Présentation des données
Résumé et description numérique
Résumé numérique
Fré
qu
en
ce
Dispersion
Position
Étendue(intervalle de variation)interquartileVarianceÉcart typeCoefficient de variation
ModeMédianeMoyennequartiles
forme
asymétrie
aplatissement
Paramètres de position(valeurs centrales autour desquelles se groupent les valeurs observées)
désigne la moyenne arithmétique de n éléments (n = effectif) tirés d’un échantillon. Mêmes unités que x.
μx = E(x) = moyenne de la distribution théorique des éléments x d’une population
Moyenne arithmétique (mean)
Statistiques descriptives – Paramètres d’une distribution
Statistiques: mesures de la tendance centrale moyenne: facile à calculer
mais peut être influencée par des valeurs extrêmes
X
Fré
qu
en
ce
x
n
xx
n
ii
Médiane (median) Mex
La médiane est la valeur de la variable qui se situe au centre de la série statistique, classée en ordre croissant. La médiane sépare la série en deux groupes d’égale importance.
• S’il y a un nombre impair d’observations, Me est une observation de lasérie. Exemple: pour la série [1, 32, 128, 129, 1000235]
•S’il y a un nombre pair d’observations, la médiane est située entre lesdeux observations centrales de la série. Par convention, on utilise lamoyenne de ces deux valeurs.Exemple: pour la série [1, 32, 128, 129, 532, 1000235]
médiane (M): est la valeur de la variable mesurée pour laquelle le nombre d’observations supérieures et inférieures est égal. Elle est moins influencée par les valeurs extrêmes que la moyenne.
Me = 128,5
Me = 128
Stabilité de la médiane:exemple1
on a reporté le temps mis par 20 nouveaux diplômés pour décrocher un premier emploi( en mois):
0; 0; 0; 0;0;1;1;1;2;2;2;3;3;3;4;4;6;6;8;20 Avec les 20 valeurs:MOY=3,3Me=2 En éliminant la valeur 20 mois:moy=2,42Me=2Conclusion: la moy est bcp plus stable que la moy vis-à-vis des
valeurs extrêmes
Stabilité de la médiane pour des données
quantitatives discrètes:exemple 2
Tab. Nombre de frères et sœurs de tous les étudiants d’une section
0 1 2 3 4 TOTAL38 94 75 48 5 260
nombre de frères et sœurseffectif
Moy=1,57Me=1(130e et 131e =1)
Stabilité de me pour des données quantitatives discrètes:exemple 2 fin. Six étudiants absents lors du recueil des données
annoncent qu’ils ont respectivement:2;3;2;0;4 et 2 frères et sœurs
Pour cette série complétée :Moy=1,58 me=2On remarque que la médiane change beaucoup avec
l’ajout de seulement 6 données sur 260 alors que la moy reste stable. C’est l’inconvénient de la médiane sur des données quantitatives discrètes
Mode Mo
• Le mode est l’indice de la classe comportant le plus de valeurs. Dans une distribution continue c’est la "bosse" de la distribution. • Il peut y avoir plusieurs modes dans une distribution.
•Dans le cas des classes à amplitudes inégales, le mode ne correspond pas toujours à la valeur de la classe la plus fréquente(td)
éChaque pic correspond à un stade larvaire différent
Le mode: exemple
Forme d’une distribution en fonction de ses paramètres de position
Intérêt de chaque paramètre de position
Variance (variance)
Population statistique d'effectif N:
Échantillon aléatoire d'effectif n:
Attention
Paramètres de dispersion(ils renseignent sur l’étalement des valeurs observées)
L’écart type (standard deviation)
σx pour une population ou une distribution théoriquesx pour un échantillon
Coefficient de variation (coefficient of variation)
Symbole: C.V., CV ou V
Le coefficient de variation permet donc de comparer la variation de variables exprimées originellement dans des unités physiques différentes.
Lorsque les échantillons sont de petite taille (n<20), on applique une correction à la formule du coefficient de variation:
Exemple
Soit une série de 5 valeurs:
28, 42, 48, 59, 63
1 48
n
ii
xx
n
x (x-x) (x-x)2
28 -20 440
42 -6 36
48 0 0
59 11 121
63 15 225
2
1
2
2
( ) 782
156,40 12,51
195,50 13,98
26,06%
n
ii
x x
s s
CV
Intervalle interquartile:
regroupe 50% des valeurs de l’échantillon IQ=Q3-Q1= longueur de la boite du box plot
Étendue de variation (range)=max-min
Exemple: notes
Étudiant A:8;9;10;11;12
Étudiant B:5; 5;6; ;15;19
Étendue A=12-8=4
Étendue B=19-5=14
SENSIBLE AUX VALEURS EXTREMES
Paramètres de dispersion: l’étendue de la variation L’étendue de la variation
est définie par la valeur la plus grande et la valeur la plus petite de l’échantillon
C’est une statistique simple mais qui est biaisée parce qu’elle sous-estime la valeur de la population.
Fré
qu
en
ce
L’étendue de la variation de la population
L’étendue de la variation de l’échantillon
Paramètres de forme
Coefficient d’asymétrie (skewness)
Mesure l'asymétrie d'une distribution, c'est-à-dire si elle "penche" d'un côté ou de l'autre.
Où est le cube de l'écart type de la distribution
distribution symétrique distribution tend vers la droitedistribution tend vers la gauche
Coefficient d’aplatissement (kurtosis)
Mesure l'aplatissement d'une distribution
Où est la quatrième puissance de l'écart type de la distribution
normale
Paramètre de dispersion d'une série statistique double
Covariance sxy
• La covariance est une généralisation à deux dimensions du concept de variance. Ce paramètre mesure la dispersion conjointe de deux variables. • La covariance renseigne sur la forme et l'orientation du nuage de points d'un diagramme de dispersion.
Présentation des données dans un listage logiciel
PH
3,48
3,51
3,55
3,57
3,59
3,6
3,72
3,79
3,82
3,83
3,85
3,86
3,89
3,91
3,92
3,92
3,93
3,96
4,06
4,12
PH
Moyenne 3,794Erreur-type 0,041696901Médiane 3,84Mode 3,92Écart-type 0,186474212Variance de l'échantillon 0,034772632Kurstosis (Coefficient d'applatissement)-0,930133301Coefficient d'assymétrie -0,255208244Plage 0,64Minimum 3,48Maximum 4,12Somme 75,88Nombre d'échantillons 20Niveau de confiance(95,0%) 0,087272617
Listage Excel