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RPUBLIQUE ALGRIENNE DMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTRE DE LENSEIGNEMENT SUPRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Universit de Batna Institut de Gnie Civil, dHydraulique et dArchitecture
Dpartement de Gnie Civil
MMOIRE
prsent pour lobtention du diplme :
Magistre en Gnie Civil
OPTION : Mcanique des sols
Thme :
ANALYSE NUMERIQUE DU COMPORTEMENT DUNE SEMELLE FILANTE REPOSANT SUR UN SABLE
EN PENTE RENFORCE PAR DES PIEUX
Prsent par :
DEMAGH Laid
Soutenue le : 17 /06 /2012
Devant le jury compos de :
Mr MESSAST .S MC (classe A) Prsident universit de SKIKDA
Mr ABBECHE .K Professeur Rapporteur universit de BATNA
Mr HAMMOUD.F MC (classe A) Examinateur universit de BATNA
Mr HIJEB .M MC (classe A) Examinateur universit de SKIKDA
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Ddicace
Je ddie ce travail :
La mmoire de ma mre
A mon pre.
A ma femme et mon enfant.
A mes frres et mes surs.
A toute ma famille.
A tous ceux qui me sont chers.
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REMERCIEMENTS
Ce travail a t effectu sous la direction de monsieur ABBECHE Khelifa, Professeur
lUniversit de Batna, a qui je tiens tmoigner ma reconnaissance, pour sa contribution
au dveloppement et la prsentation des ides dcrites dans ce travail. Mes plus vifs
remerciements et ma profonde gratitude pour toute la confiance quil ma tmoigne, les
encouragements, les conseils scientifiques qui mont permis de finaliser cette thse.
Je remercie chaleureusement Monsieur MESSAST Salah Matre de Confrences,
lUniversit de Skikda, prsident du jury, pour mavoir fait lhonneur de prsider le jury
de ma thse.
Mes remerciements vont de mme aux autres membres de jury examinateurs pour l'intrt
qu'ils ont port mon travail en participant au jury de ma thse. Il sagit, en loccurrence
de :
Monsieur HAMMOUD Farid, Matre de Confrences, lUniversit de Batna
Monsieur HIJEB Mustafa, Matre de Confrences, lUniversit de Skikda
J'exprime toute ma reconnaissance Monsieur DEMAGH Rafik, Matre de Confrences,
lUniversit de Batna pour son aide prcieuse durant llaboration de ce travail, la
pertinence de ses remarques et pour sa disponibilit sans faille.
Que Monsieur BENOUDJIT Djamel, Matre de Confrences, dpartement
dElectrotechnique lUniversit de Constantine, soit aussi bien remerci pour son appui
moral et son encouragement.
Mes remerciements sadressent enfin tous les enseignants et tous mes collgues du
dpartement de Gnie Civil, de lUniversit de Batna, pour leurs encouragements.
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RESUME & MOTS-CLS
Rsum Ce travail prsente les rsultats dune analyse numrique du
comportement d'une semelle filante reposant sur un sable en pente renforce par
des pieux. Les paramtres utiliss dans la prsente tude sont, la longueur du
pieu, la position de la range de pieux et la position de la semelle par rapport
la crte de la pente, ainsi que langle de frottement du sol. Dans un premier lieu
on a tudi la capacit portante pour le cas sans renforcement, les rsultats
obtenus ont t compars avec ceux du cas avec renforcement. Ltude a fait
lobjet dune analyse de leffet de chaque paramtre sur la capacit portante.
Les rsultats obtenus indiquent que lutilisation dune range de pieux pour
stabiliser une pente a un effet significatif dans lamlioration de la capacit
portante de la semelle filante. Cette amlioration de la portance est
proportionnelle a la longueur des pieux, ainsi que la meilleur position de la
range de pieux qui donne la valeur maximum de la portance est la crte de la
pente.
Mots-Cls Pieu, Stabilit Des Pentes, Semelles Filantes, Elments Finis
Abstract This works presents the results of a numerical analysis of the
behaviour of a strip footing supported on a row of piles stabilized earth slope. The
parameters varied in the study include the length of the pile, and location of pile
row, and location of the footing relative to the slope crest, and the angle of friction of soil.
Initially the bearing capacity of non-stabilized cases were determined and then compared
with those of stabilized slopes. The results were then analyzed to study the effect of
each parameter. The results indicate that stabilizing earth slope using a row of piles has a
significant effect in improving the bearing capacity of the strip footing. This improvement in
bearing capacity increases when pile length increases, and best the position of row
piles which gives the maximum value of the bearing capacity is the crest of the
slope.
