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PATRICE BEAULIEU

MODELISATION PAR ELEMENTS FINIS DU COMPORTEMENT THERMOMÉCANIQUE DES

COUVERTS DE GLACE DES RÉSERVOIRS HYDRAULIQUES RETENUS PAR DES BARRAGES

Mémoire présenté à la Faculté des émdes supérieures de l'Université Laval dans le cadre du programme de maîtrise en génie civil

pour l'obtention du grade de Maître es sciences (M.Sc.)

DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL ET DES EAUX FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE

UNIVERSITÉ LAVAL QUÉBEC

2011

Patrice Beaulieu, 2011

RÉSUMÉ La recherche dans le domaine de la glace afin de mieux connaître la poussée sur les

ouvrages hydrauliques se poursuit depuis plusieurs décennies. Les forces générées par les

couverts de glace sur les structures sont non négligeables particulièrement pour les petits

ouvrages là où la pression hydrostatique est faible. La littérature est remplie de méthode

empirique permettant de déterminer ces efforts.

Dans un premier temps, l'analyse des résultats de la campagne de mesure menée par

l'Université Laval, l'Institut de recherche d'Hydro-Québec (IREQ) et BMT Fleet

Technologie en 2007-2008 a permis de démontrer que la poussée de la glace est variable

dans l'espace. Ainsi, l'application d'une valeur uniforme de poussée de la glace, bien que

simplificatrice, ne représente pas la réalité. La valeur suggérée par l'association canadienne

des barrages de 150 kN/m se trouve bien au-delà de la valeur intégrée mesurée durant la

première année de ce projet de 77 kN/m. Dans la même optique, la variabilité spatiale

implique l'utilisation de plusieurs instruments de mesure sur un même ouvrage afin de tenir

compte de l'effet d'indentation. D a été démontré que pour un même nombre d'instruments

à un moment précis, les valeurs moyennes de poussée de la glace peuvent varier

considérablement. Cette observation remet en doute les résultats d'expériences ayant été

réalisées à l'aide de quelques capteurs de pression isolés. Enfin, l'analyse des résultats a

mis en évidence l'importance des fluctuations de niveau d'eau. Il est prouvé que les

fluctuations thermiques, bien que non négligeables, ne sont pas responsables à elles seules

de la poussée de la glace.

Dans un deuxième temps, la mise au point d'un modèle thermomécanique a été réalisée

dans le logiciel à éléments finis ANSYS 12.1. Ce modèle est capable de résoudre pour une

géométrie tridimensionnelle appuyée sur une fondation élastique (poussée d'Archimède) et

prenant en compte le fluage de la glace selon les paramètres de Barnes et coll. (1971) et une

équation de type Norton. Ce projet était le premier pas pour la mise au point du modèle.

Des projets en cours permettront d'améliorer le modèle afin de prendre en compte, entre

autres, la fissuration et les conditions d'appuis des berges. Les résultats confirment que le

modèle fonctionne correctement et donne des résultats conformes à la littérature. Une étude

11

paramétrique a été menée afin d'éclaircir l'influence du module de Young sur la poussée de

la glace. De plus, plusieurs analyses ont été effectuées afin d'établir l'importance des

conditions d'appuis sur le barrage et le type de chargement.

Conformément à la théorie, le modèle semble indiquer qu'à de faibles températures, la

glace flue lentement. Toujours en accord avec la théorie, le modèle montre une dissipation

des contraintes plus lente lors de plus faibles températures. L'impact réel de ce phénomène

devra faire l'objet d'études plus approfondies. Dans cette optique, une glace très froide

subissant un événement de déformation rapide atteindra des niveaux de contraintes

maximaux tels qu'observés lors du mois février de l'hiver à l'étude. Enfin, le modèle

numérique montre que les fluctuations de niveaux d'eau sont non négligeables et doivent

faire partie des mécanismes générateurs de poussées.

I l l

ABSTRACT Research on ice matters have been undertaken for decades in order to better understand ice

forces on structures. Ice covers exert pressure and are more significant on smaller structures

for which hydrostatic forces are relatively weaker. Literature presents a lot of empirical

solutions to evaluate ice forces.

Our analysis of the Laval University and IREQ 2007-2008 field campaign has shown that

ice forces are space dependent. Therefore, applying a uniform distributed load on a dam is a

major simplification of reality. The suggested value by Canadian Dam Association of

150 kN/m is largely higher than the integrated measured ice force of 77 kN/m observed

during the first year of this project. Also, this project describes the importance of spatial

variability that implies the necessity of using multiple measurements instruments.

Indentation has been shown to be a major factor on a large dam experiment because

pressure varies largely between different points. This finding makes results obtained from

single instrument experiments somehow questionable. Data analyses highlight the

importance of water level fluctuations as they show that thermal fluctuations are not solely

responsible for ice force fluctuations.

Secondly, a thermo mechanical numerical model has been developed using the finite

element model ANSYS 12.1. It is able to solve any given tridimensional geometry laying

on an elastic foundation (buoyancy forces). The model is large deflection enabled and can

simulate creep effects. Barnes & al. (1971) values based on a Norton creep equation has

been used for the simulation of viscoelastic behavior. This project's goal was to establish a

working model. Ongoing and future work should consider more variables like ice cracks

and shoreline conditions. Results show that the model is working fine and gives results in

accordance with literature and observations. Moreover, some analyses showing the effect of

various boundary conditions and types of loading have been carried out.

In accordance with theory, the numerical model shows that when temperature is low, ice

creeps slowly. It also shows a slower stress relaxation at low temperature. Cold ice that

undergoes rapid displacement will reach maximal stresses as observed in this essay.

Finally, the numerical model shows that water level changes are not negligible and must be

taken into account when evaluating ice trust.

IV

REMERCIEMENTS Ce projet de recherche a été réalisé sous la direction des professeurs Mario Fafard et Brian

Morse de l'Université Laval. D s'agit d'un projet Recherche et développement coopératif

(RDC) financé par le Conseil de recherche en sciences naturelles et en génie du Canada

(CRSNG) regroupant l'Université Laval et l'Instimt de recherche d'Hydro-Québec (IREQ).

Les chercheurs principaux de l'IREQ étaient messieurs Alain Coté, Roger Lupien, Varvara

Roubtsova et André Tairas. Étaient également impliqués dans le projet, BMT Fleet

Technology et Ed Stander du SUNY Cobleskill College.

Ce mémoire s'inscrit dans le cadre d'un programme élargi d'Hydro-Québec voulant mieux

comprendre la poussée de la glace et la quantifier. Le projet s'établit sur plusieurs années et

en plusieurs phases allant de la simulation numérique aux campagnes de mesure en passant

par les moyens de mitigation et la caractérisation de la glace.

Il ne m'aurait pas été possible d'y arriver sans la présence de Mario Fafard et Brian Morse

qui m'ont guidé et éclairé tout au long du mandat, et ce, malgré un important décalage

horaire par moment. J'en profite également pour remercier tout le personnel de l'IREQ qui

a réalisé les campagnes de mesures ainsi que les gens, dont Roger Lupien et Varvara

Roubtsova, avec qui nous avons réalisé le modèle numérique. Je tiens également à

remercier particulièrement François Massicotte (étudiant stagiaire) qui m'a aidé pendant un

été à vaincre ANSYS. Enfin, Olivier Trempe pour l'étroite collaboration à la résolution de

problèmes Matlab et dans les cours gradués.

Finalement, je tiens à remercier ma conjointe Marie-Line pour sa présence et son support

moral. J'adresse mes derniers remerciements à mes parents Danielle et François qui m'ont

encouragé tout le long de la réalisation du projet.

À mon amour Marie-Line, à ma famille,

à mes amis et collègues

VI

TABLE DES MATIÈRES Page

RÉSUMÉ I

ABSTRACT Ill

REMERCIEMENTS IV

TABLE DES MATIÈRES VI

LISTE DES TABLEAUX VII

LISTE DES FIGURES VIII

LISTE DES SYMBOLES IX

ACRONYMES ix SYMBOLES LATINS ix SYMBOLES GRECS xi SYMBOLES xn Avis AU LECTEUR XII

1. INTRODUCTION 1

1.1. PROBLÉMATIQUE 1 1.2. OBJECTIFS 2 1.3. MÉTHODOLOGIE 3 1.4. APPLICATIONS PRATIQUES ET RÉSULTATS ESCOMPTÉS 4 1.5. HYPOTHÈSES ET DÉFINITIONS 4

2. REVUE DE LITTÉRATURE 6

2.1. HISTORIQUE DE LA RECHERCHE 6 2.1.1. Glen 6 2.1.2. Barnes 7 2.1.3. Michel 8 2.1.4. Nadreau 8 2.1.5. Ashton 9 2.1.6. Azarnejad 9 2.1.7. Carter 10 2.1.8. Comfort U 2.1.9. Song 12 2.1.10. Sand. 12 2.1.11. Schulson et Duval 13

3. CAMPAGNE DE MESURES 14

3.1. INSTALLATION ET ÉQUIPEMENTS 15 3.1.1. Emplacement du site 75 3.1.2. Équipements 16

3.2. ANALYSE DES PANNEAUX CARTER 18 3.2.1. Calcul de la poussée sur la face du barrage 19 3.2.2. Corrélation entre la fluctuation de niveau d'eau et la poussée de la glace 28 3.2.3. Corrélation entre la vitesse de fluctuation et la poussée de la glace 30 3.2.4. Phénomène d'indentation 33 3.2.5. Mise en équation du phénomène 36

Vil

4. MODÉLISATION 43

4.1. CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES 43 4.1.1. Loi constitutive 43 4.1.2. Poussée d'Archimède et gravité 45 4.1.3. Paramètres du matériau 46

4.2. MODÈLE DE BASE 54 4.2.1. Généralités 54 4.2.2. Poussée d'Archimède et gravité 55 4.2.3. Maillage 56 4.2.4. Conditions aux limites 57 4.2.5. Programme ANSYS 58

4.3. ANALYSE DE RÉFÉRENCE 59 4.4. INFLUENCE DU MODULE D'ÉLASTICITÉ 60 4.5. ANALYSE DE CAS TYPES 64

4.5.1. Influence des paramètres environnementaux 65 4.5.2. Profil de contrainte 69

5. CONCLUSION 72

5.1. RÉSULTATS 72 5.1.1. Campagne de mesures 72 5.1.2. Modélisation numérique 73

5.2. COMPARAISON DES RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX À LA MODÉLISATION 74 5.3. TRAVAUX FUTURS ET RECOMMANDATIONS 74

BIBLIOGRAPHIE 76

ANNEXE A — CODE APDL POUR ANSYS 79

ANNEXE B — CODE POUR LA POUSSÉE D'ARCHIMÈDE (RESSORTS) 82

ANNEXE C — DÉPLACEMENTS IMPOSÉS 83

ANNEXE D — CODE MAPLE 84

ANNEXE E — RÉSULTATS GRAPHIQUES D'ANSYS 85

LISTE DES TABLEAUX Page

Tableau 1 — Liste des équipements mis en place 18 Tableau 2 — Vitesse relative des événements de poussée majeurs 29 Tableau 3 — Probabilité et période de retour 40 Tableau 4 — Paramètres de fluage de Barnes et coll 49 Tableau 5 — Résumé des paramètres utilisés dans le modèle 59 Tableau 6 — Légende des paramètres de conditions 64

vm

LISTE DES FIGURES Page

Figure 1 — Carte géographique de la Gabelle 16 Figure 2 — Disposition des appareils de mesure 17 Figure 3 — Panneau Carter 18 Figure 4 — Représentation schématique de l'emplacement des panneaux Carter 20 Figure 5 — Représentation de la poussée de la glace sur un panneau Carter 21 Figure 6 — Distribution de la poussée intégrée de la glace dans le temps 22 Figure 7 — Distribution par quartiles de la poussée de la glace 23 Figure 8 — Histogramme de la poussée de la glace par plage d'intensité 23 Figure 9 — Variation de la poussée maximale dans le temps 24 Figure 10 — Comparaison de la poussée par panneau à la poussée intégrée 26 Figure 11 — Valeurs maximales de poussée par rapport au niveau d'eau 30 Figure 12 — Comparaison de la variation de la poussée par rapport au niveau d'eau 31 Figure 13 — Influence de la température et du niveau d'eau sur la poussée 32 Figure 14 — Distribution spatiale de la poussée de la glace 34 Figure 15 — Phénomène d'indentation 35 Figure 16 — Courbes IDF en semaines-années équivalentes 41 Figure 17 — Modèle rhéologique 44 Figure 18 — Représentation schématique de l'équilibre des forces sur un cube de glace ...46 Figure 19 — Vitesse de fluage selon la température pour 250 kPa 50 Figure 20 — Vitesse de fluage selon la contrainte et la température 51 Figure 21 — Déformation du matériau selon le temps 52 Figure 22 — Contrainte selon la déformation imposée 53 Figure 23 — Poussée d'Archimède 56 Figure 24 — Maillage typique 57 Figure 25 — Courbe de température sur un cube typique 60 Figure 26 — Distribution concentrique des déformations thermiques 61 Figure 27 — Déformation élastique selon le module de Young 63 Figure 28 — Contrainte dans la glace selon le module de Young 63 Figure 29 — Poutre sous chargement CNE 65 Figure 30 — Emplacement du point d'observation 66 Figure 31 — Déformations selon le type de paramètre environnemental 67 Figure 32 — Chargement fluctuation niveau d'eau 69 Figure 33 — Profil de contraintes 71

IX

LISTE DES SYMBOLES

Acronymes 3D Trois dimensions

ACB Association canadienne des barrages

ACE Association canadienne de l'électricité

BP British Petroleum

CNBC Code national du bâtiment du Canada

CNRC Conseil national de recherche du Canada

CRSNG Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie

CSA Association canadienne de normalisation (Canadian Standards Association)

DDL Degrés de liberté

EC Environnement Canada

GEV Generalized Extremum values

IDF Intensité-durée-fréquence

IREQ Institut de recherche d'Hydro-Québec

MFS Solveur multi-champs (Multi-field solver)

RDC Recherche et développement coopératif

Symboles latins A aire (m2) B constante de fluage (variable)

cp chaleur spécifique (J kg"1 X*1

cm centimètre (IO2 m)

E module d'élasticité (GPa)

facteur de puissance 10

e nombre d'Euler

F force appliquée (N)

FA Force d'Archimède (N)

Fg Force de gravité (N)

GPa gigapascal ( 109 N m"2 ou 109 Pa)

g accélération gravitationnelle (m s"2)

h épaisseur de la glace (m)

heure (3600 s)

he hauteur d'eau (m)

hsi hauteur de glace submergée (m)

hi hauteur de glace immergée (m)

J joule (kg m2 s"2)

j jour(24 h)

K degré Kelvin

coefficient de conduction thermique (W m"1 °C"1)

kg kilogramme

kN kilonewton(103N)

L longueur (m)

/ largeur (m)

Lp longueur du pas de fissuration (m)

MPa megapascal ( 106 N m"2 ou 106 Pa)

m mètre

mois

mol mole

mm millimètre (103 m)

N newton

n exposant de fluage ou exposant de Glen

nCr coefficient binomial nombre de combinaison n parmi r

P poussée de la glace (kN/m)

Pa pascal (N m"2)

Q énergie d'activation (J mol"1 K"1)

R constante des gaz parfaits

S nombre de degrés jours

s seconde

T température (°C ou K)

t temps (s)

XI

Vs/ vo lume de glace submergé (m3)

Vi vo lume de glace (m3)

v vi tesse (variable)

W watt (J s"1)

w largeur (m)

x, ye t z axes cartésiens principaux

A, N, E, R, V et C paramètres de conditions selon le Tableau 6 de la page 64

Symboles grecs a coefficient de dilatation thermique (°C1)

as constante de fluage pour l'équation en sinus hyperbolique (1/Pa)

y poids volumique (N m"3 ou kg m"3 s"2)

Yi densi té de la glace (N m"3)

yw densi té de l ' eau (N m"3)

A variation, différence (variable)

e déformation, déformation totale

£ vitesse de déformation

se déformation élastique instantanée

sm déformation mécanique

eth déformation thermique

sv déformation visqueuse

q constante de fluage

8 température (°C ou K)

p micro (10" )

v coefficient de Poisson

p masse volumique (kg m"3)

a contrainte (Pa, MPa)

T contrainte de cisaillement (Pa, MPa)

<p angle de la contrainte principale par rapport au nord (degrés d'angle)

co angle de la contrainte principale parallèle au barrage (degrés d'angle)

Xll

Symboles °C degré Celsius 0 degré d'angle

ô dérivée partielle

% pourcentage

Avis au lecteur Les références bibliographiques présentent le nom de l'auteur ainsi que l'année entre

parenthèses. Toutes les références sont répertoriées dans la bibliographie par ordre

alphabétique.

Introduction

1. INTRODUCTION

1.1. Problématique La glace est une réalité bien présente dans les pays nordiques, où lacs et rivières en sont

recouverts pendant la majeure partie de l'hiver. Bien que dans certains cas elle soit très

utile, notamment pour la construction de ponts de glace ou pour les loisirs, la glace pose

problème dans bien des domaines de l'ingénierie. Pour les ouvrages de génie civil tels que

les ponts en rivière et les barrages hydrauliques, la glace se forme et se déforme près de ces

derniers, leur imposant des déformations qui se traduisent en contraintes. Dans le cas des

barrages, l'Association canadienne des barrages (ACB, 2007) suggère une valeur de charge

de conception de poussée de la glace moyenne de 150 kN/m tandis que la norme

d'évaluation de la stabilité des barrages-poids d'Hydro-Québec (no. SB-61-08-00, 2003)

préconise une charge de conception de 100 kN/m dans le cas normal et de 150 kN/m dans

le cas de chargement inhabituel. Cependant, lors d'une campagne de mesures de neuf ans,

de 1991 à 2000, financée par l'Association Canadienne de l'Électricité (ACE) et effectuée

par Fleet Technology, des valeurs de poussée de la glace supérieures à 300 kN/m ont été

enregistrées au Seven Sisters dam au Manitoba par Comfort et coll. (2003). La valeur

maximale, ayant atteint 374 kN/m pendant l'hiver 1998-1999, est largement supérieure à la

valeur normale suggérée par l'ACB.

À la lumière de ces informations, Hydro-Québec veut en connaître davantage sur la poussée

de la glace contre ses ouvrages pour établir et harmoniser les critères de conception. Ces

critères permettront d'assurer la sécurité des barrages, d'évaluer si certains auront besoin

d'être renforcés ou remplacés et d'optimiser la conception des futurs ouvrages. Les valeurs

mesurées par Comfort et coll. (2003) remettent en question l'évaluation du risque réel

engendré par la poussée de la glace. Il est également possible que ce risque augmente dû au

vieillissement des ouvrages, ce qui entraînerait des coûts de réfection importants.

La situation est beaucoup moins alarmiste qu'elle ne peut le paraître. Dans un premier

temps, aucun cas de rupture de barrage hydraulique causé par la poussée de la glace n'a été

répertorié par Hydro-Québec depuis sa création. Deuxièmement, lors de la conception des

ouvrages, les ingénieurs utilisent plusieurs coefficients de sécurité, autant sur les charges

Introduction

que sur la résistance des matériaux, assurant ainsi une marge de manœuvre en cas de

dépassement de la valeur de conception. Troisièmement, des calculs préliminaires

démontrent que la glace influence peu les grands barrages comparativement à la poussée de

l'eau, réduisant le nombre d'ouvrages affectés et l'ampleur des désastres.

Malheureusement, ces arguments ne prouvent en rien que la stabilité des barrages soit

assurée et il vaut mieux agir avant que ne se produise une rupture. C'est dans cette optique

qu'un partenariat de recherche et développement coopératif (CRSNG-RDC) entre

l'Université Laval et Hydro-Québec, intitulé « Poussée de glace sur les barrages :

harmonisation des critères de conception et développement de moyens d'atténuation », a été

mis sur pied en 2008. Afin d'établir la valeur moyenne de la poussée de la glace, il serait

possible d'effectuer pendant plusieurs années une campagne de mesure sur tous les

ouvrages d'Hydro-Québec. Toutefois, les coûts et le temps associés à cette activité seraient

ahurissants. De plus, en supposant qu'il existe une variabilité en fonction du site et de son

emplacement géographique, cette campagne ne permettrait pas de savoir la poussée exercée

sur un ouvrage en cours de conception. Ainsi, une meilleure compréhension de la poussée,

visée par ce partenariat de recherche, permettrait de remédier à ces problèmes.

En clair, ce mémoire cherche à répondre à une problématique principale : déterminer la

poussée de la glace sur un barrage. Dans un premier temps, est-ce que la poussée de glace

peut être ramenée à une valeur arbitraire? Enfin, est-ce que la méthode des éléments finis

peut permettre de déterminer la poussée de la glace?

1.2. Objectifs Dans le cadre du partenariat de RDC, ce mémoire a pour but de modéliser par éléments

finis le comportement thermomécanique des couverts de glace des réservoirs hydrauliques

retenus par des barrages, pour répondre à la problématique d'harmonisation des critères de

conception pour la poussée de la glace. Le projet se divise en deux parties distinctes, mais

inséparables. La première est l'analyse de données expérimentales recueillies par Hydro

Québec lors de la campagne de mesure de 2007-2008 au barrage La Gabelle

(46°26'57"N, 72°44'22"W) situé sur la rivière St-Maurice entre Trois-Rivières et

Shawinigan. Les données recueillies sont d'une richesse immense puisqu'elles permettront

d'interpréter le comportement réel du couvert de glace. Dans cette partie, il faudra établir la

Introduction

poussée de glace maximale, établir la variabilité de la poussée en fonction du temps et de

l'espace, interpréter les résultats obtenus à l'aide de comparaisons statistiques et

mathématiques et déterminer les intrants pour la modélisation numérique. De plus, il sera

tenté de proposer une nouvelle approche de mise en équation de la poussée de la glace,

basée sur les méthodes employées dans la plupart des ouvrages de l'Association canadienne

de normalisation (CSA). La seconde partie traite de la modélisation numérique du couvert

de glace. Étant donné les coûts élevés des campagnes de mesures, l'utilisation d'un modèle

numérique permettra d'évaluer la poussée de la glace en modélisant le réservoir, le barrage

et les conditions environnementales. En plus de diminuer les coûts, il sera possible

d'évaluer la poussée sur un barrage en cours de conception et d'évaluer les valeurs des

coefficients présentés dans la nouvelle équation de poussée de la glace. Les objectifs de

cette partie sont de constituer un modèle thermomécanique avec viscoélasticité, évaluer les

paramètres influant sur le modèle, évaluer la concordance du modèle avec les valeurs

expérimentales obtenues et analyser différents mécanismes observés afin de connaître leur

influence.

