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DIVISIBILITÉ, PRIMALITÉET CONGRUENCES DANS Z
présentation du chapitre
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Quel est le jour de la semaine correspondant à ma date de naissance ?
On peut résoudre ce problème en utilisant la division euclidienne et aller plus loin encore en créant des calendriers perpétuels .
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SUR LES NOMBRES PREMIERSEn nombre infini > Démonstration d’Euclide
« Les Grecs ont été les premiers à parler un langage compréhensibles par les mathématiciens actuels. Les mathématiques grecques sont intemporelles, davantage même que la littérature grecque » ( Littlewood, mathématicien anglais )
La recherche est axée sur l’étude des nombres de Mersenne ( de la forme 2n - 1 ) entiers pour lesquels on connaît désormais des tests de primalité efficaces .
Le nombre de nombres premiers inférieurs à x divisé par x tend vers zéro ! La formule indiquant qu’au voisinage du nombre x la proportion des nombres premiers est de l’ordre de ln(x)/ x a été conjecturée vers 1792 par Gauss, le prince des mathématiciens, mais démontrée seulement en 1896 .
A la source de tous les records > Supercalculateurs
De plus en plus rares > Un résultat paradoxal
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QUELQUES IDÉES GÉNÉRALESPoint de vue théorique > Généraliser des
conceptsSubstitution de la notion de congruence à celle d’égalité
On dira que deux nombres sont égaux modulo n, s’ils ont même reste dans la division euclidienne par n . C’est l’égalité sur une horloge où, après douze heures, l’indication est identique à l’heure de départ . Cette théorie permet notamment de justifier tous les critères de divisibilité et plusieurs tours de cartes .
Gauss démontra de nombreux résultats observés par ses prédécesseurs dont Leibniz, Fermat et Wilson . Un ancien traité chinois datant du XVIIIe siècle, nommé Suhanshu, indique un très beau théorème ( celui dit des restes chinois très connu des élèves de CP ) qui n’était pas connu des Grecs .
Arithmétique modulaire > Créer de nouveaux théorèmes Connaissance accrue des nombres entiers premiers
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