Optique gomtrique

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Optique gomtriqueAgns

CoursMAUREL

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DANS LA COLLECTION BELIN SUP SCIENCESA. MAUREL, J.-M. MALBEC Optique gomtrique, rsum de cours et exercices M. SAINT-JEAN, J. BRUNEAUX et J. MATRICON lectrostatique et magntostatique, cours J. BRUNEAUX, M. SAINT-JEAN et J. MATRICON lectrostatique et magntostatique, rsum de cours et exercices

DANS LA COLLECTION BELIN SUP HISTOIRE DES SCIENCESA. BARBEROUSSE La constitution de la mcanique statistique M. BLAY La science du mouvement de Galile Lagrange

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Sommaire1. La lumire et loptique gomtrique ......................................................................Introduction ................................................................................................................................. Nature ondulatoire de la lumire. Ondes lectromagntiques .............................................. Vitesse de propagation, indice optique ..................................................................................... De londe au rayon lumineux .....................................................................................................5 6 7 9 12 17

Rsum du cours ......................................................................................................................Dioptres et miroirs....................................................................................................................... Lois de Snell-Descartes en milieu homogne. Lois de Kepler ............................................. Principe de Fermat ...................................................................................................................... Propagation de rayons lumineux en milieu non homogne ................................................... Application : la rfraction atmosphrique et les mirages ........................................................ Surface des indices. Construction de Descartes ...................................................................... Principe dHuyghens et interprtation des lois de Descartes ................................................

2. Rflexion et rfraction .................................................................................................. 1921 22 28 31 32 41 42 47

Rsum du cours ......................................................................................................................Larc-en-ciel .................................................................................................................................. Le prisme ......................................................................................................................................

3. tude de larc-en-ciel et du prisme .......................................................................... 49

Rsum du cours ......................................................................................................................Image dun point lumineux travers un systme optique ...................................................... Stigmatisme rigoureux ................................................................................................................ Notion de stigmatisme approch ...............................................................................................

50 58 66

4. Stigmatisme et approximation de Gauss ............................................................... 6970 72 80 82

Rsum du cours ......................................................................................................................Le dioptre plan et la lame faces parallles ............................................................................. Le dioptre sphrique ................................................................................................................... Le miroir plan .............................................................................................................................. Le miroir sphrique .....................................................................................................................

5. Dioptres et miroirs dans lapproximation de Gauss ........................................ 8586 89 95 99 cours ...................................................................................................................... 105

Rsum du

6. Les systmes centrs ....................................................................................................... 107Dfinitions .................................................................................................................................... Points et plans cardinaux dun systme dioptrique ................................................................. Construction de limage dun objet travers un systme dioptrique.................................... Formules de conjugaison dun systme centr .........................................................................109 109 113 114

3

Les systmes catadioptriques ..................................................................................................... 116 Association de systmes centrs................................................................................................. 120

Rsum du cours ......................................................................................................................Caractristiques dune lentille paisse ....................................................................................... Les lentilles convergentes et divergentes .................................................................................. Relation de conjugaison dune lentille paisse ......................................................................... Points focaux dune lentille paisse ...........................................................................................

125

7. Les lentilles paisses .............................................................................................. 127128 130 131 132 cours ...................................................................................................................... 134

Rsum du

8. Les lentilles minces dans lapproximation de Gauss ....................................... 135Caractristiques dune lentille paisse ....................................................................................... Image dun objet travers une lentille mince .......................................................................... Points cardinaux dune lentille mince ....................................................................................... Distance focale, relation de conjugaison de Descartes dune lentille mince ....................... Construction gomtrique de limage dun objet travers une lentille mince .................... Relations de conjugaison dune lentille mince symtrique .................................................... Lentilles accoles. Vergence ....................................................................................................... Association de lentilles. Application aux oculaires ................................................................. Les systmes afocaux ...................................................................................................................137 138 139 140 142 144 146 148 156 cours ...................................................................................................................... 158

Rsum du

9. Proprits gnrales des instruments doptique ............................................... 161Les diffrents instruments optiques .......................................................................................... Grandissement, grossissement et puissance dun instrument optique ................................. Champs en largeur des instruments optiques .......................................................................... Profondeur de champ ..................................................................................................................162 163 168 171 cours ...................................................................................................................... 174

Rsum du

10. Lil et la loupe .............................................................................................................. 175Lil ............................................................................................................................................... 176 La loupe......................................................................................................................................... 186

11. Instruments optiques deux lentilles : le microscope et la lunette .............................................................................................................................. 191Les diffrents types de microscope............................................................................................ Le microscope optique ou photonique ..................................................................................... Les lunettes dapproche .............................................................................................................. La lunette de Galile ...................................................................................................................192 195 200 202 cours ...................................................................................................................... 204

Rsum du

12. Les aberrations ................................................................................................................ 207Les aberrations chromatiques .................................................................................................... 208 Les aberrations gomtriques..................................................................................................... 212

Rponses aux exercices......................................................................................................... 2154

C h a p i t r e

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L a lumire et loptique gomtriqueLa lumire est une onde lectromagntique et, ce titre, sa propagation est rgie par les quations de Maxwell. Les grandeurs caractristiques dune onde lumineuse sont sa longueur donde et sa frquence. Dans le cadre de loptique gomtrique, les longueurs donde de la lumire sont supposes petites compares aux dimensions caractristiques des instruments optiques. On considre alors que le chemin suivi par la lumire est dcrit par un rayon lumineux. Cette notion de rayon lumineux est essentielle car elle constitue la base de loptique gomtrique.1.1. Introduction 1 Les domaines de loptique 2 mission et dtection optiques 1.2. Nature ondulatoire de la lumire. Ondes lectromagntiques 1 Milieux transparent, homogne et isotrope 2 Les quations de Maxwell 3 Ondes lectromagntiques : frquences et longueurs donde 1.3. Vitesse de propagation, indice optique 1 Vitesse de propagation 2 Indice optique 3 Variation de lindice optique. Coefcient de dispersion et coefcient thermique 1.4. De londe au rayon lumineux 1 Ondes plane, cylindrique ou sphrique 2 Surface donde et vecteur donde 3 Rayon lumineux 4 Principe du retour inverse de la lumire

Mots-cls

Ondes lectromagntiques Longueur donde Surface donde Rayon lumineux

Frquence

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1.1. Introduction1 Les domaines de loptiqueLoptique est un domaine de la physique divis en sous-domaines qui se sont souvent crs de faon historique. Un de ces sous-domaines est loptique gomtrique. Dans le cadre de loptique gomtrique, on considre que la lumire se propage sous forme de rayons lumineux ; ces rayons reprsentent alors la trajectoire de la lumire, cest--dire quils transportent la vibration lectromagntique. On parle souvent dapproximation des rayons car cette notion nest valable que dans certaines limites, la principale tant la limite des frquences infinies, cest--dire des frquences trs grandes devant toutes celles qui caractrisent le milieu de propagation. En particulier, pour que la notion de rayons soit applicable, il faut que la longueur donde de la lumire soit trs petite devant toutes les longueurs caractristiques du milieu considr. Lorsque cette hypothse nest plus vrifie, par exemple lorsque londe rencontre un obstacle dont la taille est comparable sa longueur donde, des phnomnes typiquement vibratoires interviennent, comme la diffraction et les interfrences. Ces phnomnes pour lesquels interviennent la nature vibratoire de la lumire et sa propagation par ondes se rattachent loptique ondulatoire. Parmi les autres domaines de loptique, nous pouvons citer loptique nergtique qui dcrit les puissances transportes par le rayonnement, leur rpartition spatiale et leur action sur divers rcepteurs ou encore loptique physiologique qui traite spcifiquement de la formation des images dans lil et de leur perception. Plus rcemment, loptique quantique envisage laspect corpusculaire de la lumire, dans ses changes dnergie avec la matire. Enfin, lie aux nombreuses applications de loptique, loptique instrumentale traite des caractristiques optiques dun instrument par opposition ses caractristiques mcaniques.

2 mission et dtection optiquesLes systmes vivants communiquent avec lextrieur grce aux sons, cest--dire en mettant et mission en recevant des ondes acoustiques mais aussi par lumineuse la vue, en recevant des ondes lumineuses. Les yeux constituent le systme de dtection des onil Rflexion de des lumineuses ; ils transforment le signal optila lumire que en impulsions nerveuses transmises au cerveau par le nerf optique. En revanche, la plupart des tres vivants ne disposent pas dmetteur Fig. 1.1. Modes de vision. Un objet lumineux (seuls quelques poissons exotiques sont capables (comme le Soleil) met directement de la lumire vers lil tandis quun objet non lumineux dmettre des signaux lumineux). Nous ne som(comme un poisson) rflchit la lumire vers mes visibles que grce des sources de lumire lil. annexes comme le Soleil ou les lampes. Si ces sources sont directement visibles grce la lumire quelles mettent, les objets non lumineux ne sont visibles que sils sont clairs par une source lumineuse : cest alors la lumire quils rflchissent qui est dtecte par lil (Fig. 1.1).Soleil

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Un peu dhistoire

La vision archaque de la lumire : Le feu externe et le feu visuelLes thories archaques de la lumire portent davantage sur la vision que sur la nature de la lumire. On distingue lpoque antique deux thories, celle du feu externe et celle du feu visuel. Dans la thorie du feu externe, la lumire parvient lil grce un phnomne de propagation d atomes mis par les objets lumineux et qui parviennent jusqu lil. La thorie du feu visuel affirme au contraire que lil est le sige dune mission de particules permettant la vision : ces particules iraient scruter les objets. Cest notamment la thorie dEuclide (IIIe sicle av. J.-C.), fondateur de lcole dAlexandrie et auteur de la catadioptrique. Les disciples dEuclide et notamment, au Ier sicle de notre re, Ptolme, continuent de dvelopper cette thorie. Platon dveloppera une thorie que lon peut qualifier de mixte entre les thories du feu externe et du feu visuel : il et objet mettent priodiquement des particules dont linteraction permet la vision.

1.2. Nature ondulatoire de la lumire. Ondes lectromagntiques1 Milieux transparent, homogne et isotropeLes milieux tudis en optique gomtrique sont des milieux dans lesquels la lumire est susceptible de se propager. De tels milieux sont dits transparents. Un milieu est homogne si les caractristiques optiques du milieu sont identiques en tout point. Enfin, un milieu est isotrope si la propagation lumineuse est identique quelle que soit la direction de propagation dans le milieu.

