Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Projection, cosinus et trigonométrie.
Une initiation pour petits et grands.
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Lumière et ombreComment connaître la hauteur de cette pyramide dont le sommet est inaccessible?
Le soleil darde ces rayons, et fait apparaître une ombre au sol
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Un bâton planté dans le solFait apparaître aussi une ombre
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
On accepte l’idée que les rayons du soleil arrivent parallèles sur Terre
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Les ombres sont proportionnelles à l’objet qui forme cette ombre.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
On peut mesurer les longueurs du bâton et de son ombre. Et connaître ainsi le rapport de l’un à l’autre.Pour l’appliquer ensuite à la pyramide.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Par exemple si un bâton de 1 mètre donne une ombre de 1,50 mètre, cela signifie que l’ombre est une fois et demi celle du bâton. Et donc, l’ombre de la pyramide est une fois et demi celle de la pyramide.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Projeter
Le sol
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Différents points projettent leur ombre sur le sol.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Projeter, c’est envoyer les points sur une droite en suivant une direction.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
On peut modifier la direction de cette projection.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
On peut modifier la droite sur laquelle on projette
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
On peut modifier la droite sur laquelle on projette
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Pour projeter,il faut
Une droite sur laquelle on projette,
Une direction pour la
projection.
(D)()
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
A
(D)()
Le projeté d’un point A, est le point d’intersection de la parallèle à () passant par A et de la droite
(D).
A’
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
A
(D)()
A’
A’ est le projeté de A sur (D) parallèlement à ().
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
A
(D)()
A’ B
C
E
B’C’
E’
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Effet d’une projection sur les formes
(D)()
AB
Un segment [AB]
A’
On projette A en A ’.
B’
On projette B en B ’.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
(D)()
AB
A’
B’
MUn point de [AB]
M ’
M est projeté en M ’ entre A ’ et B ’.
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
(D)()
AB
A’
B’
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
(D)()
AB
A’
B’
Le projeté du segment [AB] est le segment [A’B’]
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
(D)()A’
B’
AB
C
Un triangle
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
(D)()A’
B’
AB
C
L ’ensemble du triangle est projeté sur le segment [A’B’]
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
(D)()
Un disque
A’
On projette des points du cercle.
B’
L ’ensemble du disque est projeté sur le segment [A’B’]
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
(D)()A’
B’
En général, on obtient toujours un segment.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
(D)()A’
B’
En général, on obtient toujours un segment.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Effet d’une projection sur les longueurs
La longueur est conservée.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
La longueur est agrandie.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
La longueur est diminuée.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Effet d’une projection sur les longueurs
En général, la projection modifie les longueurs.
Elle ne conserve les longueurs que lorsque celles-ci sont parallèles à la droite sur laquelle on projette.Elle augmente ou diminue les autres.
De même, elle modifie la nature des figures géométriques.Elle n’a donc que peu de rapport avec les transformations géométriques (symétries, translations, rotations)
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Projection et milieu.On projette un segment.On projette son milieu.
On obtient le milieu du projeté.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Projection et milieu
Donc la projection conserve le milieu.C’est à dire que le
projeté du milieu d’un segment est le milieu du segment projeté.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Milieu sur un quadrillage.6 carreaux
8 carreaux
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
3 carreaux3 carreaux
On obtient ici le milieu
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
On obtient ici le milieu
4 carreaux
4 carreaux
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Projection de longueurs égales.
1234567
On obtient 7 parties de longueurs égales.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
On obtient 7 parties, de
longueurs égales, limitées par les
bandes horizontales.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
On obtient 5 parties, de
longueurs égales, limitées par des
bandes verticales de deux carreaux
de largeur.
1 2 3 4 5
Lumière et ombre
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Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
On veut partager un segment en 5 parties égales.
Mais, oh quel dommage!
9 carreaux
8 carreaux
Ce segment n’est pas directement
partageable en cinq parties ….
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Alors, comment qu’on va faire?.On reproduit le segment en quession.Mais de manière asqui soit placé juste comme ifau pour pouvoir en couper cinq parties égales.
12345
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
12345
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Milieux dans le triangle
Elle coupe le troisième côté en son milieu
On trace la parallèleau deuxième côté.
Par le milieu d’un côté
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Si on trace une droite qui passe par les milieux de deux côtés
Elle se trouve être parallèle au troisième côté.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
//
//
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Les milieux font apparaître quatre triangles superposables.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Les milieux font apparaître trois parallélogrammes.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Donc le segment des milieux est deux fois moins long que le côté auquel il est parallèle.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Projection orthogonaleDans une projection orthogonale, la direction de la projection est perpendiculaire à la droite sur laquelle on projette.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Projection orthogonaleSur une droite
On place des pointsA
BC
ED
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
On les projette orthogonalement
A
BC
ED
A’ B’ C’ D’ E’
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
A
BC
ED
A’ B’ C’ D’ E’
Les segments projetés sont plus courts que les segments initiaux. Donc la projection orthogonale réduit les
longueurs.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
A
BC
ED
A’ B’ C’ D’ E’
Comment s’opère cette réduction?
