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H PRPA
1ANNE
RE
POUR SENTRANER ET RUSSIR SA PRPA Plus de 300 exercices et extraits de concours corrigs Un rappel des connaissances essentielles Conseils, astuces et mthodes
EXERCICES ETPROBLMES
PHYSIQUEMPSI/PCSI/PTSI
-
H PRPA
PHYSIQUE
MPSI/PCSI/PTSI
Jean-Marie BRBEC
Tania CHABOUD
Thierry DESMARAIS
Alain FAVIER
Marc MNTRIER
Rgine NOL
EXERCICES ET
PROBLMES
1
ANNE
RE
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Composition et mise en page : Laser Graphie
Maquette intrieure : Vronique Lefebvre
Maquette de couverture : Guylaine Moi
Relecture : Anne Panaget
Hachette Livre 2010, 43 quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15
www.hachette-education.com
Tous droits de traduction, de reproduction et dadaptation rservs pour tous pays.
Le Code de la proprit intellectuelle nautorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5 dune part, que
les copies ou reproductions strictement rserves lusage priv du copiste et non destines une utilisation
collective, et, dautre part, que les analyses et les courtes citations dans un but dexemple et dillustration,
toute reprsentation ou reproduction intgrale ou partielle, faite sans le consentement de lauteur ou de ses
ayants droit ou ayants cause, est illicite .
Cette reprsentation ou reproduction par quelque procd que ce soit, sans autorisation de lditeur ou du Centre
franais de lexploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une
contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du Code pnal.
I.S.B.N. 978-2-0118-1306-0
-
Quel est lobjet de cet ouvrage?
Nous avons labor cet ouvrage dexercices de premire anne de classes prparatoires aux
grandes coles avec deux objectifs principaux, lassimilation du cours par la mise en pratique,
et la prparation aux interrogations crites et orales, pendant lanne et aux concours :
Les rappels de cours complets permettent de voir rapidement les rsultats importants conna-
tre pour toute prparation dpreuves oralse ou crites, que ce soit une colle, ou un concours de
premire ou deuxime Anne.
Les exercices, choisis pour leur contenu, prparent toutes ces preuves.
Comment travailler de manire optimale avec cet ouvrage?
la suite de lnonc, il existe une partie conseils ; les solutions sont prsentes aprs len-
semble des noncs. Comment utiliser de manire optimale cette disposition?
Comme pour une preuve dcrit, il faut commencer par lire entirement un nonc : pour
rsoudre une question donne certaines informations peuvent tre prsentes dans les questions
suivantes.
Aprs une priode de rflexion correcte , fructueuse ou non, il est possible de lire la partie
conseils : cette partie peut se prsenter ainsi :
soit une ide de rsolution est propose ;
soit une question est pose pour la mise en vidence dun phnomne ;
soit un thorme est nonc,.
Si laide ne permet pas de rsoudre lexercice, il faut alors saider de la solution, quil ne suf-
fit pas de lire : aprs lecture il faut essayer de refaire lensemble de lexercice seul.
Dans un souci daide maximale ces prparations, et cette mthode de travail :
Les exercices choisis sont conformes aux nouveaux programmes.
Nous avons choisi des exercices ralistes :
ayant une application en physique, soit fondamentale, soit industrielle,
ou tant en relation avec lexplication dun phnomne observable.
Lors de la rsolution dun exercice, nous avons privilgi les arguments physiques, les sch-
mas et simulations (en faisant appel la mmoire visuelle), aux arguments mathmatiques ; mais
lorsque les calculs sont ncessaires, lensemble des tapes intermdiaires est prsent.
Lorsquun exercice peut tre rsolu par plusieurs mthodes intressantes, ces mthodes sont
prsentes et dveloppes.
Pour certains exercices nous mettons le lecteur en garde contre certaines erreurs que nous
voyons trop souvent lors dpreuves crites ou orales de concours.
Nous souhaitons que cet ouvrage puisse aider de manire efficace une majorit dtudiants
Les auteurs
vant-propos
A
-
PARTIE 1 MCANIQUE
Chapitre 1 Cinmatique du point Changement de rfrentiel ..... 9
Chapitre 2 Dynamique du point matriel................................................... 18
Chapitre 3 Puissance et nergie en rfrentiel galilen ....................... 28
Chapitre 4 Oscillateurs ....................................................................................... 40
Chapitre 5 Thorme du moment cintique ............................................. 59
Chapitre 6 Forces centrales conservatives
Interaction newtonienne ............................................................ 69
Chapitre 7 Mcanique en rfrentiel non galilen ................................. 83
Chapitre 8 Rfrentiels non galilens usuels ............................................ 95
Chapitre 9 Systme de deux points matriels .......................................... 111
PARTIE 2 OPTIQUE
Chapitre 1 Les bases de loptique gomtrique
Rflexion et rfraction ................................................................ 125
Chapitre 2 Formation dimages ..................................................................... 134
Chapitre 3 Miroirs et lentilles ......................................................................... 142
Chapitre 4 Instruments dobservation ........................................................ 164
Chapitre 5 Focomtrie ....................................................................................... 181
Chapitre 6 Le prisme, utilisation en spectroscopie ................................ 190
PARTIE 3 THERMODYNAMIQUE
Chapitre 1 quation dtat dun fluide........................................................ 201
Chapitre 2 Statique des fluides ...................................................................... 215
Chapitre 3 Premier principe de la thermodynamique.
Bilans dnergie .............................................................................. 227
Chapitre 4 Second principe. Bilans dentropie.......................................... 250
Chapitre 5 Corps pur diphas .......................................................................... 266
Chapitre 6 Machines thermiques ................................................................... 279
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
4
OMMAIRE
S
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PARTIE 4 LECTRICIT
Chapitre 1 Rseaux linaires en rgime continu ..................................... 301
Chapitre 2 Rseaux linaires en rgime variable .................................... 320
Chapitre 3 Rseaux linaires en rgime sinusodal forc..................... 346
Chapitre 4 Amplificateur oprationnel........................................................ 363
Chapitre 5 Fonctions de transfert .................................................................. 383
PARTIE 5 LECTROMAGNTISME
Chapitre 1 Distributions, champ et potentiel lectrostatiques ......... 413
Chapitre 2 Le champ magntique permanent ......................................... 438
Chapitre 3 Diples lectrique et magntique .......................................... 462
Chapitre 4 Force de Lorentz ............................................................................ 485
Annexes...................................................................................................................... 510
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
5
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71
Mcanique
1 Cinmatique du point Changement de rfrentiel ........................ 9
2 Dynamique du point matriel.................................................................... 18
3
Puissance et nergie en rfrentiel galilen ........................................ 28
4 Oscillateurs ........................................................................................................ 40
5
Thorme du moment cintique .............................................................. 59
6 Forces centrales conservatives Interaction newtonienne ................. 69
7 Mcanique en rfrentiel non galilen .................................................. 83
8
Rfrentiels non galilens usuels ............................................................. 95
9 Systme de deux points matriels ........................................................... 111
PARTIE
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
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1Cinmatique du point
Changement de
rfrentiel
ESSENTIEL
9
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
LES OBJECTIFS
Prciser les caractristiques dun mouvement :
vitesse, acclration, trajectoire dans un rfrentiel
donn.
Apprendre choisir le bon systme de coordonnes
en fonction du problme tudi.
LES PRREQUIS
Notions sur lintgration des vecteurs vitesse et acc-
lration en tenant compte de conditions initiales.
LES OUTILS MATHMATIQUES
Notions sur lintgration vues en mathmatiques.
Systmes usuels de coordonnes
Coordonnes cartsiennes Coordonnes cylindriques
OM
= x e
x
+ y e
y
+ z e
z
; base (e
x
, e
y
, e
z
) (doc. 1). OM
= r e
r
+ z e
z
; base (e
r
, e
q
, e
z
) (doc. 2).
x
y
e
r
H
z
x
y
r
e
x
e
y
e
z
e
z
e
z
e
r
e
r
H
M
O
r
e
e
e
z
z
x
x
y
y
e
x
e
y
e
z
M
O
Doc. 1. Coordonnes cartsiennes (x , y , z) :
OM
= x e
x
+ y e
y
+ z e
z
.
Doc. 2. Coordonnes cylindriques (r , q , z) :
OH
= r e
r
; OM
= r e
r
+ z e
z
.
-
ESSENTIEL
Cinmatique du point Changement de rfrentiel
1
10
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
Coordonnes sphriques: OM
= r e
r
; base (e
r
, e
q
, e
j
) (doc. 3).
Reprsentations du mouvement
La trajectoire est constitue de lensemble des positions successives OM
(t) =
r (t) du point mobile M
tudi.
Dans lespace des vitesses, lensemble des positions successives ON
(t) = v
(t) constitue lhodogra-
phe du mouvement.
Dans lespace des phases, le point P repr par OP
= (OM
, ON
) dcrit la trajectoire de phase du
mobile. Pour un mouvement un degr de libert, le point de phase P se dplace dans le plan de phase :
OP
= (x(t), v(t)).
Vitesse dun point
Soit O un point fixe du rfrentiel . Le vecteur vitesse de M par rapport ce rfrentiel est :
v
(M)
/
=
/
Expression en coordonnes cartsiennes : v
(M)
/
=
x e
x
+
y e
y
+
z e
z
.
