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8/8/2019 Methodes Numeriques OUTILS
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Outils de base en analyse numrique
Sbastien Charnoz & Adrian Daerr
Universit Paris 7 Denis Diderot
CEA Saclay
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En analyse numrique, un certain nombre de calculs sont faits de manire rptitive.
Exemple :
Rsoudre un systme linaire,Inverser une matrice,Calculer le dterminant, valeurs propres, vecteurs propres
Interpoler une fonctionExtrapoler une fonctionDcomposer une fonction sur une base de fonctions (ex: TF)
fitter des points de mesure avec des fonctions connuesEtc
Des algorithmes performants existent souvent, mais qui ont chacun
des spcificits. En fonction de nos besoins, il faudra choisir lalgorithme adapt
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La plupart de ces outils de base sont souvent dj programmsdans des librairies de calculs mathmatiques (ex: NAG) .
De manire gnrale, il nest jamais bon de lutiliser comme une bote noire :En fonction du problme, en choisissant lalgorithme le plus adapt, on peutgagner du temps de calcul , ou mieux : viter des instabilits numriques.
Exemple 1: Si vous avez besoins de calculer linverse dune matrice, et que sontdterminant est trs proche de 0 (mais non exactement 0), le calcul sera trs sensiblesaux erreurs de troncatures de la machine. Dans ce cas il faut prfrer une inversion
itrative, plutt quune inversion exacte
Exemple 2 : Si vous souhaitez dcomposer une fonction sur une base de fonctions,ll vaut mieux bien connatre cette base, sinon vous ne saurez pas vraimentce que vous faites Souvent, une telle dcomposition engendre des instabilits
dans le schmas numrique en raison de la discrtisation etc
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Dans ce chapitre, nous aborderons 3 points :
Systmes linaires
Calcul matriciel, inversions etc
Interpolation et Extrapolation de fonctions
Diffrentes mthodes, dcomposition sur une base, moindres carrs etc..
Gnrateurs de nombres pseudo-alatoires
Quest ce quun bon gnrateur ? Comment les construire ? etc
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LES SYSTEMES LINEAIRES
En analyse numrique, rsoudre un systme linaires, cest rsoudre
bAx =O A est une matrice ( priori) inversible , b est un vecteur, et X est le vecteurinconnu.
Les questions attenantes ce problme sont :
Calculer A-1, Det(A), valeurs propres de A, vecteurs propres de A
Une dizaine de mthodes existent, mais certains outils sont commun de nombreuses mthodes (Pivot de Gauss, Dcomposition en matrice triangulaire,Mthode de substitution )
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Un tel systme est facilement soluble dans le cas o la matrice A est triangulaire
Pourquoi ?
Par ce quune simple substitution itrative permet de rsoudre facilement le systmeEx :
=
4
3
2
1
4
3
2
1
44
3433
242322
14131211
00000
0
bb
b
b
xx
x
x
aaa
aaa
aaaa
On a alors :
( )
...
1
/
3443
33
3
4444
etc
axba
x
abx
=
=
Matrice NxNavec N=4
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=
4
3
2
1
4
3
2
1
44
3433
242322
14131211
000
00
0
b
b
b
b
x
x
x
x
a
aa
aaa
aaaa
Dune manire gnrale, on peut trouver toutes les valeurs de X i par la mthodeitrative suivante (substitution arrire)
=
=
+=
N
ij
jiji
ii
i
nnnN
xaba
x
abx
1
1
/
On calcule Xn, puis Xn-1, Xn-2 X1
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Une mthode similaire marche aussi pour un matrice triangulaire infrieure
=
4
3
2
1
4
3
2
1
44434241
333231
2221
11
0
00
000
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaa
aa
a
=
=
=
1
1
1111
1
/
i
j
jiji
ii
i xaba
x
abx
On calcule X1, puis X2, X3 XN
Substitution avant
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Dans de nombreuses mthodes, lobjectif est de transformer A pour la rendreTriangulaire, infrieure ou suprieurs, et ensuite calculer les solutions en utilisant
une substitution (avant ou arrire si A est infrieure ou suprieure).
2 grandes mthodes EXACTES:
ELIMINATION DE GAUSS JORDAN
Simple comprendre, mais ncessite de modifier b en mme temps que A
Ne donne pas directement A-1
et les vecteurs propres
FACTORISATION L U
Un peu plus subtile, ne modifie pas b, donc on peut utiliser la mme dcompositionpour tout vecteur b, donne A-1 et les vecteurs propres
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Gauss Jordan (pivot de Gauss)
Prenons lexemple suivant :
On conserve la ligne L1, qui sert de pivot pour liminer l'inconnue x des autres lignes;
pour cela, on retire L1 L2, et 3 fois L1 L3. On obtient :
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On conserve alors la ligne L2 qui sert de pivot pour liminer y de la troisime ligne;pour cela, on remplace la ligne L3 par L3-L2. On trouve :
On rsoud finalement le systme par substitution arrire(car on rsoud dabord Z , puis Y, puis X)
Comment cela se passe avec des matrices ??
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=
8
1
2
853
231
221
z
y
x
=
2
3
2
210
410
221
z
y
x
=
1
3
2
200
410
221
z
y
x
pivot
pivot
Le pivot parcours la diagonale
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Pivot de Gauss4 principes fondamentaux
On ne change pas la solution lorsque lon :
1. permute 2 lignes
2. permute 2 colonnes
3. divise par un mme terme non nul les lments dune ligne
4. ajoute ou retranche une ligne un certain nombre
de fois une autre ligne
Stratgie : Transformer le systme linaire
en un systme quivalent facile rsoudre
Triangulaire !
