Métrologie diphasique Métrologie des particules
partie 2: Théories
Kuan Fang REN
UMR 6614/ CORIA
CNRS - Université et INSA de Rouen
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Théories de diffusion de la lumière
II-2
Théories rigoureuses
• Théorique de Lorenz-Mie
• Théorie de Lorenz-Mie Généralisée
Modèles et théories approchés
• Optique géométrique
• Diffraction
• Théorie de Rayleigh
• Théorie de Rayleigh-Gans
• . . . . . .
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Optique géométrique
II-3
Conditions d’utilisation:
l << l
longueur d’onde l est très petite devant la dimension de l’objet l.
1. Propagation rectiligne
dans un milieu homogène:
Imagerie
f’
Photographie
d’ d
Condition et applications directes
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Optique géométrique – réflexion et réfraction
II-4
Réflexion et réfraction sur la surface séparant deux milieux d’indices différents
Lois de Descartes
'i i
La célérité v dépend de l’indice
de réfraction n du milieu:
cn
v
Réflexion:
sin 'sinn i n rRéfraction:
I
i
r
n
n’>n
R’
R
i’
Milieu plus
réfringent
Dioptre ou
surface réfractante
Définition et sens physique de l’indice de réfraction
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Optique géométrique – réflexion et réfraction
II-5
Angle limite
Partie interdite n’>n
n
2 1
2 1
:
/ 1/1.333 48.6
/ 1/1.500 41.8
l
l
Exemples
n n i
n n i
Réflexion totale
Angle limite:
Réflexion total:
n
n’<n
Angle limite
Réflexion
totale
'arcsin
l
n
ni
li i
Applications
Fibre optique • Télécommunication
• Transport de faisceaux
lumineux
Angle critique pour
mesure de bulles
Jauge optique
Mirage naturel
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Optique géométrique – réflexion et réfraction
II-6
Propagation d’un rayon
lumineux dans un milieu
stratifié parallèle:
ni jusqu’à ij=90°,
c-à-d réflexion totale.
n1
n2
n3
n4
... np
n1>n2 >n3 >… >np
ij
sinj j
n i C
Réflexion totale - applications
Application 1: Fibre optique
Application 2: Effet de mirage
grad T grad n
A
A’
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Optique géométrique – réflexion et réfraction
II-7
//
tancos cos
cos cos tan
i tt i i t
i t t i i t
n nr
n n
titi
ti
itti
ii
nn
nt
cossin
cossin2
coscos
cos2//
ti
ti
ttii
ttii
nn
nnr
sin
sin
coscos
coscos
ti
ti
ttii
ii
nn
nt
sin
cossin2
coscos
cos2
Équations de Fresnel – relation entre les amplitudes des ondes réfléchie/réfractée et incidente
iE rE iE
rE
, r t
X XX Xi i
X X
E Er t
E E
Relation des amplitudes et des intensités
ou état de polarisation
: amplitudes de l'ondeincidente
, amplitudes des ondes réfléchie/réfractée
iX
r rX X
X
E
E E
tE
tE
iE rEiE
rE
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Optique géométrique – réflexion et réfraction
II-8
Partie interdite n’>n
n
n
n’<n
Tau
x d
e ré
flex
ion
d’i
nte
nsi
té r
2
Angle d’incidence
┴ ║
réflexion totale
Angle limite
┴ ║
Relation des amplitudes et des intensités
Angle de Brewster: i+r=p/2
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Optique géométrique – application à la diffusion
II-9
ds
A
B
Chemin optique:
B
AdssnAB )()( d=n ds
• Différence de phase: SrkmrkAB )(
• Absorption: ( ) ( )exp( 2 ) ( )exp( 2 )I B I A k I A km Si i
• Si n est constant: r
km S
0exp( 2 )
iI I km S
Propagation de la lumière dans un milieu:
Chemin optique, phase et intensité
Indice de réfraction complexe:
r im m im
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Optique géométrique – application à la diffusion
II-10
O A
B
• Intensité :
où p indique l’ordre de diffusion,
X représente l’état de polarisation
( ou || ), rX coefficients de Fresnel.
• Longueur du trajet dans la particule:
• Angle de déviation:
Application à la diffusion par une sphère:
Réflexion et réfraction dans une particule
F
E
D
C
0
1
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Optique géométrique – application à la diffusion
II-11
Phases:
• Différence de phase due à la différence de chemin optique :
• Sauts de phase dûs aux : réflexion sur la surface et ligne focale
cos sin
sin
i
p
p
Dd
d
Facteur de divergence:
car 2 2
0 002 2
cos sin
sin
X i Xs X
s p p
I dS I a d d aI I D
dS r d d r
Réflexion et réfraction dans une particule
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Optique géométrique – application à la diffusion
II-12
Diagramme de diffusion d’après l’optique géométrique
• Sphère d’eau
• Polarisation
• Intensité
à l’angle d’arc-en-ciel
Sans
interférence
entre les
différents
modes
Réflexion et réfraction dans une particule
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Optique géométrique – application à la diffusion
II-13
1.E+00
1.E+02
1.E+04
1.E+06
1.E+08
1.E+10
0 60 120 180
Scattering angle [deg.]
