Download - Guide Du Calcul en Mécanique 02
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DEUXIMEEXEMPLE:
Ledispositifanti-drapantci-dessous'estcomposdesixbrastirsradialementdefaonconcentriqueparunmcanismecontenudansleboitiercentral9.Lorsquelebras3,parexemple,passe laverticale,lepneus'crase,lebrascoulissedansunerainuredeguidageduboitier9 etlaforcedeserrages'annulle.Ledis-positifdonccentret quilibrau coursde la rotationdelaroue.
Ondonne:h=140,,u=tanf(J=0,4enBetCde3sur9.
Recherchergraphiquementlaconditiondenonarc-boutemententre3et9 ettrouverlavaleurdel' donnantlapositionlimite
parrapport(0,x)delaforcedeA; ducrampon6sur3.HYPolhses:
. LepoidsdesbrasetdescramponsestngligeabledevantlaforcedeserrageIlFil=220N.
. Il existeunplandesymtrie(0, x, Y) dans le plan mdian desbraspourleseffortsetlagomtrie.
. Sousl'actiondelaforceA; lebrasremonte,bascule,etvientencontactponctuelenBetCsur9.
DISPOSITIF ANTI-DRAPANT (POUR NEIGE)
1
MTHODE DE CONSTRUCTION ET DE RECHERCHE
1Prolongerlessupportsconnus(e;;,S;;;)jusqu'leurpOintdeconcours1.Hachurerleszonesdanslesquellespeuventsetrouver~ el ag;pourl'quilibre.2Traceruneverticalepassantpar1.Si :
. Lesupportde~estgauchede1:arc-boutemenl.
. le supportdeA6/3estdroitede1:l'quilibrede3estimpos-
sible,il ya glissementde9sur3.
.Brevetdposparl'undesauteursdel'ouvrage, **Voirthormechapitre42,
101
SOLUTION:
1Isoler3l'quilibrestrict.2Recenserlesactionsmcaniquesexlrieures:
(
~
}
-118;11sinf(J 0( \ 89/3 ~
SI B9/3J = = -IIB9d!cosl' 0S S 0 01(x.y,z)
(
~
}
-IIG;IIsinf(J 0
d C9/3)= C~3= +IIG;II cosf(J 0c 0 0 1~~~c (x,y,z)
A(A6/3)=(,\ =
(+IIII.X}A 0 i A 0 (~~~ )x,y,z
3crireleprincipefondamentaldelastatique:
s{B9d +s{C9/3}+S{A6/3}={O},
4Rsoudregraphiquement:
Les~m~estenquilibresousl'actiondetroisglisseurscoplanaires":. !fI=a ::} lestroisrsultantessontconcourantesen/,. S = ::} ledynamiqueestferm,Lesconstructionssontexpliquesci-dessous,
Ontrouvequesi 1'1 t:~ 8",~
89/3'
1
~::J ~~ ~Q) t::U Q)t:: E~ Q)
-0
-
102
37 Principalestapesd'unproblmedestatique
37.1 Mthodegnrale
, quationsdiffrentesde. 0=o.
Dfinirl'objectif,dlimiterlesystme,poserleshypothses
Dfinirlesclassesd'quivalences,(re)tracerlegraphedesliaisons,(re)dessinerleschmacinmatique
Non
e(S)ouunsolide,recenserlesactionsextrieures:elestorseursassocisauxactionsdistance,
crirelesmeurstransmissiblesauxliaisons
Non/ Plandesymtrie?Oui
crirelestorseurssimplifiss'exerantsur(S)
Comptabiliser8 Lesinconnuesstatiques:n5 8 Lesquationssignificatives*:nCalculerl'ordred'hyperstaticit:h=n5- n
Non/ h=O? Problmeisostatique?Oui
crireleprincipefondamentalrelatifl'quilibrede(S}:Z=RMA=0
Choixd'unemthodedersolution
Analyser,interprterlesrsultats,vrifierleshypothses
NonHypothsesconfirmes?Inconnuestoutesdtermines?
~Finduproblmedestatique
-
37.2 Exempled'applicationUnmcanismedecommandedequatresoupapesd'unmme
cylindredemoteurexplosioncomprend(fig,1):
. 2 linguetsd'admission10,2 linguetsd'chappement2,
. 2tigesdeculbuteurs3,
. 2 culbuteursd'chappement4,
. 4 poussoirshydrauliques rotule12,permettantl'articu-lationdeslinguetsetlerattrapageautomatiquedesjeuxdedila-tationdelacommande,
1le TAPE:cernerl'objectif
Connaissantl'effortexercparlasoupape6sur511F6/sll=1045N,
calculerl'effortA2/~danslebutdevrifierlaconditiondenon-matageenA(fig,2),
. AnalyserlefonctionnementCaractriserles mobilits
L'arbrecames1estentranparlevilebrequin l'aided'une
courroiecrante,Lescamesd'admissionagissentdirectementsur
lessoupapesd'admission11parl'intermdiairedeslinguets10,
Lescamesd'chappementactionnentlessoupapes6demme
nom,parl'intermdiairedeslinguets2(fig,1et2),destiges3,desculbuteurs4, articulsautourd'unaxesolidairedela
culasse0,
Lessoupapes6 sontguidesdansdesbaguesdebronze,
Ellessontappliquescontre5 pardeuxressorts7et8,
. Poserles hypothsessimplificatrices
Lesliaisonspivotd'axe(E,.l) etrotules(decentres8, C,D)
sontparfaites(sansjeu,sansfrottement),Lecentre8delarotule
dupoussoirhydrauliqueestconsidrcommefixeparrapport
laculasse0,Lecontactentre5 et6 estavecfrottement,tel
que:tan'P=IL=0,15,
Lespoidspropresdespicessontngligsdevantl'intensit
desactionsmcaniquesauxliaisons,
Il existeunplandesymtriepourlagomtrieetlesactions
mcaniques,
2eTAPE:tracerlegraphedesliaisons
Aupralable(mthodedveloppeauchapitre5),
. dfinirlesclassesd'quivalence(groupedepicessansmouvementrelatifentreelles),
. rechercheretidentifierlesliaisonsentrecesclasses,
103
CD COMMANDE DE SOUPAPES1 2 12 3 4
12 7-8
Soupapesd'admission11
Soupapesd'chappement
6
Piston
Bielle
0 COMMANDE DE SOUPAPES D'CHAPPEMENT3 2
Effortconnu ( 32.41)
0
(
-155
)F6/4,5 1 034
0 ~~~( F, X2' Y2' Z2 )
CD GRAPHE DE LIAISON
Liaison entre2 et 1 de centreA (ou de contactA)
4,5-3: rotule
E4,5-0: pivot
F4,5-6: sphre-plan
C3-2 : rotule
82-0 : rotule
'6-0 : pivot glissant
A2-1 : sphre-plan
H1-0 : pivot
-
104
. ReprsenterleschmacinmatiqueLemcanismeprsenteunplandesymtiepourlagomtrie
etlesactionsmcaniques.Nousoptonspourleschmaplan
reprsentfigure4.
3eTAPE:isolerle(s)systme(s)
. Systmesoumisdeuxrsultantes3 estenquilibresousl'actiondedeuxrsultantesdirec-
tementopposes': c;etD4,5/3' portesparladroiteDe,Leurintensitresteinconnue,
. Systmesoumistroisrsultantes
Isolerleculbuteur14,5}:
. crirelestorseurstransmissiblesauxliaisonsdansle
repregalilen(E,X,y, z) lilaculasse0:
[XD0
)DID3/4.S}= 0 0
D 0 0Liaisonrotule3- 14,5}:
(LesupportdeD3/4,5estselonDe:voirl'isolementprcdent.)
[XE 0
)EIEO/4,5}= YE 0
E 0 0
(Lemcanismepossdeunplandesymtrie(E,X,y).)Liaisonsphre-plan6- 14,5}:
[- 1045sin(a +rp)0
)F{F6/4.5}= 1045cos(a+rp)0
F 0 0
. crirelestorseursassocisauxactionsdistance:Aucun(poidsngligs,pasd'actionslectromagntiques).
Liaisonpivot0- {4,5}:
4eTAPE:calculerl'ordred'hyperstaticitde14,5}
. Nombred'inconnues:ns=3:XD,XE,YE.
. Nombred'quations:n=3(problmeplan),
. h=3- 3;h=O.Problmersolvable.
Guidelmentairepourinterprterlesrsultats
Toutrsultatdoittreanalysetjug:
. L'actiondecontactest-elledirigeverslamatire?Oui.
Sinon:erreuroumodifierlanaturedelaliaison(cas1).
. LelinguetsupporteuneforceIlA; Il= 1 900 N suruncontactponctuel.Cecontactrsiste-t-i!aumatage?CalculerlapressiondematageparlaformuledeHertz(voir 47.23).
.VoirIhormechapilre42.
8) SCHMA CINMATIQUE PLAN
4-5
6
~C
~ A a ..Q.~ 2 1 ~
B
-L- xz .CD ISOLEMENTDELABIELLETTE3
- -
~~9-t- -Support de 04/3et C2/3selonDe
@ ISOLEMENTDE{4,5}Axede3
Normaleau plantangent 6/5
x
F\Z2 ev,,/'
Sens du dplacementde {4,5}/6
Cas1
Forcedirigeversl'extrieurdela matiredusystmeisol:impossible!
Possibilitde modificationpourcertainsmcanismes
?/f ~i T,I,j\'~ .- r " /1CL7J A.Y1Y''~
Remplacerle contactponctuelparuneliaisonpivot.(Reconception)
-
5eTAPE:crireleprincipefondamentaldelastatique
. Lesystme{4,5}estenquilibre.
. Rechercherle pointoil yale plusd'inconnues.(Lechangementdepointderductiondestorseursy estsimple).Ici:E.
. crirequelasommedestorseursd'actionsmcaniquesextrieuressur{4,5}aupointEestgaleuntorseurnul:
E{D3/4,5}+E{Eo/u}+E{F6/4,5}={a) (voir31.5).
6eTAPE:choisirunemthodedersolution
. Lesystme{4,5}estenquilibresousl'actiondetroisglisseurs.C'estunproblmesimple.
. Leshypothsessimplificatricessontnombreuses:facteurdefrottementetjeungligsenEetD.Effetsdyna-miquesngligs...
. LesfichiersCAO.- DAO. dfinissantlagomtriedespices,lanaturedesliaisons,leseffortsappliqusn'existentpas.
. Danscecas,privilgierlarapiditetlasimplicit:lamthodegraphiqueconvient.
7eTAPE:rsoudreparlamthodegraphique
. Lethormedelarsultantestatiques'crit:
D3/4,5+ E0/4,5+F6/4,5= dynamiqueferm.. Lethormedumomentstatiques'crit:, , ,
if E(D3/d + if E(Eo/d + ifE(F6/d = troisrsul-tantesconcourantesen1.
aeTAPE:isolerlelinguet2
~e linguetestsoumisl'actiondetroisrsultantesparallles.
C3/2estconnueparl'isolementprcdent.La mthodegraphiquedu dynamiqueet du funiculaire
s'applique.OntrouveIlA; Il= 1900N(voir 44.2).
geTAPE:interprterlesrsultats
Guidelmentairepourinterprterlesrsultats
. L'actiongarantit-ellelenon-glissements'ilestrecherch?Oui.Sinon: erreuroumodifierlanaturedela liaison.
Cas2 : forcehorsducnedefrollement: impossible!
. L'actionest-ellecompatibleaveclapositiondelasurfacedeliaison?Oui,sinon:erreuroumodifierlasurface.Cas3:forcehorsdelasurfaced'appui:impossible(basculement).
. Lematageest-ilvit? Oui,sinon:erreurouagrandirl'tenduedelasurfacedeliaison.Passerd'uncontactponctueluncontactlinaireousurfacique.
105
(j) RSOLUTION GRAPHIQUE DE L'QUILIBREDE {4,5}
03/4$=0
200 NL J
Support de 3/4
~-
Support de EO/4
(passe par1)
IlF6/511=1 045 NIlEO/411=1 900 N
Il3/411=1 120N
0 QUILIBRE DU LlNGUET 2
c
80/2
C3/2
A1f2A
Impossible!
A2/1
Cas2Possibilitde modification1 A- 211 ~---l8211 B 12 - 1-= ::--- ~- - - - -1
Possibilitdemodification
---
-
106
38 Ordonnancementdesisolements
Unesuspensionarriredemotoestreprsentesurlafigure1.
l'arrt,l'effortdelaroue1sur2est0; = 2 000Y(enN).Tous les effortssontramensdansle plande symtrie
(0,7,1').
On demandedetrouverl'ordredes isolementsafinde
dterminerlesactionsmcaniquesauxarticulationsA, B, G,
enutilisantlegraphedeliaison.
1 Reportersurlegraphedeliaison(fig.2) lenombred'in-
connuesstatiques(ns)'
2Isolerlesystmeleplusglobal(5)reliantlesolidesurlequels'exercela forceconnueauxactionsrecherches(5)={2,3} ns=2+2= 4(fig.2).Nombred'quations:n=3 (problmeplan).h=4- 3=1.Rsolutionimpossible.
3Rechercherd'autresisolements.
(52)={2}ns=4 ; (53)={3}ns=4.
Aucunisolementnepermetdersoudreluiseulunquilibre(fig.2).
4 Isoler le(s)systme(s)dedeuxglisseurs (53) = 13)
ns= 4;deuxglisseursdirectementopposs=>supportselon
AB (fig.3).EnA etB, il resteuneinconnue(lanorme).
Reportercettedonnesurlegraphe(fig.4).
5Isolerle(s)systme(s)detroisglisseurssurlequels'exercelaforceconnue.(52)={2}ns=3,n=3.Rsolutionpossible(fig.4).
Ni;={::} Troisglisseursconcourants.~ ~
R =aq Dynamiqueferm.
Ile;Il= 3400N IlC;Il=2000N.6 Isolernouveau3.B213estconnue(actionsmutuelles).
Ontrouvei = - S;;;Ili Il= 3400N.Leproblmedestatiqueestrsolu.