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Pivot de Gauss : un autre exemple
=++
=++
=++
=+
62
823
03
6242
432
4321
421
321
xxx
xxxx
xxx
xxx
pivot (1)
Attention aux valeurs nulles du pivot
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Pivot de Gauss : un exemple
=++
=++
=++
=+
62
823
03
6242
432
4321
421
321
xxx
xxxx
xxx
xxx
L2 = L2-L1 a21/pivot (1)
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Pivot de Gauss : un exemple
=++
=++
=++
=+
62
823
03
6242
432
4321
421
321
xxx
xxxx
xxx
xxx
=++
=++=+++
=+
62
82330
6242
432
4321
432
321
xxx
xxxxxxx
xxx
L2 = L2-L1 a21/pivot (1)
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Pivot de Gauss : un exemple
=++
=++
=++
=+
62
823
03
6242
432
4321
421
321
xxx
xxxx
xxx
xxx
=++
=++=+++
=+
62
71247030
6242
432
432
432
321
xxx
xxxxxx
xxx
L3 = L3-L1 a31/pivot (1)
Le premire variable t limine de toutes les quations sauf une
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Triangularisation
Lalgorithme du pivot de
Gauss
A x = b
On voit que
si akk~ 0, on
introduit une
instabilit
dans le
systmefait
problme""sinonfait
fait
jusqu'1pour
jusqu'1pour
alors0si*)pivotdestratgie(*
1jusqu'1pour
kj
ik
ijij
kik
ii
kk
apivot
aaa
nkj
bpivot
abb
nki
pivotapivot
nk
+=
+=
=
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;;:ementmatriciell
,...,1pour
,...,1pour
)()()1()()()1(
)(
)(
)()()1(
)(
)(
)()()1(
kkkkkk
kkk
kk
kikk
ik
i
kkjk
kk
kikk
ijk
ij
bMbAMA
ba
abb
nkja
a
aaa
nki
==
+=
+=
++
+
+
Reprsentation Matricielle du Pivot de Gauss pour une matrice NxN
chaque tape akk est le pivot.
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Remarques
Choix du pivot : minimiser les erreurs darrondissi un pivot est nul, on permute deux lignessi tous les pivots restant sont nuls la matrice est singulire
(i.e. le systme dquations nadmet pas de solution unique)
pour minimiser les erreurs darrondis :
on choisi le plus grand pivot possible (en valeur absolue)
et donc on permute les lignes (voir les colonnes associes)
cest la stratgie du pivot maximal (partiel (lignes) ou total)
dterminant dune matrice = produit des pivots
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Problme de la mthode du pivot de Gauss seule :
Ncessite de modifier b ,
Donc pour rsoudre Ax=b et Ax=b il faut recommencer la procduredeux fois
Il faudrait une mthode qui ne modifie pas b
=> Dcomposition LU
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Dcomposition LU
Supposons que nous sommes capables dcrire la matrice A sous la formedune produit de deux matrices triangulaires L (lower) et U (upper)
=
44434241
34333231
24232221
14131211
44
3433
242322
14131211
44434241
333231
2221
11
0
0
aaaa
aaaa
aaaaaaaa
u
uu
uuuuuuu
llll
lll
lll
L x U = A
Triang. Infrieure(lower)
Triang. Suprieure (upper)
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Alors rsoudre Ax=b peut aussi scrire
Ax=(L U) x = L (U x) = b
Que lon peut dcomposer en deux tapes, avec une variableintermdiaire : y
Ax=b (LU)x=b L (Ux) = b L y=b avec y=Ux
1. Rsoudre L y =b
2. Rsoudre U x =y
Intrt de la mthode :
Si on connat L et U les tapes (1) et (2) se rsolvent simplementEn appliquant pour (1) une substitution avant (L est triangulaire inf.)En appliquant pour (2) une susbstitution arrire (U est triangulaire sup.)
De plus on peut calculer simplement linverse de A, on ne touche pas b
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On peut montrer quen temps normal il existe une infinit de dcomposition LU
Si A est inversible.
Cependant il nexiste quune seule dcomposition telle que L ait pourlments diagonaux des 1 uniquement:
Pour Calculer L et U facilement on se sert de la mthode du pivot de Gauss,en utilisant une matrice intermdiaire un peu spciale, : la matrice augmente
Exemple : Soit Rsoudre :
=
=
5
3
2
322
134
12
3
2
1
3
2
1
3
2
1
333231
222221
131211
x
x
x
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
1
o
-
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=
=
5322
3134
2121
5
3
2
322
134
12
3
2
1
3
2
1
333231
222221
131211
3
2
1
3
2
1
333231
222221
131211
1
x
x
x
b
b
b
aaa
aaa
aaa
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
On peut crire ce systme manire plus compacte avec la matrice augmente(qui nest plus carr)
Matrices augmentes
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On peut garder la trace des diffrentes tapes du pivot de gauss en considrantLa matrice augmente
=
+
=>
5322
5550
2121
5322
83418344
2121
5322
3134
2121
1ere tape : Pivot avec a11 : La 2eme ligne =L2- 4/1 x L1
Ide gniale : Au lieu de garder le 0 dans la nouvelle matrice augmenteOn conserve dans cette case le coefficient par lequel on a multipli L1
Nouvelle matrice A Nouveauvecteur b
5322
5554
2121On a chang le 0En 4
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5322
5554
2121
Maintenant on echange L3=L3-2/1 L1
Augmente :
Nouvelle augmente
1522
5554
2121
Au lieu du 0 ici, on
a mis le 2 par lequel on avaitmultipli L1
On pivote maintenant sur la ligne 2, le pivot vaut -5 (a22)
L2 ne change pas, et L3=L3 - (-2/-5) L3
335/22
5554
2121Au lieu des 0on a conservles coefs. multiplicateurs
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335/22
5554
2121
Augmente finale.On en dduite la forme triangulairede A et la nouvelle forme de b
=
=
3
5-
2
bet
300
550
121
A
Et on trouve X par substitution classiquement
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Alors, pourquoi tout cela, le rapport avec L et U?
