Download - IAE Poutres planes
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 2 / 93
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Introduction
Introduction : la mécanique des structures
Le point de départ de toute modélisation en mécanique des solides est ladescription géométrique du solide étudié.
Solide rigide. Sa configuration actuelle se déduit de la configuration initiale par lasimple donnée d’une translation et d’une rotation. Aucune information sur ladéformation des solides.
Milieu continu tridimensionnel classique. Le principe des puissances virtuellesconduit à la représentation des efforts intérieurs via le champ de tenseur decontrainte de Cauchy. L’équation du mouvement qui en résulte ne permet pasalors de déterminer le mouvement : Nécessité d’informations concernant la naturedu matériau : c’est la loi de comportement.
La mécanique des structures vise à simplifier les équations de l’élasticité 3D.1 Prise en compte des caractéristiques géométriques spécifiques des solides2 Choix d’une cinématique de transformation appropriée3 Caractérisation des déformations par des variables globales
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 4 / 93
Introduction
Introduction : la théorie des poutres
1 La théorie des poutres est une modélisation mécanique dessolides élancés qui se focalise sur les changements de géométrielongitudinaux
2 Un modèle beaucoup plus économique que l’élasticité 3D3 Le calcul de poutres fait partie du domaine de la résistance des
matériaux (RDM). Cette discipline, longtemps enseignée en tantque telle, a permis pendant longtemps de calculer de façonanalytique des treillis complexes, des ponts, des ouvrages d’art.
4 Dans la pratique, on rencontre fréquemment des assemblages desolides élancés.
5 Dans la conception de ces structures, les seules informationsrelatives au changement de géométrie de chacun des solidesélancés sont les changements de géométrie d’une fibrelongitudinale (raccourcissement, extension, flexion).
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 5 / 93
Introduction
La tour Eiffel
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 6 / 93
Introduction
La tour Eiffel
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 7 / 93
Introduction
Viaduc de Millau
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 8 / 93
Introduction
Burj Dubai
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 9 / 93
Introduction
Schéma d’un groupe turbo alternateur
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 10 / 93
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Géométrie et chargement
Définition d’une poutre
s=0
t
n
b
S
On définit successivement :Une ligne moyenne C , de point courant G, avec s, abcisse curviligne à partir de O(t,n,b) est le trièdre de Frénet orthonormé, où R est le rayon de courbure
t =dOG
dsn = R
dtds
b = t ∧n
Une section droite, S de la poutre, dans le plan (n,b), de contour Γ
Les sections droites sont lentement variables ou constantes en fonction de sLa plus grande dimension de S est petite devant R, et devant la longueur de la poutre
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 12 / 93
Géométrie et chargement
Conséquences des restrictions géométriques :
Les restrictions sur la géométriedes poutres permettent d’assimiler untronçon de poutre courbe à un tronçonde poutre droite de section constante.Les résultats de la théorie des poutresvont donc pouvoir se déduire de larésolution d’un problème d’élasticitétridimensionnelle sur un tronçon depoutre droite de section constante.
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 13 / 93
Géométrie et chargement
Caractéristiques géométriques
Le centre de gravité vérifieZ
SGM dS = 0
On définit le moment quadratique par rapport à une droite ∆ de la section droite, enintroduisant H, projection de M ∈ S sur ∆
I(S,∆) =Z
S||HM||2dS
Matrice des moments quadratiques(I)
=
I22 =Z
Sx2
3 dS I23 =−Z
Sx2x3dS
I32 =−Z
Sx2x3dS I33 =
ZS
x22 dS
Dans les directions centrales principales , on définit les moments quadratiquescentraux principaux
(I)
=
I2 =Z
Sx2
3 dS 0
0 I3 =Z
Sx2
2 dS
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 14 / 93
Géométrie et chargement
Caractéristiques géométriques de quelques sections
V ′ = V = R V ′ = V = a2 V ′ = V = h
2
Ix = Iy = πR4
4 Ix1 = a4
3 , Ix = a4
12 = Id Ix1 = bh3
3 , Ix = bh3
12 , Id = b3h3
6(b2+h2)
V ′ = V = R V ′ = V = a2 V ′ = V = h
2
Ix = Iy = π(R4−R′4)4 Ix = a4−a′4
12 = Id Ix = bh3−b′h′312
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 15 / 93
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Hypothèse sur le matériaux
Hypothèse sur le matériau constituant la poutreLe matériau constituant la poutre étudiée est :
élastique linéaire : comportement réversible, loi de Hookehomogène : au dessus d’une certaine échelle, les propriétésmécaniques ne dépendent pas des coordonnées spatialesisotrope : au dessus d’une certaine échelle, les propriétésmécaniques sont les mêmes dans toutes les directions del’espace
Loi de Hooke (Robert Hooke)
σ = 2µε+λTrε I
σ =E
1+ν(ε+
ν
1−2νTrε I)
ε =1+ν
Eσ− ν
ETrσ I
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 17 / 93
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Principe de Saint-Venant
Principe de Saint-Venant
Etant donné un solide déformable, sisur une partie (Σ) de sa frontière onremplace une distribution d’effortsappliquée par une seconde distribu-tion agissant également sur (Σ), cesdeux distributions formant des torseurségaux, les sollicitations restent inchan-gées dans toute région du solide suffi-samment éloignée de (Σ). En d’autrestermes, la perturbation n’est que locale
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 19 / 93
Principe de Saint-Venant
Illustration du principe de saint-venant
Torseurs résultantsidentiques pour lestrois cas de charge
Mêmes contrainteset déformations pour les
trois cas de charge
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 20 / 93
Principe de Saint-Venant
Elasticité tridimensionnelle :
(σ..