1.3. Méthodologie Les données expérimentales ont été recueillies au cours de l'hiver 2007-2008 sur le

réservoir du barrage La Gabelle à l'aide de panneaux Carter, de jauges biaxiales tous deux

fabriqués par Geokon (Lebanon, N.H.) et d'appareils photo. Les données seront traitées à

l'aide des logiciels Fortran®, Excel® et Matlab®. Par la suite, une analyse sera effectuée

sur ces données pour mieux expliquer le comportement du couvert de glace et répondre aux

objectifs fixés.

La modélisation numérique se fera en plusieurs temps. Tout d'abord, une revue de

littérature des modèles numériques existants et des propriétés de la glace sera réalisée. À

partir des informations recueillies et des intrants obtenus de l'analyse des résultats de la

campagne de mesure, le modèle numérique sera élaboré dans le logiciel ANSYS® (2008)

et validé par une analyse découplée des divers phénomènes à l'étude. Lorsque le modèle

sera fonctionnel, l'influence de divers paramètres sera évaluée en effectuant une analyse

paramétrique. Les paramètres pouvant influer la réponse du modèle seront établis en

fonction de la revue de littérature et des résultats de la campagne de mesure. Finalement, le

Introduction

modèle tentera de reproduire la poussée de glace enregistrée durant l'hiver 2007-2008 et de

déterminer l'importance des mécanismes observés.

1.4. Applications pratiques et résultats escomptés La compréhension des mécanismes influant la poussée de la glace devrait être améliorée

pour faire suite à l'analyse des résultats de la campagne de mesure permettant, dans un

premier temps, d'améliorer les futures campagnes de mesure quant à la qualité et la

quantité de données à recueillir et, deuxièmement, de visualiser la poussée de la glace à

l'aide de graphiques. Les résultats permettront de définir les limites et l'ordre de grandeur

des diverses variables influant la poussée de la glace. Il est attendu que la fluctuation de la

poussée de la glace est plus ou moins liée aux fluctuations de niveau d'eau.

Dans la mesure où le modèle numérique est fonctionnel et parfaitement valide, il serait

possible de prédire la poussée de la glace pour un événement donné. Or, il n'est pas prévu

que le modèle soit aussi exact, car les grandes variabilités naturelles des couverts de glace

ne peuvent être simulées parfaitement. Le modèle devra prédire des valeurs dans les mêmes

ordres de grandeur que les résultats expérimentaux mesurés et afficher des variations en

fonction des divers paramètres environnementaux. D sera possible d'améliorer le modèle en

augmentant sa complexité et ainsi se rapprocher d'une prédiction valide. De plus, le modèle

permettra d'évaluer l'ordre de grandeur de la poussée de la glace pour des barrages en

conception. Finalement, divers mécanismes ont été observés et seront évalués tels que le

blocage des coins des morceaux de glace et la fissuration à quelques mètres de la face du

barrage.

1.5. Hypothèses et définitions Ce mémoire traite de la poussée de la glace sur les ouvrages hydrauliques. Les effets causés

par la poussée sur l'ouvrage ne sont pas d'intérêt ici et ce dernier sera considéré comme

infiniment rigide. Plusieurs auteurs depuis le début des années 90 proposent que la poussée

de la glace, pour les réservoirs, serait dû à de multiples facteurs incluant les fluctuations de

niveau d'eau, contrairement à ce que l'ACB (2007) stipule dans ses directives, à savoir que

la poussée est gouvernée par les changements de température et faiblement influencée par

les fluctuations de niveau. Le fluage serait également un élément clé pour comprendre les

Introduction

déformations et évaluer avec justesse les contraintes produites, car la glace est près de son

point de fusion. Il est nécessaire de garder en tête que les simulations sont une

représentation simplifiée de la réalité et qu'elles ne peuvent représenter rigoureusement la

réalité. Il sera sous-entendu que seuls les paramètres énoncés influent le couvert de glace.

Ces paramètres seront ceux jugés les plus importants.

Le système d'axe, sauf indications du contraire, est de type cartésien et est composé de trois

axes unitaires x, y et z. L'axe x est perpendiculaire au barrage, l'axe y est parallèle au

barrage et l'axe z est normal à la Terre, positif vers le ciel. L'origine du repère est toujours

à la face du barrage, mais peut se déplacer dépendamment de la section à l'étude. L'axe y

est positif de gauche à droite lorsque l'on est sur le réservoir et que l'on regarde le barrage.

L'axe z prend origine à la surface de l'eau et ainsi un déplacement positif se fait dans l'air

et un déplacement négatif dans l'eau.

Revue de littérature

2. REVUE DE LITTÉRATURE

2.1. Historique de la recherche Ce chapitre présente une brève revue de littérature des ouvrages importants et utiles pour la

réalisation de ce projet. Il existe une quantité importante d'articles scientifiques et de

parutions, mais un tri a été effectué pour ne retenir que les plus utiles à ce projet. Les

ouvrages principaux, auxquels plusieurs références seront faites, sont Comfort et coll.

(2003), Azarnejad (1996), Asthon (1986), Michel (1978), Barnes et coll. (1971) et

Glen(1955).

Avant les années Glen (1954), les études sur la glace portaient principalement sur la

caractérisation du matériau, la mesure in situ de la poussée de la glace et l'élaboration de

modèles linéaires pour faire des calculs simples de résistance de la glace. Par exemple,

Dumble (1891) a effectué des expériences pour évaluer l'expansion et la contraction

thermique des couverts de glace sur les rivières et les lacs canadiens. Il a entre autres évalué

la poussée de la glace sur les piles de ponts en rivière. En se basant sur la valeur de rupture

de la glace évaluée à 2,76 MPa, Dumble (1891) a établi que seulement la moitié de

l'épaisseur du couvert affectait la poussée et ainsi, pour une glace de 0,45 m, la poussée

résultante est de 621 kN/m. Cette approche a été jugée trop conservatrice par Royen (1922)

et Glen (1954), pour ne nommer qu'eux, car le fluage de la glace n'était pas pris en ligne de

compte. Les valeurs de poussée de conception très élevées ont pour effet d'augmenter

inutilement la résistance des barrages et donc les coûts de construction. Un des précurseurs

à l'étude rhéologique du comportement de la glace qui tenait compte du fluage fut

Royen (1922) qui proposa une équation linéaire transitoire de la déformation de la glace de

glacier. En général, la recherche restait propre à des conditions de glace bien précise et

n'était pas transférable d'un site à l'autre. Pour y arriver, il fallait pouvoir expliquer le

comportement de la glace et identifier les facteurs influents.

2.1.1. Glen Glen (1954) est l'un des premiers chercheurs à avoir établi que la glace fluait suivant une

relation dans laquelle la vitesse de déformation est liée à la contrainte appliquée et à la

température. Il a effectué plusieurs tests de fluage à différentes températures et différentes


contraintes de compression et a évalué la valeur des paramètres pour l'équation d'Arrhénius

(2.1) où a est la contrainte, £ est la vitesse de déformation de fluage, T est la température

absolue, R est la constante des gaz parfaits, Q est l'énergie d'activation, n est l'exposant de

fluage (aussi appelée exposant de Glen dans le domaine de la glace) et B est une constante.

è = Bcrey /RTl (2.1)

Glen (1954) a déterminé que l'exposant devait être fixé à une valeur de trois et que la

constante de fluage B variait en fonction de la température. L'introduction de l'énergie

d'activation permet d'expliquer l'augmentation de la vitesse observée alors que la

température des échantillons se rapproche du point de fusion. La valeur de Q peut être

déterminée théoriquement pour un matériau donné. Bien que Glen (1954) fût un précurseur

notable, il fut prouvé par Barnes et coll. (1971) que les valeurs de n et B étaient mal

définies. Cependant son équation était valable.

2.1.2. Barnes Barnes et coll. (1971) effectua des tests de fluage en compression uniaxiale sur de la glace

polycristalline, dans le but de caractériser le fluage de la glace à différentes températures et

différents niveaux de contrainte. Plutôt que d'utiliser l'équation d'Arrhénius, il employa

une équation en sinus hyperbolique (2.2) pour épouser la courbe de déformation-temps

pour de grandes contraintes.

l - Q / \ £ = B s m h ( a s a ) n e { /RT> (2.2)

Le paramètre as est une constante et non pas le coefficient de dilatation thermique. La

fonction sinus hyperbolique permet de prendre en compte l'évolution de la valeur de

l'exposant. Barnes et coll. (1971) précise également que tous les paramètres sont fonction

de la température et que certains varient selon la contrainte appliquée. Il a également utilisé

le même type d'équation que Glen (1954) pour analyser ses résultats. Dans le cadre de ce

projet, l'équation d'Arrhénius (2.1) avec les valeurs de Barnes et coll. (1971) sera utilisée,

car il est attendu que la contrainte ne dépasse jamais quelques mégapascals et la littérature

Revue de littérature 8

postérieure Barnes et coll. (1971) traite de cas spécifiques en se basant sur l'équation

d'Arrhénius.

2.1.3. Michel Après à la conquête du pôle Nord et le passage de brise-glaces dans l'arctique au début des

années 70 et parce que le dernier livre traitant de la glace remontait à 1928, Michel (1978) a

écrit un livre qui se veut une introduction à la mécanique de la glace. Entre autres, il y

résume les propriétés de la glace mesurées et théoriques et implante un système de

nomenclature pour les types de glace. En ce qui concerne le comportement mécanique de la

glace, Michel (1978) explique le comportement des cristaux dans la glace sur une base de

mécanique des milieux continus. H établit une équation de fluage basée sur le nombre de

dislocations dans la glace ainsi que sur le glissement des plans basaux de cristaux les uns

sur les autres et détermine les valeurs de paramètres s'y rattachant. Or, ses solutions étant

mesurés, il est difficile de mettre en relation plusieurs équations et de résoudre à l'aide d'un

logiciel d'éléments finis. La méthode des éléments finis était à ses balbutiements à cette

époque et son livre n'en traite pas.

2.1.4. Nadreau En 1985, Nadreau (1985) a soutenu sa thèse de doctorat sous la direction de Michel portant

sur les lois de comportement et de fluage de la glace de mer simulées. Il y fait un résumé

impressionnant des diverses études et équations présentées par plusieurs chercheurs. Il

utilise une formulation élaborée par Michel (1978) qui se base sur le nombre de

dislocations présentes dans la glace. Bien que la méthode soit fonctionnelle, elle ne

présente pas d'avantage majeur versus celles de Glen (1954) ou de Barnes et coll. (1971),

en plus d'être très difficile à implémenter au sein d'un logiciel d'éléments finis commercial

et fermé. De plus, les niveaux de contraintes testés de quelques MPa sont de 10 à 20 fois

supérieurs à ceux attendus dans ce projet. Malgré cela, Nadreau (1985) a effectué une

grande quantité de tests et les informations recueillies permettent de confirmer ou

d'infirmer certains comportements. Par exemple, il prouve que les contraintes se dissipent

rapidement et que le taux de déformation de fluage diminue avec le temps. Il s'agit d'un

ouvrage important pour quiconque souhaite étudier le fluage de façon expérimentale. Il est


important de noter que son étude porte également sur l'influence de la présence de sel dans

l'eau.

2.1.5. Ashton Ashton (1986) a écrit son livre en poursuivant le même objectif que Michel (1978) : fournir

une base pour l'ingénierie en glace. Le livre couvre l'ensemble des aspects touchant à

l'ingénierie de la glace en passant par l'hydraulique jusqu'aux brise-glaces. Il résume

l'ensemble des propriétés mécaniques et thermiques en plus de présenter des solutions

analytiques à des cas types d'ingénierie de la glace. De plus, il présente un modèle

rhéologique, composé d'un corps de Maxwell soit un ressort en série avec un pot visqueux,

et les équations associées. Il est le premier à regrouper rigoureusement la théorie de la

rhéologie de la glace et à établir des équations en fonction de ce modèle. Les équations de

fluages sont basées sur les travaux de Barnes et coll. (1971) et Glen (1954), car il utilise les

mêmes formes. Cependant, le tableau des valeurs des constantes à utiliser n'est pas complet

et est imprécis, se limitant à 5 valeurs ponctuelles. De plus, les valeurs présentées sont

celles pour des monocristaux. Puisqu'Ashton (1986) est un résumé des études antérieures à

son livre, il s'agit d'une référence centrale à partir de laquelle découlent les études

ultérieures. À ma connaissance, il n'y a pas d'autres livres traitants du fluage ou de la

mécanique de la glace qui sont parus entre Ashton (1986) et Schulson et Duval (2009).

2.1.6. Azarnejad Avant Azarnejad et Hrudey (1996), les analyses d'ingénierie traitant de la glace se

limitaient à des solutions analytiques en deux dimensions. Plusieurs phénomènes n'étaient

pas considérés tels que l'interaction entre la flexion et la poussée d'Archimède, le couplage

thermomécanique ou la géométrie du réservoir. Étant donné la complexité d'une telle

analyse, Azarnejad (1996) suggéra un modèle numérique à trois dimensions permettant de

prédire les forces générées par la glace. Bien que son modèle soit capable de prendre en

considération de multiples paramètres d'entrée, il ne traite pas des fluctuations de niveau

d'eau comme phénomène influant la poussée. De plus, il a été programmé dans un contexte

universitaire, soit en programmant un logiciel qui résout uniquement le modèle numérique

de glace faisant en sorte qu'il n'est pas mis à jour ni facilement utilisable par de multiples

personnes au sein d'Hydro-Québec dans la mesure où il faut bien connaître le logiciel pour


l'utiliser. Bien qu'il s'agisse d'une première, il reste que ce logiciel n'est pas

commercialisé.

2.1.7. Carter Suite à une campagne de trois ans pour mesurer les forces sur les barrages, Carter (1998) a

proposé des équations permettant d'évaluer la poussée de la glace. Tout d'abord, il a

constaté que les épaisseurs de glace observées sont comparables à celle prédite par

l'équation de Drouin (1976) soit :

h = 0,02js (2.3)

où S est le nombre de degrés-jours sous 0°C.

Suivant un développement basé sur l'énergie potentielle, il établit que la force statique par

mètre linéaire contre un ouvrage est définie comme le résultat de la poussée d'Archimède

poussant vers le haut un bloc de glace flottant coincé entre d'autres blocs.

F =~P8L2P = X-pg (8,8/,3/4)2 = 0,725075 [kN/m] (2.4)

où Lp est la longueur non fissurée par flexion

Bien que les équations représentent adéquatement les mesures emegistrées lors de la

campagne, elles restent approximatives et spécifiques au site concerné. Selon l'équation

(2.4), la seule variable serait l'épaisseur qui est proportionnelle au nombre de degrés-jours.

Ce régime thermique étant dicté par les conditions de vent, de neige, de température de

l'eau en amont et de plusieurs autres facteurs. De plus, le pas de fissuration flexionnelle

découle d'équations qui supposent des conditions de terrain normales, définition plus ou

moins vague des conditions d'un site. Il faut également prendre en compte que le pas de

fissuration est associé à la limite élastique de la glace et par le fait même de la contrainte à

laquelle est soumise la glace. Pour certains couverts, les contraintes générées dans le

couvert de glace varient, ce qui peut entraîner un pas supérieur ou inférieur.

Cependant, Carter (1998) a introduit le concept des déplacements des blocs de glace et de la

rencontre des coins des blocs de glace lorsqu'il y a un changement de niveau d'eau. De


plus, il a observé deux phénomènes importants, soit la présence de fissuration

circonférentielle et le fait que les forces statiques sont parfois suffisantes pour engendrer le

flambement du couvert. U s'agit d'une avenue intéressante pour expliquer la génération de

poussée de la glace sur les ouvrages. Enfin, il a soulevé le point que les charges de glaces

ne sont pas uniformes sur l'épaisseur ni sur la longueur de la face du barrage ce qui sera

appelé le concept de l'indentation. Il soulève également que la continuité du contact entre

les morceaux de glace doit être remis en cause.

2.1.8. Comfort Comfort (2003) a participé à une importante campagne de mesure de 1991 à 2000 et a

développé des méthodes empiriques pour évaluer la poussée de la glace sur les barrages. Il

a observé, lors de cette campagne, que les fluctuations de niveau d'eau sont très

importantes dans les mécanismes de génération de poussée de la glace. Il a analysé les

effets de divers phénomènes sur la poussée tels que les changements de température, les

précipitations, la vitesse de changement de température et l'épaisseur de glace. Toutes ces

observations sont directement liées aux données recueillies et expliquent la plupart des

événements de poussée.

Afin d'évaluer la poussée de façon mathématique, Comfort (2003) tente de prédire la

poussée thermique à l'aide d'équations se basant sur le profil de température. En calculant

l'aire Ai entre deux profils de température dans la glace et en entrant cette valeur dans

l'équation suivante, il obtient les charges résiduelles LLresiduai avant un événement

thermique.

LLlotal = ^L^ther + '-■'-■residual + '-^contingency - _.

LIw^=-0 ,0528A. +21,37

où Ai est exprimé en °C cm et LL en kN/m

Il s'agit d'un développement basé sur l'ajustement statistique des points d'une courbe afin

d'obtenir une relation empirique et il en va de même pour la plupart des équations

suggérées par Comfort (2003). Bien que ce type d'équations donne des résultats cohérents


avec les phénomènes observés, elles restent spécifiques aux sites et aux hypothèses

retenues.

Puisque la campagne de mesure a duré plusieurs années, il était primordial d'observer les

fluctuations de la poussée de la glace en fonction des conditions environnantes. Une

analyse probabiliste des épaisseurs de couvert de neige et d'autres paramètres a été

effectuée en se basant sur la température moyenne de l'air, l'épaisseur de neige au sol et les

précipitations liquides. De ces valeurs, il obtient, à partir de ses modèles, l'épaisseur de

neige et de la glace. U estime ensuite le profil thermique dans la glace puis l'aire entre les

deux courbes de profil pour un événement donné. À partir des données de la campagne de

mesure, il calcule la probabilité de dépassement des aires entre les courbes. Finalement, il

établit la charge totale à l'aide de sa première équation. Cette méthode est l'une des

premières qui tiennent compte de la probabilité statistique d'un événement. Cependant, le

lien de proportionnalité entre les différents paramètres est basé sur des méthodes

empiriques qui dépendent du site à partir duquel elles ont été évaluées.

2.1.9. Song Suite à des essais de fluages, Song (2007) rapporte que, lorsque les contraintes sont

inférieures à environ 200 kPa, le processus de dislocations change. Il suggère qu'il existe

une valeur de transition à laquelle la glace flue suivant une relation de Norton plutôt qu'une

équation de puissance telle que celle d'Arrhénius. La différence principale entre les deux

types de fluage est l'ordre de l'exposant qui passe de trois à un ou deux. L'énergie

d'activation demeure sensiblement la même. De plus, la valeur de transition varie selon la

densité de dislocations dans la glace plutôt que par le chevauchement de dislocations. Cet

article est trop récent pour être considéré dans le présent projet puisqu'il s'agit d'une

observation. Or, il faut garder en tête que les valeurs des coefficients de fluage définis par

Barnes et coll. (1971) sont peut-être erronées.

2.1.10. Sand La thèse de doctorat de Sand (2008) traite de la modélisation numérique par éléments finis

de la poussée de la glace sur les structures en haute mer. Il a modélisé, à l'aide d'ANSYS,

les différents comportements mécaniques de la glace contre différentes structures en mer.

La principale différence entre son étude et ce projet est au niveau des conditions de glace. Il


est en présence d'une glace permanente de mer qui n'est pas comparable à celle en

réservoir. Plus particulièrement, parce que les événements sont plus rapides et de plus

grande amplitude, la glace se retrouve rapidement à des niveaux de contraintes se situant

au-delà de la limite de rupture de la glace. Dans le cas des réservoirs, les phénomènes sont

lents et la glace demeure généralement à des niveaux et vitesses de variation de contraintes

faibles.

Au niveau de la modélisation, il explique les problèmes qu'il a rencontrés et comment ils

ont été corrigés en plus de mettre au point un modèle constitutif complet basé sur la théorie

de la plasticité. U présente également des solutions théoriques à divers problèmes courants

à l'aide d'équations empiriques.

2.1.11. Schulson et Duval L'objectif de Schulson et Duval (2009) est de présenter la glace en tant que matériau et

pousse plus loin le développement rhéologique de la glace. Us réussissent à expliquer la

variabilité des divers paramètres mécaniques de la glace et les phénomènes affectant son

comportement. Dans le cadre d'une étude plus poussée sur le comportement de la glace et

l'évaluation des paramètres mécaniques, ce livre serait une référence majeure. Cependant,

ce projet ne traite pas de l'évaluation des paramètres mécaniques et il sera considéré que les

valeurs de Barnes et coll. (1971) sont valides. Les équations présentées dans Schulson et

Duval (2009) sont du même type que celle de Barnes et coll. (1971).

t .AB&i!tf (2.6) kl {GJ

où A est un constante, Dv le coefficient de diffusion, G le module de cisaillement, b le

vecteur de Burgers, k la constante de Boltzmann, T la température, o- la contrainte et n

l'exposant de contrainte.

Dans le cadre de ce projet, l'équation de Glen (équation 2.1) et les paramètres de Barnes et

coll. (1971) sont choisis pour leur simplicité et du fait qu'ils sont bien documentés dans la

littérature.

