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Baustatik II
Kapitel VI
Die Direkte Steifigkeitsmethode(DSM)
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Lernziele dieses Kapitels
1. Motivation: Äquivalenz zu diskreten Federmassensystemen
2. Berechnung der Auflagerreaktionen
3. Behandlung von Lasteinwirkungen an Balkenelementen
4. Lösungsschritte für den Fall vorgegebener Randbedingungen
5. Statische Kondensation
Besonderheiten der DSM
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Besonderheiten der DSM
Motivation: Äquivalenz zu diskreten FedermassensystemenNehmen wir die folgende Struktur an:
DSM-Idealisiertes System
Auflagerreaktionen
DOFsq q
Knotenlasten
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1
(3)
(1) (2)
Ry2 = -1 (- bedeutet ↓)
R1 = 8.4
1 0f =
221 weil 1xf = −
31weil 8.4 8.4xf = − ⇐
Rx2 = 0
Gelichgewichtsbedingungen
Besonderheiten der DSM
Anwendungsbeispiel: Fachwerk
Diese folgen: i) entweder aus den Berechnungen der lokalen Elementkräfte:
Berechnung der Auflagerreaktionen fs
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sf f s=K u f3
3
10 100.4 10 10
wobei ,0.2 0 0
0 5
xf sf
y
uu
− − − − = = =
−
u K
10 10 610 10 0.4 60 0 0.2 00 5 1
s
− − − − − − = =
− −
f
Ry2 = -1Rx2 = 0Ry1 = -6
(- bedeutet ↓)
Rx1 = -6
6 2 8.4=
(- bedeutet ←)
Besonderheiten der DSM
Anwendungsbeispiel: Fachwerk
oder ii) aus der Untermatrix der fixierten Freiheitsgrade:
Berechnung der Auflagerreaktionen fs
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PP/2
PL/8 P/2
PL/8
l/2 l/2
P/2
PL/8P/2
PL/8
DSM Gleichung
Pfx1 fy2
1 2P/2
PL/8
P/2
PL/8
ux1
uy1
ux2
uy2
φ2φ1
intu + PK = ffx1
fy2
Besonderheiten der DSM
Behandlung von Lasteinwirkungen an Balkenelementen
In diesem Fall können wir die Tabellen 1 & 2 von Vl. 2 verwenden, um die verteilten und konzentrierten Lasten die innerhalb eines Balkenelements wirken, in äquivalente interne Kräfte an den Stabenden umzuwandeln:
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PP/2
PL/8 P/2
PL/8
l/2 l/2
P/2
PL/8P/2
PL/8
P/2
PL/8
P/2
PL/8
ux1
uy2
ux2
uy2
φ2φ1
= int+ Pf Ku
fx1fy2Lokale Elementkräfte
0
2
80
2
8
P
Pl
P
Pl
= −
intP
Besonderheiten der DSM
Behandlung von Lasteinwirkungen an Balkenelementen
In diesem Fall können wir die Tabelle 1 & 2 von Vl. 2 verwenden, um die verteilten und konzentrierten Lasten die innerhalb eines Balkenelements wirken, in äquivalente interne Kräfte an den Stabenden umzuwandeln:
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ql/2
qL2/12 ql/2l/2 l/2
ql/2
ql/2
ql/2 ql/2
qL2/12
ux1
uy2
ux2
uy2
φ2φ1fx1
fy2Lokale Elementkräfte
2
2
0
2
120
2
12
ql
ql
ql
ql
= −
intP
q
qL2/12
qL2/12 qL2/12
qL2/12
Besonderheiten der DSM
Behandlung von Lasteinwirkungen an Balkenelementen
In diesem Fall können wir die Tabelle 1 & 2 von Vl. 2 verwenden, um die verteilten und konzentrierten Lasten die innerhalb eines Balkenelements wirken, in äquivalente interne Kräfte an den Stabenden umzuwandeln:
= int+ Pf Ku
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syssy syss = intK u P+f
Achtung!
Die globale Gleichgewichtsgleichung wird:
Da alle Kräfte, Verschiebungen und Steifigkeiten addiert werden müssen, müssen diese in Bezug auf das gleiche (globale) Achsensystem bestimmt werden.
Die Transformation vom lokalen zum globalen System wird durch die Verwendung der Rotationsmatrizen berechnet, die wir schon in Vl. 5 eingeführt haben.