Et bien on peut montrer que
535/22
55542121
~ L
=U
Plus prcisement, on divise chaque colonne par llment diagonal pourmettre des 1 sur la diagonale de L
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Uet
=
=
300
550121
125/22
014001
5322
5554
2121
L
Vous pourrez vrifier que LxU=A !!
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ALGORITHME DE CROUT (rij=uij et lij=lij avec nos notations)
Matrice U
Matrice L
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Une fois quon possde la dcomposition LU, on obtient aisment:
Le dterminant :
Det(A)=Det(L)*Det(U) =u11
x u22
x x Unn
La matrice inverse :
On rsoud successivement pour toute dimensionA xj =ej o ej est le vecteur unitaire de la dimension j=> En combinant tous les xj on trouve successivement toutes lescolonnes de la matrice A-1
=
=
=
=
MMM
MMM
321
1
321
1
00
0
10
0
01
xxxAAxAxAx
M
Avantage de la mthode L-U : On ne calcule que L et U quune seule fois
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Pour les trs grosses matrices on prfrera les mthodes itratives :Elle convergent vers la solution progressivement:
Ide : Rsoudre une quation du type : F(x)=XAvec une suite du type : Xk+1=F(Xk)Si X0 nest pas trop loin de la solution, on Xk convergera vers la bonne valeur
de X.
Comment transformer : AX=B en un quation du type X=F(X) ? O F est uneopration linaire ??
METHODES ITERATIVES (Relaxation)
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Ide : Dcomposer A = M-N
Alors AX=B (M-N)X = B MX=NX+B
X=M-1 N X + M-1 B= P X + C
F(x)
Donc si on arrive trouver une dcomposition de A avec une matrice M facilementinversible, alors on peut mettre en marche un algorithme itratif du type :
Xk+1=P Xk + C
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Dcomposition E, D, F : ide : prendre pour M une simple matrice diagonale D
Donc A = D-(E+F) M=D et N=E+F
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Dans ce cas M-1= D-1
La formule de rcurrence : Xk+1=M-1 N Xk + M
-1 B
Scrit :
1=
ix
O les xik sont les composantes du vecteur Xk
Cest la mthode de Jacobi
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Mthode de Gauss Seidel :Converge plus rapidement .
On sinspire du calcul de Jacobi
Mais on fait la premire somme sur les coeffs dj calculs de ltape k+1
Ca converge plus vite, mais difficilement parrallisable
A doit tre dominante diagonale i.e ABS( diagonale )soit tre > somme des v.absdes lements sur la li ne our tre srde la conver ence.
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Nous avons vu 2 familles de mthodes :
-Les mthodes exactes, type pivot de Gauss
Prcises, peu rapides, sensibles aux fluctuations
- Les mthodes itratives (ou dites de relaxation )
Moins prcises, plus rapides, plus stablesMais il est parfois difficile de prdire si elles convergentPlus on fait ditrations, plus la mthode est prcise..La matrice doit tre diagonale dominante
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Interpolations et Extrapolations de fonctions
Le problme :
On a un ensemble de n points : x0 . Xn-1 et pour chaque point on connatla valeur dune fonction f inconnue (-priori): f(x0) . f(xn-1)(rem :les f(xi) seront aussi nots fi )
Question : Quelle est la valeur de f sur les points intermdiaire ?
* Pour cela on doit supposerun modle mathmatique de f(polynome, somme de sinus etc)
* On doit aussi savoir :
1) Les f(xi) sont-elles des valeurs exactes2) Les f(xi) sont-elles des valeurs approches (ex : pts de mesure) ?
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DONC : il ny a pas de manire idale dinterpoler/extrapoler unefonction car on a besoins dhypothses sur f.
Diffrentes hypothses donneront des interpolations/extrapolationsdiffrentes eh oui
Donc ce sera nous de savoir, en fonctions de la physique du problme,quelle est la meilleur hypothse sur la forme de f effectuer.
Si les f(xi) sont des valeurs exactes on fera une dcompositionsur une base de fonctions (des polynmes le plus souvent)
Si les f(xi) sont des valeurs approches on essaiera dadapter
(de fitter en anglais) un modle mathmatique aux points de de mesure.
Les f(x ) sont des valeurs exactes :
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Les f(xi) sont des valeurs exactes :Dcomposition sur une base de fonctions
On suppose que f est la combinaison linaire dune famille de fonctions
= iii xaxf )()(
1er question : que choisir comme base ?
2me question : Comment calculer les ai ?
Remarque: parfois on a pas besoin de connatre les a i explicitement,Certains algorithmes fournissent les ai , dautres donnent directement le rsultatf(xi)
f est toujours dfinie sur un domaine : [xmin , xmax]
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1. Dcomposition polynomiale
Supposons que f est polynomiale.Avec N points on peut construire un polynme dordre N-1 qui traverser les Npoints :
On suppose :
==
1
0)(
N
i
i
ixaxf
Pour calculer les coefficients ai
On a n quations n inconnues :
Les inconnues sont les coefficients aiEt les n quations sont : f(xi)=fi
o les fi sont les valeurs de f aux points x i .=> Cela peut scrire matriciellement
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=
=+++
=+++
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
11
1
110
0
1
01
1
010
.........1
............