)=
σ11 σ12 σ13
σ21 σ22 σ23
σ31 σ32 σ33
Hypothèse de Saint-Venant :
(σ..
)=
σ11 σ12 σ13
σ21 0 0σ31 0 0
Composantes du torseur des efforts intérieurs :
N =Z
Sσ11dS T2 =
ZS
σ12dS T3 =Z
Sσ13dS (1)
C =Z
S(x2σ13− x3σ12)dS M2 =
ZS
x3σ11dS M3 =−Z
Sx2σ11dS (2)
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 21 / 93
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Actions mécaniques extérieures
Actions mécaniques extérieures
On se limite à l’étude de la statique.Les efforts exercés sont donc constants ou lentement variables,Les actions mécaniques sont représentées par des torseurs, avecun vecteur résultant et un vecteur moment résultant en uncertain point.
On distingue deux catégories d’actions mécaniques extérieures :Les charges : les efforts que la structure doit supporter.Les actions de liaison : les réactions d’appuis qui maintiennent lapoutre en place.
A B
F F
A B
RA RB
Exemple : Système à étudier & Efforts extérieurs
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 23 / 93
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Actions mécaniques extérieures Les charges
Les charges
Les charges concentrées : Il s’agit d’un torseur appliqué en unpoint de la poutre.
Les charges réparties : Ce sont des densités linéiques de torseurappliquées sur une portion de la ligne moyenne. Le plus souvent,les densités linéiques de torseur se réduisent à des densitéslinéiques de forces. Les densités linéiques de moment sont raresdans la pratique.
Force concentreeDensite lineique de forces
Moment concentre
Densite lineique de moments
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 25 / 93
Actions mécaniques extérieures Les charges
Efforts extérieurs
x3
x2
1x
F M
M
2
3
pt
p
P
C
2
2
3
3P
Forces concentrées F selon x1, P2 selon x2, P3 selon x3
Forces linéiques t selon x1, p2 selon x2, p3 selon x3
Moment de flexion M2 autour de x2, M3 autour de x3
Couple de torsion autour de x1, C
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 26 / 93
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Actions mécaniques extérieures Les actions de liaison
Les actions de liaisonToute poutre (ou système de poutres) isolé et en équilibre a
nécessairement des liaisons avec son milieu extérieur. On distingue :Les liaisons parfaites : Ce sont des liaisons telles que le travaildes forces de liaison dans les déplacements relatifs permis est nul.
Appui simpleArticulation ou rotuleEncastrement
Les liaisons élastiques : Lorsqu’il semble difficile de modéliser uneliaison par une liaison parfaite, parce que les mouvements supposésbloqués ont en réalité une certaine souplesse, on modélise cetterigidité imparfaite par un ressort.
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 28 / 93
Actions mécaniques extérieures Les actions de liaison
Les actions de liaison
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 29 / 93
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Actions mécaniques extérieures Equilibre des actions mécaniques extérieures
Equilibre des actions mécaniques extérieuresLe Principe Fondamental de la Statique : la somme des actions mécaniques
extérieures (charges et actions de liaison) d’un système isolé et en équilibre est untorseur nul.
Fi
Mi
Ai
les torseurs des charges extérieures concentrées aux points Ai ,p(l)µ(l)
G
les torseurs des charges extérieures linéiques réparties sur la ligne
moyenne,Rk
Wk
Bk
les torseurs d’actions de liaison aux points Bk ,
Le principe fondamental de la statique se traduit par les deux équations vectorielles :
∑i
Fi +∑k
Rk +Z
p(l)dl = 0
∑i
OAi ∧Fi +∑i
Mi +∑k
OBk ∧Rk +∑k
Wk +Z
OG∧µ(l)dl +Z
µ(l)dl = 0
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 31 / 93
Actions mécaniques extérieures Equilibre des actions mécaniques extérieures
Les actions de liaison
Si on considère les charges comme connues, et les actions deliaison non nulles comme inconnues, on distingue
Les problèmes isostatiques : Le système d’équations de lastatique est régulier pour les inconnues de liaison. On peut doncdéterminer les inconnues de liaison en fonction des charges, enutilisant uniquement les équations de la statique.
