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MicroéconomieMicroéconomie

Sébastien Rouillon2011

(1-ière version 2008)

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1. Th. du choix rationnel

On note :A = {a, b, …} = l’ens. des choix possibles ;R = une relation de préférence, déf. sur A.

La proposition :a R b

se lit :"Le choix a est au moins aussi bon

que le choix b".

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1. Th. du choix rationnel

On dit que la relation de préférence R est rationnelle si :

• elle est complète : pour tout x et y de A, on a x R y ou y R x ;

• elle est transitive : pour tout x, y et z de A, si x R y et y R z, alors x R z.

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1. Th. du choix rationnel

On déduit de R une relation :• de préférence stricte, notée P :

a P b équivaut à : a R b et non b R a.• d’indifférence, notée I :

a I b équivaut à : a R b et b R a.

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1. Th. du choix rationnel

La fonction U(x), définie sur A, représente R si, pour tout x et y dans A, x R y équivaut à U(x) ≥ U(y).

On dit alors que U est une fonction d’utilité représentant la relation de préférence R.

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2. Le consommateurLe problème du consommateur est

de choisir quelles quantités acheter des biens disponibles dans l’économie.

Notons :K = le nombre de biens disponibles ;x = (x1, …, xK) IRK = un plan de consommation du consommateur.

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2.1 L’ensemble de consommation

Les choix du consommateur sont limités par des contraintes physiques et/ou légales.

Par ex. :• le temps de loisir est au plus égal à

24h/j ;• en Europe, le temps de travail ne peut

pas dépasser 48h par semaine.

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2.1 L’ensemble de consommation

On définit l’ensemble de consommation, noté X, comme tous les plans de consommation compatibles avec ces contraintes.

Sauf mention contraire, on supposera que :X = {x IRK ; xk ≥ 0, pour k = 1, …, K}

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2.2 L’ensemble de budget

Les choix du consommateur sont aussi limités par les prix des biens et son revenu.

On note :p = (p1, …, pK) = le vecteur de prix (p >> 0) ;R = le revenu du consommateur (R > 0).

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2.2 L’ensemble de budget

On définit l’ensemble de budget, noté B, comme tous les plans de consommation coûtant au plus le revenu du consommateur :

B = {x IRK ; p•x = Σk pk xk R}

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2.3 Représentation graphique

x1

x2

B

Le consommateurdoit choisir un plande consommationdans X (contraintesphysiques et/ou légales)et dans B (contrainteséconomiques).

X

Droite de budget

XB

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2.4 Les préférences du consommateur

On note R la relation de préférence du consommateur, définie sur son ensemble de consommation X.

Pour la suite, on suppose (sauf mention contraire) que R est rationnelle, monotone, strictement convexe et continue.

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2.4 Les préférences du consommateur

Pour tout panier de consommation x dans X, on peut définir trois sous-ensembles de X :

• l’ens. des paniers au moins aussi bon que x :

(+) = {x’ X ; x’ R x} ;• l’ens. des paniers équivalents à x :

(~) = {x’ X ; x’ I x} ;• l’ens. des paniers au plus aussi bon que

x :(-) = {x’ X ; x R x’}.

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2.4.1 Préférences monotones

x’

x1

x2

x

On dit que R est monotone si, pourtout x et x’ dans X,x’ >> x implique x’ P x.

Donc, l’ens. (+) despoints au moins aussibien que x contienttous les points au NEde x.

••

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2.4.2 Préférences strictement convexes

x’

x1

x2

x

On dit que R est strict.convexe si, pour tout x,x’ R x et x’’ R ximpliquent que(t x’ + (1–t) x’’) P x,pour tout 0 < t < 1.

Cela implique que l’ens.(+) des points au moinsaussi bien que x estconvexe.

••

x’’•

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2.4.3 Préférences continues

x1

x2 On dit que R estcontinue si, pour tout x,l’ens. (+) des points aumoins aussi bien que xet l’ens. (-) des pointsau plus aussi bien que xsont tous les deuxfermés (ils contiennentleur frontière).

(+)

(-)x•

(~)

Courbe d’indifférence

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2.5 Fonction d’utilitéLa proposition suivante justifie l’intérêt de

supposer la continuité de R :

Si la relation de préférences R du consommateur est rationnelle et continue, il existe une fonction d’utilité U(x) continue représentant R.

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2.5 Fonction d’utilitéIl convient de comprendre qu’ainsi

construite, une fonction d’utilité n’est qu’une autre manière (plus commode mathématiquement) de représenter les préférences du consommateur.

C’est un indice, construit pour représenter un classement des paniers de biens.

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2.5 Fonction d’utilitéLa propriété suivante peut aider à y voir

plus clair :Si U(x) est une fonction d’utilité représentant R, toute fonction f(U(x)), où f : IR IR est strictement croissante, est aussi une fonction d’utilité représentant R.

On dit que la fonction d’utilité U(x) est ordinale.

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2.5 Fonction d’utilitéAinsi, le terme "utilité" ne renvoie à

aucune idée de mesure du bien-être, puisque le nombre U(x), associé au panier de consommation x, n’a aucune signification.

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2.5 Fonction d’utilitéPour tout plan de consommation x

dans X, on peut redéfinir les ensembles (~), (+) et (-), en utilisant U(x) :

(+) = {x’ X ; U(x’) ≥ U(x)} ;(~) = {x’ X ; U(x’) = U(x)} ;(-) = {x’ X ; U(x) ≥ U(x’)}.

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2.5.1 PropriétésLes propriétés suivantes de U(x)

découlent des hypothèses posées sur R :

• Elle est croissante : si x’ >> x, alors U(x’) > U(x). (Car R est monotone.)

• Elle est strictement quasi-concave : pour tout x’ et x’’, U(t x’ + (1 – t) x’’) > min{U(x’), U(x’’)}, pour tout 0 < t < 1. (Car R est strictement convexe.)

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2.5.2 Représentation graphique

x1

x2 Les courbes d’indif. ne se croisent pas.Elles tournent leur concavité vers l’origine.L’indice d’utilité asso-ciée croît à mesure qu’on s’éloigne de l’ori-gine.

Utilité

croi

ssan

te

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2.5 ExercicesOn considère le cas K = 2 et la fonction

d’utilité U(x) = x1a x2

1–a, avec 0 < a < 1. (Famille des fonctions d’utilité dites Cobb-Douglas.)

On prendra le cas où a = 1/2.Tracer les courbes d’indifférence U(x) = u,

pour u = 0, 1, 2.Représenter les ensembles (+) et (-)

associés au panier de bien x = (1, 1).

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2.6 HypothèsesCi-dessous, on admet l’hypothèse

de concurrence pure et parfaite. On suppose donc que le consommateur considère les prix comme des données et pense pouvoir acheter ou vendre aux prix du marché toute quantité qu’il désire.

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2.6 HypothèsesLes hypothèses suivantes sont implicites

dans toute la théorie à suivre :• Information parfaite : Le consommateur

connaît ses préférences, les prix et son revenu ;

• Rationalité parfaite : Le consommateur peut résoudre, sans coût et sans erreur, n’importe quel problème d’optimisation sous contrainte.

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2.7 L’équilibre du consommateur

Le problème du consommateur est de choisir, dans son ensemble de consommation X et dans son ensemble de budget B, un panier de consommation x, pour obtenir une utilité U(x) la plus grande possible.

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2.7 L’équilibre du consommateur

On définit un équilibre du consommateur comme toute solution x* du problème de maximisation de l’utilité suivant :

Max U(x),sous les contraintes :x X,Σk pk xk R.

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2.7.1 Questions techniques

Sous les hypothèses retenues, il existe un unique équilibre du consommateur.

L’existence découle du fait qu’on maximise une fonction continue sur un ensemble non vide, fermé et borné.

L’unicité découle de la quasi-concavité stricte de la fonction d’utilité (ou, de façon équivalente, de la convexité stricte de R).

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2.7.2 Détermination graphique

x1

x2 Le pb revient à trouverx dans X et B, qui soitsur une courbe d’indif.la plus éloignée possiblede l’origine. L’équilibrex* se situe au point detangence entre cettecourbe d’indif. et ladroite de budget (pourune sol° intérieure).

XB

x*•

R/p1

R/p2

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2.7.3 Conditions marginales

On suppose ici que la fonction d’utilité U(x) est continûment différentiable.

On définit le taux marginal de substitution en x du bien 1 par le bien k, noté TMS1k, par :

TMS1k = U1’(x)/Uk’(x).

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2.7.3 Conditions marginales

Le TMS1k en x mesure le nombre d’unités du bien k qui, compte tenu des préférences du consommateur, sont nécessaires pour compenser la perte d’une unité (infiniment petite) du bien 1, à partir du panier de consommation x.

Graphiquement, c’est la pente, au point x, de la courbe d’indifférence passant par x (en valeur absolue), dans le plan (O, x1, xk).

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2.7.3 Conditions marginales

x1

x2 Si l’éq. x* du conso. estintérieur à X, la courbed’indif. passant par x* et la droite de budgetsont tangentes en x*.Donc, elles ont mêmepente : TMS12 = p1/p2,et x* appartient à ladroite de budget.

XB

x*•

R/p1

R/p2

TMS12

p1/p2

NB : Les pentes sont données en v.a.

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2.7.3 Conditions marginales

En généralisant, on obtient l’importante propriété :

S’il est intérieur à X, un équilibre du consommateur x* vérifie les conditions :

TMS1k = p1/pk, pour k = 1, …, K,Σk pk xk* = R,

où les TMS1k sont calculés en x*.

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2.7.3 Conditions marginales

On peut la retrouver à l’aide du Th. du Lagrangien.

Si x* est une solution intérieure du problème de maximisation de l’utilité, il existe un nombre a (appelé multiplicateur de Lagrange) et une fonction (appelée fonction Lagrangienne) :

L(x) = U(x) – a (Σk pk xk – R),tels que x* vérifie les conditions :

Lk’(x*) = Uk’(x*) – a pk = 0, pour k = 1, …, K,

Σk pk xk* = R.

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2.7 Exercices1) Construire une figure où l’équilibre du

consommateur est sur la frontière de l’ensemble de consommation.

2) Calculer l’équilibre du consommateur dans le cas d’une fonction Cobb-Douglas, avec a = p1 = p2 = 1/2 et R = 1.

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2.8 Problème dualPour la suite, on doit aussi étudier le

problème de minimisation de la dépense suivant :

Min p•x = Σk pk xk,sous les contraintes :x X,U(x) ≥ u.

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2.8.1 Questions techniques

Sous les hypothèses retenues, il a une solution unique.

L’existence découle du fait qu’on maximise une fonction continue sur un ensemble non vide, fermé et borné inférieurement.

L’unicité découle de la quasi-concavité stricte de la fonction d’utilité (ou, de façon équivalente, la convexité stricte de R).

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2.8.2 Détermination graphique

x1

x2 Le pb revient à trouverx X tel que U(x) ≥ u,qui soit sur une droitede budget p•x = Cstela plus proche possiblede l’origine.L’équilibre x* se situeau point de tangence de cette droite avec la courbe d’indif.U(x) = u (pour une sol° intérieure).

U(x) ≥ u

x*•

Droites de budget :p•x = Cste

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2.8.3 Conditions marginales

Supposons à nouveau que U(x) soit continûment différentiable.

La propriété suivante caractérise une solution intérieure du problème de minimisation de la dépense.

Si elle est intérieure à X, une solution x* du problème de minimisation de la dépense vérifie les conditions :

TMS1k = p1/pk, pour k = 1, …, K,U(x*) = u,

où les TMS1k sont calculés en x*.