...1
...1
...
......
nnn
nn
n
n
n
n
nnn
n
n
f
f
f
a
a
a
xx
xx
xx
fxaxaa
fxaxaa N quations linaires N inconnues.
Les ai sont les inconnues
Les xij sont les coefficients
M x A = f
Pour trouver A il suffit de calculer : A = M-1 f
=> Il faut donc inverser une matrice de N points cette mthode
est intressante, marche mais elle est coteuse temps de calculCar souvent on a pas besoin connatre les ai Seul f(x) nous interesse
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Pour calculer une dcomposition polynomiale sans calculer les ai on peututiliser les polynmes de Lagrange :
2. Dcomposition en polynmes de Lagrange
==
1
0
)()(
N
i
ii xlaxf
ai : coefficientsai=f(xi)
iem polynme de Lagrange
=
=
1
,0 )(
)()(
n
ijj ji
j
i
xx
xxxl
Les Li(x) sont des polynmes dordre n-1 : ~ produits de (x-xj) pour j diffrent de i
Exemple :
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Exemple :Xi= [ 0 , 2 , 4, 6] et Fi=[ 0, 4, 0, 4]
Calculer les polynomes de Lagrange .
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On a donc un polynme dordre 3.
Les polynomes de Lagrange sont une mthode rapide de calculer des points
sur la courbes sans avoir calculer explicitement les coefficients
Si on a peu de points calculer cest interessantSil y en a beaucoup, il est plus intressant de calculer les coefficients (moinsde calculs effectuer).
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On voit que les mthodes polynomialesdivergent toujours linfini :
Pas un problme pourlinterpolation si N est faible
Peut tre un problme pourlextrapolation
Mais cest une mthode : INSTABLE
Autre exemple avec 50 points
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Notre polynmepasse bien par tous les points mais entre ces pointsIl a des variations IMPORTANTES
(ici : + ou 1021 !!!!)
=> TRES INSTABLEquand on a beaucoup de points
Autre exemple (moins sauvage)
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Interpolationpar polynmesde Lagrange
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Linterpolation polynomiale ne doit-tre utilise que :
-Si on a peu de points (moins de 10)-Si on est sur que les fi sont des valeurs EXACTES (pas de pts de mesure)
Pour rsoudre ce problme dinstabilit en conservant un approche polynomiale:
Mthode simple :
Ne pas utiliser tous les points, mais seulement les voisins1 point : F est constante par morceaux (mais discontinue)
2 points : F est affine par morceaux (mais de non drivable, classe C0)
3 points : F est parabolique par morceaux (drivable 1 fois, classe C1)
Etc
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1 point : constantespar morceaux
2 points : affine parmorceaux
3 points : Parabolique parmorceaux
Ces mthodes sont plutt stables souvent trs utiles mais ont de mauvaisesproprits de drivabilits
Pour les calculer : On utilise les polynmes de Legendre
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Pour les calculer : On utilise les polynmes de Legendre.
On veut calculer f(x) en utilisant les p plus proches voisins : Xj1 Xjp
On a alors : x j1< x < Xjp
1 pt
2pt
3 pt
= =
=jp
ji
jp
ijjj ji
j
ixxxxaxf
0 ,0 )()()(
Dans le cas a 1 point : F(x) f(x ) (X est le pt immdiatement infrieur X)
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Dans le cas a 1 point : F(x)=f(xp0) (XP0 est le pt immdiatement infrieur X)
Dans le cas 2 points :
(xp0, F(xp0) )
(xp1, F(xp1) )
Simple interpolation linaire
Une mthode dinterpolation populaire sappelle CUBIC SPLINE , elleutilise 4 points => F est de classe C3 (polynome dodre 3)
))()(()(
)()( 01
01
0
pp
pp
pxfxf
xx
xxxf
=
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Interpolation parabolique (3 voisins).Interpolation linaire (2 voisins)
Les interpolations polynomiales sont simples programmerMAIS
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Il existe encore dautres mthodes dinterpolation exactes :
On peut aussi dcomposer en fractions rationnelles
1
1
2
210
1
1
2
210
......)(
++++ ++++= nn
n
n
xqxqxqqxpxpxppxf
Les inconnues sont les pi et les qi .Les fractions rationnelles sont moins instables que les polynomes maismoins faciles coder.Elles peuvent modliser des fonctions avec des ples (complexes) etc
Pour plus dinfo, lire Numerical Recipes
Elles sont dangereusement instables.
Plus lordre est lev plus linstabilit sera grande.=>Il faut prfrer les interpolations qui se basent sur les 2 ou 3 voisins (ordre faible)
Les f(xi) sont des valeurs approches :Ad t ti d dl d f ti
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Adaptation dun modle de fonctions
Souvent en physique, on obtient des points de mesures f(xi) aux points xi :Ex :- temprature dun solide en fct de la temprature-Nombre datomes radio-actifs en fonction du temps
Etc.
Exemple de mesure :Nb datomes en fonction du temps
Si les fi sont des points de mesures,ils sont soumis des erreurs, desfluctuations (on appelle cela du bruit)
qui rend une interpolation exacteINSTABLE et invariablement FAUSSE !!
Dans ce genre de problme typiquement on veut trouver
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Dans ce genre de problme, typiquement on veut trouverquelle est la meilleure fonction mathmatique qui reprsente les donnes.