Les problèmes hyperstatiques : Le système d’équations de lastatique est insuffisant pour déterminer les inconnues de liaison. Ilfaudra des équations supplémentaires (déduites de la théorie despoutres) pour déterminer complètement la solution.
les problèmes hypostatiques : Le système d’équations de lastatique n’a pas de solution. Cela signifie qu’il n’y a pas d’équilibrepossible sous l’action des charges avec de telles liaisons.
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 32 / 93
Actions mécaniques extérieures Equilibre des actions mécaniques extérieures
Exemples de calcul de réactions de liaison (PFS)
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 33 / 93
Actions mécaniques extérieures Equilibre des actions mécaniques extérieures
Exemples de calcul de réactions de liaison (PFS)
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 34 / 93
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Actions mécaniques extérieures Détermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Détermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Le degré d’hyperstaticité d’une structure détermine le nombre de suppressionsnécessaires pour rendre la structure isostatique. En effet, l’introduction d’une liaisonintérieure (entre barres ou poutres) ou extérieure (entre le milieu extérieur et lastructure) s’accompagne de l’introduction d’un effort de liaison. Notons :
li = le nombre de degrés de liaison intérieurele = le nombre de degrés de liaison extérieure
introduits pour constituer la structure à étudier à partir de n poutres (ou barres). Lenombre d’équations d’équilibre est de dl = 3n (dans le plan) et dl = 6n dansl’espace). On a ainsi dl équations d’équilibre pour li + le efforts de liaisons inconnus.Le degré d’hyperstaticité (DH) est donné par :
DH = le + li−dl
En absence de mécanismes (structure hypostatique), on a :DH = m > 0 structure m fois hyperstatiqueDH = 0 structure isostatique
La structure est hypostatique siDH < 0
.Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 36 / 93
Actions mécaniques extérieures Détermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Exemples de calcul du Degré d’hyperstaticité
dl = 3 dl = 3 dl = 3le = (2)+(1) le = (3) le = (2)+(2)li = 0 li = 0 li = 0DH = 0 DH = 0 DH = 1
dl = 3 dl = 3 dl = 3+3+3+3le = (3)+(1) le = (3)+(3) le = (3)+(3)+(3)li = 0 li = 0 li = (6)+(2)DH = 1 DH = 3 DH = 5
TAB.: Exemple de calcul du degré d’hyperstaticitéSaber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 37 / 93
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Torseur des efforts intérieurs
Torseur des efforts intérieurs
Considérons une poutre E que nous séparons artificiellement en E1 et E2, de tellesorte que E = E1∪E2. La séparation artificielle introduite est une coupure au point Gpar une section droite (S). On suppose que cette poutre est en équilibre sous l’actiondes actions de l’extérieur.En isolant la poutre E et en appliquant le PFS, nous avons donc
T(Ext→E)= T(Ext→E1)+T(Ext→E2) = O
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 39 / 93
Torseur des efforts intérieurs
Torseur des efforts intérieursIsolons E1 et faisons le bilan des efforts auxquels ce tronçon est soumis :
T(Ext→E1)
Il est aussi soumis aux actions de E2.Définition : le torseur d’actions mécaniques de E2 sur E1 est appelé torseur desefforts intérieurs ou torseur de cohésion. On ignore a priori la nature de cesactions mécaniques. Ainsi, nous écrivons :
T(int)= T(E2→E1)
Le torseur est naturellement exprimé au centre de gravité G de la section par :
T(int)=
R (E2→ E1)MG(E2→ E1)
Si maintenant on regarde le tronçon E2. Il est soumis à :
T(Ext→E2) ainsi qu’à T(E1→E2)
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 40 / 93
Torseur des efforts intérieurs
Torseur des efforts intérieurs
T(int)= T(E2→E1)
Le principe d’action réciproque permet d’écrire :
T(Ext→E2)−T(int)= O
Ce qui donne un autre moyen de calculer le torseur de cohésion :
T(int)= T(Ext→E2)=−T(Ext→E1)
Finalement, on écrit : T(int)=
R (Ext → E2)MG(Ext → E2)
G
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 41 / 93
Torseur des efforts intérieurs
Torseur des efforts intérieurs :Conclusions
Le torseur de cohésion est modifiè lorsque l’on déplace la coupure le long de la poutre.On peut être amené à distinguer plusieurs coupures en particulier lorsqu’on rencontre
une discontinuité d’ordre géométrique (changement de direction de la lignemoyenne), cas d’une poutre en équerre par exemple,
une discontinuité liée à des efforts concentrés ou à une liaison.