Campagne de mesures 14

3. CAMPAGNE DE MESURES Afin de répondre à la problématique posée précédemment, une des avenues possibles est la

prise de mesures in situ sur les couverts de glace dans l'objectif d'évaluer la poussée de la

glace sur les barrages. Ainsi, plusieurs techniques alternatives ont été retenues par le groupe

de recherche et ce mémoire traite principalement de l'utilisation des panneaux Carter

fabriqués par Geokon (Lebanon, N.H.). D'autres techniques ont été utilisées telles que

l'acquisition des déformations à l'aide de la photogrammétrie, le repérage de prismes

réflecteurs par l'utilisation d'une station totale robotisée et les mesures de contraintes à

l'aide de jauges de type BP (British Petroleum). Ces techniques sont en utilisation et ont

fait l'objet de publications de la part des divers intervenants au sein du groupe de recherche.

Entre autres, Spatial-temporal variability of ice forces par Morse (2011), Measurement of

ice thrust on dams par Tarras (2009) et Ice interactions at a dam face par Morse (2009).

D'autres articles paraîtront prochainement dont Stress and Strain dynamics in a hydro

electric reservoir ice sheet par Morse (2011) et Ice Loading at Arnprior and Barrett Chute

Dams par Taras (2011). Également, Pratt (2010) a écrit un mémoire sur le déplacement des

couverts de glace et Bisanswa (2011) un mémoire sur la poussée de glaces en 2009 sur les

barrages de la rivière St-Maurice.

La littérature est remplie de résultats provenant de campagnes de mesures qui ont été

effectuées au cours du siècle dernier. Bien qu'elles traitent toutes du comportement de la

glace, les objectifs spécifiques de chacune diffèrent. Certaines souhaitaient établir la valeur

de la poussée maximale de la glace alors que d'autres voulaient expliquer le comportement

de la glace. S'ajoute à cette pluralité, l'aspect naturel du sujet à l'étude augmentant la

variabilité des conditions expérimentales liées au site choisi, à la dynamique du couvert ou

au type de glace. Des expériences en laboratoire ont été effectuées pour reproduire les

conditions de glace et évaluer la poussée maximale, entre autres au bassin du Conseil

national de recherches Canada (CNRC) à Ottawa par Comfort et coll. (1994), mais il s'agit

d'études dans des environnements contrôlés.

Les objectifs pour cette campagne de mesure sont l'évaluation des forces sur le barrage-

poids en fonction du temps et de l'espace et l'évaluation de l'interaction entre les

fluctuations de niveaux d'eau et la poussée ainsi que la prise de mesure qui serviront


d'intrants pour la modélisation numérique. De façon plus globale, cette campagne s'inscrit

dans le cadre d'une série de campagnes qui seront menées par une équipe de l'IREQ,

composée de Alain Côté, Roger Lupien, André Tarras et autres collaborateurs, et une

équipe de l'université Laval, composée de Brian Morse et Mario Fafard, afin de mieux

connaître la poussée de la glace en comparant les mesures entre chacun des sites et années.

3.1. Installation et équipements La campagne de mesure de l'hiver 2008 à La Gabelle a été planifiée par une équipe de

l'IREQ, en collaboration avec différents intervenants universitaires et privés. Le choix de

ce barrage a été effectué en évaluant divers critères. Tout d'abord, il fallait un site

facilement accessible en voiture, ceci limitant la distance à parcourir à quelques centaines

de kilomètres de Québec ou de Montréal. Plus important encore, il était primordial que les

conditions de glace soient stables, c'est-à-dire que le couvert se forme au début de l'hiver et

y reste jusqu'au dégel afin d'assurer la continuité de la prise de mesure. Si ce critère n'avait

pas été respecté, il n'aurait pas été possible d'évaluer l'impact de la température sur la

poussée de la glace. Également, il fallait que la géométrie du barrage permette l'accès au

couvert pour les équipes chargées de mettre en place les instruments. Il fallait que le

couvert atteigne et maintienne une certaine épaisseur de glace tout au long de l'hiver pour

assurer la sécurité de ces équipes. L'emplacement des prises d'eau pour les turbines joue un

rôle important dans la formation du couvert puisque généralement il ne se forme pas de

glace devant celles-ci dû à la grande vitesse de l'écoulement hydraulique. Il fallait que le

barrage soit en exploitation et que les fluctuations de niveau d'eau soient supérieures à

quelques centimètres.

3.1.1. Emplacement du site Le barrage de La Gabelle est situé à 22 kilomètres au nord-ouest de la ville de Trois-

Rivières sur la rivière Saint-Maurice tel que montré à la figure 1. Environnement Canada

(EC) opère une station météorologique à Trois-Rivières et ces données seront utilisées

comme référence.

Le barrage se sépare en trois parties principales soit les évacuateurs de crues, la centrale

hydro-électrique et le barrage-poids. Pendant l'hiver, la vitesse de l'eau, plus rapide au


centre de la rivière par rapport aux berges, peut affaiblir le couvert de glace

perpendiculairement au barrage tandis le couvert est stable de chaque côtés de cette voie.

S*nt-M«m*u duP»ic Sbawinigan

S»in«*-Ann«-au-S«ulI

Figure 1 — Carte géographique de la Gabelle

C'est la partie nord-est, soit celle du barrage-poids qui a été instrumentée au cours de

l'hiver 2008. La rivière fait environ 475 mètres de largeur et le barrage-poids en occupe 90

mètres.

3.1.2. Equipements Étant donné les ressources limitées et les données à recueillir infinies, des choix

stratégiques ont dû être faits. En premier lieu, seul le barrage-poids a été instrumenté

puisque c'est cette partie qui est la plus accessible, la plus épaisse et la plus stable. De plus,

c'est cette section qui est conçue pour reprendre la poussée de la glace. En fait, plusieurs

chercheurs ont montré une corrélation entre l'épaisseur du couvert de glace et la magnitude

de la poussée : plus la glace est épaisse, plus grand sera le maximum de poussée. Onze

panneaux Carter (figure 3) ont été installés sur 41,2 des 90 mètres de la face du barrage-

poids tel qu'illustré à la figure 2. Un panneau a été placé dans le couvert de glace à plus ou

moins huit mètres de la face du barrage, mais ne fait pas partie des objectifs de ce mémoire.


De plus, 15 jauges biaxiales ont été placées dans le couvert de glace face au barrage-poids à

différentes hauteurs dans la glace. Le coin formé par le barrage et la rive gauche n'a pas été

instrumenté, car le niveau d'eau n'est pas très élevé et la rive interfère nécessairement dans

la distribution des contraintes.

<D

31° Rivière St-Maurice

Amont

HUB Panneaux Carter

« Jauges biaxiales

Figure 2 — Disposition des appareils de mesure

Les panneaux ont été attachés à l'aide de chaînes reliées au garde-corps au haut de

l'ouvrage. La hauteur du haut du panneau par rapport au haut du barrage a été mesurée

ainsi que leur espacement par rapport au coin du barrage, entre les panneaux 2 et 3. De

cette façon, il est possible de localiser chacune des cellules par rapport au barrage.

L'installation s'est faite en deux moments soit l'installation des panneaux 1, 5 et 8 à partir

d'un bateau avant le début de l'hiver et les autres panneaux, entre les 5 et 7 février. Puisque

le couvert de glace était déjà formé, il a fallu casser la glace pour insérer les panneaux entre

le barrage et le couvert. La glace s'est reformée très rapidement. Bien que cette opération

ait créé une discontinuité temporaire, l'influence à long terme est considérée faible puisque

la glace flue rapidement. Afin d'obtenir des résultats, il était important que la cellule du

haut soit dans la glace (figure 4).


Tableau 1 — Liste des équipements mis en place

# Ecart au coin (m)

Distance absolue (m)

Élévation cellule 1 (cm)

1 -7,80 0 31,602 2 -3,06 4,74 31,632 3 0,80 8,60 31,462 4 4,40 12,20 31,532 5 8,14 15,94 31,552 6 12,31 20,11 31,642 7 16,27 24,07 31,462 8 19,96 27,76 31,552 9 24,06 31,86 31,562 10 27,80 35,60 31,542 11 33,40 41,20 31,532

3.2. Analyse des panneaux Carter Les panneaux Carter ont été conçus par Donald Carter et Ed

Stander et utilisés dans les années 1990 afin de mesurer la

poussée de la glace sur la face d'un ouvrage, et ce, en quatre

points équidistants à l'aide de cellules remplies de glycol. Les

panneaux sont fabriqués par Géokon. Lorsqu'une pression est

appliquée sur une cellule, le fluide se déplace dans un tube

qui lui est rattaché, ce qui permet de mesurer la pression

exercée sur la cellule. Les panneaux sont en acier pour éviter

qu'ils ne se déforment, ce qui fausserait les données. Dans le

cas présent, les panneaux étaient suspendus par des chaînes et

s'adossaient au barrage. Lorsque la glace s'est formée, ils ont

été coincés entre le couvert et le barrage. Un des défauts de

ces panneaux est qu'ils mesurent très mal la traction. En fait,

la capacité de mesure en traction se limite à la force

nécessaire pour arracher la glace du métal de la cellule, valeur

qui est très faible. La photo de la figure 3 prise au laboratoire

montre un panneau Carter avec ses composants. Ces panneaux

font 102 cm de hauteur et les cellules font 200x100 mm. Figure 3 — Panneau Carter


Les données ont été recueillies par Ed Stander du SUNY Cobleskill College. Ce dernier les

a analysés, convertis en pression et transférés dans des fichiers Excel afin de les remettre à

l'équipe de travail IREQ/UL. Puisque la température fluctue au cours de l'hiver et de façon

journalière, il est nécessaire d'effectuer une correction sur les valeurs mesurées. Cette

correction tient principalement compte de la fluctuation de la densité du fluide et de la

contraction thermique des composants du panneau et a été effectuée par Ed Stander. Il y a

une donnée prise toutes les 15 minutes, et ce, pour les 4 cellules de chacun des 12

panneaux.

3.2.1. Calcul de la poussée sur la face du barrage Les données recueillies sont des valeurs ponctuelles de poussée mesurées au niveau des

cellules. Afin d'évaluer la poussée sur la face du barrage, une aire tributaire est allouée à

chacune des cellules. La hauteur de cette aire est fixée par les extrémités des panneaux ou

par la mi-distance entre les cellules. Cette simplification est effectuée, car la hauteur et la

stratification exacte de la glace ne sont pas connues. La valeur de pression imposée à

l'extrémité inférieure est zéro kilopascal puisque cette partie est dans l'eau. L'extrémité

supérieure est imposée égale à la valeur de la cellule du haut. Il faut faire attention dans les

cas où la glace fait moins d'un mètre d'épaisseur puisqu'il est alors possible qu'aucune des

extrémités du panneau ne soit libre de pression en étant soit dans l'air ou dans l'eau. Dans

le cas où une analyse semblable devait être répétée avec des panneaux de taille différente, il

serait important de réviser ces hypothèses et simplifications afin d'évaluer la pression de la

glace. Lorsque le profil de pressions est établi, il ne suffit que de l'intégrer par rapport à la

hauteur du panneau pour obtenir la charge linéaire verticale. La largeur de l'aire tributaire

est établie selon la distance centre à centre des panneaux tandis que pour les deux panneaux

d'extrémités, la moitié de la distance centre à centre moyen des panneaux est utilisée. En

intégrant les charges verticales linéaires de chaque panneau selon leur largeur tributaire, on

obtient la force totale exercée sur le barrage. Finalement, il reste à diviser cette force

résultante par la somme des aires tributaires pour obtenir la pression moyenne.

P = v = ? ~ ffo-dhdL (3.1) LA


où L est la largeur tributaire d'un panneau, h est la hauteur du panneau, a est le profil de

contrainte sur le panneau, Ai est la somme des aires tributaires des panneaux.

Pour avoir la force par mètre linéaire, il suffit de multiplier la pression obtenue

précédemment par la hauteur moyenne des panneaux. La poussée équivalente de chaque

panneau s'effectue de la même manière sauf que l'intégration se fait sur un seul panneau et

donc l'aire tributaire du panneau varie. Pour illustrer la situation, la figure 4 représente les

aires tributaires de chaque cellule et la figure 5, le profil d'intégration de la poussée. Ce

dessin n'est pas à l'échelle et ne représente pas nécessairement la situation observée lors de

cette campagne.

COUVERT DEGLACE

|

Figure 4 — Représentation schématique de l'emplacement des panneaux Carter

3.2.1.1. Intégration

L'intégration de la force peut se faire de plusieurs façons différentes. Précédemment, il a

été dit que la valeur au haut des panneaux était égale à celle de la cellule inférieure. Ceci

implique que la méthode de sommation par rectangle n'est pas applicable, car il y aurait

une surévaluation de la poussée au haut des panneaux si la valeur est non nulle. Il en va de

même pour une extrapolation des valeurs vers le haut et le bas. L'idéal aurait été d'avoir

une densité de point importante permettant d'établir une courbe de pression afin d'obtenir

la mesure la plus précise. La hauteur z du panneau illustré dans la figure 4 a été tenue pour

compte dans les calculs en diminuant ou augmentant la hauteur du bloc sous la courbe de

contrainte. Dans ce mémoire, la méthode de la sommation des aires de trapèzes s'applique

telle que montrée à la figure 5. De plus, cette méthode est incluse dans Matlab assurant la


compatibilité entre les versions du logiciel permettant d'utiliser le code pour d'autres séries

de données.

Figure 5 — Représentation de la poussée de la glace sur un panneau Carter

3.2.1.2. Résultats La donnée d'intérêt est la poussée de la glace exprimée en kN/m. La méthode décrite

précédemment permet d'évaluer la pression moyenne ou uniforme sur la face du barrage.

Pour obtenir la charge par mètre linéaire de barrage, il suffit de multiplier la pression

moyenne par la hauteur d'application soit la hauteur des panneaux. En fait, il faudrait le

faire par rapport à la hauteur de la glace, mais puisque l'intégration a été faite en suivant

l'hypothèse des aires tributaires, il faut prendre la hauteur de ces aires. Afin d'augmenter la

précision de la poussée de la glace évaluée, il faudrait augmenter la densité de points de

mesure. Les données ont été emegistrées entre le 18 décembre 2008 à 11 h 30 et le 17 mars

2008 à 15 h et sont présentées à la figure 6 en terme de poussée linéaire en fonction du

temps. La période du 18 décembre au 12 février ne comptait que 3 des 11 panneaux tandis

que pour le reste de l'hiver, les mesures ont été enregistrées avec tous les panneaux.

On discerne sur la figure 6 plusieurs événements de courte durée, mais de forte intensité

comparativement à la tendance générale plutôt faible. La poussée n'est pas constante et

fluctue rapidement. La médiane de poussée de la glace s'établit à 5,54 kN/m, la moyenne, à

11,45 kN/m et l'écart type est de 12,71 kN/m. Ces données statistiques montrent que la

plage de données théoriques serait de -1,26 à 24,16 kN/m. Cependant, la distribution n'est


pas normale puisqu'en fait, les quartiles de la série de données sont respectivement de

-9,53, 1,60, 18,60 et 44,09 kN/m tel qu'illustré dans la figure 7.

100 r

Poussée de la glace en fonction du temps 3 panneaux ^ ^ 11 panneaux

12/24 01/03 01/13 02/02 Date [m/j]

03/23

Figure 6 — Distribution de la poussée intégrée de la glace dans le temps

On remarque que plusieurs données sont présentes à l'extérieur du quatrième quartile. Ceci

est dû à la grande quantité de données de faible intensité. En fait, sur les 90 jours

d'acquisition, il n'y a que l'équivalent de 2,09 jours où les valeurs étaient supérieures à

44 kN/m soit moins de 2,5 % du temps. Également, les trois premiers quartiles couvrent

une plage de 28,13 kN/m (18,60 moins -9,53) comparativement à 25,49 pour le quatrième

quartile. Cette disproportion illustre bien le fait que la poussée se trouve généralement près

de la moyenne. Une étude de la distribution de la fréquence de la poussée, telle qu'illustrée

à la figure 8, permet de mieux comprendre le phénomène. Tous ces résultats démontrent

que la poussée de la glace est généralement faible, mais que ce sont de rares événements

qui poussent les concepteurs d'ouvrages hydrauliques à utiliser de grandes valeurs de

poussée de la glace. Les valeurs négatives ont été retirées pour ne traiter que de la poussée

proprement dite.

Campagne de mesures 22 »

Distribution des valeurs de poussée

i : i ! i i 1

i

+ + +

i 1

i

+ + +

i !

i 1

i

+ + +

l 1 i i !

i 1

i

+ + +

•10 10 20 30 40 Poussée (kN/hi)

53 70 80

Figure 7 — Distribution par quartiles de la poussée de la glace Fréquence des poussées

-i i i_ 045 5410 10*15 15420 20425 25430 30435 35440 40445 45450 50455 55460 60465 65470 70475 7548

Poussés ds ls glace (kN/m)

Figure 8 — Histogramme de la poussée de la glace par plage d'intensité

On distingue 26 valeurs de poussée supérieures à 60 kN/m. De ces valeurs, la poussée

maximale est de 77 kN/m et s'est produite le 25 février à 18 h 45. Il s'agit également de

l'événement au cours duquel la poussée s'est maintenue supérieure à 60 kN/m le plus

longtemps. Ces 26 valeurs se séparent en cinq événements distincts soit les 14 janvier à

14 h 15, 23 janvier à 2 h, 13 février à 11 h 15, 24 février à 21 h 30 et 25 février à 18 h. Ces

événements ont été regroupés dans la figure 9 présentant la poussée de la glace en fonction

du temps. Les événements sont centrés par rapport à un temps zéro correspondant à la

valeur maximale de la période d'observation.



-1h 0 +1h Intervals de terrtps

+2h «Sh +te

Figure 9 — Variation de la poussée maximale dans le temps

Le plateau formé par la courbe verte est un cas spécial qui est traité dans la section 3.2.2 qui

présente la Corrélation entre la fluctuation de niveau d'eau et la poussée de la glace à la

page 28. Il est intéressant de remarquer que quatre des cinq courbes ont une forme

semblable : une situation stable suivie d'un pic de poussée qui s'estompe pour revenir

pratiquement à la même situation qu'avant l'événement. De plus, l'augmentation de

poussée est fulgurante puisqu'en environ une heure, la poussée double ou triple. Ce

graphique met en évidence le comportement mécanique de la glace. La partie élastique

explique l'augmentation rapide des contraintes dans la glace alors que l'effet visqueux et/ou

la diminution de la charge expliquent la dissipation de la poussée de façon plus lente et

soutenue.

Un autre phénomène intéressant qui a été observé lors de cette campagne de mesure est la

non-uniformité de la poussée de la glace sur les différents panneaux. Alors qu'un panneau


présente une poussée nulle, un panneau voisin peut présenter une valeur très élevée. La

figure 10 présente la distribution de la poussée de la glace pour les panneaux 1, 5 et 8 au

cours de l'hiver 2008. Par exemple, les événements de la semaine du 3 janvier,

lorsqu'intégrés et extrapolés, atteignent un maximum de 58 kN/m. Or, la moyenne par

panneau des panneaux 1 et 8 emegistrent des valeurs n'excédant pas 20 kN/m alors que la

moyenne du panneau 5 dépasse la barre des 40 kN/m. Il est donc possible qu'une des

cellules ait été trouvée chargée de façon importante alors que les autres l'étaient faiblement

affectant ainsi la moyenne.

La situation inverse est également présente. Par exemple, dans la semaine du 22 février, où

il y avait 11 panneaux, la poussée maximale a atteint 77 kN/m alors que les panneaux 1, 5

et 8 n'ont pas dépassé 40 kN/m. La valeur maximale a donc été atteinte sur d'autres

panneaux que ceux représentés dans la figure 10.

3.2.1.3. Discussion

Les résultats de la campagne de mesure mettent en évidence divers phénomènes observés

au cours de l'hiver. En premier lieu, la moyenne de poussée de la glace est beaucoup plus

petite que la poussée maximale emegistrée. Moins de 2,5 % des événements de poussée se

situent au-delà de 48 kN/m. Il est évident que c'est la poussée maximale qui gouvernera le

design d'un ouvrage hydraulique, mais à la lumière de ces résultats, on peut se demander

qu'elle est la probabilité qu'un tel événement se produise et s'il vaut la peine, en terme de

risque acceptable, de concevoir l'ouvrage pour y résister. Comparativement à la littérature,

qui ne présente généralement que la poussée maximale d'un hiver complet, Confort (2003)

par exemple, les données de cette campagne de mesure sont présentées en fonction du

temps. C'est possiblement une des raisons qui permet de comprendre pour quelle raison le

barrage Seven Sisters dam est toujours debout malgré la poussée maximale gargantuesque

de 374 kN/m mesurée à l'hiver 1997-1998 (Confort 2003).


S

a

Z - «> » i i I ï

CL a Q. Q.

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[LU/N^] asjBsiui asssnod

? S o —I 1 1—

____ o -f-

I L o n S S S S 8

[m/NPil neâuued jed e^ssnc-d

J L

CM 0) O «S

Q

-s

J=£

Figure 10 — Comparaison de la poussée par panneau à la poussée intégrée


En posant l'hypothèse qu'il ne s'agisse que d'une valeur ponctuelle qui s'est produite

possiblement une seule fois au cours de l'hiver et non d'une poussée continue durant

plusieurs jours, il est peu probable que cet événement soit survenu en même temps qu'un

événement majeur causé par un autre type de charge. Suivant cette logique, il est important

de connaître la distribution statistique des charges de glace afin d'évaluer le risque. Pour La

Gabelle 2008, comme le démontrent les résultats présentés précédemment, à peine 5 % des

valeurs sont supérieures à la moitié de la poussée maximale calculée. Toujours selon cette

hypothèse et en appliquant les mêmes proportions à la campagne de 1997-1998, ceci

impliquerait que seulement 5 % des événements de poussée seraient supérieurs à

187 kN/m. La valeur de 150 kN/m prescrite par l'ACB (2007) semble inappropriée non pas

à cause de son ordre de grandeur, mais de par son manque de variabilité et l'impossibilité

d'évaluer le risque qui en découle. En effet, il est illogique de croire que tous les barrages

subiront la même poussée puisque leurs geometries sont distinctes, mais surtout à cause de

la disparité des conditions environnantes à chacun. Une des hypothèses de ce mémoire est

qu'une nouvelle approche, basée sur les méthodes statistiques telles qu'employées dans

diverses normes de la CSA, est nécessaire pour définir les charges de glace et une ébauche

sera présentée plus loin dans ce mémoire dans le but d'amorcer une réflexion sur la

détermination de la poussée de la glace sur les barrages.