Expression en coordonnes cylindriques : v
(M)
/
=
r e
r
+ r
qe
q
+
z e
z
.
Acclration dun point
Le vecteur acclration de M par rapport ce rfrentiel est :
Expression en coordonnes cartsiennes : a
(M)
/
=
xe
x
+
ye
y
+
ze
z
.
Expression en coordonnes cylindriques : a
(M)
/
= (r r
q
2
) e
r
+ (r
q + 2
r
q )e
q
+
ze
z
;
ou encore : a
(M)
/
= (r r
q
2
) e
r
+ (r
2
q)e
q
+
ze
z
.
Mouvement circulaire
Le point M se dplace sur un cercle de centre O , de rayon R , daxe (Oz) . Il est repr par ses coor-
donnes polaires sur le cercle (r = R , q ) .
OM
= R e
r
;
1
r
d
dt
a
( )
d
2
d
/
M
OM
t
2
/ / /
=
d
d
v (M)
t
/
=
.
dOM
dt
e
z
O
z
x
y
r
M
H
e
r
e
x
e
y
u
e
e
e
r
u
u
e
e
e
r
s
i
n
y
H
H
M
x
z
r
Doc. 3.b. Plans : z = 0 et j = cte .
Doc. 3.a.
-
ESSENTIEL
Cinmatique du point Changement de rfrentiel
1
11
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
v
(M)
/
= R
qe
q
= w
OM
, o w
= w e
z
;
a
(M)
/
= R
q
2
e
r
+ R
q e
q
(doc. 4).
Si le mouvement est circulaire uniforme, v = R
q est constante, donc a
(M)
/
est dirige suivant e
r
;
elle est centripte (doc. 5).
e
x
e
r
a
(M)
e
e
y
= e
z
e
z
= e
x
e
y
y
x
z
v
M
A
M
O
M
a
v
Doc. 5. Si |v
| = cte , lacclration du point M est
dirige suivant OM
: a
= e
r
.
v
2
R
Doc. 4. Mouvement circulaire dun point M dans
un cercle de rayon a :
v
= R
q e
q
et a
= R
q
2
e
r
+ R
q e
q
.
Conseils et piges viter
La vitesse (ou lacclration) dun point M dans un rfrentiel R donn peut sexprimer sur dif-
frents vecteurs de projections, mais cest toujours la mme vitesse (ou la mme acclration) !
Lors dune trajectoire courbe, il existe toujours une composante de lacclration dirige vers
lintrieur de la concavit de la trajectoire.
yN
1
yN
2
M
2
M
1
ya(M
1
)
ya(M
2
)
-
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
Ascension dun ballon sonde
Un ballon sonde a une vitesse dascension verticale v
0
ind-
pendante de son altitude. Le vent lui communique une vitesse
horizontale v
x
= proportionnelle laltitude z atteinte.
1 Dterminer les lois du mouvement x(t) et z(t) ainsi que
lquation de la trajectoire x(z).
2 Calculer le vecteur acclration du ballon.
Trajectoire et hodographe
dun mouvement plan
Un point M se dplace dans le plan (xOy) la vitesse :
v = v
0
(e
x
+ e
q
), o e
q
est le vecteur orthoradial de la base
locale des coordonnes polaires (r,q ).
1 tablir les quations polaire et cartsienne de la trajec-
toire caractriser.
2 Faire de mme pour lhodographe.
3 Faire le lien entre langle q = (
j
e
x
,
r ) et langle
j = (
j
e
x
,
v ).
Aller et retour sur un fleuve
Un rameur sentrane sur un fleuve en effectuant le parcours
aller et retour entre deux points A et B , distants de +. Il
rame vitesse constante v par rapport au courant. Le fleuve
coule de A vers B la vitesse u . Son entraneur lac-
compagne pied le long de la rive en marchant la vitesse
v sur le sol, il fait lui aussi laller et retour entre A et B .
z
t
c
5
4
3
Une course automobile
Deux pilotes amateurs prennent le dpart dune course
automobile sur un circuit prsentant une longue ligne droi-
te au dpart. Ils slancent de la mme ligne. Le premier, A,
dmarre avec une acclration constante de 4 m .s
2
, le
deuxime, B, a une voiture lgrement plus puissante et
dmarre avec une acclration constante de 5 m .s
2
. A a
cependant plus de rflexes que B et dmarre une seconde
avant.
1 Quelle dure faudra-t-il B pour rattraper A?
2 Quelle distance auront-ils parcourue quand B dou-
blera A?
3 Quelle seront les vitesses cet instant-l ?
4 Reprsenter x(t ) et v(t) et la trajectoire de phase de A
et B, en prcisant la position de lvnement B dpasse
A sur ces reprsentations des mouvements.
Mouvement dun point matriel
sur une parabole
Un point matriel M dcrit la courbe dquation polaire
o a est une constante positive, q
variant
de + .
1 Montrer que la trajectoire de M est une parabole. La
construire.
2 On suppose de plus que le module du vecteur vitesse
est toujours proportionnel r : v = kr , o k est une cons-
tante positive.
a. Calculer, en fonction de q , les composantes radiale et
orthoradiale du vecteur vitesse de M .
b. Dterminer la loi du mouvement q (t) en supposant
que q est nul linstant t = 0 et que q crot.
On donne
q
0
dq
q
q
cos
ln tan .= +
2 4
r acos
2
2
q
=
2
1
12
Exercices
Conseils
Dterminer lquation horaire du mouvement de
chaque voiture.
Conseils
Il suffit de passer du systme de coordonnes cart-
siennes (x, y) au systme de coordonnes polaires
(r,q ), et inversement, pour obtenir lune ou lautre des
quations recherches.
Conseils
1) Penser remplacer cos
2
q
2
par
1
2
(1 + cosq ) et
utiliser les relations entre (x , y) et (r , q ) pour don-
ner lquation de la trajectoire en coordonnes cart-
siennes.
2) La condition v = kr permet dexprimer
q en
fonction de q , donc de ne plus faire apparatre expli-
citement le temps dans les quations, mais seule-
ment q .
-
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
Seront-ils de retour en mme temps au point de dpart ? Si
non, lequel des deux (rameur ou entraneur) arrivera le pre-
mier en A? Commenter.
Chasseur et oiseau
Un oiseau se trouve sur une branche darbre, une hauteur
H au dessus du niveau du sol. Un chasseur se trouve sur le
sol la distance D du pied de larbre. Il vise loiseau et
tire. Au moment du coup de feu, loiseau, voyant la balle
sortir du canon, prend peur et se laisse tomber instantan-
ment en chute libre. chaque instant, lacclration de la
balle et de loiseau dans un rfrentiel fixe est g e
z
(laxe
(Oz) est la verticale ascendante). Loiseau est-il touch ?
Ltude sera faite :
a. dans le rfrentiel fixe ;
b. dans le rfrentiel li loiseau.
Quand il faut aller vite
Pour aller au secours dun nageur en dtresse, un matre-
nageur part du poste de secours situ au point A pour aller
jusquau nageur situ en B. Sachant que le sauveteur court
v
1
= 2 m .s
1
sur la plage et nage v
2
= 1 m .s
1
dans
7
6
leau, en quel point M doit-il entrer dans leau pour attein-
dre au plus vite le nageur? On situera ce point laide
dune relation entre v
1
, v
2
, i
1
et i
2
indiqus sur le schma.
Mouvement calcul partir de
la trajectoire et de lhodographe
(Daprs ENAC 02)
Dans le plan (xOy) du rfrentiel (O, e
x
, e
y
, e
z
) un mobi-
le ponctuel P dcrit la parabole dquation cartsienne :
y
2
= 2px avec p constante positive.
Sa vitesse
v (P/R), de composantes X, Y est telle que len-
semble des points N(X, Y), hodographe du mouvement de
ple O, a pour quation cartsienne : X
2
= 2qY avec q cons-
tante positive.
1 Exprimer X et Y en fonction de y.
2 Exprimer lacclration
a (P/R) du point P en fonction
du vecteur position
OP. Prciser la nature du mouvement
de P.
3 tablir les expressions de x et y en fonction du temps
t, sachant que le mobile passe en O linstant initial t = 0.
8
yu
x
yu
y
i
2
i
1
M
A
B
O
EXERCICES
Cinmatique du point Changement de rfrentiel
1
13
Conseils
Utiliser la composition des vitesses en faisant atten-
tion au sens des vecteurs vitesse.
Conseils
Dterminer les trajectoires de loiseau et de la balle
dans le rfrentiel choisi et dterminer leur intersec-
tion.
-
14
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
Mouvement dun point matriel
sur une parabole
1 Sachant que cos
2
= (1 + cosq ), lquation polaire
scrit : r = 2a r cosq ; avec x = r cosq et y = r sinq, et en
levant au carr : r
2
= x
2
+ y
2
= (2a x)
2
, ce qui donne :
x = ,
parabole reprsente ci-dessous.
2 a.
et
II reste liminer
q en utilisant :
.
q ] ; + [ , est positif et
q est positif par hypo-
thse, donc :
q = k cos
et v
r
= ka ; v
q
= .
a.
q
2
+
= +2
4 4
ln tan .
q
k ctet
=
=k kdcos
cos
q
q
2
2
d
t
q
2
sin
q
2
cos
2
q
2
ka
cos
q
2
cos
q
2
v = = + =
kr r r
a
2 2 2
3
2
q
q
q
cos
v
q
q
q
q= =
r
a
cos
.