On notera que dans tout ce qui précède, il n’a jamais été fait mention que la poutredevait être droite et chargée dans son plan de symétrie. Les définitions données ici
sont valables pour tout type de poutre.Torseur des efforts intérieurs se réduit à
Résultante N selon x1, T2 selon x2, T3 selon x3
N est l’effort normal , T2 et T3 les composantes de l’effort tranchant
Moment de flexion M2 autour de x2, M3 autour de x3
Couple de torsion autour de x1, M1
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 42 / 93
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Principe des travaux virtuels
On va maintenant résoudre le problèmeen partant d’une hypothèse cinématique
et en appliquant le principe des travaux virtuels
Pour plus de concision, on se résume à la résolution dans un plan
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 44 / 93
Principe des travaux virtuels
Pour permettre de préciser les relations entre les déformations etcontraintes locales et les quantités résultantes au niveau d’unesection, il est nécessaire d’adopter des hypothèses sur lacinématique des sections lors d’une transformation de la poutre.
On focalise l’attention sur les changements de géométrielongitudinaux. Ainsi on s’interesse pas aux éventuelles variationsde géométrie des sections droites. L’objet d’étude (solide élancé)
est considéré comme une ligne moyenne déformable à chaquepoint de laquelle est attachée une section droite rigide.
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 45 / 93
Principe des travaux virtuels
Poutre droite à section symétrique chargée dans son plan
x
y
z
p
P
F
M
t
La ligne neutre est l’axe x1
La poutre se déforme dans le plan x1− x3, qui est plan principal d’inertie
L’axe x1 est le lieu des centres d’inertie des sections :R
S x3dS = 0
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 46 / 93
Principe des travaux virtuels
Efforts extérieurs et déplacements imposés
ud
fd
Fd
Ω
Déplacement imposé ud sur lasurface ∂Ωu
Force répartie imposée F d sur lasurface ∂ΩF
Force volumique imposée f d àl’intérieur de Ω
Champ u′ CCA (cinématiquementadmissible) :
u′ = ud sur ∂Ωu
ε′∼
= 0.5(grad∼
u′+grad∼
T u′)
Champ σ∗∼
CSA (statiquementadmissible) :
σ∗∼
.n = F d sur ∂ΩF
divσ∗∼
+ f d = 0 dans Ω
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 47 / 93
Principe des travaux virtuels
Evaluation du travail développé par σ∗∼
dans u′
Pour σ∗∼
CSA et u′ CCA non reliés par la loi de comportement
ZΩ
σ∗ij ε′ij dΩ =
ZΩ
12
σ∗ij(u′i,j +u′j,i
)dΩ
=Z
Ω
σ∗ij u′i,j dΩ
=Z
Ω
((σ∗ij u′i),j−σ
∗ij,j u
′i
)dΩ
=Z
∂Ω
σ∗ij nj u
′i dS−
ZΩ
σ∗ij,j u
′i dΩZ
Ω
σ∗ij ε′ij dΩ =
Z∂Ω
Fi u′i dS +
ZΩ
f di u′i dΩ
Théorème des travaux virtuels :∀u′i , variation autour d’un état d’équilibre (u′i = 0 sur ∂Ωu)ZΩ
σ∗ij ε′ij dΩ =−δWint = δWext =
Z∂ΩF
F di u′i dS +
ZΩ
f di u′i dΩ
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 48 / 93
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Poutres homogènes planes Cinématique
Cinématique de la poutre de Timoshenko
En théorie classique des poutres (Modèle de Navier-Bernoulli), les déformationsdues à l’effort tranchant sont négligées : les sections restent planes et normalesà la ligne moyenne. Cette hypothèse est mise en défaut lorsque la poutre est peuélancée.Dans le cadre du modèle de poutres de Timoshenko :
Les sections droites sont indéformables au cours de la transformation.
Les distorsions dues à l’effort tranchant sont prises en comptes.
Ces distorsions sont représentées par une rotation supplémentaires de lasection droite.
L’effort tranchant provoque un gauchissement de la section, mais cet effetn’est pas pris en compte ici puisque les sections sont supposéesindéformables.
Ainsi, pour obtenir une distorsion moyenne non nulle, la section ne restepas perpendiculaire à la ligne moyenne au cours de la transformation.