Deuxièmement, lorsque l'on observe de plus près les graphiques de la poussée de la glace,

il apparaît une similarité entre les différents événements de poussée. Ils sont souvent

composés d'une montée rapide suivie d'un retour à la normale plus lent. L'ACB stipule que

la poussée de la glace est majoritairement contrôlée par des événements thermiques ce qui

devrait produire des variations de poussée de la glace plus lentes et soutenues selon une

courbe sinusoïdale. Cependant, un exercice de comparaison entre les fluctuations de niveau

d'eau, qui sera présenté ci-dessous, et la poussée de la glace montre une certaine corrélation

entre les deux phénomènes.

Également, la littérature présente la glace comme un matériau viscoélastique et les résultats

présentés ci-dessus présentent un comportement similaire à ce geme de matériau, lorsque

contraint. Des calculs mathématiques basés sur des méthodes numériques seront effectués

pour tenter de mettre en relation les propriétés matérielles de la glace et la poussée


enregistrée. Le temps semble être au cœur des phénomènes de poussée à cause de l'aspect

transitoire associé au comportement viscoélastique. L'approche adoptée tentera d'expliquer

ce qui cause l'augmentation rapide de la poussée.

Un autre phénomène mis en évidence est l'indentation, c'est-à-dire la distribution de la

poussée de façon non uniforme dans l'espace et dans le temps. Les résultats par panneaux

montrent bien que la poussée n'est pas uniforme sur la face du barrage. Sans expliquer ce à

quoi est due cette variabilité, ce qui a priori est purement géométrique, une analyse

statistique de la distribution de la poussée sur les différents panneaux sera présentée ci-

dessous en plus d'un graphique mettant en évidence l'influence du nombre de panneaux

d'acquisition.

3.2.2. Corrélation entre la fluctuation de niveau d'eau et la poussée de la glace Avant les années 90, différents auteurs suggéraient que la poussée de la glace soit presque

uniquement due aux fluctuations de température. Les résultats obtenus lors de cette

campagne de mesure et dans la littérature, Carter (1998) entre autres, montrent que la

fluctuation des niveaux d'eau à une importance cruciale. La poussée est générée par deux

paramètres principaux soit l'expansion thermique et les déformations du couvert et il n'est

pas possible de les dissocier complètement. C'est pourquoi les résultats ci-dessous

présentent la poussée totale indépendamment de leur mécanisme de génération tel que

proposé par Carter. Une équation de base de la mécanique est la relation contrainte

déformation. Ainsi, si un mouvement se produit dans le couvert qui cause une déformation,

les panneaux Carter devraient enregistrer une poussée. La fissuration dans le couvert nuit à

cette proportionnalité, car le couvert à un peu d'espace pour se déplacer sans développer de

contraintes internes. Lorsque cette fissure est close, le couvert commence à se déformer

créant des contraintes. La largeur de cette fissure, qui varie en tout temps, explique en

partie le décalage plus ou moins grand entre le pic de fluctuation de niveau d'eau et la

poussée. De plus, il faut garder en tête que le déplacement fluctue en terme de vitesse.

La figure 11 présente les cinq pires événements de poussée enregistrés au cours de l'hiver.

Les lignes pointillées, agencées par couleur à l'événement, représentent la fluctuation de

niveau d'eau. En observant la courbe bleu foncé, par exemple, on observe que le pic de


poussée s'est développé en une heure et demie passant de 11 kN/m à 53 kN/m. Le niveau

d'eau à fluctuer au cours de la même période passant de 31,15 m à 31,25 m. La poussée a

cessé d'augmenter lorsque le niveau d'eau à cesser d'augmenter. Ces corrélations ne sont

pas exactes dues à l'influence d'autres facteurs tels la température, le fluage de la glace et

le phénomène d'indentation. De plus, les fluctuations de niveau d'eau à la baisse sont

également génératrices de poussées de glace. La courbe rouge ne présente pas un

comportement semblable aux autres puisque la poussée se maintient à un niveau élevé

pendant plus de deux heures. Ceci pourrait être dû à un taux de déformation égal au taux de

fluage impliquant que toute dissipation de contraintes est annulée par la génération de

nouvelles contraintes.

Ces observations ne sont pas statistiquement définies puisque la nature même des

mécanismes de déformation ne permet pas de séparer les phénomènes d'origine thermique

des mécaniques. Un des objectifs de la modélisation numérique est de pouvoir analyser les

déformations dans les couverts de glace selon leur origine. Le tableau 2 présente les durées

de montée et descente de la valeur de la poussée de la glace en se basant sur la figure 11

ainsi que le ratio entre la durée de descente et de montée. Il apparait que ce ne sont pas les

mêmes ratios entre les différents événements. Le fluage et la diminution du chargement

peuvent expliquer des fluctuations de ces ordres de vitesses.

Tableau 2 — Vitesse relative des événements de poussée majeurs

Date Durée de la montée (h)

Durée de la descente (h)

Ratio descente/montée

14 jan 1,5 4 3 23 jan 3 4,5 1,5 13 fév 1,2 0,5 0,4 24 fév 1 1 1 25 fév 1,5 3 2



0 1 Intervalle de temps (h)

Figure 11 — Valeurs maximales de poussée par rapport au niveau d'eau

3.2.3. Corrélation entre la vitesse de fluctuation et la poussée de la glace Lorsque l'on observe les courbes de poussée de la glace, il y a un phénomène qui dissipe

les contraintes. Un des phénomènes plausibles est le fluage qui semble être d'une

importance capitale puisqu'il expliquerait presque en totalité le fait que la poussée est

brusque et courte. En fait, lorsque l'on déforme un matériau de façon élastique instantanée

et qu'il est près de son point de fusion, il s'en suit une dissipation visqueuse des contraintes

afin de revenir à un état de contrainte presque nulle. Ce phénomène est plus ou moins

rapide selon la contrainte appliquée : plus elle est élevée, plus elle est rapide. C'est

pourquoi le retour à l'équilibre dans la figure 11 se fait selon une équation rationnelle pour

atteindre une valeur qui ressemble à une asymptote. En fait, c'est que la déformation

visqueuse devient si lente qu'un autre événement élastique instantané a le temps de se

produire avant que la contrainte d'un précédent événement soit totalement dissipée. Le

comportement mécanique de la glace sera discuté plus longuement dans le prochain

chapitre. Les résultats de cette campagne de mesure mettent en évidence une dissipation

systématique des contraintes après chaque événement de poussée entre autres à l'aide des

graphiques en dent de scie et celui de la figure 12. Un des phénomènes naturels expliquant


cela est le fluage qui agit directement sur la poussée de la glace. Contrairement à différents

auteurs qui présentent la poussée de la glace comme étant une approximation en fonction

que de l'épaisseur de glace, tel Carter (1998), le fluage dépend de la nature des matériaux,

mais surtout de la vitesse des phénomènes. Sur la figure 12, aucune courbe de tendance n'a

pu être établie avec un coefficient de détermination R2 supérieur à 0,25.

140

120

£ .100

eo §80

a TJ Seo

ro > *. 4 0

20

1

O

8

x

o


û *

o

_ L

O I4-JKI

* 23-j»n

a 13-Htv

♦ 24.1e. X 25-(év

20 30 Taux de fluctuation de niveau d'eau (cm/h)

40

Figure 12 — Comparaison de la variation de la poussée par rapport au niveau d'eau

Comme suggéré à la figure 13 des cinq événements majeurs de l'hiver, plus la vitesse de

fluctuation de niveau d'eau est grande, plus grande est la poussée. Il y a une multitude de

points qui se situe dans le coin inférieur gauche qui représente des fluctuations de faibles

amplitudes ou des événements thermiques mineurs. L'organisation des données en

colonnes est due à la faible précision dans le temps des données. L'acquisition se faisait

toutes les quinze minutes et la précision des appareils de niveau est de 1 cm. La fluctuation

de la vitesse de la poussée est liée à des phénomènes thermiques ou à la fluctuation de

niveau d'eau. Ceci est illustré dans la figure 13. Puisque toutes les données de l'hiver y sont

présentes, la densité de points est supérieure qu'à la figure 12 présentant seulement les cinq


événements principaux. Sur la figure 13, aucune courbe de tendance n'a pu être établie avec

un coefficient de détermination R2 supérieur à 0,25.

Influence de la température et des fluctuations de niveau d'eau sur la poussée 250

E 200

u 2. JS 150 TJ

I/O

| 1001 JS m •o ai 50 i V) (0 0)

t

!

t

4 X 10 20 30 40 50

Vitesse de fluctuation de niveau d'eau (cm/h) 60

5 » W U) (D

a (D

3 5 U

0J e *

3 5'

2 5 a.

' i Hi.s

l 0) F *

c O

O 10.5

Figure 13 — Influence de la température et du niveau d'eau sur la poussée

La couleur représente la vitesse de fluctuation de la température en degrés Celsius par

heure. Le bleu représente l'absence de fluctuation thermique alors que le rouge présente

une grande variation de température. On observe que la plus grande variation de poussée

est d'origine presque uniquement thermique étant située dans le coin supérieur gauche du

graphique. L'objectif de ce graphique est de montrer l'importance de la fluctuation de

niveau d'eau sur la poussée de la glace puisque plusieurs points bleus provoquent des

fluctuations de poussée supérieures à 50 kN/m/h. La vitesse de fluctuation de niveau d'eau,

de la température ou de pression s'effectue très simplement selon l'équation (3.2) où

l'intervalle de temps est de 15 minutes exprimé en heures.

v = P{t + \)-P(t)

Al (3.2)


3.2.4. Phénomène d'indentation Sanderson (1988) résume le phénomène d'indentation à un «phénomène de contact

imparfait et de ruptures non simultanées ». Bien que dans son livre il traite principalement

d'indenteurs rigides tel des piles de ponts, les couverts de glace de barrage hydrauliques

fissurent naturellement et de façon non uniforme Carter (1988) ce qui crée un contact

imparfait. L'indentation est, dans le cas qui est traité ici, un phénomène de contacts

imparfaits créés par l'apparition de fissures et de ruptures non simultanées. En ce sens, si la

glace ne fissurait pas, elle s'appuierait sur un barrage relativement lisse et n'offrant pas

d'arrêté indentatrices.

Tel que définit, le phénomène d'indentation vient de l'arrangement spatio-temporel de la

glace. En fait, la glace ne présente pas une arête rectiligne à la face du barrage, mais plutôt

une droite cassée ressemblant aux dents d'une scie. Lorsqu'une poussée se produit, la

pression sur le barrage se produit principalement là où les dents touchent la paroi

produisant une discontinuité de la poussée. Si on pose l'hypothèse que la poussée est

uniforme dans le couvert et que les dents-de-scie représentent 25 % de l'aire de contact du

couvert, la poussée sera 4 fois supérieure aux points de contact que dans le couvert. Ceci

expliquerait en partie les pics de poussée enregistrés par les panneaux Carter au cours de

l'hiver 2008. La contrainte atteinte pour ces dents peut être théoriquement infinie et

atteindre la limite d'écrasement de la glace entraînant l'affaissement de la dent et

redistribuant ainsi la poussée sur les dents adjacentes jusqu'à ce que la poussée devienne

uniforme sur le couvert. Il serait intéressant d'évaluer la relation entre la forme de la fissure

et l'importance du phénomène d'indentation.

3.2.4.1. Influence du nombre de panneaux Le problème principal lié à théorie de 1'indentation c'est qu'elle est difficilement

mesurable. En fait, le nombre de dents est infini, variable dans le temps et continu tandis

que les appareils de mesure sont limités en nombre et discontinus. Ainsi, si un événement

de poussée, pour une heure et un jour donné, se produit sur quelques dents étant placées

entre les appareils de mesure, la poussée ne sera pas captée par les instruments et il faudra

attendre que la glace se déforme et s'appuie de nouveau sur les panneaux Carter avant de

pouvoir observer une fluctuation numérique. Les images de la figure 14 proviennent d'une


vidéo qui a été créée à l'aide de Matlab et qui présente la valeur de poussée de la glace sur

les différentes cellules à la face du barrage. Chaque intersection de lignes noires sur la

surface en trois dimensions (3D) représente l'emplacement d'une cellule. La valeur de

pression est ensuite interpolée entre les points de donnée afin d'établir une surface de

pression. L'intégrale du volume sous la courbe donne la force appliquée contre le barrage.

C'est cette même méthode qui a été employée pour établir la poussée moyenne présentée

précédemment dans ce mémoire.

Pression Carter - 22 févrirer 2008 à 04:45 1000

Elevation (m)

305 -10 •5 0 5 10 15 20 25 30

Distance (m)

• 800

600

400

200

-200

Figure 14 — Distribution spatiale de la poussée de la glace

On remarque que si le barrage avait été instrumenté avec seulement trois panneaux aux

positions -9 m, 4 m et 24 m, la poussée moyenne serait pratiquement nulle. En fait, le

nombre de panneaux a une influence importante sur la poussée moyenne calculée. Ceci

n'est pas dû au hasard puisque la poussée est un phénomène continu mesuré de façon

discontinue.

La figure 15 représente l'enveloppe des moyennes des intégrations par panneaux de

poussée de la glace pouvant être obtenue lors d'une journée quelconque. Ce phénomène est

semblable pour l'ensemble des données recueillies. L'axe x présente le nombre de

panneaux considérés et chaque point vert est une moyenne. Par exemple, pour x égal à 10,

ceci indique que 10 des 11 panneaux ont été considérés tel que 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 et 11.


Une moyenne de poussée est calculée avec cette combinaison de panneaux. Remarquez que

dans l'exemple précédent, le panneau 6 n'a pas été considéré. Il y a 11 valeurs différentes

possibles si l'on considère 10 des 11 panneaux. Le nombre de combinaisons se calcule

facilement avec la formule des coefficients binomiaux (nCr). Ainsi, pour le cas 5 panneaux,

il y a 462 combinaisons possibles.

40 Identation selon le nombre de panneaux

35 \ i

a ~~~~ S~" — e^__

ô — ~ — - ^ 30 , e * S 8 ^ ^ ~ ~ ^ - - ^

I o >

i ^ ^ > ^ Z 25 S a ^ ^ ~ ~ ^ - ^ JC * ■ * i i o « u 8 S 20 - o Ol

1 S 1 § o 8 O

• 1 5 1 § o 8 O

| 10

1 § o 8 O

1 O O 8 - « - " 0. H ^ r r r - ^ ^

5 r-

o l g J^-""" '^

» g \ _ _ ^ ~ - * ^ ^ ^

0 i 8

-5 i i i i i i i i i 5 6 7 8

Nombre de panneaux considérés 10 n

Figure 15 — Phénomène d'indentation

Bien que non représenté pour la simple raison qu'il y aurait environ 8700 cônes à présenter

(un pour chacune des acquisitions aux 15 minutes), l'observation générale des cônes a été

effectuée. Il a été observé que le cône formé par les extremums des combinaisons varie

quasi linéairement pour certaines journées et quadratiquement pour d'autres. L'amplitude

pour le cas 1 panneau varie considérablement entre les différentes journées. Il est évident

que le nombre de panneaux influe la valeur de poussée maximale qui peut être emegistrée

lorsqu'une moyenne est calculée. En comparant ces résultats de la figure 10 à la page 26 de

la poussée de la glace, il est évident que plus le nombre de panneaux est élevé, plus la

moyenne aura une grande population pour être calculée. Il apparaît que le cône tend vers

une asymptote qui est plus ou moins définissable et qui dépend du nombre de panneaux

considérés. De plus, il est évident que d'installer un seul panneau peut facilement biaiser


les résultats d'une campagne de mesure. Ce phénomène de distribution de la poussée est

pourrait être lié au manque d'uniformité des fissures, de l'épaisseur et/ou de la nature du

couvert de glace. En bref, plusieurs variables temporelles et spatiales ainsi que l'importance

du phénomène d'indentation tel qu'illustré à la figure 15 portent à croire que la

considération d'une mesure maximale relevée en un point avec un seul instrument sur un

barrage n'est possiblement pas représentative de la poussée moyenne sur toute la largeur du

barrage.

3.2.5. Mise en équation du phénomène Contrairement à l'ACB (2007) qui recommande une valeur fixe de 150 kN/m pour la

poussée de la glace en l'absence de renseignements sur les conditions de glace, une

nouvelle approche de calcul est suggérée ci-dessous afin d'établir la poussée de la glace

pour un site en particulier en se basant sur des données disponibles ou qui pourraient l'être

de façon générique. L'idée principale est d'utiliser une équation paramétrique telle

qu'utilisée dans la plupart des codes nationaux pour quantifier des phénomènes naturels tels

que le vent, la pluie ou la neige (Code national du bâtiment 2005 ou Code des ponts

routiers 2006). Les paramètres suggérés ainsi que leurs valeurs sont à titre informatif et

cette équation ne doit pas être utilisée comme telle dans un but de conception. Plusieurs des

valeurs des coefficients sont fixées arbitrairement et ressemblent à d'autres normes. Il s'agit

d'une démarche académique qui cherche à mieux définir la poussée de la glace. Des

travaux plus avancés pourraient être entrepris pour mieux la définir. La formulation traite

de la poussée statique maximale de glace observée en janvier et février sur un seul barrage

durant un seul hiver. La prise de mesure sur plusieurs sites et années permettrait d'établir

une base statistique de référence. La fonte de la glace au printemps génère des forces

statiques inférieures selon les résultats observés pour l'année 2008 seulement, mais il faut

faire attention, car les forces dynamiques n'ont pas été évaluées (collision de morceau de

glace sur le barrage). Prendre note que toutes les valeurs proposées sont à titre indicatif

seulement.

3.2.5.1. Historique La méthodologie employée se base sur une approche statistique développée depuis

plusieurs décennies par la Canadian Standards Association (CSA). Par exemple, dans le


Code national du bâtiment du Canada 2005, la pression dynamique du vent sur les

bâtiments se calcule en considérant une pression dynamique de référence qui est multipliée

par quatre coefficients qui sont le coefficient d'élévation, d'exposition au vent, de rafale, et

de pression et en plus d'être multiplié par le coefficient d'importance civile. La pression de

référence est établie en effectuant une régression statistique basée sur des données

météorologiques d'environnement Canada datant de plusieurs décennies. De cette

régression, il est possible d'établir une pression dynamique ayant une période de récurrence

de 50 ans. En multipliant tous ces coefficients ensemble, on obtient la pression de vent qui

a une probabilité de dépassement de 5 %, une fois en 50 ans. Cette méthode est la même

pour la neige dans le Code national du bâtiment du Canada (CNBC). Des méthodes

similaires ont été employées par Cornett et coll. (1997), Carter (1998) et Morse (2001) pour

établir une poussée de la glace basée sur certains paramètres mesurables.

3.2.5.2. Charge due à la poussée de la glace Pour un barrage en condition nordique pour lequel se forme un couvert de glace, appliquer

horizontalement, par unité de longueur faisant face à l'eau au niveau moyen du réservoir, la

charge due à la glace obtenue avec l'équation suivante

Fi = qiipeCtCbCnCv

où les coefficients correspondent aux valeurs spécifiées ci-dessous.

q : La charge linéaire moyenne horaire de référence, qui serait basée sur les statistiques

climatiques compilées par Environnement Canada ou autres organismes (Hydro

Québec par exemple), de la glace avec possibilité de dépassement de 5 % pourrait

être prise sur une période de 100 ans pour un ouvrage de plus de 10 mètres de

hauteur ou 50 ans pour les ouvrages de moins de 10 mètres de hauteur.

Ii : Le coefficient d'importance de l'ouvrage vise à diminuer le risque pour les installations vitales ou présentant un risque de perte de vies humaines important. Par exemple :

1,25 : protection civile ou présence de population à moins de 5 km en aval

1,15 : structure importante ou présence de population à moins de 10 km en aval du barrage


1,00 : structure normale

0,80 : absence de risque environnemental, humain ou hydraulique.

Ce : Le coefficient d'élévation met en relation la poussée de la glace et la poussée

hydrostatique. La poussée de la glace est peu dépendante de la hauteur du barrage

tandis que la poussée hydrostatique augmente proportionnellement avec la hauteur

de l'ouvrage. he est la hauteur d'application de la poussée de la glace soit le niveau

d'eau moyen du réservoir.

C = A ± > 1 O

Ct : Le coefficient de température est fonction du nombre de degrés jours (mesure de la

différence entre la température moyenne d'un jour donné par rapport à une

température de référence) ce qui affecte l'épaisseur de la glace et par conséquent, la

poussée générée contre le barrage.

5 C, = 4902 est le nombre de degrés jours sous 0°C à Shawinigan, base de

' 4902

référence de calculs pour ce projet. Cette valeur pourrait être modifiée et rapportée à

un ou des points de référence plus centraux.

Cb : Le coefficient de facteur de berges du réservoir provient de l'hypothèse selon

laquelle des berges abruptes empêchent la déformation du couvert tandis que les

berges planes laissent la glace se déplacer librement.

Il s'agit de valeurs arbitraires tel qu'annoncé au début de cette section.