2
2
v
r
r
dr
d
a= = =
q
q
q
q
sin
cos
2
2
3
y
2a
2a
a
x
y
2
+ 4a
2
4a
q
2
1
2
Corrigs
Une course automobile
1 Nous avons :
x
A
(t) = a
A
t
2
et x
B
(t) = a
B
(t t
0
)
2
,
cette deuxime expression tant applicable t t
0
= 1 s.
Les deux voitures sont au mme niveau linstant t
1
, soit :
a
A
t
1
2
= a
B
(t
1
t
0
)
2
ce qui donne :
t
1
= t
0
. 9,5 s.
2 linstant t
1
:
d = x
A
(t
1
) = x
B
(t
1
) = a
A
t
1
2
1,8 . 10
2
m.
3 v
A
(t
1
) = a
A
t
1
38 m .s
1
et v
B
(t
1
) = a
B
(t
1
t
0
) 42 m .s
1
.
4
B
A
v
B
(t
1
)
v
A
(t
1
)
O
v
x
d
t
0
t
1
v
B
(t)
v
B
(t
1
)
v
A
(t
1
)
v
A
(t)
O
v
t
t
0
t
1
x
B
(t)
x
A
(t)
O
x
d
t
1
2
1
1
2
a
a
A
B
1
2
1
2
1
-
qdo sa tangente est positive.
Si q = 0 t = 0 , la constante est nulle.
Donc
Ascension dun ballon sonde
1 En coordonns cartsiennes, v
=
u
x
+
u
z
avec
et = v
0
.
Soit z = v
0
t car t = 0, z = 0 (le ballon dcolle).
= v
0
donne x = en supposant qu t = 0, x = 0.
En liminant le temps t, on obtient :
x = .
La trajectoire est une parabole.
2 a
=
u
x
+
u
z
.
Do a
=
u
x
.
Trajectoire et hodographe
dun mouvement plan
1
v = v
0
(e
x
+ e
q
) = v
0
(cosq e
r
+ (1 sinq ) e
q
).
Le dplacement lmentaire dOM
= d(re
r
) = dr.e
r
+ rdq .e
q
du point M est colinaire au vecteur vitesse, donc :
= , soit : = = d ln
.
ce qui donne lquation en coordonnes polaires :
r = r
0
=
o r est un paramtre (longueur) caractristique de la trajec-
toire.
On en dduit : r = r + r sin q, soit, avec x = r cos q et
y = r sinq, en levant au carr : r
2
= x
2
+ y
2
= (r + y)
2
, ce qui
donne finalement :
y =
qui est lquation dune parabole daxe (Oy).
2
0
v
z
t
c
1
2
t
t
c
x
2
r
2
2r
1 sinq
0
1 sinq
r
1 sinq
dr
rdq
cosq
1 sinq
dr
r
cosq dq
1 sinq
1 sinq
0
1 sinq
4
v
0
t
c
d
d
2
2
x
t
d
d
2
2
z
t
d
d
x
t
1
2
0
2
v
t
t
c
d
d
x
t
z
t
c
=
d
d
z
t
d
d
x
t
d
d
z
t
3
ln tan .
4 4 2
+ =
kt
+ + ] ; [ ] ; [
donc
4 4
0
2
2 v
= v
0
(e
x
+ e
q
) = v
0
((1 sinq )e
x
+ cosq e
y
), ce qui
donne lquation cartsienne de lhodographe :
(v
x
v
0
)
2
+ v
2
y
= v
0
2
qui permet didentifier le cercle de rayon v
0
et de centre de
coordonnes (v
0
, 0).
On remplace v
x
= v cosj et v
y
= v sinj dans lquation car-
tsienne de lhodographe, il vient :
v = 2 v
0
cosj
qui est lquation polaire de lhodographe.
3 On vite des calculs trigonomtriques en faisant un sch-
ma :
Le vecteur = e
x
+ e
q
est dirig selon la bissectrice des
axes (O, e
x
) et (O, e
q
), donc : 2j = + q, soit : j = + .
Aller et retour sur un fleuve
Le rameur effectue laller la vitesse v + u et le retour la
vitesse v u par rapport au sol.
v doit donc tre videmment suprieur u pour que le rameur
puisse remonter le courant et ainsi revenir son point de dpart.
La dure de son trajet aller et retour est :
t
r
= + = .
/
v + u
/
v u
2 /v
v
2
u
2
5
2
4
q
2
v
v
0
ye
N
ye
x
y
v
x
j
j
q
y
O
yv
N
ye
v
v
x
v
0
v
y
y
x
r/2
r
r
ye
N
yr
N
ye
r
CORRIGS
Cinmatique du point Changement de rfrentiel
1
15
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
-
Son entraneur effectue laller et retour la vitesse v par rap-
port au sol donc la dure de son trajet est t
e
= . Donc :
t
r
= t
e
t
e
.
Lentraneur est arriv avant le rameur.
Le rameur perd plus de temps au retour quil nen gagne
laller. Dans le cas extrme o la vitesse v est peine sup-
rieure u , le trajet du retour pour le rameur sera trs long.
Chasseur et oiseau
a. On dtermine les trajectoires de loiseau et de la balle dans
le rfrentiel li au sol.
Oiseau : z
o
= g , do z
o
(la vitesse initiale de loiseau est nulle) ;
x
o
= 0 , do x
o
= D .
Balle : z
b
= g , + v
0
sina t ;
x
b
= 0 , do x
b
= v
0
cosa t ,
o v
0
est la vitesse initiale de la balle et a langle de tir : le
chasseur visant loiseau, tan a
Les deux trajectoires se rencontrent-elles? Si oui, au point de
rencontre x
b
= D , donc la rencontre a lieu linstant :
cet instant, z
b
z
o
= D tana H = 0 : loiseau est touch !
Attention: pour que loiseau soit effectivement touch, il faut
que la porte de la balle soit suprieure D (sinon les deux
trajectoires ne se coupent pas). Pour cela, il faut une vitesse v
0
suffisante.
Plus prcisment, la balle touche le sol linstant
donc en
Il faut que x
1
D donc que :
v
0
Cette condition correspond z(t
f
) 0 .
b. Dans le rfrentiel li loiseau, la balle a une acclration
gD
sin( )
.
2
x
v
g
1
0
2
2
=
sin( )
.
t
g
1
0
2
=
v sin
t
D
f
=
v
0
cos
.
. =
H
D
d'o z gt
b
=
1
2
2
0
0,5
1
1,5
2
54321
x
position initiale
de loiseau
point de rencontre
y
= +
1
2
2
gt H
6
1
1
u
v
2
2
2 /
v
nulle donc une trajectoire rectiligne uniforme la vitesse v
0
,
toujours dirige vers loiseau qui est donc touch.
Conclusion : il faut dire aux oiseaux de toujours se percher sur
des branches basses.
Quand il faut aller vite
Le matre-nageur parcourt AM en t
1
= et
MB en t
2
= .
AM = [(x x
A
)
2
+ y
2
A
]
1/2
BM = [(x x
B
)
2
+ y
2
B
]
1/2
La dure totale du trajet est :
T = t
1
+ t
2
.
T = [(x x
A
)
2
+ y
2
A
]
1/2
+ [(x x
B
)
2
+ y
2
B
]
1/2
.
On cherche x tel que T soit minimale.
= 0
Soit = 0
Si on introduit i
1
et i
2
, il vient :
.
scrit alors .
Remarque: la valeur de x trouve correspond bien un minimum
pour T. La dernire relation crite est analogue la loi de
Descartes pour la rfraction en optique : n
1
sin i
1
= n
2
sin i
2
.
Mouvement calcul partir de
la trajectoire et de lhodographe
(daprs ENAC 02)
1
v (P/ ) = Xe
x
+ Ye
y
avec
y
2
= 2px.
On peut driver par rapport au temps lquation de la trajec-
toire.
Il vient : = soit yY = pX
Dautre part : .
Si Y 0, on obtient , soit
avec y 0.
Si Y = 0, X = 0.
Si y = 0, X = 0 et puisque X
2
= 2qY Y = 0.
X qY
y
p
Y
2
2= =
2 2 p
x
t
d
d
2
2
2
q
y
p
Y Y= =
2 2
2
2
Y Y
qp
y
X
qp
y
= = =et
X q
2
2= =
2 2y
y
t
d
d
=
X
x
t
Y
y
t
= =
d
d
et
d
d
8
sin sini i
1
1
2
2
v v
=
sin
sin
i
x x
AM
i
x x
BM
A B
1 2
= =et
x x
AM
x x
BM
A B
v v
1 2
+
d
d
T
x
x x
x x y
x x
x x
A
A A
B
B
+
+
+
[( ) ]
[( )
/
v v
1
2 2 1 2
2
2
yy
B
2 1 2
]
/
1
1
v
1
2
v
MB
v
2
AM
v
1
7
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Cinmatique du point Changement de rfrentiel
1
16
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
-
2
a (P/ ) = e
x
+ e
y
. On se place en dehors du
point O.
et
et
Or donc
On peut alors crire :
a (P/ ) =
OP.