Keywords: Pile, Stabilized Sand Slope, Strip Footing, Finite Element Analysis
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TABLE DES MATIERES
Notations & Symboles
Listes des Figures
Introduction Gnrale 1. Problmatique....................... 01
2. Objectif...... 02
3. Structure du mmoire............ 02
Chapitre Un
Synthse Bibliographique Sur le Comportement Des
Fondations Superficielles
1. Introduction........... 04
1.1 Dfinition dune fondation ............ 05
1.2 Fondations superficielles ....................................................................................... 05
1.3 Types des fondations superficielles 05
1.4 Ractions dappuis de la semelle filante 07
1.5 Phnomne de rupture ........... 09
1.5.1 Types de rupture dune fondation superficielle 09
1.6 Philosophies de conception des fondations .. 13
1.6.1 Mthode de contrainte admissible.... 13
1.6.2 Mthode dtat limite... 14
1.7 Conclusion ..................................... 15
-
Table des Matires
Chapitre Deux
Mthodes De Calcul De La Capacit Portante
2. Introduction. 16
2.1 Dfinition de la Capacit Portante... 17
2.2 Mthodes de Calcul de la Capacit Portante....... 17
2.2.1 Thorie de Rankine (1857). .. 17
2.2.2 Thorie de Prandtl (1920)...... 19
2.2.3 Thorie de Terzaghi (1943)... 22
2.2.3.1 Relation Pour Ppq(c=0, =0, q 0, 0). 26
2.2.3.2 Relation Pour Ppc(c 0, q 0, 0, =0).................. 28
2.2.3.3 Relation Pour Pp(c=0, q = 0, 0, 0) 31
2.2.3.4 Capacit Portante .... 33
2.2.3.5 Thorie de la Capacit Portante de Terzaghi Dans le cas dune Rupture par Cisaillement locale..
34
2.2.4 Thorie de Meyerhof (1951) ..... 36
2.3 Expression des facteurs de la portance N, Nc, Nq. 37
2.3.1 Facteurs de portance daprs Meyerhof (1963). 37
2.3.2 Facteurs de portance daprs J.B Hansen (1970)................... 38
2.4 Charge Verticale Excentre .... 41
2.5 Charge Centre Incline.......... 41
2.6 Semelle sur une Pente . ................... 42
2.6.1 Semelle sur la Pente dun talus.......... 42
2.6.2 Semelle sur la Crte dune Pente .. 44
2.6.2.1 Solutions de Meyerhof.. 44
2.6.2.2 Les Solutions de Hansen (1970) & Vesic (1975) ... 48
2.6.2.3 Solution par LEquilibre limite et LAnalyse Limite .................. 48
2.6.2.4 Mthode des Contraintes.. 50
2.6.2.5 Relation Empirique Base sur LEssai en Centrifugeuse. 50
2.7 Mthodes Numriques .... 53
2.7.1 Modlisation des Fondations Superficielles (P.Mesta & M.Prat). 53
2.7.2 Modlisation du Sol et de la Fondation sans Structures 54
2.7.2.1 Cas dune Fondation a la Gomtrie Complexe... 54
2.7.2.2 Cas dune Fondation Rigide................. 55
2.7.2.3 Cas dune Fondation Souple. 55
2.7.3 Modlisation du Sol, de la Fondation, et des Structures 55
-
Table des Matires
2.7.4 Influence de ltat Initial des Contraintes..
56
2.7.5 Conseils pour la Ralisation des Maillages de Fondation Superficielle 56
2.7.6 Comportement des Sols et Modlisation des Fondations Superficielles... 58
2.8 Solutions Numriques existantes. 58
2.8.1 Griffiths (1982).. 58
2.8.2 Borst et Vermeer (1984) 59
2.8.3 Manoharan (1995). 59
2.8.4 Frydman (1997). 59
2.8.5 Hans.L.Erickson et Andrew Drescher (2001) 60
2.8.6 R.S.Merifield, S.W.Sloan et H.S.Y (1998) 61
2.8.7 J.S.Shiau, A.V.Lyamin, et S.W.Slaon (2003) 62
2.9 Conclusion... 62
Chapitre Trois
Gnralits Sur la Stabilit des Pentes
3. Introduction. 63
3.1 Dfinition .... 63
3.2 Aspect Gnral des Glissements.......... 64
3.3 Causes de Glissements .... 65
3.4 Types de Glissements ..... 65
3.4.1 Glissements Rotationnels .. 65
3.4.2 Glissements Translationnels...... 66
3.5 Types de Rupture .... 66
3.5.1 Talus en Dblais et Talus en Remblais sur Sols non Compressibles 66
3.5.2 Talus en Remblais sur Sols Compressibles .. 67
3.6 Analyse de la Stabilit .... 67
3.7 Mthode DAnalyse de la Stabilit des Talus.. 68
3.7.1 Rupture Plane... ..... 69
3.7.2 Mthode de Fellenius (Rupture Circulaire)... 73
3.7.3 Mthode des Tranches de Bishop.. 75
3.7.4 Mthode du Cercle de Frottement. 76
3.7.5 LAnalyse Limite... 78
3.8 Conclusion... 83
-
Table des Matires
Chapitre Quatre
Aperu Bibliographique sur le Renforcement des
Pentes Par des Pieux
4. Introduction. 84
4.1 Lanalyse de la Stabilit des Talus Renforce par des Pieux 4.1.1 LAnalyse Limite ..
85 86
4.2 Mthodes Utilises pour la Dtermination de la Pression du Sol Agissant sur les Pieux
89
4.2.1 Mthode dITO et de MATSUI.. 89
4.2.2 Analyse Dcouple. 91
4.2.2.1 Mthode de Pression ..... 91
4.2.2.2 Mthode de Dplacement . 92
4.2.3 Analyse Couple .... 92
4.2.4 Mthodes Empirique de Broms...... 93
4.2.5 Analyse Numrique en 3D (Pan et al) 93
4.2.6 Mthode de Rduction de la Rsistance au Cisaillement ..... 93
4.3 Linfluence des Pieux sur le Coefficient de Scurit de la Pente. 94
4.4 Conclusion ... 96
Chapitre Cinq
Prsentation de lOutil Numrique Utilis (PLAXIS)
5. Introduction............................. 97
5.1 Prsentation du Code PLAXIS ... 97
5.2 Conventions de Signe ..... 98
5.3 Le Type de Modle ..... 99
5.4 Les Elments .. 100
5.5 Les Modles de Comportements Utiliss dans PLAXIS .... 100
5.5.1 Introduction ... 100
5.5.2 Modle Elastique Linaire 101
5.5.3 Modle de MOHR-COULOMB 102
5.5.3.1 Module dYOUNG .. 103
5.5.3.2 Coefficient de POISSON.. 104
5.5.3.3 Angle de Frottement .... 104
5.5.3.4 LAngle de Dilatance 105
5.5.3.5 Autres Paramtres de Raideur ..... 105
-
Table des Matires
5.6 Modle pour les Roches Fractures (Jointed Rock Modle) .. 106
5.7 Modle de Sol avec Ecrouissage (Hardening Soil Modle) ........... 106
5.8 Modle pour les Sols Mou (Soft Soil Modle) ... 106
5.9 Modle pour les Sols Mou avec Fluage .. 106
5.10 Modle Dfini par lUtilisateur .... 106
5.11 Conclusion. 106
Chapitre Six
Prsentation et Interprtation Des Rsultats Obtenus
6. Introduction. 108
6.1 Procdure de la Simulation.. 109
6.1.1 Prsentation du cas Etudi. 109
6.1.2 Caractristiques des Matriaux.. 109
6.1.3 Etude Paramtrique.... 110
6.1.4 Maillage et Conditions aux Limites... 110
6.1.5 Gnration des Contraintes Initiales.. 113
6.1.6 Phases de Calcul........ 114
6.2 Calcul de LInfluence des Diffrents Paramtres.... 115
6.2.1 LEffet de la Longueur du Pieu sur la Portance de la Fondation... 116
6.2.2 LEffet de la Position de la Range des Pieux .. 120
6.3 Rsultats Relatifs a la Position de la Semelle par Rapport a la Crte du Talus... 123
6.3.1 Cas Pour la Pente Sans Renforcement... 123
6.3.2 Cas Pour la Pente Avec Renforcement. 125
6.4 Comparaison des Rsultats Obtenus Avec Ceux de la Littrature.. 128
Conclusion Gnrale
1. Travail Accompli..... 132
2. Suggestions & Perspectives. 133
Annexe
Rfrences Bibliographiques
-
Liste Des Figures
Liste des Figures
Chapitre Un
Synthse Bibliographique Sur le Comportement Des
Fondations Superficielles
Figure 1.1 Types de Fondations Superficielles 06 Figure 1.2 Ractions dAppuis de la Semelle Rigide.. 07 Figure 1.3 Ractions dAppuis de la Semelle Souple.. 07 Figure 1.4 Semelle Rigide (Variabilit du Sol)... 08 Figure 1.5 Semelle Souple (Variabilit du Sol)... 08 Figure 1.6 Semelle Souple .. 08 Figure 1.7 Rupture par un Cisaillement Gnral .... 09 Figure 1.8 Rupture par un Cisaillement Local 11 Figure 1.9 Rupture par un Poinonnement . 11 Figure 1.10 Nature de la Rupture en Fonction de la Densit Relative.. 12 Figure 1.11 Mcanisme de Rupture dune Fondation (Modle Rduit) 13
Chapitre Deux
Mthodes De Calcul De La Capacit portante
Figure 2.1 Courbes chargement-tassement dune Fondation Superficielle ... 17 Figure 2.2 Equilibre de Rankine.. 18 Figure 2.3 Mcanisme de rupture dune fondation de base lisse (Prandtl 1920)... 20 Figure 2.4 Mcanisme de rupture dune fondation de base lisse (Prandtl 1920)... 21 Figure 2.5 Model utilis par Terzaghi pour la Dtermination des facteurs de portance 23 Figure 2.6 Courbes chargement-tassement dune Semelle sur un Sable dense C1, et
un Sable lche C2 (Terzaghi, 1943)... 23
Figure 2.7 Facteurs de la portance de Terzaghi... 24 Figure 2.8 Surface de rupture dun Sol sous une Charge ultime dune semelle
filante rigide daprs Terzaghi... 25
Figure 2.9
Force passive sur la face bc ... Dtermination de Ppq ( 0, = 0, q 0, c = 0).
26 27
Figure 2.11 Dtermination de Ppc ( 0, = 0, q 0, c 0) 30
Figure 2.12 Dtermination de Pp ( 0, 0, q = 0, c 0). 32 Figure 2.13 Surface de rupture modifie dun sol supporte une fondation
superficielle sous une charge ultime.. 34
-
Liste Des Figures
Figure 2.14 line de glissement pour une semelle Filante Rugueuse.. 36 Figure 2.15 Le facteur N trouv pour des semelles filantes en fonction de langle de
frottement pour le sable et pour la sous-surface de la semelle (Hansen et Christensen, 1969)..
39
Figure 2.16 Facteurs de portance de Hansen. 39 Figure 2.17 Zones plastiques dun sol prs d'une semelle sous une charge incline. 42 Figure 2.18 Nature de la zone plastique sous une semelle filante rugueuse implante
sur une pente dun talus.. 43
Figure 2.19 Variation du facteur Ncq pour un sol purement cohsif selon Meyerhof (semelle sur pente).
44
Figure 2.20 Variation du facteur Nq pour un sol granulaire selon Meyerhof (semelle sur pente).
44
Figure 2.21 semelle filante sur une pente.. 45 Figure 2.22 Variation du facteur Ncq pour un sol purement cohsif selon Meyerhof
(semelle sur pente). 45
Figure 2.23 Facteur Nq pour un sol granulaire (semelle sur une pente) (Meyerhof)... 46
Figure 2.24 Courbe charge-tassement pour une semelle filante repose sur une pente (rsultats dun essai pour un model B = 76.2 mm, Cu = 27.5 kN / m
2, b/B = 0, Df /B=0)..
47
Figure 2.25 Les zones de rupture pour les cas Df /B > 0 et b/B > 0. 50 Figure 2.26 Thorie de Graham et al. pour les valeurs de Nq (Df /B=0). 51 Figure 2.27 Thorie de Graham et al. pour les valeurs de Nq (Df /B=0.5). 51 Figure 2.28 Thorie de Graham et al. pour les valeurs de Nq (Df /B=1). 51 Figure 2.29 Semelle au Bord dun Talus... 52 Fifure 2.30 Dimensions conseilles pour le maillage dune fondation superficielle 57
Chapitre Trois
Gnralits Sur la Stabilit des Pentes
Figure 3.1 Illustration d'un glissement de terrain 64 Figure 3.2 Glissements rotationnels & Glissements translationnels 66 Figure 3.3 Analyse de stabilit des pentes... 68 Figure 3.4 Rupture circulaire... 74 Figure 3.5 Une tranche i.. 75 Figure 3.6 Forces agissant sur la tranche n.. 76 Figure 3.7 Mthode du cercle de Frottement... 77 Figure 3.8 Mcanisme de Rupture dun Talus. 80
-
Liste Des Figures
Chapitre Quatre
Aperu Bibliographique Sur le Renforcement Des
Pentes Par des Pieux
Figure 4.1 Talus Renforc Par des Pieux. 87 Figure 4.2 tat de dformation plastique dun sol autour des pieux (Ito et Matsui).. 90
Chapitre Cinq
Prsentation de loutil numrique utilis (PLAXIS)
Figure 5.1 Systme de coordonnes et dfinition des composantes de contrainte positives.. 98 Figure 5.2 Exemples de problmes en dformations plane et axisymtrique.. 99 Figure 5.3 Position des nuds et des points de contrainte dans les lments de sol... 100 Figure 5.4 Courbe intrinsque du modle de Mohr-Coulomb. 102 Figure 5.5 Surface de rupture dans lespace des contraintes principales pour un sol
sans cohsion.. 103
Figure 5.6 Dfinition du module 50 % de la rupture 104
Chapitre Six
Prsentation et Interprtation des Rsultats Obtenus
Figure 6.1 Les paramtres gomtriques 109 Figure 6.2 Maillage adopt.. 111 Figure 6.3 Conditions aux limites 111 Figure 6.4 Application du chargement gravitaire.. 113 Figure 6.5 Gnration des contraintes initiales avant lapplication de la charge... 114 Figure 6.6 Dformation du massif du sol aprs gnration des contraintes initiales 114 Figure 6.7 Application du chargement 115 Figure 6.8 Activation des Pieux. 115 Figure 6.9 Variation du BCI en fonction de h/B (=35). 117 Figure 6.10 Variation du BCI en fonction de h/B (=38). 118
-
Liste Des Figures
Figure 6.11 Variation du BCI en fonction de h/B (=42). 118 Figure 6.12 Mcanisme de rupture (b/B=1 sans renforcement).. 119 Figure 6.13 Mcanisme de rupture (b/B=1 h/B=1).. 119 Figure 6.14 Mcanisme de rupture (b/B=1 (b/B=1 h/B=1,5)... 119 Figure 6.15 Mcanisme de rupture (b/B=1 h/B=2).. 119 Figure 6.16 Mcanisme de rupture (b/B=1 h/B=3).. 120 Figure 6.17 Mcanisme de rupture (b/B=1 h/B=4).. 120 Figure 6.18 Variation du BCI en fonction de d/B (=35). 122 Figure 6.19 Variation du BCI en fonction de d/B (=38). 122 Figure 6.20 Variation du BCI en fonction de d/B (=42). 123 Figure 6.21 Variation de la portance en fonction de la position de la semelle par
rapport la crte du talus b/B (sans renforcement).. 124
Figure 6.22 Variation de la portance en fonction de la position de la semelle par rapport la crte du talus b/B (avec renforcement).
126
Figure 6.23 Variation de la portance en fonction de la position de la semelle par rapport la crte du talus b/B (=35).
127
Figure 6.24 Variation de la portance en fonction de la position de la semelle par rapport la crte du talus b/B (=38).
127
Figure 6.25 Variation de la portance en fonction de la position de la semelle par rapport la crte du talus b/B (=42)
128
Figure 6.26 Variation du BCI en fonction de h/B (=42 b/B=0)... 129 Figure 6.27 Variation du BCI en fonction de h/B (=42 b/B=0)... 129 Figure 6.28 Variation du BCI en fonction de h/B (=42 b/B=1)... 130 Figure 6.29 Variation du BCI en fonction de d/B (=42 b/B=0)... 130 Figure 6.30 Variation du BCI en fonction de d/B (=42 b/B=1)... 131
-
LISTE DES TABLEAUX
Chapitre Un
Synthse Bibliographique Sur le Comportement Des
Fondations Superficielles
1 .1 Valeurs estimes de la capacit portante dune fondation ou pression
admissible (daprs BS 8004) .. 15
Chapitre Deux
Mthodes De Calcul De La Capacit Portante
2.1 Les facteurs de la capacit portante selon Terzaghi .... 33
2.2
Les facteurs de la capacit portante modifis selon Terzaghi .....