Sc
tte
red
in
ten
sit
y
total
p=0
p=1
p=2
p=3
p=4
Avec interférence
entre les différents
modes
Diagramme de diffusion d’après l’optique géométrique
Diffraction
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Optique géométrique – application à la diffusion
II-14
Intensité totale avec
interférence:
Une sphère d’eau ou
une bulle d’aire dans
l’eau éclairée par une
onde plane de
longueur d’onde de
0,6328 µm.
Comparaison avec la théorie rigoureuse
Cas d’une sphère
homogène
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Optique géométrique – application à la diffusion
II-15
Intensité totale avec interférence Un cylindre circulaire d’eau de rayon de 5 µm (gauche) ou de 10 µm (droite) éclairé par
une onde plane de longueur d’onde de 0,6328 µm.
L’optique géométrique marche encore très bien pour a ~ 10l.
GO GO
Comparaison avec la théorie rigoureuse
Cas d’un cylindre homogène infini
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Optique géométrique – VCRM
Principle:
Wave and dioptric surface described by their local curvature,
Ray in vector ➙ easy for 3D tracing,
Complex Ray (phases) ➙ interference + diffraction.
Curvature of wave front ➙ divergence and focal lines ,
Advantages:
Incident wave: arbitrary shape,
Particle: arbitrary shape with smooth surface,
Sufficiently precise: Scattering diagram in all direction,
Prediction of all scattering properties of the scatterer.
VCRM: Vectorial complex ray model
Ren et al, Opt. Lett. 2010
Pour un objet de forme irrégulière:
II-16
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Optique géométrique – VCRM
Vectorial complex Ray :
Wave front – curvature matrix:
Surface of dioptry:
Projection matrix:
ˆii
i i iS Ae k
11 12
21 22
q qQ
q q
11 12
21 22
c cC
c c
1 1 1 2
2 1 2 2
ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ
t s t s
t s t s
II-17
0Sphere :
0
0Cylinder :
0
:
r
Examples
r
r
Essentiel du VCRM
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Optique géométrique – VCRM
Fundamental laws:
Snell law:
Wave front equation:
• Amplitude:
• Phase :
• Total field:
1
N
diff i
i
E S S
A D
/2( )inc fl path l
1 2
1 2
...( )( )
R RD
d R d R
Divergence factor:
Fresnel coefficients : ε
' ' ' 'i t T T
n nk k C k Q k Q
i tk k
C Q Q’
II-18
Essentiel du VCRM
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Optique géométrique – VCRM
Sphere
Reflection:
Refraction p =1:
After 1st refraction:
After 2nd refraction:
Divergence factor:
Cylinder: R2=∞
Reflection :
Refraction p=1:
Applications to a sphere and a cylinder
1 2
cos 2 1
2 cos 4
aR R D
a
2
11 12
cos' '
cos cos cos cos
am amR R
m m
21 22
cos 2cos 2 cos ( cos cos )' cos '
2( cos cos ) 2( cos cos )(sin sin sin sin )
m a m mR R
m m
sin(2 )cos
4sin[2( )](cos cos )
mD
m
Identical to the classical one.
cos
2
aD
cos cos
2(cos cos )
mD
m
II-19
Application du VCRM
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Ray tracing
Module
Tracing of all
the rays or a
part of them
Any number
of rays
Any position
of rays
Optique géométrique – VCRM
II-20
Application du VCRM
Software for an ellipsoid
www.amocops.eu
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Software for an ellipsoid
Scattering
diagram
Module
Intensité de
chaque ordre
Intensité totale
de tous les
rayons:
- Interférence
- Diffraction
Optique géométrique – VCRM
II-21
Application du VCRM
www.amocops.eu
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Optique géométrique – VCRM
II-22
Toward the Ray theory of wave
p=3, a=100 µm
Fig. 3 Comparison of Airy structure calculated
with the three methods.
VCRM can predict much better Airy structure than the Airy theory and can be
applied directly to non-spherical particle.
p=3, a=50 µm
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Oblate:
a = c = 139.17 µm
b = 133.86 μm,
a/b = 0.8938, 0.9608, 0.9816 (eq. Vol)
m = 1.4465
λ = 0.6328 µm
Optique géométrique – VCRM
Experimental set-up results
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Results and discussion
Comparison of VCRM and experimental normalized equatorial scattering diagrams for the droplets
of 3 different aspect ratios. From (a) to (c), the droplet's aspect ratio b/a increases and refractive
index decreases when the amplitude of the acoustic field is reduced.
