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L’apprentissage des
quantités et des nombres
au cycle 1
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L’évolution des programmes Peu de modifications depuis 2002 sur les contenus.
Les inflexions les plus importantes concernent l’apprentissage des quantités et des nombres.
Raisons de ces inflexions :
Travaux dans le domaine de la psychologie
Travaux dans le domaine des neurosciences
Etudes didactiques, résultats des élèves
Quelques sources Michel Fayol : L’acquisition du nombre, Que sais-je, PUF
Stanislas Dehaene : La bosse des maths, Odile Jacob
Rémi Brissiaud : Premiers pas vers les maths, Retz
Roland Charnay : Comment enseigner les nombres et la numération décimale, Hatier
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Conséquence
Un rôle accru pour l’école maternelle dans
les apprentissages numériques, dès la PS.
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Collection, quantité, nombre
Certains écrits font apparaître une confusion entre
quantité et nombre, amenant à attribuer aux nombres des
compétences qui sont relatives aux quantités.
Précisions à partir de questions de comparaison…
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Ces deux collections diffèrent : l’une contient des
cerises, l’autre des pommes.
Ces deux collections se ressemblent : elles contiennent
toutes deux des fruits.
Concept de « catégorisation »
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Ces deux collections diffèrent : la quantité de cerises
est plus importante que la quantité de pommes.
Ces deux collections se ressemblent : les volumes de
cerises et de pommes sont voisins.
Concept de « grandeur »
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Il y a plus de cerises dans le panier de gauche que
dans celui de droite.
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Il y a autant de pommes que de poires.
Concept de « quantité » (effectif)
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Ces deux collections n’étant pas visibles simultanément, comment comparer les quantités de poires ?
Concept de nombre pour garder la mémoire des « quantités » et les comparer
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Comment caractériser le
concept de nombre ?
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Ceci n’est
pas le
nombre
trois…
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Langage
- mots
- symboles
- représentations schématiques
Problèmes que la maitrise du concept
permet de résoudre
Les composantes du concept de nombre (d’après G. Vergnaud)
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Propriétés et techniques
- définitions
- propriétés
- résultats
- procédures
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Composante « langage »
Comment évoquer les nombres ?
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Triple code Stanislas Dehaene
représentation analogique
Représentation symbolique
Représentation verbale
(mots dits ou écrits)
1
2
trois
three 3
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Fonction des représentations en plus de la fonction d’évocation des quantités
représentation analogique
représentation symbolique
représentation verbale
13
R. C
ha
rna
y &
M.P
. Dussu
c - s
ep
tem
bre
20
15
Capacité antique :
perception globale des
petites quantité, estimation,
représentations mentales
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La capacité à circuler entre ces types de
représentations, à passer de l’une à l’autre, à les
associer témoigne d’une certaine maîtrise des
nombres.
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Ces trois types de représentations ne se mettent
pas en place simultanément.
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Capacités des très jeunes
enfants avant leur arrivée à l’école
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Elles concernent les quantités (vers 12 mois)
Discrimination des très petites quantités entre elles
Un objet de deux objets
Puis deux objets de trois objets
Mais pas trois objets de quatre objets
Discrimination des très petites quantités (jusqu’à trois) de quantités plus importantes
Réaction aux modifications de très petites quantités (capacité objet de controverse)
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Capacités qui semblent donc limitées aux quantités jusqu’à trois.
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Discrimination des très petites quantités (jusqu’à
3)
Avant 12 mois (cité par Dehaene)
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Discrimination de quantités très différentes, par
estimation
Quantités dont l’une est au moins le double de l’autre, par exemple 8 et 16
(cité par Dehanene)
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Dénombrer Un apprentissage long et difficile
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Dénombrer… Dénombrer, ce n’est pas compter…
Compter : associer un objet à chaque mot de la suite
des mots-nombres
Dénombrer : utiliser un moyen qui permet d’exprimer
une quantité par un nombre
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un deux trois quatre cinq six
Alors, combien y a-t-il d’objets ?