2 Les quations de MaxwellEn 1860, le physicien anglais J. Maxwell tablit les quations de llectromagntisme. Ces quations gouvernent le comportement spatio-temporel des ondes lectromagntiques. Une onde lectromagntique est caractrise par un champ lectrique et un champ magntique coupls ; Maxwell montre en outre que la lumire est une onde lectromagntique, mais il faudra attendre encore pour que le caractre ondulatoire de la lumire soit reconnue par la communaut scientifique, alors convaincue que la lumire suivait un comportement quil tait possible de dcrire dans un cadre proche de celui de la mcanique. Nous donnons ci-dessous la forme des quations de Maxwell dans le vide : div B = 0 B rotE = ---t div E = -01. LA LUMIRE ET LOPTIQUE GOMTRIQUE

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E rotB = 0 j + 0 0 ---t Le champ lectromagntique est caractris en chaque point de lespace par le couple de vecteurs ( E , B ). Les densits et j sont appeles les sources du champ lectromagntique. 0 et 0 sont des constantes : 0 = 4 . 1012 7

S.I. est la permabilit du vide et

0 = 8,854.10 S.I. est la permittivit du vide. En absence de sources, les champs magntique et lectrique vrifient une quation de propagation caractristique des ondes. Cette quation de propagation est obtenue partir des quations de Maxwell en utilisant les proprits des oprateurs divergence et rotationnel : rot rot X = grad div X X . Nous obtenons alors : 2 1 1 -1 ---B = -- rotE = --- rot rot B = --- [ grad divB B ] = --- B --2 -- 0--0 0--0 0--0 t t2 1 1 1 --1 -- ---- E = --- -- rot B = --- rot rot E = --- [ grad divE E ] = --- E -2 0--0 0--0 0--0 0--0 t t

Les champs E et B vrifient donc la mme quation de propagation : 1 -2 ---B -- B = 0 --2 c t2

et

2 1 ---E -- E = 0 -2 -2 t c

1 o c = ------ 3.10 8 m.s 1 apparat comme la vitesse de la lumire dans le vide. ----0 0 Lorsque le milieu considr nest pas le vide, lquation de propagation scrit :2 1 1 --- B -- B = 0 et --- E -- E = 0 -2 -2 -2 -2 t t v v o v est la vitesse de la lumire dans le milieu considr. Maxwell a donc tabli que la lumire se propage dans le vide la vitesse de c = 3.108 m.s1, valeur qui avait t obtenue exprimentalement par ailleurs. Cest A. Einstein qui montra, dans le cadre de la relativit que cette valeur est une constante universelle. 2

3 Ondes lectromagntiques : frquences et longueurs dondeProprits : Dans un milieu quelconque, il est possible dassocier une onde lectromagntique monochromatique, et donc une onde lumineuse monochromatique, trois grandeurs caractristiques : une longueur donde , une frquence , une vitesse de propagation .

Les ondes lectromagntiques couvrent une gamme de frquences qui va de quelques hertz (symbole Hz) 1020 Hz mais la lumire visible pour lhomme ne couvre quune plage de frquences trs limite allant de 4.1014 Hz 8.1014 Hz (Fig. 1.2).8

Dans le vide, la frquence f et la longueur donde dune onde lectromagntique sont lies par la relation : c = f

Visible 1028 1026 1024 1022 1020 1018 1016 1014 1012 1010 108 Rayons Rayons X UV IR Microondes 106 104 f (Hz)

Ondes radio 100 102 104 0 (m)

1020 1018 1016 1014 1012 1010 108 106 104 102

Fig. 1.2. Frquences et longueurs donde dans le vide des ondes lectromagntiques.

CouleursViolet extrme Violet moyen Violet - bleu Bleu moyen Bleu - vert Vert moyen Vert - jaune Jaune moyen Jaune - orang Orang moyen Orang - rouge Rouge moyen Rouge extrme

Longueurs donde (nm = 10-9 m)400 420 440 470 500 530 560 580 590 600 610 650 780

La lumire visible est usuellement caractrise par son contenu spectral, gamme de longueurs donde auxquelles sont associes des couleurs (Fig. 1.3) ; ces valeurs de longueurs donde correspondent une propagation de la lumire dans le vide (et par extension, comme nous le verrons, dans lair).

Fig. 1.3. Longueurs donde dans le vide et couleurs des ondes lumineuses.

1.3. Vitesse de propagation, indice optique1 Vitesse de propagationNous lavons vu, dans le vide, la vitesse de propagation v des ondes lectromagntiques, donc de la lumire, vaut : v = c = 3.108 m.s1. Dans un milieu transparent, v est toujours infrieure la vitesse c dans le vide. Notons que la frquence f de londe est un invariant de la propagation : ainsi, lorsque londe lumineuse passe dun milieu lautre, sa frquence reste la mme mais sa vitesse de propagation dpendant du milieu de propagation, et par consquent sa longueur donde varie. Un milieu de propagation est caractris par la vitesse de propagation v des ondes lctromagntiques. Mais il est plus usuel de caractriser un milieu par son indice optique, aussi appel indice de rfraction.1. LA LUMIRE ET LOPTIQUE GOMTRIQUE

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2 Indice optiqueLindice optique, not n est dni comme le rapport de la vitesse de propagation dune onde dans le vide, c, celle, v, de la mme onde dans le milieu considr : c n = -- 1 v

Par dfinition, lindice optique dun milieu est toujours plus grand que 1. Lair est souvent assimil au vide car son indice optique est voisin de 1 : dans les conditions normales de temprature et de pression ( 20 C et 1,013 bar), lindice de lair vaut 1,000293. Considrons la photo de la figure 1.4. Une tige de verre est plonge dans un rcipient qui contient de leau dindice optique voisin de 1,33 et du tolune, dont lindice optique est voisin de 1,5. Leau, plus lourde que le tolune, se trouve au fond du bcher. Le verre a lui-mme un indice optique de 1,5, cest-dire presque gal celui du tolune. Fig. 1.4. Phnomne de rfraction. Tige de La vision nette que nous avons de la partie de la tige verre immerge dans un mlange eau/ tolune. Le tolune, plus lger que leau, se immerge dans leau est, schmatiquement, due au trouve au-dessus. fait que la lumire ne se propage pas la mme vitesse dans la tige de verre et dans leau. En revanche, dans le tolune, la prsence de la tige de verre ne modifie pas le comportement de londe qui voit un milieu homogne dindice optique gal 1,5. La tige nest donc presque pas visible dans le tolune. On remarque galement que la tige aux deux interfaces eau/tolune et tolune/air semble se tordre. Ce phnomne, galement li aux variations dindice optique, sexplique par les lois de la rfraction de Snell-Descartes (voir chapitre 2).

& Dveloppement Recherche

Vitesse de la lumireTrs rcemment, une physicienne danoise Lene Vestergaard Hau, du Rowland Institute for Science, a tabli un nouveau record pour la vitesse de la lumire, en russissant la ralentir 1,5 km/h, battant ainsi son prcdent record de 60 km/h. 1,5 km/h, la lumire se dplace 720 millions de fois moins vite qu lordinaire ! Lexprience consiste faire passer de la lumire dans un condensat de Bose-Einstein, groupe datomes refroidis une temprature de quelques milliardimes de degr au-dessus du zro absolu. Dans ce milieu trs froid, les atomes cessent pratiquement de bouger, ce qui lui confre des proprits optiques trs particulires, notamment un indice de rfraction 100 000 milliards de fois plus lev que le verre. La physicienne commente on peut presque envoyer un rayon de lumire, aller se chercher un caf et revenir temps pour le voir ressortir le rayon de lautre ct de lquipement. Cette exprience a inspir deux jeunes chercheurs, Ulf Leonhardt et Paul Piwnicki, de lInstitut royal de technologie, en Sude : crer un trou noir optique. Ils ont montr quil est possible de construire un analogue optique de ce phnomne gravitationnel. Dj en 1818, Fresnel avait tabli

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quun milieu mobile pouvait courber un rayon lumineux. Mais pour quapparaissent des effets quivalent la courbure de lespace-temps prs dun trou noir, il faut que la vitesse du milieu soit du mme ordre que la vitesse de la lumire. Un condensat de BoseEinstein semble donc un bon candidat pour raliser un tel milieu, et Leonhardt et Piwnicki proposent de raliser une tornade de ce milieu ; refroidie une temprature proche du zro absolu, cette tornade pourrait littralement aspirer et emprisonner la lumire. Ainsi, tous les photons entrant dans le tourbillon en demeureraient prisonniers, tant que le condensat continuerait tourbillonner, et

tant quil resterait froid, ralisant ainsi un pige lumire, ce qui correspond bien lune des proprits dun trou noir! quoi un tel trou noir optique pourrait-il servir ? Les possibilits sont immenses. On prsume quune seule chose peut schapper dun trou noir : la radiation de Hawking. Cette force mystrieuse na encore jamais t observe et un pige lumire le permettrait peut-tre. Il pourrait aussi servir de banc dessai pour la thorie quantique de la gravit. terme, ceci pourrait permettre de runir la thorie quantique avec la relativit gnrale dEinstein, lun des rves de la physique moderne depuis des dcennies !

& Dveloppement Recherche

Lindice optique en mcanique quantiqueEn mcanique quantique, la solution de lquation de Schrdinger pour un potentiel uniforme correspond londe, dite de De Broglie, associe une particule libre. Cette onde subit une rfraction en accord avec la loi classique de la rfraction de loptique quand elle passe dune rgion de potentiel U1 dans une rgion de potentiel U2. Lexpression de lindice optique est alors donne par la relation : n=

( W U1 )( W U1 )

o W reprsente lnergie totale de la particule

3 Variation de lindice optique. Coefcient de dispersion et coefcient thermiqueA priori, les valeurs de la vitesse de propagation v et donc de lindice optique dun milieu peuvent dpendre de la frquence de londe qui sy propage, ou autrement dit de sa longueur donde ainsi que de grandeurs thermodynamiques telle que la temprature. Les variations de lindice optique sont en gnral trs faibles et nous considrerons la plupart du temps lindice optique comme une constante caractristique du milieu. La dpendance de lindice optique en fonction de la longueur donde est pourtant essentielle pour comprendre la dispersion de la lumire blanche observe dans un prisme ou dans une gouttelette deau : ce dernier exemple tant responsable de la formation des arcs-en-ciel. La variation de lindice optique avec la longueur donde est caractrise par un coefficient appel coefficient de dispersion et not . Ce coefficient est dfini, pour les longueurs

1. LA LUMIRE ET LOPTIQUE GOMTRIQUE

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donde du spectre visible, comme le rapport de lindice de rfraction mesur au milieu de ce spectre (couleur jaune, J = 589 nm) la diffrence des indices dtermins aux deux extrmits de ce spectre (couleurs bleu B= 486 nm et rouge R= 655 nm) : n ( ) = --------J----------------n ( B) n ( R) Le tableau ci-dessous donne les indices optiques de quelques matriaux pour les longueurs donde correspondant aux couleurs bleu, jaune et rouge ainsi que le coefficient de dispersion calcul.Matriau ( 20C)Crown Flint lger Flint moyen Flint lourd Diamant Eau

n(B)1,523 1,585 1,665 1,919 2,435 1,338

n(J)1,517 1,575 1,650 1,890 2,417 1,333

n(R)1,514 1,570 1,645 1,879 2,410 1,331

168,56 105,00 82,50 47,25 96,68 190,45

Fig. 1.5. Variation de lindice optique de quelques matriaux en fonction de la longueur donde. Dans ladernire colonne, on donne le coefficient de dispersion correspondant. Le crown est un verre blanc peu dispersif, les flints (lger, moyen et lourd) sont des verres base de plomb.