35
2.3
Facteurs de portance selon Hansen...
40
2.4
Les facteurs de la capacit portante selon Saran, Seed et Handra ..
49
2.5
Comparaison des capacits portante calcules dune semelle filante sur la crte dun talus (Bakir et al., 1994)...
53
2.6
Facteurs de la capacit portante N pour une fondation circulaire ..
60
2.7
Facteurs de la capacit portante Nc pour une fondation circulaire
61
-
Liste Des Tableaux
Chapitre Six
Prsentation et Interprtation Des Rsultats Obtenus
6.1 Programme de simulation pour ltude paramtrique.. 112
6.2
La Portance (en KPa) pour les dfrentes longueurs des pieux...
117
6. 3
La Portance (en KPa) pour les dfrentes positions de la range de pieux.
121
6.4
Valeurs de la Portance (en KPa) pour les dfrentes positions de la semelle par rapport la crte .
124
6.5
Valeurs de la Portance (en KPa) pour les dfrentes positions de la semelle par rapport la crte (avec renforcement).
125
-
INTRODUCTION GENERALE
1. Problmatique
Il y a plusieurs situations o des fondations sont construites sur des surfaces
de terrain en pente ou ct d'une crte de pente. Quand une semelle est
ralise sur une pente, sa capacit portante peut tre sensiblement rduite,
selon la position de la semelle par rapport la pente. Par consquent il nest
pas possible d'utiliser une fondation superficielle, et l'utilisation des types non
conomiques (des pieux ou des caissons) devienne la seule solution approprie
du problme. Dailleurs, sur des annes, la stabilisation des terrains en pente
a devenue lun des sujets les plus intressants pour la recherche scientifique,
en mcanique des sols. Plusieurs, techniques ont t suggres pour amliorer
la stabilit des terrains en pentes, et dici lamlioration de la capacit
portante. Parmi ces techniques on trouve, la modification de la gomtrie de la
surface en pente, traitement chimique, lutilisation des sols renforcs ou
linstallation des structures de soutnement comme les murs ou les pieux. De
nombreuses tudes sur le renforcement pentes, ont t ralises pour amliorer la
capacit portante des semelles. Huang et al. [15], Mandal et al. [21], Selva
durai et al. [24], Sawicki et al. [25], Yoo C [30] et Zornberg et al. [32].Ces
auteures ont dmontr que non seulement la stabilit de la pente quest peut
tre augmente, mais galement la capacit portante et le tassement de la
-
Introduction Gnrale
2
semelle peuvent tre aussi amliors par l'inclusion des renforts (couches de
geogrilles, ou de gotextile. Par consquent, l'utilisation des pieux pour
stabiliser les terrains en pente, a t considre comme l'une des techniques
importantes pour le renforcement des pentes dans les dernires dcennies. Ces
pieux, qui peuvent tre inclus au niveau de la crte ou dans la pente elle-mme
agissent en tant que lments de rsistance. Plusieurs tudes ont rapport la
russite de l'utilisation des pieux a f in d 'amliorer la stabilit des pentes
Ausilio, et al. [1], Chen et al. [6], De Beer et Walays [10],Hassiotis et al. [13]
Hong et Han [14], , H u l l et Poulos [16], Lee et al. [20], Poulos [23] et
Viggiani [26].
2. Objectif
Force est de constater que la plupart des tudes concernant la stabilisation des
pentes ont vis l'analyse de l a s tab i l i t de la pente elle-mme (amlioration
des coefficients de scurit vis--vis des glissements). Cependant, les tudes
faites pour l'amlioration de la capacit portante d'une semelle construite sur
une pente renforce par une range de pieux sont rares. Par consquent le but
de cette analyse est de comprendre le comportement d'une semelle filante
soutenue par une couche de sable en pente stabilise par une range de pieux.
Donc L'objectif principal de ce travail est de dterminer et tablir la relation
entre les paramtres variables d'une range de pieux et la portance de la semelle.
En outre, pour dcouvrir le meilleur endroit de la range de pieux qui donne la
meilleure amlioration de la capacit portante de la semelle.
Structure du Mmoire
Le prsent mmoire est constitu de six chapitres prsents comme suit :
Le premier chapitre prsentera un certain nombre de connaissances de base sur la
dfinition des fondations superficielles, leur fonctionnement et les diffrents mcanismes
de rupture.
-
Introduction Gnrale
3
Le deuxime chapitre sera consacr la prsentation des diffrentes mthodes de calcul
de la capacit portante des fondations superficielles.
Le troisime chapitre fera, en premier lieu, lobjet de laspect gnral et les causes des
glissements des terrains, suivi des types de glissements. En second lieu, sera discut les
mthodes danalyse de la stabilit des talus.
Le quatrime chapitre concernera le renforcement des pentes par des pieux
Il sera utile daborder, dans le cinquime chapitre loutil numrique qui sera utilis.
Le sixime chapitre cur de ce mmoire, prsentera les rsultats obtenus par une analyse
numrique du comportement dune semelle filante supporte par un sable en pente
renforc par une range de pieux.
Finalement, sur la base des rsultats obtenus, ce travail sera cltur par une conclusion
o il sera mentionn les perspectives quant sa continuation ultrieure.
-
Chapitre Un
Synthse Bibliographique Sur le
Comportement Des Fondations
Superficielles
1. Introduction
Des temps immmoriaux, les sols ont t utiliss pour soutenir des fondations ou
excuter des constructions, travers les ges et depuis que les structures ont
commenc monter au-dessus de la terre, les projeteurs et les concepteurs ont admis
le besoin d'tablir des fondations consistantes, et stables, pour que les constructions
rsistent mieux aux forces de la nature. Avant que les mthodes scientifiques n'aient
pas t identifies comme les mieux adaptes la solution des problmes de gnie
civil, des normes ouvrages ont t construits pendant ces temps, et ont rests en
service. Par consquent les travaux de fondations sont dvelopps, essentiellement,
comme un art s'appuyant sur des pratiques et des usages issus de ralisations
antrieures satisfaisantes.
Durant ces dernires annes, des amliorations considrables ont t ralises dans
la connaissance des proprits physiques des sols et dans l'valuation de la validit
des thories sur le comportement des sols, ainsi les mthodes d'tudes et de
ralisations ont subi dimportants changements. Bien que l'exprience reste toujours le
critre essentiel, les mthodes rationnelles d'tude ont largement dpasses les rgles
empiriques.
Dans ce chapitre, en premier lieu, il sera question de donner la dfinition et les types
des fondations superficielles, il sera ensuite de parler de ractions dappuis de la
semelle filante, enfin les types de ruptures de ces fondations seront discuts.
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Chapitre Un : Synthse Bibliographique sur le Comportement des Fondations Superficielles
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1.1 Dfinition dune fondation
Dans son sens le plus strict, la fondation est l'lment qui sert de support
l'ouvrage et ses charges : elle comprend la couche superficielle de l'corce terrestre et
la partie de l'difice destine reporter les efforts sur le sol. Il existe deux grands types
de transmission des charges des constructions aux couches des sols sous-jacentes : par
fondation superficielle et par fondation profonde.
1.2 Fondations superficielles
Les fondations superficielles sont, par dfinition, des fondations qui reposent sur le sol
ou qui ny sont que faiblement encastres. Les charges quelles transmettent ne
sollicitent que les couches superficielles et peu profondes elles ont leur base situe au-
dessus dune profondeur que lon peut dfinir comme le niveau au-dessous duquel, en
sol homogne, la rsistance sous la base de la fondation naugmente plus (profondeur
critique): ce sont les semelles, radiers, etc. Les fondations superficielles travaillent
essentiellement grce la rsistance du sol sous la base.
Les lments gomtriques qui dfinissent une fondation superficielle sont :
B, la largeur de la fondation
L, la longueur de la fondation
D, lencastrement qui est la profondeur de la base de fondation.
Une fondation est dite superficielle si D < 1,5. B
Si D > 5B la fondation est dite profonde
Si 1,5 B < D < 5 B la fondation est semi profonde
Pour les fondations superficielles, la fondation est appele :
Radier : si la surface totale du btiment est la fondation
Semelle : si seule une partie de la surface du btiment correspond la fondation
De plus pour une semelle si :
L/B > 10 il sagit dune semelle filante (le problme peut tre considrer comme
bidimensionnel)
1.3 Types de fondations superficielles
On distingue trois types de fondations superficielles
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Chapitre Un : Synthse Bibliographique sur le Comportement des Fondations Superficielles
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a) Les semelles isoles
Ce type de fondation est mis en uvre dans le cadre dun difice prsente des
descentes de charges concentres (poteaux, longrines sous murs). Les semelles isoles,
dont les dimensions en plan B et L sont toutes deux au plus de quelques mtres; cette
catgorie inclut les semelles carres (B/L = 1) et les semelles circulaires
(de diamtre B).
b) Les radiers ou dallage
Les radiers ou dallage ont des dimensions B et L importante, cette catgorie inclut
les radiers gnraux.
c) Les semelles filantes
La semelle filante est une semelle continue rectiligne portant un mur ou une range
de piliers. Son rle est de rpartir les charges qui lui sont appliques sur une plus
grande surface que ne le ferait le mur quelle soutient, afin de ne pas senfoncer dans le
sol. Les fondations filantes ont gnralement une largeur B, et une longueur L
(L/ B > 10)
Semelle filante Semelle isole
Radier (ou dallage)
Figure 1.1 Types de fondations superficielles
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Chapitre Un : Synthse Bibliographique sur le Comportement des Fondations Superficielles
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1.4 Ractions dappuis de la semelle filante
a) Uniformit du sol
Semelle rigide dans ce cas, on peut dire que la force portante en tout point de
la semelle est substantiellement la mme. Cependant, cette raction ne sera uniforme
que si le centre de la semelle concide avec le centre des charges des colonnes.
Figure 1.2 raction dappui de la semelle rigide
Semelle souple dans ce cas, la force portante sera plus grande en dessous des
colonnes quentre deux colonnes successives. La pression nest donc ni uniforme ni
linaire.
Figure 1.3 raction dappui de la semelle souple
b) Variabilit du sol
Si le sol est variable sous la semelle filante, la force portante aura alors un
comportement diffrent du prcdent.
