
suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.
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Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),
où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,
y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))
ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))
et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).
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Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
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6 Applications des nombres complexesFonctions réelles à valeurs complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec lesnombres complexes
Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
Retour sur les ÉDOs
Considérons l’équation différentielle ordinaire suivante :
anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = foù a0, . . . ,an sont des constantes (réelles ou complexes) et f est unefonction donnée.
Rappel: Une solution de cette ÉDP est une fonction y :R→R quiverifie:
anyn(x) + an−1y(n−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = f(x)
pour tout x ∈R.
Nous avons déjà étudié les cas n = 1 et n = 2 dans le cas réel(équations du premier et second ordre), mais nous allons maintenantdiscuter brièvement le cas général à l’aide des nombres complexes.
Les nombres complexes vont nous permettre ici de résoudrel’équation linéaire homogène associée en toute généralité.
Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
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Considérons l’équation différentielle ordinaire suivante :anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = f
où a0, . . . ,an sont des constantes (réelles ou complexes) et f est unefonction donnée.
Rappel: Une solution de cette ÉDP est une fonction y :R→R quiverifie:
anyn(x) + an−1y(n−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = f(x)
pour tout x ∈R.
Nous avons déjà étudié les cas n = 1 et n = 2 dans le cas réel(équations du premier et second ordre), mais nous allons maintenantdiscuter brièvement le cas général à l’aide des nombres complexes.
Les nombres complexes vont nous permettre ici de résoudrel’équation linéaire homogène associée en toute généralité.
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nombres complexes
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Considérons l’équation différentielle ordinaire suivante :anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = f
où a0, . . . ,an sont des constantes (réelles ou complexes)
et f est unefonction donnée.
Rappel: Une solution de cette ÉDP est une fonction y :R→R quiverifie:
anyn(x) + an−1y(n−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = f(x)
pour tout x ∈R.
Nous avons déjà étudié les cas n = 1 et n = 2 dans le cas réel(équations du premier et second ordre), mais nous allons maintenantdiscuter brièvement le cas général à l’aide des nombres complexes.
Les nombres complexes vont nous permettre ici de résoudrel’équation linéaire homogène associée en toute généralité.
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Considérons l’équation différentielle ordinaire suivante :anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = f
où a0, . . . ,an sont des constantes (réelles ou complexes) et f est unefonction donnée.
Rappel: Une solution de cette ÉDP est une fonction y :R→R quiverifie:
anyn(x) + an−1y(n−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = f(x)
pour tout x ∈R.
Nous avons déjà étudié les cas n = 1 et n = 2 dans le cas réel(équations du premier et second ordre), mais nous allons maintenantdiscuter brièvement le cas général à l’aide des nombres complexes.
Les nombres complexes vont nous permettre ici de résoudrel’équation linéaire homogène associée en toute généralité.
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Considérons l’équation différentielle ordinaire suivante :anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = f
où a0, . . . ,an sont des constantes (réelles ou complexes) et f est unefonction donnée.
Rappel: Une solution de cette ÉDP est une fonction y :R→R quiverifie:
anyn(x) + an−1y(n−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = f(x)
pour tout x ∈R.
Nous avons déjà étudié les cas n = 1 et n = 2 dans le cas réel(équations du premier et second ordre), mais nous allons maintenantdiscuter brièvement le cas général à l’aide des nombres complexes.
Les nombres complexes vont nous permettre ici de résoudrel’équation linéaire homogène associée en toute généralité.
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Considérons l’équation différentielle ordinaire suivante :anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = f
où a0, . . . ,an sont des constantes (réelles ou complexes) et f est unefonction donnée.
Rappel: Une solution de cette ÉDP est une fonction y :R→R quiverifie:
anyn(x) + an−1y(n−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = f(x)
pour tout x ∈R.
Nous avons déjà étudié les cas n = 1 et n = 2 dans le cas réel(équations du premier et second ordre), mais nous allons maintenantdiscuter brièvement le cas général à l’aide des nombres complexes.
Les nombres complexes vont nous permettre ici de résoudrel’équation linéaire homogène associée en toute généralité.
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Considérons l’équation différentielle ordinaire suivante :anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = f
où a0, . . . ,an sont des constantes (réelles ou complexes) et f est unefonction donnée.
Rappel: Une solution de cette ÉDP est une fonction y :R→R quiverifie:
anyn(x) + an−1y(n−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = f(x)
pour tout x ∈R.