1,5 : les berges sont des falaises (pente supérieure à 60°) ou représentent un obstacle

à la montée de la glace sur celles-ci (grande densité forestière, route)

1,25 : les berges forment un angle entre 30° et 60°

1,15 : les berges forment un angle entre 15° et 30°

1,00 : berges plates et sans obstacles


Cn : Le coefficient d'épaisseur de neige est imputable au fait que cette dernière offre une

isolation à la glace réduisant l'épaisseur de la glace et l'impact des fluctuations

thermiques de l'air. Puisque l'isolation thermique diminue la poussée de la glace, ce

coefficient doit être fixé à 1,0 sauf s'il est jugé qu'un couvert de neige de plus d'un

mètre d'épaisseur, par exemple, soit présent tout au long de l'hiver, dans un quel

cas, le coefficient pourrait être diminué.

Cv : Le coefficient d'exposition au vent affecte la vitesse des échanges convectif s entre

l'air et la glace en plus de balayer la neige. Ceci a pour effet d'augmenter le taux de

déformation thermique et par conséquent la valeur de contrainte maximale atteinte.

Il s'agit de valeurs arbitraires tel qu'annoncé au début de cette section.

1,5 : zone grandement exposée, absence de colline à proximité

1,0 : zone normale

0,8 : vallée profonde et étroite

3.2.5.3. Précision sur la charge linéaire moyenne horaire de référence

Les méthodes pour évaluer les valeurs statistiques fiables sont nombreuses et la plupart

nécessitent de grandes quantités de données pour être valables. En fait, il est impossible

d'évaluer une valeur statistique d'un dépassement de 5 % sur 50 ans avec un seul hiver de

référence. Dans le livre d'Anctil (2005), toutes ces méthodes sont présentées dont une qui a

été retenue ici pour des fins académiques soit la méthode des courbes d'intensité, durée et

fréquence communément appelées courbes IDF. Cette méthode permet d'évaluer une

donnée dont la durée est changeante. Comparativement aux crues des eaux qui durent

plusieurs heures et mêmes jours, et dont le taux de variation est plus ou moins faible, la

poussée de la glace est un événement qui peut être lent ou rapide. La méthode de calcul

présentée précédemment considère que la poussée sur une heure est la référence de mesure.

Cette considération pourrait être revue selon les besoins.

Puisque les données sur plusieurs années ne sont pas disponibles pour ce projet, la méthode

ci-dessous considérera chaque semaine comme une série de données annuelles. Les


données ont été recueillies toutes les 15 minutes ce qui donne 672 données par semaine. De

ces valeurs, il faut établir la courbe des durées en créant une série de données pour toutes

les valeurs moyennes possibles de 15 minutes, 30 minutes, 1 heure, 2 heures, 6 heures,

12 heures et 24 heures. Ces durées sont choisies conformément à Anctil (2005). Une

fonction de distribution de données de type GEV (valeurs extrêmes généralisées) est ajustée

à chaque série de données. Cet ajustement permet de déterminer les paramètres qui

serviront à établir la valeur d'une poussée selon une probabilité donnée. L'objectif final est

d'établir la valeur d'une poussée pour une probabilité donnée en fonction de sa durée.

La probabilité recherchée est celle qu'un événement ayant une période de retour T connue

ne survienne pas au cours d'une période de n années consécutives, soit P(X>xt chaque

année pendant n années)= pn. La probabilité peut s'écrire en fonction de la période de

retour comme étant p=l-l/T. Enfin, une notion de risque est ajoutée soit qu'un risque de

R pourcents qu'un dépassement survienne à tous les n années sur une période de T années.

Enfin, la valeur recherchée se définit comme suit :

p = !fnî=\-y. (3.3)

Il est ainsi possible d'établir un tableau des probabilités et des périodes de retour selon le

risque et le nombre d'années entre les événements consécutifs. Le CNBC utilise des

pressions de vents et des précipitations de pluies horaires basées sur un risque de

dépassement de 5 % tous les 50 ans. Ainsi, il considère une probabilité de 0,9990 et une

période de retour de 1000 ans.

Tableau 3 — Probabilité et période de retour Nombre de semaines-

années équivalentes entre les événements n

Probabilité n Période de retour T Nombre de semaines-années équivalentes entre

les événements n 5% 10% 15% 20% 5% 10% 15% 20% 2 0,9747 0,9487 0,9220 0,8944 39,5 19,5 12,8 9,5

5 0,9898 0,9791 0,9680 0,9564 98,0 47,8 31,3 22,9

10 0,9949 0,9895 0,9839 0,9779 196,1 95,2 62,1 45,2

15 0,9966 0,9930 0,9892 0,9852 294,1 142,9 92,6 67,6 25 0,9980 0,9958 0,9935 0,9911 500,0 238,1 153,8 112,4

50 0,9990 0,9979 0,9968 0,9955 1000,0 476,2 312,5 222,2 100 0,9995 0,9989 0,9984 0,9978 2000,0 909,1 625,0 454,5


À partir des paramètres d'ajustement des courbes GEV et avec les probabilités définies au

tableau 3, il est possible d'établir le graphique de la figure 16 des courbes d'intensité,

durée, fréquence (IDF) permettant de mieux concevoir les données recueillies. Les droites

sont des courbes de tendances qui ont un coefficient R variant entre 0,76 et 0,86.

100

90

60

30

0,2

Relation intensité-durée-fréquence (IDF)

-2

- 5

-10

-15

-25

50

-100

20

Durée de la poussée (h)

Figure 16 — Courbes IDF en semaines-années équivalentes

Rappelons que pour les résultats ci-dessus, les années correspondent à des semaines de

résultats pour l'échantillon de référence de l'hiver 2007-2008. Il ne faut pas oublier que

cette méthode nécessite un grand nombre de données pour être efficace et ce n'est

malheureusement pas le cas ici. Cependant, en récoltant les données de poussée de la glace

sur plusieurs années, il serait envisageable d'avoir des valeurs de références plausibles.

Selon l'analyse statistique présentée précédemment, la valeur de poussée de la glace horaire

pour un risque de 5 % de dépassement une fois tous les 100 ans est de 86,0 kN/m.


3.2.5.4. Exemple complet Aux fins de démonstration de la méthode présentée, un calcul démonstratif basé sur les

conditions au barrage La Gabelle. Il s'agit d'un barrage de plus de dix mètres de haut

impliquant une poussée avec probabilité de 5 % de dépassement 1 fois dans 100 ans soit

q = 86,0 kN/m

Ii : 1,15 (structure importante, mais pas de protection civile tel que défini dans le CNBC

2005)

Ce : pour h de 22 mètres 1,12

Q : 4902/4902 = 1,00

C b : l ,15

C n etC v = 1,0

Avec ces paramètres, un coefficient de majoration global de 1,48 est obtenu. Ainsi, la

valeur de poussée de la glace qui serait à considérer pour ce barrage est de

Fi = 1,48*86,0 = 127,3 kN/m. À cette valeur s'ajoutent les coefficients de combinaisons des

charges. La méthode de calcul nécessite un raffinement et surtout une plus grande plage de

valeurs de références statistiques pour être efficace.

Modélisation 43

4. MODÉLISATION

4.1. Considérations générales La glace a fait l'objet de plusieurs études et modélisations depuis les dernières décennies.

Ce projet se situe dans la même lignée que celui d'Azarnejad (1996) soit de simuler le

comportement de la glace sous un chargement donné. Il y a quelques différences entre le

modèle qu'elle a réalisé et celui présenté ici. Principalement, il s'agit de l'amélioration du

couplage entre le modèle thermique et mécanique, et l'utilisation d'un logiciel commercial

facilitant son utilisation par plusieurs intervenants. L'objectif des simulations est de

corroborer les résultats expérimentaux montrant que la fluctuation de niveau d'eau a un

impact appréciable sur la poussée de la glace et d'évaluer les paramètres influant cette

dernière. De plus, le modèle pourra être utilisé pour prédire le comportement de mécanisme

d'atténuation de la poussée de la glace sans nécessiter d'essais expérimentaux coûteux.

4.1.1. Loi constitutive La première étape dans toute modélisation et de considérer une loi constitutive pour le

comportement du matériau. En premier lieu, la glace est un matériau cristallin solide qui se

déforme de façon élastique comme tous les matériaux. De cette généralité, en découle une

relation de proportionnalité entre contrainte et déformation. Dumble (1891) a établi la

limite de rupture de la glace et a montré que la glace est un matériau fragile, c.-à-d. qu'elle

ne se plastifie pas. Glen (1954) et Barnes et coll. (1971) ont démontré que la glace est un

matériau qui flue beaucoup surtout lorsque proche de son point de fusion. En fait, cette

observation est similaire pour la plupart des matériaux qui, près de leur température de

fusion, fluent plus rapidement. Ils ont chacun établi les paramètres de fluage en se basant

sur une équation de type Norton selon laquelle la vitesse de fluage est fonction du niveau

de contrainte et d'un paramètre d'énergie d'activation. Michel (1978) fait un résumé des

modèles rhéologiques dans son livre et y précise que différentes approches ont été utilisées.

Pour ce projet, la méthode de Barnes et coll. (1971) et son modèle rhéologique a été retenu

pour deux raisons principales : plusieurs auteurs, dont Michel (1978), Ashton (1985) et

Azarnejad et Hrudey (1996), réfèrent à Barnes et coll. (1971) dans la littérature récente et le

modèle est simple d'application tout en donnant de bons résultats selon Michel (1978). Il a

Modélisation 44

été mis en lumière que le modèle de Barnes et coll. (1971) est imprécis pour des

températures comprises entre -2°C et 0°C par Song (2007) selon qui le modèle de Barnes

donne toutefois une bonne approximation. Ce niveau de précision a été jugé acceptable

dans ce projet.

' ee ï e* '

HHr-» n

Figure 17 — Modèle rhéologique

La représentation rhéologique de la loi constitutive se fait à l'aide d'un corps de Maxwell

groupant en série un ressort linéaire et un pot visqueux non linéaire fonction de la

contrainte appliquée tel qu'illustré à la figure 17. La déformation mécanique totale du

système est donc la somme de la déformation élastique instantanée et de la déformation

visqueuse. La déformation totale, quant à elle, est la somme de la déformation mécanique

totale em et de la déformation d'origine thermique e'h.

£ = (£ e+£v)m+£ , h (4.1)

où em est composé de ee et ev soit la déformation élastique instantanée et la déformation

visqueuse, respectivement.

La déformation élastique est donnée par la relation de proportionnalité entre la contrainte et

la déformation où le module élastique est fonction de la température.

£ = — T T (4.2) E (T)

La déformation visqueuse, viscoplastique ou de fluage se définit selon une équation de

Norton où r\ est la constante visqueuse, Q l'énergie d'activation, R la constante des gaz

parfaits, n l'exposant de fluage et Tla température exprimée en Kelvin.

Modélisation 45

d£v

dt f<rX -Q,

\V e / R T (4.3)

Dans le domaine de la glace, l'exposant n est nommé l'exposant de Glen en l'honneur de la

première personne à l'établir. La valeur de l'exposant est environ égale à 3, la constante R

vaut 8,3145 et Q est environ de 78 kJ/mol/K.

Enfin, la déformation d'origine thermique est le produit de la différence de température

entre un état non déformé et la température du matériau multiplié par un coefficient de

dilatation thermique a. Dans ANSYS, la formulation de cette équation ne permet pas

d'avoir un état initial non déformé à une température non uniforme dans le maillage

d'éléments finis. Cependant, une méthode alternative a été développée permettant de

contourner ce problème en établissant tout d'abord la solution permanente de conduction

thermique et, en activant le fluage, amène la glace dans un état second de température sans

qu'il n'y ait de contraintes résiduelles.

4.1.2. Poussée d'Archimède et gravité La poussée d'Archimède est la force exercée par tout fluide sur un solide à l'intérieur du

fluide. Ainsi, lorsque la glace veut entrer dans l'eau sous l'action de la gravité ou de

déformations mécaniques, elle y est empêchée par la poussée d'Archimède qui est

proportionnelle au volume submergé.

F A = V S I ■ y w (4.4)

où FA est la force d'Archimède, Vsi le volume submergé de glace et yw le poids volumique

de l'eau.

Ainsi, en connaissant le volume d'eau déplacé, il est possible d'obtenir la force

d'Archimède équivalente. La glace devant atteindre un équilibre statique, la force

d'Archimède est alors toujours égale ou inférieure à celle de la gravité; elle ne peut être

plus grande. Ceci implique que la variable indépendante est le volume de glace submergé.

Pour un bloc de glace rectangulaire, la hauteur de glace submergée est définie à l'équation

(4.5).

Modélisation 46

i1 A ~ VS7 ' Tw ~ VI ' Yl ~ G

Yw '

vs, = Y, ^ L k J h i v, ' I L - h , (4.5)

w

K i = » , — 'w

où FG est le poids de glace, VSi le volume submergé de glace, Vj le volume total de glace,

7/le poids volumique de la glace, yw le poids volumique de l'eau, hsi la hauteur de glace

submergée, hi la hauteur totale du bloc de glace, / et L la largeur et la longueur du bloc.

Figure 18 — Représentation schématique de l'équilibre des forces sur un cube de glace

On obtient une hauteur de glace submergée qui est proportionnelle au ratio entre les

densités des matériaux. Ainsi, pour une glace typique, il y aura 91,6 % de son volume qui

sera submergé.

4.1.3. Paramètres du matériau Afin d'initialiser la modélisation, les paramètres décrits ci-dessous ont été utilisés comme

référence et sont tirés de divers livres dont principalement d'Asthon (1985). Une étude

paramétrique sera présentée plus loin. Le problème principal en ce qui a trait aux

paramètres matériels, est qu'ils sont variables de par l'aspect naturel de la glace. En fait,

selon le mode de formation, le type de cristaux et les conditions environnantes, il est

Modélisation 47

possible de se retrouver avec quatre types principaux de glace, chacun se décomposant en

I à 4 sous-types. Les catégories principales de glace sont primaire, secondaire, tertiaire et

agglomérée. La glace primaire est la première à se former à la surface de l'eau et se

compose principalement de frasil ou de fines particules de glace. Il s'agit d'une glace

anisotrope d'une densité moyenne à élevée. La glace secondaire se forme par conduction

thermique sous la glace primaire. Au fur et à mesure que la chaleur de l'eau est évacuée

vers l'air environnant, des molécules d'eau se collent à la glace existante et forment des

lamelles de glace. Ce type de glace peut atteindre plusieurs dizaines de centimètres

d'épaisseur et représente la plus grande partie d'un couvert de glace. D s'agit d'une glace

orthotropique d'une densité élevée. La glace tertiaire et agglomérée est une glace qui se

forme par résurgence d'eau au-dessus de la glace primaire. Cette eau entre en contact avec

de l'air froid et avec la neige formant une glace faible et poreuse.

Pour contourner le problème de variabilité spatiale de type de glace, Michel (1978) suggère

d'effectuer les calculs en considérant une glace homogène et isotrope ce qui peut induire

une erreur maximale de 20 %. Dans le cadre de ce projet, une glace de type columnaire de

type SI a été considérée comme représentative des conditions de glace.

4.1.3.1. Module de Young et coefficient de Poisson La glace étant un matériau naturel, son module d'élasticité n'est pas rigoureusement

identique pour chacun des cristaux de glace présents dans un couvert de glace. Pour une

glace columnaire de type SI, Asthon (1985) préconise la valeur déterminée par Lindgren et

Glen (1954) soit d'environ 6,1 GPa. Cette valeur varie selon la température en Kelvin

suivant l'équation suivante prise d'Asthon (1985).

£ = (l-O,O12(0-273,15))-6,l [MPa] (4.6)

II s'agit de résultats obtenus à partir de plusieurs essais en compression. Il est a noté qu'une

grande variabilité a été emegistrée par ces auteurs. Cependant, cette valeur est la plus

représentative de l'ordre de grandeur du module de Young selon Ashton (1985).

Le coefficient de Poisson a été évalué par Michel (1978) qui a établi sa valeur entre 0,35 et

0,5 pour des glaces isotropes et homogènes. En fait, une glace n'est jamais isotrope, mais si

Modélisation 48

l'hypothèse proposée par ces derniers est applicable au cas étudié, ces valeurs sont dans les

bons ordres de grandeur. La valeur retenue est 0,35.

4.1.3.2. Paramètre de fluage Glen (1954) fut le premier à étudier le phénomène du fluage dans la glace et à établir des

paramètres pour son évaluation. Barnes et coll. (1971) a raffiné les valeurs des paramètres

de Glen en utilisant une équation de type Norton. Il a effectué des essais uniaxiaux pour des

taux de variation entre IO"9 et IO"2 s"1 et entre -48°C et 0°C. Les conclusions principales

sont que le type de fluage varie selon la température à laquelle se trouve la glace. En bref,

plus la glace est chaude, plus le fluage est important. Ce phénomène est propre à tous les

matériaux dans la mesure où plus ils sont près de leur phase liquide, plus le matériau flue.

Ceci est attribuable à l'apparition d'une phase liquide au sein du solide facilitant le

mouvement des dislocations. Afin de faciliter le calcul du fluage, Barnes et coll. (1971) a

calé une équation de Norton afin de retrouver les résultats expérimentaux. Des recherches

récentes effectuées par Song (2007) montrent que Barnes et coll. (1971) a sous-évalué le

fluage à des températures très près de zéro. Ce phénomène n'a pas été considéré dans cette

étude puisque la poussée maximale emegistrée lors de la campagne de mesure montre

qu'elle ne se produit pas lors de la fonte de la glace.

Barnes et coll. (1971) propose d'utiliser un exposant n d'environ 3 pour des chargements

inférieurs à 10 MPa et d'environ 5 pour les chargements supérieurs, ceci étant similaire aux

recommandations de Glen (1954). De plus, il mentionne qu'il faut tenir compte de l'énergie

d'activation qui change autour de -8°C. Le tableau 4 présente l'ensemble de valeurs

originales mesurées par Barnes et coll. (1971) selon la plage de température d'intérêt. Dans

le cadre de cette étude, les valeurs de la dernière ligne ont été retenues, soit celle de la

courbe de tendance proposée par Barnes et coll. (1971). Prendre note que pour ce mémoire,

les contraintes ne dépasseront pas 5 MPa. La plage 0°C à -2°C n'a pas été évalué par

Barnes, car elle varie de façon importante et a été exclue des résultats de son

expérimentation.

Modélisation 49

Tableau 4 — Paramètres de fluage de Barnes et coll.

# Température

(°C) A=l/qn

-1 -n (s Pa )

Q. (J mol'1 K1)

n

1 -2°C à-8°C 18E-03 121400 3,16 2 -8°Cà-14°C 566E-12 78600 3,01 3 -14°C à -22°C 997E-12 78800 2,98 4 -22°C à -34°C 49E-12 76400 3,11 5 -34°C à -45°C 194E-12 67300 3,01

Tendance -2°C à-45°C 32E-12 74500 3,08

Bien qu'il semble exister un consensus dans la littérature, selon Ashton(1985) et Michel

(1978) à tout le moins, en faveur des valeurs de Barnes et coll. (1971) et de l'utilisation

d'une équation de type Norton, une étude théorique simple calculant la solution d'une

équation explicite de Norton a été réalisée à l'aide du logiciel Maple afin d'observer le

comportement des valeurs sous divers cas de chargement. Ce code a été monté avec la

collaboration de Mario Fafard. L'objectif de ce travail est d'évaluer les paramètres avant de

les fournir au modèle numérique ANSYS et de s'assurer que les ordres de grandeur

correspondent à ce qui a été observé lors de la campagne de mesures. Le code Maple

suppose que seul le fluage des déformations d'ordre mécanique affecte le matériau et que la

solution s'obtient à l'aide d'une équation de Norton typique. Les propriétés ne varient pas

selon la température. Le chargement est contrôlé par déformation, c.-à-d. qu'une

déformation totale est imposée.

Tout d'abord, la courbe de tendance de Barnes a été validée en incorporant les paramètres

cités au tableau 4 dans l'équation de fluage (4.3). En appliquant une contrainte constante de

250 kPa, on obtient la vitesse de déformation en fonction de la température. La courbe

bleue est celle de tendance proposée par Barnes alors que la courbe rouge montre les

résultats pour chaque plage de valeurs présentées au tableau 4. On remarque que la courbe

de tendance corrobore bien les résultats sauf pour la plage supérieure à -5°C. La différence

entre les courbes rouges et bleues est donc liée à l'erreur entre la courbe de tendance et les

courbes distinctes pour chaque plage de valeur. En fait, Song (2007) a observé que

l'exposant de Glen doit être changé à l'approche de 0°C. Puisque les données utilisées sont

celles de Barnes, cette problématique n'a pas été considérée dans ce modèle. Cependant, il

serait nécessaire d'approfondir le sujet afin d'établir correctement la valeur de cet exposant.

Le code utilisé dans Maple est disponible à l'annexe D.

Modélisation 50

■o c o S re E

■o V •o V w (A

450E-09 400E-09 350E-09

~300E-09 j»250E-09 « 200E-09 g 150E-09

C 100E-09 50E-09 0E+00

-50 -40 -30 -20 Température (°C)

-Barnes ^—Barnes (tendance)

-10

Figure 19 — Vitesse de fluage selon la température pour 250 kPa Une opération similaire est effectuée à l'aide de l'équation du fluage, mais cette fois-ci en

variant la contrainte appliquée. On observe que plus la contrainte est élevée, plus la vitesse

de déformation est grande. Ceci était attendu étant donné l'exposant de la contrainte dans

l'équation de fluage.

Fait intéressant à remarquer, pour une glace d'une température inférieure à -30°C, les

ordres de grandeur de la vitesse du fluage deviennent négligeables. Cependant, ces

températures ne sont pas d'intérêt dans le cadre de ce mémoire. En clair, plus il fait froid,

moins la glace flue. Cette observation confirme l'apparition du pic de poussée à la fin

février lors de la campagne de mesure de 2008 à La Gabelle puisqu'à cette période de

l'année, les températures moyennes sont basses. La glace ne flue pas assez rapidement pour

dissiper les contraintes provenant des fluctuations de niveau d'eau ou des changements de

température. Il en résulte que la glace agit comme un corps rigide transmettant des forces

vers les ouvrages. Lorsqu'il fait plus chaud, la glace se déforme et dissipe les contraintes.