Deux cas qui se prsentent de nouveau nous :
Semelle rigide dans ce cas, la semelle tendra rgler uniformment la force
portante mais, lendroit o le sol est plus souple, la force sera moindre. Pour garder
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Chapitre Un : Synthse Bibliographique sur le Comportement des Fondations Superficielles
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lquilibre vertical des forces, la force portante va donc augmenter de chaque cot de la
section moins porteuse du sol.
En rsum, la semelle tend dcharger la partie du sol moins rigide et transfrer les
charges sur les sections plus rigides.
Figure 1.4 Semelle rigide
Semelle souple dans ce cas, il y a nouveau deux cas
Soit la partie plus souple se trouve entre deux colonnes. La semelle subit alors cet
endroit une lgre dformation vers le haut, qui rduira la force portante et
laugmentera aux extrmits de cette zone moins porteuse ;
Figure 1.5 Semelle souple
Soit la section plus souple se trouve sous une colonne. Alors la force portante la plus
importante, qui devrait avoir lieu sous cette colonne si le sol avait t uniforme, se voit
rduites par le sol mou, ce qui conduit une meilleure homognit des ractions
dappuis de la semelle.
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Chapitre Un : Synthse Bibliographique sur le Comportement des Fondations Superficielles
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1.5 Phnomne de rupture
1.5.1 Types de rupture dune fondation superficielle
La figure 1.2 montre une semelle superficielle de largeur B ancre une profondeur Df
par rapport a la surface du sol (un sable dense ou une argile raide). Si on applique une
charge q = Q/A (A = aire de la fondation) dune faon progressive sur cette fondation,
alors la semelle subie un tassement qui croit avec lintensit de la charge. Quand q
devient gale a qu pour un tassement S = Su, le sol soutenant la fondation subit
soudainement une rupture par cisaillement. La surface de rupture dans le sol est
indique dans la figure. 1.2a, et la courbe (chargement -tassement) est montre dans la
figure. 1.2b. Ce type de rupture s'appelle rupture par cisaillement gnral, et qu est la
capacit portante. Notons que, dans ce type de rupture, la valeur maximale q = qu est
clairement dfinie sur la courbe chargement-tassement.
(a)
(b)
Figure 1.7 rupture par un cisaillement gnrale
Charge (q)
Tassem
ent (s)
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Chapitre Un : Synthse Bibliographique sur le Comportement des Fondations Superficielles
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Si la fondation montre dans la figure 1.7a est soutenue par un sable moyennement
dense ou une argile dune consistance moyenne (figure 1.8a), la courbe chargement-
tassement prend la forme indique sur la figure 1.8b. Notons que la valeur de q croit
avec le tassement jusqu' q = qu, qui est appele habituellement la premire charge de
rupture. A ce moment, la surface de rupture dveloppe dans le sol serait comme celle
montre (par des lignes continues) dans la figure. 1.8a. Si on augmente la charge
applique sur la fondation, la courbe chargement-tassement devient irrgulire avec
des sautillements, est la surface de rupture se prolonge suivant la courbe reprsente en
trait discontinu dans la Figure. 1.8b. Quand q devient gal qu (capacit portante), la
surface de rupture atteint la surface du sol. Au-del, la courbe chargement-tassement
prend presque une forme linaire, mais aucun pic nest observ. Ce type de rupture
appel rupture par cisaillement locale.
La figure 1.9a montre la mme fondation repose sur un sable lche ou une argile
molle. Pour ce cas, la courbe chargement-tassement aura lallure de la courbe de la
figure. 1.9b. le pic nest pas bien observ. La capacit portante, qu, est dfinie au point
o s /q devient grand, puis il reste presque constant. Ce type de rupture dans le sol
appel rupture par poinonnement. Dans ce cas, la surface de rupture natteint jamais
la surface du sol.
(a)
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Chapitre Un : Synthse Bibliographique sur le Comportement des Fondations Superficielles
11
(b)
Figure 1.8 rupture par un cisaillement local
(a)
(b)
Figure 1.9 rupture par poinonnement
Tassem
ent (s)
Charge (q)
Tassem
ent (s)
Charge (q)
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Chapitre Un : Synthse Bibliographique sur le Comportement des Fondations Superficielles
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La nature de la rupture dans le sol la charge ultime est en fonction de plusieurs
facteurs tels que la rsistance et la compressibilit relative du sol, lancrage de la
fondation (Df) par rapport la largeur de la fondation (B), et le rapport largeur-
longueur (B/L) de la fondation. Ceci a t clairement expliqu par Vesic qui a ralis
des essais dans le laboratoire (un sable). Le rsum des rsultats de Vesic est montr
sous une forme lgrement diffrente sur la figure. 1.10. Dans cette figure, Dr, est la
densit relative du sable, R, le rayon hydraulique de la fondation, qui est dfini par :
R= A/P
Avec A = surface de la fondation = BL
P = primtre de la fondation = 2(B + L)
Ainsi R= BL / 2(B+L)
Pour une fondation carre, B = L, donc R=B/4
De la figure. 1.10 il peut voir que, quand Df /R environ 18, la rupture par
poinonnement se produise dans tous les cas, indpendamment de la densit relative
du sable
Figure 1.10 Nature de la rupture en fonction de la densit relative Dr et Df /R.
Densit relative Dr (%)
Dr /R
Poinonnement
Cisaillement Local
Cisaillement Gnrale
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Chapitre Un : Synthse Bibliographique sur le Comportement des Fondations Superficielles
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Figure 1.11 Mcanisme de rupture dune fondation (modle rduit)
I : tat lastique
III : tat dquilibre passif de Rankine
II : zone de cisaillement radial
(Spirale logarithmique assurant la transition entre les zones I et III)
1.6 Philosophies de conception des fondations
1.6.1 Mthode de contrainte admissible (utilisation du facteur de
scurit)
Le facteur de scurit FS est de lordre de 2 3 au plus, il est employ pour
sassurer que les charges des fondations sont de manire significative moins que
la rsistance au cisaillement du sol de support et que les tassements ne sont pas
excessifs.
La valeur relativement leve du facteur singulier de la scurit tient compte de
* Incertitudes en conditions de charge et des variations dfavorables de charge
* Incertitudes en tats de sol et en paramtres
*Consquences de rupture, incertitudes dans les mthodes d'analyse
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Chapitre Un : Synthse Bibliographique sur le Comportement des Fondations Superficielles
14
1.6.2 Mthode dtat limite (utilisation du facteur partiel de
scurit)
Vise s'assurer que toutes les conditions d'excution appropries sont satisfaites dans
toutes les circonstances imaginables:
- tat Limite ultime : Concern par l'effondrement et le dommage majeur.
- tat Limite D'utilit : Concern par l'utilit et le dommage mineur.
Les exemples des tats de limites incluent:
- Rupture par cisaillement
- Rupture par glissement
- Rupture par renversement
- Tassement ou soulvement excessifs
- Rupture de la structure de l'lment de fondation
Il convient de noter que la portance admissible des fondations superficielles presque
est toujours commande par des critres de tassement et trs rarement par des critres
de rupture par cisaillement. Cependant, en ce qui concerne la scurit contre la rupture
de cisaillement, la charge structurale permise sur une fondation est calcule par la
mthode contrainte admissible. Lors dune tude prliminaire ou du contrle dun
calcul, il est utile de connatre les ordres de grandeur de la capacit portante admissible
pour des roches ou des sols types. Il y a une gamme des mthodes empiriques bases
sur des rsultats d'essai in situ.
Le tableau 1.1 fournit de telles valeurs ; naturellement, celles-ci doivent tre prises
avec prudence.
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Chapitre Un : Synthse Bibliographique sur le Comportement des Fondations Superficielles
15
Tableau 1.1 - Valeurs estimes de la capacit portante ou pression admissible d'une fondation (d'aprs le BS 8004)
Conclusion
Comme toute construction, les fondations superficielles sont sujettes des dsordres
qui sont dus gnralement aux dformations, lassise est le plus souvent en cause, soit
par son htrognit, soit par suite des travaux, cet effet ltude de la capacit
portante cest avr primordiale.
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Chapitre Deux
Mthodes De Calcul De La Capacit portante
2. INTRODUCTION
Lun des sujets les plus importants dans le domaine de la gotechnique est lestimation de
la capacit portante des fondations superficielles. Dans un premier temps, lingnieur
gotechnicien, cherchera fonder son ouvrage superficiellement, pour des raisons de cot
videntes Il devra, alors, se proccuper en tout premier lieu de la capacit portante de sa
fondation, cest--dire vrifier que les couches de sol superficielles peuvent effectivement
supporter la charge transmise, il doit alors sassurer que son tassement sous les charges
de fonctionnement prvues (courantes ou exceptionnelles) est dans des limites admissibles.
Capacit portante et tassement sont ainsi les deux lments fondamentaux quil y a lieu de
considrer systmatiquement lors du calcul des fondations superficielles. Pour ces raisons,
de nombreux auteurs ont rsolu le problme de la capacit portante en faisant des
hypothses diffrentes sur la rugosit de la semelle et la forme de la zone en quilibre
limite, c'est--dire sur lallure des surfaces de glissement, bien que les valeurs numriques
soient parfois assez diffrentes. Prandtl et Reissner ont prsent les premires solutions
analytiques pour la capacit portante des fondations superficielles. Terzaghi a propos la
formule gnrale de la capacit portante dune semelle filante soumise une charge
verticale centre. La charge limite est dtermine en superposant trois tats de rsistance :
la rsistance du sol pulvrulent sous le niveau de la semelle, laction des terres situes au-
dessus du niveau de la fondation et laction de la cohsion (Mthode de superposition de
Terzaghi).
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Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
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Dans ce chapitre, nous donnerons dabord une dfinition de la capacit portante, ensuite
en parlera des mthodes de calcul de la capacit portante.
2.1 Dfinition de la capacit portante
Les notions de capacit portante et de tassement sont clairement illustres par la
(Figure 2.1) qui reprsente une courbe typique obtenue lors du chargement dune
fondation superficielle. La largeur de la fondation est note B et la profondeur o est situe
sa base est note D. Appliquons une charge monotone croissante, dune manire quasi
statique, une fondation pose une profondeur D donne et relevons les tassements s
obtenus en fonction de la charge applique Q.
Figure 2.1 Courbe chargement-tassement dune fondation superficielle
Au dbut du chargement, le comportement est sensiblement linaire, cest--dire que le
tassement crot proportionnellement la charge applique. Puis le tassement nest plus
proportionnel (on peut dire quil y a cration et propagation de zones de sol plastifies sous
la fondation). partir dune certaine charge Ql, il y a poinonnement du sol ou tout du
moins un tassement qui nest plus contrl. Le sol nest pas capable de supporter une
charge suprieure (on peut dire que lon a atteint lcoulement plastique libre). Cette
charge Ql est la capacit portante de la fondation (on parle aussi souvent de charge limite,
de charge de rupture ou encore de charge ultime).