CD SUSPENSION ARRIRE DE MOTO3 Amortisseur 0 Cadre
1 Bras oscillant
@ GRAPHE DE LIAISON
(S)
@ ISOLEMENT DE 3
(S~) ns=2A3 8ns = 2Support de A 0/3et de 82/3
@)ISOLEMENT DE 2 10 mm f:!,1000 N
cn,~2 ~~S'J . >/8 12n =Zs 1 - -. " ,~s= a 01/21 /83/2Aprs l'isolementprcdent
-
107
39 Choixd'unemthodedersolution
39.3 MthodeinformatiqueEllepermetdersoudredesquilibresdesystmes:
. soumis des lorseurs quelconques,complexes,
compossdenombreuxsolides(exemple6: charpentesmtal-
liques,systmestrianguls),.hyperstatiques(exemple7 :poutresurtroisappuis),. occupantdiffrentespositionsdansl'espace(presses...).Cettemthodencessitela crationdefichiersdessins
mmorisantslesdonnesnumriquesde la gomtriedes
solides(dmarcheDAO: - CAO **).. Lorsquelesfichiersdessinsexistent,lescalculssontrapidesetprcis.* DAO. :dessinassistparordinateur. ** CAO. :conceptionassisteparordinateur.
Ilestimportantdeconnatrelescaractristiquesd'unemthode
pourfaireunchoixjudicieux.
39.1 MthodeanalytiqueEllepermetdersoudredesquilibresdesystmes:
. Soumis destorseursquelconquesdans l'espace
(exemple1 :poutreencastre).
. Soumisdesglisseursnoncoplanaires
(exemple2: arbredebotedevitesses:chapitre41).
. Soumisdesrsultantesdansleplanetdesmomentsnonnuls(exemple3:montageautomatis:chapitre40).
. Occupantplusieurspositionsdansleplanoul'espace(robots)ncessitantun paramtragedes actions.Lescalculssontparfoiscomplexesetlents,maisprcis.
39.2 MthodegraphiqueEllepermetdersoudrelesquilibresdesystmes:
. Soumisdesglisseurscoplanaires:contactsponctuels
dontlesnormalessontdansunmmeplan(voirchapitre37
commandedesoupapes).
. Soumis desactionsdecontactsconcourantesenun
mmepoint(exemple4: commandedegodet: 42.2).. Soumisdestorseursdontlesinvariantsscalairessontnuls:(S.;r:" S.~"..."O). Ils sontdoncrductibles desrsultantesauxpointsappartenantauxaxescentraux(exemple5).Cettemthodencessite:
. destracssoigns,auxinstruments,partirdeplansprcis,
. deshypothsessimplificatricesjustifiantlaprcisionmoyenne,maisrapide,delamthode.
MTHODE ANALYTIQUE (EXEMPLES)
x
B?
0 x
0
MTHODE GRAPHIQUE (EXEMPLES)
@A 11---2.... B
Tf2FPoint / 1 \de concours Axe centralde {01/2} R1/2* 0
#'1/2=0
Conseil pourla rsolution
Pour rsoudre un problme, ne pas hsiter utiliser conjointe-
menties mthodes analytiques et graphiques, en choisissant
chaque stade celle qui est la mieux adapte.
MTHODE INFORMATIQUE (EXEMPLES)
@
0 A ~~ B
I~I ~ ~
c iF;
-
108
40 Rsolutionanalytiquedansle planUnproblmeestconsidrcommeplansi labranche2,
parexemple,estenquilibredanslerepre81g(B,X,YJ sousl'actiond'actionsmcaniquesdontlesrsultantessontdansle plandesymtrie(P) et les momentsventuelsperpendiculaires(P).
Leprincipefondamentaldelastatiqueappliqu2s'crit:~ ~
",R=O ,B{gT212)={O} ... ~ ~ (notation31.5).
;t!B=0
La mthodedersolutionanalytiqueconsiste :
. projeterFietl1;dans~Rg:(B,X,y, z):Fi=0 .Enprojectionsur(B,x): X=0 (1).Enprojectionsur(B,y): Y=0 (2)IfB=0 .Parrapport(B,z) : NB=0 (3)
. rsoudrele systmede3 quations 3 inconnues.
EXEMPLEDECALCUL1 :
L'arrachemoyeusert dsolidariserla bague6 monte lapresse
surl'arbre7.
l'aidedel'crou4,l'utilisateurrglel'cartementdesbranches2
enfonctiondudiamtredelapice6.Lorsqu'iltournelavis1en
appuisurl'extrmitdel'arbre7, l'crouchape3 remonteet
entranelesdeuxbranches2etlabague6,
HYPOTHSES:
. Poidsdespicesngligdevantleseffortsauxliaisons.
. Contactsponctuelsparfaitsentre2-4enA,2-6enC.
. FrottementngligenA,B,C.
. Ilexistedeuxplansdesymtrie:(D,x,.h (D,z, Ji)Ondonne15;= 10000Ji. Calculerc;, B512 ' A;danslapositionA (extrmitsCetC'rapproches),
SOLUTION:
10Isolerl'arrachemoyeu(8)={1,2,3,4,5}:. Recenserlesactionsmcaniquessur(8).
. Rechercherlessymtries:leplan(D,Ji, z) estunplandesymtried'o Yc= YI;.
. crirelethormedelarsultantestatique/ (0,y) :2Yc+10000=0 ; d'oYc=- 5000N.
PROBLME PLAN: BRANCHE 2
Plandesymtrie(P)
1- (P)
Hypothses: liaisonsA, B, C rellesavec frottement(voir 12.6et 12.10)
ISOLEMENT DE L'ARRACHE MOYEU (5)
4
x
5
3
1
2
6
7 '~-1 .C
Supportde0 -1-17/1Support de C 306/2
liaison7-1 liaison6-2 liaison6.2
Sphre-plan(0,y) Sphre-plan(C,y) Sphre-plan(C',y)
0(7/1)={10 oo } c(C6/2)={:c } C'(C6/2)={:}0 0 0 C 0 0 C' 0 0
-
2Isolerunebranche2:
. Recenserlesactionsmcaniquessur2,(dansB,X,y,z).
. Rechercherlessymtriesetsimplifierlestorseurs:Leplan(B,X,1) estunplandesymtrie;letorseurB{B5/2)sesimplifie:ZB=0;LB= MB=0 (voirchapitre8).
(
XB 0
]{B512}= . YB 0 .B 0 0. Rechercherl'ordred'hyperstatisme:Nombred'inconnues:ns= 3(IIA4/211.XB'YB)}h=n -noNombred'quations:n= 3(problmeplan) sh=3- 3;problmeisostatiquedoncrsolvable.
. crireleprincipefondamentaldelastatique:
B{C6/2}+B{A4/2}+B{B512}={O}.
LepointBestchoisicommepointderductioncarc'est
enBqu'ilyale plusd'inconnues.
. crirelethormedelarsultantestatique:
C6/;+A;+a;=0- IlA4/2Ilcos50+XB =0
-5000 - IlA;Ilsin50+YB= 0. crirelethormedumomentstatique:
Bex C6/2+8x A4/2+= .
(
20
) (
0
) (
2
)
-11~II,coS500
) (
0
)-10~ x -500~+ 3~x -IIA4/2~I.sin50 = ~
-105-IIA4/211.sin500x2+11A;II.cos500x37=0 (3)
. ~ 105 II~
IIDe(3)ontire:IlA4/2Il= 22,251 A4/2 =4490N(1)devient:- 4494x cos50+XB= 0; XB=2890N
(2)devient:- 5000-4494xsin50+YB=0; YB= 8440N
CalculerIla;Il= yiX+d:IIB5/211=Y2888,72+8442,62;IIB5/211=8920N.
(II)
* x estlesigneduproduitvectoriel.
109
ISOLEMENTDE 2 ~50412
0;/
A
00~
B5/2?
ContactA, B, C parfaits(sansfrottementf.1=0)
Support de A4/2
~150
);x
C
C6/2 =- 5000 Y
Notations:B{C6/2}selit:torseurassociauxactionsmcaniquesde6sur2delaliaisonC,exprimaupointderductionB.
Changementdupointderductiond'untorseur
{
~
)
- C612ciC6/2}- ~
C 1'1C6/2
Relationfondamentale(voirchapitre76).
}-{
~)
B{C6/2 - ~ ~ ~B ;t!C6/2+BCx C6/2
(casgnral)
(1)
(1)
(2)
~ ~
Ici:;t!C6/2=0 (liaisonsphre-planparfaite),ilsuffitdecalculer
Bx~:- ~
(
- ~~O \ x.
' 1-50000)0 1u51:0 .~
20~0 ]-'-100~000 1 ~
L20Loo):1 Il
BCxC6/2:
- ~BCX C6/2:
Demme:
2 - IlA4/211.cos50BAxA; :137 x - IlA;Il.sin50
0 0
0BAx ,L1 ~ 0 ~
- IlA4/211.sin50x 2 + IlA4/211.cos50x 37
liaison6-2 liaison4-2 liaison5-2
Sphre-plan(C,y) Sphre-plan(A,n) Pivot(B,z)
/C6/2}={-5OO} rA;IISin50' O} rB LB}{A4/2]= -liA; Ilsin50'0 {Bs/2}=YB MB
C 0 0 A 0 0 B ZB 0
-
110
41Rsolutionanalytiquedansl'espaceUnproblmeestconsidrcommespatialsilesolide1,par
exemple,estenquilibredanslerepre~j(g(A,x,Y'z) sousl'actiondersultantesnoncoplanairesetdemoments
quelconques.Lethormefondamentaldelastatiqueapplique1s'crit:
A{5';1111)={O}.If R~= ~ notation31.5).""';/fA111=O
Lamthodedersolutionanalytiqueconsiste :
. ProjeterIi et;t?;;dans~Rg:(A,x,y,z):
j8 enprojectionsur(A,x): X =0 (1)
R 111= 8 enprojectionsur(A,E): y =0 (2)8 enprojectionsur(A, z): Z =0 (3)
!
8 en projectionsur (A, x): LA =0 (4)
;/fA1/;= 8 enprojectionsur(A, E): MA=0 (5)8 enprojectionsur(A,Z): NA=0 (6)
. Rsoudrelesystmede6quations6inconnues.
41.1 Calculd'unarbresecondaireUnebotedevitessesd'automobileau pointmort"estreprsenteci-dessous.Lecouplemoteurs'exercesurl'arbred'entre3. Il esttransmis l'arbreintermdiaire1 parle
pignonP3enpriseavecP1. L'arbre1entraneenpermanence
PROBLME SPATIAL
RsultantesA2/1' 82/1'C2/1' 5/1 quelconques
#B2/1
z
#A2/1
Moments#A2/1'#82/1quelconques
lespignons4,5,6enliaisonpivotavecl'arbre7.L'utilisateurpeutdplacer,l'aidedesfourchettes12ou13,lesbagues10ou11.Cesbagues,enliaisonglissireavec7 grcedescannelures,peuventtreliesenrotationauxpignons4,5,ou6parlescrabots**C3,C4,
C5ouC6selonlerapportdevitessechoisiparl'utilisateur.
BOITE DE VITESSES ***7 Arbre de sortieP3 C3 11 12 C6
3 Arbre d'entre
8
1 Arbre intermdiaire
Jeu pour dilatation*(viteles contraintesaxialesparasitessur les roulements) P1
C5 10 13-, C4
4 9
* Voirchapitre69, Contraintes thermiques. **Crabots: finesdentures. ***D'aprsdocumentSKF.
-
41.2 ExempledecalculLafigure1 reprsenteleschmacinmatiquedelabotede
vitessesde la pageprcdente,lorsque5 estsolidairede
l'arbredesortie7 (pourdesraisonsdeclart,lespignons6et4
nesontpasreprsents).L'tudeportesurcettesituation.
HYPOTHSES:
. Leseffortsde4et6sur1sontngligeables.
. Lespoidspropresdeslmentssontngligeables
. Les1iaisonssontsansfrottement.
. Lesengrenagessontdenturehlicodale*(fig.2).L'angled'inclinaisondeshlicesde1estf3= 20danslemmesens.
L'angledepressionestlI'= 20
. L'anglederotulage**de1/2enAet1/2enBnedpassepas
45'(fig.3) Leroulement9supportel'effortaxial.Laliaison1-2
enBestuneliaisonrotule;1-2enA estuneliaisonsphre-
cylindre(jeuaxial>0).
. Lesliaisons3-1et5-1sontdesliaisonssphre-plan.
Ondonne:letorseurassociauxactionsmcaniquesde3/1:
(
- 15650
)c{Cs/d= - 16650 (enN).
c 43000 (x,y.z)Ondemandededterminerlestorseursassocisauxactions
mcaniquesde2/1et5/1:
A{A2/1} ; B{B2/d ; D{D5/1}'SOLUTION:
Isolerl'arbreintermdiaire1 :
. Recencerlesactionsmcaniquesexercessur1 :
111
1'-'
-
. RechercherunerelationentrelescomposantesdeD5lExprimerX0, Yoenfonctiondelo (parexemple):
XoDansletriangleDJH:tan20= - - ;XD=- la. tan20.
lo
DansletriangleDEH:tan20= - Il~Il;Ya= -II )]11.tan2(~;lo ~ ID
DansletriangleDJH:cos20=- -=:;- ;IID'II=-- (2)IlD'II cos20
Enreportant(2)dans(1): YD= (ID leos20).tan20
(
- lo .tan20 0]
d'o:o{Ds/d= lo (tan200/eos20) 0 .lo 0
. Calculerl'ordred'hyperstatismeNombred'inconnuesstatiquesdeliaisons:ns= 6.
(YA,h lo, XB'YB,lB);h=ns- 6 (problmespatial).h= 6- 6=0; (problmeisostatiquesoluble).
. AppliquerleprincipefondamentaldelastatiqueA{A2/d+A{C3/d+A{Ds/1}+A{B2J1}= {O}.
Problmespatialetisostatique=} Mthodeanalytique.
. crirelethormedelarsultantestatique
- 1565+0- lo. tan20+XB=0 (1)- 1665+YA- lo (tan20leos20)+ YB= 0 (2)
+4300+lA +lo +IB =0 (3)
. crirelethormedumomentstatique0+156950+26ID+0=0 (4)
0-68800-110ID -200IB=0 (5)110l .tan20
0+30482,5+ D +26Io.tan200+200Ys=0(6)cos20
. Rsoudrelesystmede6quations6inconnuesDduirede(4) :
lo = 156950/26=6036,5N ;10"" - 6040N(5)devient:-68800+110x6036,5-200IB=0;1B~+2980N
(1)devient:-1565+6036,5x tan20+XB=0;XB~- 632N
Dduirede(6):
+304825+ 100x (- 6036,5)x tan20+, cos20
26x (- 6036,5)x tan20+200YB=0 ;YB""1419NDduirede(2):
tan20
-1665+Y(-6036,5)xcos20+1419=0;YA""2584N.