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 51 / 93
Poutres homogènes planes Cinématique
Cinématique de la poutre de Timoshenko
M0
P0
M
u
v
x1
X3
v’=−dv/dx1
P v’=−dv/dx1Ligne moyenne avant deformation
Ligne moyenne apres deformationθ
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 52 / 93
Poutres homogènes planes Cinématique
Cinématique de la poutre de Timoshenko
L’idée consiste, pour un solide élancé, à postuler une description simplifiée, globale, dela structure, au lieu de chercher une résolution exacte. Les solutions obtenues sontd’autant plus satisfaisantes que l’élancement est important (et fausses dans le cascontraire).Pour traiter le cas d’une poutre plane, on conserve dans la description géométriquedeux translations et un angle. Il leur correspondra deux forces et un moment,conjugués (au sens du travail virtuel).
Sollicitation axe de la poutre perp à l’axe moment de flexion«force» N T M
«déplacement» U V θ
Pour le cas d’une poutre mince, on néglige le cisaillement(modèle Navier–Bernoulli).
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 53 / 93
Poutres homogènes planes Cinématique
u1 = U ′(x1)+θ′x3
u3 = V ′(x1)
ε′11 = U ′
,1 +θ′,1x3
2ε′13 = V ′
,1 +θ′
Plan de la ligne neutre Section
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 54 / 93
Poutres homogènes planes Cinématique
Travaux virtuels des efforts internes
δWint =−Z
Ω
(ε′11σ11 +2ε′13σ13)dΩ
=−Z
L
(U ′
,1
ZS
σ11dS +θ′,1
ZS
x3σ11dS +(V ′,1 +θ
′)Z
Sσ13dS
)dx1
On introduit alors naturellement les quantités N, T , M conjuguées de U, V , θ :
N =Z
Sσ11dS T =
ZS
σ13dS M =Z
Sx3σ11dS
ce qui donne :
δWint =−Z
L
(NU ′
,1 +Mθ′,1 +T (V ′
,1 +θ′))
dx1
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 55 / 93
Poutres homogènes planes Cinématique
Traitement du travail des efforts intérieurs
A partir de :
δWint =−Z
L
(NU ′
,1 +Mθ′,1 +T (V ′
,1 +θ′))
dx1
On intègre classiquement par parties le travail des efforts intérieurs, par exemple :ZL
NU ′,1dx1 =
ZL
((NU ′),1−N,1U ′)dx1 =
[NU ′]L
0−Z
LN,1U ′dx1
d’où :
δWint =−Z
L
(−N,1U ′−M,1θ
′−T,1V ′+T θ′))
dx1
+N(0)U ′(0)−N(L)U ′(L)+T (0)V ′(0)−T (L)V ′(L)+M(0)θ′(0)−M(L)θ′(L)
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 56 / 93
Poutres homogènes planes Cinématique
Travail des efforts extérieurs
On suppose que les forces concentrées sont appliquées aux extrémités (x1 = 0 etx1 = L), et on intègre entre 0 et L les efforts répartis. Les données sont :
les forces normales F0 et FL, tangentielles P0 et PL,
les moments M0 et ML,
les efforts répartis, représentés par des densités linéiques normales p ettangentielle t :
δWext = F0U ′(0)+FLU ′(L)+P0V ′(0)+PLV ′(L)+M0θ′(0)+MLθ
′(L)
+Z
L
(pV ′+ tU ′)
)dx1
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 57 / 93
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Poutres homogènes planes Equilibre
Caractérisation de l’équilibre
δWint =−Z
L
(−N,1U ′−M,1θ
′−T,1V ′+T θ′))
dx1
+N(0)U ′(0)−N(L)U ′(L)+T (0)V ′(0)−T (L)V ′(L)
+M(0)θ′(0)−M(L)θ′(L)
δWext = F0U ′(0)+FLU ′(L)+P0V ′(0)+PLV ′(L)+M0θ′(0)+MLθ
′(L)
+Z
L
(pV ′+ tU ′)
)dx1
Comme l’égalité δWint +δWext = 0 est valable quel que soit le triplet (U ′, V ′, θ′), on trouve, enidentifiant terme à terme les expressions de δWint et δWext :
N(0) =−F0 N(L) = FL T (0) =−P0 T (L) = PL
M(0) =−M0 M(L) = ML
N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1−T = 0
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 59 / 93
Poutres homogènes planes Equilibre
Ecriture de l’équilibre
On rappelle les efforts intérieurs :
N =Z
Sσ11dS T =
ZS
σ13dS M =Z
Sx3σ11dS
On obtient : N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1−T = 0
T+dT
N+dN
M+dM
p
t
TNM
Signification physiquepour une «tranche» de la poutre
dN =−tdx1
dT =−pdx1
dM = Tdx1
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 60 / 93
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Lois de comportement : force axiale
On a Eε11 = σ11−ν(σ22 +σ33)On néglige σ22 et σ33
N =Z
Sσ11dS =
ZS
Eε11dS =Z
SEu1,1dS
N =Z
SEU,1dS +
ZS
E(θx3),1dS
Le deuxième terme du développement est nul.