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Comparer les longueurs
A
BC
ED
A’ B’ C’ D’ E’
On peut mesurer les longueurs et les comparer par différence.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
A
BC
ED
A’ B’ C’ D’ E’
Segment initialSegment projeté
ABA’B’
BCB’C’
CDC’D’
DED’E’
6,3 5,6
2,72,4
4,13,6
2,11,9
Différence 0,7 0,3 0,5 0,2
6,3 cm
5,6 cm
2,7 cm4,1 cm
2,1 cm2,4 cm 3,6 cm 1,9
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
A
BC
ED
A’ B’ C’ D’ E’
Segment initialSegment projeté
ABA’B’
BCB’C’
CDC’D’
DED’E’
6,3 5,6
2,72,4
4,13,6
2,11,9
Différence 0,7 0,3 0,5 0,2
6,3 cm
5,6 cm
2,7 cm4,1 cm
2,1 cm2,4 cm 3,6 cm 1,9
Cette différence dépend donc de la longueur initiale.
On va donc chercher à les comparer par leur rapport.
C ’est à dire par quel nombre elles ont été multipliées au
cours de la projection.
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
A
BC
ED
A’ B’ C’ D’ E’
Segment initialSegment projeté
ABA’B’
BCB’C’
CDC’D’
DED’E’
6,3 5,6
2,72,4
4,13,6
2,11,9
Le segment initial est multiplié par 0,89 0,89 0,88 0,90
6,3 cm
5,6 cm
2,7 cm4,1 cm
2,1 cm2,4 cm 3,6 cm 1,9
Ce rapport prend des valeurs qui sont assez proches. Les mesures et les calculs
arrondis peuvent justifier ces petits écarts.
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
A
BC
ED
A’ B’ C’ D’ E’
6,3 cm
5,6 cm
2,7 cm4,1 cm
2,1 cm2,4 cm 3,6 cm 1,9
En moyenne, au cours de la projection, les longueurs sont multipliées par 0,89
0,89
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
A
E
A’ E’
10 cm
8,9 cm
On peut vérifier que toute autre longueur sur la même droite est multipliée aussi par 0,89 au cours de la projection orthogonale.
0,89
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
A
E
A’ E’
11,5 cm
10,24 cm
Inversement si on connaît la longueur du projeté, il suffit de la diviser par 0,89 pour retrouver la longueur du segment initial.
0,89
Lumière et ombre
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Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Cosinus d’un angleEn résumé : au cours de la projection orthogonale,
0,89
Les longueurs sont multipliées par un coefficient indépendant de la longueur initiale .C’est ce nombre que l’on appelle le Cosinus de l ’angle formé par les deux droites.
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Variations du cosinus avec l’angle
12 cm
11,5 cm16°
Pour un angle de16°
0,96=11,512
Le Cosinus est égal à :
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Pour un angle de26°
0,90=10,812
Le Cosinus est égal à :
12 cm
10,8 cm26°
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Pour un angle de38°
0,79=9,512
Le Cosinus est égal à :
12 cm
38° 9,5 cm
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Pour un angle de48°
0,68=8,112
Le Cosinus est égal à :
12 cm
48° 8,1 cm
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Pour un angle de59°
0,52=6,212
Le Cosinus est égal à :
12 cm
59°
6,2 cm
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Pour un angle de71°
0,33=412
Le Cosinus est égal à :
12 cm
71°
4 cm
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Pour un angle de81°
0,15=1,812
Le Cosinus est égal à :
12 c
m
81°
1,8 cm
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Variations du cosinus avec l’angle
Quand l’angle augmente de 0° à 90°,
le Cosinus diminue de 1 à 0.
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Dans un triangle rectangle
a
h
Pour un angle aiguLe Cosinus fait intervenirles deux côtés de l’angle.Le côté a que l’on dit adjacent.Et h l’hypoténuse
a = h Cos
Cosah
=
Cos =
ah
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
b = h Cos
Cosbh
=
Cos =
bh
bh
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Résolution du triangle rectangle.
Résoudre un triangleRésoudre un triangle, c’est calculer les côtés et les angles à partir du minimum de données.
