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Performance des algorithmes à véracité garantie pour l'ordonnancement de tâches individualistes
F. Pascual - Laboratoire d’Informatique de GrenobleEn collaboration avec : G. Christodoulou, L. Gourvès, E. Koutsoupias E. Angel, E. Bampis, A. Tchetgnia
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2SOGEA - 16/02/2007
Ordonnancement P||Cmax
m machines identiques n tâches toute tâche i a - une longueur li
- un numéro d’identification
Objectif : minimiser le makespan (la plus grande date de fin)
M2 M2
M1 M1
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3SOGEA - 16/02/2007
Algorithmes d’approximation
SPT (Shortest Processing Time first)
2-1/m approché LPT (Largest Processing Time first)
4/3-1/(3m) approché Schéma d’approximation
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4SOGEA - 16/02/2007
Ordonnancement de tâches individualistes
Chaque tâche i est contrôlée par un agent qui seul connaît li (tâche ≡ agent)
Les tâches communiquent leur longueur à un protocole qui doit les ordonnancer de sorte à minimiser le makespan
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5SOGEA - 16/02/2007
Stratégies des agents
L’algorithme d’ordonnancement est connu. Le but de chaque tâche est de minimiser
sa date de fin d’exécution. Chaque tâche i déclare une valeur bi
représentant sa longueur. Hyp : bi ≥ li (exécution incomplète si bi<li)
li
bi
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6SOGEA - 16/02/2007
Un exemple Le protocole utilise l’algorithme LPT 3 tâches de longueurs {2,1,1}, 2 machines
La tâche rouge a intérêt à mentir sur sa longueur afin de minimiser sa date de fin d’exécution.
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7SOGEA - 16/02/2007
Algorithmes à véracité garantie
Algorithme à véracité garantie : algorithme avec lequel les tâches ne peuvent pas diminuer leur date de fin en mentant sur leur longueur.
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8SOGEA - 16/02/2007
Retour sur l’exemple
Le protocole utilise l’algorithme SPT
C’est un algorithme déterministe, à véracité garantie et 2-1/m approché. [Christodoulou et al. ICALP’04]
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9SOGEA - 16/02/2007
Objectif
Borner la performance d’un protocole (algorithme) à véracité garantie
Pas de paiements
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Autres travaux en ordonnancement
Algorithmes à véracité garantie : économie Paiement des agents Ordonnancement :
Les agents sont les tâches : veulent minimiser la charge de leurs machines [Auletta et al, SPAA’04]
Les agents sont les machinesMécanisme de coordination [Christodoulou et al,
ICALP’04]
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Objectif
Borner la performance d’un protocole (algorithme) à véracité garantie dans divers contextesDéterministe ou randomiséModèle d’exécution fort ou souple
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12SOGEA - 16/02/2007
Modèles d’exécution Modèle fort
Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son résultat li unités de temps après le début de son exécution.
Modèle souple Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son
résultat bi unités de temps après le début de son exécution.
li = 2
bi = 3
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Bornes pour un système centralisé
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort 2-1/m *
Souple
* [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004]
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14SOGEA - 16/02/2007
Bornes pour un système centralisé
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort ? 2-1/m *
Souple
* [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004]
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15SOGEA - 16/02/2007
Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure (1/2)
m machines m(m-1)+1 tâches de longueur 1
Au moins une tâche t se termine à la date m.
Hyp : Algorithme déterministe et de rapport d’approximation < 2-1/m .
1M1
M2
M3
1 1
1 1
1 1
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16SOGEA - 16/02/2007
Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure (2/2) la tâche t déclare 1 : 1 1 1
1 1
1 1
3
11 1
1 1 1
fin(t) ≥ 3
début(t) < 2, fin(t) < 3OPT = 3
3
Makespan < (2-1/m) OPT = 5
Ordonnancement optimal Ordonnancement (2-1/m-ε)-approché
La tâche t a intérêt à déclarer m plutôt que 1 :
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17SOGEA - 16/02/2007
Bornes pour un système centralisé
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m)
Souple
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18SOGEA - 16/02/2007
Bornes pour un système centralisé
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) ?