Le mouvement du point P est acclration centrale par rap-
port O.
d
d
Y
t
qp
y
Y
q p
y
q p
y
y= = = =
2 4 8 8
2
3
2 4
5
2 4
6
.
dX
dt
qp
y
dy
dt
qp
y
Y
q p
y
= = = =
2 2 2 4
2 2
2 3
4
8
2 4
6
q p
y
x
y
p
=
2
2
dX
dt
q p
y
x= .
8
2 4
6
Y
qp
y
= =
2 4
2
2
X
qp
y
= =
2 2
d
d
X
t
d
d
Y
t
3 donc y
2
dy = 2qp
2
dt .
On intgre en tenant compte des conditions initiales t = 0
y = x = 0.
Il vient do
y = (6qp
2
t)
1/3
x
y
p p
qp t= =
2
2 2 3
2
2
2
6( )
/
1
3
2
3 2
y qp t=
Y
dy
dt
qp
y
= =
2
2
2
CORRIGS
Cinmatique du point Changement de rfrentiel
1
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Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
-
2Dynamique du point
matriel
LES OBJECTIFS
Utiliser les lois de Newton pour :
dterminer les caractristiques dun mouvement ;
calculer certaines forces.
LES PRREQUIS
Expressions des vecteurs vitesse et acclration dans
divers systmes de coordonnes.
LES OUTILS MATHMATIQUES
Notions sur lintgration vues en mathmatiques.
ESSENTIEL
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
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18
Quantit de mouvement (ou impulsion)
La quantit de mouvement par rapport au rfrentiel R dun point matriel M, de masse m, est :
p
(M)
/
= mv
(M)
/
.
Lois de Newton
Les trois lois de Newton sont les lois fondamentales de la mcanique du point matriel.
Premire loi : principe dinertie
Il existe une classe de rfrentiels, appels rfrentiels galilens par rapport auxquels un point
matriel isol est en mouvement rectiligne uniforme.
Deuxime loi : relation fondamentale de la dynamique
Dans un rfrentiel galilen, la somme vectorielle des forces appliques un point M de masse
m et son acclration sont lies par :
F
M
= = ma
(M) .
Troisime loi : principe des actions rciproques
Les forces dinteraction exerces par deux points matriels M
1
et M
2
lun sur lautre sont oppo-
ses et colinaires laxe (M
1
M
2
).
d p
(M)
dt
-
ESSENTIEL
Dynamique du point matriel
2
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
volution dun systme mcanique
Les systmes mcaniques ont une volution unique pour des conditions initiales donnes (dter-
minisme mcanique).
Pour un systme autonome (ou libre), deux trajectoires de phase ne peuvent se couper.
Conseils et piges viter
Il faut toujours bien tudier les forces qui sexercent sur un systme, ici un point matriel.
19
-
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2 On rajoute une poulie.
La poulie P
2
est fixe, la poulie P
1
se dplace paralllement
au plan inclin. Le fil est attach en A .
Dterminer lacclration du solide S
2
et les tensions des
fils.
tude dun pendule simple,
raction au point dattache
Un pendule simple (masse m, longueur ) est lch sans
vitesse initiale partir de la position q = : point matriel
M(m) et point de suspension sont alors dans le mme plan
horizontal. (IOM =
e
j t = 0). On demande de dterminer
les ractions R
x
(q ) et R
y
(q ) en O. Le fil est sans masse et
inextensible.
Un jeu denfant
Un enfant esquimau joue sur le toit de son igloo. Lenfant
se laisse glisser sans frottement depuis le sommet S de
ligloo, qui a la forme dune demi-sphre de rayon a et de
centre O. La position de lenfant, assimil un point mat-
riel M , de masse m, est repre par langle q = (Oz, OM),
(Oz) tant la verticale ascendante.
1 partir de quelle position (repre par langle q
0
)
lenfant perd-il le contact avec ligloo (on nglige bien sr
les frottements).
4
S
2
S
1
S
2
P
2
P
1
S
1
3
2
Un peintre ingnieux
Un peintre en btiment (de masse M = 90 kg) est assis sur
une chaise le long du mur quil doit peindre. Sa chaise est
suspendue une corde relie une poulie parfaite. Pour
grimper, le peintre tire sur lautre extrmit de la corde
avec une force de 680 N. La masse de la chaise est
m = 15 kg.
1 Dterminer lacclration du peintre et de la chaise.
Commenter son signe.
2 Quelle force le peintre exerce-t-il sur la chaise ?
3 Quelle quantit de peinture peut-il hisser avec lui ?
Plan inclin et poulies
Le solide S
1
, de masse m
1
, glisse sans frottements sur le
plan inclin. Le solide S
2
, de masse m
2
, se dplace verti-
calement. Les solides en translation sont considrs
comme des points matriels. Les poulies sont idales, les
fils sont inextensibles et sans masse.
Donnes : m
1
= 400 g, m
2
= 200 g et a = 30.
1 On considre le dispositif ci-aprs en haut :
Dterminer lacclration du solide S
2
et la tension du fil.
2
1
20
Exercices
Conseils
Faire un bilan des forces extrieures pour le systme
{peintre + chaise}, puis pour le systme {chaise seule}.
Conseils
1) Les deux solides ont la mme acclration (en
norme).
1) et 2) En utilisant le caractre parfait des poulies
(sans masse) et linextensibilit des fils, chercher une
relation simple entre les tensions des fils aux points
dattache sur chacun des deux solides.
-
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
2 Quel est le mouvement ultrieur de lenfant ? Quelle
est sa vitesse quand il retombe sur le sol ? Effectuer
lapplication numrique avec m = 30 kg, a = 2 m et
g = 9,8 m . s
2
. Commenter.
quilibre dun point
Un point M de masse m est li un cercle fixe dans le plan
vertical, de centre O et de rayon R . La liaison est suppose
sans frottements. Le point M est attir par lextrmit A du
diamtre horizontal AB par une force toujours dirige vers
A et dont le module est proportionnel la distance AM . La
position du point M est repre par langle q = (AB, OM) .
1 Dterminer les positions q = q
e
dquilibre du point M
sur le cercle.
2 Quand le point nest pas en quilibre, dterminer
lquation diffrentielle vrifie par q en utilisant la rela-
tion fondamentale de la dynamique, puis le thorme du
moment cintique en O .
3 On suppose que q reste proche de q
e
et on pose
q = q
e
+ u avec u
-
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
Le fil tant inextensible, donner la relation entre ,
0
, R
et q .
2 Exprimer les composantes de IOM suivant les vecteurs
unitaires
e
u
r
et
e
u
q
(cf. figure), en fonction de
0
, R et q .
3 En dduire les composantes de la vitesse
e
v de la parti-
cule M suivant les vecteurs
e
u
r
et
e
u
q
.
4 Montrer que la norme v de la vitesse reste constante au
cours du mouvement.
5 Dduire des questions 3) et 4) la relation entre q ,
q ,
0
, R et v
0
.
6 Exprimer q en fonction de t ,
0
, R et v
0
.
7 Dterminer linstant final t
f
pour lequel le fil est enti-
rement enroul autour du cylindre. Effectuer lapplication
numrique.
8 a) Dterminer la tension T du fil en fonction de t , m ,
0
, R et v
0
.
b) En ralit, il y a rupture du fil ds que sa tension dpas-
se la valeur T
rup
= 5 . 10
3
N. Dterminer linstant t
rup
et
langle q
rup
lorsquintervient la rupture du fil. Effectuer
lapplication numrique.
est fixe une particule M de masse m , astreinte glisser
sans frottement sur le plan horizontal (Oxy) . La partie
I
0
M non enroule du fil est tendue.
Donnes : R = 0,2 m ; m = 0,04 kg ;
0
= I
0
M = 0,5 m ;
v
0
= 0,1 m . s
1
.
1 linstant t = 0 , on communique la particule M une
vitesse v
0
horizontale perpendiculaire I
0
M et oriente
comme lindiquent les deux figures ci-dessous :
On admet que le fil reste tendu au cours du mouvement.
linstant t , on appelle q langle dont sest enroul le fil et
la longueur IM du fil non encore enroul.
y
x
z
R
v
0
u
r
u
Vue de dessus linstant t
trace
du fil t = 0
I
0
I
M (t = 0)
M (t)
x
z
y
O
v
0
Vue en perspective linstant t = 0
0
I
0
M (t = 0)
EXERCICES
Dynamique du point matriel
2
22
Conseils
4) Projeter la relation fondamentale de la dynamique
sur
e
u
r
aprs avoir soigneusement inventori les for-
ces qui agissent sur le point matriel ainsi que leur
direction.
5) Attention au signe des diffrentes expressions.
6) En intgrant la relation obtenue la question 5),
tablir lquation du second degr vrifie par q .
La rsoudre en remarquant quune seule des deux
racines de cette quation correspond une fonction
q (t) croissante.
8) Projeter la relation fondamentale de la dynamique
sur
e
u
r
.
-
Un peintre ingnieux
1 Les forces appliques au systme {chaise + peintre} sont
le poids de lensemble, laction du fil sur la chaise et laction
du fil sur le peintre ; ces forces sont indiques en bleu sur le
schma ci-dessous.