2.2 Mthodes de calcul de la capacit portante
2.2.1Thorie de Rankine (1857)
Pour Rankine le problme se ramne ltude de lquilibre, sous lextrmit de la
fondation, entre un coin actif sous la demi-semelle et un coin passif lextrieur
(I et II de la figure 2 .2).
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Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
18
Le principe de la mthode de Rankine consiste calculer les forces de pousse et de bute
partir dune approximation de ltat des contraintes dans le sol au contact dun cran.
Si f est la contrainte exerce par le sol sur lcran, la force de pousse ou de bute par unit
de longueur de lcran a pour expression :
F = f dz (2.1)
Cette mthode repose sur lhypothse simplificatrice fondamentale suivante :
La prsence de discontinuits, provoques par la prsence de murs ou dcrans la surface
dun massif de sol, ne modifie pas la rpartition des contraintes verticales dans le sol.
Ainsi, sur un plan parallle la surface du massif de sol, la contrainte reste verticale et
gale zcos ( : angle dinclinaison de la surface du sol par rapport lhorizontale).
Figure.2.2 Equilibre de Rankine
La plus grande force qui puisse sappliquer avant la rupture contre le coin II passif, est
gale a la bute, soit :
Pp=qs H kp+'/2 H2kp+2c'Hkp (2.2)
Avec
H=B/2 tg(/2+/2) = B/2kp (2.3)
Ainsi
Pp = qs B/2 kp
3/2+ '/8 B2 kp2+ c' Bkp (2.4)
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Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
19
Cette bute doit tre gale a la pouss
Pa=Qu /B H/ kp + '/2 H2/kp -2c'H1/kp (2.5)
Lexpression qui donne la charge maximale que supportera la semelle ou capacit portante
Qu /B =Pa /H kp- '/2 H +2c'kp (2.6
) En remplaant : H=B/2kp
Qu /B =2Pa /B kp - '/4 Bkp +2C'kp (2.7)
A la limite de lquilibre Pa=Pp
Qu /B = B /4 (kp5/2 - kp1/2) + 2 C'(kp3/2 + kp1/2) + 'Dkp2 (2.8)
Qui scrit sous la forme condense :
qu= Qu/B = B '/2N+ C'Nc+DNq (2.9)
Avec
N=1/2(kp
5/2 - kp1/2) (2.10)
Nq=kp
2 (2.11)
Nc= 2(kp
3/2 +kp1/2) (2.12)
N, Nq, et Nc sont les facteurs de surface, de profondeur et de cohsion respectivement
2.2.2 Thorie de Prandtl (1920)
Le problme bidimensionnel dun sol pulvrulent non pesant, dangle de frottement interne
et charg normalement sa surface par deux rpartitions uniformes tel que:
(P = qu et q = D), a t rsolu pour la premire fois par Prandtl (1920).
Prandtl (1920) a donn son mcanisme de rupture le plus accept et le plus utilis ensuite
par les autres auteurs. Daprs Prandtl le mcanisme de rupture sous la fondation, suppos
base lisse prsente un systme de lignes de glissement rpartis sur trois zones distinctes:
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Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
20
La zone I en quilibre de pousse de Rankine.
La zone II en quilibre de Prandtl, cette zone est appele saut de Prandtl
La zone III en quilibre de butte de Rankine.
Figure.2.3 Mcanisme de rupture dune fondation de base lisse (Prandtl 1920)
Dans la zone I et III, la famille de lignes de glissement est forme bien de droites.
Dans la zone II, une famille de lignes de glissement est constitue de courbes. Il s'agit de
lignes de glissement appartenant cette mme famille et qui sont homothtiques entre
elles et forment des spirales logarithmiques. Lautre famille des lignes de glissement est
forme de droites, faisant un angle de avec la normale aux points dintersection avec les
spirales, et ayant toutes un point de rebroussement lintersection des deux surcharges.
Il est noter que les spirales logarithmiques peuvent scrire sous la forme, en
coordonnes polaires, de :
= 0 etg (2.13)
Le problme se ramne donc l'tude de l'quilibre du bloc (SAB) en crivant que le
moment en S de l'ensemble des forces est nul.
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Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
21
Figure.2.4 Mcanisme de rupture dune fondation de base lisse (Prandtl 1920)
On notera q1 et q2 les intensits des contraintes critiques qui agissent respectivement sur les
rayons polaires AO et Ae. L'quilibre de pousse et de butte de Rankine dans un milieu
non pesant donne :
=24
.1
tgqq u et )24(..2
+= tgDq (2.14)
On peut traduire l'quilibre du bloc AOe en crivant que le moment en A de l'ensemble des
forces appliques est nul.
Soit, 0tan...2
tan...2 21
= qAeAeqAOAO (2.15)
On a alors, tgeAe
AO = (2.16)
Donc, q1 et q2 sont lies par la relation suivante dans l'quilibre de Prandtl
tgtg eeAe
AO
q
q .22
21 ==
= (2.17)
Puisque l'angle que font AO et Ae est gal /2
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Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
22
Donc finalement on a:
tgu etgDq.2 .
24..
+= Cest--dire tgq etgN.2 .
24
+= (2.18)
Cette formule est quelque fois appele formule de Prandtl Caquot, car ces deux auteurs l'on
publie, indpendamment l'un de l'autre vers [1920].
2.2.3 Thorie de Terzaghi (1943)
Les quations dveloppes par Terzaghi (1943) ont t utilises pendant longtemps et
continuent tre employes par des ingnieurs. Son dveloppement est inspir partir des
tudes de Rankine (1857), Prandtl (1920), et Reissner (1924). Le modle bidimensionnel
utilis par Terzaghi (figure 2.5) se prsentait en une semelle filante avec une largeur de 2B
(plus tard, les auteurs ont utiliss une largeur B au lieu de 2B) et une profondeur dencrage
de la base de la semelle par rapport la surface du sol de Df.
Terzaghi a galement utilis une semelle base rugueuse et une semelle base lisse, dont
la courbe de chargement-tassement est reprsente sur la figure2.6. Le bloc abd se dplace
verticalement vers le bas, le bloc ade caractris par la courbe spirale (de) est considr en
tat de rupture par cisaillement le long de cette courbe, et le bloc aef est considr tre dans
un tat dquilibre plastique de Rankine.
Lquation exprime par Terzaghi qui sert la dtermination de la capacit portante scrit
QD =2B(cNc+Df Nq+BN) rupture par cisaillement gnrale (2.14)
Q`D =2B (2/3cN'c+BN' q +BN') rupture par cisaillement locale (2.15)
Avec QD = charge de rupture de la semelle filante
C = la cohsion du sol
= poids volumique du sol
Nc, N', c Nq, N' q, N , N' facteurs de la portance
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Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
23
La diffrence entre les deux formes de rupture (cisaillement gnrale et cisaillement locale)
est illustre dans la figure 2.6, o la rupture par un cisaillement gnrale est reprsente par
la ligne continue. Le tassement pour les sols mous ou lches est plus grand que les sols
denses, pour cette raison Terzaghi a propos de rduire les valeurs des facteurs de
portance pour les sols lches.
Figure.2.5 Model utilis par Terzaghi pour la dtermination des facteurs de portance
Figure 2.6 Courbe chargement-tassement dune semelle sur un sable dense C1, et un sable lche C2 (Terzaghi, 1943).
Charge
Tassem
ent
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Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
24
Figure 2.7 Facteurs de la portance de Terzaghi
En 1948, Terzaghi a propos une thorie bien-conue pour la dtermination de la portance
d'une semelle filante rigide soutenue par un sol homogne profond. La surface de rupture
sous la charge ultime qu, est montre sur la figure 2.8. Daprs cette figure, la surface de
rupture sous la fondation peut tre divise en trois zones principales:
- La zone abc : C'est une zone lastique triangulaire situe au-dessous de la semelle.
L'inclination des faces ac et bc est = (langle de frottement interne du sol).
- La zone bcf : Cette zone est la zone de cisaillement radial du Prandtl.
- La zone bfg : Cette zone est la zone passive de Rankine. Les lignes de glissement dans
cette zone font un angle de (45 - /2) avec l'horizontal.
La zone de cisaillement radial de Prandtl et la zone passive de Rankine sont galement
situes la gauche de la zone triangulaire lastique abc; mais, elles ne sont pas montres
dans la figure. 2.8. La ligne cf est un arc d'une spirale logarithmique, dfini par l'quation :
r = r0
e tag (2.19)
Les lignes fb et fg sont des lignes droites. La ligne fg s'tend jusqu' la surface du sol.
Terzaghi a suppos que le sol situ au-dessus de la semelle est remplac par une surcharge
q = Df (2.20)
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
25
Figure 2.8 Surface de rupture du sol sous une charge ultime dune semelle filante rigide (daprs Terzaghi)
La rsistance au cisaillement du sol est donne par :
= 'tag + c (2.21)
Avec ' : la contrainte normale effective
C : la cohsion
La portance, qu, de la semelle peut tre dtermine en considrant les faces ac et bc du
triangulaire abc, et en dterminant les forces passives sur chaque face qui provoque la
rupture. Il est noter que la force passive Pp est en fonction de la surcharge q = Df, la
cohsion c, le poids volumique , et langle de frottement interne du sol . Ainsi, en se
rfrant la figure 2.9, la force passive Pp sur la facette bc par unit de longueur de la
semelle, est :
Pp = Ppq+ Ppc + Pp (2.22)
Avec Ppq, Ppc et Pp : composantes de la force passive dues respectivement q,c,et
Il est important de noter que les directions des forces Ppq, Ppc, et Pp sont vertical, puisque
la face bc fait un angle avec l'horizontal, et Ppq, Ppc, et Pp doivent faire un angle avec
la normale trac de bc. Afin d'obtenir Ppq, Ppc, et Pp, la mthode de superposition peut tre
utilise.
