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Exercices de Mathematiques
Calculs avec le nombre j
Enonces
Enonces des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Soient a, b et c trois nombres complexes. Resoudre le systeme
x + y + z = a
x + jy + j2z = b
x + j2y + jz = cComment choisir a, b, c pour que les solutions soient reelles ?
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Soit Z = (x + jy + j2z)3, ou x, y et z sont trois nombres complexes donnes.
Montrer que lorsqu’on permute x, y ou z, le nombre Z ne peut prendre que deux valeurs.
A quelle condition ces deux valeurs sont-elles egales ?
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Soient x, y, z trois nombres reels.
Montrer que : (x + y + z)(x + jy + j2z)(x + j2y + jz) = x3 + y3 + z3 − 3xyz
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Determiner une CNS pour que A(a), B(b) et C(c) forment un triangle equilateral.
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Trouver une condition necessaire et suffisante sur z pour que les points A(z), B(z2), C(z3)forment un triangle equilateral.
Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]
Calculer les sommes
S = C 0
n + C 3n + C 6
n + · · ·T = C 1
n + C 4n + C 7
n + · · ·U = C 2
n + C 5n + C 8
n + · · ·
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Exercices de Mathematiques
Calculs avec le nombre j
Indications, resultats
Indications ou resultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour a l’enonce ]
Combiner les equations de maniere a isoler x, ou y, ou z.
Les solutions sont reelles ⇔ a est lui meme reel et b, c sont conjugues.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour a l’enonce ]
Verifier que Z(x, y, z) = (x + jy + j2z)3 est invariant par permutation circulaire.
Les deux valeurs possibles sont egales ⇔ x = y ou y = z ou x = z.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour a l’enonce ]
Verifier que (x + jy + j2z)(x + j2y + jz) = x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour a l’enonce ]
Le triangle ABC peut etre equilateral direct ou indirect.
La condition cherchee est a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc.
Indication pour l’exercice 5 [ Retour a l’enonce ]
Utiliser l’exercice precedent. On trouve z ∈ {0, 1, j, j2}.
Indication pour l’exercice 6 [ Retour a l’enonce ]
Developper (1 + x)n, avec x = 1, x = j, x = j2.
On trouve un systeme semblable a celui de l’exercice 1.
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Exercices de Mathematiques
Calculs avec le nombre j
Corriges
Corriges des exercices
Corrige de l’exercice 1 [ Retour a l’enonce ]
Appelons (1), (2) et (3) les trois equations. On va se servir de 1 + j + j2 = 0.
On effectue (1) + (2) + (3) et on trouve : 3x = a + b + c.
On effectue (1) + j2(2) + j(3) et on trouve : 3y = a + bj2 + cj.
On effectue (1) + j(2) + j2(3) et on trouve : 3z = a + bj + cj2.
Reciproquement x =a + b + c
3, y =
a + bj2 + cj
3, z =
a + bj + cj2
3sont solutions du systeme.
Si x, y, z sont reels, on constate que a = x + y + z est reel.
On voit aussi que c = x + j2y + jz = x + j y + j2z = x + jy + j2z = b.
Reciproquement les conditions a ∈ IR et c = b impliquent :
� x =a + b + c
3=
a + b + c
3=
a + c + b
3= x.
� y =a + bj2 + cj
3=
a + bj + cj2
3=
a + cj + bj2
3= y.
� z =a + bj + cj2
3=
a + bj2 + cj
3=
a + cj2 + bj
3= z.
Conclusion : les solutions du systeme sont reelles ⇔{
a ∈ IRc = b
Corrige de l’exercice 2 [ Retour a l’enonce ]
La quantite Z(x, y, z) = (x + jy + j2z)3 est invariante par permutation circulaire.
En effet Z(x, y, z) = j3(x + jy + j2z)3 = (jx + j2y + z)3 = Z(z, x, y) = Z(y, z, x).