Besonderheiten der DSM
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Anwendungsbeispiel: Fachwerk
Beispiel:
@C. Felippa, Uni Colorado
Vorgegebene Randbedingungen
1 2
3
(3) (2)
(1)uy2=0.4
fx3=2
fy3=1
ux1=0
uy1= -0.5
x
y
3
3 3
10 2
200 2
L
E A
=
=2
2 2
1050
LE A
==
1
1 1
10100
LE A== ux2=0
Besonderheiten der DSM
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Anwendungsbeispiel: Fachwerk
@C. Felippa, Uni Colorado
1 1
1 1
2 2
2 2
3 3
3 3
20 10 10 0 10 1010 10 0 0 10 1010 0 10 0 0 00 0 0 5 0 510 10 0 0 10 1010 10 0 5 10 15
x x
y y
x x
y y
x x
y y
u fu fu fu fu fu f
− − − − − −
= −
− −
− − −
wobei sys sys sys=K u f
1 2
3
fy3=1
fx3=2
ux3
uy3
ux2
uy2ux1
uy1
Rx2
Ry2Ry1
Rx1
Besonderheiten der DSM
Cf. Systemsteifigkeitsmatrix von Vorlesung 5 für das Fachwerksbeispiel.
ux3 uy3ux2 uy2ux1 uy1
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Anwendungsbeispiel: Fachwerk
@C. Felippa, Uni Colorado
1
1
2
2
3
3
020 10 10 0 10 100.510 10 0 0 10 10010 0 10 0 0 0
0.40 0 0 5 0 510 10 0 0 10 10 210 10 0 5 10 15 1
x
y
x
y
x
y
RRRR
uu
− − − −− − −
= −
− −
− − −
1 2 1 20, 0, 0.5, 0.4x x y yu u u u= = = − =
d.h., Knoten 1 verschiebt sich nach unten und Knoten 2 verschiebtsich nach oben (vertikal). Durch Einfügen der bekannten Grössen in die Steifigkeitsgleichung erhalten wir:
1 2
3
fy3=1
fx3=2
Rx2
Ry2Ry1
Rx1
uy2=0.4ux1=0
uy1= -0.5
ux2=0
Besonderheiten der DSM
Annahme: Die aufgebrachten Kräfte sind wie in der folgenden Abbildung dargestellt, aber die vorgegebenen Verschiebungen ändern sich wie folgt:
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Anwendungsbeispiel: Fachwerk
@C. Felippa, Uni Colorado
3
3
00.5010 10 0 0 10 10 2
0.410 10 0 5 10 15 1
x
y
uu
− − −
= − − −
Die Zeilen, die den vorgegebenen Randbedingungen entsprechen, werden entfernt und die folgende Gleichung verbleibt:
Die Spalten 1 bis 4 werden entfernt und alle bekannten Begriffe werden von links nach rechts übertragen:
( ) ( )( ) ( ) ( )
3
3
10 0 10 0.5 0 0 0.410 10 2 310 0 10 0.5 0 5 0.410 15 1 2
x
y
uu
− × + × + + × − = − = − × + × + + − × −
Besonderheiten der DSM
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Anwendungsbeispiel: Fachwerk
@C. Felippa, Uni Colorado
3
3
0.50.2
x
y
uu
− =
[ ]0 0.5 0 0.4 0.5 0.2 Tsys = − −u
Besonderheiten der DSM
Dies sind die reduzierten Steifigkeitsgleichungen. Beachten Sie, dass die Koeffizientenmatrix gleich geblieben ist, wie bei dem reduzierten System mit den vorgeschriebenen Nullverschiebungen.
Die Berechnung des reduzierten Systems ergibt:
Das Ausfüllen der fehlenden Einträge mit den bekannten Werten aus den vorgeschriebenen Randbedingungen ergibt die vollständige Lösung für die Verschiebungen:
3
3
10 10 310 15 2
x
y
uu
− = −
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Anwendungsbeispiel: Fachwerk
@C. Felippa, Uni Colorado
1 2
3
(3) (2)
(1)uy2=0.4
fx3=2
fy3=1
ux1=0
uy1= -0.5
3
3 3
10 2
200 2
L
E A
=
=2
2 2
1050
LE A
==
1
1 1
10100
LE A== ux2=0
Besonderheiten der DSM
In diesem Beispiel verhält sich das Fachwerk statisch bestimmt. Die Kraftsysteme (internund extern) in solchen Strukturen sind unempfindlich gegenüber Bewegungen, wie z.B.Auflagersenkungen.
Wenn wir die Lösung betrachten und die in Lektion 5besprochenen Nachbearbeitungsschritte wiederholen,können wir feststellen, dass die Reaktionskräfte unddie inneren Elementkräfte sich nicht ändern.