Lindice optique n peut galement varier en fonction de la temprature T du milieu. Ces dn variations sont caractrises par le coefficient thermique de lindice de rfraction--- . Pour -dT 4 les verres, le coefficient thermique de lindice optique est compris entre 3 10 K1 et 16 104

K 1 .

1.4. De londe au rayon lumineux1 Ondes plane, cylindrique ou sphriqueUne onde lumineuse est une onde de propagation, caractrise par une fonction dpendant du temps et de lespace. Cette fonction est dtermine par les quations de Maxwell ( peut tre par exemple le champ E ou B ). Dans le cas o il ny a pas de sources, (M, t) est alors solution dune quation de propagation. Nous considrons tout dabord la solution gnrale de lquation de propagation une dimension. Un point M est repr par son abscisse x et loprateur laplacien se rduit 2 une drive seconde par rapport x : = --- . Lquation de propagation scrit alors : - -2 x 2 2 - 1 --- --- -- ---2 = 0 - 2 -2 t v x La solution gnrale de cette quation de propagation scrit : (M, t) = f (x vt) + g (x + vt)12

La fonction f (x vt) correspond une onde se propageant dans le sens des x croissants et la fonction g (x + vt) une onde se propageant dans le sens des x dcroissants. Considrons une onde se propageant dans le sens des x croissants : londe est dite harmonique si la fonction f est choisie parmi les fonctions harmoniques (les fonctions relles sinus ou cosinus ou la fonction exponentielle complexe). Ainsi, une onde de pulsation = 2f scrit, par exemple : (M,t) = (x, t) = 0 cos ( (x vt)) v Notons que cette solution de lquation une dimension est galement obtenue lorsque londe est gnre par un plan source (O, y, z). Les symtries du problme imposent alors une solution de la forme prcdente. Considrons maintenant une onde gnre par un fil source en deux dimensions ou par un point source en trois dimensions. Dans les deux cas, les symtries du problme imposent que la fonction ne dpende que de la variable r, dfinie en deux dimensions par les coordonnes cylindriques et en trois dimensions par les coordonnes sphriques. Sans rentrer dans les dtails, nous donnons la forme de la solution dans ces deux cas : (M,t) = (r,t) = 0(r) cos ( (r vt)) v

2 Surface donde et vecteur dondey Plan donde M

r O z u d

v

x

Fig. 1.6. Plan donde dune onde plane se propageant dans la direction Ox.

Considrons tout dabord le cas dune onde plane se propageant dans le sens des x croissants. Sa fonction donde scrit : (M,t) = f (x vt). La phase de la fonction donde, (x vt), un instant donn t, a la mme valeur pour tous les points contenus dans un plan dabscisse x. Tous les points de ce plan sont dits en phase et le plan qui les contient dfinit une surface donde ou plan donde. Londe considre est en fait une onde plane se propageant suivant la direction x. Au cours de sa propagation, le plan donde, x constant, reste perpendiculaire au vecteur

unitaire u associ (u = -1- v ) la vitesse v de propagation de londe (Fig. 1.6). -v Considrons maintenant un plan donde de direction u quelconque. La distance de ce plan lorigine est mesure par d selon la direction u et tout point M du plan donde situ lextrmit du vecteur OM = r est tel que u . r = d. Londe de propagation dans la direction u scrit donc : (M, t) = f (d vt) = f ( u . r vt)1. LA LUMIRE ET LOPTIQUE GOMTRIQUE

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En particulier, si la fonction est harmonique, nous obtenons : (M,t) = 0 cos (k(u r vt)) = 0 cos (k . r t) Dans cette expression, = kv est la pulsation de londe et k est le vecteur donde dfini par la relation : 2 k = k u = -- u - Le vecteur k est donc, par construction, toujours perpendiculaire au plan donde. Usuellement, les plans donde dune onde plane sont reprsents distants de . En effet, la diffrence de phase entre un point M du premier plan P et un point M du plan P distant de P de scrit alors k (r + u) t = (k r t) + 2. Par suite, londe a la mme valeur dans tous les plans spars de (Fig. 1.7a) Considrons maintenant le cas dune onde cylindrique ou sphrique. Un raisonnement analogue peut tre men. Ainsi, pour une onde harmonique, cylindrique ou sphrique, nous obtenons : (M,t) = 0(r) cos (k(u r vt)) = 0(r) cos (k(r vt)) = 0(r) cos (kr t) Pour une onde cylindrique, tous les points de mme phase (kr t) appartiennent des cylindres concentriques dont laxe est le fil source. Tous les cylindres distants de sont quiphases (Fig. 1.7b). De mme, pour une onde sphrique, tous les points de mme phase (kr t) appartiennent des sphres concentriques dont le centre est le point source. Toutes les sphres distantes de sont quiphases (Fig 1.7c).

a.

b.

c.k

k

Fil source k k k

Point

Plan

k

Fig. 1.7. Surfaces donde : dune onde plane (a.), cylindrique (b.) et sphrique (c.). k dsigne le vecteur dondelocal.

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3 Rayon lumineuxSurface d'onde Rayon

Dnition : Les rayons limineux sont localement perpendiculaires aux surfaces donde.

Fig. 1.8. Surfaces donde locales le long dunrayon lumineux.

Le sens des rayons (indiqu par une flche) indique le sens de propagation de la lumire (Fig 1.8.). Notons que londe se propage de faon rectiligne dans un milieu transparent homogne isotrope.

Un peu dhistoire

Loptique au Moyen-OrientAprs les thories archaques de la vision, les premiers sicles de notre re ne verront gure de progression dans la thorie de la lumire. Il faudra attendre le Moyen-ge pour que loptique renaisse en gypte. En effet, trs tt, les savants arabes se sont intresss aux travaux grecs sur loptique et, loin de se contenter de traduire ces ouvrages, ils les reprennent et les corrigent Cest finalement le physicien Alhazen (965-1039), de son vrai nom Ibn al-Haytham, qui contribuera de manire dcisive lavance de la comprhension de la lumire dans son ouvrage Opticae thesaurus Alhaseni Arabis (traduction latine dans laquelle son nom fut modifi). Jusqualors, voir et clairer se confondaient. Anim par une dmarche scientifique rigoureuse, il sest impos Alhazen quil fallait distinguer vision et clairement lumineux. Il pose alors clairement les fondements de loptique gomtrique : les objets lumineux mettent des rayons qui se propagent en ligne droite et atteignent lil qui forme une image dont la position dpend de celle du cristallin. Il tablit sous une forme gnrale la loi de la rflexion, tente une description du phnomne de rfraction mais surtout, sattache vrifier exprimentalement les lois quil nonce ; il sera notamment le premier utiliser une chambre noire. Il laisse un problme qui porte son nom et snonce ainsi : En quel point dun miroir concave circulaire doit tomber la lumire provenant dun point A donn pour quelle soit rflchie en un autre point B donn ? ; la solution du problme dAlhazen revient la rsolution dune quation du quatrime degr. Alhazen peut tre considr comme linitiateur dune nouvelle dmarche scientifique la fois mathmatique et exprimentale. Parmi ses disciples, on peut citer le persan Kamal al-Din alFarisi (1260 - 1320) qui tablit une table de la rfraction air-verre et donne une explication des arcs-en-ciel primaire et secondaire trs proche de celle que donnera Descartes trois sicles plus tard dans son Discours de la mthode. Aprs les travaux dAlhazen, peu de grandes dcouvertes en optique seront faites et il faudra attendre le XVIe sicle pour quune nouvelle renaissance se produise en optique.

1. LA LUMIRE ET LOPTIQUE GOMTRIQUE

15

4

Principe de retour inverse de la lumire

Dans un milieu transparent homogne et isotrope, le trajet de la lumire est indpendant du sens de parcours. Ce principe est une consquence du principe de Fermat que nous dvelopperons plus loin (chapitre 2) ; ce principe prvoyant la minimisation du chemin suivi par un rayon lumineux, on comprend aisment que le chemin qui minimise le temps de trajet dun point A un point B est galement celui qui minimise le temps de trajet du point B au point A.