L’enfant recommence « un, deux, trois… »
Il compte mais ne dénombre pas.
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Dénombrer par « subitizing »
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Le subitizing s’arrête aux environs de 3, y compris chez
les adultes.
Il est indépendant de l’arrangement spatial des objets.
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Tiré de Dehaene
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Forme de subitizing étendu à des
organisations particulières des objets
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Dénombrer par « comptage »
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015
un
deux
trois
huit
un
deux
trois
Etiqueter chaque objet
par un mot nombre
Identifier le dernier mot-
nombre comme cardinal
de la collection
Comprendre que les
objets peuvent être
comptés dans n’importe
quel ordre
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Un principe supplémentaire essentiel le comptage est une suite de dénombrements
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un
un deux
un deux
trois
Apprentissage du fait que chaque nombre est
formé à partir du précédent en ajoutant un.
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Le dénombrement par comptage
Un apprentissage lent et difficile : cf. les taux d’erreurs
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Le dénombrement par comptage Quelques difficultés
Suite verbale non stable, non conventionnelle
Enumération difficile (considérer une fois et une seule chaque
objet de la collection)
Ordre, disposition spatiale, nature des objets (déplaçables ou
non…)
Mauvaise coordination de la correspondance « un objet avec un
mot-nombre »
Absence de cardinalisation lié à un comptage-numérotage
plutôt qu’à un comptage-dénombrement
Très souvent, les élèves de PS ne comprennent pas le
dénombrement par comptage !
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Une nécessité : la chaîne verbale Cinq niveaux d’organisation
Chapelet (undeuxtroisquatre) : pas de signification arithmétique
Chaîne insécable : pas de possibilité de commencer à un point quelconque
Chaîne sécable : compter à partir de ; compter jusqu’à ; en avant et en arrière
Chaîne terminale : avancer de 4 à partir de 7 ; compter de 7 à 11 et dire de combien on a avancé
Chaîne bidirectionnelle : chaîne terminale dans les deux sens (en avant et en arrière)
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La comptine (chaine verbale)
Utiliser des « chansons » qui la séquencent de manières différentes
Importance de l’entrainement
◦ A partir de 1
◦ A partir de 1 jusqu'à…
◦ A partir de … jusqu'à…
◦ A rebours (décompter)
◦ Dire le suivant ou le précédent
◦ Dire n nombres à partir de …en avant, en arrière
◦ Dire les nombres de … à …, en comptant les nombres énumérés
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Chaîne verbale Evolution de la partie conventionnelle
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Schéma emprunté à Michel Fayol, d’après Fuson (1982)
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Un apprentissage lent : d’abord par cœur, puis
aidé par la découverte des principes de formation
des noms de nombres
combinaisons additives : dix-sept, trente-trois…
puis multiplicatives : quatre-vingts…
Le niveau de structuration de la chaîne verbale
en conditionne les utilisations ; il est possible
aussi que les utilisations aident à la structuration
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Influence du code verbal
sur l’acquisition de la chaine verbale
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015
Schéma emprunté à Michel Fayol
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R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015
Schéma emprunté à Michel Fayol
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Dénombrer par « calcul » (calcul de type additif en maternelle)
Par sur-comptage au-delà de x
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six, sept
• Par représentation et lecture directe du résultat sur
les doigts
• Par récupération d’un résultat en mémoire : deux et
deux, c’est quatre
• Par utilisation d’une connaissance : un de plus, c’est le
suivant
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Composante « problèmes »
et propriétés et techniques
permettant leur résolution
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Conserver la mémoire des quantités
Evoquer une quantité sans avoir à la
montrer
Réaliser une quantité égale à une
quantité connue
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R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015
Exemples de problèmes de la PS à la GS
Une situation "de référence"
Préparer juste ce qu'il faut de bouchons
pour en avoir un pour chaque bouteille.
