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IFT1575 Modles de recherche oprationnelle (RO)
2. Programmation linaire
a. Modlisation
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2. Programmation linaire 2
Programmation linaire (PL)
Problme classique de planification : affecter desressources limites plusieurs activits concurrentes
Programme = Plan (solution de ce problme)
Programmation mathmatique (RO) Programmationinformatique Fonction linaire: fonction dans laquelle chaque variable
volue linairement
f(x1, x2, , xn) = c1 x1 + c2x2+ + cnxn Modle de PL = Modle de programmation mathmatique
dans lequel toutes les fonctions sont linaires
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2. Programmation linaire 3
Exemple dun modle de PL
Donnes du problme (Wyndor Glass, sec. 3.1 H&L): Deux types de produits (produit 1, produit 2) Trois usines (usine 1, usine 2, usine 3) Capacit de production pour chaque usine (par semaine) Profit par lot (20 units) de chaque produit
50003000Profit($)/lot
1823Usine 3
1220Usine 2
401Usine 1
Capacit deproduction (h)
Produit 2 (tpsde production,
h/lot)
Produit 1 (tpsde production,
h/lot)
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2. Programmation linaire 4
Exemple dun modle de PL (suite)
Chaque lot du produit 1 (2) est le rsultat combinde la production aux usines 1 et 3 (2 et 3) nonc du problme: Dterminer le taux de
production pour chaque produit (nombre delots/semaine) de faon maximiser le profit total
Variables de dcision: x1 = nombre de lots du produit 1 x2 = nombre de lots du produit 2
Fonction objectif: Z = profit total Z= 3 x1+ 5 x2 (profit total en milliers de $) Maximiser Z
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2. Programmation linaire 5
Exemple dun modle de PL (suite)
Contraintes de capacit de production x1 4 (usine 1) 2 x2 12 (usine 2) 3 x1+ 2 x2 18 (usine 3)
Contraintes de non ngativit x1 0, x2 0 (nombre dunits produites 0)
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2. Programmation linaire 6
Exemple dun modle de PL (suite)
MaximiserZ= 3 x1+ 5 x2
sous les contraintes:x1 4 (usine 1)
2x2 12 (usine 2)3x1+ 2x2 18 (usine 3)x10, x20 (contraintes de non ngativit)
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2. Programmation linaire 7
Rsolution graphique
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2. Programmation linaire 8
Rsolution graphique (suite)
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2. Programmation linaire 9
Mthode graphique
Tracer les droites correspondant aux contraintes Dterminer le domaine ralisable en vrifiant le sens
des ingalits pour chaque contrainte Tracer les droites correspondant la variation de
lobjectif Dans lexemple:Z= 3x1+ 5x2 x2= -(3/5) x1+ (1/5) Z
Ordonne lorigine (dpend de la valeur de Z): (1/5) Z Pente: - 3/5 Maximiser: augmenter Z
Faire cet exemple avec le IOR Tutorial
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2. Programmation linaire 10
Mthode graphique (suite)
Autre exemple dans le OR Tutor Voir aussi Worked Exampleschap. 3 (CD) Uniquement pour les modles deux variables Plus de deux variables: mthode du simplexe Logiciels proposant la mthode du simplexe:
Excel Solver
LINDO (CD) CPLEX (CD)
Problme Wyndor Glassavec Excel Solver
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2. Programmation linaire 11
Excel Solver: conseils dutilisation
Entrer dabord les donnes Les identifier clairement avec des noms dintervalles Entrer chaque donne dans une seule cellule (ne pas
rpter la mme donne dans plusieurs formules) Utiliser des couleurs et des bordures pour distinguer
les diffrents types de cellules: Cellules donnes Cellules variables Cellules rsultats Cellule cible (objectif)
Lire sec. 3.6 (H&L) et chap. 21 (CD)
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2. Programmation linaire 12
Modle gnral de PL
m ressources (3 usines) nactivits (2 produits) Niveau de lactivitj(taux de production du produitj): xj
Mesure de performance globale (profit total): Z Accroissement de Zrsultant de laugmentation dune
unit du niveau de lactivitj: cj Quantit disponible de la ressource i: b
i Quantit de ressource iconsomme par lactivitj: aij
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2. Programmation linaire 13
Modle gnral de PL (suite)
ObjectifMaximiser Z = c1 x1 + c2x2+ + cnxn
Contraintes fonctionnelles
a11x1+ a12x2 + + a1nxn b1a21x1+ a22x2 + + a2nxn b2
am1x1+ am2x2 + + amnxn
bm Contraintes de non ngativit
x1 0, x 2 0, , x n 0
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2. Programmation linaire 14
Modle gnral de PL (suite)
On appelle ce modle forme standard Dautres formes sont possibles et dfinissent aussi
des modles de PL Minimiser au lieu de Maximiser: min f(x)= - max f(x) , = dans certaines contraintes fonctionnelles au lieu de Certaines variables peuvent ne pas tre forces tre 0
x -4 x + 4 0
dfinir y = x + 4, y 0 -10 x -2 0 x + 10 8
dfinir y = x + 10, y 0
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2. Programmation linaire 15
Terminologie de base en PL
Solution ralisable: solution pour laquelle toutes lescontraintes sont satisfaites: domaine ralisable Solution non ralisable: solution pour laquelle au
moins une contrainte est viole: domaine ralisable Solution optimale: solution ayant la meilleure valeur
possible de lobjectif Modle nayant aucune solution optimale:
Domaine ralisable vide Objectif non born
Modle ayant une infinit de solutions optimales
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2. Programmation linaire 16
Domaine ralisable vide
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2. Programmation linaire 17
Objectif non born
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2. Programmation linaire 18
Infinit de solutions optimales
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2. Programmation linaire 19
Interprtation gomtrique
Point extrme du domaine ralisable : solutionralisable correspondant un coin du domaineralisable
En deux dimensions, un coin est la rencontre de deux
droites (ou plus) dfinies par les frontires descontraintes
Thorme: Supposons quun modle de PL a un
domaine ralisable non vide et born; alors il existeau moins une solution optimale correspondant unpoint extrme du domaine ralisable
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2. Programmation linaire 20
Points extrmes