Modélisation 51

-30 -25 -20 -15

Température (°C)

-50kPa 100 kPa 150 kPa 200 kPa 250 kPa

Figure 20 — Vitesse de fluage selon la contrainte et la température

Le taux de fluage de la glace est un paramètre primordial et il permet de déterminer le

temps nécessaire pour dissiper les contraintes. Pour illustrer cela, une déformation

instantanée de 50 pe est imposée sur une glace ayant les paramètres de tendance de Barnes

et coll. (1971), tel que présenté dans le tableau 4, et le module de Young définit à

l'équation (4.6). Le tout est entré dans le modèle Maple présenté en annexe. À la figure 21,

la différence entre les courbes est la température de la glace soit -2°C, -10°C et -20°C. Pour

une même déformation, le temps requis pour dissiper les contraintes sera différent. Les

courbes croissantes de la figure 21 représentent la déformation visqueuse alors que les

courbes décroissantes représentent la déformation élastique. On remarque que plus la

température est élevée, plus rapide sera la dissipation des déformations élastiques et donc

des contraintes. De plus, le taux de dissipation des déformations mécaniques ralentit au fur

et à mesure que celui-ci diminue. L'équation de fluage montre que plus la contrainte est

faible, plus le taux de dissipation sera faible. Sur une période de 12 heures, une glace à 0°C

aura dissipé 66 % des déformations élastiques, donc des contraintes, alors qu'une glace à

-20°C aura dissipé 40 % des déformations.

Modélisation 52

w w

C o

■ MU

re

o

6 8 Temps (h)

10

eà -2°C

e à-10°C

e à-20°C

£ imposée

Type de courbes croissantes :

£ fluage décroissantes :

e élastique

12

Figure 21 — Déformation du matériau selon le temps

Selon l'équation (4.2), il est possible de lier déformations élastiques et contraintes. La

figure 22 présente les contraintes maximales obtenues pour une déformation totale imposée

de 10, 20 et 50pe pour une même température. Le taux de dissipation des contraintes

diminue au fur et à mesure que la contrainte diminue. Le graphique présente ce qui

ressemble à une asymptote à 50 kPa, mais il ne faut pas se confondre. La loi constitutive

stipule que toute contrainte sera dissipée, mais le temps requis pour y arriver peut-être très

long. La figure 22 ne présente qu'une période de 12 heures. Il serait intéressant d'effectuer

ce genre de simulation sur de longues périodes de temps.

Le code Maple a permis de caler les unités selon l'équation de fluage. De plus, des

observations préliminaires montrent que les courbes de fluage sont pratiquement quasi

nulle à de faibles contraintes. Ceci permet de mieux définir les conditions initiales des

modèles numériques simulés avec ANSYS.

Modélisation 53

-50

0 10 12

Temps (h ) •50pe ——30|je 10|J£

Figure 22 — Contrainte selon la déformation imposée

4.1.3.3. Propriétés thermiques Les propriétés thermiques de la glace sont beaucoup moins variables que les propriétés

mécaniques de par l'origine de leur détermination. Les transferts thermiques dans un

matériau sont, entre autres, fonction de l'arrangement des particules. Puisque la glace est

formée de façon naturelle, l'arrangement des particules peut varier grandement. De plus, la

porosité peut également varier d'une glace à l'autre, affectant également les propriétés

thermiques. Puisque dans ce modèle, une glace de type S1 est considérée, la porosité est

faible et constante sur le couvert de glace. La glace SI à l'avantage d'être généralement

bien arrangée au point de vue de l'orientation des particules.

Puisque ces valeurs sont généralement acceptées et résumées dans le livre d'Ashton (1986),

les valeurs ont été prises tel quelles, en voici les équations.

Pour l'expansion thermique, le coefficient de dilatation thermique est :

# = (54+0,180) xlO-6 [1/°C] (4.7)

Modélisation 54

Pour la masse volumique, la densité est :

p = 916,6 [kg/m3] (4-8)

La constante de conductivité thermique est :

K =-0,00750 + 1,88 [w/(m-°C)] (4.9)

La chaleur spécifique de la glace est :

Cp =4,750 + 2040 [ j / (kg 0C)~] (4.10)

Prendre note que la glace a été considérée avec une densité constante. Ceci ne représente

pas tout à fait la réalité puisque cette valeur varie avec la température. Cependant, la

littérature montre que le taux de variation de cette valeur est largement influencé par le type

de glace et plusieurs autres facteurs. De plus, dans le modèle, l'équation de la poussée

d'Archimède ne peut pas considérer une valeur variable en fonction de la température. Il

serait intéressant d'éliminer cette limitation, mais son influence a été jugée négligeable.

4.2. Modèle de base

4.2.1. Généralités Le modèle ANSYS utilise le solveur multichamps (MFS : multi-field solver) qui permet de

résoudre un système d'équations thermomécaniques en transférant les résultats thermiques

vers le modèle mécanique. Pour ce faire, il y a deux maillages identiques, un composé

d'éléments pour la résolution du problème thermique et l'autre, d'éléments pour la

résolution du problème mécanique. Les valeurs nodales de température sont transférées et

permettent d'évaluer la dilatation thermique dans le modèle mécanique.

Plusieurs embûches ont été rencontrées lors de l'élaboration du modèle de base et cela a

monopolisé beaucoup de temps du projet. La problématique vient principalement des

limitations d'ANSYS pour résoudre des systèmes pour lesquels il n'est pas spécifiquement

programmé. En fait, c'est que le moteur d'ANSYS est basé sur des types d'éléments,

chacun ayant ces propres capacités de types d'analyse. Par exemple, il existe des éléments

thermomécaniques couplés, mais ils ne prennent pas en considération le fluage.

Heureusement et avec l'aide d'un stagiaire, François Massicotte, nous sommes venus à

Modélisation 55

bout des limitations d'ANSYS principalement en utilisant la méthode de résolution Multi-

Field Analysis Solver (MFAS), nouveauté dans ANSYS 12.1, version du logiciel que nous

avons obtenu au cours de ce projet de mémoire. Le MFAS permet de prendre deux types

d'éléments différents ayant chacun leurs possibilités et de coupler les maillages sur une ou

des variables naturelles de chacun, dans ce cas-ci le déplacement et la température. Une

autre embûche importante a été de réussir à prendre en compte la poussée d'Archimède.

Contrairement à d'autres logiciels tels Comsol et Abaqus, il n'y a pas dans ANSYS

d'éléments pouvant subir une déformation sur fondation élastique. Il a fallu en programmer

une à l'aide de ressorts et créer un algorithme pour leur génération automatique. Enfin, une

autre des limitations que nous avons réglées est l'absence d'une équation pouvant tenir

compte d'une déformation thermique initiale sans contrainte. Dans ANSYS, l'équation de

déformation thermique ne prend en compte qu'une température de référence sans contrainte

et non de l'état initial des nœuds. Pour résoudre ce problème, nous avons ajouté une

solution thermomécanique permanente avec fluage en début de chacune des simulations

transitoires ce qui permet de dissiper les contraintes et donc les déformations thermiques

par fluage. D'autres petites embûches ont été rencontrées, mais leur niveau de difficulté

était moindre.

4.2.2. Poussée d'Archimède et gravité La gravité et la poussée d'Archimède ont été introduites dans le modèle à l'aide de ressorts

non linéaires (COMBIN39 dans ANSYS) afin de tenir compte des trois positions du bloc

de glace, totalement submergé, immergé ou entre les deux, et sont attachés sous la glace à

chaque nœud du maillage et reliés à un ancrage virtuel dans l'espace placé au bas de la

glace dans son état d'équilibre. À l'équilibre, le ressort a donc une longueur nulle. Sa

constante de rigidité est nulle contre les déplacements latéraux et non nulle pour les

verticaux. Il est calé de façon à ce que sa longueur soit directement proportionnelle à la

poussée d'Archimède ou de la gravité selon le sens de son elongation.

Aux fins de représentation graphique de la figure 23, la hauteur de glace est fixée à 0,75 m.

Cependant, dans le code ANSYS, cette valeur est variable selon le choix de l'utilisateur.

Les points A et B représente des états limites de l'équation de la poussée d'Archimède soit

les cas de glace submergée et immergée. En fait, lorsque la glace est complètement

Modélisation 56

submergée (sous l'eau), la force de gravité agissant sur le bloc de glace est légèrement

inférieure à la poussée d'Archimède. La résultante est une force constante vers le haut

proportionnelle à la différence des poids volumiques de l'eau et de la glace multipliée par le

volume de glace. Ceci est illustré au point A avec une force positive constante. Lorsque la

glace est complètement immergée (hors de l'eau), la force de gravité est la seule agissant

sur le bloc et le tire vers le bas. Ceci est illustré au point B par une force négative constante,

négatif signifiant vers le bas. Le calcul en ce point est tout simplement le poids volumique

multiplié par le volume. Entre les deux points, la poussée d'Archimède varie linéairement

selon la position du bloc de glace. Aux fins de calculs, le datum a été placé à l'équilibre soit

lorsque la poussée d'Archimède égale la force de gravité étant défini comme le ratio des

poids volumiques de la glace et de l'eau multiplié par la hauteur du bloc.

JO "J5 u t > 9) U

2000

0

-2000

-4000

-6000

-8000

■10000

A

>v B

-0,5 0 0,5 1 Position du bloc de glace (m)

1,5

Figure 23 — Poussée d'Archimède

4.2.3. Maillage La géométrie doit être maillée deux fois afin de permettre au MFS de résoudre le problème

thermomécanique. Ainsi, il y a un maillage pour la solution thermique, composé d'éléments

SOLID90, et un maillage mécanique composé d'éléments SOLID186. Il est primordial que

les nœuds des deux maillages soient géométriquement au même endroit en tout temps afin

que la solution thermique puisse être transférée au maillage du problème mécanique. Les

Modélisation 57

éléments du problème thermique de type SOLDD90 sont des cubes à 20 nœuds avec un seul

degré de liberté, la température, permettant de résoudre un problème stationnaire ou

transitoire. Les éléments du problème mécanique de type SOLID 186 sont également des

cubes à 20 nœuds ayant trois degrés de liberté par nœud, les déplacements, permettant de

résoudre un problème statique ou transitoire. Ces derniers prennent en charge la plasticité,

l'hyper élasticité, le fluage, le durcissement ainsi que les grands déplacements et grandes

déformations. U est également possible de créer plusieurs couches (loyers) de matériaux

différents dans le même l'élément. Cette fonctionnalité n'a pas été utilisée pour le modèle,

mais permettrait d'avoir des types de glace différents sur l'épaisseur. Chaque nœud

inférieur du maillage mécanique est relié aux ressorts de la poussée d'Archimède.

Figure 24 — Maillage typique

4.2.4. Conditions aux limites Pour obtenir une solution, il est nécessaire d'imposer des conditions aux limites. Pour les

simulations qui seront présentées plus bas, une condition de flux thermique nul a été

imposée sur la périphérie horizontale du maillage du problème thermique puisqu'il s'agit

d'une section de glace prise dans un grand couvert de glace. Au point de vue mécanique, il

a déjà été mentionné que les ressorts sont retenus à une de leur extrémité afin de prendre en

compte la poussée d'Archimède. Cependant, ces ressorts ne sont activés que pour les

déplacements verticaux. Dans le plan, les ressorts n'empêchent pas le mouvement de corps

rigide qui se produirait inévitablement avec tout type de chargement. Pour pallier cette

problématique, il faut fixer certains nœuds du maillage, au choix de l'utilisateur, dans le

Modélisation 58

plan. Dans le cas du cube, les nœuds formant les deux plans verticaux principaux (axe de

symétrie) ont été empêchés de se déplacer en rapport à l'axe de symétrie afin d'éviter les

mouvements de corps rigides de translation et de rotation. Selon la théorie des corps

rigides, les nœuds décrits précédemment ne devraient pas se déplacer sous un déplacement

parallèle à l'axe vertical ni sous contraction thermique. Dans cette optique, il faut s'assurer

que le maillage est symétrique afin d'avoir une série de nœuds au centre de la géométrie. H

faut donc ajuster les conditions aux limites pour chacune des geometries qui seront

analysées afin d'obtenir une solution. Les conditions aux limites devront être ajustées selon

les cas analysés.

4.2.5. Programme ANSYS Pour évaluer le fluage dans ANSYS et le modèle 3D développé, il faut adapter le modèle

rhéologique présenté dans la section 4.1.1 représentant le fluage uniaxial. La glace pourrait

présenter des propriétés mécaniques de fluage variable selon l'axe préférentiel de

l'arrangement des cristaux de glace. Ce cas a été écarté en faisant l'hypothèse que la glace

est isotrope. Pour évaluer le fluage dans l'équation de Barnes, équation (2.2), il faut établir

la contrainte affectant le matériau. Or, les contraintes dans le matériau ne sont pas égales

dans chacune des directions. Pour y arriver, ANSYS établit la contrainte équivalente, aussi

appelée contrainte de von Mises, puis évalue la déformation de fluage. Cette méthode a été

jugée acceptable par Mario Fafard puisque la glace est considérée isotrope. Les paramètres

de fluage uniaxiaux peuvent donc être utilisés dans le modèle numérique.

Le calcul de la déformation thermique dans ANSYS est programmé d'une façon ne

permettant pas d'avoir un état non déformé avec une température variant linéairement sur

l'épaisseur de la glace puisqu'il calcule la déformation en multipliant le coefficient

d'expansion thermique avec la différence de température entre la température actuelle et

une température de référence sans déformation. Ainsi, lorsque la température est variable

sur l'épaisseur, il en résulte des déformations initiales non nulles ce qui n'est pas le cas

dans les couverts de glace puisqu'elle se forme sur plusieurs jours. Théoriquement, la glace

se retrouverait sans contrainte et avec une variation de température linéaire sur l'épaisseur.

Pour contourner ce problème, le programme effectue préalablement une solution

permanente avec fluage. De cette façon, toutes les déformations initiales sont dissipées par

Modélisation 59

le fluage, défini selon les paramètres de Barnes, et la glace devient non contrainte à

l'atteinte de la solution permanente. La solution permanente prend théoriquement un temps

infini pour être atteinte.

4.3. Analyse de référence Le modèle de référence typique est un cube de 1 m de côté appuyé sur une fondation

élastique ayant les propriétés spécifiées précédemment et résumées au tableau 5. Les unités

de base sont °C, m, N, J, s, Pa et kg.

Tableau 5 — Résumé des paramètres utilisés dans le modèle Paramètre Valeur Voir

Chaleur spécifique (cD) 2040 J/kg/°C à 0°C Equation (4.10) Coefficient de dilatation thermique (a) 54xlObl/°CàO°C Equation (4.7)

Coefficient de Poisson (v) 0.35 Section 4.1.3.1 Conductivité thermique (K) 1,88 W/m/°Cà0°C Equation (4.9)

Constante de fluage (A) 32xl012 1/s/Pa" Tableau 4, ligne Tendance Densité de la glace (pi.) 916,6 kg/m3 Equation (4.8)

Energie d'activation (Q) 74,5 kJ/mol/K Tableau 4, ligne Tendance Exposant de Glen (n) 3,08 Tableau 4, ligne Tendance Module de Young (E) 6,1 GPaà0°C Section 4.1.3.1

Les plans de symétrie verticaux sont retenus contre les déplacements normaux à ces plans

pour éviter les déplacements et rotations de corps rigides. La température sous le bloc de

glace est imposée à 0°C puisque l'eau des réservoirs est toujours près du point de

congélation. Un flux nul de température est imposé en périphérie horizontale du bloc de

glace. Une convection thermique est appliquée en surface avec un coefficient d'échange

arbitraire de 10 000 W m 2 °K~1 afin de transférer l'énergie entre la glace et l'air. Cette

façon de faire facilite la convergence des modèles numériques. L'utilisation d'un

coefficient d'échange choisi aussi grand est idéalisée et permet de représenter une condition

de type Dirichlet, permettant une meilleure convergence numérique. La littérature, entre

autres Bergdahl (1978) présente des valeurs types de coefficient d'échange approprié tenant

compte de l'ensoleillement, de la vitesse du vent et d'autres facteurs, mais pour des fins

analytiques, la valeur arbitraire fixée plus haut a été utilisée. Il existe également la théorie

de l'émission diffuse de radiation par le ciel tel qu'expliqué dans Erbsa (1981) mais cette

dernière n'a pas été utilisée. L'analyse se fait sur une période de 24 heures soit

86 400 secondes. La température de l'air en surface, représenté à la figure 25, prenant part

Modélisation 60

dans l'échange convectif est déterminée selon un sinus basé sur la période de temps

mentionnée suivant l'équation suivante.

fl=-20sinf 2 m 1 + 6? 2-86400 •

(4.11)

où d, est la température en Celsius pour un temps t en secondes donné et 0, est la

température initiale de l'air. Le sinus effectue une descente de 20°C sur 43200 secondes. La

température à différente épaisseur dans le cube de référence est présentée dans cette figure.

U o

n»

-10

-15

-25

-30

■ ■ ■ ^ i — H n m u i v H H

—Imposée

—0,25h

—0,5h

-0 ,75h

—Dessous

15000 30000 45000 60000

Temps (s) 75000 90000

Figure 25 — Courbe de température sur un cube typique

4.4. Influence du module d'élasticité A partir du modèle de référence (cube de 1 mètre de côté), une analyse a été effectuée en

modifiant le module de Young, dans le but d'établir son importance dans les modèles

numériques. Puisque la glace est un matériau naturel et que d'en déterminer les propriétés

mécaniques peut être difficile, il est important de savoir si une attention particulière doit

être portée à ce genre de donnée ou bien si l'utilisation de valeurs typiques peut suffire.

Modélisation 61

Le module de Young a deux implications principales dans le modèle. Premièrement, il lie

contrainte et déformations et de ce fait, il affecte le taux de fluage. Ainsi, plus le module de

Young à une valeur élevée pour une même déformation élastique, plus la contrainte et le

taux de fluage seront élevés. Pour ce faire, le module élastique de l'analyse de référence a

été modifié à l'aide d'un coefficient soit 70 %, 85 %, 100 %, 115 % et 130 % de la valeur

de référence définie à l'équation (4.6). Puisque le module de Young varie en fonction de la

température, ce coefficient est appliqué globalement à l'équation (4.6).

Le graphique de la figure 27 présente les résultats des simulations portant sur l'influence du

module de Young. Tous les autres paramètres sont fixes et correspondent aux valeurs de

bases stipulées dans la section 4.1 et résumée dans le tableau 5. Il s'agit de la déformation

de la surface de la glace sur le dessus et au centre du cube de base. Les déformations

mécaniques sont symétriques puisque la contraction thermique est uniforme sur la surface

du cube et que les conditions limites permettent le déplacement du cube horizontalement. Il

s'agit alors de la déformation maximale pouvant être observée sur le dessus du cube tel que

représenté à la figure 26.

Figure 26 — Distribution concentrique des déformations thermiques

La ligne mauve située au centre représente le module de Young original d'environ 6,1 GPa

tel que défini par l'équation (4.6). Les courbes présentent un résultat prévisible i.e. plus le

module de Young est élevé, plus la glace flue rapidement et que pour une même variation

de température, la déformation élastique dans le plan sera moins grande. En fait, plus le

module de Young est élevé, plus la contrainte est élevée et plus la glace flue rapidement.

Lorsque la température remonte, après 12 heures, des déformations d'origine thermique

sont générées dans le sens opposé. Ceci entraîne du fluage dans la direction opposée

également. Cependant, la température étant de plus en plus chaude, la vitesse de fluage est

gouvernée un peu plus par la température plutôt que par le niveau de contrainte. D y aurait

Modélisation 62

donc un point tournant pour lequel le niveau de contrainte et la température participent à

parts égales à la détermination du taux de fluage. Passé ce point, la vitesse devient dictée

par les deux facteurs. Tel qu'illustré à la figure 25 et parce que le mécanisme de

chargement est la fluctuation de niveau d'eau, la contrainte et la température baisse au fur

et à mesure que le temps avance. Le fluage ralentit et forme un plateau, ou plutôt atteint un

taux très faible, illustré par les courbes pointillées entre 8 heures et 16 heures. Ceci provient

de la diminution du taux de fluage lié à la baisse de la contrainte et de la température. Après

12 heures, la température remonte et le fluage accélère.

La figure 28 présente les courbes de contraintes dans la glace selon la valeur du module de

Young. Plus le module de Young est grand, plus rapides seront les variations de

contraintes. Ainsi, théoriquement et en se basant sur les équations, plus un événement est

rapide, plus il créera de grandes contraintes, mais elles se dissiperont également plus

rapidement puisque le fluage sera plus rapide. Le module de Young plus faible atteint les

mêmes valeurs de contraintes que le module plus grand dans l'intervalle de temps 4 h à 6 h,

mais ce n'est pas le cas entre 17 h et 22 h. Non seulement les courbes sont excentrées, mais

leurs valeurs maximales sont différentes. En fait, c'est que la variation de température a eu

le temps d'avoir un impact sur les contraintes en activant le fluage plus rapidement.

Modélisation 63

Temps (h)

Figure 27 — Déformation élastique selon le module de Young

70-e

70-f

85-e

85-f

100-

e — — 100-

f 115-

e 115-

f

Légende e = E élastique f = e fluage nombre = % de Young

■70

•85

•100

•115

•130

Temps (h)

Figure 28 — Contrainte dans la glace selon le module de Young

Modélisation 64

4.5. Analyse de cas types Les mêmes conditions limites stipulées dans l'analyse de référence ont été utilisées soient

un flux nul sur la périphérie du bloc, un échange convectif sur le dessus et une température

imposée en dessous. Les propriétés de la glace sont telles qui stipulées dans la section 4.1 et

résumées dans le tableau 5 soient les valeurs de fluage de Barnes et les paramètres

mécaniques et thermiques mentionnés aux équations (4.6) à (4.10). La fondation élastique

est présente sous toute la poutre et elle est retenue sur la face du barrage.