Nous avons déjà étudié les cas n = 1 et n = 2 dans le cas réel(équations du premier et second ordre)
, mais nous allons maintenantdiscuter brièvement le cas général à l’aide des nombres complexes.
Les nombres complexes vont nous permettre ici de résoudrel’équation linéaire homogène associée en toute généralité.
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Considérons l’équation différentielle ordinaire suivante :anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = f
où a0, . . . ,an sont des constantes (réelles ou complexes) et f est unefonction donnée.
Rappel: Une solution de cette ÉDP est une fonction y :R→R quiverifie:
anyn(x) + an−1y(n−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = f(x)
pour tout x ∈R.
Nous avons déjà étudié les cas n = 1 et n = 2 dans le cas réel(équations du premier et second ordre), mais nous allons maintenantdiscuter brièvement le cas général à l’aide des nombres complexes.
Les nombres complexes vont nous permettre ici de résoudrel’équation linéaire homogène associée en toute généralité.
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nombres complexes
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Considérons l’équation différentielle ordinaire suivante :anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = f
où a0, . . . ,an sont des constantes (réelles ou complexes) et f est unefonction donnée.
Rappel: Une solution de cette ÉDP est une fonction y :R→R quiverifie:
anyn(x) + an−1y(n−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = f(x)
pour tout x ∈R.
Nous avons déjà étudié les cas n = 1 et n = 2 dans le cas réel(équations du premier et second ordre), mais nous allons maintenantdiscuter brièvement le cas général à l’aide des nombres complexes.
Les nombres complexes vont nous permettre ici de résoudrel’équation linéaire homogène associée en toute généralité.
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nombres complexes
Méthode de résolution d’ÉDO homogènes
Considérons une équation linéaire homogène:anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0.
Cherchons une solution sous la forme:y(x) = exp(λx)
pour un certain nombre complexe λ. On a y ′(x) = λexp(λx),y ′′(x) = λ2 exp(λx), etc... Dès lors:
ayyn+an−1y(n−1)+· · ·+a1y ′+a0y =(anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0
)y .
En particulier, ce y sera solution de l’ÉDO si et seulement si:P(z) = anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.
Cette équation polynomiale est appelée équation caractéristique del’ÉDO. On sait qu’elle admet généralement n solutions (comptéesavec multiplicité.)
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nombres complexes
Méthode de résolution d’ÉDO homogènes
Considérons une équation linéaire homogène:anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0.
Cherchons une solution sous la forme:y(x) = exp(λx)
pour un certain nombre complexe λ.
On a y ′(x) = λexp(λx),y ′′(x) = λ2 exp(λx), etc... Dès lors:
ayyn+an−1y(n−1)+· · ·+a1y ′+a0y =(anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0
)y .
En particulier, ce y sera solution de l’ÉDO si et seulement si:P(z) = anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.
Cette équation polynomiale est appelée équation caractéristique del’ÉDO. On sait qu’elle admet généralement n solutions (comptéesavec multiplicité.)
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Méthode de résolution d’ÉDO homogènes
Considérons une équation linéaire homogène:anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0.
Cherchons une solution sous la forme:y(x) = exp(λx)
pour un certain nombre complexe λ. On a y ′(x) = λexp(λx),
y ′′(x) = λ2 exp(λx), etc... Dès lors:
ayyn+an−1y(n−1)+· · ·+a1y ′+a0y =(anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0
)y .
En particulier, ce y sera solution de l’ÉDO si et seulement si:P(z) = anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.
Cette équation polynomiale est appelée équation caractéristique del’ÉDO. On sait qu’elle admet généralement n solutions (comptéesavec multiplicité.)
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Méthode de résolution d’ÉDO homogènes
Considérons une équation linéaire homogène:anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0.
Cherchons une solution sous la forme:y(x) = exp(λx)
pour un certain nombre complexe λ. On a y ′(x) = λexp(λx),y ′′(x) = λ2 exp(λx), etc...
Dès lors:
ayyn+an−1y(n−1)+· · ·+a1y ′+a0y =(anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0
)y .
En particulier, ce y sera solution de l’ÉDO si et seulement si:P(z) = anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.
Cette équation polynomiale est appelée équation caractéristique del’ÉDO. On sait qu’elle admet généralement n solutions (comptéesavec multiplicité.)
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Méthode de résolution d’ÉDO homogènes
Considérons une équation linéaire homogène:anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0.