. Interprterlesrsultats:Le roulement9 estsoumis un effortaxial(XB*-0) et radial(YB*-0).8estsoumisuneffortradial(YA*-0).*** Voiraussitableaudesvaleursdesefforts 41.2. ** Leschargestantdtermines,voircalculduredeviedesroulementsG.D. 40.65.
'** x estlesigneduproduitvectoriel,1\esttolravecrserves.
112
ENGRENAGE HLICoDAL EN 0
H~
l,ISOLEMENT DE 1
y
YA
R2 =26
R1=36,5
RductiondesforseursenA
16 - 1565
)
...
(C \={~C3/~\; ACx C3/1:(
36,5
)
x
(
-1665
AI 3/1J lAC x C3/1f 0 4300
f-1565 156950 \A(~/1)=\
-1665 - 68800fA 4300 30482,5
f- lo. lan200
(0 L 1 lan200
AI 5/1/-\ o'cos 200t lo
- lo .lan200lan200
lo .cos200lo
26lo \-110lof110lo.lan 200 + 26lo. tan200cos200
{~ \
(
110
)
( \ 05/1 ~-105/1J=\~_ f;AOX05/1: 26 xA AIAOx 05/1 0
(
200
) (
XB
)
(8 )J --!21~\; ABx 82/1: 0 x YBAI 211AlA8x 82/1f 0 lB
fXB 0 \A(82/1)=\
YB - 200lBfA lB 200YB
-
41.3Types
CDEngrenagesaxesparalllesetdenturedroite
@
Engrenagesaxesparallles
etdenturehlicodale
@Engrenages
axesconcourants
etdenturedroite
@Engrenagesgauches
EFFORTS SUR LES DENTS D'ENGRENAGES *
Naturedesefforts
Menant
~/ --.!- F.F1/2 '1/2,1 1P : puissancetransmiseet: anglede pressionOJ:vitessede rotationN : frquencede rotation
1
et: anglede pression/3: angled'inclinaison
de l'hlice
y1
F1/2
et : anglede pression82: demi-angleau sommet
de2
y
F1/2
* VoircaractristiquesgomtriquesG.D.chapitre47.
et : anglede pression/3: angled'hlice
~\
113
TorseurtransmisSible
Dans(a,X, y, I):
!
FI 0
)A{A1f2}= Fr 0
A 0 0
. Forceaxiale:Fa= 0
. Forceradiale:FrFr =FI' tana
. Forcetangentielle:FtP P
FI=-=-"w.r 1T.N
30
Dans(a,X,y, I):
!
FI 0
)A {A1/2}= Fr 0
A Fa 0
. Fa:torceaxialeFa=- FI.tanp. Fr: torceradialeF - F tanar - l' cosP
. FI: forcetangentielleDans(a,X,y, I):
!
Fr 0
)A{A1/2}= Fa 0
A FI 0. FI: forcetangentielle
F -~-~1- -w"m 1T.N"m
. Fa:forceaxialeFa=- FI'tana.sin2
. Fr:forceradialeFr=- FI' tana. cos2
Dans(a,X,y,I):
!
Fa 0
)A{A1/2}= Fr 0
A FI 0. Surlaroue2:
Fa=- FI .tanpFI
Fr = - - .tanacosp
. Surlavis1:effortsrciproquesFavis= FI roue
Photographies:Lechner-Patissier.
-
114
42DeuxettroisglisseurscoplanairesUnglisseurestuntorseurrduit sarsultante,levecteur
momenttantnul: A{A2/1}=A{JQ}.
Onlimitegnralementl'criturecelleduglisseurA2/1'
42.1 DeuxglisseursThorme1:Lorsqu'unsystmematrielestenquilibresous
l'actiondedeuxglisseurs,lesrsultantesdecesdernierssont
directementopposes.~ ~ -> ~
Am= - B3/1; A2/1et B3/1ont:. mmesupportAB,
. dessenscontraires,
. mmeintensitIIJII= 118;11
42.2 TroisglisseursThorme2 : Lorsqu'unsystmematrielestenquilibresousl'actiondetroisglisseurs,ona:
. R =Q :sommegomtriquenulle:ledynamiqueform
parlestroisrsultantesestferm.
. ;fiA = 0 :sommedesmomentsnulleenunpointA. Lessupportsdestroisrsultantessontcoplanairesetconcourants
enunmmepointloucoplanairesetparallles,oucolinaires
(confondus).
42.3 ExempleLafigurereprsentelacommandepartielledugodetd'unepelle
hydraulique.LorsquelevrinV3estalimentpardel'huile
souspression,satigesedplace,labiellette5 pivoteautour
deMet,parl'intermdiairedelabiellette6, legodet1 pivote
autourdeH IIestsoumisdelapartdusolunefforthorizontal:
Ilfil = 5000daN.Ondemande:decalculerl'effortexercsurl'articulationNdanslebutdecalculersondiamtre. ~
HYPOTHSES:
. Lesystmeprsenteunplandesymtriepourlagomtrieetleseffortscontenudansleplandelafeuille.
. Lefrottementestnulauxarticulations.
. Lespoidspropresdessolides1,5,6sontngligsdevantleseffortsaux1iaisons.
SYSTME DE DEUX GLiSSEURS
-~
---
Solide1
SYSTME DE TROIS GLiSSEURS
Dynamique
ferm:$=0C3/1
JA2/1
1~182/1
C3/1 - / 3 supportsconcourantsen!82/1 ;t0= 0
COMMANDE DE GODET DE PELLEHYDRAULIQUE
yL
V3
0z
-
SOLUTION:
1 Isolerlabiellette6
. Recenserlesactionsmcaniquess'exerantsur6
Actionsdistance:nulles(poidsngligs).
~crire~ thormerelatif l'quilibre(2glisseurs)
G1/6et NS/6sontdirectementopposs:supportselonGN.
2 Isolerle godet1
. Recenserlesactionsmcaniquess'exerantsur1
. crirelethormerelatif l'quilibre(3glisseurs)-> ~ ~ ~
5 =0 :dynamiquefermif! =0 :3supportsconcourants.. Rsoudregraphiquement(voirmthodeci-dessous)
MTHODEDERSOLUTIONGRAPHIQUE:
Aprsavoirisol1etrecenslestroisglisseurs:
!.:.lrace~~supportsdesdeuxrsultantesconnues:G6/1etTS/1(lesolide6 soumis deuxglisseursa djt
isol:G6/1estselonGN).Leurintersectiondonnelepoint1.
2TracerlesupportdeH2/1passantpar1etH.
3Choisirunechelledesforces.
4Construirelasommegomtrique:-> ~ ~ ~
TSI1+ G611+ H2/1= 0 .
Construirelebipoint0:1telqueIl0,111=IlTS/111=5000daN,~par lespoints0et1lesparalllesauxsupportsdeG6/1etHw.5Mesurer1,2et2,0etdonnerunrsultatchiffr(chelle).
REMARQUE:
Lorsquelessupportsdesrsultantessontparallles,appliquer
lamthodedudynamiqueetfuniculaire(chapitre44).
* Comptetenuduplandesymtrie(G,xy) .
ISOLEMENT DE 6
115
\ NLigne d'action A
\.
'.
de N5/6 et G1/6 \,
,G\
GODET1 ISOL: BILAN
Support de H2/1inconnu
Ts/1connue
aL
SupportdeG6/1connu
GODET 1 ISOL: RSOLUTION
1rPoint de concours
d~ 3~upports(M{=O)
- 5mmEchelledes forces: f---I S 1000 N
Ts/1 a
H2/1
Dynamique ferm (5=Q)
IIG6/111=9 400daN
IIH2/111=9 000 daN
Naturedela.liaison Glisseur Bilaninconnues
1-6: liaisonpivot. Support?PasseparG
centreG,axe(G,z) G1/6. Sens?.Intensit?
5-6: liaisonpivot. Support?PasseparN
centreN,axe(N,z) N5/6. Sens?.Intensit?
Naturedelaliaison Glisseur Bilaninconnues
Sol-1:nondfinie: r; =5000x . Entirement(solidepulvrulent/1) dtermines
6-1: liaisonpivot. Support:selonGN
centreG,axe(G,z)G6/1 .Sens?.Intensit?
2-1: liaisonpivot. Support?PasseparH
centreH,axe(N,z) H2f1. Sens?. Intensit?
-
116
43QuatreglisseurscoplanairesLorsqu'unsolide1estenquilibresousl'actiondequatreglis-
seurscoplanairesdont:
. Lesquatressupportsdesrsultantessontconnus.
. L'intensitd'unersultanteestconnue.
OnpeutappliquerlamthodedeCulmann.
43.1 MthodedeCulmann. Regrouperlesrsultantesdeux deux,enchoisissantdes
couplesquidonnentdespointsd'intersectiondeleurssupports
dansleslimitesdelafigure.
A;+p+B;+c;=0; R;+R;=0-- ~..--~ R; R;. R1passeparlepointM,intersectiondeA;etPR2passeparlepointN,intersectiondeS;;; etC;;; .
. Lesolide1estenquilibresousl'actiondedeuxrsultantes
~etR;directementopposes*,leursupportpasseparMetN ~(droitedeCulmann).
. Construireledynamiquefermtraduisantquelasommevec-
torielleA;, P,8;, c; estnulleetsachantque:
A;+P=R; (R;portparladroitedeCulmann),B;+C;;;=71;(71;portparladroitedeCulmann).
43.2
SOLIDE 1 ISOL
0
\\
\
. P connu
. Supports deA2/1' 82/1' C2/1
connus. Dterminer
A2/1' 8211' C2I1
3'p
DYNAMIQUE: S =0
01 =P }02= Ri12 =A2I123 =8211}20= R230=C2I1
EXEMPLE DE CALCUL: MONTAGE D'USINAGE
FONCTIONNEMENT:
L'tudeportesurlaphasedeserrage.Lorsquel'huilearrivesous
pressionenX, lesdeuxtiges6 duvrins'cartent.Parl'interm-
diairedesbiellettes4, lestiges3 descendent,entranantles
brides2quiserrentlespices1enEetE'.
ONDONNE:
{
30007\. L'actionde2/3: F {F 2/3 }= FOY l'. L'actionde4/3,rductibleenJ aunglisseurdirigselonKJ(isolementde4).. Lesactionsde0/3,rductiblesdesglisseursenGetHl'quilibrestrict:
{-IIGodcosqJ 0\(
+IIHodcosqJ 0\dGo!3)=\+IIGodsinqJ O}H(Ho/3)=+IIHodsinqJ O}G 0 0 H 0 0Avec: ,LL=tanqJ=0,1auxcontactsGetH.
ONDEMANDE:DedterminerlesactionsJ;, GO;;,, H;.
*Voir421.
-
HYPOTHSES:
. Lesystmeprsenteunplandesymtrie(J,X,Ji) pourlagomtrieetlesrsultantes(plandelafeuille).
. Lespoidspropresdesdiffrentssolidessontngligs.
. Lesarticulationssontparfaitesetsansfrottement.
. LesbaguesenH'etG'sontparfaitementalignes.
ISOLERLESOLlOE3 :
MTHOOEOE RSOLUTION(CULMANN) :
10Choisirunechelledesforces.TracerF;;,surlatige,([1F;II =3000N)et01=F; surledynamique.
20TracerlessupportsdeG;,fi; etJ;;.30Construirel'intersectionMdessupportsF;et~etl'intersectionNdessupportsfi; etJ;;.40TracerlesupportdeR;etR;passantparMetN,R;=F;;,+G;etR;=fi;+J;; (droitedeCulmann)
50 Continuerlaconstructiondudynamique.Parlepoint1,mener
uneparallleausupportdeG;. Parlepoint0,traceruneparal-lleausupportde7!;etR2.L'intersectiondecesdeuxdroitesdonnelepoint2telque:12=~ et02=~ (R;=F;;,+G;).60Parlepoint0,tracerunedroiteparallleausupportdefi;(Dynamiqueferm:extrmitde34confondueavecO.)
--->
70Parlepoint2,tracerunedroiteparallleausupportde J4/3.
Cettedroitecoupeladroiteparallle fi; passantparoenunpoint3telque:23=y;;; et3D=fi;.
80Mesurerleslongueursde 12,23,3D,multiplierparl'chelle,donnerunrsultatchiffr.
* Comptetenuduplandesymtrie( J,x';) .
117
QUILIBRE STRICT DE 3
F2/3
F
qJGO/3
H qJ
x
J4/3
/
DYNAMIQUE
Directionde
R1etR2~orces :30 mm9 3 000N
2~\
\
3a4
Ilml =IlGo/311= 2 150 N ; 113411=IlHO/3 11=4250 N112311=IIJ4/311=4150 N ; 110111=IlF2/311=3000 N
liaisons {9'}simplifis* Bilaninconnues
2-3pivot:f \ f3000 Y\ 1q }dtermincentreF
axe(F,Z) Fb/31;\ J entirement
4-3pivot:(XJ
:).SupporlselonJK
centreJ IJ '- Y .Sens:?axe(J,Z) JI 4/3r\ J
.Intensit:?J 0
0-3sphre-"." (-IIallcosq>0\
.Supporl : sur lecne
cylindre
G(GO/3)=\Ilailsinq>OflI::>1 GcentreH'
axe(G,;) G 0 O ' Sens:t-.Intensit:?0-3sphre-
(11H11cosqJ0\.Support:surle
cylindre cneHI
-
118
44Dynamiqueetfuniculaire
44.1 RductiondeN glisseurscoplanairesunglisseur. Lesolide1 estchargparIroisglisseursconnus:
~ IR;;;\ ,IA;\ I~\A{A 2J1} =A\ 1; B{ 83/1/ = B\ 1;c{ C 4/1} = c\ l'
GI' .
Il l 'E' IR\{R;;;+A; +~\. Isseurresuan: E' ,=E\1= l'. ConstruirecettesommevectorielleentraantlepolygonenommdynamiquepartirdupointO.
