Download - Mat-5110 : Introduction aux vecteurs
![Page 1: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/1.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
1
Mat-5110 : Introduction aux vecteurs
Martin FrancoeurConseiller en é[email protected]
![Page 2: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/2.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
2
Présentation du programme
Mat 5101 : Optimisation IMat 5102 : Statistique III (corrélation)Mat 5105 : ConiquesMat 5106 : Fonctions réelles et équat.Mat 5107 : Fonctions exp et logMat 5108 : Fonctions trigoMat 5109 : Géométrie IVMat 5110 : Introduction aux vecteursMat 5111 : Complément et synthèse II
![Page 3: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/3.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
3
Pourquoi les vecteurs en mathématique au secondaire?
Notion mathématique utilisée en physique
Façon de réinvestir les démonstrations
![Page 4: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/4.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
4
Définitions
Scalaire: quantité définie par un nombre réel.
Vecteur: quantité ayant une grandeur, une direction et un sens.
![Page 5: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/5.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
5
Comment nomme-t-on les vecteurs?
Lettre minuscule surmontée d’une flèche
aPoint de départ (origine) de la flèche et point de départ (extrémité) de la flèche
AB
![Page 6: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/6.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
6
Comment nomme-t-on les vecteurs?
Vecteur algébrique: par ses composantesComposantes horizontale et verticale
v=(3,4)Les composantes correspondent aux coordonnées de l’extrémité du vecteur lorsque l’origine du vecteur coïncide avec l’origine du plan cartésien.
![Page 7: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/7.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
7
Direction et sens
Toutes les flèches parallèles ont la même direction. Une même direction peut se prendre dans les deux sens.
![Page 8: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/8.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
8
Vecteurs colinéaires
Vecteurs colinéaires : vecteurs qui ont la même direction.
Deux vecteurs qui n’ont pas la même direction sont dits : non-colinéaires ou linéairement indépendants.
![Page 9: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/9.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
9
Orientation d’un vecteur géométrique
Avec la rose des vents…
![Page 10: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/10.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
10
Orientation d’un vecteur géométrique
Angle d’orientation : angle que la flèche forme avec l’horizontal dans le sens anti-horaire.
Détermine à la fois la direction et le sens.
![Page 11: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/11.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
11
Orientation d’une vecteur algébrique
Vecteur algébrique: les composantes donne l’orientation du vecteur.
Pour connaître l’angle d’orientation d’un vecteur algébrique, on utilise la trigonométrie.
![Page 12: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/12.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
12
Norme d’un vecteur
Longueur du vecteurNotation : ||v||Vecteur géométrique On mesure avec une règle
Vecteur algébrique Distance entre l’origine et l’extrémité du
vecteur
![Page 13: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/13.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
13
Vecteurs opposés
Deux vecteurs de même norme, de même direction et de sens contraire
v est toujours opposé à –v.AB est opposé à BA.m=(2,4) est opposé à n=(-2,-4).
![Page 14: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/14.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
14
Vecteur nul et vecteur unitaire
Vecteur dont la longueur est 0. On le note 0.Le vecteur nul a toutes les orientations.Vecteur dont la longueur est 1 dans une orientation donnée.Vecteurs orthogonauxVecteurs dont les directions sont perpendiculaires.
![Page 15: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/15.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
15
Angle entre deux vecteurs
Lorsque les origines de deux vecteurs coïncident.La plupart du temps noté Utilisation de la loi des sinus et des cosinus
![Page 16: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/16.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
16
Addition de vecteurs
Méthode du parallélogrammeMéthode du triangleAddition des composantesLe vecteur somme s’appelle la résultantePour la soustraction de vecteurs, on additionne le vecteur opposé
![Page 17: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/17.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
17
Résultante
Norme de la résultante Loi des cosinus
Orientation de la résultanteMesure de l’angle formé par la résultante et un des deux vecteurs
![Page 18: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/18.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
18
Exercices 1 et 2 :
Document exercices complémentaires.