Souple
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19SOGEA - 16/02/2007
Modèle fort, algorithme randomisé
Idée : combiner : - un algorithme avec véracité garantie- un algorithme pas à véracité garantie mais avec un meilleur
rapport d’approximation.
Exemple : algorithme SPT-LPT- avec une probabilité p : retourner un ordonnancement SPT- avec une probabilité (1-p) : retourner un ordonnancement
. LPT
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20SOGEA - 16/02/2007
SPT-LPT n’est pas à véracité garantie.
On a trois tâches : , ,
- La tâche 1 déclare sa vraie longueur : 1
- La tâche 1 déclare une fausse valeur : 2.5
123
12
3 32 1SPT : LPT :
E[C1] = p + 3(1-p) = 3 - 2p
2.52 3SPT :
LPT : 32.5 2
E[C1] = 1
Modèle fort, algorithme randomisé
J’ai intérêt à déclarer 2.5 plutôt que 1
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21SOGEA - 16/02/2007
Algorithme DSPT
Ordonnancer les tâches t.q. b1 < b2 < … < bn.
La tâche i+1 commence quand 1/m de la tâche i a été exécuté.
Exemple : (m=3)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
5
6
7
8
9
4
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22SOGEA - 16/02/2007
Algorithme DSPT
Propriété : DSPT est (2-1/m)-approché Idée de la preuve :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
5
6
7
8
9
4
Temps d’inactivité :inactivite_avant(i) = ∑ (1/3 lj)inactivite_milieu(i) = 1/3 ( li-3 + li-2 + li-1 ) – li-3inactivite_fin(i) = li+1 – 2/3 li + inactivite_fin(i+1)
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23SOGEA - 16/02/2007
Algorithme DSPT
Propriété : DSPT est (2-1/m)-approché Idée de la preuve :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
5
6
7
8
9
4
Cmax
Cmax = (∑(idle times) + ∑(li)) / m ∑(idle times) ≤ (m-1) ln and ln ≤ OPT Cmax ≤ ( 2 – 1/m ) OPT
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24SOGEA - 16/02/2007
Un algorithme à véracité garantie
Algorithme DSPT-LPT :- Avec une probabilité m/(m+1), retourner DSPT- Avec une probabilité 1/(m+1), retourner LPT.
Le rapport d’approximation de DSPT-LPT est inférieur à celui de SPT. si m=2, rapport(SPT-LPT) < 1.39, rapport(SPT)=1.5
Propriété : DSPT-LPT is à véracité garantie.
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25SOGEA - 16/02/2007
DSPT-LPT est à véracité garantie.
On a trois tâches : , ,
- La tâche 1 déclare sa vraie longueur : 1
- La tâche 1 déclare une fausse valeur : 2.5
123
12
3 32 1DSPT : LPT :
E[C1] = 5/3
3DSPT :
LPT : 32.5 2
E[C1] = 5/3
Un algorithme à véracité garantie
Je n’ai pas intérêt à mentir.
22.5
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26SOGEA - 16/02/2007
Un algorithme à véracité garantie
Propriété : DSPT-LPT est à véracité garantie.
Idée de la preuve : Supposons que i déclare b>li. Elle est maintenant plus grande
que les tâches 1,…, x, plus petite que la tâche x+1.
l1 < … < li < li+1 < … < lx < b < lx+1 < … < ln
LPT : diminution de Ci(lpt) ≤ (li+1 + … + lx) DSPT : augmentation de Ci(dspt) = 1/m (li+1 + … + lx) DSPT-LPT:
changement = - m/(m+1) Ci(lpt) + 1/(m+1) Ci(dspt) ≥ 0
b <
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27SOGEA - 16/02/2007
Bornes pour un système centralisé
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-(5/3+1/(3m))/(m+1)
Souple ?