0estl'originedeR;;;, 1estsonextrmit;61=R;;;.1estl'originedeR;, 2estsonextrmit;12=A;.2estl'originede~, 3estsonextrmit;23= R;;;.0estl'originedeR , 3estsonextrmit;63=R.
R;;;+R;~+~ =R,
d'o: 01+12+23=63.. ChoisirunpointarbitrairePappelpledudyna-
mique.TracerlesrayonspolairesPO,P1,P2,P3.
Lorsquele1errayonPOetledernierrayonP3nesontpasconfondus,ledynamiqueestditouvert.
. ConstruirelepolygonefuniculairerelatifP.partirdupointAarbitraire,construireun1errayon0parallle
POquicoupelesupportdeR;;;ena.
partirdupointa,construireun2erayonl' parallleP 1qui
coupelesupportdeA;en{3.partirdupoint{3,construireun3erayon2'parallleP2 qui
coupelesupportde~ enypartirdupointy construireun4erayon3'parallleP3.
LalignebriseAa, a{3,jJy,y8estlefuniculaire.
Lorsquele1errayonAaet lederniery8nesontpasconfondus,lefuniculaireestditouvert.OndmontrequelesupportdelarsultanteFipasseparlepoint
d'intersectiondu1errayonAaetduderniery8.
RGLE:
Larsultanted'unsystmeNglisseurscoplanairesestdtermine:
. Endirection,sensetintensitparlebipointonquijointl'ori-
gine0du1efbipointl'extrmitndunimebipointdupoly-gonedynamique.
. Parunpointdesonsupportsitu l'intersectiondu1errayonetdu(n+1)imerayondupolygonefuniculaire.
DYNAMIQUE ET FUNICULAIRE
A E BSolide 1
R
1'
1errayon du -.........funiculaire - -
Polygonedynamique
DynamiqueouvertFuniculaireouvert
Funiculaireouvert
(D'aIl Y 3')
Dynamiqueferm
(0confonduavec3)
DynamiquefermFuniculaireferm
Polygonefuniculaire
0
2
3 Ple du dynamique(arbitraire)
DIFFRENTES POSSIBILITS
Cas Rductiondusystme7 ~ ->
R'" 0 ; ;If0 =0 : systmerductible unersultante.
2
Fi =0; jfo ~0: systmerductible un couple
-7 7 -> 7
R=0 ; ;If =0: systmeenquilibre.(Voirpagesuivante.)
-
44.2 Conditions graphiquesd'quilibreLorsqu'unsystmematriel(5)estenquilibresousl'actionde
Nglisseursrsultantescoplanaires,leprincipefondamentalde
lastatiqueentraneque:
. larsultantestatiqueestnulle:R(si;)~ aq Dynamiqueferm;
. lemom~tiq~eenunpointestnul:ftfa( SI S) ~ 0q Funiculaireferm.
EXEMPLE:
Lacommandedesoupapeestprsente 37.2.Danscetteder-
nire,lelinguet2,articulenBparrapportaucarter0,estsou-
misuneffortA; exercparl'arbrecame1.Ceteffortpro-voquelarotationde2autourdeB,cequientraneuneactionsur
labiellette3 articuleenCparrapport2.Ceteffortesttrans-misauculbuteur4. j
Ondonne:IlC;;;Il~ 1120N; C;;;dirigselonDG.Ondemandededterminer,.et8;.HYPOTHSES:
. Lesystmeprsenteunplandesymtrie(A,X,J) pourla
gomtrieetlesrsultantes(plandelafeuille).
. Lespoidspropresdesdiffrentssolidessontngligs
devantl'intensitdesactionsmcaniquesauxliaisons.
. Lescontactssontparfaits:sansjeuetsansfrottement.
ISOLER LE LlNGUET 2 :
. Recenserlesactionsmcaniques
. crirelethormefondamentalrelatif 3glisseurs
5~ :dynamiqueferm;Ai~ : lessupportsdeC;;; etA;sontparallles;celuideBO!zl'estaussi. Rsoudregraphiquementparlamthodedudynamique
~d~funiculaire(voirci-contrel. ~s~0 :dynamiqueferm;M"~ 0:funiculaireferm.* Comptetenuduplandesymtrie( A,x,.h
119
QUILIBRE DU SOLIDE 1 ISOL
3' 3 1 2
1 1'~ ,
Funiculaireferm 1 f i(AO'etA3' confondus) -
0 3 Support de B2/1 ..
f3
p
LlNGUET 2 ISOL
SupportdeC3/2S
y., Plan tangent1/2
Support de A1/2x
Support de BO/2
f3
Dynamique(5=0)chelledesforcesL--J S 20NA
31~ 1/2 120 C~/? /1 BO/2/2
111211= IlBo/211= 780 N
112311= IlA 1/2Il = 1900 N
Mthodede construction
1 Construire01 tel que 110111=IlG;211 = 1120 N.2 ChoisirP et tracerPO et P1.
3 Construirele funiculaire en traant 0' /1 PO. 0' coupe
le supportde C;;2 en IX. partirde IX tracerl' Il P1.l' coupelesupportde 80;2 en{3.4 Fermerle funiculaireen traant{3y.5 Sur le dynamique,tracer P2 Il 2'.
Naturedesliaisons {.57}simplifis* Bilan inconnues
3-2rotule
(C311}={11OX}IC3/1}entirement
centreC c c 0 dtermin
1-2linaire .Support:normalrectiligne,centreA,
(A } !-IIA1;;II.x\
auplantangent
normale(A';)(selon(A,x))
1(2=\ 7 !.Sens:
-
120
45Hypothsesdelarsistancedesmatriaux
Larsistancedesmatriauxestl'tudedelarsistanceetdela
dformationdessolides(arbresdetransmission,btiments,
fuses",)danslebutdedterminerouvrifierleursdimen-
sionstransversalesafinqu'ilssupportentleschargesdansdesconditionsde scuritsatisfaisanteset au meilleurcot
(optimisationdesformes,desdimensions,desmatriaux...)
45.1 LesmatriauxL'homognit:onadmetquelesmatriauxontlesmmes
propritsmcaniquesentouslespoints.
L'isotropie:onadmetquelesmatriauxont,enunmmepoint,
lesmmespropritsmcaniquesdanstouteslesdirections.
L'isotropieestvrifiepourlesaciersnonfibrs(lesacierslami-
nsetforgsnesontpasisotropes).Ellen'estpasvrifiepour
lesmatriauxfibrs(bois,matriauxcomposites...)(fig.2).
45.2 La gomtrieLessolidesidauxsontdespoutresprsentant:
. dessectionsdroitesconstantesouvariableslentementendimensionsetforme,
. desdimensionslongitudinalesimportantesparrapportauxdimensionstransversales.
Unepoutreestengendreparunesectiondroiteetplane(S)dontlebarycentreGsedplacesurunelignecourbe(G),grandrayondecourbure,appelelignemoyenne.Lasectiondroite(5)resteperpendiculaire(G)(fig.3).
45.3 LesforcesLesforces,appliquesenunpoint,sontdespointeurs.Il n'est
paspossiblede les remplacerparun systmedeforcesvectoriellementquivalent(mmersultanteetmmemomentenunpointA)carleseffetsphysiques(sollici-
tations)sontdiffrents. -'>-'>Dansl'exemplea, lorsqueAetB glissentsurleursupport,
latractiondevientdelacompressiQll.Dansl'exempleb,larsultante2F provoqueuneflcheplus
importantequelesdeuxforcesl enDetE
CDCALCUL D'UN PONTCharges connues
Dimensionstransversales calculer
Dimensionlongitudinaleimpose
0 MATRIAUX ANISOTROPES
1
Rsistanceselon (0, :YJc
H -F Rsistancediffrente~C selon(0,x)
~F
.x
-F 0:-A
Fibresparallles (O,x)
CDEXEMPLE DE POUTRE ,/
Ligne
moyenne(C)Section droite(8)
(perpendiculaire (C))
8)SYSTMES DE FORCES NON QUIVALENTS0 TRACTION COMPRESSION~A B~ "* A~8 A~BA B
0
~.F
A 0
F Fl'he~=fr1tC1 E B: -c; F
~ Flcheen C2: fC2 -F~12F=F+F 11 fC2>fC1 1
-
121
Chargeconcentre
TYPES D'ACTIONS MCANIQUES EN RSISTANCE DES MATRIAUX
ChargeetmomentenunpOintChargerpartie
Modlisation
a
CAB 0_0~z ~~. .~~x
C
~yAF:!B~~0 xZ a _cg~- Br:~9~YX F F x;r;2" 2"Engrenagetrsrigideavecjeu Engrenagedformablesansjeu Engrenagetrsrigidesansjeu
~~~~~~~~ExemplestechnologiquescorrespondantsLescontactsenA etBsontponctuels
Le contactselonABestlinaireousuriacique
LecontactselonA B estindformable(enstatiquelesactionssontmodlisablesparuntorseur)
45.4Hypothsesurl'influencedesdformations
LES DFORMATIONS
. Dansledomainelastique,lesdformationssonttrsfaibles,ellesnemodifientpaslesforcesauxliaisonscalculesparlasta-
tique(cas1)(hypothsesolideindformable),
. Lessolidestrsdformables(ressorts...)modifientladirection1
f3\desefforts(cas2). \V
. Defaiblesdformationspeuventmodifierladistancedansdes
appuisetdonclesefforts(cas3).
HypothsedeNavier-Bernoulli
Lessectionsplanesetdroites(normaleslalignemoyenne)avant
dformation,restentplanesetdroitesaprsdformation(normales
lalignemoyennedforme).
HypothsedeBarrdeSaint-Venant
. Dansunesectiondroite(5) loignedelazoneo leschargessontappliques(t >d), la rpartitiondesdformationsetdes
contraintesnedpendquedeslmentsderductiondutorseurdes
forcesappliques.
. Dansunesectiondroite(5)prochedelazoneolescharges
sontappliques(t
-
122
46 CoupuredansunepoutreLeplan(P)contenantlasectiondroite(S)partagelapoutre1en
deuxparties(1)et(II).
LebarycentreGde(S)apourabscissexdans9lo(O,x,y,Z)
OnposeDG=x .xOnappelle(1)lapartie"gauche",ouamont,de(P) et(II) la
partie"droite",ouaval,de(P).
46.1 Torseur de cohsion
Lesactionsmcaniquesquelapartiedroiteexercesurlasection
droitefictive(S)appartenant(1)sontdesactionsextrieures
lapartie(1).Leurrpartitionestinconnuemaisnouspouvonsles
modliserparuntorseurdecohsionetcalculerseslmentsderductionenG,barycentredelasection(S).
.R=L LI,fi: rsultantedesforcess
{ }1R\ decohsionLI,!;deII! l,
GohlI/r= \-> 1;If ~ ~ ~G G. ;lfG=L(GMi x Mi): * moment
s~
rsultantdes~fi parrapport G.
REMARQUE:
. Cettedfinitionrelved'uneconvention,onpeutprendrela
conventionoppose.
. D'aprslethormedesactionsmutuelles:J Gohriii \ =- J Gohr/II \G\ J G\ J
46.2 Projectiondeslmentsde rductionde{Coh}fi?(G,x,y,z)estlereprededfinitiondessollicitations.
C'estunreprelocal,direct,lilasectiondroite(S) :
. (G,x) estselonlanormaleextrieurelapartiegauche(1)
de(S)
. (G,y) et(G,z) sontdansleplande(S)dirigsselonlesaxesdesymtriede(S)s'ilsexistent.
NOTION DE COUPURE
y Section droite(S)x Plan (P)
mo(O,x, y, z) est li la poutre1
TORSEUR DE COHSION
R
COMPOSANTES DE RET ;fIG DANS (91)y! Partiegauche(1)
x
~'~~~~,"
'~;fi,
8l(G, X,;,2) est li la section (S)
* x est le signe du produit vectoriel.
Projectionsdela rsultanteetdnmomentdutorseurdecohsiondans(Jt)-4
-;, Effortnormal:projectionde R surlanormale Momentdetorsion:projectionde;IfGsurlaN
extrieure(G,x).;fit
normale(a,X).
->Efforttranchant:projectionde R surleplandela Momentdeflexion:projectionde;IfGsurle
Tsectiondroite(G,y,l).
;fi,plan(Y,l).
-
123
T et;lffn'ontpas,engnral,dedirection,particuliredansleplan(G,y, z), Ilestutilededfinirleurscoordonnesdans9l(G,X,y,z),
CoordonnesdeFiet'Ii; dansfP",'
Fi=N.x+Tv'y+Tz.z';lfa=;1ft.x+;fIlav'Y+;fIlaz.?
N
TvTz
Coordonnedel'effortnormal Nsur(a,X).Coordonnedel'efforttranchantTsur(a,y).Coordonnedel'efforttranchantTsur(a,hCoordonnedumomentdetorsion;i{sur(a,x'j.CoordonnedumomentdeflexionIii sur(G,y).CoordonnedumomentdeflexionIii sur(a,z).
;1ft
;lffGy;lffGz
COORDONNES DANS ~R
Partie(1)
z
"-
~
;fitGy
"-
~EXEMPLE DE DIAGRAMME
(N.m) Section la plussollicite la flexionCescoordonnesvarientselonlapositiondelasection(5)
dfinieparl'abscissedeGdans~R.(O,X,y,z),
LareprsentationgraphiquedesfonctionsN(x),Tv(x),Tz(x),
;1ft(x),;lffGy(x),;lffGz(x)s'appellentlesdiagrammesdessollicitations.
46.3
0 1,5
SOLLICIT ATIONS SIMPLES
Unesollicitationestsimplesietseulementsi,undesquatrelments
N,J, if,;ijj n'estpasnul.
Danslecascontraire,elleestditecompose(chapitre55),
Exception:J 1=,;ijj 1=estdelaflexionsimple(J ngligeable),
Traction(oucompressionsimple):N '*0
Partie(1) y Sens de N :
Celui des (;).ds.x.