=> Elle ne passe pas exactement par les points, mais elle sen approche.
On appelle souvent cela fitter une fonction (en franais adapter ).
Ex : faire passerune gaussienne par des points
Fitter un nuage de points
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Fitter un nuage de pointspar une droite(Rgression linaire)
Fitter un nuage par uneexponentielle(decroissance radio-active)
Etc
Le problme ici nest donc pas dinterpoler MAIS
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Le problme ici n est donc pas d interpoler MAISDe trouver le meilleur modle mathmatique qui reprsente les donnes.
Donc ncessit dun modle mathmatique priori !!!
Ce modle sera choisit en fonction :-Soit de la physique du problme
-Soit de la forme des donnes exprimentales
(Sachez que lil humain est un excellent outil pour analyser rapidementun ensemble de donnes ne jamais ngliger cela !!)
On se choisit donc un modle mathmatique :
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Cest un ensemble de fonctions qui dpendent dun ou plusieurs paramtres.
EXEMPLES:
a , , Sinus/CosinusY=a cos ( x + )
a et bexponentielleY=a ebx
a et bRgressionlinaire
Y=aX+B
paramtresdescriptionmodles
Etc
Moins on a de paramtres libres, plus robuste sera le modle (moins sujet
aux instabilits) , mais le fit sera plus difficile
Lobjectif nest PAS de reproduire tous les points exactement (si cest le cas, cf.Cours sur linterpolation)
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Cours sur l interpolation)
Lobjectif EST de trouver la fonction qui passe au plus prs des points de mesure :=> Minimiser la distance entre chaque point de la fonction et chaque pts de mesure
EXEMPLES
On doit donc se donner une MESURE de la distance entre les points et
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la fonction. On peut en imaginer de nombreuses .
Une mesure courante : MOINDRES CARRES (xhi 2, 2)
=ptslestt
2
2
..,,
*
2))((
,...),,(i
icbai xyy
cba
Y*i = pt de mesure numro i (absice xi)
Ya,b,c..(xi)= Modle (qui dpend des paramtres a,b,c..) au point xi
i
= incertitude de mesure sur le point iDonc le problme consiste trouver les paramtres a,b,c etc qui minimisentle Xhi2
En clair le xhi2 cest : la somme des carrs des erreurs
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Considrons cet ensemble demesures Y*i pour i=1 n
A lil on voit que cestla fonction constanteY(x)=10
On va utiliser un modle 1 paramtre :
Y(x)=a
Quelle est la meilleure valeur de a ?
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Ici nous avons trac la valeurdu XHI2 en fonction du paramtre a
Nous voyons que le XHI2 est minimispour a =10
Cest un exemple simple 1 dimension
(1 paramtre)En pratique souvent on utilise2 ou 3 paramtres..
Minimisation en plusieurs dimensions
Notez que la valeur du XHI2 nousdonne une estimation de la qualitdu fit.
Nous avons donc besoin dun algorithme de minimisation pour trouverl ill bl d { b } i i i i l XHI
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le meilleur ensemble de paramtres { a,b,c } qui minimise le XHI2.
Nous verrons de tels algorithmes plus tard dans le cours.
CEPENDANT
Pour le cas dune rgression linaire(fit par une droite, Y=aX+b) il existeun algorithme simple et analytique qui donne directement la meilleure valeurde a et b (2 paramtres) au sens des moindres carrs.
Cette mthode peut-tre gnralise pour des fonctions polynomiales :Y=a0+a1X +a2X2 + + anXn
Etude du XHI22*
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= ptslestt 22
..,,
*
2 ))((,...),,(i
icbai xyycba
Le XHI2 est une fonction des paramtres a,b,c , nots maintenant :a1 , , an
Si le XHI2 est minimal au point (a*1, , a*n) alors toutes les drivespartielle sannulent ce point l.
0
...
0
0
**1
**1
**1
,..,
2
,..,2
2
,..,1
2
=
=
=
n
n
n
aan
aa
aa
a
a
a
2*2*2 )())(( iibi yyxyy
-
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== ptslesttptslestt22
..,,2 )())((
,...),,(i
ii
i
icbai yyxyy
cba
0
...
0
0
**1
**1
**1
,..,
2
,..,2
2
,..,1
2
=
=
=
n
n
n
aan
aa
aa
a
a
a
La distance
=
=
++++=
1
0
1
1
2
210,.., ...110n
p
p
p
n
naaa
xay
xaxaxaayn La fonction. On cherche
la meilleure combinaisonde ai pour minimiser la distance
On doit alors rsoudresimultanement les n quations
-
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( )
=
=
=
=
=
Np
i i
n
p
p
ipi
k
ik
k
Np
ipts i
n
p
pipi
i
ii
xay
xaa
xay
yycba
1
0
*
12
2
:
1
0
*
2
2
2*2
2
)(,...),,(
ptslestt
O les (xi, , y*i) sont les points demesureEt les (xi, , yi) sont les points
de la fonction modle
!! Attention aux indices :
k : numro de la variable quelon drivep: coefficient p du polynome
i: numro du point de mesure
n p1*
-
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( )
=
++
+
=
++
=
Np
i
N
i
N
i
N
i
k
i
i
ink
i
n
nk
i
k
i
Np
i i
p
p
ipi
k
ik
p p p
xy
xa
xa
xa
xayxa
*11
1
1
0
0
01
...
0
-
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=
+
+
+
pts
n
ii
pts
ii
pts
i
n
n
pts
n
in
pts
n
in
pts
n
i
pts
n
i
pts
i
pts
i
pts
n
ipts
i
xy
xy
y
a
a
a
xxx
xxx
xxn
11
1
0
22111
1
11
1
2
1
0
1
00
......