Le fil tant inextensible et la poulie sans masse, les deux for-
ces T
1
sont gales et sont, en norme, gales la force que le
peintre exerce sur la corde (on notera T leur norme).
De mme, T = F
fil-chaise
.
La relation fondamentale de la dynamique applique ce sys-
tme scrit, en projection sur la verticale ascendante (Oz) :
(m + M)a = (m + M)g + 2T
Cette acclration est positive : partant du niveau du sol, le
peintre slve.
2 Les forces appliques la chaise seule sont son poids,
laction du fil et laction du peintre (F
= Fe
z
) . La relation
fondamentale de la dynamique applique la chaise seule,
projete sur (Oz) , donne :
ma = mg + F + T F = m(a + g) T = T = 486 N.
F < 0 : cette force est bien dirige vers le bas, le peintre
appuie sur la chaise (il exerce une force quivalente au
poids dune masse de 49,6 kg environ).
3 Le peintre et la chaise de masse m (peintures comprises)
montent si a 0, soit m M = 49 kg, donc la peinture
nexcde pas 34 kg, ce qui est raisonnable.
(Dautre part, il faut aussi obtenir F 0, sinon le peintre
risque de monter sans la chaise et la peinture, soit m M, ce
qui est une condition moins contraignante que la prcdente).
.
2
m.s
2T
g
m M
m + M
= +
+
=a g
T
m M
,
2
3 15
uT
1
uM
g
uF
uT
1
uF
fil-chaise
z
O
uF
fil-peintre
uF
peintre-fil
uF
Rmg
1 Plan inclin et poulies
1
En utilisant la relation fondamentale de la dynamique, en pro-
jection sur z
1
ou z
2
pour chaque mobile, il vient (en notant T
1
et T
2
les tensions du fil, les normes de T
1
et T
2
) :
m
1
z
1
= m
1
g sina + T
1
m
2
z
2
= m
2
g T
2
.
Le fil tant inextensible, on a :
.
z
1
=
.
z
2
.
Le fil tant de masse ngligeable, et la poulie idale : T
1
= T
2
.
Finalement, il vient :
z
1
=
z
2
= g
T
2
= g (1 + sina ).
Avec les valeurs numriques proposes :
z
1
=
z
2
= 0 (il y a
donc quilibre si la vitesse initiale est nulle), et T
2
= 1,96 N.
2
En reprenant les critures prcdentes, on a ici encore :
m
1
z
1
= m
1
g sina + T
1
m
2
z
2
= m
2
g T
2
Le fil 2 est inextensible, donc
.
z
2
=
.
z
1(poulie mobile)
, et le fil 1
tant inextensible, il vient encore
.
z
1(poulie mobile)
= .
Dautre part, ngliger les inerties des fils et poulies conduit
crire : T
2
= T
2
et T
2
= T
1
+ T
1
et T
1
= T
1
, soit : T
2
= 2T
1
.
On obtient donc :
2m
1
z
2
= m
1
g sina + T
1
et m
2
z
2
= m
2
g 2T
1
.
Soit encore :
z
2
= g
T
2
= (2 + sina)g
et numriquement :
z
2
= 1,1 m.s
2
et T
2
= 2,2 N.
2m
1
m
2
m
2
+ 4m
1
m
2
2m
1
sina
m
2
+ 4m
1
z
1
2
2
m
1
yg
m
2
yg
iR
1
iT
1
iT
1
iT
2
iT
2
z
1
z
2
a
S
2
S
1
m
1
m
2
m
1
+ m
2
m
2
m
1
sina
m
2
+ m
1
m
1
yg
m
2
yg
iR
1
iT
1
iT
2
z
1
z
2
a
S
2
S
1
23
Corrigs
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
-
La relation fondamentale de la dynamique
ma
(M) = P
+ R
projete sur e
r
et e
q
donne :
ma
q
2
= R mg cosq (1)
ma
q = mg sinq . (2)
Lenfant esquimau quittera le contact avec ligloo quand R
sera nul. Il faut donc exprimer R en fonction de q et, pour
cela, dterminer pralablement la relation entre
q
2
et q : on
multiplie la relation (2) par
q :
ma
q
q = mg
q sinq
o A est une constante dtermine par les conditions initia-
les q (0) = 0 et
q (0) = 0 , donc A = mg .
La relation recherche est ma
q
2
= 2mg(1 cosq) . On la
reporte dans lquation (1) : R = mg(3 cosq 2) .
R est positif tant que q reste infrieur :
2 Quand lenfant a quitt ligloo, il nest plus soumis qu son
poids. On choisit cet instant comme nouvelle origine des temps.
Les conditions initiales de ce nouveau mouvement sont :
x(0) = a sinq
0
= x
0
, z(0) = a cosq
0
= z
0
(point M
0
)
v
(0) = a
q
0
e
0
= a
q
0
(cosq
0
e
x
sinq
0
e
z
)
=
3
e
x
1
e
z
= v
0x
e
x
+ v
0 z
e
z
Le mouvement est parabolique, tangent ligloo au point
M
0
. Les lois horaires du mouvement sont :
.
Lenfant touche le sol linstant t
f
tel que z(t
f
) = 0 . On obtient :
(lautre racine est ngative).
Sa vitesse, quand il arrive sur le sol, est donc :
v
f
= v
0 x
e
x
+ (v
0 z
gt
f
)e
z
.
t
g
v v gz
f z z
= + +
( )
1
2
0 0
2
0
x t v t x
z t
gt
v t z
x
z
( )
( )
= +
= + +
0 0
2
0 0
2
2ga
3
2
3
5
9
q
0
2
3
48=
=arccos .
= +
1
2
2
ma mg A
q q cos ,
=
d
d
d
dt
ma
t
mg
1
2
2
q q( cos )
z
x
e
r
R
mg
e
M
CORRIGS
Dynamique du point matriel
2
24
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
tude dun pendule simple,
raction au point dattache
Au point O, le fil tant sans masse, on a :
R
+ ( T
) = 0
.
Pour la masse m situe au point M, on peut apliquer le prin-
cipe fondamental de la dynamique dans la rfrentiel galilen
o se fait lexprience.
Soit : ma
(M) = mg
+ T
avec
a
=
q
2
u
r
+
q u
q
T
= Tu
r
.
On en dduit
m
q
2
= mg cos q T
m
q = mg sin q .
En multipliant lquation par
q , il vient :
m
q
q = mg sin q
q
m .
Les conditions initiales
q = 0 pour q = permettent dobte-
nir K = 0.
Do R
= T
= 3 mg cos q u
r
.
R
x
(q ) = 3 mg cos
2
q
R
y
(q ) = 3 mg sin q cos q.
Un jeu denfant
1 Les forces qui sexercent sur lenfant sont son poids
P
= mge
z
et la raction de ligloo R
= Re
r
(en labsence
de frottements).
ye
x
yu
r
m yg
yu
q
ye
y
yR
yT
y
x
O
M
q
4
2
1
2
2
m mg K
q q= +cos .
d
dt
d mg
1
2
2
q q
= ( cos )
3
-
CORRIGS
Dynamique du point matriel
2
25
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
A.N. : v
0 x
= 2,41 m.s
1
; v
0 z
= 2,69 m.s
1
;
z
0
= 1,33 m ; t
f
= 0,315 s ; v
f
= 2,41 e
x
5,78 e
z
et v
f
= 6,26 m .s
1
= 22,5 km .h
1
.
Cette vitesse a la mme norme que celle quau-
rait lenfant sil tombait en chute libre depuis le sommet de
ligloo : le thorme de lnergie cintique (cf. chapitre sui-
vant) donne ce rsultat immdiatement.
quilibre dun point
1 Les forces appliques au point M sont :
son poids P
= mg
= mg(sinq e
r
+ cosq e
q
) ;
la raction du cercle N
= N e
r
(pas de frottements) ;
la force de rappel F
= k MA
:
F
Quand le point M est lquilibre, P
+ N
+ F
= 0 .
La force N
tant inconnue, on projette cette quation sur e
q
:
Il y a donc deux positions dquilibre :
q q q
1 2 1
=
= +arc ettan .
mg
kR
=tan .q
mg
kR
cos cos sinmg kRq
q q
+
=2
2 2
0
e
r
e
M
A R B
O
2
2
z
y
x
=
cos cos sink R e e
r
2
2 2 2
q q q
q
.
5
v
f
ga=
( )
2
2 La relation fondamentale de la dynamique scrit :
ma
= P
+ N
+ F
. Comme la question prcdente, on la
projette sur e
q
pour liminer N :
3 q
e
= q
1
ou q
2
.
q = q
e
+ u avec u
-
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Dynamique du point matriel
2
26
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
La solution de lquation du mouvement est :
u = Ae
w t
+ Be
w t
.
Compte tenu des conditions initiales,
u(0) = u
0
= A + B et
u(0) = 0 = w(A B) ,
on obtient u(t) = u
0
ch(w t) : si on carte lgrement le point
de sa position dquilibre, il sen loigne encore plus, lqui-
libre est donc instable.
Pour q
e
= q
2
, cosq
2
et sinq
2
sont ngatifs. On pose alors :
Comme pour q
1
, on obtient :
w
2
= =
+
1
2
.
