D. Breysse – cours « Modélisation stochastique des données à partir d’essais sur les matériaux » - Nantes – 26 mars 2008
Modélisation stochastique des données à partir d’essais sur matériaux
Pr. Denys Breysse
Université Bordeaux 1
D. Breysse – cours « Modélisation stochastique des données à partir d’essais sur les matériaux » - Nantes – 26 mars 2008
Hasard
cause fictive de ce qui arrive sans raison apparente ou explicable (Petit Robert).
Ce qui relève “du hasard” est considéré comme hors de portée de la conscience
humaine, imprévisible.
La question de l’existence intrinsèque du hasard et de la nature réelle du monde
(déterministe ou non déterministe) demeure une question de philosophie des
sciences, traitée par de nombreux auteurs comme Henri Poincaré ou Karl
Popper (« Plaidoyer pour l’indéterminisme »).
marche au hasard
(mouvement brownien)
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Deux termes souvent pris pour synonymes
Alea - aléatoire :
en latin, « aleator » était le joueur de dé. On
qualifie d’« expérience aléatoire une
épreuve dans laquelle la répétition d’un
même protocole conduit à différents
résultats
Stochastique :
« stochastein », c'est viser et atteindre le
but au javelot, sans calcul, mais avec une
sûreté inexplicable.
C'est le « jeter juste », comme on dit d'un
peintre qu'il a su "attraper le ton juste".
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Caractère stochastique des propriétés des matériaux
manifestation expérimentale : dispersion des propriétés
- est-on capable d’estimer les propriétés (moyenne, dispersion, valeurs « risquées ») ?
- avec quel degré de précision ?
- peut-on « prédire » le comportement du composant/ouvrage qui découle de ces propriétés ?
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1. Approche empirique globale
Wallodi Weibull (1887-1979) : mise en évidence de la distribution statistique de Weibull
aciers suédois de Bofors, fibres de coton
hindou, graines de phaseolus vulgaris, adultes
mâles des Iles Britanniques…
si X > xo
p (X < x) = 1 – exp ( - (x-xo)m/ x1 )
Cas particulier xo = 0
p (X < x) = 1 – exp ( - xm/ x1 )
"En Statistisk Teori FörUtmattmingshallfastheten",
1948
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0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
9 10 11 12 13 14
m = 6
m = 4
m = 2 Xo = 10 , X1 = 5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
9 10 11 12 13 14
x1 = 2
x1 = 5
x1 = 15
Xo = 10, m = 5
Une loi « en S » qui a le mérite de bien « coller » à toute courbe en S par
ajustement des trois paramètres.
Ajustement aisé dans le cas où xo = 0
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y = 1,9097x - 1,5107
R2 = 0,9305
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
Exploitation de 30 mesures générées selon Weibull
avec Xo = 0, X1 = 5, m = 2
ln (ln (1 / (1 – pF)) = m ln x – ln X1
� X1 = 4.53, m = 1.91
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En 1951, relation établie entre la distribution de Weibull et
la résistance d’une chaîne de N maillons (weakest link concept)
� justification mécanique à une distribution empirique
� nombreuses applications en fiabilité des systèmes, en mécanique de la rupture des matériaux fragiles
Développements en micro-mécanique aléatoire
(distribution de tailles/d’orientations de défauts)
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2. Estimation des propriétés
On dispose de n valeurs, « tirées au hasard » dans une population dont on ne connaît pas la distribution
� Hypothèses sur la forme de la distribution (gaussien, log-normal, Weibull…)
� Lois d’estimation (théorie de l’échantillonnage)
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Exemple : simulations d’un échantillon de n valeurs, selon
une loi gaussienne (10, 2)
0
2
4
6
8
10
12
1 10 100 1000 10000
moyenne
variance
0
2
4
6
8
10
12
1 10 100 1000 10000
moyenne
variance
Convergence lente
Les valeurs obtenues pour n fini ne sont que des approximations des valeurs vraies
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Distribution des moyenne et variance
pour 40 séries de 10 mesures
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 2 4 6 8 10 12
moyenne estimée
(40 séries de 10
mesures)variance estimée
(40 séries de 10
mesures)
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Estimation de la moyenne
Si x suit une loi normale de variance σ² connue
[ X – zα/2 σ/√n-1 ≤ µ ≤ X + z
α/2 σ/√n-1 ] au seuil 1 – α
où X est la moyenne estimée et où σ² est la variance connue
Si x suit une loi normale de variance inconnue
[ X – tα/2 s/√n-1 ≤ µ ≤ X + t
α/2 s/√n-1 ] au seuil 1 – α
où X est la moyenne estimée et où s² est la variance estimée
8
8,5
9
9,5
10
10,5
11
11,5
12
0 20 40 60 80 100
moyenne estimée
var. connue +
var.connue -
var. inconnue +
var. inconnue -
8
8,5
9
9,5
10
10,5
11
11,5
12
0 20 40 60 80 100
moyenne estimée
var. connue +
var.connue -
var. inconnue +
var. inconnue -
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
0 20 40 60 80 100
moyenne estimée
fractile à 5 % (k8 )
fractile à 5 % (ks(n))
Estimation d’une valeur « risquée », par exemple fractile à 5 %« intervalle statistique de dispersion unilatéral »
Si x suit une loi normale de variance σ² connue