/...//
............
/...//
/...//)1(
On obtient donc le systme linaire, pour k=0, n-1
M x A = Y
=> A=M-1 Y
CAS PARTICULIER : Rgression linaire
-
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Y=a0 +a1 X , donc n=1 et k=0,1
Et on pose =1 (mme incertitude de mesure sur tous les points)
Ordre du polynme
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La Valeur du XHI2 est interessante : elle donne une indicationsur la qualit du fit :Distance moyenne ~ (XHI2/n points)1/2 en units de i
=> Fit idal : XHI2~n points (chaque points est fitt en moyenne 1 )
Si XHI2 >> n points : mauvais fit ou barres derreur surestimes
Si XHI2
-
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Ici tous les i =0.5
Valeur du2 = 25.2
La deviationmoyenne est~ sqrt(25.2/n points)~ 1.2 Delta
Exemple 2 : Fit par une droite avec un point aberrant
-
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=0.5 pour tous les pts
La droite a t tire vers le bas
XHI2=234 >> nb de ptsMauvais fit
Solution ?? En fait la barre derreur sur le dernier pt peut etreplace beaucoup plus , disons =10. pour ce pts, et 0.5 pour les autres
=0 5 pour tous
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=0.5 pour tousles pts et=10 pour le ptabrrant
On retrouve unesolution acceptable
XHI2=22 (Ok)
Conclusion: mme si souvent on oublie de considrer les barres derreur de mesurepeut tre trs utile pour sassurer de la qualit du fit
Exemple 3 :
Fit par une fonction exponentielle : Y=a ebx les pts de mesure (xi , yi*)
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On utilise la regression linaire sur le LOG des points car :
Si
les (xi , yi*) sont reprsentables par Y=a ebx =>
Les (xi, Ln(yi*) ) sont reprsentables par Y=Ln(a)+ b X ( cest une droite)
=>
Y=LOG(Y)
En rsum:
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En rsum:
Faites attention quand vous calculez un fit : ayez toujours une estimationde sa qualit en considrant la valeur du XHI2 . Pour cela vous devez toujoursconnatre la qualit de vos points de mesure (barre derreur).
Si votre modle de fonction est polynomial, vous pouvez trouverde manire analytique la meilleure solution en passant par une simpleinversion de matrice.
Si vous voulez fitter par une fonction plus complique Il faudra faire une VRAIE minimisation du XHI2 avec un algorithmede minimisation itratif (Amoeba, Simplex etc) plus tard dans le cours
-
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Les gnrateurs de nombres pseudo-alatoires
Pour beaucoup dapplications en physique et en mathmatique il est utile(voire ncessaire) davoir un gnrateur de nombres alatoires :
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Exemples :Simulation dune source radioactiveSimulation du mouvement brownienEstimation dune intgrale complexe en N dimensions (N>3)Simulation dun gazEtc
On ne peut PAS rellement crer des nombres alatoires de manire algorithmique
car tous les outils sont dtrministes.Nous construirons des sries de nombres que nous qualifierontde pseudo-alatoires si elles rpondent certaines tests statistiquesi.e si elle a les mmes proprit statistique quune vraiesrie alatoire.
Toutes les sries pseudo-alatoires dpendent dun chiffre, appel grane ( seed ) . On pourra regner la mme srie de chiffre en partant de la mme grane =>
reproductibilit de la srie (indispensable pour tester les programmes)
DISTRIBUTION UNIFORMES
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Dans de nombreux langages de programmation, des gnrateurs de nombrespseudo-alatoires sont implments.
Il sappellent souvent : RAN, RANDOM , RANDOMU etc
Un appel typique : X=RANDOM(seed) o seedest un nombre appel grane
La majorit des fonctions RANDOM sont appel :
Gnrateurs congruentiels
Se sont des sries du type :
m)(modUaU j1j =+ Ou m)(modcUaU j1j +=+
m)(modUaU j1j =+ Ou m)(modcUaU j1j +=+
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m= grand nombre ~maximum reprsentable par la machine (~232 = 4.3 109)
U0 = graine
a, c : paramtres du gnrateur
Donc une srie de nombres pseudo-alatoires est une suitede chiffre calculs itrativement, avec U0= graine.Donc si on utilise la mme grane => on obtient la mme suite
La qualit de la suite dpend dun choix Judicieux de a et de c.
Certains couples (a,c) sont connus pour tre bons, dautres mauvais.
Exemple : Uj+1= a Uj+c (mod M)
Avec a=47, b=5, m=65536
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Si on veut une srie entre 0 et 1 on divise par m
Pas mal comme rsultat mais si on tire 105 nombres les pb apparaissent :
Tirage de 1 million de chiffres pseudo-alatoires
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On voit clairement apparatre des corrlations entre les nombres,Priode tous les ~ 65000
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Mme gnrateur, mais avec m=106 => des corrlations existent toujoursMAIS plus longues : tous les 106 typiquement
Donc il faut bien choisir les valeurs de a, c et m
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Il en existe beaucoup dans la littrature
Uj+1=(Uj a +c) mod (m)
Les gnrateurs congruentiels sont faciles coder et rapides(important si on a besoin de 109 nombres par exemples)
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MAIS
Ils finissent toujours par se rpter (i.e modulo m), les corrlations sontinvitables
Donc il faut jamais utiliser des sries de N nombres o N est comparable m
Il faut savoir aussi que le hasard est toujours plus important sur les
premires dcimales (essayez pour voir)=>
Si vous avez besoin de 2 nombres alatoires, Tirez en 2, et NE FAITES PAS je casse le nombre en plusieurs bouts pour en faire deux
Un gnrateur relativement simple et performant est :
A=75 = 16087
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M=232-1 = 2147483647C=0
Pour 106 chiffres a lair OK
Tirage entre 0 et 1
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Valeurs thoriques : =0.5Variance (Sigma^2)=1./12.=0.083333
A la vue des 2 premiers moments notre distribution est assez fidlement uniforme..