La solution de lquation du mouvement est :
u = Acosw t + Bsinw t avec A = u
0
et B = 0
en tenant compte des conditions initiales, do u(t) = u
0
cosw t :
si on carte lgrement le point de sa position dquilibre, il y
revient : lquilibre est donc stable.
Mouvement dune masse
accroche un ressort, impact
au point dattache (oral TPE)
lquilibre, les forces qui agissent sur m sont laction du
ressort, le poids et la ration du support, parallle Oy en
labsence de frottements.
En projection sur Ox : 0 = k(x
e
L
0
) + mg sin .
Au cours du mouvement : m
x = k(x L
0
) + mg sin
m
x = k(x x
e
).
En introduisant
0
, on obtient :
x +
0
2
x =
0
2
x
e
.
do x(t) = A cos
0
t + B sin
0
t + x
e
.
A t = 0 x(0) = A + x
e
= x
e
A = 0
x(0) = B
0
= v
0
B =
Donc x(t) = sin
0
t + x
e
.
x
e
t
1
T
0
T
0
2
w
0
O
x(t)
y
v
0
0
v
0
0
=
k
m
6
k
m cosq
2
k
2
m
2
g
2
R
2
cos sin .w q q
2 2 2
= +
k
m
g
R
x(t) peut sannuler si 0
v
0
x
e
0
.
On a impact en O t
1
avec t
1
.
= soit .
La vitesse au moment du choc vrifie :
x(t
1
) = v
0
cos
0
t
1
.
x(t
1
) = v
0
1
Enroulement dun fil
sur un cylindre
1 =
0
Rq puisque la longueur enroule vaut Rq.
2 OM
= OI
+ IM
= Ru
r
+ (l
0
Rq)u
q
.
3 , do, aprs simplification :
v
=
q (
0
Rq )u
r
.
4 Les forces qui sexercent sur le point M sont :
son poids P
;
la raction du plan horizontal R
;
la tension du fil T
.
Il ny a pas de frottements.
Les deux premires forces sont verticales, la dernire est
dirige par u
q
, donc
P
+ R
= 0
et m
d
d
v
t
= T
= T u
q
est
perpendiculaire v
, soit : v
. = 0, ce qui assure v = cte = v
0
.
5
q > 0 ,
0
Rq > 0 , la norme de la vitesse est donc
v =
q (
0
Rq) = v
0
.
6 Lquation prcdente sintgre en
0
q = v
0
t
(compte tenu des conditions initiales).
q(t) est donc la solution de lquation du second degr :
q
2
+ = 0 .
Donc : q (t) =
8
2
.
1
2
2
0
x
2
e
v
2
0
0
R
0
R
2v
0
t
R
0
0
x
e
v
sin
0 1
t t
x
e
1
0
0
0
1
=
Arc sin
v
T
0
4
T
0
0
2
=
x
e
v
0
0
2
0
q
R
2v
0
t
R
Rq
2
2
dv
dt
d
d
et
u
t
u
du
dt
u
r
r
= =q q
q
7
-
CORRIGS
Dynamique du point matriel
2
27
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
q (t) tant croissant, on ne conserve que la solution avec le
signe :
q (t) =
1
6
1
.
7 Le fil est entirement enroul quand :
s
8 a. Pour dterminer la tension du fil, on projette la rela-
tion fondamentale de la dynamique sur u
q
, en utilisant
le fait que v
= v
0
u
r
, donc que a
=
q v
0
u
q
. Il vient
0
R
2Rv
0
t
2
0
K t
R
t
R
f
( ) , : ,= = = =
0 0
2
0
143
2
6 25 donc
v
T = mv
0
q (T est le module de la tension T
). En utilisant
lexpression de q(t) dtermine plus haut, on obtient :
T =
1
1
2
.
b. t
rup
=
1
2
= 6,09 s ;
q
rup
=
1
= 2,1 rad = 120 143 .
mv
2
0
0
2Rv
0
t
2
0
mv
2
0
0
T
rup
2
0
2Rv
0
0
R
mv
2
0
0
T
rup
-
3Puissance et nergie
en rfrentiel galilen
LES OBJECTIFS
Introduire la notion dnergie.
Utiliser le thorme de lnergie cintique pour
rsoudre les problmes un degr de libert.
LES PRREQUIS
Lois de Newton.
LES OUTILS MATHMATIQUES
Intgration en mathmatiques.
Lecture de courbes, interprtation graphique de
solutions.
ESSENTIEL
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La photocopie non autorise est un dlit.
28
Puissance, travail dune force dans un rfrentiel
La puissance dune force F
est gale au produit scalaire de cette force par la vitesse de dpla-
cement de son point dapplication :
= F
.
v.
Le travail dune force entre les instants t
1
et t
2
est gal
2
1
dt. Pour un point matriel, ce
travail est gal la circulation de F
:
=
r
2
r
1
F
. dr
.
Thormes de la puissance et de lnergie cintique
La puissance cintique (drive de lnergie cintique par rapport au temps) est gale
la puissance de toutes les forces sexerant sur le point matriel.
La variation dnergie cintique
K
=
K
(t
2
)
K
(t
1
) est gale au travail de toutes les
forces pendant lintervalle de temps [t
1
, t
2
].
Champ de forces conservatif
Un champ de forces est conservatif sil drive dune nergie potentielle
P
( r
) , telle que le tra-
vail lmentaire de la force vrifie :
= F
. dr
= d
P
.
d
K
dt
-
ESSENTIEL
Puissance et nergie en rfrentiel galilen
3
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
Quelques exemples dnergies potentielles
nergie mcanique
Lnergie mcanique dun point matriel est
M
=
P
+
K
.
La variation de
M
est gale au travail des forces qui ne drivent pas de lnergie potentielle,
donc au travail des forces non conservatives.
Mouvement conservatif un degr de libert
Lquation du mouvement peut se dduire de
M
= cte :
lvolution du point matriel est limite aux zones o lnergie potentielle reste infrieure
lnergie mcanique :
P
(x)
M
;
les trajectoires de phase dun systme conservatif sont des courbes nergie mcanique cons-
tante ;
les minima de
P
correspondent aux positions dquilibre stables et les maxima aux positions
dquilibre instables. La technique de linarisation, lorsquelle est justifie, permet de prciser la
nature du mouvement au voisinage de lquilibre.
Conseils et piges viter
Le travail dune force F
sobtient ainsi :
=
r
2
r
1
F
. dr
qui pour un point matriel se dduit de la formule gnrale toujours utilisable :
=
t
2
t
1
(t) dt
avec (t) = F
.
v (t)
avec
v (t) la vitesse du point dapplication de la force, ici le point matriel.
Pour un systme conservatif, penser ds que possible linvariance de lnergie mcanique pour
obtenir lquation dvolution du point matriel.
29
interaction force schma nergie potentielle
pesanteur F
= mg
= mge
z
P
= mgz + cte
interaction
F
= e
r
P
= + cte
newtonienne
ressort linaire F
= k(
0
)e
x
P
= k(
0
)
2
+ cte
x
O
y
F = k (
0
) e
x
0
1
2
K
r
K
r
2
y
x
O
OM = re
r
F =
e
r
M
K
r
2
z
x
O
F = mge
z
-
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La photocopie non autorise est un dlit.
tude de la chute dun alpiniste
Lors dune escalade, un grimpeur sassure en passant sa
corde dans des anneaux mtalliques fixs au rocher. La
corde peut coulisser librement dans ces anneaux. Le fac-
teur de chute f est dfini comme le rapport de la hauteur
de chute tant que la corde nest pas tendue sur la longueur
L de corde utilise. Si au moment de la chute, la corde est
tendue, ce facteur de chute vaut f = (docs. 1 et 2) o
est la distance du grimpeur au dernier anneau. Dans des
conditions normales dutilisation f est compris entre 0
et 2. Pour les applications numriques, le poids P du
grimpeur sera pris gal 800 N.
Le maillon fragile dans la chane dassurance dun grim-
peur nest pas la corde (qui peut rsister des forces de
plus de 18 kN), ni les points o la corde est attache au
rocher (rsistance de lordre de 20 kN) mais le grimpeur
(une force de 12 kN exerce sur le bassin provoque sa rup-
ture) ! Les cordes utilises en escalade sont lastiques de
faon diminuer la force qui sexerce sur le grimpeur lors
de sa chute. On assimilera une corde de montagne dont la
longueur utilise est L un ressort de longueur
vide L et de raideur k = . Llasticit a de la corde
est une grandeur caractristique du matriau la constituant.
1 Soit un ressort vertical de raideur k et de longueur
vide L auquel est suspendue une masse m , de poids
P = mg (g dsignant le module du champ de pesanteur).
1
a L
2
L
4 m
5 m
5 m
anneau
fix
au rocher
point
d'attache
de la corde
point
d'attache
de la corde
Facteur de chute : f =
10 m
= 1,1
9 m
4 m
4 m
5 m
Facteur de chute : f =
8 m
Doc. 1 Doc. 2 Doc. 3
= 2
4 m
cble
3Distance minimale de freinage
Une voiture roulant 50 km . h
1
simmobilise sur une route
rectiligne et horizontale au bout dune distance de 40 m. En
supposant que la force de frottement entre le sol et la voi-
ture est constante, dterminer la distance de freinage si le
vhicule roule 80 km . h
1
. On ngligera la rsistance de
lair.