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2.8.3 Conditions marginales

x1

x2 Ce graphique illustreet justifie la propriétéprécédente.La solution x* du pbest au point de tangenceentre la courbe d’indif.et la droite de budget.Donc, TMS12 = p1/p2 etU(x*) = u.

U(x) = u

x*•• TMS12

p1/p2

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2.9 Définitions des fonctions de demande

On peut déduire des problèmes précédents les définitions de deux fonctions de demande.

Le problème de maximisation de l’utilité détermine une fonction de demande dite marshallienne (ou non compensée).

Le problème de minimisation de la dépense détermine une fonction de demande dite hicksienne (ou compensée).

Elles sont bien définies, du fait de l’existence et de l’unicité des solutions.

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2.9.1 Fonctions de demande

marshalliennesOn définit la f° de demande

marshallienne (ou non compensée), comme la fonction d(p, R), qui associe à tout vecteur de prix p = (p1, …, pK) et à tout revenu R, la solution correspondante x* = (x1*, …, xK*) du problème de maximisation de l’utilité.

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2.9.2 Fonctions de demande hicksiennes

On définit la f° de demande hicksienne (ou compensée), comme la fonction h(p, u), qui associe à tout vecteur de prix p = (p1, …, pK) et à tout niveau d’utilité u ≥ U(0), la solution correspondante x* = (x1*, …, xK*) du problème de minimisation de la dépense.

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2.9 ExercicesEn considérant la famille des fonctions d’utilité

Cobb-Douglas U(x) = x1a x2

1–a, avec 0 < a < 1, montrer que :

• les f° de demande marshalliennes s’écrivent :d1(p1, p2, R) = a R/p1 ;d2(p1, p2, R) = (1–a) R/p2.

• les f° de demande hicksiennes s’écrivent :h1(p1, p2, u) = [ap2/(1–a)p1]1–a u ;h2(p1, p2, u) = [(1–a)p1/ap2]a u.

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2.10 Propriétés des f° de demande

La fonction de demande marshallienne vérifie les propriétés suivantes :

• Elle est homogène de degré 0 : d(t p, t R) = d(p, R), pour tout t > 0 ;

• Elle vérifie la loi de Walras : Σk pk dk(p, R) = R ;

• Elle est continue.

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2.10 Propriétés

x1

x2 Si on multiplie tous lesprix et le revenu par un même nombre positif,le problème du conso.est inchangé (l’ens. XBet la famille des courbesd’indif. ne changent pas)et a donc même solution.

XB

x*•

R/p1

R/p2

Preuve de la première propriété.

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2.10 Propriétés

x1

x2 Si x* est intérieur à B, il existe x’ dans XB tel que x’ >> x*.Or, comme les préf. sont monotones, on a alors U(x’) > U(x*).Ceci contredit le fait que x* soit équilibre du conso.

XBx*•

R/p1

R/p2

x’•

Preuve (par l’absurde)de la seconde propriété.

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2.10 PropriétésOn a des propriétés similaires pour

la fonction de demande hicksiennes :

• Elle est homogène de degré 0 en p : h(t p, u) = h(p, u), pour tout t > 0 ;

• Elle vérifie : U(h(p, u)) = u ;• Elle est continue.

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2.10 Propriétés

x1

x2 Si on multiplie tous lesprix par un mêmenombre positif, le pbde min° de la dép. estinchangée (mêmescontraintes, mêmeobjectif). Il a doncmême solution.

U(x) = u

x*••

Preuve de la première propriété.

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2.10 Propriétés

x1

x2 Si U(x*) > u, posonsx’ = t x*, 0 < t < 1. Pour t assez proche de 1, on a : U(x’) ≥ u (car U est continue) et x’ << x*.Donc, x* n’est pas sol°du pb de minimisationde la dépense (car on ap•x’ < p•x* et U(x’) ≥ u).

U(x) = u

x*•x’•

Preuve (par l’absurde)de la seconde propriété.

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2.10 ExercicesEn considérant la famille des

fonctions d’utilité Cobb-Douglas U(x) = x1

a x21–a, avec 0 < a < 1,

vérifier ces propriétés des fonctions de demande marshallienne et hicksienne.

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2.11 Variations du revenu

x1

x2 Une var° du rev. setraduit par un déplace-ment parallèle de ladroite de budget.Les éq. du conso.consécutifs décriventune courbe, appeléesentier d’expansion durevenu.

x*•

••

Sentierd’expansiondu revenu

x-

x+

R- < R < R+

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2.11 Variations du revenu

Sur la figure précédente, la demande des deux biens augmente avec le revenu.

On parle de biens supérieurs.Il est possible de construire des exemples

où la demande d’un des biens diminue avec le revenu.

On parle de biens inférieurs.

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2.11 Exercices1) Donner un exemple de graphique

où le bien 1 est un bien inférieur.2) Déterminer l’expression du

sentier d’expansion du revenu pour la famille des fonctions d’utilité Cobb-Douglas.

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2.12 Variations des prix

x1

x2 On représente icil’effet d’une variationdu prix du bien 1(de p1 à p1’ ou à p1’’).En parcourant tous lesprix p1 possibles, puisen reliant les équilibresassociés, on trace unecourbe, dite courbeprix-consommation.

x*••x’

R/p1

R/p2

p1’ > p1 > p1’’

Courbeprix-

conso.

•x’’

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2.12 Variations des prix

p1

Dans le plan (O, p1, x1),il découle de la figureprécédente la repré-sentation suivanted’une courbe dedemande (p2 et R étantdonnés).

p1

••

x1*

x1’’

p1’’ p1’

x1’ •

d1(p1, p2, R)

x1

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2.12 Variations du prixEn se reportant à la première figure,

on constate que :• la demande du bien 1 diminie

avec p1 ;• celle du bien 2 augmente avec p1.Ceci paraît intuitif.L’exemple suivant montre que

d’autres cas sont possibles.

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2.12 Variations des prix

x1

x2 Dans cet exemple, leprix du bien 1 passe dep1 à p1’, avec p1’ > p1.L’éq. du conso. passe dede x* à x’.Comme x1’ > x1*, la dem.du bien 1 augmenteavec son prix !

x*••x’

R/p1

R/p2

R/p1’

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2.12 Variations du prixPour y voir clair, il faut comprendre

qu’une hausse de p1 (p2 et R restant inchangés par ailleurs) produit à la fois :

• Un effet de prix relatifs : le bien 1 devient plus cher, par rapport au bien 2 ;

• Un effet de revenu : le pouvoir d’achat du consommateur diminue.

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2.12 Variations des prix

x1

x2 Dans la 1-ière fig., ajoutons, pour l’analyse,la droite de budget enpointillés, associée auprix p1’ et à un rev. R’,ce dernier étant calculépour que l’éq. du conso.associé x’’, soit sur lacourbe d’indif. initiale.On appelle R’ le revenu compensé.

x*••x’

R/p1

R/p2

R/p1’

x’’•

R’/p1’

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2.12 Variations du prixCette construction a l’avantage de

permettre de décomposer le passage de x* à x’ en :

• Un effet de substitution, de x* à x’’, prenant en compte uniquement la modification des prix relatifs ;

• Un effet de revenu, de x’’ à x’, prenant en compte uniquement la variation du pouvoir d’achat.

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2.12 Variations des prixLa propriété suivante permet d’affirmer que

l’effet de substitution joue bien dans le sens attendu.

Pour tous vecteurs de prix p’ et p’’ strictement positifs, la fonction de demande Hicksienne h(p, u) vérifie :

(p’’ – p’)•(h(p’’, u) – h(p’, u)) 0.Autrement dit, elle satisfait la "loi de la

demande" (les prix et les quantité variant en sens inverses).

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2.12 Variations du prixPour montrer cette propriété, notons x’ = h(p’,

u) et x’’ = h(p’’, u).Comme (par déf°), pour tout p et u, h(p, u)

minimise la dépense p•x pour atteindre l’utilité U(x) = u, on a en particulier :

p’’•x’’ p’’•x’ et p’•x’’ ≥ p’•x’.En soustrayant membres à membres, on

obtient :(p’’ – p’)•x’’ (p’’ – p’)•x’,

d’où découle directement le résultat.

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2.12 ExercicesSoit un consommateur, caractérisé par une

fonction d’utilité U(x) = x11/2 x2

1/2.Dans l’état initial, où p1 = p2 = 1/2 et R = 1,

calculer l’équilibre du consommateur x*.Même question dans l’état final, où p1 = 1, p2 et

R restant inchangé, en notant x’ la solution. Décomposer le passage de x* à x’ pour mettre

en évidence les effet de sub° et de rev. (Trouver la solution x’’ du problème de minimisation de la dépense pour atteindre l’utilité de l’état initial U(x*) avec les prix de l’état final.)

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2.13 Exercices récapitulatifs

1) Refaire tous les exercices, pour le cas où la fonction d’utilité est du type Leontief :

U(x) = Min{a x1 ; (1–a) x2}, 0 < a < 1.Pour l’exercice 2.12, on posera a = 1/2, pour pouvoir comparer.

Page 67: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

2.13 Exercices récapitulatifs

2) Refaire tous les exercices, pour le cas où la fonction d’utilité est du type CES :U(x) = (a x1

r + (1–a) x2r) 1/r, r 0

< 1,où CES est l’abbréviation de Constant Elasticity of Substitution.Laisser de côté l’exercice 2.12

Page 68: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

2.14 ComplémentsOn définit la fonction d’utilité

indirecte, notée v(p, R), comme la fonction associant à tout vecteur de prix p et à tout revenu R, le niveau d’utilité obtenu à l’équilibre du consommateur :

v(p, R) = U(d(p, R)).

Page 69: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

2.13 ComplémentsOn a la propriété suivante, appelée

identité de Roy : v(p, R)/pk

dk(p, R) = – , k = 1, …, K.

v(p, R)/RElle permet de calculer les fonctions de

dem. marshalliennes dk(p, R), à partir de la fonction d’utilité indirecte v(p, R).

Page 70: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

2.13 ComplémentsOn définit la fonction de dépense,

notée e(p, u), comme la fonction associant à tout vecteur de prix p et à toute utilité u, la dépense minimum pour atteindre l’utilité u :

e(p, u) = Σk pk hk(p, u).

Page 71: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

2.13 ComplémentsOn a la propriété suivante :

hk(p, u) = – e(p, u)/pk, k = 1, …, K.

Elle permet de calculer les fonctions de dem. marshalliennes dk(p, w) à partir de la fonction de dépenses e(p, u).

Page 72: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

2.13 ComplémentsEnfin, on a la propriété suivante, appelée

équation de Slutsky :xi(p, R) hi(p, R) xi(p, R)

= + xj(p, R), pj pj R

pour tout i, j = 1, …, K.

Cette équation exprime la décomposition des effets de revenu et de substitution sous forme analytique.

Page 73: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

2.13 ExerciceEn considérant la famille des

fonctions d’utilité Cobb-Douglas U(x) = x1

a x21–a, avec 0 < a < 1,

vérifier l’ensemble des ces résultats.

Page 74: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3. Le ProducteurLe problème du producteur est de choisir

quelles quantités produire des biens k = 1, …, K.

Notons :y = (y1, …, yK) IRK = un plan de p°,

où, par convention, une composante yk positive représente un output et une composante yk négative représente un input.

Page 75: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.1 La technologie du producteur

Du fait de contraintes techniques et/ou institutionnelles, certains plans de production y sont réalisables, d’autres non.

Par ex. :• La production d’une automobile

nécessite au moins une tonne d’acier ;• La durée du travail hebdomadaire est

limitée légalement à 48h.

