Méthodes d'intégrationsApproches déterministes

Quadratures

Approches déterministesQuadratures

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Qu'est ce qu'intégrer

Intégration

I=∫a

b

f ( x )d x

Mesurer l'aire sous une courbe.

Définitions :

f(x) est l'intégrande

a = borne inférieure

b = borne supérieure

f(x)

a b

y

x

∫a

b

f ( x )d x

Intégrale au sens de Riemann

I n=∑k=1

n

f ( x k ) (x k−x k−1)

flimn→∞

I n=∫x0

xn

f ( x )= I

Intégration numérique 1D - Rectangles● Méthode des rectangles

– A droite

– A gauche

● Convergence

– Si f est C0 : O (n-1)

I n=b−an∑k=1

n

f (x k )

I n=b−an∑k=1

n

f (x k−1 )

Intégration numérique 1D – Points du milieu● Méthode des points du milieu

● Convergence

– Si f est C0 : O (n-1)

– Si f est au moins C2 : O (n-2)

I n=b−an∑k=1

n

f ( x k +1− xk2 )

Intégration numérique 1D● Intervalles uniformes

● Méthode des rectangles

● Méthode des trapèzes

● Formule de Simpson

I n=b−an ∑k=1

n

f (x k )

Convergence

O(n-1)

f

I n=b−a2n ∑k=1

n

(f ( x k−1 )+f (x k ))O(n-2)

I n=b−a6n ∑k=1

n

(f ( x k−1 )+4f (x k−1/2)+f ( xk ))f

O(n-4)

I=∫−1

1f ( x ) d x≃∑

m=1

M

W m f (εm )

Poids Positions d'intégration

● Les poids et les positions maximisent la précision● M positions pour l'espace des polynômes de degré 2M-1● Le calcul des intégrales est exact sur cet espace

● Les positions sont les racines du polynôme de Legendre● Base de polynômes orthogonale sur [-1,1]

Quadrature de Gauss en 1D

∀ p∈P2M−1 ,∫−1

1p (x )d x=∑

m=1

M

W mp(εm)

PM ( x)=1

2M M !dM

d xM(( x2−1 )

M )

1D - M = 1

I=∫−1

1f ( x )d x=w1 f ( x1)

Pour les polynômes de degré au plus 1

⇒ w1=2Pour f(x) = 1

⇒ x1=0Pour f(x) = x

1D - M = 2

121 ww

ε1=−√33, ε2=

√33

I=∫−1

1f ( x )d x=w1 f ( x1)+w2f ( x2)

Pour les polynômes de degré au plus 3

Calcul des positions, racine de

d2

dε2 ( (ε2−1 )

2)=0=4(3ε2−1)

⇒ w1+w2=2Pour f(x) = 1

⇒−w1+w2=0Pour f(x) = x

Calcul des poids

I=∫−1

1

∫−1

1f ( s , t ) d s d t

s

t

1

1

1 1

3

1,

3

1

3

1,

3

1

3

1,

3

1

3

1,

3

1

I≈∫−1

1 (∑j=1

M

W j f (s , t j )) ds≈∑i=1

M

∑j=1

M

W iW j f ( si ,t j )

En utilisant la forme 1D pour t

En utilisant la forme 1D pour s

2D – M = 2

Quadrature de Gauss 2D : domaine triangulaire

s

t

1

1

s=1-tt

t

Intégrale sur le domaine de référence

I=∫t=0

1

∫s=0

1−tf (s , t )d s d t

≈∑n=1

N

W n f ( sn , t n)

Contraintes sur les poids – fonction constante

Si f(s,t)=1

I=∫t=0

1

∫s=0

1−tf (s , t )d s d t=

12

=∑nW n

∴∑nW n=

12

Quadrature de Gauss sur un triangle : M = 1

f ( s , t )~ 1s t

3

1,

3

1

2

1fI

s

t

1

11/3

1/3

Démonstration

f ( s , t )=α s+βtLes polynômes de degré 1 s'écrivent

321

1

0

1

0 !3

1

!3

1

2

1dsdt),(f

t

t

sts

En intégrant, on obtient

D'où la contrainte

∫t=0

1

∫s=0

1−tf (s ,t ) d sd t=W 1 f (s1 , t 1)

∴13 !

α+13 !β=W 1 (α s1+βt 1 )

Ainsi

!3

1;

!3

1;

2

111111 tWsWW

Solution exacte pour tous les polynômes de degré au plus 2

f ( s , t )= 1s t

s2 st t 2

I≈16

f ( 12 ,12 )+

16

f ( 12 ,0)+ 16

f (0, 12 )s

t

1

1

1/2

1/22

1

3

Quadrature de Gauss sur un triangle : M = 3

I ≈−2796

f ( 13 ,13 )+

2596

f (0 .2,0 . 6 )+2596

f (0 .2,0 .2 )+2596

f (0 .6,0 . 2 )

s

t

1

1 2

13 4

(1/3,1/3)

(0.2,0.2)

(0.2,0.6)

(0.6,0.2)

Quadrature de Gauss sur un triangle : M = 4

Solution exacte pour tous les polynômes de degré au plus 3

f ( s , t )= 1s t

s2 st t 2

s3 s2 t st 2 t3

Recommended order of integration“Finite Element Procedures” by K. –J. Bathe

Convergence et dimension

● En 1D

– Convergence en O(n-(c+1))