N = U,1ES
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 62 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Lois de comportement : moment
M =Z
Sx3σ11dS =
ZS
x3Eε11dS = EZ
Sx3U,1dS +E
ZS
x3(θx3),1dS
Le premier terme du développement est nul.
M = Eθ,1
ZS
x23 dS = Eθ,1I
avec I =Z
Sx2
3 dS, moment quadratique par rapport à x2, si bien que :
M =R
S x3σ11dS = EIθ,1
Pour une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b, I =2bh3
3
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 63 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Lois de comportement : cisaillement
T =Z
Sσ13 =
ZS
2µε13dS =Z
Sµ(u1,3 +u3,1)dS =
ZS
µ(θ+V,1)dS
si bien que :T = µS(θ+V,1)
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 64 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Récapitulatif pour les poutres de TimoshenkoLes lois de comportement globales de la structure s’écrivent
N = ESU,1 T = µS(θ+V,1) M = EIθ,1
On rappelle les équations d’équilibre :
N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1−T = 0
et les conditions aux limites
N(0) =−F0 N(L) = FL T (0) =−P0 T (L) = PL
M(0) =−M0 M(L) = ML
Il vient : T ,1 = µS(θ,1 +V,11) =−p
M,1 = T = EIθ,11 = µS(θ+V,1)
on obtient EIθ,111 =−p permettant de calculer θ.
Ensuite la flèche est déduite par : T ,1 = µS(θ,1 +V,11) =−p
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 65 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Déformée
flexion cisaillement
Degré de chaque variableen fonction de x1
p T M θ V- - 0 1 2- 0 1 2 30 1 2 3 4
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 66 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Méthode de résolution
Le déplacement horizontal s’obtient en intégrant la relation :
U,1 = N/ES
La rotation relative entre les sections s’obtient en intégrant la relation :
θ,1 = M/EI
La flèche est le résultat de la somme de deux termes, l’un provenant de la rotation ellemême, et l’autre de l’effort tranchant T :
V,1 =−θ+T/µS
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 67 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Remarques
Expression des contraintes localesLa connaissance de U, V et θ permet de remonter aux champs de déformation et de
contrainte locaux. (' Eε11 = Eu1,1) est la somme de deux termes, dus à l’élongation età la flexion :
σ11∼= N/S +Mx3/I
Si le cisaillement est négligeable (Navier Bernoulli)
θ =−V,1
M =−EIV,11
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 68 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Cinématique de la poutre de Navier Bernoulli
M0
P0
P
u
v
x1
x3
MLigne moyenne avant deformation
Ligne moyenne apres deformationv’=−dv/dx
v’=−dv/dxθ=
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 69 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Cinématique de la poutre de Navier Bernoulli
Dans la théorie qui a été développée jusque là, une section plane reste plane,mais pas perpendiculaire à l’axe neutre. Si les cisaillements sont faibles (effet du
moment dominant), il est raisonnable de rajouter cette dernière hypothèse. Onretrouve alors la théorie dite classiquement de Navier-Bernoulli. Dans ce cas, il
faut assurer ε13 = 0, ce qui entraîne la condition suivante sur l’hypothèsecinématique : 2ε13 = V,1 +θ = 0
En théorie classique des poutres (Modèle de Navier-Bernoulli), les déformationsdues à l’effort tranchant sont négligées : les sections restent planes et normalesà la ligne moyenne.
Les sections droites sont indéformables au cours de la transformation.
Elles subissent une translation et une rotation d’ensemble (par section).
Les points matériels situés dans le plan normal à la ligne moyenne seretrouvent dans un plan normal après transformation.