Un peu dhistoire

La premire mesure de la vitesse de la lumireLide que la lumire se propage la vitesse de 300 000 km/s nous est aujourdhui familire mais il nen a pas toujours t ainsi. Il faudra en fait attendre 1676 pour que lastronome danois Olaf Rmer effectue la premire mesure de la vitesse de la lumire, dmontrant ainsi le caractre non instantane de sa propagation. Dans lAntiquit, la nature de la lumire ntait pas connue. Aristote pensait que la propagation de la lumire tait instantane tandis quEmpdocle dAgrigente voquait dj lide quelle devait prendre un certain temps pour parvenir du Soleil la Terre. Au XVIIe sicle, Galile a lintuition que la vitesse de la lumire pourrait tre si rapide que notre intuition, fonde sur lexprience du quotidien, nous trompe. Dans son ouvrage Dialogue sur les deux principaux systmes du monde , paru en 1632, il met en scne Simplicio, aristotlicien naf et attach aux traditions, qui il prte les propos suivants : Les expriences quotidiennes nous enseignent que la propagation de la lumire est instantane. Le flash lumineux dun tir dartillerie atteint notre il sans aucun dlai mais le son produit, lui, arrive notre oreille avec un retard. Galile souligne la fausset du raisonnement : lexemple de Simplicio montre simplement que la vitesse de la lu16 mire est plus grande que celle du son. Il imagine alors une exprience qui permettrait de mesurer cette vitesse. Il se place au sommet dune colline, arm dune lanterne ; son assistant fait de mme sur une colline voisine. Galile couvre sa lanterne ; son assistant doit couvrir la sienne ds quil ne voit plus la lanterne de Galile. Le temps entre le moment o Galile a cach sa lanterne et celui o il ne voit plus celle de son assistant correspond aux temps qua mis la lumire pour parcourir deux fois la distance qui spare les deux lanternes. Galile comprendra luimme quil est en train de mesurer son temps de raction combine celui de son assistant et il conclut judicieusement que la distance mise en jeu dans son exprience est trop faible. Quarante ans plus tard, le danois Olaf Rmer met fin aux dbats en effectuant la premire mesure de la vitesse de la lumire. Il ralise cette mesure aprs avoir tudi Io, satellite de Jupiter. En mesurant les intervalles de temps entre deux clipses successives, il constate un rsultat surprenant : Io semble avoir deux priodes de rvolution ! Rmer comprend alors que la premire priode est mesure lorsque la Terre est proche de Jupiter tandis que la seconde correspond une configuration des plantes o la Terre est

loin de Jupiter. Il en dduit que Io a une seule priode de rvolution autour de Jupiter, cest--dire quelle met des signaux lumineux (lors des clipses) avec un intervalle de temps rgulier, mais que ces signaux mettent des temps diffrents pour parvenir la Terre. Les deux temps mesurs correspondent des positions de la Terre diamtralement oppos sur son orbite par rapport au Soleil et leur diffrence, trouve gale 22 minutes, cor-

respond au temps que met la lumire pour parcourir le diamtre de cette orbite, soit environ 300 millions de kilomtres. Rmer en dduit la premire mesure de la lumire, quil trouve environ gale 200 000 km/s (mesure trs imprcise). Par sa mesure, il montre surtout que la lumire ne se propage pas de manire instantane, ce qui tait discut lpoque.

Rsum du coursOnde lumineuse

Dans un milieu quelconque, une lumire monochromatique, comme toute onde lectromagntique monochromatique, est caractrise par trois grandeurs : - une longueur donde , - une frquence f, - une vitesse de propagation v. le vide, la vitesse de propagation dune onde lectromagntique est c. La frquence et la longueur donde dune onde lectromagntique sont lies par la relation : c = f

Dans

Un milieu de propagation est caractris par son indice optique, aussi appel indice

de rfraction, not n et dfini comme le rapport de la vitesse de propagation dune onde dans le vide, c, celle, v, de la mme onde dans le milieu considr : n= c 1 f

Lors de la propagation dune onde lectromagntique dans diffrents milieux, la frquence de londe reste inchange : seule la longueur donde et la vitesse de propagation varient. On a toujours la relation : = v f

Rayons lumineux Les rayons sont localement perpendiculaires aux surfaces donde. Le sens des rayons

indique le sens de propagation de la lumire.

1. LA LUMIRE ET LOPTIQUE GOMTRIQUE

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Exercices1 Une onde se propage dans le vide la vitesse de 3.108 m/s. Sagit-il dune onde lumineuse ? 2 Une onde se propage dans le vide la vitesse de 3.108 m/s et dans leau la vitesse de 2,25.108 m/s. Sagit-il dune onde lumineuse ? Quel est lindice de leau ? 3 On envoie un rayon lumineux de lair vers un morceau de flint. On donne lindice de rfraction du flint n = 1,585 pour une radiation de longueur donde = 486 nm. Que deviennent les quantits suivantes : frquence, vitesse de londe et longueur donde lorsque la lumire passe de lair au flint (on assimile lair au vide) ?

18

C h a p i t r e

2

Rflexion et rfractionCe chapitre est tout fait primordial. Il regroupe les lois essentielles de loptique gomtrique et il ne serait pas exagr de dire quil est suffisant de connatre ces quelques lois pour retrouver toutes les autres. La lumire se propage en ligne droite dans un milieu homogne transparent. Quen est-il lorsque le milieu nest plus homogne ? Tout lobjet de ce chapitre est de rpondre cette question. Les lois de Snell-Descartes sont probablement les plus utiles pour la plupart des problmes classiques doptique gomtrique. Elles permettent de dterminer la trajectoire des rayons lumineux lors de la traverse dune succession de milieux transparents et homognes : ces lois dcrivent le comportement dun rayon lumineux au passage entre deux milieux. Elles sont gnralisables au cas, plus compliqu, o les caractristiques optiques du milieu changent continment. Dans ce cas, le thorme de Malus ( les rayons lumineux sont normaux aux surfaces donde ) dbouche sur lquation dite des rayons et qui est lquation la plus gnrale de loptique gomtrique. Cette quation permet par exemple dexpliquer le phnomne des mirages.

2.1. Dioptres et miroirs 2.2. Lois de Snell-Descartes en milieu homogne. Lois de Kepler 1 nonc des lois de Snell-Descartes pour un dioptre 2 mergence rasante et rexion totale 3 Application de la rexion totale aux bres optiques 4 Incidence rasante 5 Lois de Kepler 2.3. Principe de Fermat 1 Quest-ce que le principe de Fermat ? 2 Notion de chemin optique 3 nonc du principe de Fermat 2.4. Propagation de rayons en milieu non homogne 1 Thorme de Malus 2 quation des rayons 2.5. Applications : la rfraction atmosphrique et les mirages 1 La rfraction atmosphrique 2 Le mirage infrieur 3 La ligne vanescente

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4 5 6 7

Le mirage suprieur Compression verticale des mirages Linversion de temprature et le mirage double Fata morgana

2.6. Surface des indices. Construction de Descartes 2.7. Principe dHuyghens et interprtation des lois de Descartes 1 Notion de sources secondaires 2 Le principe dHuyghens 3 Interprtation de la rfraction et de la rexion avec le principe dHuyghens

Rfraction Rflexion totale Indice de rfraction Mirage

Mots-cls

2.1. Dioptres et miroirsDans le cadre de ce chapitre, nous considrons deux types de surfaces : les dioptres et les

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miroirs.Dnition : Un dioptre est une surface qui spare deux milieux transparents et homognes dindices optiques diffrents, par exemple linterface eau/air dnie par la surface libre de leau dun lac. On appelle miroir une surface rchissante telle que pratiquement toute la lumire incidente est renvoye par la surface.

Dans le cas du miroir, si la surface rflchissante est due un dpt mtallique, la lumire ne peut pas traverser la couche mtallise et tous les rayons lumineux sont rflchis. En revanche, dans le cas du dioptre, il existe en gnral, en plus du rayon rflchi, un rayon qui passe dans le milieu suivant, appel rayon rfract. Ainsi, un objet lumineux dans lair se reflte la surface de leau dun lac mais il est galement vu par les poissons du lac. Une partie de la lumire quil met est donc rflchie par le dioptre tandis que lautre partie est transmise dans leau. Lobjet des lois de Snell-Descartes est de dcrire comment les rayons lumineux sont rflchis et rfracts. Ces lois ne permettent pas en revanche de prdire quel pourcentage de lintensit lumineuse sera rflchi ou rfract. En effet, la notion dintensit lumineuse est en dehors du cadre de loptique gomtrique. Enfin, les surfaces que nous tudions dans le cadre de loptique gomtrique prsentent des asprits dont la taille est trs infrieure la longueur donde considre. Cette caractristique est appel le poli optique.

Un peu dhistoire

Renaissance de loptique au XVIe sicleLe XVIe sicle voit la renaissance de loptique, endormie depuis les travaux de Ptolme et dAlhazen. Les voies empruntes sont trs varies. Lonard de Vinci adopte une dmarche purement scientifique ; il reprend le dispositif exprimental de la chambre obscure et sattache tablir des analogies entre la propagation du son et celle de la lumire. Au mme moment, lutilisation des lentilles se dveloppe dans le but utilitaire de corriger la vue et dtudier le cristallin, comme en tmoigne le livre de Della Porta, le Magia Naturalis. Mais le XVIe sicle est surtout le sicle de lastronomie. Cest par le biais de cette discipline en plein essor que loptique va progresser, notamment parce que lobservation des astres passe par la mise au point dinstruments optiques performants. La premire lunette est construite par les hollandais en 1590 ; en Italie, Galile, inform de la mise au point de ce nouvel intrument, en construit un plus performant encore et dcouvre quatre satellites de Jupiter. Lastronome allemand Kepler publie en 1611 louvrage doptique le plus important avant celui de Newton, le Dioptrique, dans lequel il expose la loi de la rflexion et une loi approche de la rfraction, explique le mcanisme de vision et expose le fonctionnement des lentilles.

2.2. Lois de Snell-Descartes en milieu homogne.2. RFLEXION ET RFRACTION

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Lois de Kepler1 nonc des lois de Snell-Descartes pour un dioptreNous considrons un rayon incident IO rencontrant en O un dioptre sparant deux milieux (1) et (2) dindices respectifs n1 et n2. Par convention, tous les angles sont mesurs partir de la normale au dioptre en O et en consquence, ils sont tous compris entre 0 et , 2 puisquils sont dfinis dans un quart de plan. Les directions des rayons rflchi et rfract obissent aux lois de Snell-Descartes, qui sont au nombre de trois (Fig. 2.1) : Les rayons incident IO, rfract OT et rflchi OR sont contenus dans un mme plan normal au dioptre. Ce plan contient galement la normale ON la surface de sparation. Langle de rflexion i est li langle dincidence i1 par la relation : i = i1 Langle de rfraction i2 et langle dincidence i1 sont lis par la relation : n1 sin i1 = n2 sin i2 La dernire loi montre que, lorsquun rayon lumineux passe dun milieu (1) un milieu (2), le N milieu (1) tant moins rfringent (n 1 < n2), le R I rayon rfract se rapproche de la normale. i1 -i1 A contrario, lorsque le milieu (1) est plus rfrinn1 gent que le milieu (2), le rayon rfract sloigne de la normale. O n2 En gnral, les indices de rfraction des milieux dpendent de la longueur donde : cest le phnoi2 mne de dispersion. Cette dpendance de lindice T optique par rapport la longueur donde est lorigine du spectre lumineux observ dans larcFig. 2.1. Rflexion (rayon OR) et rfraction en-ciel et le prisme (chapitre 3). Ce mme ph(rayon OT) dun rayon lumineux IO incident sur nomne est responsable de certaines aberrations un dioptre. chromatiques (chapitre 12). Considrons, titre dexemple, un rayon se propageant dans lair, assimil au vide, et rencontrant sous lincidence i1 la surface libre de leau. Avec nair = 1 et neau = 4 , nous obtenons 3 les valeurs de langle que forme le rayon rfract avec la normale au dioptre air/eau en fonction de langle dincidence (voir tableau).