(5)
u(M).ds.x
Nx N = L (U(M)ds)(S)
~ ~
Torsionsimple:;fit'*0
Partie (1) y
Sens de ;fit :Celui du tire-bouchon
selon (0, x) tournant
dans le sens des T(M)'
Sollicitationcompose:
(exemplegnral)
jN;lft
){CohIl/d = Ty;lffGy;
G Tz;lffGz
x
3,5 5 (m)
Sollicitationsimple:
(exemple.tension4ft1=0)
j0 ;1ft
]{CohIl/d= 0 0
G 0 0
Cisaillementsimple(thorique):
Partie (1)
(5)
TetO -~ Sens de T:
x Celui des T(M).ds.y.
T = L (T(M).ds)(S)
~'.. ~
flexion simple:;fit'*0
x~At: :~~(S)(5)* Une coordonne est un nombre rel (algbrique) 72,S, ** Voir dfinition de (J'(M)et T(MI 46.7.
~ Sens de ;fItGz:;fIt~z Celuidutire-
bouchon selon
x (0,z)tournantdans le sens
des ur:;.
u(M).ds.x
;fIfGz= L (u(M).y.ds)(S)
-
124
46.4 Torseurdesactionsmcaniquesextrieuresettorseurdecohsion
46.41 ActionsmcaniquesgaucheLetorseurdesactionsmcaniquesextrieuresgauchede(5),appliquessur(1)s'critenG:
ffi forcesgauche/r\G{Actionsex!.gauche/r}= \-> ., fG 1/Gactionsa gauche/!
Leprincipefondamentaldelastatiqueappliqu( l ) s'crit:
G{Actionsex!. gauche/!}+G{CohrIlI}={O}.
G{Cohrl/l}={7!}=-G{Actionsex!. gauche/dG;1(G-,> ~ -> ->
d'o: R=- Ractionsgaoche/I;;1(G=-;1(G actionsgauche/I
Cetterelationpermetdecalculerleslmentsderduc-tiondutorseurdecohsionpartirdesactionsmca-niquesextrieuresgauche(connuesparlastatique).
EXEMPLE:
. Coupureraliseentre0etF: (0oSX oSfi 2):Partie(1)isole(lig. 2)
C -- f -112 t f 112 \G{ohII/I}-G\GEx-ll2f G\GExll2f
46.42 ActionsmcaniquesdroiteLorsqu'ilyamoinsdeforcesdroitedelasection(5),ilestplussimpled'isolerlapartiedroite(II).
G{Actionsex!.droite/II}+G{Cohr/II} ={O}.
-G{Cohr/Il}=+G{CohIl/d=+G{Actionsex!. droite/Il}-,> ~ ~ ~
R=+ Rfurcesex!.druite/II; ;1(G=+;1(Gactiunsex!.droite/II
. CoupureraliseentreFetE'( fi 2oSx oSf) .~
Partie(II) isole:uneseuleforce- F12:(fig.4)
1 f - 112 \\COhII/r} = \
--7 ~
fG GE' x - F12~ ~
Partie(1)isole:deuxforces- F12:F : (fig.3)
f - ~2+1~ ~ \{COhII/r}=- G\GEx(-FI2)+GFxF f
CDPOUTRE ISOLE
Ligne yt tl2moyenne
J:::x
Lesolide2estmodliscommeunepoutrerectilignecar:
. salongueurt estimportanteparrapportsahauteurh;
. salignemoyenneestrectiligne.Cen'estpasunsolideidalcarsasection(S) prsentedes
variationsbrusques(alsage,videment).
0 PARTIE GAUCHE (1)ISOLEy.+. Y 10 oSXoS!1
z
---
---
F x
---
Section (S)
0 PARTIE GAUCHE (1)ISOLEy+ x ~l IfoSx~tl
2
z
x---
(II)
G J AC,tion~- mecanlques
de (II)I (1)
8) PARTIE DROITE (II) ISOLE
YA Y13~o_n _(SI"--~ -;1(G nActions
0 1 mcaniquesde (1)/(II)(1)
I!oSx~tl
x
z
-
REMARQUE:
Letorseurdesactionsmcaniquesgauchede(5) (oudroite)
estmodifilorsque(5)sedplacelelongdelapoutre:
. Si unediscontinuitd'ordregomtrique(changementde
directiondela lignemoyenne)apparat(exemple:poutreen
querre).
. Si unediscontinuitlie uneforcenouvelle(ouun
moment)apparat.
RGLE:Effectuerunnombredecoupures(ne)galau
nombredediscontinuits(nd)(gomtriqueoud'action
mcanique)plusun.
ne= nd +1
EXEMPLEDECALCUL:
Unebride2,modlisecommeunepoutre(voirfig.1 4651),
estappliqueverslebas,auserrage,parunetige3 quiexerce
uneffortF;= - 3000Y(enN)(voir 43.2).Elleserredeuxpicesparl'intermdiairededeuxliaisonssphre-plantellesque:E; = f";2 = 1500y.Labride2 possdeunplandesymtrie(0,X,y)pourlagomtrieetlesforces.
10Dterminerl'expressiondesfonctionsN(x); T(x),;Ift(x);;Iff(x);lelongdelapoutre.
20Tracerlesdiagrammesreprsentatifsdecesfonctions.
SOLUTION:
10tudedesfonctions:1recoupureentre0 etF:0 ~ x ~ 24:partie(1)isole.
{ } f--->\ 1 E;;; \CohII/! = - G1\ FPice/2f = - \ > > 1G1 G1 E x EP/2d'o:R=-EP/2 ;
~=-(-11E;211.x.z)11=-1500Y (enN)
;If; =1500.x.ZSoit:Ty=-1500N et ;IffG1z=1500x(N.mm)
Si:x=0,;lffG1z=0 ; six=24,;lffG1z=1500x 24=36000N.mm.
20CoupureentreF et 0': 24~ x~ 48:partie(1)isole.
1 }1 E;;;+F; \
\ Cohu/! =- \ > -> > ---7 162 G2E x EP/2 +G2Fx F3/2d'o:R=-(E;+F;); R=+1500y(enN)
~=- [-IIE;II. x +Il~II (X-24)] Zd'o:#;2=(-1 500x+3000x 24)ZSoit:Ty=1500N; et ;IffGz=-1 500x+72000
Pour:x=24,;lffGz=36000N.mm; x=48,;lffGz=0.
125
COUPURES DANS LA POUTRE 2
1500 1recoupure
a ~x ~ 24
y
1500;10 xG2?
E 24 -- 3000;
x
2ecoupure
DIAGRAMME DE L'EFFORT TRANCHANT
Tyt(N) mTfTl1 5000 x
-1500(mm)
DIAGRAMME DU MOMENT DE FLEXION
;lffGz . (N.mm)36000L - - - --
x
a (mm)24 48
DISCONTINUITSET COUPURES
:11:1:0discontinuit
entreAetD,1coupure
AB 1discontinuitentreJI etD,2coupures
1 2 3
ABC 0 2discontinuits
:B entre.AetD,3cnupures
y Partie(1)
y 0 G1 F x?
E x24
-
126
46.5 IDENTIFICATION DES SOLLICITATIONSMthode
10Rsoudreleproblmedestatiqueoudynamique:
. Hypothses:solidesindformables,actionsmcaniquesmodlisespar
glisseursoutorseurs.
. Isolerlesolide1etcalculerlesactionsextrieuresinconnues.
. Appliquerleprincipefondamentaldelastatique( 31.5) oudeladyna-
mique(56.4, 579).
20Rsoudreleproblmedersistancedesmatriaux:
. Hypothses:matirehomogneetisotrope(45.1)poutrerectiligne( 45.2),actionsmcaniquesmodlisespardespointeurs( 45.3),appliquesprogressivement,variationlente(sinonfatigue).
. Raliseruneouplusieurscoupures.Isolerlapartie(1)oupartiegauche.Calculer{Coh11/1)=- (actionsextrieuresgauche!I).Raliserautantdecoupuresquedediscontinuitsplusune(46.42).
. Identifierlasollicitationenrecherchantdansletableauci-dessouslecas
correspondantau{Coh11/1)calcul.
Sollicitations- Efforts
Tractionsimple(Chapitre48)
1-A !B-A/1 ~ B/1~
Compressionsimple(Chapitre49)*
1
AIG L1BA/l B/l
1 estsoumis l'actiondedeuxrsultantesdirectementopposes.
* Attention au risque de flambage ( 565)
Contraintes
(1) (S) y
. U(M) :contraintesnormales (S)**.
. Rpartitionuniformedans(S).
. TractionulM) >O.
. CompressionUlM)< O.
** Voir dfinition 467.
Exemple
B/l estconnue.. A/l est dterminer.
~- - - -~~O~.~A/l? A B x- ~
.A/l +400.x=0A/l =- 400.x (enN).
LesactionsA111etBill sontconnues,modlisespardeuxpointeurs.
. (CohIV!)est dterminer.
~(I) (II)Y
r= x- --G~~A1J1 X
(Coh II/I) =- (- 40~ .x\ = { 400. x\G\ 0 j G\ 0 j
. N =400.x; N * 6; T=ii =m=-01 estsoumisdelatractionsimple.
Torseurdecohsion
(CohII/I)=fN\G\J
x N*O
Ty=0 ; Tz=0;tft=0
;tffGy=0; ;tffGz=0
L J Alil \(CohII/Ii - G\ J
Dformation
y
AB x
- r---
. Traction:allongement/:1(>O.
. Compression:raccourcissement/:1 O.
-
Soilicitalions - Efforts
Cisaillement simple (chapitre 50)
1 est soumis l'actiondedeux rsultantesdirectement
opposes perpendiculaires la lignemoyenneLM.
Torsion simple (chapitre 51)
A1/1=- 81/1
1 est soumis l'actionde
deux couples directementopposs, dirigsselonla lignemoyenneLM.
Flexion simple (chapitre 52)
C1/1
1 est soumis l'actionde
rsultantesperpendiculaires AB dans le plandesymtrie(P).
* Voir dfinition 46.7.
G
z------
A1/1
. T(M): contraintestangentielles (S)*.
. Rpartitionuniformedans (S).
y
x
x N=O
Tyi=O;Tz=O;fit=0
;fIfGy=0; ;fIfGz=0
x-~
(S)
. T(M): contraintestangentielles (S)*.
. Rpartitionproportion-nelle la distance G.
\ - j AJ1\(COhII/1/ - G\ 0 1
10\(CohII/!) =G\/itf
N=O
Ty=O;Tz=O;fit i=0
;fIfGy=0; ;fIfGz=0
127
Dfo(mation
. Parfaite:
. Relle:
(;lffGz cF 0)
~1
A
\ - fIJ(CohII/II - G\;fIf1
xN=OTyi= 0 ; Tz=0;fit=0
;fIfGy=0; ;fIfGzi= 0**
leh \ f A111 \\ 0 IIIIi =- \ - ~fG\ -A1/1'X.Z
(entreA et C)
** Ty"* a ; ;l!fGz"* a Cette sollicitation est considre comme de la flexion simple.
A'
1
1.."
1
LV J~ Rotationl'la de (S) par
(Ch '- -{0 \1
rapport(So)'a II/! 1- ~
G k;/1.d.x f l'la = e (rad/m).l'lI
(1) y
Ai/1
x IJ'(M)
. IJ'(M): contraintesnormales (S)*.
. Rpartitionproportion-nelle ladistance (G,Z).
A1/1 81/1
C1/1 Yc
Courburedes fibres.Dforme:~CC' =YcFlcheen C.
Contraintes
.Y+ (II) 1
\ _!T\(1) (S)
(CohII/! J - G\ 0 1
AI'IMl
-
n :vecteurunitairenormallasurfaceilS.T :vecteurunitairedansleplandeilS, selonladirectiondeTM.(TM: coordonnenormaledelacontrainteC(MJ,n**.
TM: coordonnetangentielledelacontrainteC(MJ,7**.
REMARQUE:
UnecontrainteC(M),Tiestditeprincipalelorsquesadirectionestnormaleauplandelasection(ilS).
~
Danscecas:TM= etC(MJ,n= UM ..1 Pa = 1N/m2. ..Danscequisuit,seulecettedfinitionalgbriquedescontraintesserautilise.
128
46.6 RelationentreT et;11fDansuntronondepoutrerectiligne,surlequelil n'yapasde
chargeconcentreapplique,l'efforttranchantestgal,au
signeprs, ladrivedumomentdeflexionparrapporflavariable:x.
- dlt/Gz. - dit/GYTy--- , Tz--dx dx
46.7 Vecteurcontrainte
(S) : sectionquelconque,orienteparn:normale(S)ext-rieurelamatiredelapartie(1).
il!: forcelmentaireexerceparlapartie(II) surlapartie(1),
aupointMappartenant(5) (fig.2).
ilS: lmentdesurfaceentourantlepointM.
PAR DFINITION:~
LevecteurcontrainteC(M).naupointM,relatiflasurfacelmentaireilS,orienteparsanormalen,estgallalimiteduquotientdeil! parilS lorsqueilStendverszro(fig.3).
~ lim ~ dlII
~
1
Ildlll
C(M),n=45--->0 45; C(MJ,Ti=d5; C(M),Ti1 =liS
Il C(MJ,;Il: normeduvecteurcontrainte,enpascal(Pa)*.Enrsistancedesmatriaux,onutiliselemgapascal(MPa):
1MPa= 106Pa= 1N/mm2= 10bars.
CONTRAINTENORMALE- CONTRAINTETANGENTIELLE:
. LacontraintenormaleUMestlaprojectiondeC(M),nsurlanormaleextrieuren (fig.4).
. LacontraintetangentielleTMestlaprojectiondeC(MJ,;surleplandelasurfaceilS(fig.4).
C(M),i=liM+TM C(MJ,n=liM.n +TM]
CDCORRESPONDANCE TyET MfGz
if p (N/m). 1111JA
xB
27:1~1'5 x.T'y=2700pourx =1,5. C'est la pente(ausigneprs)de latangente;!ffGz
1,5 ?C0
T'y=0 en 0 ~ Tangente
horizontalepour ;!ffGz
0 FORCES DANS UNE SECTIONSection (5)
4( "" Force- lmentairen de (II)/(I)
(II)
0 VECTEUR CONTRAINTE C(M),nn
-F F.Section oblique (Scp)
Section droite(5)
0 COMPOSANTES DU VECTEUR CONTRAINTEf
(I)
C(M);1
normale a;.nContraintes
tangentielle:T;;.T
-
129
47 Matage EXEMPLES DE MATAGEAvant 1 Aprs
On constatesouvent sur des organes de machines des dfor-
mations locales: crasementlatraldes clavettes,gonflement
des extrmitsd'arbres soumis des charges importantes,ova-
lisation des paliers...