Une poutre de dix mètres de longueur par une section de un mètre carré a été modélisée en

se basant sur le modèle de référence auquel les conditions d'appui, le type de chargement et

la distribution initiale de température ont été modifiés. La poutre peut être complètement

encastrée ou simplement appuyée sur l'arête inférieure de la poutre sur la face du barrage,

être chargée axialement ou par fluctuation de niveau d'eau, et peut avoir une température

initiale uniforme ou variant sur toute son épaisseur. Le chargement axial est fixé à la valeur

arbitraire de 300 kPa appliquée uniformément sur toute l'épaisseur de la poutre à

l'extrémité opposée au barrage. Le chargement par fluctuation de niveau d'eau est fixé

arbitrairement à la moitié de l'épaisseur de la poutre en 12 heures puis devient nul par la

suite tel que défini dans l'annexe C. Les valeurs sont linéairement interpolées entre les pas

de temps définis dans cette annexe. L'ordre de grandeur des valeurs des charges imposées

est représentatif des conditions de glace et des mesures prises pendant la campagne à La

Gabelle. Le chargement thermique demeure inchangé par rapport à l'analyse de référence

tel que défini à la figure 25. Une codification a été utilisée pour simplifier la nomenclature

des paramètres conditions tel qu'indiqué dans le tableau 6. Au total, huit combinaisons sont

possibles à l'aide des types de paramètres

Tableau 6 — Légende des paramètres de conditions Type Symbole Description Valeurs

Température initiale

V Varie linéairement sur l'épaisseur de 0°C en dessous à -5°C en surface Température

initiale C Constante sur l'épaisseur 0°C sur l'épaisseur

Chargement A Axial instantané 300 kPa au bout de la poutre

Chargement N Niveau d'eau variable Moitié de l'épaisseur sur 12 heures

Appui R Rotule -Appui E Encastrement -

Modélisation 65

4.5.1. Influence des paramètres environnementaux Une analyse générale des résultats obtenus nous a permis de constater que les contraintes

maximales sont près de l'appui du barrage et par conséquent, les résultats présentés sont

pour un point sur la poutre situé à l'appui, sur le dessus et au centre tel qu'illustré à la

figure 30.

Les contraintes étant directement reliées aux déformations élastiques et parce que l'intérêt

est de savoir l'origine des contraintes, l'étude suivante portera sur les déformations. Deux

séries de courbes sont présentées dans la figure 31 soit les poutres chargées axialement

(pointillé) et chargées par fluctuation de niveau d'eau. À ces chargements s'ajoutent les

charges de bases soit la variation de température et la poussée d'Archimède. Des rendus 3D

des contraintes selon l'axe x sont présentés à l'annexe E. Un exemple de ces rendus est

présenté à la figure 29. Toutes les figures sont prises au temps t = 8 heures. Prendre note

qu'il s'agit d'une coupe longitudinale de la poutre.

-549688 -254068 41552 337172 632792 -401878 -106258 189362 484982 780602

Figure 29 — Poutre sous chargement CNE

Modélisation 66

Barrage

Glace

Figure 30 — Emplacement du point d'observation

Pour le cas de chargement par fluctuation de niveau d'eau représenté par les lignes pleines,

le chargement variait sur une période de 12 heures. La déformation élastique augmente

linéairement pendant cette période. Selon l'étude de fluage uniaxial faite avec Maple, il

n'est pas fondamental que la déformation élastique augmente puisqu'elle dépend

principalement du taux de fluage. Lorsque le changement de niveau d'eau se termine, la

déformation élastique chute rapidement puisque le fluage continue à s'effectuer sans qu'il y

ait de nouvelles déformations. À partir de 18 heures, la déformation se stabilise dû au

réchauffement de la glace par le chargement thermique. En effet, la dilatation thermique

varie probablement à la même vitesse que la glace flue. En bref, les valeurs fixées

arbitrairement, soient le profil de température et le changement de niveau d'eau, semblent

être dans les mêmes ordres de taux que le fluage. Il faudrait vérifier si ce phénomène est

normal ou un pur hasard.

Sur le graphique de la figure 31, les lignes pointillées représentent le chargement axial

instantané de 300 kPa. L'observation de la déformation élastique permet de bien voir ce

chargement puisque la valeur initiale des courbes passe de zéro à une valeur quelconque en

un bref instant. Par la suite, la déformation élastique revient vers zéro puisque la glace flue.

Les courbes montent au-dessus de zéro puisqu'il le chargement thermique se produit en

même temps. La température n'a pas un effet proportionnel sur la génération des

déformations élastiques. En fait, plus la glace est froide, moins elle flue rapidement ce qui

explique l'augmentation de la pente des courbes près de t = 12 heures, moment où la glace

Modélisation 67

est la plus froide. Passé ce temps, la glace se réchauffe accélérant du même coup le taux de

fluage et donc décélérant le taux de déformation élastique.

3 (B 4>

3 m

12 16

Temps (h) 8 12 16 20

i

24

24

-0,25

•«75

Figure 31 — Déformations selon le type de paramètre environnemental

En bref, le fluage a un impact majeur sur la déformation élastique résiduelle dans la glace

suite à un chargement quelconque. Selon la vitesse à laquelle un type de chargement génère

des déformations élastiques, le fluage estompera ou non l'influence de ce dernier. Il est fort

possible qu'à de très faibles vitesses, le fluage élimine quasi instantanément les

déformations élastiques à haute température. Ceci explique pourquoi la poussée de glace

maximale a été enregistrée en plein mois de février, car c'est à ce moment que la glace est

Modélisation 68

la plus froide et flue le moins rapidement permettant ainsi aux déformations élastiques,

donc aux contraintes, de s'accumuler.

L'encastrement génère toujours des valeurs de déformations élastiques plus grandes que le

cas rotule. Cependant, les courbes montrent clairement que la différence n'est pas très

grande soit de l'ordre de 10 à 20 %. Ce résultat illustre que la fondation élastique ne permet

pas une rotule parfaite à l'appui, car selon les équations de mécaniques de base pour les

corps libres, les moments aux appuis sont nuls pour des cas rotules. Que cette différence

soit faible n'implique pas qu'elle est négligeable puisque pour un couvert de glace, la

longueur totale prenant appui sur des berges ou autres limites est importante. Une étude

plus approfondie des conditions d'appuis permettra d'évaluer l'impact réel à grande

échelle.

La température initiale du couvert de glace a un impact similaire sur le niveau de

déformation élastique. Toutes les courbes montrent également une différence de 10 à 20 %,

selon le cas, entre un couvert à température constante sur l'épaisseur (codification

commençant par « C ») comparativement à température variant linéairement sur l'épaisseur

(code « V »).

Ainsi, ces courbes montrent que plus la glace est chaude et plus les contraintes sont élevées

plus rapide sera le fluage. Ceci renchérit l'explication de la génération de contraintes lors

des journées froides de février, car c'est à ce moment qu'Hydro-Québec turbine le plus

d'eau pour satisfaire la demande énergétique de ses clients engendrant du coup les plus

grandes fluctuations de niveau d'eau. La glace est froide au même moment ce qui ralentit le

fluage. Puisque le taux de fluage ne dépend pratiquement que du niveau des contraintes, si

ces dernières augmentent très rapidement, le fluage ne pourra dissiper les déformations

élastiques à la même vitesse qu'elles se créent permettant aux contraintes de s'accumuler et

d'atteindre des sommets.

Le graphique de la figure 32 traite de la génération de déformations élastiques pour le

chargement par fluctuation de niveau d'eau. Les courbes de déformation élastique, en trait

plein, sont quasiment nulles lorsque comparées aux courbes de fluage. Tel qu'énoncé

précédemment, c'est que dans le cas présenté ici, les mécanismes de génération de

Modélisation 69

déformations élastiques sont trop lents par rapport à la dissipation de déformations par

fluage. Ceci démontre encore que le fluage se produit rapidement et dissipe les

déformations élastiques et donc les contraintes.

12000

10000

8000

W

6000

C 4000 I O

2000

-2000

/ /

/ * "7—7~~

/ /

12

Temps (h) 16 20 24

CNE

— — CNE-F

CNR

CNR-F

VNE

VNE-F

VNR

VNR-F

Légende F = e fluage sans extension = £ élastique

Voir tableau 6 pour acronyme

Figure 32 — Chargement fluctuation niveau d'eau

4.5.2. Profil de contrainte L'indentation a été présentée dans la partie campagne de mesure et stipule que la poussée

mesurée sur la face d'un barrage varie spatialement. Puisque les modélisations ne portent

que sur une tranche d'un couvert de glace, soit une poutre, la variabilité de la poussée sur

l'épaisseur du couvert n'a pas été démontrée. Pour les analyses précédentes de poutres, il a

été observé que les contraintes maximales sont à l'appui. Or, il ne s'agit pas d'une valeur

constante. En effet, cette valeur varie selon l'épaisseur et surtout selon le type de

chargement. Rappelons que le modèle à quatre nœuds sur l'épaisseur et que ceci peut être

modifié facilement dans le code ANSYS selon le désir de l'usager.

Modélisation 70

Le graphique de la figure 33 illustre les profils de contraintes au temps 4 heures sur une

ligne sous le point illustré à la figure 30 et montre bien le phénomène d'indentation

vertical. Selon le type de chargement, le profil de contraintes présente une compression

généralement plus uniforme et sur une plus grande hauteur dans le cas axial alors que le cas

par fluctuation de niveau d'eau présente une distribution quasiment symétrique autour d'un

axe neutre situé à la moitié de l'épaisseur. Puisque les panneaux Carter ont le défaut de ne

pas mesurer la tension, cette distribution des contraintes ne peut être comparée à la

campagne de mesures. Toutefois, elle explique quand même les fluctuations sur l'épaisseur

entre les différents niveaux de compression.

En bref, selon le type de chargement, le profil de contrainte sur la face du barrage sera

différent. De la même façon, une sonde de mesure de pression placée dans un couvert peut

enregistrer des valeurs différentes de la valeur moyenne. Par exemple, si une jauge avait été

placée à l'élévation 0,80 mètre, elle aurait mesuré une tension de 500 kPa ou une

compression de -500 kPa selon le chargement. Cependant, si on fait la somme des aires

sous la courbe sur l'épaisseur, il apparait que dans un cas le résultat est quasiment nul alors

que dans l'autre, il y a une résultante en compression. Ceci réitère l'importance de la prise

de mesure à l'aide de plusieurs instruments à la fois. Il faut se souvenir que ces simulations

ne tiennent pas compte de la fissuration dans le couvert de glace qui est à un autre facteur

influant le profil de contrainte. De plus, la présence de fissures entraîne des effets axiaux

lorsqu'il y a regel d'eau dans les fissures. Lors d'une fluctuation de niveau d'eau

subséquente, la fissure ne pourra pas se refermer et provoquera des efforts axiaux dans le

couvert.

Modélisation 71

1T«0—i + ' — _ f »-

/ / / /

_ ^ ^ « t /

• » ' / ? / i t

^ ^ ^ n S A / ê «_^^ U,oU

f / ' r / âf

\ 1 • ^ \ 1 _»■

t 1 ^ t n t 11 1 I I A AA

1 U,OU 4 * A (I l

4+

4 + X

] \ ! \ \ \ X

* _/ ^ y T

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CL 1 1 "* y n /in 1

Ax U j ^ V CAfc

1

Ax CAR VNE

• -JF VNR

A I A

CNE CNR

v,r(f V oir tableau S pour acronyme

»

lit MO—

-600 -400 -200 0 200

Contrainte sur te barrage (kPa) Tension positive

400 600 800

Figure 33 — Profil de contraintes

Conclusion 72

5. CONCLUSION

5.1. Résultats

5.1.1. Campagne de mesures Selon les résultats obtenus et en utilisant la méthode d'intégration présentée à la section

3.2.1, la poussée maximale a atteint une valeur de 77 kN/m le 25 février à 18h45 soit

environ de la moitié de la valeur de l'ACB (2007). De plus, il faut noter que la moyenne est

de 11,45 kN/m et la valeur de l'écart type est de 12,71 kN/m. Ces résultats nous amènent à

suggérer une méthode de calcul basée sur une approche statistique en suivant la méthode

des courbes intensité - duré - fréquence (IDF) et similaire au calcul des phénomènes

naturels dans le Code national du bâtiment du Canada tel la charge pluie ou de la neige.

Cette méthode est développée de façon arbitraire est n'est qu'une esquisse de ce à quoi

pourrait ressembler une telle équation. L'idée est d'établir une façon d'évaluer la poussée

de la glace selon les conditions de chaque site, mais ceci requiert encore du travail. À la

lueur de ces résultats, réduire la poussée de la glace à une simple valeur est une

simplification. Il y a beaucoup de facteurs en cause et la variabilité de la poussée est

importante.

Les mesures prises lors de l'hiver 2007-2008 à La Gabelle ont montré l'importance du

nombre d'instruments de mesure nécessaire pour évaluer correctement la poussée de la

glace sur la face du barrage. En effet, un nombre insuffisant d'instruments ne permet pas

d'obtenir une valeur représentative de l'état de la poussée de la glace comme le montre la

figure 15 puisque la poussée de la glace n'est pas uniforme. Cette figure montre également

que le phénomène d'indentation est important. La figure 14 montre également la variabilité

spatiale de la poussée et lorsqu'on en fait une vidéo qui varie toutes les 15 minutes, on

remarque que l'indentation varie également dans le temps.

Une corrélation importante a été remarquée entre certains événements de fluctuation de

niveau d'eau et d'augmentation de la poussée de la glace. La figure 11 en est un exemple

probant dans laquelle le changement de niveau d'eau a provoqué au même moment un

changement de poussée de la glace. Cependant, il faut tenir compte des fluctuations

thermiques qui sont, elles aussi, responsable des fluctuations de poussée de la glace.

Conclusion 73

Aucune corrélation n'a pu être montrée entre la vitesse des événements et la vitesse de

fluctuation de poussée de la glace. Le phénomène de fluage pourrait expliquer la baisse

rapide de la poussée de la glace suite à un événement de génération de poussée, mais la

démonstration qu'il agit seul n'a pu être faite. Il est peu probable qu'il soit responsable à lui

seul de la baisse de poussée puisque, comme le montre le tableau 2, le ratio entre les

vitesses d'événement est beaucoup trop variable. Rappelons que les données d'un seul

hiver limitent l'extrapolation des observations faites,

5.1.2. Modélisation numérique La modélisation numérique a permis de mettre en évidence la relation entre vitesse de

déformation et vitesse de fluage qui semble être un paramètre important expliquant les

valeurs maximales de poussée de la glace enregistrée. En fait, plus un événement est rapide,

moins la glace a le temps de fluer. Parallèlement, plus la glace est chaude, plus elle flue

rapidement. Dans cette optique, une glace très froide subissant un événement de

déformation rapide atteindra des niveaux de contraintes maximaux. Ceci concorde avec

l'obtention de la poussée maximale mesurée lors du mois de février, mois plutôt froid, suite

à un événement de fluctuation de niveau d'eau rapide.

La fondation élastique simulée par des ressorts semble empêcher la rotation libre du

couvert de glace près du barrage. Cependant, des travaux supplémentaires devront être

réalisés afin de voir si c'est un problème numérique ou si c'est représentatif de ce qui se

produit réellement.

Il a été démontré que le module de Young a un impact faible, mais non négligeable sur les

résultats de modélisation numérique. Plus le module de Young est élevé, plus vite la glace

flue pour une même déformation, car plus grande sera la contrainte pour une même

déformation élastique. Ainsi, un mécanisme rapide de chargement entraînera des

contraintes beaucoup plus élevées pour une même déformation, mais qui ne durent pas

longtemps. U est conservateur de considérer un module de Young faible puisque la vitesse

de fluage est liée à cette valeur : faible module de Young implique faibles contraintes et

donc faible vitesse de fluage. En ce sens, le fluage élimine les contraintes et les poussées ce

qui n'est pas conservateur. Également, la variation du module de Young sur l'épaisseur

pourrait expliquer la présence d'une poussée plus importante sur le haut des panneaux

Conclusion 74

Carter. En général, le dessus des couverts de glace est composé de glace de neige ayant un

module de Young plus faible et donc fluant plus lentement que la glace secondaire située

sous cette dernière. Cette hypothèse reste à valider.

Les modélisations numériques semblent montrer que la température et les fluctuations de

niveau d'eau ont chacun un impact sur la variation de poussée de la glace. Il a été démontré

que la fluctuation de niveau d'eau provoque des déformations élastiques non négligeables.

Il faut pousser l'analyse plus loin pour la comparer aux poussées thermiques. U faut évaluer

cette situation pour des événements thermiques de longue durée lors desquels une rapide

augmentation de température suit un long refroidissement.

5.2. Comparaison des résultats expérimentaux à la modélisation Le modèle ne permet pas, à ce stade-ci, de représenter complètement un couvert de glace,

mais il s'agit de la première étape du projet mené par l'Université Laval conjointement

avec l'IREQ. Il a été mis en évidence que les effets liés à la fluctuation de niveau d'eau

entraînent des contraintes dans le couvert de glace tel que mesuré dans le couvert lors de la

campagne de mesure. Le fluage pourrait expliquer l'asymptote observée dans la poussée de

la glace intégrée lorsque les contraintes sont très faibles, le fluage devient très lent. Enfin, la

température froide diminue la vitesse de fluage ce qui explique des contraintes plus grandes

dans la glace lors des jours plus froids autant dans les résultats de la campagne de mesure

que dans les simulations numériques.

5.3. Travaux futurs et recommandations À la lumière des tests effectués, le modèle numérique élaboré dans ANSYS pourrait

permettre de déterminer la poussée de la glace sur un barrage, mais plusieurs tests et

améliorations doivent être réalisés. Il faut améliorer le calage entre les résultats

expérimentaux et le modèle, ajouter des fonctionnalités, mais malgré cela, ANSYS semble

prometteur, du moins à mon humble avis.

La liste non exhaustive des fonctionnalités à ajouter comprend : la gestion de la fissuration

dans le couvert de glace incluant le régime de fonte-regel, la simplification de la gestion des

conditions frontières, une révision des valeurs d'exposant de Glen pour les températures

Conclusion 75

près de zéro degré Celsius, l'insertion de couches de différents types de glace, le

raffinement des conditions thermiques environnantes tel la radiation et la convection et

l'implantation d'une interface facilitant l'utilisation du modèle. De plus, il serait intéressant

d'effectuer des simulations à grande échelle géométrique et de temps.

Au point de vue expérimental, et selon les résultats de cette étude, il faudrait procéder à

l'instrumentation permanente d'un site de référence permettant d'étudier la poussée de la

glace sur plusieurs décennies. Bien que ces résultats n'auront de réelle valeur que dans dix

ou quinze ans, ils permettraient de mieux évaluer la période de récurrence de la poussée de

la glace et ainsi de gérer plus efficacement le risque. Lors de prochaines campagnes de

mesures, il serait intéressant d'établir la distribution des contraintes en plan dans le couvert

de glace à l'aide d'un quadrillage de jauges afin d'obtenir le sens et la magnitude de la

poussée. Également, la forme de la fissure principale qui se forme devant le barrage

pourrait être un indicateur voir un facteur important dans le phénomène d'indentation.

Finalement, au terme de cette étude, il devient nécessaire d'utiliser plusieurs instruments de

mesure sur un même site afin de pallier le phénomène d'indentation.

Bibliographie 76

BIBLIOGRAPHIE Anctil, F., Rouselle, J., Lauzon, N., Hydrologie : cheminements de l'eau, Presses

internationales de l'École Polytechnique, 2005, 317p.

ANSYS Mechanical, version 12.1, ANSYS inc., 2008

Ashton, G.D., River and Lake Ice Engineering, Michigan, Water Ressources Publications.

1986,485p.

Association Canadienne des barrages (ACB), Les Directives pour la sécurité des barrages

2007, ACB, 2007, 82p.

Azarnejad, A., Hrudey, T.M., Thermal ice loads on structures, University of Alberta. 1996,

282p.

Barnes, P., Tabor, D., Walker, J.C.F., The friction and creep of poly crystalline ice,

Procedings of the Royal Society, Volume A324, 1971, pp. 127-155.

Bergdahl, L., Thermal Ice Pressures in Lake Ice Covers, Department of Hydraulics,

Chalmers University of Technology, Report Series A:2, 1978.

Bisanswa, D., Poussée de glaces en 2009 sur les barrages de la rivière St-Maurice, Faculté

des études supérieures de l'Université Laval, 2011, 11 lp.

Carter, D., Sodhi, D., Stander, E., Caron, O., Quach, T., Ice thrust in reservoirs, Journal of

cold regions engineering, December, 1998, pp. 169-183.

Comfort, G., Abdelnour, R., Gong, Y., Phase Il-Static Ice Loads on HydroElectric

Structures: Field Measurements and Large Scale Tests Conducted During the 1992-

1993 Winter, Fleet Technology Ltd, report 3985 submitted to the Canadian

Electrical Association, 1994.

Comfort, G., Gong, Y., Singh, S., Abdelnour, R., Static ice loads on dams, Canadian

Journal of Civil Engineering, Volume 30(1), 2003, pp.42-68.

Dumble, J.H., Some Observations on the Expansion and Contraction of Ice on Canadian

Waters, Canadian Society of Civil Engineers, Volume 5(2), 1891, pp.270-308.

Erbsa, D.G., Kleina, S.A., Duffiea, J.A., Estimation of the diffuse radiation fraction for

hourly, daily and monthly-average global radiation, Solar Energy Laboratory,

University of Wisconsin, Volume 28(4). 1981, pp. 293-302.

Bibliographie 77

Glen, J.W., The creep of poly crystalline ice, Cavendish Laboratory, University of

Cambridge, 1954, pp. 519-538.

Hydro-Québec, Norme d'évaluation de la stabilité des barrages-poids en béton, no. SB-61-

08-00, révisé en 2003, 16p.

Michel, B., Ice mechanics, Les presses de l'Université Laval, 1978, 499p.

Morse, B., Stander, E., Coté, A., Taras, A., Santerre, R., Prat, Y., Spatial-temporal

variability of ice forces, Accepted POAC2011, Montréal 10-14 July 2011.