Carabine-jouet ressort
Une carabine-jouet ressort est modlise de la manire
suivante : un ressort de raideur k est plac dans un tube
cylindrique (en plastique) de longueur
0
gale la lon-
gueur vide du ressort. On dpose au bout du ressort une
balle en plastique de masse m et on comprime le ressort
dune longueur lintrieur du tube. Le tube tant inclin
de 60 par rapport lhorizontale, on libre le ressort qui
propulse instantanment la balle. On nglige le frottement
de la balle dans le tube et la rsistance de lair.
1 quelle vitesse v
0
la balle sort-elle du canon de la
carabine ?
2 Quelle hauteur h (par rapport la sortie de la carabi-
ne) la balle atteint-elle dans ces conditions ?
Avec quelle vitesse horizontale v
H
?
A.N. : Calculer v
0
, h et v
H
.
Donnes : m = 20 g , k = 400 N . m
1
et = 10 cm.
2
1
30
Exercices
Conseils
Appliquer le thorme de lnergie cintique entre le
dbut du freinage et larrt total.
Conseils
1) Utiliser la conservation de lnergie de la balle
aprs avoir soigneusement dtermin son nergie
potentielle que lon pourra, par exemple, choisir nulle
la sortie du canon.
2) Que peut-on dire de la composante horizontale de
la vitesse de la balle aprs la sortie du canon ? En
dduire le module de la vitesse au sommet de la tra-
jectoire, puis, en appliquant le thorme de lnergie
cintique entre la sortie du canon et le sommet, la
hauteur du tir.
-
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
linstant t = 0 , le ressort est non tendu et m a une vites-
se verticale, dirige vers le bas, de module v
0
. Dterminer
llongation maximale du ressort x
max
(mesure partir
de la longueur vide) et la force maximale F
max
quil
exerce sur la masse m .
2 En utilisant le rsultat de la question 1), exprimer la
force maximale F
max
exerce par la corde lors dune
chute de facteur f en fonction des donnes de lnonc.
Que remarquez-vous ?
3 Le corps humain peut rsister une force de lordre de
12 kN pendant un temps bref.
a) Une corde descalade est prvue pour que la force
maximale exerce sur lalpiniste soit de 9 kN dans les
conditions les plus dfavorables ( f = 2) .
i) Calculer llasticit de cette corde (prciser les units
de a).
ii) Calculer llongation maximale de cette corde et la
force maximale pour L = 10 m et f = 1 .
iii) Quen est-il pour le doc. 3 o la hauteur de chute est de
5 m et la longueur de la longe (corde laquelle est accro-
ch le grimpeur) est de 1 m.
b) Ltude prcdente ne tient pas compte des phnomnes
dissipatifs se produisant dans la corde. Llongation de la
corde est en fait infrieure celle calcule avec le modle
choisi. La corde ne se comporte pas comme un ressort.
Supposons que pendant toute la dure du freinage par la
corde, elle sallonge de faon maintenir 9 kN la force
quelle exerce sur le grimpeur. Calculer son longation
maximale pour L = 10 m, g = 1 puis L = 1 m, f = 5 .
c) Une corde utilise en splologie est dite statique car son
lasticit est faible (environ 5 10
6
SI). En revenant au
modle dune corde parfaitement lastique, partir de quel
facteur de chute y a-t-il danger de mort avec une telle corde ?
Anneau en mouvement
sur une hlice
Les quations en coordonnes polaires dune hlice rigide
daxe vertical Oz sont r = a et z = hq. Un petit anneau enfil
sur lhlice est abandonn sans vitesse initiale au point dal-
titude H = 2h. En assimilant lanneau un point matriel
4
mobile sans frottement, calculer le temps quil met pour
atteindre le plan horizontal z = 0.
Mouvement de trois lectrons
Trois lectrons sont retenus aux sommets dun triangle qui-
latral de ct a puis sont abandonns simultanment.
Dterminer la vitesse limite de chacun. Application num-
rique : m = 9 .10
31
kg, e = 1,6 .10
19
C, a = 2 .10
10
m,
e
0
= 1/36 .10
9
.
*Mouvement dun point
sur un cercle, liaison bilatrale,
puis unilatrale
On considre une gouttire G circulaire, verticale, de centre
O et de rayon R . On appelle (Oy) laxe vertical ascen-
dant. La position dun point P sur G est repre par langle
q entre OW
et OP
, o W est le point le plus bas du cercle.
1 Une petite perle P de masse m est enfile sur la gout-
tire (liaison bilatrale) qui joue donc le rle de glissire.
linstant t = 0 , on lance P depuis le point W avec une
vitesse v
0
. La perle glisse sans frottements le long de G .
a) Exprimer la vitesse de P en un point daltitude y en
fonction de v
0
, g , R et y .
b) tudier alors les diffrents mouvements possibles de P
suivant les valeurs de v
0
.
c) Dterminer la raction N
de la gouttire sur la perle.
tudier ses variations en fonction de y . Commenter.
d) On choisit ici v
0
= 25gR . Dterminer la loi horaire q(t) .
Quelle est la valeur maximale de q ?
Pour quelle valeur de t est-elle atteinte ?
Donne :
q
0
d
cos
ln tan= +
2 4
y
x
gouttire
O
R
P
g
6
5
EXERCICES
Puissance et nergie en rfrentiel galilen
3
31
Conseils
Pour dterminer llongation extrme de la corde, qui
est le but des questions poses, il est inutile de rsou-
dre lquation du mouvement pour obtenir la loi
dvolution de la longueur de la corde au cours du
temps. Utiliser la conservation de lnergie, en exa-
minant soigneusement les conditions initiales pour
calculer la constante nergie mcanique, est bien suf-
fisant et nettement plus rapide.
Conseils
Comment volue la figure forme par les trois
lectrons ? Utiliser le point O, centre de gravit du
triangle initial pour reprer la position dun lectron.
-
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
On se placera dans ce cas par la suite.
2 Stabilit de lquilibre
a) Exprimer lnergie potentielle E
p
(z) associe ce
mouvement (on choisit E
p
(0) = 0) . Tracer lallure des
variations de E
p
(z) , et discuter la stabilit des positions
dquilibre obtenues.
b) Quelle est la pulsation w
0
des petites oscillations de la
sphre au voisinage de lquilibre stable ? (On lexprime-
ra en notant z
e
la position dquilibre stable.)
3 On a trac ci-dessous quelques trajectoires de phase
dans le plan
z,
pour diverses conditions initiales.
a) Peut-on prciser le type de conditions initiales qui a t
choisi, et le sens dvolution de la particule sur ces trajec-
toires ?
b) Proposer quelques commentaires pour les volutions
observes.
Navire moteur (Banque G2E08)
Un navire, de masse m = 10 000 tonnes, file en ligne droi-
te, la vitesse v
0
= 15 nuds.
La force de rsistance exerce par leau sur la coque du
bateau est du type : F = kv
2
o k est une constante et v la
vitesse du bateau.
Un nud correspond 1 mille nautique par heure et le
nautique est gal 1 852 m.
On se place dans un rfrentiel li au port qui sera suppo-
s galilen.
8
1
v/w
0
1 2 3 4 5
0
1
2
3
3 2 1
4
z
v
w
0
2 La gouttire G reprsente maintenant un des trous
dun parcours de golf miniature : la balle doit faire un loo-
ping complet lintrieur de G avant de poursuivre son
chemin (liaison unilatrale). La gouttire est videmment
ouverte en W et dcale pour que la balle puisse pour-
suivre son chemin. La balle est assimile un point mat-
riel P de masse m . Elle arrive au point W avec la
vitesse v
0
.
a) tudier les diffrents mouvements possibles de P sui-
vant les valeurs de v
0
.
Quelle valeur minimale de v
0
faut-il donner la balle pour
quelle effectue le tour complet ?
b) On choisit encore v
0
= 25gR . Pour quelle valeur de q
la balle quitte-t-elle le contact avec la gouttire ? quel
instant cela se produit-il ?
Mouvement dune particule
charge sur un axe
Laxe vertical (Oz) est matrialis par un fil fin sur lequel
peut coulisser sans frottement une trs petite sphre, de
masse m , portant la charge lectrique q positive.
Un cerceau de rayon R et daxe (Oz) , portant une char-
ge lectrique positive rpartie uniformment sur sa circon-
frence, cre un champ lectrique dont on admettra lex-
pression sur laxe (Oz) :
E
axe
(z) = a e
z
, o a est une constante positive.
1 Force subie
a) Exprimer la valeur algbrique F(z) de la force dorigi-
ne lectrique F
(z) = F(z) e
z
subie par la petite sphre.
Tracer lallure des variations de F(z) .
b) Pour quelles valeurs de la masse m est-il possible
dobtenir des positions dquilibre pour la petite sphre ?
7
z
(R
2
+ z
2
)
3
2
EXERCICES
Puissance et nergie en rfrentiel galilen
3
32
Conseils
1) La perle effectue un tour complet si sa vitesse ne
sannule pas au cours de son mouvement. Le signe de
la raction de la gouttire (ou de la glissire, dans
cette question) na aucune importance ici, car la perle
est enfile sur la gouttire, donc le contact est tou-
jours assur.