47.1 Dfinition
Unsolide1estsollicitaumatageparunsolide2si la
pressionsuperficiellesur la surfacede liaison1-2
entraneunedformationpermanentedecelledernire.
PRESSION EN UN POINT MREMARQUE:
Lesdformationstantlocales,il fauttenircompte,dansles
calculs,delarpartitiondespressionsappliques(voirprincipe
deSaintVenant 45.4).
47.2 PressiondematageLapressiondematageenunpointestlequotientdelaforce
lmentairenormaleappliqueIldN;Ilparlasurfacel-mentaire:ds.CettepressiondoitresterinfrieurelapressionadmissiblePadm(valeurs 47.24).
P J~ N2/111.conditiondenonmatage' P
-
130
47.22 PressiondematagevariableLorsquelapressiondematagevarie,il fautconnatrelafonctionmathmatiquedonnantsavariationenfonctiondel'abscissedupoint
considr.Oncalculealorslavaleurdelapressionmaximale:Pmax
etonvrifielaconditiondenon-matage:Pmax
-
47. 23Pressionsentrecontactslinairesou ponctuels
Pouruneliaisonpivotourotule,parexemple,onconstatedansla
pratiqueuneaugmentationdelapressionmaximale.Enfait,lecontactsurfaciquesetransformeencontactquasilinaireouponctuelsousl'influencedesdfautsdeforme(circularit,cylin-dricit...)etdujeuexistantdansl'ajustement.Laliaisondevientuneliaisonrelle.
LesformulesdeHertzrelativescescontactss'appliquentdansledomainelastique.Pourcescalculs,ilfautdfinirlesgrandeursci-contre:
Contactcylindre-cylindreContactrel Rpartitiondep
2b
Pmax
Pmax'" 0,418 VII Fil. Er,.t
131
1 ri: lerayondecourburerelative:
1 ~ =1- +1-." '1- '2r1r2
:rayonducylindreoudelasphre1.: rayonducylindreoudelasphre2.
Signe: +pourunetangenceextrieure.Signe: - pourunetangenceintrieure.
2Lemoduled'lasticitEpourlecalcul:
1 ~=1(1-+1- )E 2 E1 E2
E1E2
:moduled'lasticitdumatriau1.:moduled'lasticitdumatriau2.
Contactsphre-sphreContactrel Rpartitiondep
2r
2r
3
\f!PIIFII.r,r",1,11 E 3 / ~ (E)2Pmax'" 0,388\/IIF Il.r;47.24 Valeursdepressionsadmissibles
Letableauci-dessousdonnelespressionslimitestolrables(ouadmissibles)entredeuxpicesimmobilesouenmouvementdansdescondi-
tionsd'utilisationdtermines.Ondoitavoir:P
-
132
47.3 Exemples47.31Calculd'uneclavetteUnarbre1dediamtred=30mmtourne300tr/minettrans-
metunepoulie2unepuissanceP=1,5kW.Cettepoulie2est
lieenrotation l'arbre1 parl'intermdiaired'uneclavette
parallle3 deformeB,delongueurt.
HYPOTHSES:
. L'ajustemententre1et2 netransmetaucunmomentautourde (0,l) . Celuidelaclavette3danslarainurede2estglis-
sant(pasdecontraintesliesaumontage).
. Laclavette3 estparfaitementparalllel'axe(0,z) etlarpartitiondespressionssursonflanclatralestuniforme.
. Les conditionsde fonctionnementsont mauvaises
(dmarragesfrquents,variationsd'effortenfonctionnement).
PROBLME:
10Dterminerlesdimensionstransversalesax bdelaclavette
enfonctiondudiamtredel'arbre.
20Dterminerla longueur1 delaclavetteafinqu'ellesup-portelapressiondematagesursonflanc.
LIAISON ARBRE-POULIE
5 JS9/h9
3
2
1
EFFORTS SUR LA CLAVETTE
Rsultantedes y
~s ~contact2/3T2/3v
~R
xCondition respecter
t0
-
47.32Calculdesarbrescannels
Cecalculs'assimile celuid'uneliaisonparclavette.L'effort
tangentielTtransmettres'exercesurlesflancsdescannelures
del'arbreetsurceuxdesrainuresdumoyeu,surunesurfaceto-
talethorique:S=n, t. h.Laconditiondenon-matages'crit:
Cm ~ PadmT ~ Padm ; $',L. RmoyS'
Cm : couplemoteurtransmettre(N.mm);Cm=T. Rmoy.s' : surfacerelled'appuiparmmdelongueurdecontact(mm2/mm).
L : longueurdecontactarbre-alsage(mm).
S'=s'. L : surfacetotalerelled'appui.
Rmoy:rayonmoyenmesurmi-hauteurd'unedent(mm).Padm:pressionadmissiblesurlesflancsdescannelures(MPa),
dpenddesconditionsd'utilisation(voirtableau 47.31).
EXEMPLE:
Arbrecannel(sriemoyenne)*d=52,D=60,Cm=1500N.m.
Glissantsanscharge.D'aprstableau 47.31:Padm=15MPa.
SOLUTION:
. Calculerlasurfacetotalerelled'appui:, L Cm ' L
1,5x106s ~ . s ~, Padm.Rmoy" 15x 28
s',L~3572mm2.
. Recherchersurl'abaqueci-contrelavaleurde5':d=52;8cannelures,sriemoyenne;s'=18mm2/mm.
. CalculerL:L ~ 3572 L ~ 198,4mm,
18L ~ 2,5d:neconvientpas(difficultdebrochage...).
. Prendreunesrieforte:16cannelures:s'=36mm2/mm,L~3572, L~ 99mmconvient.
36
47.33CalculdeschapesilLadtriorationd'unechapepeutsefairepar:
. tractionselonlasectionS1(cas1),
. cisaillementselonlasectionS2(cas2),
. matagedansl'alsageavecrpartitionsinusodale(cas3)**.
Effectuerlestroiscalculsetprendrelaconditionlaplusdfavorable.
EXEMPLE:
VrifierunechapeaumatagesachantqueIlFil = 1000N.d=12,8=10;Padm=12MPa(glissantsouscharge).SOLUTION:
4 x 1000 =10,6MPa; 10,6
-
134
48Tractionsimple
48.1 Hypothses. Solideidal:matriauhomogne,isotrope,poutrerecti-ligne,desectionconstante.
. lesactionsextrieuresdanslessectionsextrmessontmodlisablespardeuxrsultantesAetBappliquesauxbary-centresdecessections,dirigesselonlalignemoyenne,orien-
tesversl'extrieurdelapoutre.
- fA\B{A1/1}= B\0f
48.2 Dfinition
B{B1/1}= fB\8\0f
Unepoutreestsollicite latractionsi, letorseurassociaux
forcesdecohsiondelapartiedroite(II)surlapartiegauche(1)de la poutrepeutserduireenG, barycentredelasection
droite(5) unersultanteperpendiculaire(5),dirige
versl'extrieurdelamatire,telleque:
{
~
}
N*o;Ty=o;Tz=oN DansG(CohuJI)=-0'(6 ~ ~ ~ ) .(N>"0)GO;:1\, ,x,y,z. . .
Ift= 0 ,lffGy=0 ,lffGz=0
REMARQUE:
G(CohUJI)=-G(Actionsext.gauche/I)=~{i}=+G(Actionsext.droite/II)=G}
d'o:[
-> --> -> -> --->-+N=-A . N=B et !fG=O
48.3 ContraintesdansunesectiondroiteLescontraintesa;;dansunesectiondroite(S)sontnormales lasectionetuniformmentrpartiesdanscettedernire.LavaleurdeaMenunpointMde(5)est:
NaM=S
N >0; aM>O
aM: contraintenormaleenM(MPa)*.
N :effortnormal(N).
S :airedelasectiondroitesoumiselatraction(mm2).
* 1 MPa = 1 N/mm2.
SOLIDE IDAL
1 Ligne moyenne
ji
Rsultantesdes actionsextrieures
appliquessur la poutreAB
ISOLEMENT D'UNE PARTIE (1)
Rsultantedes forces de cohsion
de II/I
Force lmentairede cohsion II/I
- - +YA YA Mun
x
Section droite(S)
Force gauche s'exerantsur (1)
91,0(0, x:y, i) li la poutre~R,(G,X.y; z) li la section (S)
x
Nx
(II)
RPARTITION DES CONTRAINTES DANS (S)
Section (S)soumise la traction
y
-N A-0z ~-~
x
Rpartitionuniformedes contraintes
aM
x
-
48.4 tudedesdformations48.41EssaidetractionLamachinedetractionpermetd'appliquertrsprogressivement
etsanschocuneffortdetractionF,afind'tudierlesallonge-
mentsL1t del'prouvette:
. Porterenordonnelavaleurdel'effortunitaireR (oucontraintedetraction)enmgapascal(MPa)*.
[
0"= LSo
F :effortdetraction(enN),
50 :sectioninitialedel'prouvette(enmm2).
. Porterenabscisselavaleurdel'allongementunitaireEx:
]
/).1
Ex = fa
L1t :allongementdel'prouvette(enmm)(fig.2),
ta : longueurinitialedel'prouvette(enmm).
Lacourbeobtenue(J={(Ex)estappele:courbedetraction,
elleestpratiquementindpendantedesdimensionsderfrence
del'prouvette.Ellefaitapparatredeuxzones:
. lazoneDA: l'prouvetteaunedformationlastique.l'allongement unitaire est proportionnel l'effort
appliqu.Dsque(J estsupprim,l'prouvettereprendsa
longueurinitiale10.
Onrestedanscettezonetantque(J Re: l'prouvettea unedformation
plastiqueoupermanente.L'allongementunitairen'estplus
proportionnell'effortunitaireappliqu.Lorsque(Jestsuppri-
m,l'prouvettenereprendpassalongueurfa.
DeA C : l'prouvettes'allongeetrestecylindrique.
DeC D : l'allongementcontinuedecrotreavecuneffortF2
moinsimportant.Ilapparatuntranglement,oustriction,qui
s'accentuejusqu'laruptureenD.
Rr est la rsistance la rupturedu matriau(Mpa).
Aprsrupture,l'prouvettea pourlongueurlu. Ondfinitl'allongementen%.
A%= tu- 10x 100;pourlesaciers0%1
Palierde plasticit
Domainede dformation
lastique -Domainede dformation
permanente
...
Aire de la
. De0 A:if if:**/).ti
-~ ~
. DeC 0 :F3
-
136
48.42 Dformationd'unepoutredansledomainelastique
48.421DformationlongitudinaleLacontrainte(J = !! varielinairementenfonctiondel'allon-
SogementunitaireBxpourlesegmentdedroiteOA.C'estlaloide
Hooke(voirfig.1).
N 4fu= E.EX ; -= E.-
So fo
(]' : contraintenormaledetraction(MPa).
E :moduled'lasticitlongitudinaloud'Young(MPa).
Bx :allongementunitaire(sansdimension).
N :effortnormal(N).Sa :sectiondroiteinitialesoumiselatraction(mm2).U :allongementdelapoutre(mm).ta :longueurinitialedelapoutre(mm).L'allongementUs'crit:
N.fO
41!=u-;48.422 DformationtransversaleLorsqueunepoutres'allongedansladirectionlongitudinale
sousl'effetdeN,onobserveunecontractiondansladirection
transversaleperpendiculaire.Oncritque:
Ey=- V.Ex
Bx: allongementunitaireselon(0,x) (sansunit).
8y:contractionselon(0,y) (ouraccourcissement),v :coefficientdePoisson.
Selonlesmatriaux:0,1.sv .s0,5.Pourlesaciers:v =0,3.
CDDFORMATION LONGITUDINALE(J =E .E:x
E",200 000 MPa,
Nu=-Sa
Re
Domainelastiquedescurit(voir 48.5)
A
RPe
M8x=~
Domainelastiqueutilis
N1
U1 =Sa
0
0 DFORMATION TRANSVERSALEY ~ ~ Poutreaprs
~dformation-N
xN
A tat1
[
- t1- ta ;8x - ta
- h1-ho1
8y - ho
* Voir autresvaleursG.D.chapitre56.
48. 43 VALEURS DES CARACTRISTIQUES MCANIQUES DES MTAUX ET PLASTIQUES'"Dnominationet symbole Remin(MPa) E(MPa) Dnominationetsymbole Rmin(MPa) E(MPa)
FontegraphitelamellaireFGl2oo 200 80000 Acrylonitrite-butadine-stryrne(ABS) 17 700
FDntegraphitesphrodalFGS600.3 370 170000 Polyamidetype6-6(PA6/6) 49 1830
Aciernonalli(E24)S235 215 210000 Polycarbonate(PC) 56 2450
Acieralli(25CD4)25CrMo4 700 210000 Polyltralluorothylne(PTFE) 11 400
Bronze:CuSn8P 390 100000 Polystyrne(PS) 35 2800
Cupro-aluminiumCuAI10NiSFe4 250 122500 Polychloruredevinyle(rigide)PVCU 35 2450
DuraluminAW-2017(AICu4MgSi) 240 72500 Phnoplaste(baklite)PF21 25 7000
AlpaxAS13 80 74500 poxyde(araldite) 28 2450
-
48.5 ConditiondersistancePourdesraisonsdescurit,lacontraintenormaledoitrester
infrieurelarsistancepratique l'extensionRpe(voirfig.1,pageprcdente).Laconditiondersistanceest:
INI1(wl ~ Rpe ou - ~ Rpe
S
OndfinitRpe(MPa)parlequotientsuivant:
[
ReRpe = S
Re:rsistancelastiquel'extension(MPa),
s :coefficientdescurit(sansunit).