Fig. 3 in Opt. Exp. 2015
Onofri, Ren et al
DEHS: Di-Ethyl-Hexyl-
Sebacat
HUDC: Hyperbolic
Umbilic
Diffraction
Catastrophe
Comparison with VCRM
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Results and discussion
Morphology
(a, b)
Refractive index
m
Time evolution
a(t), b(t), m(t)
(a) Principal radii measured with the rainbow refractometry and imaging system
and (b) corresponding evolution of the droplet refractive index during the course
of the experiment.
Application to Characterization of non-spherical droplets
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Diffraction
II-26
La diffraction est le comportement des ondes
lorsqu’elles rencontrent un obstacle. Le phénomène de la diffraction se manifeste lorsque
• la dimension de l’objet est de l’ordre de la longueur d’onde
• la variation de la densité/amplitude est brutale.
L’onde rencontre un obstacle L’effet de diffraction dans l’arc-en-ciel. Diffraction par deux fentes.
Phénomènes de diffraction
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Diffraction
II-27
Principe de Huygens –Fresnel (1) La contribution de Huygens (1678)
La lumière se propage de proche en proche. Chaque
élément de surface atteint par elle se comporte comme une
source secondaire qui émet des ondelettes sphériques dont
l'amplitude est proportionnelle à cet élément.
t+t
(2) La contribution de Fresnel (1818)
L'amplitude complexe de la vibration lumineuse en un
point est la somme des amplitudes complexes des
vibrations produites par toutes les sources secondaires. On
dit que toutes ces vibrations interfèrent pour former la
vibration au point considéré.
t
Théorie de diffraction
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Diffraction
II-28
Diffraction de Fresnel (R « petit »):
Diffraction de Fraunhofer (R « infini »):
Théorie de diffraction
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Diffraction
II-29
Diffraction par un disque (sphère):
L’ouverture circulaire de rayon r :
Puisqu’il y a une symétrie de
révolution, on peut placer dans un
plan passant par l’axe optique:
2
1
0
sin
sin
JI I
2pr/l
Applications de diffraction
cos , sin ,x y dS dxdy d d
sin et 0
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Diffraction
II-30
Critère de Rayleigh:
Le premier minimum nul de J1(x) s’obtient pour x=3.832, c’est-à-dire:
1.22
D
l
D
écran
A1
A2
Donc il est intéressant d’avoir une ouverture
importante pour une meilleur résolution
(lunette astronomique, appareil photo, …)
Applications de diffraction
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Diffraction et Interférence
II-31
Diffraction par une fente: 2
0 2
sin uI I
u
Largeur de la tache centrale: 0
2DL
a
l
Fente d’Yong: N=2
Interfrange : D
ib
l
22
0 2
sincos
u bI I u
au
Applications de diffraction
2 2
0 2 2
sin sin
sin
u NvI I
u v
sin sin,
a bu v
p p
l l
N fentes:
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Théorie de Rayleigh
II-32
1 1 11 cos
2cos
2
d
dr r rr
Champ du dipôle • Deux charges +q et – q
• Distant de d .
• p=qd
2
1 1
4
cos4
dipôle
ext
ext
q
r r
p
r
p
p
Champ statique d’un dipôle
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Théorie de Rayleigh
II-33
Approximation électrostatique
Conditions: 1. Champ électrique
• statique
• uniforme
2. Taille de particule l<<l
Potentiel du champ induit:
Champ « diffusé »:
23.
02
4sin
2
i ext
i ext
E a E er
p
l
3
.02cos
2
i extext
i ext
aE
r
4 2
2
,
8 1 = Re
3 2ext
d
d mQ
m
l
p
l
Champ diffusé par un dipôle induit
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Théorie de Rayleigh
II-34
Diagramme de diffusion
Éléments de la matrice de diffusion:
3
14
ikS
p
3
2 cos4
ikS
p
Polarisation perpendiculaire Polarisation parallèle
Champ diffusé par un dipôle induit
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Théorie de Rayleigh-Gans
II-35
Conditions:
1. Onde incidente plane
2. Indice de réfraction m ~ 1:
|m-1|<<1
3. Surface d’égale phase plane
Principe:
1. Chaque élément de volume dV est
considéré comme un dipôle induit
par l’onde incident
2. Champ diffusé est la somme des
champs émis par tous les dipôles
Conditions et principe
1 1| |d
mp
l
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Théorie de Rayleigh -Gans
II-36
Contribution d’un élément dV à l’amplitude du champ diffusé:
Champ total en P:
dA
2 22
2 2 2
3 ( 1) ( 1) car 2 3
( 2)
m mm
m
p p
l l
2 2( )dV a r drp 2 2 3( )cos( ) 4 sin( ) cos( ) /
a
aa r br dr ab ab ab b
4 sin( / 2)au
p
l
Théorie
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Théorie de Rayleigh -Gans
II-37
0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800
5
10
15
20
25
30
Angle [deg.]