i1 () i2 ()

0 0

5 3,75

10 7,48

15 11,19

20 14,86

25 18,48

30 22,02

35 22,48

40 28,82

45 32,03

22

2 mergence rasante et rexion totaleConsidrons un rayon lumineux se propageant dun milieu (1) vers un milieu (2), le milieu (1) tant plus rfringent que le milieu (2). La loi de la rfraction n1sini1 = n2sini2 montre que langle i2 est plus grand que langle i1. Ainsi, partant de i1 = i2 = 0 et faisant crotre i1, langle i 2 crot plus vite que i1 et atteint la valeur pour une valeur de i1, que nous 2 . Que se passe-t-il alors ? Lexprience montre quaunoterons i1C, comprise entre 0 et 2 del de langle dincidence i1C qui ralise i2 = , il y a disparition du rayon rfract : la lu2 mire incidente ne pntre plus dans le milieu (2). Ce phnomne sappelle la rflexion totale puisque la lumire est alors rflchie totalement comme la surface dun miroir. Langle i1C est appel angle critique de rflexion totale. Le cas particulier pour lequel i1 = i1C et i2 = correspond lmergence rasante. 2 Mathmatiquement, il est ais de retrouver la valeur de langle dincidence critique en cherchant le domaine de validit de la loi de la rfraction. En effet, la loi de la rfraction n1 n2 doit vrifier 1 sini2 = -- sin i 1 . On en dduit -- sin i 1 , soit la valeur critique de i1 : n2 n1 n2 i1C = arcsin -- n1 Suivant la valeur de langle dincidence i1, trois cas sont possibles, rsums par la figure 2.2.

a.

I i1 -i1

R

b.

c.

I i1c -i1c

R I i1 O i2 = 2 -i1

R

Milieu (1) Milieu (2) O i2 T O

Fig. 2.2. Rflexion et rfraction dun rayon lumineux la surface dun dioptre sparant le milieu (1) dincidence, n2 dindice n1, du milieu (2), moins rfringent que le milieu (1). i1 dsigne langle dincidence et i1C = arcsin (n-) langle --1

critique dincidence. a. i1 < i1C : il y a rflexion et rfraction ; b. i1 = i1C : lmergence rasante est observe ; c. i1 > i1C : il y a rflexion totale.

Considrons titre dexemple un clou plant au centre dun flotteur de rayon R, la tte du clou tant la distance h du centre du flotteur. Le disque flotte la surface de leau, dont lindice n est gal 1,33 (le clou est immerg). Nous voulons tablir une condition pour que le clou soit visible pour un observateur dans lair. Cela sera le cas si au moins un rayon mis par lextrmit du clou vers la surface de leau est rfract dans lair (Fig. 2.3). Le cas du rayon passant par le bord du disque permet de trancher : si ce rayon subit une rflexion totale, alors tous les rayons issus du clou seront galement totalement rflchis car ils cor2. RFLEXION ET RFRACTION

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respondent des angles dincidence plus grands. Le clou ne sera alors pas visible. Si, en revanche, ce rayon est rfract, alors une partie des rayons mis par le clou le seront galement (jusqu ce que langle dincidence atteigne langle dincidence critique) et le clou sera visible. Langle dincidence de ce rayon passant par le bord du disque est donn par : sin i 1 = ---2R---2 . --------h +R La condition pour que ce rayon soit transmis dans lair scrit, daprs la loi de la rfraction et en prenant 1 pour lindice de lair : n sini1 = sini2 < 1. Nous obtenons donc la condition suivante : h > n 1 R2

R

i2 n

1

h

i1

Fig. 2.3. Condition de vision par un observateur dans lair dun clou plant au centre dun flotteur de rayon R, la tte du clou tant la distance h du centre du flotteur. Le clou est immerg dans leau.

3 Application de la rexion totale aux bres optiquesUne application de la rflexion totale est le pigeage dun faisceau lumineux dans les fibres optiques. La fibre optique la plus simple consiste en deux cylindres concentriques, constitus de matriaux dilectriques dindices de rfraction diffrents (Fig. 2.4). Le cur, dindice n1, est plac au centre dune gaine optique dindice n2, avec n2 < n1, appele manteau (cladding) pour la distinguer de la gaine de protection mcanique extrieure. Le faisceau lumineux est envoy dans la fibre en incidence normale par rapport lentre de la fibre.Gaine (n2)

Cur (n1)Fig. 2.4. Fibre optique.

& Dveloppement Recherche

Les fibres gradient dindiceLes fibres saut dindice possdent une variante intressante : les fibres gradient dindice . Les trajets optiques des diffrents rayons lintrieur du cur sont rendus pratiquement identiques, en faisant varier lindice de rfraction en fonction de la distance radiale, suivant une loi pratiquement parabolique. La gaine optique peut disparatre, et les rayons lumineux correspondant aux diffrents modes de propagation faible perte sont continment dvis par la variation radiale de lindice ; ils ne subissent pas de rflexion totale la limite du cur de la fibre.

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Dans le cas idal, la fibre est droite et le tir du faisceau est parfait (Fig. 2.5). Les rayons lumineux se propagent de faon rectiligne, en incidence rasante par rapi1 port au dioptre qui spare le cur de la fibre et sa gaine. Dans la pratique cependant, la fibre est susceptible de se Fig. 2.5. a. Lorsque la fibre est droite, le rayon lumineux est pig dans la courber et le tir dtre imfibre ; b. lorsque la fibre se courbe, langle dincidence peut diminuer : le rayon nest plus pig. parfait, de sorte que les rayons arrivent avec un angle dincidence (faible) sur le dioptre cur/gaine. La fibre saut dindice est conue pour que ces rayons subissent une rflexion totale linterface cur/gaine optique afin que les pertes lumineuses soient minimises (Fig. 2.6).a. b.

La valeur critique de langle dincidence tant donne par i1C = arcsin n- , nous voyons que la r-2 n1 flexion totale est obtenue pour un angle dincidence dautant plus faible que le rapport n- est -2 n1 petit (Fig. 2.7). Les pertes lumineuses sont ainsi limites en choisissant un rapport faible n- . -2 n1Fig. 2.6. Rflexion totale dans la fibre : le rayon lumineux est pig.

i1c90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

n2 n1

Fig. 2.7. Variation de la valeur critique de langle dincidence en fonction du rapport n2/n1, o n1 est lindice du milieu dincidence.

En fait, la propagation des ondes lintrieur de la fibre nest pas uniquement limite au respect de la condition de rflexion totale linterface cur/ gaine optique. A priori, une infinit de rayons lumineux peuvent se propager dans le cur de la fibre en respectant cette condition. Mais le phnomne dinterfrence peut provoquer leur extinction si les ondes lumineuses sont en opposition de phase. Ainsi, les angles douverture susceptibles de favoriser la propagation, avec de faibles pertes, lintrieur du cur ne prennent pas toutes les valeurs comprises entre 0 et langle critique de rflexion totale, mais un certain nombre de valeurs discrtes, qui correspondent des modes, appels mode de propagation guide , avec des pertes minimales.2. RFLEXION ET RFRACTION

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Un peu dhistoire

Des fontaines lumineuses aux fibres optiquesDs lAntiquit, les Grecs connaissaient le phnomne de propagation de la lumire dans des cylindres transparents grce la rflexion totale. Pendant longtemps, ce principe neut dautres applications que les fontaines lumineuses, veines dans lesquelles la lumire se propage avec des angles dincidence sur les parois tels que la condition de rflexion totale soit assure. Lnergie lumineuse est ainsi transporte tout le long de la veine. La sortie de la veine est courbe de sorte que toute ou partie de cette nergie est mise par rfraction, les angles dincidence devenant trop grands. En jouant sur les diffrentes possibilits, on obtient les effets spectaculaires que lon connat aux fontaines blanches. Lors de lExposition coloniale de 1931, une fontaine lumineuse de 45 mtres de haut, le Grand Signal , fut installe sur le lac Daumesnil. En 1935, la piscine du paquebot Normandie, fut agrmente dune fontaine lumineuse en forme de corne dabondance. Ce nest rellement que pendant la seconde moiti du XXe sicle que le dveloppement industriel des fibres optiques est intervenu. Ainsi, en 1980, lune des premires applications ft la liaison des deux centraux tlphoniques parisiens Tuileries et Philippe-Auguste, laide dun cble comprenant soixante-dix fibres optiques.

4 Incidence rasanteConsidrons le cas symtrique du cas prcdent, cest--dire le cas dun rayon lumineux se propageant dun milieu (1) vers un milieu (2), le milieu (1) tant cette fois moins rfringent que le milieu (2) (n1 < n2). Que se passe-t-il ? Un argument simple permet de rpondre immdiatement. Le principe de retour inverse de la lumire donne directement le rsultat suivant : langle de rfraction est plus petit que langle dincidence. La rfraction existe quelle que soit linclinaison du rayon incident et langle de rfraction atteint la valeur limite i2l = arcsin n- en incidence rasante, cest--dire -1 n2 (Fig. 2.8). lorsque langle dincidence atteint 2

a.

b.

I i1 Milieu (1) Milieu (2) O i2 -i1

R i1 = I O i2 = i2l T T 2 -i1

R

Fig. 2.8. Rflexion et rfraction dun rayon lumineux la surface dun dioptre sparant le milieu (1) dindice n1, du milieu (2), plus rfringent que le milieu (1). i1 dsigne langle dincidence et i2l = arcsin (n-) langle limite de ---1 n2 rfraction. a. i1 < , i2 < i2l, b. i1 = - , incidence rasante, angle limite i2 = i2l. 2 2

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Nous pouvons retrouver ce rsultat partir de la loi de la rfraction. La relation de SnellDescartes n1sini1 = n2 sini2, avec n1 < n2 donne i2 < i1, le rayon rfract existe donc toujours. Que se passe-t-il lorsque i1 atteint ? La rponse est quil ny a rien de spcial pour cette 2 valeur limite de langle dincidence. Langle de rfraction atteint sa valeur maximale, strictement infrieure et cette valeur est donne par la loi de la rfraction : n1 sin = 2 2 n2 sin i2l, soit : i2l = arcsin n-1 n2

5 Lois de KeplerLes lois de Kepler correspondent aux lois de Snell-Descartes crites au premier ordre, lorsque les angles i1, i1 et i1 sont petits. Ces lois prennent la forme : i1 = i1 n1i1 = n2i2 Rappelons que si le degr est en pratique souvent utilis pour mesurer les angles, cest le radian qui correspond aux conventions du Systme International (S.I.). Ainsi, lorsque nous passons des lois de Snell-Descartes aux lois de Kepler, il faut prendre garde exprimer les angles en radian. De mme, un angle est dit petit, sil est petit devant la valeur de langle ouvert ( ou 180) par exemple. Sil est exprim en radian, sera dit petit sil est ngligeable compar , cest--dire typiquement 1. En revanche, sil est exprim en degr, il devra tre compar 180, cest--dire typiquement 100. Ainsi, un angle de 10 est petit car ngligeable devant 100, ou de faon quivalente 0,17 rad (10 0,17 rad) est petit car ngligeable devant 1.