Cherchons une solution sous la forme:y(x) = exp(λx)
pour un certain nombre complexe λ. On a y ′(x) = λexp(λx),y ′′(x) = λ2 exp(λx), etc... Dès lors:
ayyn+an−1y(n−1)+· · ·+a1y ′+a0y =(anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0
)y .
En particulier, ce y sera solution de l’ÉDO si et seulement si:P(z) = anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.
Cette équation polynomiale est appelée équation caractéristique del’ÉDO. On sait qu’elle admet généralement n solutions (comptéesavec multiplicité.)
Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
Méthode de résolution d’ÉDO homogènes
Considérons une équation linéaire homogène:anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0.
Cherchons une solution sous la forme:y(x) = exp(λx)
pour un certain nombre complexe λ. On a y ′(x) = λexp(λx),y ′′(x) = λ2 exp(λx), etc... Dès lors:
ayyn+an−1y(n−1)+· · ·+a1y ′+a0y =
(anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0
)y .
En particulier, ce y sera solution de l’ÉDO si et seulement si:P(z) = anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.
Cette équation polynomiale est appelée équation caractéristique del’ÉDO. On sait qu’elle admet généralement n solutions (comptéesavec multiplicité.)
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Méthode de résolution d’ÉDO homogènes
Considérons une équation linéaire homogène:anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0.
Cherchons une solution sous la forme:y(x) = exp(λx)
pour un certain nombre complexe λ. On a y ′(x) = λexp(λx),y ′′(x) = λ2 exp(λx), etc... Dès lors:
ayyn+an−1y(n−1)+· · ·+a1y ′+a0y =(anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0
)y .
En particulier, ce y sera solution de l’ÉDO si et seulement si:P(z) = anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.
Cette équation polynomiale est appelée équation caractéristique del’ÉDO. On sait qu’elle admet généralement n solutions (comptéesavec multiplicité.)
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Méthode de résolution d’ÉDO homogènes
Considérons une équation linéaire homogène:anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0.
Cherchons une solution sous la forme:y(x) = exp(λx)
pour un certain nombre complexe λ. On a y ′(x) = λexp(λx),y ′′(x) = λ2 exp(λx), etc... Dès lors:
ayyn+an−1y(n−1)+· · ·+a1y ′+a0y =(anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0
)y .
En particulier, ce y sera solution de l’ÉDO si et seulement si:P(z) = anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.
Cette équation polynomiale est appelée équation caractéristique del’ÉDO.
On sait qu’elle admet généralement n solutions (comptéesavec multiplicité.)
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Méthode de résolution d’ÉDO homogènes
Considérons une équation linéaire homogène:anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0.
Cherchons une solution sous la forme:y(x) = exp(λx)
pour un certain nombre complexe λ. On a y ′(x) = λexp(λx),y ′′(x) = λ2 exp(λx), etc... Dès lors:
ayyn+an−1y(n−1)+· · ·+a1y ′+a0y =(anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0
)y .
En particulier, ce y sera solution de l’ÉDO si et seulement si:P(z) = anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.
Cette équation polynomiale est appelée équation caractéristique del’ÉDO. On sait qu’elle admet généralement n solutions (comptéesavec multiplicité.)
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Résultat général
Mentionnons maintenant le résultat général:
ThéorèmeLes solutions de l’équation
anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:
exp(λ1x), x exp(λ1x), . . . , xm1−1 exp(λ1x)
...
exp(λk x), x exp(λk x), . . . , xmk−1 exp(λk x).
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Résultat général
Mentionnons maintenant le résultat général:
ThéorèmeLes solutions de l’équation
anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0
sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:
exp(λ1x), x exp(λ1x), . . . , xm1−1 exp(λ1x)
...
exp(λk x), x exp(λk x), . . . , xmk−1 exp(λk x).
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Résultat général
Mentionnons maintenant le résultat général:
ThéorèmeLes solutions de l’équation
anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières.
Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:
exp(λ1x), x exp(λ1x), . . . , xm1−1 exp(λ1x)
...
exp(λk x), x exp(λk x), . . . , xmk−1 exp(λk x).
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Résultat général
Mentionnons maintenant le résultat général:
ThéorèmeLes solutions de l’équation
anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit :
si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:
exp(λ1x), x exp(λ1x), . . . , xm1−1 exp(λ1x)
...
exp(λk x), x exp(λk x), . . . , xmk−1 exp(λk x).