Sol (, , c)
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
26
2.2.3.1 Relation pour Ppq ( 0, = 0, q 0, c = 0)
Considrons le bloc bcfj du sol montr dans la figure 2.9 (galement montre dans la
figure 2.10). Pour ce cas le centre de la spirale logarithmique, se trouve au point b. Les
forces par unit de longueur du coin bcfj des la surcharge q s sont montres dans la
figure 2.10a, et sont :
1. Ppq
2. Surcharge, q
3. La force passive de Rankine, Pp(1)
4. La force de frottement rsistante le long de larc cf, F
La force passive de Rankine, Pp(1), est exprime comme :
Pp(1) = qKp Hd = q Hd tg
2 (45 + /2) (2.23)
Avec : Hd = f j
Kp= tg
2 (45 + /2): coefficient de pression passive du sol
Selon les proprits d'une spirale logarithmique qui est dfinie par l'quation r = r0
e tag,
la ligne radiale napporte quel point fait un angle avec la normale. Par consquent, la
ligne d'action de la force de frottement F passe par le point b, qui reprsente le centre de la
spirale logarithmique (comme montre dans la figure 2.10a). En exprimant le moment par
rapport au point b, et en considrant la stabilit du coin abc :
Figure 2.9 Forces passives sur la face bc
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
27
(a)
(b)
Figure 2.10 Dtermination de Ppq ( 0, = 0, q 0, c = 0)
PQP
4
B=
( )bjq
2
bj+ ( ) 21
dp
Hp (2.24)
De lquation (2.20)
bf = 1r = tan
24
3
0
er (2.25)
Comme bj
=2
45cos1
r (2.26)
Et
=2
45sin1
rH d (2.27)
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
28
En combine les quations (2.21),(2.23)et (2.26),(2.27)
22
45tan2
45sin
22
45cos
4
2221
221
+
+
=
qrqr
Bppq (2.28)
Ou bien
=2
45cos4
221
qr
Bppq (2.29)
Maintenant, en combine les quations, (2.24) et (2.28)
=pqp =
+
245cos4 2
tan24
32
qBe (2.30)
En considre la stabilit du coin lastique abc sous la fondation comme montr sur
la figure 2.10b
( ) pqq PBq 21 = (2.31)
Avec qq : la charge par unit de surface sur la fondation, ou
qpq
q qNe
qB
Pq =
+==
245cos2
2
2
tan24
32
(2.32)
Nq
2.2.3.2 Relation pour Ppc ( 0, = 0, q 0, c 0)
La figure 2.11 montre la forme du coin bcfj (se rfrer galement la figure 2.9). Comme
dans le cas de Ppq, le centre de l'arc de la spirale logarithmique se trouve au point b. Les
forces agissant sur le coin sont dues la cohsion c sont montres galement dans la figure
2.11, et sont :
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
29
1. La force Passive, Ppc
2. La force du cohsion, C = c(b c 1)
3. La force passive de Rankine due a la cohsion
( )
+==2
45tan222
ddpp cHHKcP (2.33)
4. La force de cohsion par unit du surface le long de larc cf, c.
On considre le moment des forces par rapport au point b :
( ) cppc M
r
PB
p +
=
22
45sin
4
1
2
(2.34)
Avec Mc est le moment du a la cohsion c le long de larc cf
Mc ( )2021tan2 rrc =
(2.35)
Donc
( )20211
tan222
45sin
245tan2
4rr
cr
cHB
p dpc
+
+=
(2.36)
(a)
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
30
(b)
Figure 2.11 Dtermination de Ppc ( 0, = 0, q 0, c 0)
Les relations pour Hd, r0, et r1 en termes de B et sont donns dans les quations (2.24) et
(2.25) respectivement, en combine les quations (2.27),(2.26) et (2.35)
( ) ( ) cos2
1245tan245sin 2 =+ (2.37)
Considrant lquilibre du coin abc (figure 2.11b)
( ) pcc PcBq 2sin21 += (2.38)
Avec qc la force par unit de surface de la fondation
( )1cot12
45cos2cot
2
tan24
32
==
+=
qcc NccNe
cq
(2.39)
Nc
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
31
2.2.3.3 Relation pour Pp ( 0, 0, q = 0, c = 0)
La figure 2.12a montre la forme du coin bcfj. Cest une forme diffrente des formes
montres sur les figures 2.10 et 2.11, le centre de la spirale logarithmique se trouve au
point O et non au point b. Les forces par unit de longueur appliques au coin bcfj sont :
1. La force passive, pp
2. Le poids du coin bcfj, W
3. La rsultante de la force de rsistance de frottement agissant le long de larc cf, F
4. La force passive de Rankine, Pp (3)
La force passive de Rankine, Pp (3) est donn par la relation suivante :
( )
+=2
45tan2
1 23
dp Hp (2.40)
Noter galement que la ligne daction de la force F passe par le point O. Considrant le
moment par rapport au point O :
Pp lp=Wlw+Pp(3)lR (2.41)
Ou ( )[ ]Rpp
p lpWllp 3
1 += (2.42)
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
32
Figure 2.12 Dtermination de Pp ( 0, 0, q = 0, c = 0)
Considrant la stabilit du coin abc suivant les indications de la figure 2.12, on peut crire
q B = 2Pp - Ww (2.43)
Avec : q : force par unit de surface de la fondation
: Ww : Le poids du coin abc
Cependant tan4
2BWw = (2.44)
Alors
= tan4
21 2B
PB
q py (2.45)
La force passive Pp est exprime sous la forme suivante:
22
22 tan
8
1
2
tan
2
1
2
1pppp kBk
Bkhp =
== (2.46)
Avec Kp : coefficient de la pression passive des terres
Substituant lquation (2.45) dans (2.46)
BNkBBkB
Bq pp 2
1
2
tantan
2
1
2
1tan
4tan
4
11 22
22 =
=
= (2.47)
N
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
33
2.2.3.4 Capacit portante
La charge ultime par unit de surface de la fondation (c'est--dire, la portance qu) dun sol
avec une cohsion c, un angle de frottement interne , et un poids propre scrire :
qu = qq + qc + q (2.48)
Substituant les relations du qq, qc, et q donn par les quations (2.31), (2.38), et (2.46)
dans lquation (2.47) :
BNqNcNq qcu 21++= (2.49)
Avec Nc Nq et N : facteurs de la capacit portante, avec
+=
245cos2 2
tan24
32
eNq (2.50)
( )1cot = qc NN (2.51)
2
tantan
2
1 2 = pkN (2.52)
Tableau 2.1 Les Facteurs de la capacit portante daprs TERZAGHI
Nc Nq N Nc Nq N Nc Nq N 0 5.70 1.00 0.00 17 14.60 5.54 2.18 34 52.64 36.50 38.04 1 6.00 1.10 0.01 18 15.12 6.04 2.59 35 57.75 41.44 45.41 2 6.30 1.22 0.04 19 16.57 6.70 3.07 36 63.53 47.16 54.36 3 6.62 1.35 0.10 20 17.69 7.44 3.64 37 70.01 53.80 65.27 4 6.97 1.49 0.06 21 18.92 8.26 4.31 38 77.55 61.55 78.61 5 7.34 1.64 0.14 22 20.27 9.19 5.09 39 85.97 70.61 95.03 6 7.73 1.81 0.20 23 21.75 10.23 6.00 40 95.66 81.27 115.31 7 8.15 2.00 0.27 24 23.36 11.40 7.08 41 106.81 93.85 140.51 8 8.60 2.21 0.35 25 25.13 12.72 8.34 42 119.67 108.75 171.99 9 9.09 2.44 0.44 26 27.09 14.21 9.84 43 134.58 126.50 211.56
10 9.61 2.69 0.56 27 29.24 15.90 11.60 44 151.95 147.74 261.60 11 10.16 2.98 0.69 28 31.61 17.81 13.70 45 172.28 173.28 325.34 12 10.76 3.29 0.85 29 34.24 19.98 16.18 46 196.22 204.19 407.11 13 11.41 3.63 1.04 30 37.16 22.46 19.13 47 224.55 241.80 512.84 14 12.11 4.02 1.26 31 40.41 25.28 22.65 48 258.28 287.85 650.87 15 12.86 4.45 1.52 32 44.04 28.52 26.87 49 298.71 344.63 831.99 16 13.68 4.92 1.82 33 48.09 32.23 31.94 50 347.50 415.14 1072.80
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
34
Terzaghi a propos les formules suivantes pour les semelles carres et circulaires.
qu = 1.3cNc + qNq + 0.4BN (fondation carre; B B) (2.53)
qu = 1.3cNc + qNq + 0.3 BN (fondation circulaire; B B) (2.54)
Plusieurs tudes exprimentales ont t ralises pour estimer la portance des fondations
superficielles, depuis on a conclu que les hypothses de Terzaghi concordent bien.
Cependant, langle que font les faces ac et bc (figure 2.8) avec l'horizontal est plus prs
de 45 + /2, et pas comme propos par Terzaghi. Dans ce cas, la surface de rupture du
sol sera comme montre sur la figure 2.13. La mthode de superposition a t utilise pour
obtenir les facteurs de portance, Nc, Nq et N.