Page 76: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.1 La technologie du producteur

En toute généralité, on représente la technologie du producteur comme un sous-ensemble Y de IRK, appelé ensemble de production, tel qu’un plan de production y est réalisable si, et seulement si, il appartient à Y.

La technologie est alors implicitement déterminée par les propriétés de l’ensemble de production Y.

Page 77: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.1.1 HypothèsesPar la suite, on admet toujours que

l’ensemble de production Y est non vide, fermé (il contient sa frontière) et convexe.

La convexité de l’ensemble de production Y signifie que si y et y’ sont deux plans de production réalisables (i.e., éléments de Y), le plan de production t y + (1-t) y’ est aussi réalisable, pour tout 0 < t < 1.

Page 78: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.1.2 Exemple

y1

y2

Y

Cette fig. donne un ex.d’ens. de p° Y non vide,fermé et convexe.Comme Y est fermé,il contient sa frontière.Comme Y est convexe,il contient tout segmentjoignant deux quelcon-que de ses points.

y’ •

y’’•

Page 79: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.1.3 Autres propriétésOn énumère ci-dessous d’autres propriétés

souvent utilisées des ensembles de production :

• Non gratuité : Y IR++

K = ;• Destruction sans coût des excédents :

Si y Y et y’ y, alors y’ Y ;• Irréversibilité :

Si y Y et y 0, alors - y Y ;• Rendements d’échelle constants :

Si y Y, alors t y Y, pour tout t > 0.

Page 80: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.1.3 Autres propriétés

y1

y2 Cette fig. représenteun ens. de p° vérifiantla condition de rdtsd’échelle constants.Elle traduit l’idéenaturelle selon laquelleun plan de p° peut êtrerépliqué à différenteséchelles.

y•

Y

Page 81: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.1.3 Frontière de transformation

y1

y2

Y

On dit que le plan deproduction y Y estefficace s’il n’existeaucun autre plan deproduction y’ Y telque y’ ≥ y.On appelle frontièrede transformationl’ens. des plans de p°efficaces.Graphiquement, c’estla frontière NE de Y.

•y

Frontière detransformation

Page 82: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.2 Fonction de transformation

Une fonction F(y), définie sur IRK, représente l’ensemble de production Y si :

F(y) 0 y Y ; F(y) = 0 y est efficace.On dit que F(y) est une fonction de

transformation représentant la technologie Y.

Page 83: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.2 ExercicesReprésenter les ensembles de

production Y, associés aux fonctions de transformation suivantes :

F(y) = y1 + y2 ;

F(y) = y1 + (y2)2, si y1 0,

> 0, sinon.

Page 84: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.3 L’équilibre du producteur

Dans ce chapitre, on admet l’hypothèse de concurrence pure et parfaite.

On suppose donc que le producteur considère les prix comme des données et pense pouvoir acheter ou vendre aux prix du marché toute quantité qu’il désire.

Page 85: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.3 L’équilibre du producteur

Le problème du producteur est de choisir, dans son ensemble de production Y, un plan de production y, afin de réaliser un profit p = p•y = Σk pk yk le plus grand possible.

Page 86: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.3 L’équilibre du producteur

On définit un équilibre du producteur comme toute solution y* du problème de maximisation du profit :

max Σk pk yk,

sous la contrainte :yY.

Page 87: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

y1

y2

Y

3.3.1 Détermination graphique

Le pb revient à choisiry dans Y, qui soit surune droite d’iso-profitp•y = p la plus éloignée possible de l’origine.L’équilibre y* se situe au point de tangencede cette droite d’iso-profit avec la frontière de transformation.

y*

Droites d’iso-profit,d’équation p•y = p.

Y

Page 88: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.3.2 Questions techniques

y2 L’existence et l’uniciténe sont pas assurées,sous les hyp. retenues.Dans cet exemple :- il n’y a pas d’équilibre pour les prix p’ ;- il y a une infinité d’équilibres pour les prix p’’.

p’’•y = p

p’•y = p

y1

Y

Page 89: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.3.3 Conditions marginales

On suppose ici que la fonction de transformation F(y) est continûment différentiable.

Pour tout plan de production efficace y (c’est-à-dire, vérifiant F(y) = 0), on définit le taux marginal de transformation en y du bien 1 en bien k, noté TMT1k, par :

TMT1k = F1’(y)/Fk’(y).

Page 90: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.3.3 Conditions marginales

Le TMT1k en y mesure le nombre d’unités supplémentaires du bien k que le producteur peut produire, s’il diminue d’une unité (infiniment petite) sa production du bien 1, à partir du plan de production efficace y.

Graphiquement, c’est la pente, au point y, de la frontière de transformation (en valeur absolue), dans le plan (O, y1, yk).

Page 91: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

y1

y2

3.3.3 Conditions marginales

Si y* est un éq. du prod.,la droite d’isoprofitpassant par y* et lafrontière de transfor-mation sont tangentesen y*.Donc, elles ont mêmepente : TMT12 = p1/p2,et y* vérifie F(y*) = 0.

y*• TMT12

p1/p2

Page 92: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.3.3 Conditions marginales

En généralisant, on obtient l’importante propriété :

Un équilibre du producteur y* vérifie les conditions :

TMT1k = p1/pk, pour k = 1, …, K,F(y*) = 0,

où les TMT1k sont calculés en y*.

Page 93: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.3.3 Conditions marginales

On peut la retrouver à l’aide du Th. du Lagrangien.

Si y* est une solution du problème de maximisation du profit, il existe un multiplicateur de Lagrange a et une fonction Lagrangienne :

L(y) = Σk pk yk – a F(y),tels que y* vérifie les conditions :

Lk’(y*) = pk– a Fk’(y*) = 0, pour k = 1, …, K,

F(y*) = 0.

Page 94: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.3 ExercicesOn suppose que la fonction de

transformation du producteur est définie par :

F(y) = y1 + (y2)2, si y1 0, > 0, sinon.

Calculer l’équilibre du producteur dans le cas où p1 = p2 = 1/2.

Page 95: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.4 Définition des fonctions d’offre

Supposons que le problème de maximisation du profit admette une solution unique pour tout vecteur de prix p.

On définit la f° d’offre (nette) du producteur comme la fonction s(p), qui associe à tout vecteur de prix p = (p1, …, pK), la solution correspondante y* = (y1*, …, yK*) du problème de maximisation du profit.

Page 96: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.4 Définition des fonctions d’offre

La fonction d’offre est dite nette car on aura :

• sk(p) > 0, pour certains k, signifiant que le producteur offre le bien k ;

• sk(p) < 0, pour d’autres k, signifiant que le producteur demande le bien k (facteur de production).

Page 97: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.5 Propriétés des f° d’offre (nette)

On a les propriétés suivantes de la fonction d’offre :

• Elle est homogène de degré 0 : s(t p) = s(p), pour tout t > 0 ;

• Elle est efficace : F(s(p)) = 0 ;• Elle vérifie la "loi de l’offre" : pour tous

p’ et p’’, on a : (p’ – p’’)•(s(p’) – s(p’’)) ≥ 0.

Page 98: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.5 Propriétés des f° d’offre (nette)

Si tous les prix sontmultipliés par une même constante positive, lepb. du prod. ne changepas (ni l’ens. de p°, ni lafamille des droites d’iso-profit ne changent). Donc, l’équilibre y* nechange pas.

y1

y2

Y

y*•

Y

Preuve de la première propriété.

Page 99: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.5 Propriétés des f° d’offre (nette)

Supposons que l’éq. du producteur y* ne soit pas efficace : F(y*) < 0.Donc, il existe y >> y* tel que F(y) 0.Tous les prix étant positifs, on a alors :p•y > p•y*, ce qui contredit le fait que y* soit éq.

y1

y2

Y

y•

Y

Preuve (par l’absurde)de la seconde propriété.

•y*

Page 100: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.5 Propriétés des f° d’offre (nette)

Notons y’ = s(p’) et y’’ = s(p’’).Comme (par déf°), pour tout p, s(p)

maximise le profit p•y dans l’ensemble Y, on a en particulier :

p’’•y’’ ≥ p’’•y’ et p’•y’’ p’•y’.En soustrayant membres à membres, on

obtient :(p’’ – p’)•y’’ ≥ (p’’ – p’)•y’,

d’où découle directement le résultat.

Preuve de la dernière propriété.

Page 101: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6 Un seul outputDans les exercices, il est souvent plus

commode de supposer que le producteur produit un unique bien, en utilisant les K-1 autres biens comme inputs.

Ci-dessous, on admet que :• les biens k = 1, …, K-1, sont les inputs ;• le bien K est l’output.

Page 102: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6 Un seul outputDans ce cas, on représente la

technologie au moyen d’une fonction de production, notée f(z), définie de IR+

K-1 dans IR+, donnant l’output maximum en bien K qui peut être obtenu en utilisant le vecteur d’inputs z = (z1, …, zK-1).

Page 103: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6.1 PropriétésLes propriétés suivantes d’une fonction de

production f(z) découlent des conditions posées sur les ensembles de production Y :

• Elle est continue ; (Car Y est fermé.)• Elle est croissante : si z’ > z, f(z’) > f(z) ; (Car,

par définition, le plan de p° (-z, f(z)) est efficace.)

• Elle est concave : f(tz + (1-t) z’) ≥ t f(z) + (1-t) f(z’), pour tout 0 t 1. (Car Y est convexe.)

Page 104: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6.1 PropriétésOn traduit ici les conséquences sur les fonctions

de production d’autres propriétés des ensembles de production énoncées précédemment :

• Non gratuité : f(0) = 0 ;• Rendements d’échelle constants :

f(tz) = t f(z), pour tout t > 0.En généralisant, on parle de rendements d’échelle croissants (resp., décroissants) si f(tz) > t f(z) (resp., si f(tz) < t f(z)).

Page 105: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6.2 Représentation graphique

Sur la figure ci-dessous, on appelle courbe d’isoquante (associée à une quantité q donnée), l’ensemble des vecteurs d’inputs z qui permettent de produire q unités de l’output K, c’est-à-dire tels que f(z) = q.

Page 106: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6.2 Représentation graphique

z1

z2 Les courbes d’isoquan-te ne se croisent pas.Elles tournent leur concavité vers l’origine.La production associée croît à mesure qu’on s’éloigne de l’origine.

Prod

uctio

n

croi

ssan

te

Page 107: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6.3 Maximisation du profit

On peut récrire le problème du producteur (Cf 3.3) sous la forme :

Max p f(z) - Σk wk zk (k de 1 à K-1)

où l’on adopte la notation conventionnelle :

w = (p1, …, pK–1) = les prix des inputs ;

p = pK = le prix de l’output.

Page 108: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6.3 Maximisation du profit

S’il est intérieur (zk* > 0, pour tout k = 2, …, K–1), un équilibre du producteur vérifie les conditions :

p fk’(z*) = wk, pour k = 1, …, K-1,

yK* = f(z1*, …, zK-1*).

Page 109: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6.4 Problème dualPar la suite, on aura aussi besoin

d’étudier le problème de minimisation du coût de production de l’output K en quantité q :

min Σk wk zk,

sous f(z) ≥ q.

Page 110: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6.4 Problème dual

z1

z2 Le pb revient à trouverz tel que f(z) ≥ q, quisoit sur une droite decoût w•z = C la plus proche possible del’origine.L’équilibre z* se situeau point de tangence de cette droite avec la courbe d’isoquantef(z) = q (pour une sol° intérieure).

f(z) ≥ q

z*•

Droites de coût :w•z = C

Page 111: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6.4 Problème dualOn suppose maintenant que la

fonction de production f(z) est continûment différentiable.

On définit le taux marginal de substitution technique en z de l’input 1 par l’input k, noté TMST1k, par :

TMST1k = f1’(z)/fk’(z).