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Résultat général
Mentionnons maintenant le résultat général:
ThéorèmeLes solutions de l’équation
anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique
, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:
exp(λ1x), x exp(λ1x), . . . , xm1−1 exp(λ1x)
...
exp(λk x), x exp(λk x), . . . , xmk−1 exp(λk x).
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Résultat général
Mentionnons maintenant le résultat général:
ThéorèmeLes solutions de l’équation
anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk ,
alors les nfonctions à considérer sont:
exp(λ1x), x exp(λ1x), . . . , xm1−1 exp(λ1x)
...
exp(λk x), x exp(λk x), . . . , xmk−1 exp(λk x).
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anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:
exp(λ1x), x exp(λ1x), . . . , xm1−1 exp(λ1x)
...
exp(λk x), x exp(λk x), . . . , xmk−1 exp(λk x).
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ThéorèmeLes solutions de l’équation
anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:
exp(λ1x),
x exp(λ1x), . . . , xm1−1 exp(λ1x)
...
exp(λk x), x exp(λk x), . . . , xmk−1 exp(λk x).
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ThéorèmeLes solutions de l’équation
anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:
exp(λ1x), x exp(λ1x),
. . . , xm1−1 exp(λ1x)
...
exp(λk x), x exp(λk x), . . . , xmk−1 exp(λk x).
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Résultat général
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ThéorèmeLes solutions de l’équation
anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:
exp(λ1x), x exp(λ1x), . . . , xm1−1 exp(λ1x)
...
exp(λk x), x exp(λk x), . . . , xmk−1 exp(λk x).
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Résultat général
Mentionnons maintenant le résultat général:
ThéorèmeLes solutions de l’équation
anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:
exp(λ1x), x exp(λ1x), . . . , xm1−1 exp(λ1x)
...
exp(λk x),
x exp(λk x), . . . , xmk−1 exp(λk x).
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Résultat général
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ThéorèmeLes solutions de l’équation
anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:
exp(λ1x), x exp(λ1x), . . . , xm1−1 exp(λ1x)
...
exp(λk x), x exp(λk x),
. . . , xmk−1 exp(λk x).
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Résultat général
Mentionnons maintenant le résultat général:
ThéorèmeLes solutions de l’équation
anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:
exp(λ1x), x exp(λ1x), . . . , xm1−1 exp(λ1x)
...
exp(λk x), x exp(λk x), . . . , xmk−1 exp(λk x).
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nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y .
Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
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nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
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nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1.
Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
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nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par
: exp(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
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nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3,
c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
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nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)
ou encore:1, i , −1, − i .
Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
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nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
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nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .
Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
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nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.
Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
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nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
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nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x),
exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
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nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix),
exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
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nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix),
exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
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nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),
c’est-à-dire :y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),
où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
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nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),
où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
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Exemple
Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?
Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp
(i 2kπ
4
), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:
exp(i0),exp(iπ
2
),exp(iπ),exp
(i3π2
)ou encore:
1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :
exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :
y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.
Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution générale s’écrit donc:y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,B ,C ,D ∈C.
Attention: nous n’avons pas encore terminé la résolution, car oncherche des fonctions y à valeurs réelles qui sont solution.
On cherche donc les valeurs possibles de A ,B ,C ,D pour avoiry(x) = y(x) pour tout x ∈R. Comme:
y(x) = A expx + B exp(−ix) + C exp(ix) + D exp(−x),on voit donc en identifiant les coefficients qu’il faut choisir:
A = A (donc A ∈R ) , C = B et D = D (donc D ∈R ) .
Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution générale s’écrit donc:y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,B ,C ,D ∈C.
Attention: nous n’avons pas encore terminé la résolution,
car oncherche des fonctions y à valeurs réelles qui sont solution.
On cherche donc les valeurs possibles de A ,B ,C ,D pour avoiry(x) = y(x) pour tout x ∈R. Comme:
y(x) = A expx + B exp(−ix) + C exp(ix) + D exp(−x),on voit donc en identifiant les coefficients qu’il faut choisir:
A = A (donc A ∈R ) , C = B et D = D (donc D ∈R ) .
Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution générale s’écrit donc:y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,B ,C ,D ∈C.
Attention: nous n’avons pas encore terminé la résolution, car oncherche des fonctions y à valeurs réelles qui sont solution.