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Collections assez nombreuses et proches Placer les bouchons : respect de la contrainte
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- Activité pratique (possibilité de placer un bouchon à côté de chaque bouteille)
- Pas de nécessité de prendre en compte les quantités pour la résolution
- Pas de problème mathématique
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Jusqu'à 10 bouteilles, bouchons proches Préparer les bouchons sur un plateau avant de les placer
Vérifier ensuite par un placement effectif
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- Problème mathématique : assurer l’égalité des quantités - Procédures
- Correspondance un à un ou par paquets quantités - Dénombrement (subitizing pour 3 bouteilles, comptage ou
décomposition pour plus de 4 ou 5 bouteilles) nombres - Variable : bouteilles déplaçables ou pas
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Collections éloignées Aller chercher les bouchons en plusieurs, puis en une seule fois
Vérifier ensuite par un placement effectif
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- Problème mathématique : assurer l’égalité des quantités - Procédures
- Utilisation d’une quantité intermédiaire (dessin, doigts, choix d’une constellation…) quantités
- Dénombrement par comptage ou décomposition nombres - Variable : nombre d’essais autorisés
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Collections éloignées Commander oralement les bouchons (une seule fois)
Vérifier ensuite par un placement effectif
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- Problème mathématique : assurer l’égalité des quantités - Procédures
- Dénombrement par comptage ou décomposition nombres - Variable : quantité de bouteilles
Suite possible (fin GS ou CP) : commande écrite (sans dessiner)
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Collections éloignées, bouchons par paquets Préparer les bouchons sur un plateau avant de les placer
Vérifier ensuite par un placement effectif
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- Problème mathématique : assurer l’égalité des quantités
- Procédures
- Décomposer la quantité de bouteilles en paquets
- Composer des paquets pour atteindre la quantité de
bouteilles
- Variable : nombre d’essais autorisés
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Un exemple d’habillage sur ce type de problème CAP MATHS GS
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Comparer des quantités
Qui a le plus ? Qui a le moins ?
En particulier, comparer des quantités qui
ne sont pas visibles simultanément.
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Evolution d’une situation D’après Les médailles de champion CAP MATHS GS
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015
Des casiers pour les
médailles.
Des sachets de
médailles.
Un sachet de médailles étant donné, choisir un casier qui puisse les contenir
toutes.
On ne peut placer qu’une médaille par case.
Certaines cases peuvent rester vides.
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Ce qui peut varier
Les casiers parmi lesquels il faut choisir
Un seul : convient-il pour tel lot de médailles ?
Deux : faut-il choisir celui-ci ou celui-là pour tel
lot de médailles ?
Plus de deux : lequel ou lesquels peut-on choisir
pour tel lot de médailles ?
Un seul casier possible ou plusieurs casiers possibles
Nombre de cases indiqué ou pas
S’il est indiqué, est-ce au verso ou au recto ?
…/ …
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Ce qui peut varier
Le lot de médailles
Médailles « libres » (pas mises en sachets)
Médailles « pas libres » (mises en sachets
transparents)
Médailles « pas libres » (mises en sachets opaques
avec nombres indiqués)
La distance entre les casiers et le lot de médailles
Les casiers et le lot de médailles peuvent être
visibles simultanément ou pas
Les quantités en jeu
Taille des quantités permettant ou non le recours au
subitzing
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015 47
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Des tâches et des procédures variées de la PS à la MS Des exemples
Médailles « libres » et casiers à disposition : il suffit de placer les
médailles
Travail sur les collections (pas de maths)
Casiers et sachet transparent, visibles simultanément
Travail sur les quantités (et les nombres éventuellement)
Casiers et sachet transparent, non visibles simultanément
Travail sur les nombres
Casiers avec nombres et sachet transparent, non visibles
simultanément
Travail sur les nombres
Casiers et sachet opaques avec nombres
Travail sur les nombres
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Conserver la mémoire des positions
Situer ou retrouver un objet dans une
liste rangée
Placer un objet dans une liste identique à
une liste donnée qui contient déjà un
objet
Situer un événement dans le temps
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Exemple de situation
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015
Retrouver l’enveloppe dans laquelle une image a été mise.