Page 112: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6.3 Problème dualLe TMST1k en z mesure le nombre d’unités

supplémentaires de l’input k, qui sont nécessaires pour maintenir l’output constant, si le producteur diminue d’une unité (infiniment petite) la quantité qu’il utilise de l’input 1.

Graphiquement, c’est la pente, au point z, de la courbe d’isoquante passant par z (en valeur absolue), dans le plan (O, z1, zk).

Page 113: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6.3 Problème dualLa propriété suivante sera utile pour

calculer une solution intérieure du problème de minimisation du coût :

Une solution intérieure du problème de minimisation du coût (zk* > 0, pour tout k) vérifie les conditions :

TMST1k = w1/wk, pour k = 1, …, K-1,

f(z1*, …, zK-1*) = q.

Page 114: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6.4 Problème dual

z1

z2 Ce graphique illustre et justifie la propriété précédente.La solution z* du pb est au point de tangen-ce entre la courbe d’isoquante et la droite de coût.Donc, TMST12 = w1/w2 et f(z*) = q.

f(z) = q

z*•• TMST12

w1/w2

Page 115: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6.5 Fonction de coûtOn définit la fonction de coût, notée C(q,

w), comme la fonction associant à tout vecteur de prix w des inputs, le coût minimum de production de l’output K en quantité q.

On a donc :C(q, w) = w•z*,

où z* résout le problème de minimisation du coût pour les prix w et la quantité q.

Page 116: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6 ExercicesDans les exercices suivants, on considère un

producteur utilisant les biens 1 à K-1 pour produire le bien K, selon la fonction de production f(z).

1) On suppose que K = 3 et f(z) = z11/3 z2

1/3.Représenter les courbes d’isoquante f(z) = q, pour q = 0, 1, 2.Déterminer les équilibres du producteur associés aux prix w1 = w2 = ½ et p = 1.

Page 117: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

3.6 Exercices2) On considère le cas K = 3 et la famille des fonctions de

production de type Cobb-Douglas f(z) = z1a z2

b, avec a, b > 0. On note w1 et w2 les prix des inputs, p le prix de l’output. Montrer que la solution du problème de minimisation du coût de production de l’output K en quantité q est :

z1* = (aw2/bw1)b/(a+b) q1/(a+b) ; z2* = (bw1/aw2)a/(a+b) q1/(a+b).En déduire que la fonction de coût s’écrit :

C(q, w) = c q1/(a+b), avec : c = w1 (aw2/bw1)b/(a+b) + w2 (aw2/bw1)b/(a+b).

Discuter l’existence et l’unicité de l’équilibre du producteur en fonction des valeurs de a, b, c et p.

Page 118: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4. L’économieOn considère une économie

composée de :• I consommateurs, indicés i = 1, …,

I ;• J entreprises, indicées j = 1, …, J ;• K biens, indicés k = 1, …, K.

Page 119: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4. L’économieChaque consommateur i est

caractérisé par son ensemble de consommation Xi et sa fonction d’utilité Ui(xi).

Chaque producteur j est caractérisé par son ensemble de production Yj, représenté par une fonction de transformation Fj(yj).

Page 120: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.1 Etat initialAvant toute activité économique,

l’économie détient une dotation primaire en biens, qui servira soit directement à la consomma-tion, soit à la production d’autres biens.

On note :w = (w1, …, wK) IR+

K = la dotation initiale.

Page 121: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.2 Etat économiqueUn état économique est noté :

E = (x1, …, xI, y1, …, yJ)

et se définit comme la donnée :• d’un plan de consommation xi IRK,

pour chaque consommateur i = 1, …, I ;• d’un plan de production yj IRK, pour

chaque producteur j = 1, …, J.

Page 122: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.2 Etat économiqueDans la définition précédente, on

note :xi = (xi1, …, xiK) ;

yj = (yj1, …, xjK) ;

où :xik = la conso. par i du bien k ;

yjk = la production par j du bien k.

Page 123: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.2 Etat économiqueUn état économique E = (x, y) est

possible s’il est possible pour les consommateurs et les producteurs :

xi Xi, i = 1, …, I ;yj Yj, j = 1, …, J ;

et s’il vérifie en outre la condition d’égalité des emplois et des ressources pour tous les biens :

Σi xik = Σj yjk + wk, k = 1, …, K.

Page 124: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.3 Equilibre généralL’état économique E* = (x*, y*) forme, avec les

prix p = (p1, …, pK) et les revenus R = (R1, …, RI), un équilibre général de l’économie si :

• pour tout i, xi* maximise Ui(xi) sous les contraintes xi Xi et p•xi Ri ;

• pour tout j, yj* maximise p•yj sous la contrainte Fj(yj) 0 ;

• pour tout k, on a l’égalité des emplois et des ressources : Σi xik = Σj yjk + wk.

Page 125: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.3 Equilibre généralAinsi, un équilibre général de l’économie

remplit trois conditions :1. Pour chaque consommateur i, xi* est

un panier de biens d’équilibre, sachant les prix et son revenu ;

2. Pour chaque producteur j, yj* est un plan de production d’équilibre, sachant les prix ;

3. Tous les marchés sont équilibrés.

Page 126: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.3 Equilibre généralSupposons que l’état E* = (x*, y*) soit intérieur

et que les fonctions d’utilité Ui (i = 1, …, I) et de transformation Fj (j = 1, …, J) soient continûment différentiables.

Comme xi* est un éq. du conso. i (intérieur), on a :

TMS1ki = p1/pk, pour tout k,

Σk pk xik* = Ri.Comme yj* est un éq. du prod. j, on a :

TMT1kj = p1/pk, pour tout k,

Fj(yj*) = 0.

Page 127: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.3 Equilibre généralOn en déduit qu’un équilibre général E*,

s’il est intérieur, remplit, entre autres, les conditions :

TMS1ki = TMT1k

j = p1/pk,

pour tout i, j, k,

Fj(yj*) = 0, pour tout j,

Σi xik* = Σj yjk* + wk, pour tout k.

Page 128: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.3 ExercicesOn considère une économie d’échange (J = 0)

composée de I = 2 consommateurs et K = 2 biens.

La dotation initiale en biens est w = (1, 1).Les fonctions d’utilité sont :

U1(x1) = x111/3x12

2/3 et U2(x2) = x212/3x22

1/3.Montrer que l’état économique E* = (x1*, x2*),

où x1* = (1/3, 2/3) et x2* = (2/3, 1/3), associé au prix p1 = p2 = 1 et aux revenus R1 = R2 = 1, forme un équilibre général.

Page 129: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.4 Etat optimalUn état économique E° = (x°, y°) est dit

optimal au sens de Pareto, s’il est possible et s’il n’existe aucun autre état économique possible E = (x, y) tel que :

Ui(xi) ≥ Ui(xi°), pour tout i,

avec l’inégalité stricte (>) pour au moins un consommateur.

Page 130: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.4 Etat optimal

U1

U2 Cette fig. représentel’ens. des possibilitésd’utilité U d’une écono-mie comportant deux conso., se répartissant la dotation initiale w.L’ens. des états opt. ausens de Pareto est lafrontière NE de l’ens.

Frontière dePareto

U

E•E°•

U = {(U1(x1), U2(x2)) ; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 et x1 + x2 w}

Page 131: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.4 Etat optimalPar l’absurde, il est évident que si

l’état économique E° est optimal, en particulier, il maximise l’utilité du consommateur 1, dans l’ensemble des états économiques possibles qui laissent aux autres consommateurs une utilité au moins égale à celle qu’ils obtiennent dans l’état E°.

Page 132: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.4 Etat optimalAinsi, l’état optimal E° = (x°, y°)

doit être solution du problème suivant :

max U1(x1),sous les contraintes :Ui(xi) ≥ Ui(xi°), i = 2,

…, I,Fj(yj) 0, j = 1, …, J,Σi xik = Σj yjk + wk, k = 1, …, K.

Page 133: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.4 Etat optimalEn notant ai, bj et ck les multiplicateurs de

Lagrange (et en posant a1 = 1, pour abréger l’écriture), la fonction Lagrangienne associée à ce problème s’écrit :

L(x, y) = Σi ai (Ui(xi) – Ui(xi°))

– Σj bj Fj(yj)

– Σk ck (Σi xik - Σj yjk - wk)

Page 134: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.4 Etat optimalSupposons que l’état optimal E° = (x°,

y°) soit intérieur.Par le théorème du Lagrangien, toutes les

dérivées de L(x, y) s’annulent en E° : ai Uk

i’(xi°) – ck = 0, pour tout i et k,

bj Fkj’(yi°) – ck = 0, pour tout j et k.

Page 135: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.4 Etat optimalEn arrangeant ces conditions, on en

déduit qu’un état optimal E°, s’il est intérieur, remplit, entre autres, les conditions :

TMS1ki = TMT1k

j = c1/ck,pour tout i, j,

k,Fj(yj°) = 0, pour

toutj,Σi xik° = Σj yjk° + wk, pour tout k.

Page 136: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.4 ExercicesOn considère une économie d’échange (soit J =

0), composée de I = 2 consommateurs et K = 2 biens.

La dotation initiale en biens est w = (1, 1).Les fonctions d’utilité sont :

U1(x1) = x111/3x12

2/3 et U2(x2) = x212/3x22

1/3.Montrer que l’état économique E° = (x1°, x2°),

où x1° = (1/3, 2/3) et x2° = (2/3, 1/3) est optimal au sens de Pareto.

Page 137: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.5 Les théorèmes de l’économie du bien-êtreEn comparant les résultats des sections 4.3 et

4.4, on remarque que les états économiques associés à un équilibre général et les états économiques qui sont optimaux au sens de Pareto vérifient le même système d’équations.

On en vient à se demander si ces états ne sont pas en fait les mêmes.

Les deux théorèmes de l’économie du bien-être donnent des conditions sous lesquelles ces deux ensembles d’états économiques sont confondues.

Page 138: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.5.1 Premier théorèmeLe 1-ier th. de l’éco. du bien-être

s’énonce :Si l’état possible E*, associé aux prix p et

aux revenus R, forme un équilibre général de l’économie et si les fonctions d’utilité Ui, i = 1, …, I, sont continues et croissantes,

alors E* est un état optimal au sens de Pareto.

Page 139: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.5.1 Premier théorèmeCe théorème démontre, dans le langage

de la théorie économique moderne, le principe de la main invisible d’Adam Smith.

Si les marchés sont concurrentiels, la poursuite de l’intérêt individuel ne crée pas le chaos, contrairement à l’intuition première, mais, au contraire, génére une certaine harmonie sociale.

Page 140: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.5.2 Second théorèmeLe 2-ième th. de l’éco. du bien-être s’énonce :Si l’état possible E° est optimal au sens de

Pareto, si les fonctions d’utilité Ui, i = 1, …, I, sont continues, croissantes et quasi-concaves, et si les ensembles de production Yj, j = 1, …, J, sont convexes,

alors il existe des prix p et des revenus R, tels que l’état E°, associé à ces prix et ces revenus, forme un équilibre général de l’économie.

Page 141: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.5.2 Second théorèmeCe théorème démontre qu’à

condition de pouvoir redistribuer les revenus, un système de marchés, s’il est concurrentiel, est un outil approprié pour atteindre n’importe quel état économique optimal au sens de Pareto.

Page 142: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.5 ExercicesSoit l’économie comportant I = 1 consommateur, J = 1

producteur et K = 2 biens. Les préférences du consommateur sont représentées par la fonction d’utilité U(x) = x1 x2. La technologie du producteur est représentée par sa fonction de transformation F(y) = y1 + y2. La dotation est w = (1, 0).