Un peu dhistoire

R. Descartes : la mthode plus que le rsultatRen Descartes (1596-1650) est surtout clbre pour ses talents mathmatiques et pour la vision unificatrice des sciences quil expose dans son Discours de la mthode . Il ne laisse pas de rsultats forts en physique, si ce nest la loi la plus clbre de loptique gomtrique, la loi de la rfraction quil nonce dans son Dioptrique publi en 1636 (la dmonstration quil y dveloppe sera dailleurs trs critique par le mathmaticien Fermat). Mais Descartes ne contribuera pas la grande rflexion sur la nature de la lumire qui secoue son sicle. La vision quil en a reste confuse. Empruntant des images la cinmatique du point, il expliquera avec succs les phnomnes de rflexion et de rfraction, notamment la formation de larcen-ciel. Mais les termes quil utilise pour dcrire la lumire proprement parler restent flous ; il parle d action , de pression tremblante , de tendance . Il a lintuition (fausse) que la lumire parvient instantanment de lobjet lumineux lil et tient cet gard des propos malheureux : si lon me peut convaincre de la fausset l-dessus, je suis tout prt davancer que je ne sais rien du tout en philosophie .

2. RFLEXION ET RFRACTION

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2.3. Principe de Fermat1 Quest-ce que le principe de Fermat ?Historiquement, Pierre de Fermat (1601-1665), mathmaticien franais, nona son principe aprs que Descartes et Snell eurent trouv la loi de la rfraction. La loi de la rflexion, elle, tait connue depuis lAntiquit. La grande force du principe de Fermat est de donner une version unifie de loptique gomtrique partir dune proposition trs simple qui nonce, en substance, que la lumire emprunte le chemin le plus rapide, proposition partir de laquelle il est possible de dmontrer non seulement les lois de la rflexion et de la rfraction telles quon les a vues prcdemment mais aussi lquation des rayons en milieu inhomogne comme on le verra plus tard.

2 Notion de chemin optiqueLe principe de Fermat repose sur la notion de minimisation du temps de parcours de londe lumineuse. Considrons une onde se propageant dun point A un point B ; minimiser le temps de parcours entre A et B revient minimiser lintgrale -dM- , o M est le point ------A v(M) courant sur une courbe quelconque reliant A et B et v(M) la vitesse au point M. Introduisons la vitesse constante c de la lumire dans le vide ; minimiser t est quivalent minimiB B c ser ct, soit ----- dM = n(M)dM . Cette dernire quantit est appele le chemin ----v(M)A A B

optique et est note LAB : LAB = n(M) dMA B

LAB = n (M) u. d MA

B

o u est le vecteur tangent, en M, la courbe reliant A et B.

3 nonc du principe de FermatPrincipe : Le trajet effectivement suivi par la lumire pour aller dun point A un point B correspond une valeur stationnaire du chemin optique par rapport aux trajets ctifs voisins allant de A B.

Cet nonc permet de retrouver immdiatement la propagation rectiligne des rayons dans un milieu homogne dindice n. En effet, il faut dans ce cas minimiser la quantit28

B

A

n (M) u. d M et nous savons que le plus court chemin entre deux points est la ligne droite.LAB = n AB. Montrons que cet nonc est suffisant pour retrouver les lois de la rflexion et de la rfraction que nous avons nonces plus haut. Considrons un rayon lumineux se propageant dans un milieu homogne dindice n dun point A un point B, aprs rflexion sur un miroir (ou sur un dioptre). Notons I le point dimpact du rayon sur le miroir. Nous savons que le chemin optique de A I est un segment de droite (propagation rectiligne, LAI = n AI), de mme pour le chemin optique de I B (LIB = n IB).

Dans un milieu homogne, le chemin optique sexprime simplement :

M A u

B

Fig. 2.9. Calcul du chemin optique entre les points A et B le long dun rayon lumineux LAB = n(M)u.dMA

B

A

N u1 i1 i u2

B n1

Le problme est donc de trouver la position de I qui minimise LAB. Nous devons rsoudre le problme suivant : dLAB = dLAI + dLIB = 0 dLAB = n1 (dAI + dIB) = n1 (u 1 u 2 ) dI = 0 o u 1 et u 2 sont les vecteurs unitaires ports par AI et IB. Le vecteur dplacement dI de I tant

I

dI T

Fig. 2.10. Calcul de langle i de rflexion grce au principe de Fermat : le point I est tel que le chemin LAB est minimum.

port par la direction T, parallle linterface, la condition trouve impose que le chemin optique entre A et B est minimal si la projection de (u 1 u 2 ) sur linterface est nulle, ou, de faon

quivalente, si (u 1 u 2 ) est port par la normale N linterface. Cette dernire condition scrit u 1 u 2 = K N (K est une constante), qui donne, en projection sur T : u 1 T = u 2 T sin i 1 = sin i i 1 = i (il y a quivalence car tous les angles sont infrieurs ) ce qui termine la dmonstration 2 de la loi de la rflexion partir du principe de Fermat. tablissons le mme rsultat pour la loi de la rfraction. Formellement, le problme est le mme, et minimiser le chemin optique entre A et B, A tant dans le milieu (1) et B dans le milieu (2), revient chercher la position du point I sur linterface telle que (Fig. 2.11) :2. RFLEXION ET RFRACTION

29

dLAB = dLAI + dLIB = 0A N u1 i1 n1 dI T u2 i2 B n2

dLAB = n1 dAI + n2 dIB = (n 1 u 1 n 2 u 2 ) dI = 0. La relation trouve implique que (n 1 u 1 n 2 u 2 ) est port par la normale N linterface, ce qui implique : n1 u 1 T = n2 u 2 T n1 sin i 1 = n2 sin i 2 , ce qui termine la dmonstration de la loi de la rfraction partir du principe de Fermat. Nous allons voir que le principe de Fermat permet galement dtablir lquation des rayons en milieu inhomogne.

I

Fig. 2.11. Calcul de langle i2 de rfraction grce au principe de Fermat : le point I est tel que le chemin LAB est minimum.

Un peu dhistoire

La loi de la rfraction : de Ptolme FermatDepuis longtemps, les scientifiques avaient constat que la lumire se divise lorsquelle arrive la surface de sparation entre deux milieux, une partie tant rflchie, lautre subissant une dviation au passage dans le second milieu. Ds lAntiquit, lgalit des angles incident et rflchi est connue. Mais il faudra attendre la fin du XVIe sicle pour que la loi de la rfraction sous sa forme actuelle (n1 sin i1 = n2 sin i2) soit nonce. On trouve une bauche de description des rayons rfracts dans les essais de Ptolme. Les savants arabes donneront des tables des angles rfracts en fonction des angles incidents pour linterface eau-verre. Mais cest seulement en 1611 quon trouve la premire loi de la rflexion dans le Dioptrique de Kepler, nonce sous la forme simplifie n1i1 = n2i2 (valable pour les faibles angles). Cest peut-tre injustement que la loi de la rfraction porte le nom de Snell-Descartes car cest sans doute au mathmaticien anglais Thomas Harriot que nous devons le premier nonc de cette loi telle que nous la connaissons aujourdhui. En fait, Snell la probablement trouve exprimentalement en 1621 puisquil nen propose aucune dmonstration tandis que Descartes en propose une, mais discutable. lpoque, le mathmaticien franais Fermat slve dailleurs contre la pseudo-dmonstration donne par le philosophe. Fermat sattaque alors loptique et il nonce en 1650 le principe de moindre temps : parmi toutes les courbes joignant deux points de lespace, cest celle qui correspond au temps de parcours minimal qui est effectivement suivie par la lumire. Mais Fermat nest pas physicien et ce nest quune dizaine dannes plus tard que la loi de la rflexion est retrouve grce son principe. Fermat veut aller plus loin et dclare propos de la loi de la rfraction : Il me semble que la chose est aise et quun peu de gomtrie pourra nous tirer daffaire . Il a raison ! En 1661, il effectue la dmonstration de la loi de la rfraction partir de son principe, offrant ainsi le premier exemple de calcul variationnel appliqu la physique. Il dclare ce propos le fruit de mon travail a t le plus extraordinaire, le plus imprvu et le plus heureux qui ft jamais car jai trouv que mon principe donnait justement et prcisment la mme proportion des rfractions que Monsieur Descartes a tablie .

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2.4. Propagation de rayons en milieu non homogneLes lois de Snell-Descartes rgissent la propagation des rayons lumineux linterface entre deux milieux transparents homognes isotropes. Que se passe-t-il pour un rayon se propageant dans un milieu dont lindice varie continment dans lespace ? Nous allons montrer que le principe de Fermat permet dtablir lquation, dite quation des rayons, qui dcrit la trajectoire du rayon dans un tel milieu. Notons que la plupart des milieux rels sont dindice continment variable, ce qui explique limportance de lquation des rayons.

1 Thorme de MalusMontrons tout dabord que le principe de Fermat permet dnoncer un thorme connu sous le nom de thorme de Malus qui snonce ainsi : les rayons lumineux sont normaux aux surfaces donde . Considrons le chemin optique dun rayon se propageant dun point fixe A vers un point M ; A tant fixe, le chemin optique est une fonction de M que nous notons L(M) : L(M) = n (P) u. d PA M

La diffrentielle de L(M) a pour expression : dL(M) = gradM L(M) .dM = n (M) u .dM avecSurface d'onde M u dMFig. 2.12. Thorme de Malus : les rayons lumineux sont normaux aux surfaces donde . M est un point du rayon et u le vecteur tangent au rayon en M.

gradM L(M) = n (M) u Le principe de Fermat impose que le chemin effectivement suivi par la lumire soit tel que dL(M) = 0, donc u.dM = 0. Lensemble des points dune surface donde, cest--dire lensemble des points correspondant au mme chemin optique, vrifient le principe de Fermat (il faut que les points appartiennent une courbe effectivement suivie par la lumire). Nous en dduisons que deux points voisins dune surface donde vrifient la condition u.dM = 0, ce qui signifie

que la surface donde est localement perpendiculaire la direction u du rayon (Fig. 2.12).