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28SOGEA - 16/02/2007
Un algorithme déterministe pour le modèle souple Idée : bénéficier de l’avantage de LPT
(son rapport d’approx) mais pas de son inconvénient (les tâches mentent pour être exécutées en premier)
Construire un ordonnancement LPT puis l’exécuter en sens opposé, i.e. du makespan (Cmax) à la date 0
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29SOGEA - 16/02/2007
LPT mirror
Toute tâche t se commençant en d(t) dans LPT se termine à la date Cmax - d(t) dans LPT mirror.
Si t déclare une valeur plus grande que sa longueur réelle alors Cmax ne peut qu’augmenter tandis que d(t) ne peut que diminuer.
LPT mirror est à véracité garantie et 4/3 – 1/(3m) approché.
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30SOGEA - 16/02/2007
Bornes pour un système centralisé
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-(5/3+1/(3m))/(m+1)
Souplem=2: ρ≥1.1
m≥3: 7/64/3-1/(3m)
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31SOGEA - 16/02/2007
Block : un algorithme randomisé pour le modèle souple
Ordonnancer les tâches de façon optimale. Makespan = OPT; Sommes des longueurs sur Mi = Li.
Ajouter une tâche fictive de longueur OPT-Li sur Mi.
Sur chaque machine, ordonnancer les tâches dans un ordre aléatoire.
9 9
10
9
3 5
2 4 3
M1
M2
M3
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32SOGEA - 16/02/2007
Block : un algorithme randomisé pour le modèle souple
Lemme : Soit un ensemble de tâches à ordonnancer selon un ordre aléatoire. E[ fin de i ] = li + ½ ( lj)= ½ (( lj) + li)
Block est à véracité garantie.
- i déclare li : Makespan= OPTli.
E[ fin de i ] = ½ (OPTli + li)
- i déclare bi>li : Makespan= OPTbi ≥ OPTli.
E[ fin de i ] = ½ (OPTbi + bi)
i j
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33SOGEA - 16/02/2007
Bornes pour un système centralisé
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-(5/3+1/(3m))/(m+1)
Souplem=2: ρ≥1.1
m≥3: 7/64/3-1/(3m) 1 1
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34SOGEA - 16/02/2007
Système distribué
Les tâches décident sur quelle machine elles vont être exécutées.
La stratégie de la tâche i est (bi,mi) Chaque machine j a un algorithme local
d’ordonnancement. Cet algorithme ne dépend que des tâches ayant choisi j : mécanisme de coordination [Christodoulou et al. ICALP’04]
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35SOGEA - 16/02/2007
Prix de l’anarchie Équilibre de Nash : Situation dans laquelle
aucune tâche ne peut se terminer plus tôt en changeant unilatéralement de stratégie.
Prix de l’Anarchie = max {MakÉq. Nash / MakOPT}
Objectif : borner le prix de l’anarchie pour les mécanismes de coordination à véracité garantie.
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36SOGEA - 16/02/2007
Bornes pour un système distribué
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-1/m
Souple?
2-1/m 2-1/m
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37SOGEA - 16/02/2007
Modèle souple, mécanisme de coordination déterministe, borne inf
ρ < (2+ε)/2 et ρ ≥ 2/(1+ε)
→ ρ ≥(1+√17)/4 > 1.28
M1
M1 M1
M1
M2 M2
M2 M2
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38SOGEA - 16/02/2007
Bornes pour un système distribué
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-1/m
Souple (1+√17)/4 > 1.28 2-1/m 1+(√13-3)/4>1.15 2-1/m
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39SOGEA - 16/02/2007
Perspectives
Réduire les écarts entre bornes sup et inf Mécanismes de coordination avec véracité
garantie Agents contrôlant plusieurs tâches Machines avec vitesses