![Page 19: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/19.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
19
Relation de Chasles
AB + BC + CD = ADAB + BC + CA = AA = 0AB – CB = AB + BC = AC
![Page 20: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/20.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
20
Exercice 3 :
Document exercices complémentaires.
![Page 21: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/21.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
21
Multiplication d’un vecteur par un scalaire
Le produit d’un vecteur par un scalaire est un vecteur.Le vecteur final a la même direction que le vecteur initial. Même sens si le scalaire est positif.Sens contraire si le scalaire est négatif.
![Page 22: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/22.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
22
Combinaison linéaire
w = 3u + 4v
Si u et v sont colinéaires, w aura aussi la même direction.
Si u et v sont non-colinéaires, w aura une direction différente.
![Page 23: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/23.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
23
Base vectorielle
Deux vecteurs non-nuls linéairement indépendants forment une base vectorielle.À partir de ces deux vecteurs, on peut les combiner et obtenir tout autre vecteur du plan.La recherche des coefficients d’une combinaison linéaire ne portera que sur les vecteurs décrits par leurs composantes.
![Page 24: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/24.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
24
Exercice 5
Document exercices complémentaires.
![Page 25: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/25.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
25
Base vectorielle orthonormée
Vecteurs orthogonaux et de norme 1.
i = (1,0) et j = (0,1)
![Page 26: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/26.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
26
Base vectorielle et combinaison linéaire
Tout vecteur est décomposable en une somme de deux autres vecteurs qui, eux-mêmes, peuvent être décomposés en un produit d’un vecteur par un scalaire.
![Page 27: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/27.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
27
Multiplication scalaire de 2 vecteurs
Produit de la longueur orientée de la projection orthogonale du premier vecteur sur le deuxième par la norme du deuxième vecteur. Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire.Notation : u v
![Page 28: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/28.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
28
Multiplication scalaire
Produit scalaire de vecteurs orthogonaux : 0Produit scalaire de vecteurs géométriques
u v = ||u|| ||v|| cos
Produit scalaire de vecteurs algébriquesu=(a,b) et v=(c,d) u v = ac+bd
![Page 29: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/29.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
29
Propriétés de l’addition de vecteurs
La somme de deux vecteurs est un vecteur.Commutativité : u + v = v + uAssociativité : (u + v) + w = u + (v + w)Existence de l’élément neutre : u + 0 = uExistence de l’opposé : u + -u = 0
![Page 30: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/30.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
30
Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un scalaire
Le produit d’un vecteur par un scalaire est toujours un vecteur.Associativité : k1(k2u) = (k1k2)u
Existence d’un scalaire neutre : 1u = uDistributivité sur l’addition de vecteurs
k(u + v) = ku + kvDistributivité sur l’addition de scalaires
k1u + k2u = (k1 + k2)u
![Page 31: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/31.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
31
Propriétés de la multiplication scalaire de deux vecteurs
La produit scalaire de 2 vecteurs est un scalaireCommutativité : u v = v uAssociativité des scalaires :
k1u k2v = (k1k2)(u v)Distributivité sur une somme vectorielle :
u (v + w) = (u v ) + (u w)
![Page 32: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/32.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
32
Un peu de pratique maintenant!
Document exercices complémentaires.
Vous pouvez faire les exercices 6, 8, 9, 11.
![Page 33: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/33.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
33
Démonstrations à l’aide des vecteurs
Énoncer la loi de Chasles et l’appliquer à la vérification d’énoncés à l’aide des vecteurs.Construire ou compléter une démonstration.Déterminer si un énoncé, formulé à l’aide des vecteurs, est vrai ou faux. La réponse doit être justifiée …
![Page 34: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/34.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
34
Exercices 14 et 15
Document exercices complémentaires.
![Page 35: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/35.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
35
Résoudre des problèmes
Utiliser les vecteurs pour résoudre des problèmes.Justifier les étapes de sa démarche.
![Page 36: Mat-5110 : Introduction aux vecteurs](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081418/56813841550346895d9feb2f/html5/thumbnails/36.jpg)
Document original réalisé par Claude Boucher
36
Exercices 18 et 22
Document exercices complémentaires.