Pour diminuer encore les corrlations, diverses techniques existent,Par exemple on tire au hasard lindice du chiffre numro j ( shuffling )
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On peut aussi utiliser des suites de Fibonacci (demandent + de mmoire)
Uj+1 =(aUj-1 + bUJ-1+c) mod (m) etc
Les gnrateurs congruentiels permettent de tirer une srie de nombre avecun distribution ~ uniforme entre 0 et m-1
Si vous avez besoin dune srie entre 0 et 1, divisez les rsultat par m.
EN PRATIQUE
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On prfrera utiliser des algorithmes prprogramms en SE RENSEIGNANTsur leur robustesse !!!
Tirez au hasard 107 chiffres et affichez le rsultat dj lil vous aurez une
ide sil y a des corrlations videntes ou non
Mfiez vous si vous avez besoin dune LONGUE squence ROBUSTE.. Descorrlations caches peuvent vraiment affecter la validit de votre rsultat !!
ENFIN
Si vous voulez du VRAI hasard, cest possible.. Sur le web !!http://www.random.org/
O vous aurez des sries VRAIMENT alatoires, tires de systmesphysiques
Fabrication de suites pseudo-alatoires non-uniformes
No s sa ons fabriq er ne distrib tion niforme 1
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Nous savons fabriquer une distribution uniformeentre a et b :
Mais de nombreux problmes ncessitent des distributions non-uniformes :
exemples
abxp
= 1)(
2
2
2
)(
2
1)(
=x
exp Gaussienne (Normale)
!)(
xexp
x = Poisson
)()(
22 xa
axp
+=
Cauchy / Lorentzienne
2
2
22
)(
x
ex
xp
= Raleygh etc.
P(x)= densit de probabilit
Problme : Nous voulons gnrer une srie de N points pseudo-alatoiresqui sont distribus suivant une densit de probabilit p(x)
-
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Pour cela nous allons utiliser un thorme fondamental de transformationdes lois de probabilits :
Prliminaires : On considre une srie de nombre alatoires x i entre a et b
p(x) dx est la probabilit quun nombre xi soit entre x et x+dx
=b
a
dxxp 1)( la probabilit dtre dans le domaine de dfinition [a,b]est gale 1 (Normalisation)
On dfinit C(x) la distribution cumule : Probabilit dtre < x :
=x
a
dxxpxC )()( On a donc C(b)=1
Exemple : p(x)=1/(b-a) => c(x)= (x-a)/(b-a)
Transformons les probabilits :
On considre une srie de nombre {xi} distribus uniformments
-
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On considre maintenant la srie des { yi } o yi=f(xi) est une fonction bijective sur [a,bLes { yi } sont aussi not les { f(xi) }
Connaissant p(x) nous voulons connatre la distribution p(y) des {y i}
Soit x=Y-1(y)
dy
dxxpypp(x) dxp(y) dy )()( ==
Exemple : Prenons y=-ln(x) , et p(x)=1. entre 0 et 1Alors :
P(y)=p(x)*|dx/dy| avec -1/dx=dy => dx/dy=-1/x
P(y)= 1. | 1/x | or x=e-y
p(y)=ey Distribution exponentielle !!!
Avec x=f-1(y)
Exemple :{xi}={5.740e-005, 0.965 , 0.1291, 0.0106, 0.1106, 0.3120, 0.825, 0.9401, 0.922, 0.217, 0.44616127, .}
=>{y } {
-
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{xi} distrib. uniforme => { -ln(xi)} : distrib. exponentielleentre 0 et 1
>{yi}={9.763, 0.03437, 2.0466, 4.541, 2.201, 1.16455, 0.1919, 0.0617, 0.080, 1.5274, 0.8070 }
d
Donc en utilisant la formule de transformation des distributions
-
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[ ]dy
ydfyfpyp
yfxdy
dxxpyp
)()()(
)()()(
11
1
=
== o
On peut transformer notre distribution uniforme en nimporte quelle autre distribution
Sous rserve que lon puisse calculer dx/dy et f-1 (ce qui nest pas toujours les cas..)
De manire plus pratique : On peut utiliser faire intervenir la distrib. cumulativeSupposons que nous voulins obtenir une distribution p(y) partir de nombresuniformment {xi} distribus entre 0 et 1 p(x)=1
-
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uniformment {xi} distribus entre 0 et 1, p(x)=1.
Comme la distrib. Cumulative =y
y
dyypyC
inf
)()(
Si on pose : y=f (x)=C-1 (x) x=f -1 (y)=C(y)
Alors :
[ ]
)(/
11)(
)()(
)(
)()(
1
11
ypdy
dC
dxdCyp
dy
dxxpyp
dy
ydf
yfpyp
===
=
=
EN PRATIQUE :
Soit une srie de nombres {xi} uniformment distribus entre 0 et 1
On veut construire une distribution {yi} qui suit la lois p(y)
-
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On veut construire une distribution {y } qui suit la lois p(y)
=
y
y
dyypypinf
)()(Soit P(y) la distribution
cumulative :
On calcule alors yi=P-1(xi)
Les yi ont la bonne distribution
Exemple :
)1(
1
)( 2 += yyp Lorentzienne
-
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)2/tan()(
)arctan(
2
1)(
)1()(
1
==>
+==>
+=
xxC
yyC
yyp Lorentzienne
On calcule des {xi} distribus uniformment=>
On calcule les yi =C-1(xi) qui seront distribus selon une Lorentzienne
-
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=>
-
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On prend des points {xi} distribus uniformment entre -1 et 1
-
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Sur laxe de X on obtient les points {Yi} distribus selon une gaussienne
Graphiquement cela marche bien , mais analytiquement problme !
