MP Dynamique du solide - P.F.D. -1/2

Lyce Camille Vernet

D - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE

1 - Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D.)

Il existe au moins un rfrentiel galilen Rg tel que pour tout ensemble matriel E, le torseur dynamique de E dans son mouvement par rapport

gR soit gal au torseur des actions mcaniques extrieures appliques E.

( ) ( )gE / R E E= D F 2 - Rfrentiel galilen

Repre galilen

Pour la plupart des tudes ralises en bureau dtudes, un repre li la terre est une bonne approximation de repre galilen. Pour les

expriences de longue dure ou pour des mouvements rapides, il est ncessaire dutiliser un repre gocentrique voire de Copernic.

Chronologie galilenne

Elle est obtenue partir des horloges classiques (pas de sablier).

3 - Thormes gnraux de la dynamique

3.1 - Thorme de la rsultante dynamique

Pour tout systme matriel E, la rsultante dynamique galilenne est gale la rsultante des actions mcaniques extrieures appliques E.

( ) ( )gm G ,E / R R E E= a

3.2 - Thorme du moment dynamique

Pour tout systme matriel E, le moment dynamique galilen est gal au moment des actions mcaniques extrieures appliques E.

( ) ( )gA,E / R M A,E E =

Remarque :

Au centre dinertie G de E, le thorme du moment dynamique scrit : ( ) ( )dd

g

gR

G ,E / R M G ,E Et =

Si A est un point fixe dans gR , le thorme du moment dynamique scrit : ( ) ( )dd

g

gR

A,E / R M A,E Et =

3.3 - Equations de mouvement

En crivant les thormes gnraux de la dynamique, on aboutit des relations entre les paramtres de position : ( )iq t , leurs drives : ( ) ( ) et i iq t q t , les composantes inconnues dactions mcaniques extrieures au systme isol et les donnes.

Toute quation diffrentielle du second ordre, obtenues par les thormes gnraux de la dynamique, liant les paramtres et leurs drives aux

composantes connues des actions mcaniques extrieures au systme isol sont appeles quations de mouvement.

Remarques :

Par intgration dune quation de mouvement, on obtient une quation diffrentielle du premier ordre appele intgrale premire du

mouvement.

Les systmes dquations obtenus se rsolvent la plupart du temps de manire numrique.

4 - Expression du Principe Fondamental de la Dynamique dans un repre non galilen

Daprs la composition des acclrations, on a :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2g g gP / R P / R P,R / R R / R V P / R= + + a a a Le torseur dynamique galilen peut scrire :

( ) ( ) ( ) ( )g g gE / R E / R E ,R / R E ,R / R= + +e cD D D D

donc ( ) ( ) ( ) ( )g gE / R E E E ,R / R E ,R / R= e cD F D D Remarque :

Si R est en translation rectiligne uniforme par rapport gR alors : ( ) ( )0 et 0g gP,R / R R / R= =a donc ( ) ( )0 et 0g gE ,R / R E ,R / R= =e cD D On peut affirmer que tout repre en translation rectiligne uniforme par rapport gR est galilen.

Inertie dentranement

Inertie de Coriolis

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Lyce Camille Vernet

5 - Principe des actions mutuelles

Soit un ensemble matriel E, form de deux parties disjointes 1E et 2E , en mouvement par rapport gR .

Daprs le Principe Fondamental de la Dynamique :

( ) ( )1 1 1gE / R E E= D F ( ) ( )2 2 2gE / R E E= D F ( ) ( )gE / R E E= D F

On remarque que les actions mcaniques extrieures 1E regroupent des actions de 2E sur 1E et des actions mcaniques extrieures E, do :

( ) ( ) ( )1 1 2 1 1E E E E E E = + F F F Avec la mme remarque sur E2, on obtient :

( ) ( ) ( )2 2 1 2 2E E E E E E = + F F F Soit, en reprenant les quations et

( ) ( ) ( )1 2 1 1gE / R E E E E= + D F F ( ) ( ) ( )2 1 2 2gE / R E E E E= + D F F

do ( ) ( )1 2 2 1E E E E = F F

6 - Cas particuliers du Principe Fondamental de la Dynamique

Si le torseur dynamique ( )gE / R =D 0 alors le Principe Fondamental de la Dynamique donne : ( )E E =F 0 . On retrouve alors lnonc du Principe Fondamental de la Statique. On est dans ce cas lorsque :

La masse de lensemble matriel est considre comme nulle.

Lensemble matriel est immobile ou en translation rectiligne uniforme par rapport un repre galilen

7 - Equilibrage des rotors (Solides en mouvement autour dun axe fixe)

Soit un rotor 2 en liaison pivot avec un solide 1 considr comme fixe.

Le but de lquilibrage dun rotor est de rendre les actions mcaniques de liaisons indpendantes du temps. Cela revient rendre ces actions

indpendantes du paramtre de position du rotor et de ses drives successives.

Condition dquilibrage "statique"

Il faut que le centre dinertie soit sur laxe de rotation

Condition dquilibrage "dynamique"

Laxe de rotation doit tre un axe principal dinertie pour le rotor.

Solide non quilibr

Solide quilibr statiquement mais pas

dynamiquement

Solide quilibr

Remarque :

Lquilibrage se ralise

soit en rajoutant des masses (roue de voitures...)

soit en enlevant de la matire par usinage ce qui revient ajouter des "masses ngatives".