Pour dterminer lquation du mouvement, isoler
d
d
q
t
partir du thorme de lnergie cintique en
faisant trs attention aux signes (on rappelle que
3x
2
= x ). Mettre ensuite cette quation sous la
forme dt = f(q) dq avant de lintgrer.
2) Dans ce cas, quand la raction de la gouttire san-
nule, la balle quitte le support : la gouttire ne joue plus
le rle de glissire. Il reste tudier, suivant les valeurs
de v
0
, si la raction sannule avant la vitesse ou non.
Conseils
1) lquilibre, la somme des forces doit sannuler.
2) Lquilibre stable correspond un minimum
dnergie potentielle. Pour de petits mouvements, on
peut essayer de linariser lquation du mouvement
au voisinage de lquilibre.
-
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
1 Calculer la constante k sachant que le moteur fournit
une puissance de 5 MW la vitesse v
0
.
2 Le navire stoppe ses machines la distance X au large
de la passe dentre dun port.
Dterminer lexpression de la vitesse du navire en fonc-
tion du temps t. On posera L = m /k.
3 En dduire la distance X parcourue par le navire en
fonction de L, v
0
et v
P
, la vitesse au niveau de la passe.
Calculer cette distance si on dsire atteindre la passe la
vitesse de 2 nuds.
4 Dterminer le temps q mis pour atteindre la passe.
5 Dterminer la vitesse, v
Q
, larrive du quai, un demi-
mille au-del de la passe dentre. On la calculera en
nuds puis en m/s.
6 Quelle est la solution durgence pour arrter le bateau?
tude dun looping
(daprs ICNA 06)
Une bille, assimile un point matriel M de masse m, est
lche sans vitesse initiale depuis le point A dune gout-
tire situ une hauteur h du point le plus bas O de la
gouttire. Cette dernire est termine en O par un guide
circulaire de rayon a, dispos verticalement. La bille, dont
on suppose que le mouvement a lieu sans frottement, peut
ventuellement quitter la gouttire vers lintrieur du cer-
cle. On dsigne par g
= ge
y
lacclration de la pesan-
teur (cf. figure ci-dessous).
A
x
h
a
C
M
O
y
ye
y
yg
ye
q
ye
r
ye
x
q
9
1 Calculer la norme v
0
de la vitesse de la bille en O.
2 Exprimer la norme v
M
de la vitesse de la bille en un
point M quelconque du cercle repr par langle q.
3 On dsigne par e
r
= le vecteur unitaire port
par le vecteur position ICM du point M.
crire lexpression de la raction R
= Re
r
du guide circu-
laire sur la bille.
4 Dterminer la hauteur minimale h
min
partir de laquel-
le il faut lcher la bille sans vitesse initiale pour quelle ait
un mouvement rvolutif dans le guide.
5 On lche la bille sans vitesse initiale depuis une hau-
teur h
0
= 2a. Calculer, en degrs, la valeur q
0
de langle q
pour laquelle la bille quitte le guide.
6 Calculer la valeur v
Ox
de la composante suivant laxe
Ox de la vitesse de la bille au moment o elle quitte le
guide.
7 Calculer la valeur maximale h
M
de la hauteur atteinte
dans ces conditions par la bille aprs quelle ait quitt le
guide.
CM
CM
EXERCICES
Puissance et nergie en rfrentiel galilen
3
33
-
34
Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorise est un dlit.
tude de la chute dun alpiniste
1 Notant x lallongement du ressort, lquation du mouve-
ment est :
mx
= kx + mg
dont lintgrale premire est, compte tenu des conditions
initiales :
mx
2
mgx + kx
2
= mv
0
2
.
Llongation maximale du ressort est la solution suprieure :
x
eq
= de lquation du second degr :
kx
2
2 mgx mv
0
2
= 0.
Soit : x
max
=
1 +
8
1 +
2
.
La force maximale vaut alors :
F
max
= mg
1 +
8
1 +
2
.
2 La hauteur de chute libre h qui donne une vitesse v
0
la
limite de tension de la corde est h = .
Le facteur de chute du cas tudi est donc f = , ce qui
permet dcrire la force maximale sous la forme :
F
max
= P
1 +
5
1 +
.
Ce rsultat ne dpend que du facteur de chute, pas de h : pour
une corde deux fois plus longue et une hauteur de chute deux
fois plus grande, la force maximale est inchange (le contact
avec la paroi risque tout de mme dtre un peu plus svre !).
Le cas le plus dfavorable correspond L minimum, pour
une hauteur de chute h donne, soit f = 2, cas du doc. 2 de
lnonc.
3 a) i. Llasticit de la corde est :
a = , mesure en N
1
.
Pour F
max
= 9 kN, P = 800 N, f = 2 , il faut que llasticit
de la corde soit a = 4,8 . 10
5
N
1
.
ii. Pour L = 10 m et f = 1 , llongation maximale est :
x
max
= aLP
1 +
5
1 +
= 3,2 m
et la force maximale vaut F
max
= 6,6 kN.
iii. Ce cas apparat catastrophique : la hauteur de chute est
importante alors que la partie extensible de la corde est trs
3
2 f
aP
2 fP
F
max
(F
max
2P)
2 f
aP
v
0
2
2gL
v
0
2
2g
k
m
v
0
g
mg
k
k
m
v
0
g
mg
k
1
2
1
2
1
2
Corrigs
Distance minimale de freinage
Soit F le module de frottement entre la voiture et le sol. Le
thorme de lnergie cintique entre le dbut du freinage (la
voiture la vitesse v ) et larrt scrit :
1
er
cas : 0
= Fd
1
;
2
e
cas : 0
= Fd
2
.
On en dduit =
2
= 2,56,
ce qui donne d
2
= 102,4 m, soit environ 100 m. La distance
de freinage a donc augment de 60 m !
Carabine-jouet ressort
1 Lnergie mcanique initiale de la balle est :
M
0
= mg sin a si on choisit lorigine des nergies
potentielles lextrmit du canon de la carabine. Quand la
balle sort du canon, son nergie est donc uniquement sous
forme dnergie cintique, elle vaut . La conservation de
lnergie mcanique (on nglige tout frottement) donne :
v
0
=
9
m
k
()
2
2g sina
v
0
= 14,1 m . s
1
51 km . h
1
.
2 Quand la balle est au sommet de sa trajectoire, sa vitesse
est horizontale. La seule force agissant sur la balle une fois
quelle a t tire est son poids, donc la composante horizon-
tale de la vitesse se conserve :
v
H
= v
0
cosa = 7,0 m . s
1
25 km . h
1
.
Le thorme de lnergie cintique entre linstant o la balle
sort du canon et celui o elle passe au sommet de sa trajectoire
parabolique scrit :
= mgh, donc h =
7,6 m .
v
2
0
sin
2
a
2g
mv
2
0
2
mv
2
H
2
mv
2
0
2
mv
2
2
2
mv
2
1
2
k ()
2
2
2
d
2
d
1
v
2
v
1
1
-
rduite. Cest pourtant ce qui est utilis dans le cas dune
excursion en via ferrata, mais le dispositif dassurance utili-
s est alors tout particulirement conu pour ce genre dex-
pdition : la fixation au harnais est un amortisseur.
A.N.
: f = 5 , L = 1 m et F
max
= 13,7 kN.
b) Pour ce nouveau modle, lquation du mouvement est :
mx = F + P
o le second membre est constant, soit :
m
.
x
2
+ (F P)x = mv
0
2
.
Il vient alors :
x
max
= = L .
A.N. : L = 10 m et f = 1 : x
max
= 1 m ;
L = 1 m et f = 5 : x
max
= 0,5 m.
c) Le facteur de chute est :
f = .
Pour F = 12 kN et a = 5 . 10
6
N
1
, on a f
max
= 0,39 .
Anneau en mouvement
sur une hlice
Lors du mouvement de lanneau, seul son poids travaille.
On peut appliquer le thorme de lnergie cintique entre
laltitude H et laltitude z.
mv
2
= mg(H z)
Sur lhlice OOM = au
r
+ z u
z
v
= a
qu
q
+ z
u
z
= a
qu
q
+ h
qu
z
v
2
= (a
2
+ h
2
)
q
2
Soit m(a
2
+ h
2
)
q
2
= mgh (2 q )
Lanneau part de q = 2 et arrive en q = 0, donc 0.
Soit = 92 q
= dt.
Lanneau atteint le sol pour t = T avec
= T.
T = 2
( )a h
gh
2 2
+
2
2 2
gh
a h+
d
2
0
2
2
2 2
gh
a h+
d
2
d
d
t
1
2
2
2 2
gh
a h+
d
d
t
1
2
4
aF
max
(F
max
2P)
2P
mv
0
2
2(F P)
f
F
P
1
1
2
1
2
Mouvement de trois lectrons
Au cours du temps, les lectrons restent positionns sur un tri-
angle quilatral dont le centre de gravit O est immobile.
Posons OA = x. OA = AH = AB sin = AB.
Llectron en A est soumis deux forces :
F
BA
de la part de
llectron en B et
F
CA
de la part de llectron en C de mme
norme.
F
BA
+
F
CA
= 2 cos u
x
= u
x
.
Cette force globale drive de lnergie potentielle E
p
(x) avec :
E
p
(x) =