De la meme maniere, on a Z(y, x, z) = Z(z, y, x) = Z(x, z, y).
Quand on permute x, y, z, le nombre Z ne peut prendre que les valeurs
{(x + jy + j2z)3
(y + jx + j2z)3
Etudions a quelles conditions ces deux valeurs sont egales.
Rappelons que pour tous complexes u et v, on a : u3 = v3 ⇔ u ∈ {v, jv, j2v}. Ainsi :
(x + jy + j2z)3 = (y + jx + j2z)3 ⇔
x + jy + j2z = y + jx + j2z
ou x + jy + j2z = jy + j2x + z
ou x + jy + j2z = j2y + x + jz
⇔
(1− j)x = (1− j)y
ou (1− j2)x = (1− j2)z
ou (j − j2)y = (j − j2)z
⇔
x = y
ou x = z
ou y = z
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Exercices de Mathematiques
Calculs avec le nombre j
Corriges
Corrige de l’exercice 3 [ Retour a l’enonce ]
Avec
{j3 = 11 + j + j2 = 0
on trouve : (x + jy + j2z)(x + j2y + jz) = x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz.
On en deduit : P = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz) = x3 + y3 + z3 − 3xyz.
Corrige de l’exercice 4 [ Retour a l’enonce ]
Il y a deux cas suivant que ABC est equilateral direct ou indirect (c’est-a-dire suivant que leparcours dans le sens trigonometrique donne A puis B puis C, ou A puis C puis B).
ABC est equilateral direct si et seulement si le vecteur BA se deduit du vecteur BC par larotation d’angle π
3 , c’est-a-dire si et seulement si on a l’egalite a− b = −j2(c− b).
Cette egalite equivaut a a− (1 + j2)b + j2c = 0, c’est-a-dire a a + jb + j2c = 0.
Si on echange b et c, on voit que ABC est equilateral indirect si a + j2b + jc = 0.
Finalement, ABC est equilateral si et seulement si :
(a + jb + j2c)(a + j2b + jc) = 0 ⇔ a2 + b2 + c2 + (j + j2)(ab + ac + bc) = 0
⇔ a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc
Corrige de l’exercice 5 [ Retour a l’enonce ]
On applique le resultat de l’exercice precedent. La condition est :
z2 + z4 + z6 = z3 + z4 + z5 ⇔ z2(z4 − z3 − z + 1) = 0 ⇔ z2(z − 1)(z3 − 1) = 0
On trouve donc z ∈ {0, 1, j, j2}.
Corrige de l’exercice 6 [ Retour a l’enonce ]
On utilise la formule du binome pour developper (1 + x)n, avec x = 1, x = j, x = j2.
On obtient successivement :
(1 + 1)n = C 0n + C 1
n + C 2n + C 3
n + C 4n + C 5
n + · · · = S + T + U
(1 + j)n = C 0n + jC 1
n + j2C 2n + C 3
n + jC 4n + j2C 5
n + · · · = S + jT + j2U
(1 + j2)n = C 0n + j2C 1
n + jC 2n + C 3
n + j2C 4n + jC 5
n + · · · = S + j2T + jU
Ainsi S, T, U sont solutions du systeme :
S + T + U = 2n : (1)
S + jT + j2U = (−j2)n : (2)
S + j2T + jU = (−j)n : (3)
(1) + (2) + (3) ⇒ S =2n+(−j2)n+(−j)n
3 =2n+2Re ((−j)n)
3 =2n+2 cos n
π3
3
(1) + j2(2) + j(3) ⇒ T =2n+j2(−j2)n+j(−j)n
3 =2n+2Re (j(−j)n)
3 =2n+2 cos(n−2)π
33
(1) + j(2) + j2(3) ⇒ U =2n+j(−j2)n+j2(−j)n
3 =2n+2Re (j2(−j)n)
3 =2n+2 cos(n−4)π
33
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