– c = continuité de la fonction

● En dimension plus élevée d

– Pour n valeurs / mailles

– Taille intervalle 1D n1/d

– Convergence en O(n-(c+1)/d)

Méthodes d'intégrationsApproches stochastiques

Méthode / algorithme probabiliste● Principe : introduire de l'aléatoire

– Choix de solutions aléatoires, et garder la meilleure

– Mélanger les données

– Choisir des valeurs aléatoires

● Pour l'intégration : intégration de Monte Carlo

Probabilité en espace continue : 1D● Échantillons aléatoires {Xi}

● Densité de probabilité (PDF)

– Probabilité associée

– Probabilité totale

pdf ( x )≥0

P [ X i∈[ x , x+dx ] ]=pdf (x )d x

∫−∞

∞

pdf ( x )d x=1

Probabilité en espace continue : 1D● Fonction cumulative (CDF)

P [Xi∈[a , b ] ]=cdf (b)−cdf (a )

cdf (a)=P (X ∈[−∞ ,a ] )=∫−∞

apdf ( x )d x

CDF vs PDF

0

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

pdf (x)=π2

sin (π x )

cdf (x )=(1−cos (π x ) )

2

Intégrale de Lebesgue● Plus générique que Riemann

– Notion de mesure de l'espace () 0

I=∫ f (x)μ (d x )

Espérance – Variance – Écart-type● Espérance : valeur moyenne

● Variance : distance au carré à la moyenne

● Écart-type : distance à la moyenne

E [g(X )]=∫g (x )pdf ( x )d x

V [g (X )]=∫ (g(x)−E [g(X )] )2pdf ( x )d x

V [g (X )]=E [g2(X ) ]−E2 [g(X )]

σ [g(X ) ]=√V [g(X )]

● Estimateur

● Biais

– Différence valeur attendue vs cherchée

– Estimateur sans biais

I n=∑i=1

n

αi f (x i )I n=∑

i=1

n 1n

1pdf (X i )

f (X i )

biais=E [ I n ]− I

Méthode de Monte Carlo

biais=0

Convergence● Variance

● Convergence

● Meilleur choix de la PDF

V [ I n ]=E [ I n2]−E [ I n ]

2=

1n

V [ I 1 ]

σ [ I n ]=1

√nσ [ I 1 ]

pdf (x )=1I

f (x )⇒V [In ]=0

Choix de la PDF / Importance Sampling● Algorithme d'échantillonnage

– En fonction d'une PDF

● i = nombre aléatoire uniforme (drand48(), …)

● xi ← cdf-1(i)

● Choix de la PDF

– Rappel, l'idéal

– Approximation par une fonction proche

● Doit être intégrable● L'intégrale doit être inversible

pdf (x )= 1

∫ f (x)d xf (x )

Importance Sampling

0

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

pdf (x)=π2

sin (π x )

cdf (x)=(1−cos (π x ))

2

x

Choix de la PDF / Importance Sampling● Algorithme d'échantillonnage

● Choix de la PDF

– Version tabulée

● Échantillonnage de la fonction à intégrer● PDF constante par morceau● CDF linéaire par morceau● Calcul de l’échantillon en O( ln (k) )

Définitions xD● Xi = (X1,i, ...... , Xn,i)

● Probabilité conditionnelle

– Probabilité de Xj,i sachant que l'on connaît les autres

– Propriétés (Bayes)pdf ( x j∣{xk ,k≠ j })≥0

pdf ( x1, .. , xn)=pdf (x j∣{xk , k≠ j })pdf (x1 , ... , x j−1 , x j+1 , ... , xn )

pdf ( x1 , ... , x j−1 , x j+1 , ... xn)=∫ pdf ( x1 , .. , xn)d x j

Définitions xD

● Xi = (X1,i, ...... , Xn,i)

● Variables indépendantes

pdf ( x j∣{xk ,k≠ j })=pdf ( x j )

pdf ( x1, .. , xn)=∏ jpdf (x j )

Définitions xD

● Xi = (X1,i, ...... , Xn,i)

● CDF conditionnelle

cdf (a j∣{ak , k≠ j })=∫−∞a j

pdf (x j∣{xk=ak , k≠ j })dx j

cdf (a j∣{ak , k≠ j })=∫−∞

a jpdf ( x1 , ... , xn )dx j

pdf ( x1 , ... , x j−1 , x j+1 , ... , xn)

cdf (a j∣{ak , k≠ j })=∫−∞

a jpdf (x1 , ... , xn )dx j

∫−∞+∞

pdf (x1 , ... , xn )dx j

Importance Sampling xD● Exemple en 2D: (X,Y)

● Données

– CDF(X)

– CDF(Y|X)

● Algorithme

– e1 et e2 : valeurs aléatoires

– X tel que e1 = CDF(X)

– Y tel que e2 = CDF(Y|X)

Convergence et dimension● En 1D

– Convergence en O(n-(c+1))

– c = continuité de la fonction

● En dimension plus élevée d

– Pour n valeurs / mailles

– Taille intervalle 1D n1/d

– Convergence en O(n-c/d)

– Monte Carlo en O(n-1/2)