Morse, B., Stander, E., Côté, A., Morse, J., Beaulieu, P., Tarras, A., Noël, P., Pratt, Y., Ice

interactions at a dam face, 15th Workshop on the Hydraulics of Ice Covered Rivers,

2009.

Morse, B., Stander, E., Coté, A., Richard, M., Desmet, V., Stress and Strain dynamics in a

hydro-electric reservoir ice sheet, Abstract accepted for CRIPE 2011, Winnipeg 18-

22 September 2011.

Nadreau, J.-P., Lois de comportement et de fluage de la glace granulaire simulée de crêtes

de pression, Faculté des études supérieures de l'Université Laval, 1985, 376p.

Pratt, Y., Les déformations spatiales et temporelles d'un couvert de glace d'un réservoir de

barrage, Faculté des études supérieures de l'Université Laval, 2010, 107p.

Royen, N., Ice pressure with increasing temperatures, Traduction par le US Army CREL,

Version originale en suédois, 1922.

Sand, B., Nonlinear finite element simulations of ice forces on offshore structures, Luleâ

University of Technology, 2008, 241 p.

Sanderson, T.J.O., Ice mechanics - Risk to Offshore Sutruture, Graham Trotman, London,

Great Britain, 1988, 253p.

Schulson, E.M., Duval, P., Creep and fracture of ice, Cambridge University press, 2009,

401 p.

Song, M., An evaluation of the rate-controlling flow process in Newtonian creep of

poly crystalline ice, Materials Science and Engineering Journal, Volume A486,

2007,pp.27-31.

Taras, A., Côté, A., Morse, B., Stander, E., Comfort, G., Noël, P., Prat, Y., Lupien, R.,

Measurement of ice thrust on dams, The Canadian Dam Association 2009 annual

conference, Whistler 3-9 October 2009.

Bibliographie 78

Taras, A., Côté, A., Comfort, G., Noël, P., Thériault, L., Morse, B, Ice Loading at Arnprior

and Barrett Chute Dams, Abstract accepted for CRIPE 2011, Winnipeg 18-22

September 2011.

Annexes 79

ANNEXE A — CODE APDL POUR ANSYS

Code de base (cube de référence)

FINISH FINISH /CLEAR,all /units,si /UDOC,1,DATE,0 /PREP7

COMMENTS

UNITS = deg C, m, N, joule, s. Pa, kg REFERENCE : 3.3. Sample Thermal-Stress

Analysis of a Thick-walled Cylinder (Batch or Command Method)

=== PROPRIETES

_tref=273.15 _Q=74500 _R=8.3145 _nglen=3.651 _B=9.72e7*(10**(-6*_nglen))

_ratioYoung ■= 1.0

_temp_chaud=2 73 _temp_dessus=_temp_chaud-5

!====== Paramètres d'analyse temps_analyse=86 400 temps=1800 temps_max=1800 temps_min=1800

!====== DIMENSIONS _1 = 1 _w=l _h=l _ep=0.1

!====== Nb séparations _nb_sep_l_therm=20 _nb_sep_w_therm=10 _nb_sep_h_therm=4 _nb_sep_l_struct=20 _nb_sep_w_struct=10 _nb_sep_h_struct=4

/PREP7 tref,273 toffst,0

=== THERMAL MODEL====»==========

et,1,90 thermique 90

!====== MAT 1 PROP. MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,243.15 MPTEMP,2,273.15 MPDATA,EX,1,,_ratioYoung*8.296e9 MPDATA,EX,1,,_ratioYoung*6.1e9 MPDATA,PRXY,1, , 0.35

lEléments

MPDATA,PRXY, 1, ,0.35 MPDATA,C,1, , 1897.5 MPDATA,C,1,,2040 MPDATA,DENS, 1, ,916.6 MPDATA,DENS,1, , 916.6 MPDATA,KXX,1, ,2.105 MPDATA,KXX,1, , 1.88 UIMP,1,REFT, , ,_tref MPDATA,ALPX,1,,4.86e-5 MPDATA,ALPX,1,,5.4e-5 TB,CREE,1,2,3,10 TBTEMP,243.15 TBDATA, , _B, _nglen, _Q/_R, TBTEMP.273.15 TBDATA, ,_B,_nglen,_Q/_R,

!====== GEO BLOCK, 0,_1, 0,_h,0,_w vsel,s,loc,z,0,_w mat, 1 cm,voll,volu

!====== NB SÉPARATIONS lsel,s,loc,x,0.001,_l-0.001 cm,setl,line lesize,setl,,,_nb_sep_l_therm

lsel,s,loc,z,0.001,_w-0.001 cm,set2,line lesize,set2,,,_nb_sep_w_therm

lsel,s,loc,y,0.001,_h-0.001 cm,set3,line lesize,set3,,,_nb_sep_h_therm

allsel,all !====== MAILLAGE vmesh,voll

! ====== Flux de chaleur nul contour nsle nsel,r,loc,z,0 nsel,a,loc,z, _w nsel,a,loc,x,0 nsel,a,loc,x,_l nsel,u,loc,y,-_ep,0 nsel,u,loc,y, _h,_h+_ep cm, faces_contour,node

sf,faces_contour,HFLUX,0

!====== CONDITONS TEMPÉRATURES nsel,s,loc,y,_h,_h+_ep cm,volmoins10,node

nsel, s, loc,y,-_ep,0 cm, volO,node d,volO,temp,_temp_chaud

allsel.all

;= STRUCTURAL MODEL»

et,2,186 structurel 186

!====== MAT 2 PROP. MPTEMP,,,,,,,,

Annexes 80

M P T E M P , 1 , 2 4 3 . 1 5 M P T E M P , 2 , 2 7 3 . 1 5 MPDATA,EX,2, ,_ratioYoung-8.296e9 MPDATA,EX,2,,_ratioYoung*6.Ie9 MPDATA,PRXY,2,,0.35 MPDATA,PRXY,2,,0.35 MPDATA,C,2,,1897.5 MPDATA,C,2,,2040 MPDATA,DENS,2,,916.6 MPDATA,DENS,2,,916.6 MPDATA,KXX,2,,2.105 MPDATA,KXX,2,,1.88 UIMP,1,REFT,,,_tref MPDATA,ALPX,2,,4.86e-5 MPDATA,ALPX,2,,5.4e-5 TB,CREE,2,2,3,10 TBTEMP,243.15 TBDATA,,_B,_nglen,_Q/_R, , , TBTEMP,273.15 TBDATA, ,_B,__nglen,_Q/_R, , ,

!======= GEO BLOCK, 0,_l,0,_h, 0,_w

!====== NB SÉPARATIONS lsel,s,loc,x,0.001,_1-0.001 cm,setl,line lesize,setl, ,,_nb_sep_l_struct

*DIM,deplutile,array, NXX,NYY, 1 step_l=l depll=depl(1)

!donnees=temps/1800 !fin=temps_analyse/1800+2 ! *DO,step,donnees + 1,fin,données ! déplutile(step_l) = (depl(step)-depll) !step_l=step_l+l !*ENDDO

TUNIF,2 73 /prep7 esel,s,type,,2 esel,a,type,,1 bfe,ail,fvin,,1 for load transfer finish

parsav,ail,variable_all

!==== Solution statique

! volumetric flag

lsel,s,loc,z,0.001,_w-0.001 cm,set2,line lesize,set2, ,,_nb_sep_w_struct

lsel, s, loc, y, 0 . 001,__h-0 . 001 cm,set3,line lesize, set3, , ,__nb_sep_h_struct

!====== MAILLAGE

vatt,2,1,2 vmesh,ail

!====== physical constraints esel,s,type,,2 nsle nsel,r,loc,x,_l/2 nsel,r,loc,z,_w/2 d,all,ux,0 d,all,uz,0

! ====== Sélection bord avec déplacement esel,s,type,,2 nsle nsel,r, loc,x,_l cm,points_mouv,node

!====== LECTURE FICHIER FONDATION ÉLASTIQUE /INPUT,FONDATION_BARRE,inp

allsel,all /replot

déplacements hauteur d'eau

Lectures déplacements

NX = 48 !== nombre de lignes NY = 1 !== nombre de colonnes *DIM,depl,table,NX,NY,1 *TREAD,depl,depl_centre,txt

!====== Vecteurs de déplacement utiles nb_lignes=temps_analyse/temps NXX = nb_lignes !== nombre de lignes NYY = 1 !== nombre de colonnes

/solu te=l *set,temp_top,-20*sin(te/27500)+_temp_dessus temperature=temp_top deplacement_vert=0 parsav,,variable_loop rate,1 deltim,0.5,0.25,0.5 kbc,0 mfan,on analysis mfel,l,1 mfel,2,2,3 Structural mfor,1,2 (thermal, structure) mfti,te the analysis mfdt,0.5 within a stagger mfit,5,1,5 loops mfre,all,0.75,LINT relaxation parameter mffn,1,barre_therm_th_st___ mf fn, 2, barre_struct_th___st mfvo,1,1,temp, 2 transfer (temp to structure) antype,0 parres, , variable__loop sf,volmoinslO,conv,100000,temperature eqslv,sparse mfcm,1 ! Write thermal analysis options outres,all,all antype,0 parres,,variable_loop !D,points_mouv,uy,deplacement_vert ! laisser libre pour permettre a la glace de se contracter. eqslv,sparse mfcm,2 ! Write structure analysis options solve finish

parres,,variable_all

! Activate MFS

! Field #1: Thermal

! Field #2:

! Field order

! Time at the end of

One field loop

! Max 5 stagger

! Field transfer

! Field #1 filename ! Field #2 filename ! Volumetric load

Annexes

!=== Solution transitoire départ pour permettre une solution en boucle

/solu te=temps *set,temp_top,-20*sin(te/27500)+__temp__dessus temperature=temp_top deplacement_vert=depl(1) parsav,,variable_loop rate,1 deltim,temps,temps,temps kbc,0 mfrstart,-l ! Restart seulement si analyse statique avant mfan,on ! Activate MFS analysis mfel,l,l ! Champ #1: Thermal mfel,2,2,3 ! Champ #2: Structural mfor,l,2 ! Champ order (thermal, structure) mfti,te ! Temps à la fin de 1'analyse mfdt,temps mfit,5,l,5 ! 5 boucle maximum mfre,ail,0.75,LINT ! Paramètre de relaxation de transfert de champ mffn,1,barre_therm_th_st_v ! Champ #1 nom de fichier mf fn, 2, barre_struct_th__st_v ! Champ #2 nom de fichier mfvo,1,1,temp,2 ! Transfert de charge volumétrique (thermique vers structurel) antype,4 parres,,variable_loop sf,volmoinslO,conv,100000,temperature TRNOPT,full eqslv,sparse mfcm,1 ! Écriture des options d'analyse thermique outres,all,ail antype,4 parres,,variable_loop !D,points_mouv,uy,deplacement_vert TRNOPT,full eqslv,sparse mfcm,2 ! Écriture des options d'analyse structurelle solve finish

parres,,variable_all

81

*DO,te,temps+temps,temps_analyse,temps /solu *set,temp_top,-20*sin(te/27500)+_temp_dessus temperature=temp_top valeur=te/temps deplacement___yert=depl (valeur) parsav,,variable_loop rate,1 deltim,temps,temps, temps kbc, 0 mf rstart,-1 mfan,on ! Activate MFS analysis mfel,l,l ! Field #1: Thermal mfel,2,2,3 ! Field #2: Structural mfor,l,2 ! Field order (thermal, structure) mfti,te ! Time at the end of the analysis mfdt,temps ! One field loop within a stagger mfit,5,l,5 ! Max 5 stagger loops mfre,all,0.75,LINT ! Field transfer relaxation parameter mffn,1,barre_therm_th_st_v ! Field #1 filename mf f n, 2, barre_struct__th_st_v ! Field #2 filename mfvo,1,1,temp,2 ! Volumetric load transfer (temp to structure) antype,4 parres, , variable__loop sf,volmoinslO,conv,10000 0,temperature TRNOPT,full eqslv,icg mfcm,1 ! Write thermal analysis options outres,all,all antype,4 parres,,variable_loop D,points_mouv,uy,deplacement_vert TRNOPT,full eqslv,icg mfcm,2 ! Write structure analysis options solve finish parres,,variable_all *ENDDO

Annexes 82

ANNEXE B — CODE POUR LA POUSSÉE D'ARCHIMÈDE (RESSORTS)

Nom du fichier par défaut : FONDATION_BARRE.inp

!====== Fondation élastique !====Données /prep7 esel,s,type,,2 •GET, nbtype2, ELEM, 0, count nb_aires=nbtype2/_nb_sep_h_struct aire_totale=_l*_h aire_elem=aire_totale/nb_aires

_rho_water=1000 _rho_ice=916.6 _g-9.80566 _a=(l-916.6/1000)*_h _b=916.6/1000*_h _hl=-10*_h _kl=-_g*_rho_water*aire_elem _h2=-_a _k2=-_g*_rho_water*aire_elem _h3=0 _k3=0 _h4=_b _k4=_g*_rho_ice*aire_elem _h5=10*_h _k5=_g*_rho_ice*aire_elem

/prep7 et,3,combin39,,,2 R, 3,_hl,_kl/4,_h2,_k2/4,_h3,_k3/4 RMORE,_h4,_k4/4,_h5,_k5/4

!!!!!!! noeud 9 !!!!!! /prep7 esel,s,type,,1 *GET, Nelem, ELEM, 0, count esel,s, type,,2 •GET, NelemSUITE, ELEM, 0, count w=Nelem+NelemSUITE depart=Nelem+l •DO, Nel,depart,w,1 •GET,node9,ELEM,Nel,NODE,9 •GET, posX9, NODE, node9, LOC, X •GET, posY9, NODE, node9, LOC, Y •GET, posZ9, NODE, node9, LOC, Z

*IF,posY9, EQ, 0, THEN N,(100000+node9),posX9,0,posZ9 type,3 real,3 E,node9,(100000+node9) d, (100000+node9),ux,0 d, (100000+node9),uy,0 d, (100000+node9),uz,0

•ELSE •ENDIF •ENDDO

!!!!!!! noeud 13 !!!!!! /prep7 esel,s,type,,1 •GET, Nelem, ELEM, 0, count esel,s,type,,2 *GET, NelemSUITE, ELEM, 0, count w=Nelem+NelemSUITE depart=Nelem+l •DO,Nel,depart,w,1 •GET,nodel3,ELEM,Nel,NODE,13 •GET, posX13, NODE, nodel3, LOC, X *GET, posY13, NODE, nodel3, LOC, Y

*GET, posZ13, NODE, nodel3, LOC, Z

*IF,posY13, EQ, 0, THEN N,(100000+nodel3),posX13,0,posZ13 type,3 real,3 E,nodel3,(100000+nodel3) d, (100000 + nodel3),ux, 0 d, (100000+nodel3),uy, 0 d,<100000+nodel3),uz,0


!!!!!!! noeud 17 !!!!!! /prep7 esel,s,type,,1 *GET, Nelem, ELEM, 0, count esel,s,type,,2 *GET, NelemSUITE, ELEM, 0, count w=Nelem+NelemSUITE depart=Nelem+l *DO,Nel,depart,w,1 •GET,nodel7,ELEM,Nel,NODE,17 *GET, posX17, NODE, nodel7, LOC, X *GET, posY17, NODE, nodel7, LOC, Y *GET, posZ17, NODE, nOdel7, LOC, Z

*IF,posY17, EQ, 0, THEN N,(100000+nodel7),posX17,0,posZ17 type,3 real,3 E,nodel7,(100000+nodel7) d,(100000+nodel7),ux,0 d,(100000+nodel7),uy,0 d, (100000+nodel7),uz, 0


!!!!!!! noeud 18 !!!!!! /prep7 esel,s,type,,1 •GET, Nelem, ELEM, 0, count esel,s,type,,2 •GET, NelemSUITE, ELEM, 0, count w=Nelem+NelemSUITE depart=Nelem+l •DO,Nel,depart,w,1 *GET,nodel8,ELEM,Nel,NODE,18 *GET, posX18, NODE, nodel8, LOC, X •GET, posY18, NODE, nodel8, LOC, Y •GET, posZ18, NODE, nodel8, LOC, Z

*IF,posY18, EQ, 0, THEN N,(100 000+nodel8),posX18,0,posZ18 type,3 real,3 E,nodel8,(100000+nodel8) d,(100000+nodel8),ux,0 d,(100000+nodel8),uy,0 d,(100000+nodel8),uz,0


Annexes 83

ANNEXE C — DÉPLACEMENTS IMPOSÉS

Nom du fichier par défaut : depl_centre.txt

1 , -0,020833333 2 , -0,041666667 3 -0,0625 4 , -0,083333333 5 -0,104166667 6 -0,125 7 -0,145833333 8 -0,166666667 9 -0,1875 10 -0,208333333 11 -0,229166667 12 -0,25 13 -0,270833333 14 -0,291666667 15 -0,3125 16 -0,333333333 17 -0,354166667 18 -0,375 19 -0,395833333 20 -0,416666667 21 -0,4375 22 -0,458333333 23 -0,479166667 24 -0,5 25 -0,5 26 -0,5 27 -0,5 28 -0,5 29 -0,5 30 -0,5 31 -0,5 32 -0,5 33 -0,5 34 -0,5 35 -0,5 36 -0,5 37 -0,5 38 -0,5 39 -0,5 40 -0,5 41 -0,5 42 -0,5 43 -0,5 44 , -0,5 45 , -0,5 46 , -0,5 47 , -0,5 48 -0,5

Annexes 84

A N N E X E D — C O D E M A P L E

on impose ici la déformation totale suivante

> restart: > with(plots) ##relaxation: ##Relaxation ##La déformation totale est imposée > eps : = eps_max*(1-exp(-alpha*t)); ##Modèle élastique + viscosité Hl'EDO à résoudre est ##epsilon= epsilon_elastique + epsilon_visqueux ##sigma = E * epsilon_elastique ##sigma = E * ( epsilon - epsilon__visqueux) ##sigma = eta * (d epsilon_visqueux / dt)~l/n ##eta * (d epsilon_visqueux / dt)Al/n - E * ( epsilon - epsilon_visqueux) = 0 ##eta * (d epsilon_visqueux / dt) - ( E * ( epsilon - epsilon_visqueux) ) An = 0 ##(d epsilon_visqueux / dt) - ( E / eta) An * ( epsilon - epsilon_visqueux) ~n = ##on résoud avec un schéma euler implicite. Le problème non linéaire est résolu par Newton-Raphson > eqn:= diff( epsilon[v](t),t) - B*NRJ*(E)-(A)*(eps-epsilon[v](t))*(A); > r:= epsilon[T+DT] - epsilon[T] - B*NRJ*delta[T]*(E)"A* (eps-epsilon[T+DT])'A; > kt:= diff(r,epsilon[T+DT]); > t:=0.: epsllon[T+DT]:=0.: epsilon[T] E eta eps_max A B

Q R deg NRJ alpha delta[T] t Bbb Bec n_time_step nb_heures

= 0. : = 2500*10'(6): #5000 = 84*10A

(6): #sert a rien = 0.00001: = 3.08: #3.08 = 9.72e7*10"(-6*A); #snow 9.13*10'(-4)*4.712*10-10; ♦coefficient de > fluage (Pa'-n sA-= 74500: = 8.3145: = 263: = exp(-Q/R/deg); = 10: = 100: = t + delta[T]: = evalf(l/eta~A); = B*NRJ; = 1000: :=evalf(delta[T]*n_time_step/3600)

♦module de Young (Pa)

1)

nb_jours :=evalf(nb_heures/24) , nb_annees :=evalf(nb_jours/365):

+ delta_epsilon;

for m from 1 to n_time_step do epsilon[T]:= epsilon[T+DT]: epsilon_V[m]:=epsilon[T+DT]: epsilon_E[m]:= eps-epsilon_V[m]: t_table[m]:= t : t : - t + d e l t a [ T ] : for n from 1 to 10 do delta_epsilon:= -r/kt; epsilon[T+DT]:- epsilon[T+DT]

od: od: t: = 't ' :

> epsilon_V[2] ; t _ t a b l e [ 2 ] ;

##epsilon visqueux fet du temps > 11:=pointplot((seq([t_table[n],epsilon_V[n]],n=l.. n__time__step)}):

##epsilon élastique fet du temps > 12:=pointplot((seq([t_table[n],epsilon_E[n]],n=l..n_time_step)},color=red): > 13:= plot(eps,t=0..n_time_step*delta[T],color=blue):

> display(11, 12,13) ;

##Contrainte fet du temps > pointplot((seq([t_table[n],E*epsilon_E[n]],n=l..n_time_step)});

> fd := fopen("barnes.txt", WRITE); for i from 1 to n_time_step do

fprintf(fd,"%g %g %g %g\n",t_table[i],epsilon_E[i],epsilon_V[i],E*epsilon_E[i]); od: fclose(fd);

Annexes 85

ANNEXE E — RÉSULTATS GRAPHIQUES D'ANSYS Rendus 3D au temps 8 heures pour les cas présentés au tableau 6, page 64. Prendre note

qu'il s'agit d'une coupe longitudinale de la poutre. Échelle des déformations 1:10.

Fluctuation de niveau d'eau

CNE

-549688 -254068 41552 337172 632792 -401878 -106258 189362 484982 780602

Annexes 86

CNR

VNE

-560143 -224105 111932 447969 784007 -392124 -56087 279951 615988 952026

Annexes 87

VNR

MX

Annexes 88

Chargement axial

CAE

-408934 -296560 -184186 -71813 40561 -352747 -240373 -128000 -15626 96748

CAR

-495414 -348281 -201148 -54015 93118 -421848 -274715 -127582 19551 166685

VAE MX

-446419 -298929 -151440 -3950 143540 -372674 -225184 -77695 69795 217285

Annexes 89

VAR MX

-506083 -322114 -138146 45823 229792 -414099 -230130 -46161 137807 321776

Download - Modélisation par éléments finis du comportement thermomécanique

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