Xk = µ - uk σ
où µ est la moyenne et où σ² est la variance connue(par exemple = 1.645 pour le fractile à 5 %)
Mais en pratique, ni µ ni σ ne sont connues
Xk = X - ks s avec ks = fct (uk, n, risque α)
(Norme NF X 06-032)
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3. Identification des propriétés et simulation
Idée :
- on dispose d’un modèle Y = f(Xi)
- on cherche à identifier les distributions statistiques de Xi
- on les utilise dans le modèle pour prédire la distribution statistique de Y
Questions d’intérêt :
- qualité du modèle
- qualité de l’identification des distributions des variables d’entrée
- qualité de la prédiction
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A propos des incertitudes :
- rôle de la variabilité « naturelle » � représentativité d’une mesure «
«ponctuelle » Y � incertitude aléatoire (en un point, dans un échantillon,
entre échantillons)
Répétabilitéponctuelle
Répétabilitédans l’échantillon
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- variabilité-incertitude � incertitude modèle � incertitude épistémique
Par exemple : détermination de la porosité et du taux de saturation
Résistivité : ρ = c p -m S -n � incertitude sur les valeurs des exposants
Capacimétrie : f = a - b S � incertitude sur les constantes
Capacimétrie : f = a - b S � S = (f – a)/b
incertitude de mesure sur f
ET incertitude sur (a, b)
� incertitude sur S
Résistivité : ρ = c p -m S -n
incertitude sur S
+ incertitude de mesure sur la résistivité
ET incertitude sur (m, n)
� incertitude sur p
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Application : modèle de diffusion des chlorures et d’amorçage de la corrosion dans le béton armé
enrobage d
coefficient de diffusion D
Modèle d’amorçage : D²k/²dttDkx initcrit ====⇒⇒⇒⇒====
Modèle de propagation : )tt(i'kp initcorrx −−−−====
Activité icorr
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Modèle d’amorçage : D²k/²dttDkx initcrit ====⇒⇒⇒⇒====
Propriétés (aléatoires)
du matériauParamètre de modèle
Peuvent être évaluées (CND)
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0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,1 1 10 100 1000
t init prédit 1
t init "vrai"
t init prédit 2
hypothèses
Paramètre de modèle k supposé connu, exact = 50
Enrobage = gaussien (moy 2 cm, e.t. 0,5 cm)
Coeff Diffusion = log normal (moy(lnD) = 0.96, e.t.(lnD) = 0.66)) (x1012)
On fait 10 mesures de d et D, à partir desquelles on POSTULE les paramètres des
lois de distribution, et on simule t init
Résultats sur 200
Simulations
Rôle de l’échantillon
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Le rôle de l’erreur de mesure
et de l’incertitude de modèle
Modèle identifié d’après l’analyse statistique de mesures sur échantillons
VUS = a1 p + a’1 S + b1
Aradar = a2 p + a’2 S + b2
Principe : mesure de VUS et de Aradar et inversion du système pour déterminer p et S
Mais…
- Erreurs de mesure : VUS mesuré ≠ VUS vrai, Aradar mesuré ≠Aradar vrai
- Incertitudes de modèle sur les coefficients ai, a’i, bi
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10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
10 12 14 16 18 2060
65
70
75
80
85
90
95
100
60 65 70 75 80 85 90 95 100
10
11
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13
14
15
16
17
18
19
20
10 12 14 16 18 2060
65
70
75
80
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90
95
100
60 65 70 75 80 85 90 95 100
Influence de l’erreur de mesure
Porosité vraie
Porosité estimée
Porosité estimée
Porosité vraieSr vrai
Sr vrai
Sr estimé
Sr estimé
Bruit de mesures
1%
Bruit de mesures
3%
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0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
60 65 70 75 80 85 90 95 100
60
65
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80
85
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100
60 65 70 75 80 85 90 95 100
0
5
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20
25
30
0 5 10 15 20 25 30
10
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14
15
16
17
18
19
20
10 12 14 16 18 20
Influence de l’incertitude de modèle
Porosité vraie
Porosité estimée
Porosité estimée
Porosité vraieSr vrai
Sr vrai
Sr estimé
Sr estimé
Bruit de mesures
1%
sans incertitude
de modèle
Bruit de mesures
1%
et incertitude
de modèle
(données SENSO)
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En résumé. Les quelques points abordés
- Description des aléas par des lois empiriques.
Possibilité de procéder à des changements
d’échelle (données micro � réponse macro)
- Question de l’échantillonnage : pour l’estimation
des propriétés, pour la qualité des prédictions à
partir des valeurs estimées
- Question de la qualité des modèles, établis à
partir des données en nombre limité (incertitude
de modèle)
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D’autres points essentiels
• La notion de corrélation entre propriétés (p.ex. C et phi dans un sol : physique ? Statistique ?)
• La notion de corrélation spatiale
A retenir :
- savoir ce que l’on veut et adapter ses moyens (d’acquisition de données et de modélisation) à ses objectifs
- avoir conscience des limites des approches déterministes… et probabilistes !