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
h
Si on connaît l’hypoténuse et un angle Si on connaît l’hypoténuse et un angle aiguaigu
a
b
On peut calculer le côté a
Puis on peut calculer l’autre angle aigu
Puis, on peut calculer le côté b
a = h Cos
= 90° -
b = h Cos Cos Cos
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
12
Par exemplePar exemple
a
b
a = h Cos = 12 Cos62
= 90 - 62 = 28°b = h Cos
Cos 62 Cos
28
62°
12 0,469 5,6 cm
= 12 Cos 28 12 0,883 10,6 cm
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Si on connaît un côté et un angle aiguSi on connaît un côté et un angle aigu
8,577°
On commence par calculer le second angle aigu
90 - 77 = 13°On peut maintenant calculer l’hypoténuse
h13°
h = 8,5 Cos 13
8,5 0,974 8,7 cmConnaissant l’hypoténuse, on peut calculer le troisième côté.
a
a 8,7 Cos 77 8,7 0,225
1,9 cm
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Si on connaît deux Si on connaît deux côtéscôtés
10,3
9,7
On peut calculer l’hypoténuse en utilisant la relation de Pythagore
h
h = 10,3² + 9,7² = 200,18 h 14,1 cm
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Si on connaît deux Si on connaît deux côtéscôtés
10,3
9,7
On peut calculer l’hypoténuse en utilisant la relation de Pythagoreh = 10,3² + 9,7² = 200,18 h 14,1 cm
14,1On peut maintenant calculer l’un des angles aigus par son CosinusCos = 9,7 14,1
0,688
Avec une machine, on trouve :
47°Et enfin l’autre angle aigu : 90 - 47 43°
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Quelques valeurs particulières
Si on partage un carré par une diagonale.
On obtient un triangle rectangle isocèle.
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
CoordonnéesLes deux
angles aigus mesurent 45°
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Les deux côtés de l’angle droit sont égaux. On appelle a cette longueur.
Par la relation de Pythagore, on calcule la longueur de l’hypoténuse.On obtient 2 .
a
2 . aa
a
Cos45 =
a2 .
aEt après simplification par a,
Cos45 =
12
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Si on partage un triangle équilatéral par un axe de
symétrieOn obtient un triangle rectangle dont les
angles aigus mesurent 30° et 60°.
30°
60°
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Si le côté du triangle équilatéral mesure a.
Le triangle rectangle a deux côtés qui
mesurent a et a/2.30°
60°
a
a/2
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Par la relation de Pythagore, on calcule le troisième côtéOn obtient30°
60°
a
a/2
3 . a2
Cos30 = a
3 . a2 = 3
2
Cos60 = a
a /2= 1
2
3 .a2
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Quelques valeurs particulières
Angle
Cos
0° 30° 45° 60° 90°
1 032
22
12
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Angles complémentairesDans un triangle rectangle
Les deux angles aigus sont complémentairesC ’est à dire que leur somme est égale à 90°.
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Si l’un des deux angles mesure
L’autre mesure
12°
78°
Leur cos est égal à
0,978
0,208
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Si l’un des deux angles mesure
L’autre mesure
18°
72°
0,951
0,309
Leur cos est égal à
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Si l’un des deux angles mesure
L’autre mesure
24°
66°
0,914
0,407
Leur cos est égal à
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Si l’un des deux angles mesure
L’autre mesure
35°
55°
0,819
0,574
Leur cos est égal à
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Si l’un des deux angles mesure
L’autre mesure
45°
45°
0,707
0,707
Leur cos est égal à
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Si l’un des deux angles mesure
L’autre mesure
59°
31°
0,515
0,857
Leur cos est égal à
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Si l’un des deux angles mesure
L’autre mesure
78°
12°
0,208
0,978
Leur cos est égal à
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Si l’un des deux angles mesure
L’autre mesure
87°
3°
0,052
0,999
Leur cos est égal à
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées 0,0520,2080,5150,7070,9990,9780,8570,707
0,8190,574
0,9140,407
0,9780,208
coscos
Pour deux angles complémentaires, les Cosinus varient en sens opposé.Quand l’un augmente, l’autre diminue
On peut chercher quelle relation lie ces deux valeurs.
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
a
bh
bCos = h
Cos = ah
b²Cos² = h²
Cos² =
a²h²
donc
Cos² +
Cos² =
b²h²
a²h²+ = a² + b²
h² = h²h² =
1Par la relation de Pythagore, a²+ b² = h²
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Repères et coordonnées.
A
Quand on place un point, pour pouvoir déterminer sa position, on se réfère à deux axes.
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
A
Un axe horizontal
Un axe vertical
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
A
Chacun de ces axes est orienté,
et gradué
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9
+10
-1-2-3-4-5-6
+1
+2
+3
+4
+5
+6
-1-2-3-4-5
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
Les deux axes se coupent au point O qui est l’origine du repère.
A
+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10-1-2-3-4-5-6
+1
+2
+3
+4
+5
+6
-1
-2
-3
-4
-5
O
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
A
+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10-1-2-3-4-5-6
+1
+2
+3
+4
+5
+6
-1
-2
-3
-4
-5
O
On projette A sur l’axe horizontal.Puis on projette A sur l’axe vertical.
Abscisse de A
Ordonnée de A
Lumière et ombre
Projeter
Effet d’une projection
Quadrillages
Milieux Et triangles
Projection orthogonale
Cosinus
Triangle rectangle
Coordonnées
A
+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10-1-2-3-4-5-6
+1
+2
+3
+4
+5
+6
-1
-2
-3
-4
-5
Le couple (+5 ; +2,2) est le couple des coordonnées de A.
O+5
+2,2