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(3)
(2)
(1)
uxk
uyk
kϕ
uxm
uym
mϕ
uxl
uyl
lϕ
fk ϕ
fyk
fxk
Lokale FederelementeBesonderheiten der DSM
Wenn konzentrierte Federn im System vorhanden sind, fügen Sie diese einfach zu den diagonalen Steifigkeitskomponenten des Freiheitsgrads hinzu, auf den diese sich auswirken.
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11
21 22
31 32 33
1,1 1, 1
,1 , 1 ,
1,1 1, 1, 1
1,1 1, 1
,1 , 1 ,
1,1 1, 1, 1
fx
m m m
m m m m m fysys
m m m m m
k k k
k k k k k
k k k k k f
k kk kk k k
k k symmk k k k
k k k
k kk k k
k k k k ϕ
− − −
−
+ + + +
− − −
−
+ + + +
+
+=
+
K
(3)
(2)
(1)
uxk= uk-1
uyk= uk
1k kuϕ +=
1m muϕ +=
1 3 uϕ =
fk ϕ
fyk
fxk
Lokale FederelementeBesonderheiten der DSM
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Statische Kondensation
@C. Felippa, Uni Colorado
b b b b
i
Eine allgemeingültige Möglichkeit, interne DOFs zu eliminierenOft sind einige Freiheitsgrade mit Nullkräften verknüpft. Dies kann beispielsweise der Fall sein für:- Interne Freigaben, z.B. Gelenk mit 𝜑𝜑 ≠ 0 aber M = 0- Schalen/Platten, bei denen nur die Ränder belastet sind
Besonderheiten der DSM
In diesem Fall können wir die Struktur in primären b und sekundären Knoten itrennen.
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Statische Kondensation
@C. Felippa, Uni Colorado
b b b b
i
bb bi b b
ib ii i i
=
K K u fK K u f
Für die innere Verschiebungen aus der Gleichung der 2. Reihe lösen:
( )1i ii i ib b
−= −u K f K u
bb b b=K u f
Kondensierte Steifigkeitsgleichungen
1
1
bb bb bi ii ib
b b bi ii i
−
−
= −
= −
K K K K K
f f K K f
wobei:
Besonderheiten der DSM
Die Steifigkeitsmatrix kann dann auf folgende Weise partitioniert werden:
Mit der ersten Zeile der Gleichung ersetzen:
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Statische Kondensation
bb b b=K u f
Kondensierte Steifigkeitsgleichung
1bb bb bi ii ib
−= −K K K K Kwobei:
(e) EI, L
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
e
EI EI EI EIL L L LEI EI EI EI
L LL LEI EI EI EI
L L L LEI EI EI EI
L LL L
− −
= − − − −
K
bbKbiK
iiKibK
1u 2u
2ϕ1ϕ
Besonderheiten der DSM
Betrachten wir das Beispiel eines einseitig eingespannten Balkens, wobei 𝜑𝜑2 ≠ 0,aber M2=0 ist.
1u 2u1ϕ
1u
2ϕ
1ϕ
2u
2ϕ
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23 2 3
2 2 2 2
23 2 3
6 12 6 12 2 6 4 6 6 2 6
4612 6 12
bb
bb
EIEI EI EI
LL L L EIEI EI EI L EI EI EI
LL EI LL L L LEI
EI EI EIL
L L L
− = − − − ⇒ − − −
=
K
K
3 2 3
2 2
3 2 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
EI EI EIL L LEI EI EI
LL LEI EI EIL L L
− − − −
(e) EI, L
1u 2u
2ϕ1ϕ
Besonderheiten der DSM
Betrachten wir das Beispiel eines einseitig eingespannten Balkens:
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3 2 3
2 2
3 2 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
bb
EI EI EIL L LEI EI EI
LL LEI EI EIL L L
− = − − −
K
(e) EI, L
1u 2u
2ϕ1ϕ
Diese Werte waren schon im Kapitel 2 (Tabelle 3) definiert!
Besonderheiten der DSM
Betrachten wir das Beispiel eines einseitig eingespannten Balkens:
1u 2u1ϕ
1u
2u
1ϕ
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Zusammenfassung
Am Ende dieses Kapitels sollten Sie in der Lage sein:
1. die Steifigkeitsmatrizen für Fachwerk- und Balkenelemente aufzustellen.
2. eine Rahmenstruktur, mittels Fachwerk- und Trägerelementen zu
idealisieren.
3. die globale (System-) Steifigkeitsmatrix für die gesamte Struktur abzuleiten
4. den globalen (System-) Kraftvektor zu definieren.
5. 2 x 2 Systeme von Hand berechnen zu können.
6. Den Lösungsprozess von Tragwerksanalyse-Softwares zu verstehen, um die
erhaltenen Resultate beurteilen zu können.