Déterminer l’ensemble W des états économiques qui, associés à des prix et des revenus donnés, constituent un équilibre général de l’économie.

Déterminer l’ensemble P des états économiques optimaux au sens de Pareto.

Vérifier que W = P.

Page 143: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.6 Economie d’échange

On peut illustrer graphiquement les deux théorèmes de l’économie du bien-être, dans le cas d’une économie d’échange, comportant deux consommateurs et deux biens (soit I = 2, J = 0, K = 2).

Page 144: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.6 Economie d’échange

Dans cette économie, l’état économique E = (x1, x2) est possible s’il vérifie :

xik ≥ 0, pour i = 1, 2 et k = 1, 2,x11 + x21 = w1,x12 + x22 = w2.

Autrement dit, un état économique possible est simplement une répartition, entre les consommateurs 1 et 2, de la dotation primaire w = (w1, w2).

Page 145: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.6.1 La boîte d’Edgeworth

x11

x12 La boîte d’Edgeworthreprésente l’ens. desétats possibles.Sa taille dépend dela dotation (w1, w2).Le repère (O1, x11, x12)sert pour le conso. 1.Le repère (O2, x21, x22),orienté en sens inverse,sert pour le conso. 2.x22

x21

w1

w2

O1

O2

E•x12

x11

x22 x21

Page 146: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.6.1 La boîte d’Edgeworth

x11

x12 On représente ici deuxétats économiques quine sont pas possibles.L’état E’ = (x1’, x2’) estimpossible car, les points x1’ et x2’ ne coïn-cidant pas, impliquant que : x1’ + x2’ w.L’état E’’ = (x1’’, x2’’) estimpossible car x22’’ < 0 (donc x2’’ X2).

x22

x21

O1

O2•

x2’•

x1’•

E’’

E’

Page 147: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.6.1 La boîte d’Edgeworth

x11

x12 Dans la boîte, on repré-sente les préférencesdes conso., au moyen dedeux familles de cour-bes d’indifférence.L’util. du conso. 1 croîten s’éloignant de O1 vers le NE.L’util. du conso. 2 croîten s’éloignant de O2 vers le SO.

x22

x21

O1

O2

Conso. 1

Conso. 2

Page 148: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.6.2 Premier théorèmeCi-dessous, nous considérons l’état

économique E* = (x1*, x2*), et nous supposons qu’il forme, avec les prix p = (p1, p2) et les revenus R = (R1, R2), un équilibre général de l’économie.

Nous voulons montrer que E* est un état optimal au sens de Pareto.

Page 149: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.6.2 Premier théorèmeNotons, pour i = 1, 2 :

Di = {xi ; p•xi = Ri} = la droite de budget de i ;

(+)i = l’ens. des paniers de biens au moins aussi bien que xi*, du point de vue de i.

Page 150: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.6.2 Premier théorème

x11

x12

x22

x21

O1

O2

x1*•

Par déf° d’un éq. gén., le panier x1* est un éq. du conso. 1, sous sa contrainte de budget.Donc, l’ens. (+)1 est contenu dans le demi-plan au-dessus de D1 et x1* appartient à D1.On a des conclusions semblables pour le conso. 2.

(+)1

D1

Page 151: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.6.2 Premier théorème

x11

x12 Par déf° d’un éq. gén., l’état E* est possible.Donc, dans la boîte d’Edgeworth, les points x1* et x2* coïncident, pour former le point E*. Comme D1 et D2 ont même pente et passent par E*, elles sont confondus.

x22

x21

O1

O2

E*•x1* x2*

D (= D1 = D2)

Page 152: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.6.2 Premier théorème

x11

x12 Cette fig. reprend lesconclus° précédentes. On en conclut facile-ment que E* est un état optimal.En effet, pour amélio-rer l’util. de 1, il faut prendre un point inté-rieur à (+)1, donc au-dessus de D. Or, un tel point n’appartient pas à (+)2.

x22

x21

O1

O2

E*•(+)1

(+)2

D

Page 153: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.6.3 Second théorèmeCi-dessous, nous considérons l’état E° =

(x1°, x2°), et nous supposons qu’il est optimal au sens de Pareto.

Nous voulons montrer qu’il existe des prix p = (p1, p2) et des revenus R = (R1, R2), tels que l’état E°, associé à ces derniers, forme un équilibre général de l’économie.

Page 154: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.6.3 Second théorème

x11

x12 Par déf° d’un état opt., si un état possible est intérieur à l’ens. (+)1, il n’appartient pas à l’ens. (+)2.En effet, sinon, on pourrait améliorer l’util. de 1, sans diminuer celle de 2, ce qui serait contradictoire.

x22

x21

O1

O2

E°•(+)1

(+)2

Page 155: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.6.3 Second théorème

x11

x12 Supposons les ens. (+)1 et (+)2 convexes.Par un théorème de séparation des con-vexes, il existe une droite D, passant par E° et laissant ces deux ensembles de part et d’autres de D.

x22

x21

O1

O2

E°•(+)1

(+)2

D

Page 156: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.6.3 Second théorème

x11

x12 On peut trouver des prix p = (p1, p2) et des rev. R = (R1, R2), tels que la droite D ait pour éq° : p•x1 = R1 dans le repères (O1, x11, x12) ; et p•x2 = R2 dans le repères (O2, x21, x22).Il est clair que E° forme, avec ces prix et ces rev., un éq. gén.

x22

x21

O1

O2

E°•(+)1

(+)2

D

Page 157: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.6.4 ConclusionOn note que le premier théorème de

l’économie du bien-être est plus général.

En effet, seul le second théorème nécessite que les préférences des consommateurs soient convexes.

Page 158: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7 Economie de propriété privée

On définit une économie de propriété privée comme une économie dans laquelle les consommateurs possèdent les entreprises et la dotation initiale de l’économie.

Leurs revenus découlent alors de la redistribution des profits des entreprises et/ou de la vente de l’excédent de leur dotation initiale sur leur consommation.

Page 159: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.1 Notations On suppose que les consommateurs i =

1, …, I possèdent des droits de propriété sur les entreprises j = 1, …, J.

On note :qij = la part du conso. i dans l’ent. j ;

où les nombres qij vérifient :0 qij 1, pour tout i et j ;Σi qij = 1, pour tout j.

Page 160: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.1 NotationsOn suppose que les consommateurs i = 1, …, I

possèdent la dotation primaire de l’économie en biens k = 1, …, K.

On note :wik = la dotation initiale du conso. i en bien k ;

où les nombres vérifient :wik ≥ 0, pour tout i et k ;wi = (wi1, …, wiK) 0 ;Σi wik = wk, pour tout k.

Page 161: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.2 Formation des revenus

Dans une économie de propriété privée, les revenus Ri (i = 1, …, I) des consommateurs dépendent des profits pj (j = 1, …, J) et des prix pk (k = 1, …, K), et sont donnés par la relation :

Ri = Σj qij pj + Σk pk wik.

Page 162: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.3 Eq. gén. d’une éco. de propriété

privée Dans une économie de propriété

privée, la définition d’un équilibre général donnée au début du chapitre (Cf 4.3) s’applique, en ajoutant simplement la relation précédente, exprimant le revenu des consommateurs en fonction des profits et des prix.

Page 163: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.3 Equilibre généralL’état E* = (x*, y*) et les prix p forment un équilibre

général de l’économie de propriété privée si :xi* maximise Ui(xi) (i = 1, …, I)

sous xi Xi et p•xi Ri ;

yj* maximise p•yj (j = 1, …, J)sous Fj(yj) 0 ;

Σi xik* = Σj yjk* + wk ; (k = 1, …, K)les revenus vérifiant par ailleurs :

Ri = Σj qij pj + Σk pk wik ; (i = 1, …, I)pj = p•yj*. (j = 1, …, J)

Page 164: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.4 Une théorie positive ?

L’équilibre général, appliqué à une économie de propriété privée, est une lecture (parmi d’autres) des institutions d’une économie de marché et de leur fonctionnement.

De ce point de vue :• la définition précédente constitue

l’aboutissement de la théorie microéconomique, en tant que théorie positive,

• sous réserve d’établir l’existence, l’unicité et la stabilité d’un tel état économique.

Page 165: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.4 Une théorie positive ?

Précisément, il s’agit de trouver des condi-tions sous lesquelles, pour une économie donnée, définie par des ensembles de consommation Xi, des préférences Ui et des "patrimoines" qi et wi des consommateurs, et par des ensembles de production Yj des producteurs, on est assurés qu’un équilibre général existe et qu’il sera rejoint.

Page 166: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.4 Une théorie positive ?

Limitons-nous au cas d’une économie d’échange (J = 0).

Sous les hyp. du chap. 2, on sait qu’on peut déduire des données précédentes, des fonctions de demande di(p, Ri), homogènes de degré 0, vérifiant la loi de Walras et continues (Cf 2.10).

Page 167: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.4 Une théorie positive ?

Dans ce cas, un équilibre général de l’économie de propriété privée existe si on peut trouver des prix p = (p1, …, pK), tels qu’il y ait égalité des emplois et des ressources sur tous les marchés :

Σi dik(p, Ri) = wk, pour tout k,les revenus des consommateurs étant égaux à la valeur de leur dotation initiale :

Ri = p•wi, pour tout i.

Page 168: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.4 Une théorie positive ?

On définit la fonction de demande nette de l’économie f(p) = (f1(p), …, fK(p)), comme la f° qui associe à tout vecteur de prix p, le vecteur

(Σi di1(p, p•wi) – w1, …, Σi diK(p, p•wi) – wK)des excédents de la demande sur l’offre, sur chacun des K marchés.

Avec cette définition, un vecteur de prix p induit un équilibre général de l’économie de propriété privée, simplement si f(p) = 0.

Page 169: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.4 Une théorie positive ?

La fonction de demande nette f(p) vérifie les propriétés suivantes :

• elle est homogène de degré 0 : f(t p) = f(p), pour tout t > 0 ;

• elle vérifie la loi de Walras : Σk pk fk(p) = 0 ;

• Elle est continue.

Page 170: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.4 Une théorie positive ?

La 1-ière propriété découle de l’homogénéité de degré 0 des fonctions de demande des consommateurs di(pi, R).

Elle implique que si un vecteur de prix p induit un équilibre général de l’économie (c’est-à-dire, vérifie f(p) = 0), il en va de même pour tout vecteur t p, avec t > 0.

On peut donc fixer un prix arbitrairement.

Page 171: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.4 Une théorie positive ?

La 2-ième propriété découle du fait que les fonctions de demande di(pi, R) vérifient : Σk pk (dik(p, p•wi) – wik) = 0, pour tout i.

On a donc, en sommant sur i : Σi Σk pk (dik(p, p•wi) – wik) = 0,

puis en inversant l’ordre de sommation : Σk pk Σi (dik(p, p•wi) – wik) = Σk pk fk(p) = 0.

Page 172: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.4 Une théorie positive ?

Cette propriété implique que, pour un vecteur de prix p >> 0, si on sait que tous les marchés, sauf un, sont équilibrés, le dernier marché est aussi équilibré.

Une conséquence pratique est que, parmi les K équations que doit satisfaire le vecteur de prix p, on peut, pour le calculer, en éliminer une.

Page 173: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.4 Une théorie positive ?

Le théorème suivant montre que l’existence d’un équilibre général est (presque) assurée sous les hypothèses posées.

Si la fonction de demande nette f(p) est continue, homogène de degré 0 et satisfait la loi de Walras, alors il existe un système de prix p* tel que f(p*) 0.

Page 174: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7.4 Une théorie positive ?