Figure 2.13 Surface de rupture modifie dun sol supporte une fondation superficielle sous la charge ultime
2.2.3.5 Thorie de la capacit portante de Terzaghi dans le cas dune
rupture par cisaillement locale
Il est vident, dans ce qui prcde, que la thorie de portance de Terzaghi a t obtenue
pour la rupture dun sol par un cisaillement gnrale. Cependant, la rupture par un
cisaillement locale, Terzaghi a suggr les relations suivantes :
Fondation superficielle (B/L=0 ; L=longueur de la fondation)
qu = cNc + qNq + B N (2.55)
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
35
Fondation carre (B = L)
qu = 1.3cNc + qNq + 0.4BN (2.56)
Fondation circulaire (B = diamtre)
qu = 1.3cNc + qNq + 0.3BN (2.57)
Avec Nc, Nq, et N = facteurs modifis de la portance
c = 2c/3 (2.58)
Les facteurs modifis de la portance peuvent tre obtenus par la substitution du par
'= tg-1(0.67tg) dans les quations (2.49), (2.50), et (2.51).Les variations de Nc, Nq, et
Navec sont montres dans le tableau 2.2
Tableau 2.2 Les Facteurs de la capacit portante modifis daprs TERZAGHI
N'c N'q N' N'c N'q N' N'c N'q N' 0 5.70 1.00 0.00 17 10.47 3.13 2.18 34 23.72 11.67 7.22 1 5.90 1.07 0.005 18 10.90 3.36 2.59 35 25.18 12.75 8.35 2 6.10 1.14 0.02 19 11.36 3.61 3.07 36 26.77 13.97 9.41 3 6.30 1.22 0.04 20 11.85 3.88 3.64 37 28.51 15.32 10.90 4 6.51 1.30 0.055 21 12.37 4.17 4.31 38 30.43 16.85 12.75 5 6.74 1.39 0.074 22 12.92 4.48 5.09 39 32.53 18.56 14.71 6 6.97 1.49 0.10 23 13.51 4.82 6.00 40 34.87 20.50 17.22 7 7.22 1.59 0.128 24 14.14 5.20 7.08 41 37.45 22.70 19.75 8 7.47 1.70 0.16 25 14.80 5.60 8.34 42 40.33 25.21 22.50 9 7.74 1.82 0.20 26 15.53 6.05 9.84 43 43.54 28.06 26.25
10 8.02 1.94 0.24 27 16.03 6.54 11.60 44 47.13 31.34 30.40 11 8.32 2.08 0.30 28 17.13 7.07 13.70 45 51.17 35.11 36.00 12 8.63 2.22 0.35 29 18.03 7.66 16.18 46 55.73 39.48 41.70 13 8.96 2.38 0.42 30 18.99 8.31 19.13 47 60.91 44.54 49.30 14 9.31 2.55 0.48 31 20.03 9.03 22.65 48 66.80 50.46 59.25 15 9.67 2.73 0.57 32 21.16 9.82 26.87 49 73.55 57.41 71.45 16 10.06 2.92 0.67 33 22.39 32.23 10.69 50 81.33 65.60 85.75
Vesic suggre une meilleure mthode pour obtenir pour lestimation du Ncet Nq pour
des semelles poses sur un sable sous la forme :
= tg-1(K tg ) (2.59)
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
36
K=0.67+Dr-0.75D2
r (pour 0 Dr 0.67) (2.60)
Avec Dr = densit relative du sable
2.2.4 Thorie de Meyerhof (1951)
En 1951, Meyerhof a publiait une thorie de la portance qui peut sapplique aux
fondations rugueuses superficielles et profondes. La surface de rupture la charge ultime
sous une semelle superficielle continue suppose par Meyerhof comme indiqu sur la
figure 2.14. Sur cette figure, abc est une zone triangulaire lastique montre sur
la figure 2.6, bcd est une zone de cisaillement radiale avec cd est un arc d'une spirale
logarithmique, et bde est une zone de cisaillement mixte dans laquelle o le cisaillement
varie entre les limites de cisaillement radial et plan, dpendant de la profondeur et la
rugosit de la semelle. Le plan be est appel surface libre quivalente. Les contraintes
normales et de cisaillement dans le plan be sont P0 et 0, respectivement. La mthode de
superposition est utilise pour dterminer la portance, qu, de la semelle filante et exprim
NBNqNcq qcu ...21
.. ++= (2.61)
Avec Nc, Nq, et N facteurs de la capacit portante, B : largeur de la semelle
Fig.2.14 line de glissement pour une semelle filante rugueuse
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
37
2.3 Expressions des facteurs de portance N, Nc et Nq
Un nombre d'auteurs ont fait des propositions pour les facteurs de portance, comme Caquot
et Krisel (1953), Meyerhof (1963), Hansen et Christensen (1969), Hansen (1970), et
Vesic (1973). La forme de base de l'quation de la capacit portante (Eq. .14), propos par
Terzaghi, a t accepte par la plupart des investigateurs prcdents ; cependant, deux
modifications ont t suggres :
(1) : une analyse utilise un modle modifi par rapport au modle propos par
Terzaghi (figure 2.5)
(2) : une amlioration de la mthode pour inclure un certain nombre de facteurs tels que le
cas dune charge incline, le cas dune semelle rectangulaire plutt qu'une semelle filante.
En outre, des autres tudes ont t entreprises, comme ceux utilisent la mthode des
lments finis, pour tudier la limite inferieure et suprieure des valeurs de la portance
(Ukritchon et al. 2003).
2.3.1 Facteurs de portance daprs Meyerhof (1963)
Meyerhof (1963) dcrire que la portance des semelles filantes est calcule selon la forme
gnrale reprsente par Terzaghi, avec des expressions tablies par Prandtl (1920) pour
Nc, par Reissner (1924) pour Nq et par lui-mme (Meyerhof, 1961) pour une valeur
approche de N, ces coefficients ne tenant pas compte de la rsistance au cisaillement
dans le sol situ au dessus de la base de la fondation.
Les expressions des facteurs de cohsion, profondeur, et de surface sexpriment par :
Nc = ( Nq-1) cot (2.62)
Nq = e
(tan ) tan2 (/2 + /2) (2.63)
N = ( Nq-1) tan (1,4 ) (2.64)
Pour les semelles circulaires et rectangulaires (B x L), des facteurs partiels ont t
proposs, linitiative de Skempton (1951) pour les argiles, par linterpolation entre le cas
des semelles filantes et celui des semelles circulaires ;
Sc = 1+0.2 B/L tan2 (/2 + /2) (2.65)
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
38
Sq =S = 1 si = 0 (2.66)
Sq =S = 1+0.1 B/L tan
2 (/2 + /2) si = 10 (2.67)
Pour les semelles rectangulaires, une interpolation propose pour rectifier la valeur de
langle de frottement interne, plus forte de 10% dans les ruptures en dformations planes
p que dans les essais triaxiaux t
= p (1.1 -0.1 B/L) t (2.68)
2.3.2 Facteurs de portance daprs J.B Hansen (1970)
Hansen a utilis la mme quation de base que celle de Terzaghi sauf que la largeur de la
semelle est B au lieu de 2B comme utilise par Terzaghi
Qd/B = 1/2 BN + Df Nq+ cNc (2.69)
Avec:
Qd : capacit portante
B : largeur de la semelle
: poids propre de sol
Les facteurs de portance ont pour expressions :
Nq = e
tan tan2 (45 + /2) (2.70)
Nc = (Nq - 1) cot (2.71)
N = 1.5 (Nq - 1) tan (2.72)
(Note: si = 0, Nc = +2)
Hansen et Christensen (1969) ont prsent des courbes de N en fonction de langle de
frottement , entre la base de la fondation et le sable (figure 2.8). Si la base est rugueuse,
= , les valeurs peuvent tre lues de la courbe indique sur la figure 2.8.
L'quation suivante est pour une semelle parfaitement rugueuse
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
39
N = 1.5 (Nq - 1) cot (2.73)
Les facteurs de la capacit portante de Hansen pour la semelle filante sont prsents en
forme graphique sur la figure 2.16 et tabuls dans le tableau 2.3.
Figure 2.15 Le facteur N trouv pour des semelles filantes en fonction de langle de frottement pour le sable et pour interface (Hansen et Christensen, 1969).
Figure 2.16 Facteurs de portance de Hansen.
Facteurs de la portance
en degrs
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
40
Tableau 2. 3 facteurs de portance daprs Hansen
(deg)
Nq
Nc
N
(deg)
Nq
Nc
N
0 1.00 5.10 0.00 35 33.30 46.10 33.90
5 1.60 6.50 0.10 36 37.80 50.60 40.10
10 2.50 8.30 0.40 37 42.90 55.60 47.40
15 3.90 11.00 1.20 38 48.90 61.40 56.20
20 6.40 14.80 2.90 39 56.00 67.90 66.80
25 10.70 20.70 6.80 40 64.20 75.30 79.50
30 18.40 30.10 15.1 42 85.40 93.70 114.00
31 20.60 32.70 17.70 44 115.30 118.40 165.6
32 23.20 35.50 20.80 46 158.50 152.10 244.60
33 26.10 38.60 24.40 48 222.30 199.30 368.70
34 29.40 42.20 28.80 50 319.10 266.90 568.60
Pour traiter les cas d'une fondation filante, la charge peut tre excentre, incline, ou tous
les deux. La semelle est habituellement ancre une profondeur D. La semelle a toujours
une longueur L et sa forme peut ne pas tre rectangulaire. Finalement, la base de la semelle
et la surface du sol peut tre incline. L'quation de La capacit portante dune fondation
incline de forme quelconque, encastre dans un massif inclin et soumise une charge
incline selon Hansen, est gale :
Qd /A = BN s d i b g + Df Nq sq dq iq bq gq + cNc sc dc ic bc gc (2.74)
A : surface de la semelle,
S : facteurs de forme,
d : facteurs de profondeur,
i : facteurs d'inclinaison,
b : facteurs d'inclinaison de la base,
g : facteurs dinclinaison du sol.
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
41
Dans le cas particulier o = 0, Hansen dcrit qu'il est thoriquement plus correct
d'introduire des facteurs additifs, et lquation serra :
Qd /A = ( + 2) su (1 + sac + dac - iac bac - gac) (2.75)
Avec Su, est la rsistance au cisaillement de l'argile non drain. Hansen a dclar que
quand les modifications se produisent un par un, une solution analytique simple ou des
rsultats des expriences peuvent tre employs ; cependant, quand tous les facteurs sont
employs ensemble pour des cas plus compliqus, le rsultat du calcul sera une
approximation.
Toutes les charges agissant au-dessus de la base de la semelle sont reprsentes par une
rsultante, avec une composante verticale V, et une composante horizontale H. Pour le cas
de la charge excentre, la semelle est modifie de sorte que la rsultante intersect la base
un point appel le centre de charge. Si la semelle a une forme irrgulire, une semelle
rectangulaire remplissant les conditions ci-dessus est utilise.
2.4 Charge verticale excentre
Des essais sur modles rduits ont montr en effet qu'en milieu pulvrulent le coin sous la
fondation la rupture garde la mme forme que pour une charge verticale centre, mais
que ses dimensions se rduisent de manire ce que la ligne d'action de la charge et l'axe
de symtrie du coin concident. Dans le cas d'une semelle filante supportant une charge
verticale excentre, Meyerhof a propos d'attribuer cette semelle une largeur fictive, B' =
B - 2e, Avec : e = excentricit de la charge.
QL= qL A = B [(1-2e)
2 B/2 N + (1-2e) Nq+ (1-2e)c Nc] (2.76)
Avec A= surface de la semelle.
2.5 Charge centre incline
L'inclinaison da la charge diminue fortement la capacit portante des fondations.
En 1953, Meyerhof a amlior sa thorie pour la portance sous une charge verticale dans
le cas dune charge incline. Il a galement rsolu le problme de manire approche.
La figure 2.10 montre les zones plastifies dun sol supporte une semelle continue (filante)
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
42
rugueuse avec une petite inclinaison de la charge. La contrainte de cisaillement du sol, s,
est donne par :
S = C + 'tan (2.77)
Avec
C = cohsion
'= contrainte effective verticale
= angle de frottement
La charge incline fait un angle avec la verticale. sur la figure 2.10, abc est une zone
lastique, bcd est une zone de cisaillement radiale, et bde est une zone de cisaillement
mixte. La contrainte normale et de cisaillement sur la face ea sont p0 et s0, respectivement.
La portance, qu, peut tre exprime par :
qu(v) = qu cos = cNc + p0Nq + BN (2.78)
Avec Nc, Nq,N :facteurs de portance pour une charge incline
: poids du sol
Figure.2.17 Zones plastiques dun sol supporte une semelle sous une charge incline
2.6 Semelle sur une pente
2.6.1 Semelle sur la pente dun talus
En 1957, Meyerhof a propos une solution thorique pour dterminer la portance d'une
semelle superficielle situe sur la pente dun talus. La figure 2.18 montre la zone plastifie
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
43
dveloppes dans le sol sous une semelle filante rugueuse (largeur = B) implante sur la
pente dun talus.