Tout cela est trs bien mais pour de nombreuses fonctionson ne sait pas calculer C-1(x)
Exemple : Pour la Gaussienne :
-
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Exemple : Pour la Gaussienne :
)(2
1)(
2
1)(
2
2
2
2
2
)(
2
)(
yERFdyeyC
eyp
y y
y
=
=>=
O Erf est la fonction Erreur Non analytique donc non inversibleanalytiquement
Autre exemple : Distribution Gamma:
)(1exxp
xa
-
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)()(
aexxp
=
On na pas dexpression de C(x) analytique encore moins de C-1
Etc
Dans dautres cas , on connat C mais on nest pas capable de calculer C -1
Exemple C(x)=a0+a1 X + a2 X2 +a3 X3 + . + aN XN
On polynme dordre elev (> 5) nest pas analytiquement inversible
-
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On polynme d ordre elev (> 5) n est pas analytiquement inversibleEt mme un polynme dordre 3 est difficilement inversible
Dans ces deux cas l on utilisera une mthodede REJECTION
Que nous ntudierons pas cette anne
Pour le cas particulier de la distribution Gaussienne, il existe un algorithme courant qui genre deux variables alatoires.*
Mthode de : Box-Muller
-
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Soient x1 et x2 deux variables uniformes entre 0 et 1
Considrons les transformation suivantes :
)2sin()ln(2
)2cos()ln(2
212
211
xxy
xxy
=
=
On peut montrer que Y1 et Y2 sont distribus selon un distribution gaussienne
de variance = 1=> La norme aussi : (Y12+Y22)1/2 => utile si on a besoin dun seul chiffre
INTEGRATION MONTE-CARLO
Les nombres alatoires servent aussi intgrer des fonctions .
Li i M C l l i i l
-
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Lintgration Monte Carlo est en gnral intressante pour une intgralemulti-dimensionnelle (N>~3)
Ide de base : Si on tire N points au hasard le nombre de points sousla courbe est proportionnelle laire de celle -ci
X
Y
A=Aire de la boite
f
A=Aire de la boite
-
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X
Y
Lintgrale de f lintrieure de la boite (entre Xmin et Xmax) est
f
AN
N
dxxf
X
X total
sous
max
min)(
F
En fait lintgration Mont Carlo est aussi intressante si le domaine dintgrationest difficile calculer (la fonction peut-tre trs simple):
Exemple :
-
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( )3
113
2222
++
y
xyxz
F(x)=1
On veut calculer le volume :
=v
dxdydzV
On peut donc considrer un volume simple qui entoure le morceau de toreet compter le nombre de points qui tombent lintrieure
MAIS cette mthode est trs inefficace : il faudra tirer beaucoup de points pour
-
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MAIS cette mthode est trs inefficace : il faudra tirer beaucoup de points pourconverger vers le rsultat
Voici une mthode plus efficace :
On veut Calculer
= A dxxfI )(Sur un domaine compliqu A, x et dx sont multi-dimensionnels
On se donne un domaine plus simple, D qui englobe ASoit V le volume de D
=
A
dxxfI )(
On rcrit lintgrale :
)()()( dfdfI
-
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Comme :
==
==
AxsiAxsi
0)(
1)(
)()()(
xg
xgo
dxxgxfdxxfID
A
Que lon peut encore rcrire :
==DD VdxxgxfVdxxgxfI )()(
1
)()(
O V est le volume du domaine D.
Pourquoi cette transformation ?
crit sous cette forme :
1
-
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== DA VdxxgxfVdxxfI )()(1
)(
On voit que I est la valeur moyenne de h(x)=f(x)g(x)V sur le domaine D
Donc maintenant si {xi} sont des points uniformment distribus dans D
Alors
)()()(1
i
i i
ii xgxf
N
Vxh
N
I =Voil un algorithme qui converge beaucoup plus rapidement que de tirer des pointssous la courbe.CEPENDANT : pour le calcule de g(x) , on doit toujours tester si x appartient au domaine
Exemple :
Intgrons f(x)=cos(x)2 sur lintervalle 0-1
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Le rsultat exacte est : 0.72729516..
)()( ii
xgxf
N
VI
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V = longueur de lintervalle : 1g(x) =1 si on tire uniquement des points entre 0 et 1F(x)=cos(x)2
Lerreur sur le rsultat diminueavec le nb de points
Voici lerreur sur le rsultat enfonction du nombre de points
tirs
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On peut montrer que souvent , lerreur dcroit en
N
1
Donc pour avoir une erreur 2 fois plus faible , il faut 4 fois plus de points !!!
=> pour 50 points lerreur (relative) est environ 0.05pour avoir une erreur de seulement 0.025 il faut environ 200 pointsEt pour erreur~0.01 il fait environ 800 points ..
En conclusion :
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Lintgration par mthode Monte-Carlo permetdintgrer des fonctions-Complexes- Sur des domaines compliques- A plusieurs dimensions.