2 quation des rayonsConsidrons un point M repr par labscisse curviligne s, tel quil existe effectivement un rayon issu de A et passant par M. Cette fois, les deux points A et M sont fixes et nous cherchons une relation permettant de prvoir le trajet ultrieur de la lumire, cest--dire la position du point M infiniment voisin de M.2. RFLEXION ET RFRACTION

31

Remarquons tout dabord que : d (nu) .u = dn (u.u) + n (u.du) = dn Car : u.u = 1 et u.du = 0 . Par ailleurs : dn = grad(n) . u ds Il vient donc : d (nu) grad(n).u = ------ .u ----ds Nous allons maintenant montrer que d (nu) et gradn sont colinaires. Nous avons tabli en 2.3 la relation qui traduit la continuit de la composante tangentielle de la quantit (nu) dans le cas dune interface entre deux milieux (1) et (2) : (n 1 u 1 n 2 u 2) = aN Dans cette relation, N est la normale linterface et a est un coefficient de proportionnalit. Cette relation stend au cas dun indice continment variable en considrant linterface entre M (dindice n) et M (dindice n). Le vecteur (n 1 u 1 n 2 u 2) tend vers d (nu) quand M et M deviennent infiniment voisins. Par ailleurs, la normale N linterface entre les deux milieux dindice n et n= n + dn est porte par le vecteur grad(n) , ce qui permet de conclure que les vecteurs d (nu) et grad(n) sont colinaires. d (nu) La relation grad (n). u = ------ . u devient donc : ----ds d (nu) grad (n) = ---------ds Cette quation porte le nom dquation des rayons.

2.5. Applications : la rfraction atmosphrique, les mirages1 La rfraction atmosphriqueLe mot mirage voque un paysage dsert sous le soleil au milieu duquel un palmier ondoyant semble se reflter dans le sable. Nous verrons que ce mirage est appel mirage infrieur. Les mirages sont dus un gradient de lindice optique. Si on pousse le raisonnement lextrme, limage dun objet travers un dioptre est un mirage. La variation correspondante32

de lindice optique est alors une fonction crneau. Plus usuellement, le mirage renvoie une variation continue de lindice optique, due un gradient de temprature dans les couches dair de latmosphre. Les rayons parvenant lobservateur suivent une trajectoire courbe : cest la rfraction atmosphrique. (fig. 2.13).

a.

n

y n1

n2 n1 x A

n2

A

x

b.

n

y

x A

A

x

Fig. 2.13. Vision de limage dun objet travers : a. un dioptre (saut dindices) ; b. un milieu dindice continment variable (phnomne du mirage).

Lil reconstruit lobjet A en cherchant le sommet du faisceau conique lumineux qui lui parvient et voit une image A qui ne concide pas avec lobjet rel. Lindice optique de lair diminue lorsque la temprature augmente. Pour comprendre cela trs schmatiquement, souvenons-nous quun gaz a une densit dautant plus faible que sa temprature est importante. Le gaz considr est donc dautant plus dispers que la temprature est leve et son comportement optique se rapproche de celui du vide, dindice optique gal 1.

2 Le mirage infrieurLe mirage dun palmier dans le dsert est le plus commun des mirages. Comment expliquer ce phnomne ? Pendant la journe, le sable est plus chaud que lair ambiant et il chauffe une petite couche dair juste son contact. Il se cre donc un gradient thermique orient vers le haut et par consquent un gradient dindice optique orient vers le bas. Un rayon lumineux se dirigeant dans un tel milieu vers le sol est dvi de sorte que langle quil2. RFLEXION ET RFRACTION

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forme avec la verticale augmente ; pour comprendre cela simplement, discrtisons le problme, le milieu gradient dindice pouvant tre considr comme une succession de milieux dindices diffrents. La loi de la rfraction de Descartes peut tre applique chaquea. b.

y T-(n+)

y

i1 n1 T+(n-) i2 i3 x n2 n3 x

Fig. 2.14. a. Trajectoire dun rayon lumineux dans une atmosphre possdant un gradient vertical de temprature (et donc un gradient vertical dindice optique). b. Modlisation du milieu (a) en couches homognes transparentes et isotropes : chaque interface, la trajectoire du rayon est donne par la loi de Descartes sur la rfraction.

dioptre, comme illustr sur la figure 2.14b. Revenons notre palmier plant dans le sable chaud. Parmi tous les rayons issus dun point P du palmier, deux parviennent lobservateur : R1 et R2 (Fig. 2.15). Les traits pointills indiquent la direction apparente P de ces rayons pour lil. R2 Ainsi, le faisceau F1 de P rayons voisins de R1 contriR1 bue former une image P de P, P appartenant limage inverse de larbre. De faon analogue, le faisceau F2 P de rayons voisins de R2 contribue former une image P de P, P appartenant limaFig. 2.15. Mirage infrieur. Parmi tous les rayons issus dun point P du ge droite de larbre ; le faispalmier, deux parviennent lobservateur : R1 et R2. Les traits pointills inceau F2 tant peu dvi, cette diquent la direction apparente de ces rayons pour lil, donnant deux images P et P du point P. image droite de larbre est en gnral quasiment confondue avec larbre rel. Gnralement, lexistence dun objet et, sous lobjet, de son image inverse est due la rflexion sur une surface, par exemple la surface de leau. Cest pour cette raison quen prsence dun mirage, nous attribuons inconsciemment la scne la prsence dune surface deau. En fait, un mirage nest pas li la prsence dune surface deau mais surtout, il nest pas d un phnomne de rflexion mais de rfraction. Ce type de mirage est appel mirage infrieur en rfrence la position de limage au-dessous de lobjet rel. On peut galement observer des mirages suprieurs.34

3 La ligne vanescenteNous avons donn le principe fondamental de la formation dun mirage. Mais il convient maintenant daffiner cette description. Pour anticiper, nous pouvons dire brutalement que la reprsentation de la figure 2.15 est fausse. Considrons un point P du palmier. P met des rayons dans toutes les directions, rayons dvis dans le milieu gradient dindice. Considrons maintenant trois points dobservation A, B et C dans un plan vertical (Fig. 2.16a). Deux rayons R1 et R5 issus de P parviennent en A. De mme, deux rayons R2 et R4 parviennent en B. En revanche, un seul rayon R3, issu de P, arrive en C. Autrement dit, aucun rayon issu de P ne peut atteindre un point plus bas que C dans .

a.

AR1 R4 R3 R5 R2

c.

P

B C P

b.

P

Fig. 2.16. Construction de la ligne vanescente. a. Aucun rayon issu de P ne peut atteindre un point plus bas que C dans . b. Un il plac en C voit deux images des points placs plus haut que P et ne voit quune image du point P. c. Vision du palmier pour un observateur en C. Limage mirage est symtrique de limage droite par rapport une ligne appele la ligne vanescente.

En effet, un rayon issu de P avec un angle suprieur C (angle form par le rayon R3 en P avec la verticale) sera moins dvi que le rayon R3 (comme R1 et R2 qui contribuent limage droite de larbre en A ou B). Un rayon issu de P avec un angle infrieur C est fortement dvi (inversion de sa direction verticale de propagation) : comme R4 et R5 qui contribuent limage de P sur limage inverse de larbre (le mirage) pour un il plac en A ou B, cest--dire galement au-dessus de C. Un il plac en C ne verra quune image du point P, donne par le rayon R3. Plaons donc lil en C (Fig. 2.16b). Par continuit, un point du palmier au-dessous de P nmet aucun rayon susceptible darriver en C et par consquent, la partie du palmier au-dessous de C nest pas visible pour lobservateur en C. En revanche, tout point du palmier situ au-dessus de P met deux rayons qui atteignent C, un qui contribue limage de P sur limage droite du palmier, lautre qui contribue limage de P sur limage inverse du palmier. La figure 2.16c montre la vision du palmier pour un observateur en C. Limage mirage est symtrique de limage droite par rapport une ligne appele la ligne vanescente. Que se passe-t-il lorsque le plan varie, cest--dire lorsque lobservateur2. RFLEXION ET RFRACTION

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sloigne ou se rapproche du palmier ? La hauteur de la ligne vanescente varie. Si la ligne vanescente devient plus haute que le point le plus haut du palmier, lobservateur ne voit plus du tout dimage du palmier. Nous ne sommes pas entrs dans le dtail des quations pour tracer les trajectoires des rayons. Notons cependant que limage inverse du palmier sur la figure 2.16 est inverse uniquement parce que nous avons suppos quun rayon issu dun point plus haut que P de larbre parvenait lil avec une inclinaison plus importante par rapport lhorizontale. Cest ce qui est observ le plus frquemment pour ce type de mirage, mais nous pouvons imaginer une situation o le mirage nest pas une image inverse de lobjet, mais une image droite.

4 Le mirage suprieurPar opposition au mirage infrieur, le mirage suprieur correspond une image forme audessus de lobjet. Ces mirages, plus rares, sont observs lorsque le gradient de temprature est orient vers le bas, cest--dire que le sol (ou la surface de leau) est plus froid que lair au-dessus. Le raisonnement que nous avons fait pour le mirage infrieur se transpose en inversant haut et bas ! Les mirages suprieurs existent sous forme dimage droite ou inverse. Nous considrerons ici la formation dune image droite qui correspond aux descriptions les plus frquentes, rapportes notamment par les marins. Considrons donc la surface dun lac sur lequel navigue un bateau et supposons que lair au contact de leau est plus froid que les couches dair suprieures. Comme dans le cas du mirage infrieur, les rayons issus des diffrents points du bateau se courbent au cours de la propagation de sorte que deux images du bateau sont vues par lobservateur : une droite qui concide peu prs avec le bateau rel, et une droite situe au-dessus (Fig. 2.17a). Une consquence de ce mirage est quun bateau situ au-dessous de la ligne dhorizon pourra tre vu si son mirage est au-dessus de cette ligne (Fig. 2.17b)

a.

T+

b.