On cherche donc les valeurs possibles de A ,B ,C ,D pour avoiry(x) = y(x) pour tout x ∈R. Comme:
y(x) = A expx + B exp(−ix) + C exp(ix) + D exp(−x),on voit donc en identifiant les coefficients qu’il faut choisir:
A = A (donc A ∈R ) , C = B et D = D (donc D ∈R ) .
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nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution générale s’écrit donc:y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,B ,C ,D ∈C.
Attention: nous n’avons pas encore terminé la résolution, car oncherche des fonctions y à valeurs réelles qui sont solution.
On cherche donc les valeurs possibles de A ,B ,C ,D pour avoiry(x) = y(x) pour tout x ∈R.
Comme:y(x) = A expx + B exp(−ix) + C exp(ix) + D exp(−x),
on voit donc en identifiant les coefficients qu’il faut choisir:A = A (donc A ∈R ) , C = B et D = D (donc D ∈R ) .
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nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution générale s’écrit donc:y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,B ,C ,D ∈C.
Attention: nous n’avons pas encore terminé la résolution, car oncherche des fonctions y à valeurs réelles qui sont solution.
On cherche donc les valeurs possibles de A ,B ,C ,D pour avoiry(x) = y(x) pour tout x ∈R. Comme:
y(x) = A expx + B exp(−ix) + C exp(ix) + D exp(−x),
on voit donc en identifiant les coefficients qu’il faut choisir:A = A (donc A ∈R ) , C = B et D = D (donc D ∈R ) .
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Exemple (Suite)
La solution générale s’écrit donc:y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,B ,C ,D ∈C.
Attention: nous n’avons pas encore terminé la résolution, car oncherche des fonctions y à valeurs réelles qui sont solution.
On cherche donc les valeurs possibles de A ,B ,C ,D pour avoiry(x) = y(x) pour tout x ∈R. Comme:
y(x) = A expx + B exp(−ix) + C exp(ix) + D exp(−x),on voit donc en identifiant les coefficients qu’il faut choisir:
A = A (donc A ∈R ) , C = B et D = D (donc D ∈R ) .
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nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution générale s’écrit donc:y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,B ,C ,D ∈C.
Attention: nous n’avons pas encore terminé la résolution, car oncherche des fonctions y à valeurs réelles qui sont solution.
On cherche donc les valeurs possibles de A ,B ,C ,D pour avoiry(x) = y(x) pour tout x ∈R. Comme:
y(x) = A expx + B exp(−ix) + C exp(ix) + D exp(−x),on voit donc en identifiant les coefficients qu’il faut choisir:
A = A (donc A ∈R ) ,
C = B et D = D (donc D ∈R ) .
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nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution générale s’écrit donc:y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,B ,C ,D ∈C.
Attention: nous n’avons pas encore terminé la résolution, car oncherche des fonctions y à valeurs réelles qui sont solution.
On cherche donc les valeurs possibles de A ,B ,C ,D pour avoiry(x) = y(x) pour tout x ∈R. Comme:
y(x) = A expx + B exp(−ix) + C exp(ix) + D exp(−x),on voit donc en identifiant les coefficients qu’il faut choisir:
A = A (donc A ∈R ) , C = B
et D = D (donc D ∈R ) .
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nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution générale s’écrit donc:y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,B ,C ,D ∈C.
Attention: nous n’avons pas encore terminé la résolution, car oncherche des fonctions y à valeurs réelles qui sont solution.
On cherche donc les valeurs possibles de A ,B ,C ,D pour avoiry(x) = y(x) pour tout x ∈R. Comme:
y(x) = A expx + B exp(−ix) + C exp(ix) + D exp(−x),on voit donc en identifiant les coefficients qu’il faut choisir:
A = A (donc A ∈R ) , C = B et D = D (donc D ∈R ) .
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Exemple (Suite)
La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
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nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F .
Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
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Exemple (Suite)
La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B =
E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
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Exemple (Suite)
La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF .
Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
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La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
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La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
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Exemple (Suite)
La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx
+ (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx
+ 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)
−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x)
+ D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
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nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).
Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les
nombres complexes
Exemple (Suite)
La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
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Exemple (Suite)
La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),
avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.
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Exemple (Suite)
La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),
avec A ,D ∈R et B ∈C.
On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:
y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)
= A expx + (E + iF)(
cos(x) + i sin(x))
+ (E − iF)(
cos(x)− i sin(x))
+ D exp(−x)
= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:
y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.