Inte
nsité (
log I
)u=100 sin(/2)
=2pa/l=50
2
0 3
sin cos| |
/ 3
u u uI E I
u
4 sin( / 2)au
p
l
Diagramme de diffusion selon Rayleigh-Gans
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Théorie de Lorenz-Mie
II-38
Conditions:
1. Onde incidente plane
2. Particule :
• Sphérique
• Homogène ou stratifiée
concentrique
• Isotrope
Champs EM: En = An Rn(r)
Hn = Bn Rn(r)
Conditions aux limites:
, , ,
, , ,
i s e
i s e
E E E
H H H
Conditions et principe
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Théorie de Lorenz-Mie
II-39
Champ incident:
p
p
EE
HH
EE
HH
Sikrkr
Eiba
nn
nikr
kr
EE
Sikrkr
iEiba
nn
nikr
kr
iEE
HE
n
nnnn
n
nnnn
rr
0
0
0
0
1
1
00
2
1
00
sinexpcoscos1
12sinexp
cosexpcoscos1
12cosexp
0
1
1
12 sin
coscos
1
1211
n
nnni
TE
i
TM Pkrnn
n
ikU
U
Champ diffusé (lointain):
an, bn coefficients de
diffusion dépendants des
propriétés de la particule
n, pn fonctions angulaire
de Legendre
S1, S2 éléments de la matrice
de diffusion
Conditions et principe
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Théorie de Lorenz-Mie
II-40
Intensités de diffusion:
I()=|S1|2
I||()=|S2|2
Sections efficaces:
Cext=Csca+Cabs
Pression de radiation:
Cx=Cy=0
Grandeurs physiques
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Théorie de Lorenz-Mie Généralisée
II-41
Conditions: 1. Onde incidente quelconque
2. Particule :
• Sphérique
• Homogène ou stratifiée
concentrique
• Isotrope
Particularités: 1. Lorsque l’objet est grand, l’éclairage
n’est plus uniforme
2. Faisceau incident est décrit par deux
séries de coefficients :
Conditions et principe
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Théorie de Lorenz-Mie Généralisée
II-42
Champs diffusés:
Éléments de matrice de diffusion:
Expressions du champ diffusé
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Théorie de Lorenz-Mie Généralisée
II-43
Scattering diagram
Scatterin angle [°]
340320300280260240220200180160140120100806040200
log(
I)
7
6
5
4
3
2
1
0
Scattering diagram
Scatterin angle [°]
350300250200150100500
log(
I)
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
Scattering diagram
Scatterin angle [°]
340320300280260240220200180160140120100806040200
log(
I)
6
5
4
3
2
1
0
-1
Particule :
a = 5 µm
m = 1.33
Faisceau gaussien:
l = 0.6328 µm
w0 = 5 µm
Onde plane
Faisceau gaussien sur axe
Faisceau gaussien hors axe: d=w0
Diagramme de diffusion:
Sur axe - symétrique
Hors axe - non-symétrique
Champs diffusés – onde plane/faisceau gaussien
Cours M2 EFE – Université de Rouen
TLM et TLMG pour la sphère
II-44
i E
i H
n,TM g m
n,TE g m
n a
n b s
E s
H
I
P
Structure de la TLMG
Cas d’une sphère
Cours M2 EFE – Université de Rouen
GLMT pour le cylindre
II-45
Introduction de la méthode spectrale
i E
i H n,TM
I (g )
n,TE I (g )
s E
s H I anI, anII
bnI, bnII
Théorique et numérique
Structure de la TLMG
Cas d’un cylindre
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Diffusion d’un pulse par une sphère
II-46
t = 3400
t = 120 t = 20
Champs internes Sphère homogène
d=40 µm, =50 fs
Faisceau gaussien
t = 120 t = 1080
Diffusion d’une impulsion ultra rapide
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Diffusion d’un pulse par une sphère
II-47
t = 3400
t = 120 t = 20
Champs internes Sphère à 2 couches
de=40 µm, di=20 µm
=50 fs
Onde plane
t = 120 t = 1060
Diffusion d’une impulsion ultra rapide
Cours M2 EFE – Université de Rouen
Diffusion d’un pulse par une sphère
II-48
Diffusion d’une impulsion ultra rapide