T-

Ligne d'horizon Terre

Fig. 2.17. Mirages suprieurs. a. Un observateur au bord de leau voit le bateau flotter dans lair. b. Un bateau au-dessous de la ligne dhorizon pour un observateur sera vu car son image se trouve au-dessus de la ligne dhorizon de lobservateur.

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Un peu dhistoire

Observations sur les rfractions terrestres par DangosUn voyageur rapporte en 1806, dans un journal scientifique, la vision dun mirage en Italie : Ayant lu depuis peu, dans la connaissance des temps de lan 12, une observation curieuse sur les rfractions terrestres, faite par un savant physicien anglais, jai pens que lInstitut National verrait avec plaisir les dtails dun phnomne peu prs semblable, qui se montra Malte en 1784, et dont tous les habitants de lle furent les tmoins. Le 20 mars vers 1 heure de laprs-midi, je fus instruit par des grands cris qui retentissaient dans les rues, quune le venait de slever dans le canal de Malte, et japerus bientt, de dessus les terrasses de lobservatoire, une terre trs blanche, entoure deau, et dont la forme tait celle peu prs dun cne droit irrgulirement tronqu. Des marins et des pcheurs taient dj partis pour aller reconnatre cette le et pour en prendre possession. La figure de cette terre, sa blancheur et surtout sa position, qui se trouvait exactement dans la direction de la mire que javais trace depuis longtemps vers le mont Etna, me firent reconnatre bien vite que cette terre ntait autre chose que le sommet toujours enneig de ce mont lev de 3 326 mtres. Cette apparence extraordinaire dura environ 30 minutes depuis linstant o jen eus connaissance. Il survint un instant de confusion, et lorsque je la cherchais dans les airs, je la vis, avec tonnement, assise sa place. Tout le mont et les ctes de Sicile, qui avaient t invisibles, se montrrent bientt en entier, et furent visibles le reste du jour . Lauteur mentionne quil ne pouvait sagir dune simple rflexion comme on le prtendit dans les journaux dItalie : car alors limage aurait due tre renverse, et elle tait droite. Je finis en rappelant un phnomne assez curieux qui tient lobjet de ce mmoire, phnomne bien connu des marins, des astronomes qui ne sont pas fort loigns de la mer, que jai vu assez souvent Malte et surtout lobservatoire de Rouen. Le soleil prend quelquefois, vers son lever, une forme un peu allonge qui se rtrcit tout--coup dans sa partie infrieure, et qui est termine par le bas, par une ligne droite, de sorte quil ressemble une urne sur son pidestal. La cause de ce fait est bien simple, daprs la thorie de M. Monge sur le mirage . W. de Fonvielle et G. Tissandier dans Voyages Ariens font mention dun mirage : Nous cherchons les falaises de Douvres et nous nous tonnons bientt de ne pas voir les ctes de lAngleterre qui ne sont pas bien distantes de notre arostat ; elles sont caches par un immense rideau de vapeurs plombes, qui stend vers ce ct de lhorizon. Je lve la tte pour chercher la limite de cette muraille de nuages, et quelle nest pas ma stupfaction quand japerois dans le ciel une nappe verdtre qui ressemble limage de locan ; bientt un petit point semble se mouvoir dans cette plage cleste, cest un bateau, gros comme une coquille de noix, et en y fixant avec soin mes regards, je ne tarde pas constater quil navigue lenvers sur cet ocan retourn ; ses mts sont en bas et sa quille en haut. Un moment aprs je vois limage du bateau vapeur qui vient de partir de Calais pour lAngleterre, et, avec ma lunette, je distingue la fume qui schappe de son tuyau. Voici bientt deux ou trois autres barques qui apparaissent au milieu de cette mer magique, tableau vraiment saisissant, dune blouissante fantasmagorie de mirage.

2. RFLEXION ET RFRACTION

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Un peu dhistoire

Erik le RougeLe Groenland fut probablement dcouvert grce un mirage. Il est usuel de dire que lIslande donna naissance une colonie, le Groenland, aperu pour la premire fois vers 980 par un banni, le viking Erik le Rouge. En effet, Erik le Rouge se dirigea directement de lIslande vers la cte du Groenland la plus proche, 300 km de l. Le plus probable est quil avait des informations sur lexistence dune terre dans cette direction, informations qui ont pu lui tre apportes par un mirage arctique.

5 Compression verticale des miragesNous avons dit que limage droite dun objet plong dans un gradient dindice est souvent similaire, en taille et en position, lobjet rel. Il nen est pas de mme pour le mirage et il est frquent dobserver un effet de compression verticale du mirage (Fig. 2.18).

a.

b.

Ligne vanescente pour un observateur Vision du paysage par l'observateur

Fig. 2.18. Compression verticale des mirages. a. La ligne vanescente coupe lle. b. Lobservateur ne voit quune partie de lle et son image inverse.

6 Linversion de temprature et le mirage doubleNous avons considr jusqu prsent des gradients de temprature, donc dindice optique, monotones. Il arrive que les variations verticales de temprature soient plus complexes. Dans certaines conditions, latmosphre prsente une inversion de temprature, cest-dire quil y a une succession de couches chaudes et froides (Fig. 2.19).38

Mirages multiplesa.T, n n

T hauteur h0 h1 h2 h3

b.

h1 , h 3

h0 , h 2c.

Un type de trajectoires typiques de rayons dans cette succession de couches dair est reprsente sur la figure 2.19b. Dans les couches dair [h0, h1] et [h2, h3], lindice optique augmente avec la hauteur. Un rayon initialement orient vers le bas est redress horizontalement au cours de sa propagation et peut mme tre dflchi vers le haut. Un rayon initialement orient vers le haut a une direction qui se rapproche de la verticale. Un raisonnement symtrique peut tre effectu pour la couche dair [h1, h2] dans laquelle lindice optique dcrot avec la hauteur. Dans ces conditions, il est possible dobserver des mirages multiples, typiquement deux mirages et une image droite, comme nous lavons illustr sur la figure 2.20.

Guide de lumireh2 h1 h0T+

TT+

Fig. 2.19. a. Variation de la temprature et de lindice optique en fonction de la hauteur dans la couche atmosphrique. b. Trajectoires de rayons dans les couches atmosphriques gradient de temprature positif. c. Trajectoires de rayons lumineux dans une couche gradient de temprature ngatif.

Un autre type de trajectoires de rayons lumineux observes loccasion dune inversion de temprature est reprsent sur la figure 2.19c. Les rayons sont pigs dans une couche dair centre sur h1 qui correspond un maximum de lindice optique. Nous pensons immdiatement au principe de la fibre optique qui guide la lumire le long de la zone dinversion de courbure de la temprature ; cest en effet le mme principe ceci prs que le guidage est ici assur par la rfraction et non pas la rflexion totale comme dans le cas des fibres saut dindice.

R5 R4 R3 R2 R1 R1 R5 R4 R3 R2

Fig. 2.20. Exemple de mirages multiples. Ce mirage double de bateau est report dans larticle de S. Vince de 1799 publi dans Philosophical Transactions of the Royal Society.

2. RFLEXION ET RFRACTION

39

7 Fata MorganaNous rservons un paragraphe particulier ce mirage mythique, souvent mentionn comme le plus beau des mirages. La fe Morgane est, dans la mythologie celtique, la sur dchue du roi Arthur ; dote de pouvoirs malfiques, elle est souvent reprsente, voluant dans un chteau de verre au milieu des flots. Cest aux peintres prraphalites que lon doit le nom gnrique de Fata Morgana (fe Morgane) ; elle perd cette poque le rle malfique quelle avait dans les textes mdivaux pour apparatre comme la fe de la mer, souveraine dAvalon, lle des bienheureux. Cest donc assez raisonnablement que le mirage qui fait apparatre des chteaux feriques, slevant au-dessus de leau, se dformant puis seffondrant, porte son nom ; dautant plus raisonnable que, dans la lgende, Avalon est localise en Sicile (bien quon la localise parfois en Irlande) et que cest prcisment sur la route de Messine, entre lItalie et la Sicile que ce mirage est le plus frquemment observ. Fata Morgana est lie des conditions atmosphriques trs particulires telles quun observateur voit, diffrentes hauteurs, les images multiples dun mme point, pouvant crer lillusion dun mur vertical (Fig. 2.21). Trs souvent, le cheminement des rayons est beaucoup plus complexe que celui de la figure 2.21 et un petit mouvement de lobservateur ou une petite variation de la disFig. 2.21. Principe du mirage Fata Morgana. tribution de tempratures (par exemple due un Un point met une multitude de rayons qui atteignent lil de lobservateur. coup de vent) modifie compltement limage perue. Ainsi, Fata Mogana a la caractristique de prendre des aspects trs variables, ce qui a fait la rputation de ce mirage.

Un peu dhistoire

Navigation aux toilesLeffet mirage intervient galement lorsquon regarde la position des toiles dans le ciel. la traverse des couches basses de latmosphre, les rayons lumineux sont dvis, de sorte que la position apparente dune toile dans le ciel est fausse par cette rfraction atmosphrique. Les navigateurs qui se reprent avec la position des toiles utilisent des tables standard qui rpertorient les corrections introduites par ces effets de rfraction de latmosphre terrestre. Lastronome Jules Janssen exposa cette observation aux Sances de la Socit Franaise de Physique ( Du mirage en mer , 1875) : Daprs mes observations, qui embrassent plusieurs annes dj, le mirage en mer est trs frquent, mme dans les mers septentrionales. Dans le golfe de Siam et dans la mer Rouge, jai observ des cas trs remarquables de mirage direct et inverse. Les apparences observes, soit sur le Soleil levant et couchant, soit sur les objets situs lhorizon, conduisent admettre un plan de rflexion totale situ une distance variable de la mer. La cause de ces effets de mirage et de rfractions anormales rside dans laction thermique de la mer sur les couches atmosphriques voisines. Une des consquences les plus importantes de

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ces tudes, cest quelles conduisent reconnatre que le niveau apparent de lhorizon de la mer est affect dune manire trs notable par ces effets optiques et quil faudra en tenir compte quand on prendra (pour des mesures soignes) la hauteur dun astre par le moyen de lhorizon de la mer. Je construis un instrument pour donner la correction.

Direction apparente de l'toile

Lumire mise par toile

2.6. Surface des indices. Construction de DescartesLa construction de Descartes permet de tracer les trajectoires des rayons rMilieu (1) C1 flchi et rfract linterface de deux I1 milieux (Fig. 2.22). Cette construction sappuie sur les lois de Descartes pour n1 i1 i1 la rflexion et la rfraction. Elle na pas H de ralit physique, contrairement la I construction de Huyghens (