48.6 ConditiondedfonnationPourdesraisonsfonctionnelles(problmesd'alignementd'appuis,cahiersdescharges...),ilestparfoisimportantdelimi-terl'allongement.Ildoitresterinfrieurunevaleurlimite:~trim'
1 1
INI./oLI.1 ~ LI.1 lim ou - ~ LI.1 limE.S
48.7 Gomtrienonparfaite*Silesolideprsentedesvariationsbrusquesdesection,dansunezoneprochede.cesvariations,larpartitiondescontraintesn'estplusuniforme.Il y a concentrationdecontrainte.Lacontraintemaximaleest:
lalmax=Kt.lalnom; 1
-
138
48.8 COEFFICIENTS DE CONCENTRATION DE CONTRAINTE Kt *Arbre de section circulaire paul
r
N ~~~
-N
"0
Q
lalmax = Kt lanoml
INIlanom1 = S s = nd24
Kt
2,6
2,2
1,8
0(J= 1,5
LJ~.+.-:~t---i--1,05'~ 102
1o1 1 1. 1 l '", ''0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 L
d
Exemple: ~ =0,125; ~ =1,05; Kt=1,4
1,4
Arbrede sectioncirculaireavecgorge
Q r
N
-NU~"0
lalmax= Kt lanoml
INIlanoml= S
s = nd24
Kt
3,0
2,6
2,2
1,8
1,4
101'0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 r
(J
Exemple: ~ =0,125; ~ = 1,05; Kt= 1,7
Plaqueplaneavecchangementdesection
i.~-~j..'..' ' ~-7CJ : - amaxN - -N~
s.. ~.s:::
lalmax= Kt lanoml
INIlanoml= S S=h. e
*D'aprsCETIM.
Kt
3,0
2,6
2,2 Hfi = 1,50
~t---'~1,05
1TtI--;1,020,15 0,20 0,25 0,30 L
h
=0,125;~ =1,05;Kt=1,4
1,8
1,4
101'0 0,05 0,10
.LExemple. h
-
139
Plaqueplaneavecdeuxsaignessur les bords
~r e
C
;r ... ::,.~ ':. :.:-N '6.0
kylmax = Kt 100nomi
INI100nomi=S S= h.e
Kt
3,0
2,6,..
2,2
1,8
ti =3h
!~~~_1,2
~,~ t-"-r-rr-: .. 1 ""I~'0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 L
h
Exemple: fi = 0,125; ~ =1,05; Kt= 1,8
Plaqueplane perced'untrousur l'axede symtrielongitudinal
~~~1f
laimax = Kt IGnom1
INI100lnom=S S = (H - d) e
Kt3,0
2,8
dH
2,6
2,4
2,2
2,00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Exemple: *=0,2 ; Kt=2,5
Plaqueplaneperced'untrou uneextrmit
~:r:1 1. ~I -- \:)J, ."" L-N -N"2 t2::::J "2
41
Er N):. . 10" 1max = Kt 100nomi- ININ 10"1 = - S = (t - d) e
nom S
Kt
11
0,5
9
7fj =0,35t
5
3
10 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Exemple: ~ =0,35; ~ = 1,0 ; Kt=3
dt
-
140
48.9 Exemples48.91 Vrificationd'untirantUnprofilIPN,sertdecheminderoulementpourunpalan.Ilest
suspendupar3tirantsde0 10mmetdelongueur400mm.
CestirantssontenacierdersistancelastiqueRe=240MPa,
demoduled'Young:E=2.105MPa.Lecoefficientdescuri-
test:s=8(appareildelevage,voirtableau 48.5).Letirantle
pluschargsupporteunechargeverticalede600N.L'allon-
gementnedoitpasdpasser0,5mm.
10Vrifierquecetirantpeutsupportercettechargedansdesconditionssatisfaisantesdescurit.
20Vrifierquel'allongementresteacceptable.
RPONSE:
Lecalculsefaitselonlamthodedfinie lapagesuivante.1estunepoutresoumisedeuxrsultantesopposesA; etif";,: (sollicitationdetraction).10Vrificationdelarsistancelatraction:
ZONE1:SOLlOEIDAL: NLacontraintenominaleest:1 (j noml=yL'effortnormalest:IINII=1If!;11=600N
. Calculerlasurfacesoumiselatractionetlacontrainte:S=11:d2=11:X 102=7854mm2
4 4 '
d'ou' .1
1= 600 =7 64 MPa
. nom 78,54 '. Calculerlarsistancepratique l'extension,Rpe:
Rpe=Re=240 Rpe=30MPa, s 8. Ecrirelaconditiondersistance:
1 noml""Rpe 7,64dODanslazone1,letirantconvient.
ZONE2 : SOLlOE REL:
. Calculerlasurfacesoumiselatraction:d3=d-1,2268p; p=1,5 (p=pas)*
11:x8,1S2d3=8,15mm;S1- - 52,3mm24
. Calculerlacontraintenominaledanslazone2 :
1noml= 600 =1147 MPa .52,3 '
Laconcentrationdecontrainteaufonddufiletest:Kt""2,5(voir48.7).. Calculer:IImax=Kt.1nam1
IImax= 2,5 x 11,47
Jl max=28,68 MPa .
. VoirG.D. 30.31.
SCHMA DE L'INSTALLATION
Tirantde suspension1
Palan lectrique
TIRANT 1 ISOL
A3/1
]Zone2Solide rel
00'=tIl
"'" d= 10Zone 1Solide idal
Changementde diamtre
d aufiletage
Sectj~n \soumise latraction
-
. crirelaconditiondersistance:1(TI max ~ Rpe 28,8dO.
Danslazone2,letirantconvient.
2Calculdevrification ladformation:INI.to
Allongementd'aprs48.42:1ui = - ,E.50
600x 4001ul = 5 =0,015;0,015
-
142
Ondmontreaussique:
[
1 O"z 1 =Pefl' JL4e
Onconstateque(J'xestledoublede(J'z'nousnecalculeronspar
lasuiteque(J'x.
2Calculerl'paisseurdutube:. Calculerlacontraintedterminante:
d 15x10o"x=PeU.- ; O"x=-
2e 2xe. CalculerRpe:
Rf1J =280 =56MPa5. crirela conditiondersistancepourunsolideparfait:(zoneloignedesextrmitsdutubeetdesesliaisons
aveclessolidesvoisins.Coefficientd'assemblagegal1).15x 10
(J'x:;sRpe;- :;S 562xe
e;;; 15x10; e;;;1,33mm2x56
Onadopte:e: 1,5mm.
. Vrifierleshypothsesdemodlisation:Uneenveloppeestconsidrecommetantmincesi lacondition:IL>20estrespecte.e
Calculer:r=IL; r=J.Q... =6,6.Conditionnonvrifie.C'estl e, ' 15uneenveoppeepalsse.'
Pouruncalculplusprcis,il fautchangerlamodlisationgo-
mtrique.Pourlesenveloppespaisses:
d'o:
2 20 j+D e Di
Peff .- :;S Rpe avec -
Delammefaon,larsultanteR desforcesdepressionest:
-> d2IIRII=Pefl.IL-4
L'paisseur:epouruneenveloppesphriquerelleest:
Pefl.d +ce ;. 4a. Rpe (voirtableau)
ENVELOPPES MINCES RELLES SOUMISES
UNE PRESSION INTRIEURE
Assemblageparsoudure
Facesdecontrle
Peff.d de;. -2 R +c (avece>20)a. peC:surpaisseurdecorrosionetd'irrgularit(13 mm)a :coefficientd'assemblagelilasolutiontechnologique
Valeursducoefficientd'assemblage:a
0,39 SDudurenDncDntrlable l'envers.
Rivetagesurunseulrang.
0,6 SDudurecDntrlablesurlesdeuxlacespendant
l'excutiDn.
Rivetagesurdeuxrangs.
0,75 SDudurecDntrlablesurlesdeuxlacesaprsexcutiDn.
0,84 RivetageavectrDispaisseursdetleetquatre
rangesderivets.
0,9 SDudurecDntrleauxraYDnsXetrecuit.
RservDir,tube,sansjDint.
ISOLEMENT D'UNE PARTIE (1)D'UNE ENVELOPPESPHRIQUE
z
Partie(1)
IR=Ld~1R: Rsultantedesforces
Cidues lapressioneffective
-
48.10 Les composites
Cesontdessolidesrelscarlesmatriauxquilescomposent
nesontni homognes,ni isotropes(leurrsistanceet leur
dformationvarientselonladirectiondesefforts)(voirfig.2).
Ilssontconstitusdedeuxlments*(voirfig.1).
. Lerenfort(gnralementdesfibres)quisupportentl'essentieldesefforts.
. Lamatricequiassurelelienentrelesfibres.
Lesmatriauxcompositesunidirectionnelssontcaractrisspar
desfibresdisposesparalllementlesunesparrapportaux
autres.La rsistance la tractionestmaximumlorsquela
directiondeseffortsestseloncellesdesfibres.Danscecas,en
supposantquel'adhsionfibre-matriceestbonne,l'allongement
unitairedechaquecomposantestidentique.Lachargeapplique
estpartageentrelesfibresetlamatrice.Lacontrainteerc
(enMPa)surlacompositeest:
uc=u,.V,+um(1-V,)
Uf :contraintedanslesfibres(Mpa).Vf :tauxdevolumeenfibres(en%).(J'm:contraintedanslamatrice(MPa).Lemoduled'YoungEc(Mpa)estdonnparlarelation:
Ec=E,.V,+Em(1- V,)
Ef :moduled'Youngdesfibres(Mpa).
Vf :tauxdevolumeenfibres(en%).
Em :moduled'Youngdelamatrice(MPa).
REMARQUE:
Si lachargeestappliqueobliquementparrapportauxfibres,
larsistancechuterapidement.
143
CD COMPOSITE UNIDIRECTIONNEL FIBRES LONGUESN
Fibres
(ex. : Verre)
Matrice
(ex. : poxy)
Rsultantedes
effortsappliqus
Exempl~$d~.~tlxXilevlurneenfibres: V,
Verre- poxy 60 %
Verre - Polyamide6 - 6 30 %
0 ORIENTATION CHARGE - FIBRENi *fJ Rr A (MPa)
1500
1000
500
'P
Orientationdes filtres 30 60 90
* Voir GD. chapitre 58 pour complments d'information.
CARACTERISTIQUES COMPARES DES ACIERS, ALLIAGES ET COMPOSITES
Rf E A T V, Rf E A T V,Nature (MPa) (MPa) (%) limite (%) Nature (MPa) (MPa) (%) lirnite (%)
rC) (OC)
Acier35CrMo4 1000 200000 11 600 - AluminiumAU4G 400 72000 610 200 -
Polyamide6-6 49 2000 80 - SiC-Aluminium 700 105000 0,65 400 35
Verre-Polyamide160 10000 1,5 120 30 Bore"Utane(TA6.V)1000 250000 0,4 650 40
Verre-poxy 2000 53000 3,5 160 60 Crborie.Carbone50-180 20000 3,3 2500 30
Kevlar-poxy 1600 75000 2 160 60Al20a.Verre 220 150000 0,2 550 30(Pyrex)
Avec:Rf:rsistanceminlarupture-E:moduled'Young'A: allongementen%. T:tempraturelimite.
-
144
49 Compressionsimple
49.1 HypothsesLesolideestidal:matriauhomogne,isotrope,poutrerec-tiligneetdesectionconstante,deformevoisineducarr(b~ 1,5a).Lessectionscirculairesconviennentparfaitement.LalongueurLdoittrecompriseentre3et8foisladimensiontransversalelaplusfaiblepourviterlerisquedeflambage.
Lesactionsextrieuresdanslessectionsextrmessont
modlisablespardeuxrsultantesAet8,appliquesauxbary-centresdecessections,dirigesselonlalignemoyenne,vers
l'intrieurdelapoutre.
49.2 DfinitionUnepoutreestsollicitelacompressionsi,letorseurassoci
auxforcesdecohsiondelapartiedroite(II) surlapartiegauche(1)delapoutrepeutserduireenG,barycentredela
sectiondroite(S),unersultanteperpendiculaire (S)
dirigeversl'intrieurdelamatire,telleque:
{
-}
Ni=O;Ty=O;Tz=ON Dans
G(COhII/I}~ii m(G,X;y,-Z):(N
-
49.5 ConditiondersistancePourdesraisonsdescurit,lacontraintenormaledoitrester
infrieurelarsistancepratiquelacompressionRpc.
OndfinitRpcparlerapportsuivant:
[
Rpc = Recs
Rec: rsistancelastiquelacompression(MPa).s :coefficientdescurit(sansunit).
Laconditiondersistanceest:
lai,,; Rpc l!1 ,,; RpcS
. Lesaciersdouxetmi-dursontlammersistancelastiqueReentractionetencompression.*
. Lebtonetlafonteontdesrsistanceslastiquestrsdiff-rentesentractionetencompression,ainsiquetouslesmat-
riauxnonhomognesetnonisotropes.
. Si lepoidsdelapoutreverticalen'estpasngligeable(cblesd'ascenseursdegrandsimmeubles,pilesdeponts,che-
minesd'usine...),laconditiondersistanceest:
[
INI IPI-+- ,,; RpcS S
P: poidstotaldelapoutre(N).
49.6 SolidesrelsCesontdessolidesquis'cartentdesconditionsidales.
SECTIONSBRUSQUEMENTVARIABLES:
Lasectionestdeformeprocheducarrouducercle,commeen
traction,dansleszonesdechangementdesection,larpartition
descontraintesn'estplusuniforme.Cetteconcentrationde
contrainteestpeudangereuseencompression;elleest,
engnral,nglige.
SECTIONSTRSPLATES:
Danslecasd'unepoutreplate(parexmpleb=10a),si
3b
-
146
49.8 Mthodesdecalculsentraction-compression
Ilexistedeuxmthodesdecalculsentractionoucompression.
. Lecalculdevrification:leseffortssontconnus,l'organeest
dtermin(dimensions,matriauxconnus)etonvrifies'ilconvient.
Sicelan'estpaslecas,oncalculedenouvellesdimensions,et/ouon
changedematriau.
CALCULDEVRIFICATION(voir exemple 48.91) :
. Lecalculdedtermination:leseffortssontconnus(par.exemple),lematriauestdterminetoncalculelesdimensions.
Danslesdeuxcas,onpeutfairesoituncalculdersistance(contraintesdterminantes),soituncalculde dformation(dformationsdterminantes)soitlesdeuxtypesdecalcul.
L'effortappliqusurl'organeisol:INI.Lematriau(doncReouRec).Lecoefficientdescurit(doncRpeouRpc),Lesdimensionstransversales(doncS)etlongitudinales(ta)
1Typedecalcul?
Fairelebilandesdonnes:
[
.Onconnat:.