Les distorsions dues à l’effort tranchant sont négligées : V,1 +θ = 0
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 70 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Récapitulatif pour les poutres de Navier BernoulliOn rappelle les équations d’équilibre :
N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1−T = 0
et les conditions aux limites
N(0) =−F0 N(L) = FL T (0) =−P0 T (L) = PL
M(0) =−M0 M(L) = ML
Les lois de comportement globales de la structure s’écrivent
N = ESU,1 M = EIθ,1 = EIV,11 T = M,1 = EIV,111
Il vient : T ,1 = EIV,1111 =−p
La flèche est obtenue comme solution d’un problème d’ordre 4 par rapport auxefforts appliqués ; elle est d’ordre 2 pour un moment constant :
V,1111 =−pEI
La rotation de la section est déduite par :
θ =−V,1
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 71 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Poutre encastrée soumise à son propre poids
Poutre 0 < x1 < L, de hauteur 2h et de largeur b, encastrée en x1 = 0
1x
x3
L0
T,1 =−ρgS T (L) = 0 T (x1) =−ρgS(x1−L)
M,1 = T M(L) = 0 M(x1) =−12
ρgS(x1−L)2
θ,1 = MEI θ(0) = 0 θ(x1) =−ρgS
6EI
[L3 +(x1−L)3]
V,1 =−θ V (0) = 0 V (x1) =ρgS6EI
(x4
1
4− x3
1 L+32
x21 L2
)Comme S = 2bh, I =
23
bh3
V (x1) =ρg
2Eh2
(x4
1
4− x3
1 L+32
x21 L2
)Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 72 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Poutre encastrée soumise à son propre poids (2)
Expression de la flèche pour la poutre
V (x1) =ρg
2Eh2
(x4
1
4− x3
1 L+32
x21 L2
)Flèche pour x1 = L, pour x1 = L/2
V (L) =3ρgL4
8Eh2 V (L/2) =17ρgL4
128Eh2
Flèche proportionnelle à ρ/E , L4, h2
(Flèche à L/2 / Flèche max) =17128
83≈ 0,354
Application avec L=1,90 m ; g=-9,81 m/s2 ; ρ=380 kg/m3 ; h=3,0 mm ;E=8500 MPa ; Vmax =-24 cm
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 73 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Forces ou moments concentrés
Poutre 0 < x1 < L
Lorsque la dérivée est définie :
T (x1) = T (0)+Z x1
0
dTdξ
dξ = T (L)+Z x1
L
dTdξ
dξ
T (x1) = T (0)−Z x1
0p(ξ)dξ = T (L)−
Z x1
Lp(ξ)dξ
Une force concentrée conduit à une discontinuité, ainsi :
T (x1) = T (0)−Z x1
0p(ξ)dξ−∑P(Xi) avec : 0 < Xi < x1
Exemple d’une poutre sur appuis simples, chargée en son milieu avec une forceponctuelle P. Hormis P en x1 = L/2, les efforts extérieurs sont :
P0 =−P/2 PL =−P/2
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 74 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Calcul de T pour une poutre sur deux appuis simples(flexion 3 points)
x3
1x
P
−P/2−P/2
0 L
Efforts tranchants aux extrémités :
T (0) =−P0 = P/2 T (L) = PL =−P/2
Passage en x1 = L/2 :∆T =−P
Pour 0 < x1 < L/2 : T (x1) = P/2Pour L/2 < x1 < L : T (x1) =−P/2
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 75 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Poutre sur deux appuis simples (flexion 3 points)
1x
x3P
si x1 < l : T = P/2 ; M = Px1/2si x1 > l : T =−P/2 ; M = P(l− x1/2)
1x
P/2
−P/2T
M
Pl/2
T,M
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 76 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Flexion 3 points : calcul de la flèche max
L’angle θ est tel que θ,1 = Px1/2EI, et, comme il est nul en x1 = l , on a :
θ =P(x2
1 − l2)4EI
La flèche, qui est nulle en x1 = 0, se calcule par :
V (x1) =−Z x1
0θdx1 +
Z x1
0
TµS
dx1 =P
4EI(l2x1−
x31
3)+
P2µS
x1
Le maximum est obtenu pour x1 = l :
V (l) =Pl3
6EI+
Pl2µS
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 77 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Flexion 3 points : valeur numérique de la flèche max
V (l) =Pl3
6EI+
Pl2µS
Application numérique :P =−160 N, l = 250 mm, E = 75000 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm,
h = 2 mm (l est la demi-longueur, h est la demi-épaisseur)
EI =23
100×75000×23 = 40000000 N.mm2
µS =750002 ×1.3
×100×2 = 5769231 N
v = (−10.41−0.0017) mm
Le terme lié à l’effort tranchant est négligeable.
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 78 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement
Poutre sandwich en flexion 3 points
1x
x3P
2l
e
e2h
On considère un sandwich, avec au centre (−h < x3 < h) un matériau à faiblespropriétés mécaniques, de type mousse (caractéristiques élastiques Em et µm), et, de
chaque côté (−h−e < x3 <−h et h < x3 <−h +e) une couche métallique(caractéristiques élastiques Ea et µa).
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 79 / 93
PlanIntroduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement
Poutres composites
Poutres composites
Poutre sandwich : force axiale
On a toujours : N =R
S σ11 dS ; il faut reconstruire une approximation de σ11
La contrainte σ11 est discontinue, et : σ11(x3) = E(x3)ε11
σ11 = E(x3)(U1,1 +θ1,1x3)
N = U,1
ZS
E(x3)dS +θ,1
ZS
E(x3)x3dS
Si E(x3) est une fonction paire en x3, et indépendante de x2 ; la seconde intégrale est nulle
N =< ES > U,1 avec < ES >=Z
SE(x3)dS
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 81 / 93
Poutres composites
Poutre sandwich : moment
M =Z
Sx3σ11 dS
σ11 = E(x3)(U1,1 +θ1,1x3)
M = U,1
ZS
x3E(x3)dS +θ,1
ZS
E(x3)x23 dS
E(x3) est une fonction paire en x3, et indépendante de x2 ; la première intégrale est nulle
M =< EI > θ,1 avec < EI >=Z
SE(x3)x2
3 dS
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 82 / 93
Poutres composites
Poutre sandwich : cisaillementLa contrainte σ13 est continue à l’interface. Il y a une incohérence en surface, car la valeurdonnée par la théorie sur une facette de normale parallèle à x1 est non nulle, alors que lasurface x3 est libre... Dans les couches externes, la contrainte σ13 n’est pas égale à 2µε13.