Figure 2.18 nature de la zone plastique sous une semelle filante rugueuse implante sur la pente dun
talus Dans la figure 2.18, abc est une zone lastique, acd est une zone de cisaillement radiale, et
ade est une zone de cisaillement mixte. Les contraintes normales et de cisaillement sur le
plan ea sont p0 et s0, respectivement. Noter que la pente fait un angle avec l'horizontal.
Les paramtres de rsistance au cisaillement du sol sont c et , et son poids . la portance
peut tre exprime comme :
qu= cNc + p0 Nc+ BN (2.79)
La relation prcdente peut galement tre exprime comme :
qu= cNcq + BNq (2.80)
Avec Ncq, Nq = facteurs de la capacit portante
Pour un sol purement cohsif ( = 0) qu= cNcq
La figure 2.19 montre la variation de Ncq avec langle de la pente et le nombre de la
stabilit de la pente, NS.
Noter que : Ns= H/c (2.81)
Avec H = la hauteur de la pente
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
44
D'une faon similaire, pour un sol granulaire (c = 0)
qu= BNq (2.82)
La variation de Nq (pour c = 0) est montre dans la figure 2.20.
Figure.2.19 Variation du facteur Ncq pour Figure.2.20 Variation du facteur Nq pour
Un sol purement cohsif selon Meyerhof un sol granulaire selon Meyerhof
(semelle sur pente) (semelle sur pente)
.6.2 Semelle sur la crte dune pente
2.6.2.1 Solution de Meyerhof
La figure 2.21 montre une semelle filante rugueuse de largeur B situe sur une pente dune
hauteur H. Elle est situe une distance b de la crte de la pente. La portance de la
fondation peut tre exprime par :
qu= cNcq + BNq (2.83)
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
45
Figure 2.21 semelle filante sur une pente
Distance de la semelle de la crte b/B (pour Ns=0) ou b/H (pour Ns > 0)
Figure 2.22 Variation du facteur Ncq pour un sol purement cohsif selon Meyerhof
(semelle sur pente)
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
46
Meyerhof a dvelopp la variation thorique de Ncq pour un sol purement cohrent ( = 0)
et Nq pour un sol granulaire (c = 0), et ces variations sont montres dans les figures. 2.22
et 2.23. Noter que, pour un sol purement cohrent (figure. 2.22)
qu= cNcq (2.84)
Et pour un sol granulaire : figure. 2.23
qu= BNq (2.85)
Pour les besoins de la pratique, Meyerhof a donn des abaques permettant le calcul de Nq
et Ncq .On constate que tout se passe comme si le terrain de fondation tait horizontal ds
que d/B dpasse une certaine valeur limite :
d/B = 1,5 pour = 25
d/B = 2 pour = 30
d/B = 5 pour = 40
Il est important de noter que, pour la figure. 2.22, le nombre de stabilit NS gal a zro
quand B < H. Si B H la courbe pour le nombre de stabilit rel doit tre utilise.
La courbe charge (q)-tassement (s) obtenue par lauteur pour des essais en laboratoire pour
une argile sature (avec b /B =0, Df /B = 0, cu= 27.5 KN/m2, et B =76.2 mm) sont
montres sur la figure.2.24. Pour la mme fondation, le tassement la charge ultime
diminue avec l'augmentation de langle de la pente .
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
47
Figure.2.23 Facteur Nq pour un sol granulaire (semelle sur une pente) (Meyerhof)
Figure. 2.24 Courbe charge-tassement pour une semelle filante repose sur une pente (rsultats dun essai pour un model B = 76.2 mm, Cu = 27.5 kN / m
2, b/B = 0, Df /B=0)
Tassem
ent(s) / largeur (b) %
q (KN/m2)
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
48
2.6.2.2 Les solutions de Hansen (1970) et Vesic (1975)
Pour le cas b = 0 selon la figure. 2.21 (c'est--dire, la semelle est situe sur la crte de la
pente), Hansen a propos la relation suivante pour la portance d'une semelle filante
qu = cNc c + qNq q + 1/2 BN (2.86)
Avec Nc, Nq, N = facteurs de la portance
c ,q, = facteurs de la pente
q = Df (2.87)
Selon Hansen
q = = (1- tag)2 (2.88)
c = Nq q 1/ Nq 1 (pour > 0 (2.89)
c = 1-(2 / +2) (pour = 0) (2.90)
Pour = 0, Vesic a prcis que, avec l'absence du poids d la pente, le facteur N de la
portance a une valeur ngative et peut tre donn comme :
N = -2sin (2.91)
2.6.2.3 Solution par lquilibre limite et lanalyse limite
Saran, Sud, et Handa (1989) ont trouvs une solution pour dterminer la portance dune
semelle filante pose sur une pente (Figure.2.21) en utilisant lapproche d'quilibre limite
et d'analyse limite. Daprs cette thorie, pour une semelle filante
qu = cNc + qNq + 1/2 BN (2.92)
Avec Nc, Nq, N facteurs de la capacit portante
q = Df (2.93)
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Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
49
Tableau 2. 4 les facteurs de la capacit portante daprs Saran, Seed et Handa
Angle de frottement du sol, (deg)
facteur
(deg) Df /B b/B
40
35
30
25
20
15
10
30 0 0 25.37 12.41 6.14 3.20 1.26 0.70 0.10 20 0 0 53.48 24.54 11.62 5.61 4.27 1.79 0.45 10 0 0 101.74 43.35 19.65 9.19 4.35 1.96 0.77
N 00 0 0 165.39 66.59 28.98 13.12 6.05 2.74 1.14 30 0 1 60.06 34.03 18.95 10.33 5.45 0.00 20 0 1 85.98 42.49 21.93 11.42 5.89 1.35 10 0 1 125.32 55.15 25.86 12.26 6.05 2.74 00 0 1 165.39 66.59 28.89 13.12 6.05 2.74 30 1 0 91.87 49.43 26.39 25 1 0 115.65 59.12 28.80 20 1 0 143.77 66.00 28.89 15 1 0 165.39 66.59 28.89 30 1 1 131.34 64.37 28.89 25 1 1 151.37 66.59 28.89 20 1 1 166.39 66.59 28.89 30 1 0 12.13 16.42 8.98 7.04 5.00 3.60 20 1 0 12.67 19.48 16.80 12.70 7.40 4.40
Nq 10 1 0 81.30 41.40 22.50 12.70 7.40 4.40 30 1 1 28.31 24.14 22.50 20 1 1 42.25 41.4 22.50 10 1 1 81.30 41.4 22.50 50 0 0 21.68 16.52 12.60 10.00 8.60 7.10 5.50 40 0 0 31.80 22.44 16.64 12.80 10.04 8.00 6.25 30 0 0 44.80 28.72 22.00 16.20 12.20 8.60 6.70 20 0 0 63.20 41.20 28.32 20.60 15.00 11.30 8.76 10 0 0 88.96 55.36 36.50 24.72 17.36 12.61 9.44 50 0 1 38.80 30.40 24.20 19.70 16.42
Nc 40 0 1 48.00 35.40 27.42 21.52 17.28 30 0 1 59.64 41.07 30.92 23.60 17.36 20 0 1 75.12 50.00 35.16 27.72 17.36 10 0 1 95.20 57.25 36.69 24.72 17.36 50 1 0 35.97 28.11 22.38 18.38 15.66 10.00 40 1 0 51.16 37.95 29.42 22.75 17.32 12.16 30 1 0 70.59 50.37 36.20 24.72 17.36 12.16 20 1 0 93.79 57.20 36.20 24.72 17.36 12.16 10 1 0 95.20 57.20 36.20 24.72 17.36 12.16 50 1 1 53.65 42.47 35.00 24.72 40 1 1 67.98 51.61 36.69 24.72 30 1 1 85.38 57.25 36.69 24.72 20 1 1 95.20 57.25 36.69 24.72
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Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
50
2.6.2.4 Mthode Des Contraintes (Stress Characteristics Solution)
Daprs l'Eq. (2.29), pour les sols granulaires (c'est--dire, c = 0)
qu = 1/2 BNq (2.94)
Graham, Andrews, et Shields (1988) ont fourni une solution pour le facteur de portance,
Nq, pour une semelle continue pose sur un sol granulaire en pente bas sur la mthode
des contraintes (stress characteristics). La figure 2.25 montre les schmas des zones de
rupture pour une semelle ancre sur une profondeur Df /B, et une semelle loigne de b/B
de la crte du talus, respectivement traite pour cette analyse. Les variations de Nq
obtenues par cette mthode sont montres dans les figures. 2.26, 2.27, et 2.28
.
Figure.2.25 Les zones de rupture pour les cas a) Df /B > 0 b) b/B > 0
2.6.2.5 Relation empirique bas sur l'essai en centrifugeuse
En 1988 Gemperline rapport les rsultats de 215 essais en centrifugeuse sur les semelles
continues situes sur un sable en pente. Bas sur ces 215 essais, Gemperline a propos une
relation de la portance d'une semelle continue exprime par :
qu = 1/2 BN (2.95)
-
Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
51
Figure.2.26 Thorie de Graham et al. pour les valeurs de Nq (Df /B=0)
Figure.2.27 Thorie de Graham et al. pour les valeurs de Nq (Df /B=0.5)
Figure.2.28 Thorie de Graham et al. pour les valeurs de Nq (Df /B=1)
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Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante
52
Shields, Chandler, et Garnier ont normalis les valeurs de Nq proposes par Gemperline
sous la forme suivante
Nq /NqR=[1+0.65(Df/B)]{1-0.8[1-(1-tag)2][2/2+(b/B)2tag]}
x{1-0.33(Df/B)tag[2/2+(b/B)2tag]} (2.96)
Avec NqR gale la valeur de Nq pour une semelle continue (de rfrence) pose sur une
surface plane sans encastrement (c'est--dire, Df /B = 0 et b/B = )
NqR peut tre donne par la relation suivante :
NqR = (10
0.1159-2.389)(10 0.34-0.2logB) (2.97)
O est en degrs et B en inch (1 in.= 2.54 cm)
Figure 2.29 : semelle aux bords dun talus
Bakir et al. (1994) passent en revue les thories traitant du problme des fondations places
au bord dune pente et leurs comparaisons avec des donnes exprimentales : Meyerhof,
Brinch Hansen, Giroud et al. Graham et Hovan (analyse limite), Kusakabe et al. (calcul
la rupture), Salenon et Garnier (calcul la rupture), Narite et Yamaguchi (quilibre
limite). Les facteurs de capacit portante N, obtenus par diffrentes mthodes pour la
semelle filante en bordure de pente reprsente sur l