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Contraintes et procédures
Pas de contrainte
Montrer l’enveloppe
Dessiner un signe sur l’enveloppe
Dessiner les enveloppes et marquer l’enveloppe
Contrainte : ne pas dessiner, ne pas montrer
Indiquer le rang occupé par l’enveloppe à l’aide d’un
nombre
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Anticiper un résultat sur des
quantités ou des positions en l’absence de celles-ci
Prévoir ce que devient une quantité qui subit
une augmentation ou une diminution
Prévoir le résultat du partage d’une quantité
Prévoir la position atteinte suite à un
déplacement en avant ou en arrière
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Evolution d’une situation D’après Le bocal de bonbons CAP MATHS GS
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015
Un bocal de bonbons dont le contenu est connu et dans lequel on ajoute ou
enlève un certain nombre de bonbons.
Trouver la quantité de bonbons qu’il contient alors.
Autre problème possible
On veut partager le contenu du bocal entre plusieurs enfants.
Trouver la quantité de bonbons que chacun recevra.
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Ce qui peut varier
Le bocal
Ouvert ou fermé
On peut ou non sortir les bonbons pour les dénombrer
Transparent ou opaque
S’il est opaque et fermé, l’anticipation est le seul moyen de répondre
Les quantités initiales
Elles permettent ou non une représentation mentale ou figurée des quantités
Les quantités de bonbons ajoutés ou retirés
Elles influent sur les procédures, notamment dans le cas où
l’anticipation est nécessaire.
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015 54
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Une grande variété de procédures
Celles qui relèvent du subitizing ou comptage
Dénombrement direct des bonbons dans le bocal ou sortis du bocal
Recomptage par représentation des quantités initiales et ajoutées (ou enlevées) : doigts, dessin…
Surcomptage (ou décomptage) en partant de la quantité initiale de bonbons
Celles qui relèvent du calcul sur les quantités
Reconnaissance des quantités sur une figuration (3 doigts levés, puis 2 doigts levés 5 doigts levés)
Appui sur une connaissance : un objet de plus (ou de moins), c’est le nombre d’après ou le nombre d’avant
Celles qui relèvent du calcul sur les nombres
Je sais que deux et encore deux, c’est quatre
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015 55
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ANTICIPER / VALIDER La “manipulation”, oui… mais à sa bonne place !
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Manipuler
Favorise
l’appropriation de la
situation et du
problème
Anticiper
Incite à l'expérience
mentale
Permet la validation de
la réponse ou d'une
procédure
Oblige à élaborer des
procédures
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Trois aspects importants
La possibilité pour l’enfant d’essayer, de se
tromper, de recommencer
Les interactions entre élèves : imitation, aide,
confrontation, observation
Les interactions avec l’enseignant :
verbalisation, sollicitation
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Les repères fondamentaux relatifs aux premiers
apprentissage des quantités et des nombres
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015
Domaines successifs - Très petits nombres
(jusqu’à 3 ou 4)
- Nombres jusqu’à 10 ou
12
- Nombres jusqu’à 20
Dénombrement Expression des
quantités
Essentiellement de
nature additive : - Ajout de 1
- Composition,
décomposition
- Autour de 5 et de 10
- Reconnaissance
immédiate
- Comptage
- Composition de
quantités
- Analogique (collection-témoin)
- Verbale
- Symbolique (chiffres)
Problèmes sur les
quantités et les
rangs - Exprimer
- Egaliser
- Comparer
- Anticiper (Augmentation, diminution,
partage)
- Procédures non
numériques
- Procédures
numériques
Structuration de
domaines
numériques
Stratégies
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Quelques repères de