La démonstration de ce théorème repose sur le théorème de point fixe suivant, dû à Brouwer :

Si une fonction f, définie d’un ensemble convexe, fermé et borné dans lui-même, est continue, elle admet un point fixe, c’est-à-dire : il existe x tel que f(x) = x.

Page 175: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

4.7 ExercicesOn considère une économie composée de I = 2

consommateurs et K = 2 biens.Les fonctions d’utilité sont :

U1(x1) = x111/3x12

2/3 et U2(x2) = x212/3x22

1/3.Montrer qu’il existe un équilibre général de

l’économie de propriété privée pour n’importe quelle distribution initiale de la dotation w = (1, 1) entre les deux consommateurs.

Page 176: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5. Analyse en équilibre partiel

L’analyse en équilibre partiel consiste à isoler le marché d’un bien, par exemple le blé, pour étudier les conséquences de chocs, des situations de concurrence imparfaite ou des politiques économiques, en négligeant les effets d’équilibre général sur les autres marchés.

On construit ainsi un modèle plus simple, avec lequel on peut résoudre des problèmes qui seraient ardus dans une analyse en équilibre général.

Page 177: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5. Analyse en équilibre partiel

Une analyse en équilibre partiel est admissible si :

• La part du blé dans les dépenses totales est faible ;

• Les effets de substitution sur les autres marchés sont diffus.

Alors, on peut supposer les prix des autres biens comme fixes.

Ceci permet de traiter les autres biens comme un bien composite, appelé le numéraire.

Page 178: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.1 Notations et hypothèses

Le modèle d’équilibre partiel comporte :• 2 biens : le numéraire et le blé ;• I consommateurs, caractérisés par leur

ens. de conso. Xi, leur dotation wi en numéraire et leur fonction d’utilité Ui ;

• J producteurs, caractérisés par leur fonction de transformation Fj.

Page 179: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.1 Notations et hypothèses

Le numéraire est un bien composite, figurant tous les autres biens achetés ou vendus par les agents économiques. Il est évalué en valeur, aux prix courants sur les autres marchés (fixes, par hyp.).

Dans l’analyse, on normalise le prix du numéraire à 1. On définit ensuite p le prix (relatif) du blé.

Page 180: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.1 Notations et hypothèses

On suppose dans ce chapitre des conditions de concurrence pure et parfaite.

Autrement dit, les agents économiques considèrent les prix comme des données et pensent pouvoir acheter ou vendre aux prix du marché toutes quantités qu’il désirent.

Page 181: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.1 Notations et hypothèses

On note :(ai, xi) = un plan de consommation de i ;(bj, yj) = un plan de production de j.

Dans les deux cas, la première composante donne la quantité de bien numéraire, la seconde composante donne la quantité de blé.

Un état économique se note :E = ((a1, x1), …, (aI, xI), (b1, y1), …, (bJ,

yJ)).

Page 182: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.1 Notations et hypothèses

Un état économique E est dit possible s’il vérifie :

(ai, xi) Xi, pour tout i,

Fj(bj, yj) = 0, pour tout j,

Σi ai = Σj bj + Σi wi,

Σi xi = Σj yj.

Page 183: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 La demande Pour chaque consommateur i, on

admet que :(wi, 0) = sa dotation (wi > 0),

Xi = {(ai, xi) IR2 ; xi ≥ 0},

Ui(ai, xi) = ai + vi(xi),

avec : vi(0) = 0, vi’(xi) > 0 et vi’’(xi) < 0.

Page 184: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 La demande

ai

xi On illustre ici ces hyp.L’ens. Xi permet ai < 0. Les courbes d’indif. sont décroissantes et tournent leur concavité vers la gauche.Elles sont parallèles le long de l’abscisse : on parle de préférences quasi-linéaires par rapport au numéraire.

Xi

Dotation initiale(wi, 0)

Page 185: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 La demande

ai

xi Sur cette fig., on trace l’éq. du conso., pour trois niveaux de revenus Ri

-, Ri et Ri+.

On note qu’avec des préf. quasi-linéaires, le sentier d’expansion du revenu est horizontal.Autrement dit, la demande de blé ne dépend que de p.

Ri- < Ri < Ri

+

Sentierd’expansiondu revenu

• ••

Page 186: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 La demandeDepuis le chap. 2, on sait qu’un équilibre

du conso. (ai*, xi*) (supposé intérieur) vérifie :

TMSi = vi’(xi*) = p,ai* + p xi* = Ri,

en notant :TMSi = U2

i’(ai*, xi*)/U1i’(ai*, xi*) = le

taux marginal de substitution du blé par le numéraire.

Page 187: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 La demandeAvec la première équation, on vérifie que

la demande de blé ne dépend que de p :

vi’(xi*) = p xi* = (vi’)-1(p),

La demande de bien numéraire apparaît ensuite comme résiduelle :

ai* + p xi* = Ri ai* = Ri – p (vi’)-

1(p).

Page 188: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 La demande

xi

p En éq. partiel, par convention, on repré-sente la dem. en portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées.Alors, comme l’équilibre du consommateur vérifie : p = vi’(xi*), la courbe de demande coïncide avec la repré-sentation de vi’(xi).

Courbe de

demande (inverse)

p = vi’(xi*)

xi*

Page 189: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 La demandeOn appelle surplus du consommateur i,

noté Si, l’avantage que le consommateur i retire en participant au marché du blé, mesuré en unités de numéraire.

S’il achète xi unités au prix p, on a :

Si = Ui(Ri – p xi, xi) – Ui(Ri, 0),

= vi(xi) – p xi.

Page 190: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 La demandeComme on a normalisé la fonction

d’utilité de façon que vi(0) = 0, on peut aussi écrire le surplus du consommateur sous la forme :

xi

Si = (vi’(t) – p) dt. 0

Page 191: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 La demande

xi

p On en déduit qu’à l’éq., le surplus du consomma-teur i correspond, gra-phiquement, à l’aire de la surface comprise entre la courbe de demande et la droite horizontale d’ordonnée p, entre les abscisses 0 et xi*.

•p

xi*

Si

p = vi’(xi)

Page 192: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 La demandePour tout prix p, la demande globale

sur le marché du blé est égale à la somme des demandes individuelles :

X(p) = Σi xi* = Σi (vi’)-1(p).On la représente graphiquement par

la courbe de sa fonction inverse, notée P(x).

Page 193: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 La demande

x

p Connaissant la courbe de dem. des I conso. intervenant sur le marché, on construit la courbe de dem. globale (inverse), en addition-nant vers la droite les courbes de demande individuelles : pour chaque prix p, la dem. globale est Σi xi*.

p

x1* x2*

•• •

Conso. 1

Conso. 2

x1*+ x2*

P(x)

Page 194: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 La demande

x

p Par construction, l’aire S de la surf. comprise entre la courbe de dem. globale (inverse) et la droite horizontale d’ordonnée p, entre les abscisses 0 et x, mesu-re le surplus, à l’éq., de l’ensemble des conso. intervenant sur le marché, soit S = Σi Si.

p •

Surplus desconsommateurs

P(x)

x

Page 195: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 La demandeOn peut calculer le surplus de

l’ensemble des consommateurs, lorsqu’ils achètent x unités de blé au prix p, en utilisant la formule :

xS = (P(t) – p) dt.

0

Page 196: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 Exercices1) On considère un consommateur, ayant un

revenu R et une fonction d’utilité U(a, x) = a + v(x).Comparer son utilité dans le cas où il ne participe pas au marché du blé, et celui où, entrant sur ce marché, il paye une somme t en numéraire, contre x unités de blé.A quelle condition (sur t) décide-t-il d’entrer sur le marché du blé ?Qu’en déduisez-vous pour l’interprétation de la fonction v(x) ?

Page 197: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 Exercices2) On considère un consommateur, caractérisé

par son revenu R et sa fonction d’utilité U(a, x) = a + v(x), définie sur IRx[0, 1], avec v(x) = (1 – x/2)x.Déterminer sa fonction de demande de blé.En donner une représentation graphique, en portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées.Donner l’expression de son surplus, s’il achète x unités au prix p. Retrouver-la en calculant les aires correspondantes sur la figure.

Page 198: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.2 Exercices3) On suppose que I consommateurs identiques à celui

de l’exercice précédent participent au marché du blé.Déterminer l’expression de la fonction de demande globale X(p) sur le marché.Construire sa représentation graphique selon le procédé vu ci-dessus, en portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées.Trouver l’expression de la fonction de demande globale (inverse) P(x) en utilisant la figure.Calculer le surplus des consommateurs, s’ils achètent x unités au prix p. Le retrouver à l’aide de la figure.

Page 199: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 L’offreChaque producteur j est caractérisé par

son ensemble de production Yj et on suppose qu’il est représentable par une fonction de transformation Fj de la forme :

Fj(bj, yj) = bj + Cj(yj), si bj 0,

> 0, sinon,avec : Cj(yj) ≥ 0, Cj’(yj) ≥ 0 et Cj’’(yj) ≥ 0.

Page 200: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 L’offrePar définition, un plan de production (bj,

yj) de j est possible s’il vérifie :Fj(bj, yj) = bj + Cj(yj) 0,

soit :– bj ≥ Cj(yj). (où Cj(yj) ≥ 0, par

hyp.) Donc, j doit acheter (au minimum) Cj(yj)

unités du bien numéraire, comme inputs, s’il veut produire yj unités de blé.

Page 201: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 L’offreOn peut ainsi interpréter Cj(yj) comme la

fonction de coût de production du producteur j pour le blé.

Pour toute quantité yj, on en déduit les coûts moyen CMj et marginal Cmj du producteur j :

• Le coût moyen donne le coût par unité produite :

CMj = Cj(yj)/yj ;• Le coût marginal donne le coût de la dernière

unité (infiniment petite) produite :Cmj = Cj’(yj).

Page 202: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 L’offre

Cette fig. représente l’ens. de p° Yj dans le repère (0, yj, - bj).Sa frontière est la courbe représentative du coût de production Cj(yj).Les points au-dessus de cette courbe, véri-fiant – bj ≥ Cj(yj), sont réalisables.

yj

- bj

Yj

Cj(yj)

Page 203: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 L’offreEn utilisant les résultats du chap. 3, on

sait qu’un équilibre du prod. (bj*, yj*) (supposé intérieur) satisfait les conditions :

TMTj = Cj’(yj*) = p, Fj(bi*, yj*) = bi* + Cj(yj*) = 0,

en notant :TMTj = F2

j’(bj*, yj*)/F1i’(bj*, yj*) = le

taux marginal de transformation du blé en numéraire.

Page 204: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 L’offreIl existe un moyen naturel de retrouver ce

résultat.En admettant que le prod. choisisse

toujours un plan de p° efficace, c’est-à-dire tel que Fj(bi, yj) = bj + Cj(yj) = 0, son profit s’écrit :

pj = p yj – Cj(yj).Il est maximum pour la production yj* si :

dpj/dyj = p – Cj’(yj*) = 0.

Page 205: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 L’offreOn en déduit que la fonction d’offre

de blé du producteur j est la fonction inverse de son coût marginal de production Cmj = Cj’(yj) :

Cj’(yj*) = p yj* = (Cj’)-1(p).