.
Calculdersistance:calculerlaMI = INIS
Calculdedformation:calculer1 L1t 1 = INI.taE.S
Conditiondersistancerespecte
laMI~Rpc
Conditiondedformationrespecte
Illt 1~ lllim
Choisirdenouvellesdimensionset/ouunnouveaumatriau.Recommencerlecalculdevrification.
CALCULDEDTERMINATION(voir exemple 48.92) :
IMI ,s;Rpc
Onconnat: Onconnat:
. lesdimensions
Onconnat:
.L'effort1NI
. Lematriau.L'effortINI. Lesdimensions transversales
. Lematriau(HpeouRpc) transversales
Calcul de dformation:1'11,s;1'11lim ;1NI. 1 ,s;1'11limE.50
Onconnat: Onconnat: Onconnat:
. L'effort1N1 . L'effort1NI . Lesdimensions
. Lematriau. Lesdimensions transversales(moduleE) transversales . Lalongueur. Lalongueur . lalongueur . le matriau(E)et1'1tlim etl'1tlim et1'1tlim
Oncalcule; Oncalcule; Oncalcule: Oncalcule: Oncalcule;,[
. Re(ouRec) .la forcemaxque . Lesdimensions . Lemodule . laforcemaxquetransversales puisHpe(ouHpc! peutsupporterl'organetransversales d'YoungE peutsupporterl'organe
lM INI.toE?; 1NI.!o,s;Rpe lM I.NI -,s;l'1tlim tJ.tlim.E.5S E.5
. '.. lM Rpe ?; ---.. ,s; Hp. 5.1'1tlim INmaxl,s;S S
, S?;INmaxl ,s;Hp.. S S?; INI. to toHp. Onchoisitlematriau Onchoisitlematriau
O'Odoubeth E.1'1tlim
-
50 Cisaillementsimple
50.1 HypothsesLesolideestidal:matriauhomogne,isotrope,poutrerec-tilignedesectionconstante,avecplan(n)desymtrievertical.
LesactionsextrieuressontmodlisablesenAetB,situs
dans(n),pardeuxrsultantesverticalesfietB, directementopposes,situesdansleplandecisaillement(P)perpendicu-
lairelalignemoyenne.
{
\ 1s\{A1/d= A 1; {B1/d=s\l
50.2 DfinitionUnepoutreestsolliciteaucisaillementsiletorseurassociaux
forcesdecohsiondelapartiedroite(II)surlapartiegauche(1)dela poutrepeutse rduireenG,barycentredela sectiondroite(S),unersultantesituedansleplan(S),telleque:
{f}
Dans N= 0; Ty0/=0; Tz0/=0G(CohulI)= ~ Cil(G
_x Y--z)'GO' "" , ,
#1=0, #fGY=0 ,#fGz=0
REMARQUES:
~ICOhll/')=,(Actionsex'gauche/ri=~@1f=A=+G(Actionsext.droite/II)=G{~}#G=0. Danslaralit,A s'exerce]unedistanceM, trspetite,duplan(P)danslequelsesitueB etunfaiblemomentdeflexion,
selon (G,z) , apparat(majorerlecoefficientdescurit).Algbriquement:# f Gz =-II Ail.Il x.
50.3 ContraintesdansunesectiondroiteLescontraintestangentielles~ sontsensiblementuniform-mentrpartiesdansunesectiondroite.Ondfinitunecontrainte
moyenneTmoygaleTMsupposeuniformmentrpartie:
Tmoy =Ls
Tmoy:contraintetangentiellemoyenne(MPa)*.
T :efforttangentiel(outranchant)(N).S :sectiondroitesoumiseaucisaillement(mm2).
* 1 MPa=1 N/mm2
147
SOLIDE IDAL
Ligne
moyenne
ISOLEMENT D'UNE PARTIE GAUCHE (1)
Rsultantedes forces de cohsion(II)/(I)
Section de la coupure(8) .v+-/Ty
A
--z
x
(II)
x A
Rsultantedes forces " gauche"/(I)
CAS RELLlx
0
Rsultantedes
forces extJ(I) APartie (1) Partie(II)
CONTRAINTES DANS UNE SECTION
1ITM';I1=IITM)= =IIT;;;;II=CteSection soumiseau cisaillement
---
x
x
ContraintetangentielleenM3
-
148
50.4 tude desdformations
50.41EssaidecisaillementL'essaidecisaillementfaitapparatre,commepourlatraction,
deuxzones:
- LazoneOAJedformationlastiqueoudomainelastique(lachargeF estproportionnelleauglissementtransversalAydessectionsdroites5/50);
- LazoneABCdedformationpermanente,oudomaine
plastique.
50.42 Dformationd'unepoutredansledomainelastique
Ondfinitleglissementrelatifr parlerapport:
[
Ayr = Ax
Ay: glissementtransversalentredeuxsections(5)et(50)(mm).
A x: distanceentredeuxsections(5)et(50)(mm).
LaloideHooketablitlaproportionnalitentrelescontraintes
tangentiellesetleglissementrelatif:
Tmoy= G.r
!mot contraintetangentiellemoyenne(MPa)**.G :moduled'lasticittransversal(deCoulomb)(MPa).
r :glissementrelatif(sansunit).
Onpeutcrireaussi :
L = G. AyS Ax
T :forcetangentielle(N).
5 :airedelasectionsoumiseaucisaillement(mm2).
G :moduled'lasticittransversal(deCoulomb)(MPa).
Ay: glissementtransversalentre(5)et(50)(mm).
Ax: distanceentre(5)et(50)(mm).
G,aummetitrequeE,estuneconstantecaractristiquedu
matriau,dtermineparessais.
COURBE CARACTRISTIQUE DE L'ESSAI
Support mobile
prouvette1 IIFIIA(N)Fmax
B
:C1111111111111
IAy----
(mm)
Ax
~
0
Dformation
permanente
DFORMATION D'UNE POUTRE
(S) : Section droiteavantdformation
(S') : Section droiteaprsdformation
A
,
~
Partie (I)
TAx
Glissementtransversalde SISo
Efforttangentielappliqusur (I)
1 Avec: Ax trs faible; fffGz ngligeable1
, Liretau. " 1MPa=1N/mm2
Matriau Plexiglass Verre Alpax Laiton Fontes Bronzes Aciers Acier
Duralumin ressort.
ValeurdeG11000 28000 32000 34000 40000 48000 80000 .84000
eQ(MPa)\
-
50.5 ConditiondersistancePourdesraisonsdescuritetd'incertitudesurleshypo-
thses(lecisaillementpurn'existepas),lacontraintetangentielledoitresterinfrieurelarsistancepratiqueaucisaillement(ou
auglissement).
Ondfinitlarsistancepratiqueauglissementparlequo-tientdelarsistancelastiqueparlecoefficientdescurits
(voirvaleursau48.5).
Reg
Rpg = S
Rpg:rsistancepratiqueauglissement(MPa).
Reg:rsistancelastiqueauglissement(Mpa).s :coefficientdescurit(sansunit).
Laconditiondersistances'crit:
1TIITmovl~ Rpg ou - ~ Rpg
S
50.6 Exemplesdecalculs
50.61 Dterminationdudiamtred'uncloucannelCTR 1
Unetle1estfixeausupport2paruncloucannel3.Laforce
F exercesurlatleestde4000N,dansunplanparalllesesfaces.Larsistancepratiqueauglissementducloucannel
estRpg=50MPa.
Calculerlediamtreducloucannel.
1 Modliserleseffortsetrechercherlasollicitation:
L'isolementducloumontrequ'ilestsoumis2forcesopposes
perpendiculaireslalignemoyenne.C'estducisaillement.
2Calculerla contrainte,crirela conditiondersistance:
ITI. . ITIl'fI=- , l'fI ~ Rpg, - ~ Rpg
(n~2) (n~2)3Calculerlediamtreminimalduclou:
d2 ;3 =.ilIln Rpg d;3 ~:~~g
d'o:d;3 4x 4000d ;310,09mm;prendred=12mm.nx50
149
ASSEMBLAGE PAR CLOU CANNEL
2 31
IIFII=4 OOON
ISOLEMENT DU CLOU CANNEL
Rsultantedes actionsde contactde 1/3
IIA1/311=IIFII /
Section circulairecisaille0 AB
Rsultantedes actions de contactde 2/3
ou efforttranchanten B
RELATION ENTRE LA RESISTANCE LASTIQUE
A LA TRACTION (Re)ET LA RESISTANCE LAS-
TIQUE AU CISAILLEMENT OU GLISSEMENT (Reg)
Matriaux Relation
Reg:::f(Rii)
Acierdoux(Re";270MPa)Rlig=0,5ReAlliagesd'aluminium
Aciersmi-dursReg=0,7Re
(320,,;Re";500MPa)
Aciersdurs(Re 600MPa) Reg=0,8ReFontes
RelationgnraleReg=1(Re)
ko ReReg=-. Re ko=-
1+ko RecRec:rsistancelastique lacompression
-
150
50.62 Vrificationd'unegoupilleLaliaisonenchapede2/3estraliseparunegoupille1 de
d=8mmdersistancepr~iqueaucisaillementRpg=24MPa,LachargeappliqueestIlFil=2000N,Vrifiersilediamtredelagoupilleconvient.
. Isolerla goupille1 : elleestsoumiseundoublecisaillement(fig,2)(deuxsectionscisailles),
. crirelaconditiondersistance:=>
211Fil
~ ,II Fil '1IITMII,,;;Rpg ,-,,;; Rpg, d~
2(nd2) V n.Rpg2sectionscisailies: 4
8~ /\ /2 x 2000;8~ 7,28;laconditiondersistanceestnx 24 vrifie,
50.63 Dterminationd'uneliaisoncolle
Dterminerlalongueurminimaleducylindredecollage!Itre1et2,sachantquesondiamtreest20mm,quelaforce F appli-
queest20000Netquelalimitelaruptureaucisaillementde
lacolleestRrg=15MPa*,. Rechercherlasollicitation:lefilmdecolleestsoumisdesforcesopposesquitendentfaireglisserlessectionscylindriqueslesunesparrapportauxautres,C'estducisaille-ment.
. CalculerlacontraintetangentiellellT;;yll.-> ->
1lT;;yl 1 JlflL Ilrll avecIlTII=11FilSn. d.t lim
. crirelaconditiondersistance:
IIT;;yll,,;; Rig
->
IlTli,,;; RIgd'o:
n.d. tllm
Lalongueurminimaledel'assemblagecollest:
tlimliTIl
n. d. Rig
Applicationnumrique:
tJ . >- 20000{mm~nx 20x 15
REMARQUE:
{min~ 21,2mm
. lasollicitationdecisaillementviennents'ajouterlarsistanceaupelage**quisollicitelesbordsdujointdecolleetlarsis-tanceauxagentschimiques.Ilyadonclieudesurdimensionnerlargementlersultatci-dessus(ex,:lemultiplierpar2),* 1 MPa=1 N/mm2. ** VoirG.D,chapitre29
CD LIAISON EN CHAPE 2/33 2
:tr F.-FEGou~ille1
CD DOUBLE CISAillEMENT DE 1Rsultantesdesactionsdecontactde2/1
-821
8
O2C
11
A3~1
c3~0
Rsultantesdes actionsde contactde 3/1
LIAISON DE 1 ET 2 PAR COLLAGE1
-F
2
F
J
'mifl?
ISOLEMENT DE l'ARBRE 1
Rsultantedes forces
lmentrairesde cohsion
't:JT3/1
E
"~H
-
APPLIGATION1 :
Dterminationd'uneliaisoncollesoumiseuncouple.
Lasolutioncolleoffreunealternativeintressantepourraliser
uneliaisonencastremententreunpignondentetsonarbre:
rductionducotdefabricationetdemontage,
Aprspolymrisation,la rsinetransmetle coupletoutenassurantladmontabilit
Toutefois,latempraturedefonctionnementdoitresterinfrieure150C,
DONNES:
Figureci-contre.CoupletransmettreCt= 8N.m,
PROBLME:
valuerlafaisabilitdecettesolution.
RSOLUTION:
. Oncalculelacontrainted'utilisationparlarelation:"W= "FT.f1.f2.'3.'4.f5
Chaquetermeserelveci-contre;onobtient:
Rsine638 : TFT= 2240MPa(effectuerdeuxcalculs).
Matriau: f1= 0,9(acieralli).
Jeu : f2= 1(016 H8/f8~jeumoyen= 0,043mm).
Rugosit: f3= 1(Ra= 1,6!Lm),
Temprature:f4= 0,8(t= 70C).
(L 12
)Forme: fs= 0,9 D= 16=0,75etD=16mm.OntrouveTW= 14,225,9MPa.
. CoupletransmissiblesansCOups:Co=Tw.s.f avec5=7T.D.L(surfacecolle).
CommeTW=14,225,9MPa,D=16mm,L=12mm;Co= 68,5125N.m,
NOTA:
Deschargesdynamiques,frquentes,conduisentminorerces
valeursenlesramenant,parexprience,33%environpourun
coupleet12%pourunarrachement.
Onendduitlecoupledynamiquetransmissible:
Cdynmin= 22,8N.m (scurits = 2i8 = 2,85).
NOTA:
Larsinesupporteuneffortd'arrachementN:
N= TW.7T.D.L.0,12= 14,2x 7Tx 16x 12x 0,12= 1028N.
* ConventiondepartenariatLOCTITE-DUCATIONNATIONALEsigneen1992.
** D'aprsfichetechniqueLOCTITE.
151
EMMANCHEMENT COLL
Tempraturede servicets = 70 C
L = 12,
Couple / /
R:~,Pignon 42 Cr Mo 4
016 H8/f8Coll Loctite*638
Arrachement~------..
Arbre C 35
Rsistanceaucisaillement'TfT **
Rsine polymrise 1 603 638
2240'TFT(MPa) 2032
FACTEURSCORRECTIFSAVEC LOCTITE* 638
Matriaux '1 Jeu(mm) '2Acier J . ]....0,08] 1Acieralli 0,9
10,080,15] 0,9Acierinox 0,5
Fontes 0,9 ]0,150,2] 0,8
AlliagesCu,Alu 0,5 10,20,25] 0,6
Revtementszingus, 0,45]0,250,3] 0,5cadmiss
Rugo