progressivité de la PS à la GS
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015 59
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Petite section Deux pistes de travail :
- Assurer une première maîtrise des quantités et des
nombres jusqu’à trois (voire quatre)
- Assurer une maîtrise des quantités dans des cas où le
dénombrement n’est pas possible
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015 60
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Langage
- Doigts (quantités témoins)
- Mots-nombres
Problèmes - Comparer des quantités
- Egaliser des quantités
Quantités et nombres jusqu’à trois (ou quatre)
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015 61
Propriétés et techniques
- Trois c’est plus que deux
- Trois c’est deux et
encore un
- Trois c’est un et un
et encore un
- Subitizing
- Points du dé
-
Langage - Beaucoup, pas beaucoup
- Pareil, pas pareil
- Assez, pas assez, trop
Problèmes - Comparer des quantités
- Egaliser des quantités
Quantités dont le dénombrement est impossible
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015 62
Propriétés et techniques
- Invariance des quantités par
déplacement des
objets
- Estimation
- Correspondance
terme à terme
-
Moyenne section Trois pistes de travail :
- Assurer une maîtrise des quantités et des nombres lorsque le recours au comptage n’est pas nécessaire (reconnaissance immédiate ou rapide jusqu’à cinq ou six).
- Assurer une première maîtrise des quantités et des nombres lorsque une reconnaissance immédiate n’est plus possible.
- Assurer une maîtrise des quantités dans des cas où le dénombrement n’est pas possible.
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015 63
-
Langage
- Doigts et dés (quantités témoins)
- Mots-nombres et comptine
verbale
Problèmes - Comparer des quantités
- Egaliser des quantités
(en particulier éloignées)
Quantités et nombres jusqu’à environ dix
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015 64
Propriétés et techniques
- Un de plus (de moins) et le suivant
(le précédent)
- Suite verbale
- Principes de
l’énumération
- Dénombrement
par comptage de
un en un
- Utilisation des
propriétés
-
Langage - Beaucoup, pas beaucoup
- Pareil, pas pareil
- Assez, pas assez, trop
Problèmes - Comparer des quantités
- Egaliser des quantités
Quantités dont le dénombrement est impossible
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015 65
Propriétés et techniques
- Invariance des quantités par
déplacement des
objets
- Estimation
- Correspondance
terme à terme
-
Grande section Pistes de travail
- Utiliser les nombres pour résoudre des problèmes
(nombres comme outils).
- Etudier les nombres (nombres comme objets d’étude).
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015 66
-
Langage
- Doigts (quantités témoins)
- Mots-nombres
- Ecritures chiffrées (jusqu’à 10)
- Circulation entre les différents
registres de langage
Problèmes - Comparer des quantités
- Egaliser des quantités
- Anticiper (augmentation,
diminution, partage)
- Exprimer une position
Quantités et nombres
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015 67
Propriétés et techniques
- Un de plus (de moins) et le suivant (le précédent)
-Composition et décomposition de petites quantités ou nombres
(verbalement)
- Premières régularités des suites
orales et écrites
- Suite verbale (en avant, en arrière, à partir de …, etc.) jusqu’à trente
- Dénombrement par subitizing,
reconnaissance rapide, comptage
de un en un (au moins jusqu’à 10)
- Utilisation des propriétés
-
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015 68
un deux trois quatre cinq
1 2 3 4 5 6 7
• Trouver le mot-nombre associé à une écriture chiffrée
• Trouver l’écriture chiffrée associée à un mot-nombre
un deux trois quatre cinq
1 2 3 4 5 6 7
Ecritures chiffrées
Bande numérique collective ou individuelle en GS
-
Merci de votre attention Roland Charnay
Septembre 2015
R. Charnay & M.P. Dussuc - septembre 2015 69