Page 206: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 L’offre

Si l’on porte la quantité en abscisses et le prix en ordonnées , sachant que l’éq. du producteur j vérifie p = Cj’(yj), la courbe représentative de l’offre de j coïncide avec celle de son coût marginal Cmj (= Cj’(yj)).

yj

p

p = Cj’(yj*)

yi*

Courbed’offre

(inverse)Cmj

Page 207: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 L’offreSi l’on suppose qu’il n’existe pas de coût

fixe de production, c’est-à-dire que Cj(0) = 0, alors le profit que le producteur j réalise en vendant yj unités de blé au prix p, peut aussi s’écrire :

yj

pj = (p – Cj’(t)) dt. 0

Page 208: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 L’offre

yj

p Graphiquement, le profit réalisé par j, à l’éq., correspond à l’aire de la surface comprise entre la droite horizontale d’ordonnée p et la courbe de coût marginal Cmj, entre les abscisses 0 et yj*.

p

yi*

pj

Cmj

Page 209: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 L’offrePour tout prix p, l’offre globale sur le

marché du blé est égale à la somme des offres individuelles :

O(p) = Σj yj* = Σi (Cj’)-1(p).On la représente graphiquement par

la courbe de sa fonction inverse, notée r(y).

Page 210: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 L’offre

y

p Connaissant la courbe de dem. des J prod. intervenant sur le marché, on construit la courbe d’offre globale (inverse), en addition-nant vers la droite les courbes d’offre individuelles : pour chaque prix p, la dem. globale est Σj yj*.

y1* y2*

y1*+ y2*

• ••r(y)

Prod. 1Prod. 2

p

Page 211: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 L’offre

y

p Par construction, l’aire P de la surf. comprise entre la droite horizon-tale d’ordonnée p et la courbe d’offre globale (inverse), entre les abscisses 0 et y, donne le profit, à l’éq., de l’ensemble des prod. intervenant sur le marché, soit P = Σj pj.

•y

p

Profits desproducteurs

r(y)

Page 212: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 L’offreOn peut calculer le profit de

l’ensemble des producteurs intervenant sur le marché du blé, lorsqu’ils offrent y unités au prix p, en utilisant la formule :

y P = (p – r(t)) dt.

0

Page 213: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 Exercices1) On considère un producteur dont le coût est

c(y) = y2/2.Faire la représentation graphique de son ensemble de production.Déterminer sa fonction d’offre de blé.En donner une représentation graphique, en portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées.Donner l’expression du profit du producteur, s’il vend y unités au prix p. Retrouver-la en calculant les aires correspondantes sur la figure.

Page 214: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.3 Exercices 2) On suppose que J producteurs identiques à celui de

l’exercice précédent participent au marché du blé.Déterminer l’expression de la fonction d’offre globale O(p) sur le marché.Construire sa représentation graphique selon le procédé vu ci-dessus , en portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées.Trouver l’expression de la fonction d’offre globale (inverse) r(y) en utilisant la figure.Calculer le profit des producteurs, s’ils vendent y unités au prix p. Le retrouver à l’aide de la figure.

Page 215: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.4 Le surplus socialOn définit le surplus social comme

la fonction W, qui associe à tout état économique possible E, la somme correspondante des avantages retirés par les consommateurs de leur participation au marché du blé, soit Σi (Ui(ai, xi) - Ui(wi, 0)).

Page 216: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.4 Le surplus socialEn utilisant les définitions d’un état

économi-que possible (Cf. 5.1), des fonctions d’utilité (Cf. 5.2) et des technologies (Cf. 5.3), on obtient l’expression suivante :

W = Σi vi(xi) – Σj Cj(yj),avec :

xi ≥ 0, pour tout i,yi ≥ 0, pour tout j,Σi xi = Σj yj.

Page 217: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.4 Le surplus socialLa propriété suivante démontre l’intérêt

pratique de la notion de surplus social :

Un état économique E° est optimal au sens de Pareto si, et seulement si, il maximise le surplus social W dans l’ensemble des états économiques possibles.

Page 218: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.4 Le surplus socialPour la démonstration, montrons d’abord

qu’un état optimal maximise le surplus social.

Soit E°, un état optimal (défini par ai°, xi°, bj° et yj°, pour tout i et j).

En raisonnant par l’absurde, supposons qu’il existe un état possible E (défini par ai, xi, bj et yj, pour tout i et j), tel que W > W°.

Page 219: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.4 Le surplus socialConstruisons alors l’état E’, en prenant

les quantités ai’, xi, bj et yj, pour tout i et j, c’est-à-dire les mêmes quantités que dans l’état E, sauf pour les ai’, qui sont choisis tels que :

Ui(ai’, xi) = Ui(ai°, xi°) + (W – W°)/I.Comme W > W° (par hyp.), l’état E’ est

strictement préféré à l’état E°, par tous les consommateurs.

Page 220: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.4 Le surplus socialIl reste à montrer que l’état E’ est possible.En sommant sur i, on otient :

Σi Ui(ai’, xi) = Σi Ui(ai°, xi°) + W – W°.Sachant que W° = Σi Ui(ai°, xi°) et W = Σi Ui(ai, xi), cette

expression se simplifie en :Σi Ui(ai’, xi) = Σi Ui(ai, xi).

En utilisant la définition de l’utilité, on montre finalement que :

Σi ai’ = Σi ai.Autrement dit, l’état E’ est obtenu à partir de l’état E par

simple redistribution du bien numéraire. Il est donc possible.

Page 221: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.4 Le surplus socialOn conclut donc que si l’état

optimal E° ne maximise pas le surplus social, il existe un état E’, qui est à la fois possible et préféré à E° par tous les consommateurs.

Ceci contredit l’optimalité de E°.

Page 222: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.4 Le surplus socialMontrons maintenant qu’un état maximisant le

surplus social est optimal.Soit E° un état possible maximisant le surplus

social dans l’ensemble des états possibles.Supposons que E° ne soit pas optimal.Alors, il existe un état possible E, attribuant à

tous les consommateurs une utilité au moins aussi grande, et à l’un d’entre eux une utilité strictement plus grande.

Ceci est contradictoire, puisque cela implique que W > W°.

Page 223: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.4 Le surplus socialD’un point de vue pratique, on retient que si

l’état E° (défini par ai°, xi°, bj° et yj°, pour tout i et j) est optimal, en particulier, il résout le problème de maximisation suivant :

max W = Σi vi(xi) – Σj Cj(yj),sous les contraintes :

xi ≥ 0, pour tout i,yi ≥ 0, pour tout j,Σi xi = Σj yj.

Page 224: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.4 Le surplus socialPour mieux comprendre les conséquence

de ce résultat sur les propriétés d’un état optimal E°, récrivons la dernière contrainte comme suit :

Σi xi = Σj yj = q,

en définissant q comme la quantité agrégée de blé dans l’économie.

Page 225: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.4 Le surplus socialOn voit que la détermination d’un

état optimal nécessite en fait de répondre à trois questions distinctes :

(q) = Quelle quantité agrégée de blé ?

(xi) = Qui doit la consommer ?

(yj) = Qui doit la produire ?

Page 226: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.4 Le surplus socialCi-dessous, nous admettrons, sans le démontrer,

que le marché répartit toujours le blé disponible efficacement entre les consommateurs (c’est-à-dire pour maximiser Σi vi(xi)) et les producteurs (c’est-à-dire pour minimiser Σj Cj(yj)), et que la valeur correspondante du surplus social est donnée par :

q

W = (P(t) – r(t)) dt 0

Page 227: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.4 Le surplus social

q

p

r(q)

Si la quantité q est répartie efficacement entre les conso. et les prod., le surplus social W correspond à l’aire de la surface comprise entre les courbes de demande globale (inverse) et d’offre globale (inverse), entre les abscisses 0 et q.

q

P(q)

W

Page 228: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.4 Le surplus social

q

p On en déduit que la quantité optimale de blé est q°, à l’intersection entre les courbes de demande (inverse) et d’offre (inverse).En effet, pour toute quantité q plus petite, en augmentant q de dq unités, le surplus social augmente de dW > 0, soit de l’aire hachurée.

q

W

q+dq

dWr(q)

P(q)

Page 229: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.4 ExercicesOn reprend ici les données des exercices

précédents (Cf. 5.2 et 5.3), en supposant que I = J = 100.

Calculer le surplus social W, associé à une quantité agrégée q quelconque, en supposant qu’elle est répartie efficacement entre les producteurs et les consommateurs.

Calculer la quantité de blé optimale q° pour cette économie.

Page 230: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.5 L’équilibreUn équilibre partiel sur le marché du blé

se définit comme la réalisation d’un prix, permettant l’égalité de l’offre et de la demande exprimées.

Du fait de la loi de Walras, appliquée à cette économie comportant 2 biens, l’équilibre partiel sur le marché du blé coïncide avec l’équilibre général de l’économie.

Page 231: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.5 L’équilibre

q

p L’équilibre du marché correspond au point d’intersection des courbes de demande (inverse) et d’offre (inverse).Ses coordonnées, p* et q*, donnent la quantité et le prix d’équilibre.

•q*

p*

r(q)P(q)

Page 232: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.5 L’équilibreIl s’ensuit que la quantité d’équilibre

q* est optimal, puisqu’on a q* = q°.

Sans surprise, on retrouve ici le premier théorème de l’économie du bien-être : Tout équilibre de marché décentralise un état économique optimal au sens de Pareto.

Page 233: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.6 Complément sur les fonctions de coût

Ci-dessus, nous avons admis des propriétés restrictives sur les fonctions de coûts, afin de dégager des résultats simples.

Les hypothèses suivantes sont générales pour une fonction de coût C(y) :

• Existence de coût fixe : C(0) = f > 0 ;• Croissance : C’(y) > 0 ;• Loi des rendements non proportionnels :

Il existe une production y° telle que : C’’(y) < 0, si 0 < y < y° ,

= 0, si y = y° ,> 0, sinon.

Page 234: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.6 Compléments sur les fonctions de coûts

y

C Cette fig. représente une fonction de coût vérifiant ces propriétés.Elle est croissante.Elle est d’abord concave (jusqu’au point d’infle-xion I, d’abscisse y°), puis convexe.La pente du rayon joi-gnant l’origine à la cour-be est minimum au point M, d’abscisse y.

IM••

f

y° y

Page 235: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

5.6 Compléments sur les fonctions de coûts

y

Cm

Cette fig. montre la correspondance exis-tant entre les courbes C, CM et Cm.Le coût marg. est posi-tif, décroissant jusqu’à y°, puis croissant.Le coût moyen est minimum au point où il intersecte le coût marg., d’abscisse y.

IM••

CM

CjCoûts

f

y° y

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5.6 Compléments sur les fonctions de coûts

On peut alors montrer que l’offre y* est un équilibre du producteur au prix p si :

Cm = p,Cm est croissant,Cm ≥ CM,

toutes ces grandeurs étant calculées au point y*.

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5.6 Compléments sur les fonctions de coûts

y

En portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées, la courbe d’offre du producteur est représentée par sa courbe de coût marg. Cm, dans sa partie croissante et au-dessus de son coût moyen CM.

CM

p Courbed’offre

(inverse)

y*

p

Cm

r(y)

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5.6 ExercicesSoit la fonction de coût :

C(y) = (1/3) y3 – (1/2) y2 + y + f.Calculer et étudier les coûts moyen CM et

marginal Cm.En déduire leur représentation graphique.Déterminer la fonction d’offre du

producteur.

Page 239: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6. La concurrence imparfaite

Jusqu’ici, nous avons toujours admis que les conditions d’une concurrence pure et parfaite étaient réunies sur tous les marchés.

Sans définir cette notion, on l’a traduit en postulant directement que les agents économiques prenaient les prix pour des données, quelles que soient leurs décisions individuelles.

Page 240: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6. La concurrence imparfaite

Habituellement, on caractérise une situation de concurrence pure et parfaite par la conjonction, sur un marché, des conditions suivantes :

• un grand nombre d’offreurs et de demandeurs participent au marché ;

• l’entrée sur le marché est libre et sans coût ;• les caractéristiques du bien sont homogènes ;• il y a information parfaite ;• etc.