x
x
1
3
σ
σ
σ
13
31
11
= 0
σ 13
x3
T =Z
Sσ13 dS ≈
Z b
0
Z +h
−hσ13dx2dx3 = (V,1 +θ)
Z +h
−h2bµ(x3)dx3
T ≈< µS >+h−h (V,1 +θ)
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 83 / 93
Poutres composites
Forme générale des équations pour une poutre composite
Si la distribution des modules n’est pas paire en x3, il y a un couplage entretraction et flexion. On doit écrire :
N
M
T
=
Z
SEidS
ZS
Eix3dS 0ZS
Eix3dSZ
SEix
23 dS 0
0 0Z
SµidS
=
U,1
θ,1
V,1 +θ
(3)
Unités NN.mN
=
N N.m 0N.m N.m2 0
0 0 N
=
−m−1
−
(4)
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 84 / 93
Poutres composites
Poutre sandwich en flexion 3 points :flèche max
Les calculs effectués ci-dessus restent valables, à condition d’utiliser les valeurshomogénéisées des produits EI et µS :
v =Pl3
6 < EI >+
Pl2 < µS >
L’aluminium (Ea, µa), est situé entre les cotes ±h et ±(h +e). La mousse (Em, µm)entre les cotes ±h. Il vient donc :
< EI >=23
b(Ea((h +e)3−h3)+Emh3)
< µS >= 2bhµm
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 85 / 93
Poutres composites
Poutre sandwich en flexion 3 points
Application numérique :L’ensemble (P =−160 N, l = 250 mm, Ea = 75000 MPa, Em = 20 MPa, νm = 0.3,
b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm) conduit à :
< EI >=23×100(75000× (173−153)+20×153) = 7694500000 N.mm2
< µS >= 2×100×15× 202×1.3
= 23077 N
V = (−0.054−0.867) mm
C’est maintenant le terme lié à l’effort tranchant qui est prépondérant. On notel’importance qu’il y a à conserver un matériau qui possède des propriétés non
négligeables comme cœur de la poutre. Ainsi, avec un module d’Young de 0,80 MPaau lieu de 20 MPa, on trouverait une flèche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu
tout l’avantage de l’assemblage «sandwich».
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 86 / 93
Poutres composites
Finite element computations
Material parameter
Aluminium alloy : Young’s modulus Ea, Poisson’s ratio νa = 0.3
Foam, calcul B : Young’s modulus E f , Poisson’s ratio ν f
Geometry
Foam thickness 2h, Alu thickness = e
Length Width of the plate = 500 mm 100 mm
Loading
Force/unit width F = 1.5 N/mm
Aluminium
Foam2he
e
F
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 87 / 93
Poutres composites
Mesh and boundary conditions
Aluminium alloy : E = 75 GPa, ν=0.3
Foam, calcul B : E = 0.907 MPa, ν=0.2
Foam, calcul C : E = 20. MPa, ν=0.2
Load = 0.80 N/mm, corresponding to 150 N on a 100 mm plate
A : Half length = 250 mm, Alu width = 4 mm
B and C : Half length = 250 mm, Alu width = 2 times 2 mm, Foam = 30 mm
SYM V1 V2 V3
Force
Bottom
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 88 / 93
Poutres composites
Coarse and Fine meshes
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 89 / 93
Poutres composites
Deformed shapes
x
y
z
x
y
z
x
y
z
A
B
C
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 90 / 93
Poutres composites
Vertical displacement
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
0 50 100 150 200 250 300
U2
(mm
)
< - - - center - - Y - - right support - - - >
Vertical displacement U2 along the bottom line, aluminium sheet
coarse Afine A
bendingshear
total
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 91 / 93
Poutres composites
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0 50 100 150 200 250 300
U2
(mm
)
< - - - center - - Y - - right support - - - >
Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 20 MPa core
fine Bbending
sheartotal
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 92 / 93
Poutres composites
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
0 50 100 150 200 250 300
U2
(mm
)
< - - - center - - Y - - right support - - - >
Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 0.5 MPa core
fine Bbending
sheartotal
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 93 / 93