Page 241: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6. La concurrence imparfaite

Les économistes, en recourant le plus souvent à la théorie des jeux, explorent inlassablement les conséquences du relâchement de ces hypothèses (monopole, monopsone, oligopole, barrière à l’entrée, différenciation des biens, modèle de search, sélection adverse, risque moral, etc.).

Page 242: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6. La concurrence imparfaite

Dans ce chapitre, nous étudions un marché auquel participent un grand nombre (I) de consommateurs et un petit nombre (J) de producteurs, tous caractérisés par ailleurs comme au chapitre précédent.

On note donc :X(p) = la fonction de demande globale (X’(p) < 0) ;C(y) = le coût de production d’un producteur.

Page 243: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.1 Le monopoleUne entreprise est dite en situation

de monopole si elle est l’unique offreur sur son marché (J = 1), si le nombre de demandeurs est grand et s’il n’existe pas de substituts proches pour ce bien.

Page 244: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.1 Le monopoleSi l’on suppose qu’il connaît la fonction

de demande globale X(p), le problème du monopole est de choisir un prix de vente p, tel que, en servant la demande X(p) exprimée à ce prix, son profit p = p X(p) – C(X(p)) soit maximum.

On appelle équilibre du monopole une solution de ce problème.

Page 245: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.1 Le monopoleNotons :

P(x) = X-1(p) = la fonction de demande globale (inverse).

Il est équivalent (mathématiquement) de dire que le problème du monopole est d’offrir une quantité q telle que, celle-ci étant vendue au prix d’équilibre associé P(q), son profit p = P(q) q – C(q) soit maximum.

Page 246: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.1 Le monopoleOn définit la recette totale du monopole,

notée RT, comme la fonction qui associe à toute offre q du monopole, la recette totale qu’il réalise, sachant le prix d’équilibre du marché P(q) associé.

On a donc :RT = P(q) q = la recette totale du

monopole

Page 247: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.1 Le monopole

q

p On illustre ici l’effet d’une hausse de l’offre du monopole de q’ à q’’. Le prix baissant de p’ à p’’, RT diminue de A = (p’ - p’’) q’.L’offre augmentant de q’ à q’’, RT croît de B = p’’ (q’ – q’’).Quand q’’ q’, on appelle B – A la recette marginale.

•q’’

p’’•

q’

p’A

B P(q)

Page 248: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.1 Le monopoleOn définit la recette marginale du

monopole, notée Rm, comme la fonction qui associe à toute offre q du monopole, l’accroissement de sa recette totale s’il offre une unité supplémentaire (infiniment petite) du bien sur le marché.

On a donc :Rm = P’(q) q + P(q) = la recette

marginale du monopole

Page 249: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.1 Le monopoleLa propriété suivante caractérise un

équilibre du monopole :

Si la quantité q* est un équilibre du monopole, on a :

Rm = Cm,où Rm et Cm sont évalués au point q*.

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6.1 Le monopole

q

p Cette fig. illustre la détermination d’un éq. du monopole.L’éq. q* égalise Rm et Cm. Le prix associé est P(q*). Le profit associé est donné par l’aire hachurée.Noter, au passage, que, sur cette fig., Rm décroît et Cm croît au voisinage de q*.

q*

P(q*) = p*

Rm

Cm

• P(q)

Page 251: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.1 Le monopole

q

p Par un raisonnement marginaliste, on montre que l’éq. de monopole n’induit pas un état optimal.En effet, puisque P(q*) > Rm = Cm, en offrant dq unités supplementaire, W croît de l’aire dW hachurée sur la fig.

P(q)

q*

p*

Rm

Cm

•W

q*+dq

dW

Page 252: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.1 Le monopole

q

p En fait, on sait que W est max. pour l’offre q°, à l’intersection entre P(q) et Cm.Le monopole rationne le marché par rapport à l’état optimal.On appelle charge morte du monopole la perte de surplus liée à ce comportement.

P(q)

q*

p*

Rm

Cm

Charge morte

du monopol

e

Page 253: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.1 Le monopoleSupposons que le monopole identifie

plusieurs types de clients, qu’il connaît la demande de chaque type et qu’il peut segmenter le marché (c’est-à-dire, il peut empêcher les reventes entre types).

En pratiquant une stratégie de prix différenciés, il va pouvoir augmenter son profit. On parle de monopole discriminant.

Page 254: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.1 Le monopoleSupposons une segmentation du

marché en deux types (i = 1, 2).On note, pour chaque type i = 1, 2 :

Pi(qi) = sa fonction de demande (inverse) ;Rmi = Pi’(qi) qi + Pi(qi) = la recette marginale correspondante.

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6.1 Le monopoleLa propriété suivante caractérise un

équilibre du monopole discriminant :Si les quantités qi* (i = 1, 2) forment un

équilibre du monopole discriminant, on a :

Rm1 = Rm2 = Cm,où :

Rmi est évalué au point qi* (i = 1, 2) ;

Cm est évalué au point q* = q1* + q2*.

Page 256: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.1 Le monopole

q

p Cette fig. illustre l’éq. du monop. discriminant.On additionne vers la droite Rm1 et Rm2, pour tracer Rm. L’intersec-tion de Rm et Cm donne q* = q1*+ q2*. Les offres sur les marchés se déduisent de l’intersec-tion de Rm1 et Rm2 avec la droite horizontale d’ordonnée Cm(q*).

p*

Rm2

Cm

Rm1

q2*q1*

Rmq*

(= q1*+ q2*)

P1(q1)

P2(q1)Cm(q*)

Page 257: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.1 ExerciceOn considère un monopole, caractérisé

par sa fonction de coût C(q) = q, servant le marché d’un bien sur lequel la demande est donnée par X(p) = 2 – p.

1. Déterminer l’équilibre du monopole.2. Calculer la charge morte du

monopole.

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6.2 Le duopoleOn définit un marché oligopolistique

comme un marché sur lequel un petit nombre J de firmes sont en concurrence.

On note :X(p), P(q) = la f° de demande ;Cj(qj) = la f° de coût de la firme j.

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6.2 Le duopoleOn parle de duopole quand J = 2.On définit un duopole de Counot, comme

la situation où les firmes décident (simultanément) leur production, puis la vendent au prix du marché ;

On définit un duopole de Bertrand, comme la situation où les firmes affichent (simultanément) leur prix, puis servent la demande qui se présente à elles à ce prix.

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6.2.1 Equilibre de Cournot

On définit un équilibre de Cournot comme la donnée de quantités qj*, j = 1, 2, telles que, considèrant la quantité de l’autre comme donnée, chaque firme j maximise son profit en offrant qj*, pour vendre au prix P(q1* + q2*).

Page 261: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.2.1 Equilibre de Cournot

Formellement, un équilibre de Cournot q1* et q2* vérifie la condition de profit maximum pour les deux firmes :

q1 = q1* maximise p1 = P(q1 + q2*) q1 – C1(q1) ;

q2 = q2* maximise p2 = P(q1* + q2) q2 – C2(q2).

Page 262: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.2.1 Equilibre de Cournot

On définit la fonction de réaction de la firme 1, notée R1(q2), comme la fonction qui, à toute quantité q2 offerte par la firme 2, associe l’offre q1 de la firme 1, qui maximise son profit. Formellement :

q1 = R1(q2) maximisep1 = P(q1 + q2) q1 – C1(q1), pour

tout q2.

On a la même définition pour la firme 2.

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6.2.1 Equilibre de Cournot

En supposant une solution intérieure, la fonction de réaction q1 = R1(q2) de la firme 1 vérifie, pour tout q2 :

P’(q1 + q2) q1 + P(q1 + q2) – C1’(q1) = 0.

On a la même caractérisation pour la fonction de réaction q2 = R2(q1) de l’autre firme.

Page 264: MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

6.2.1 Equilibre de Cournot

Connaissant les fonctions de réaction des deux firmes, un équilibre de Cournot vérifie :

q1 = R1(q2),q2 = R2(q1).

On déterminera donc un équilibre de Cournot en cherchant d’abord les fonctions de réaction des firmes, puis en résolvant ce système.

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6.2.1 ExerciceOn considère deux entreprises en

situation de duopole sur un marché. On suppose qu’elles partagent la même technologie, caractérisée par la fonction de coût C1(q) = C2(q) = q. La demande sur le marché est donnée par X(p) = 2 – p.

1. Calculer l’équilibre du duopole.2. Comparer avec l’équilibre du

monopole.

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6.2.2 Equilibre de Bertrand

Notons p1 et p2, les prix affichés (simultanément) par les firmes 1 et 2 respectivement.

On note :Xj(p1, p2) = la demande adressée à la firme j.

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6.2.2 Equilibre de Bertrand

Si les biens offerts par les deux firmes sont parfaitement homogènes, les consommateurs s’adressent tous à la firme qui affiche le prix le plus bas.

On aura dans ce cas :X(p1), si p1 < p2,

X1(p1, p2) = X(p)/2, si p1 = p2 = p,0, si p1 > p2.

0, si p1 < p2, X2(p1, p2) = X(p)/2, si p1 = p2 = p,

X(p2), si p1 > p2.

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6.2.2 Equilibre de Bertrand

Si les biens offerts par les deux firmes, quoique proches, ont des propriétés différentes (couleur, emballage, poids, etc.) et si les consommateurs ont des préférences sur ces propriétés, la demande adressée aux firmes pourra s’écrire, par exemple :

X1(p1, p2) = a1 – b1 p1 + c1 p2, X2(p1, p2) = a2 – b2 p2 + c2 p1,

où toutes les constantes sont positives.

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6.2.2 Equilibre de Bertrand

On définit un équilibre de Bertrand comme la donnée de prix pj*, j = 1, 2, telles que, considèrant le prix de l’autre comme donné, chaque firme j maximise son profit en affichant le prix pj*, pour servir la demande Xj(p1*, p2*).

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6.2.2 Equilibre de Bertrand

On définit la fonction de réaction de la firme 1, notée R1(p2), comme la fonction qui, à tout prix p2 affiché par la firme 2, associe le prix p1 de la firme 1, qui maximise son profit. Formellement :

p1 = R1(p2) maximisep1 = p1 X1(p1, p2) – C1(X1(p1, p2)), pour

tout p2.

On a la même définition pour la firme 2.

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6.2.2 Equilibre de Bertrand

Si les biens ne sont pas parfaitement homogènes et en supposant une solution intérieure, la fonction de réaction p1 = R1(p2) de la firme 1 vérifie, pour tout p2 :

X1(p1, p2) X1(p1, p2)X1(p1, p2) + p1 = C1’(X1(p1, p2))

p1 p1

On a la même caractérisation pour la fonction de réaction q2 = R2(q1) de l’autre firme.

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6.2.2 Equilibre de Bertrand

Connaissant les fonctions de réaction des deux firmes, un équilibre de Bertrand vérifie :

p1 = R1(p2),p2 = R2(p1).

On déterminera donc un équilibre de Bertrand en cherchant d’abord les fonctions de réaction des firmes, puis en résolvant ce système.

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6.2.2 ExerciceOn considère le duopole en prix

caractérisé par :C1(q) = C2(q) = q,X1(p1, p2) = 2 – p1 + p2,

X2(p1, p2) = 2 + p2 – p1.

Calculer l’équilibre de Bertrand.

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2.7 Exercices

x1

x2 Corrigé ex. 1.Le pb revient à trouverx dans X et B, qui soitsur une courbe d’indif.la plus éloignée possiblede l’origine. L’équilibrex* se situe sur l’axedes abscisses (solutionen coin).

XB x*•R/p1

R/p2


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