Download - Groupes
����������� ��������������� ������ ��������
���������������������� �
�� �� ��� ��� �� � ���� �� ∗� � ������� !"�� �������� � �� !"��� � � !�
� �� ���� ��������∗ ����!�� ���#��� �∗ ������ �����$� %�&�'�!�������������������� ��∗ ( )�* ���������!���!������'�����#��� ����� �∗ (�"���+,+!����
���������
�������
����������
=∗=∗∈∃∈∀=∗=∗∈∀
∗∗=∗∗∈∀
���)
��%
� � ����
-����#���
.� �� ∗� ������� ������'��������!������� !�/,$������������������(
.�!�����∗ ���� �������$�� �!��#�� �� ∗� ������� ���� ��������(
0�12������
�� +• � �"���������� ���(
�� +• � ������� ���(
�� ו � �"���������� ���(
�� ו � �"���������� �������� �3� � �������(
• ��� ������ ���,�� ���������� { }���� ��=
4 �♥ !����������������!��'���� ��! ����� ��♥ �
����
����
����
����
� 5
6�� ���� ������������������� ��� ���� ����� =♥=♥
��-�����!��������1�� ���� �7��8����9
. �����������������!"���� �∗ � ��������� ���(
• &�'�!����������������������������4"�2����������!�/,! ���������!������� �!"���� ���(
.��� � ��#�� :��� � ��!��2�������(
�� �� :: ���� =∗= ���������������� :� ���������;!��2����������������
6�����! ��������������!��� ��� �� ∗� (
� �������� ��������
touscours.net
����������� ��������������� ������ ����%����
• * ����������!���!��������������'�����#�����∗ �4"�2����������� �/ ���! ���������!������� �!"���� ���(
.��� � ��#�� ::�: �� � ��!��2�'�����#���!��(
�� �� ::::::�: �:: ::: ������������ =∗=∗∗=∗∗=∗=
6�� ��!������ ������������ � ���'�����#��!��(
• � ��� �� ���� =∈ � �
����� =∗=∗
� �������'�����#��!� � (
• � ��� �� ������� ∗=∗∈ �� �
������������������ =∗=∗∗=∗∗∗=∗∗∗=∗∗∗ <=<�= �< =� �
1� ������������������ =∗=∗∗=∗∗∗=∗∗∗=∗∗∗ <=�< =<�= � �
� �� ���� ∗=∗
• -����#���
6���� ��� �� � � ��� ���������� ∗∗=∗∗∈ (
6�����! ����� �������������>�� ��� ∗∗
• 7-�� ���� �!"�#���� ��9�
� ��� �� ���� ∈�� �
������
������
∗=⇔=∗∗=⇔=∗
�%
�
��� ������� �!� ��
.� ��� =∗ ��� �� ����� ∗=∗∗ � (
6�� ��������� =∗=∗∗=∗∗ � � (� �� ��� ∗=
.� ��� ∗= ��� �� ����������� =∗=∗∗=∗∗=∗ � �
4�!�� ������� �������?��� �� %�@
• -���������
� ��� �� ���� ∈�� � ���
������
������
=�∗=∗=�∗=∗
�%
�
4����������������� ��� ��$���������������$�!��������� ������� �!� ��
.� ���� ∗=∗ ��� �� ������ ∗∗=∗∗ � �
. �� � � ������ ∗∗=∗∗ �! �� ���� ∗=∗ �:���+,+!��� �� =
4�!�� ������� ������� �����?��� �� %�(
� ���#������ !��� ��� ����� !��'���� �� !"�� �� ������� �� ∗� � � ��
$ ��/�����!��2� �����?���������!�������?�������� ����� �� � �����
.� ��� =∗ �� ������ =∗=∗ %% � �� �� %% �������� ∗=∗∗=∗ �
� �� %% A ���� == (
• &����!"����������
. �� ��∈ (6�� �� !������ �����������������������
%B��� =∗ � )B� ������� =∗∗=∗∗
������� �����������
6�!�������� ��� �� �∈� � ��B ���������������� �����
������
��
∗=+∈∀−=−
�B �B �
CB
�
touscours.net
����������� ��������������� ������ ����)����
�� �� �� ��������� ����������� ,�������!"�������#���� �� � �� �∈��� �
�B �B �B ������� ∗=+ �� �B �BB ������ ×=
• &����7��� �����������!�� ��9�
. �� ��∈ � �∈� (
6�� �� ���� B�B =−
�� �� ���� B�B =−
4�������������!�������������������,�(
%�1�� ���� �7������������$�9 �����������
�������� ��� �� � �$������ ���� �����$������
+ 4������� � �����������������������
+ 4��'�����#��!� ��∈ ���� �� −� ��������������$����!��(
+ 4"������� ������ �� �� (
+ 4��'�� ��× ���� �$��� ���� ��× ���� ������� �� (
4�������������!�����! ������
����
����
���
��
�
��
�����
����
����
��
�
������
������
������
������
����
��
×
+
−−−
+
−
−
−−−
−−
==∈∀
==∈∀=∈∀
=
=•=�==�=•
=⇔==⇔=•
=•=•
�
��
� � �
�
�
�
�
�
C
�
�
�
)�1�� ���� �7�!!���$�9 �����$����2�� ����� ����������
�������� ��� �� +� ��$������ ���� �����$������
+ 4������� �C ����������"����������!��
+ 4��'�����#��!� ��∈ ���� �� �− ������������ �� ��!��(
+ 4"������� ������ �� ��( ��� (
+ 6����� ��!�����#������ ��� �� +� ���� ����������:���+,+!����
������� +=+∈∀ ��
4��������! ������� ���
�� =−−• �
touscours.net
����������� ��������������� ������ ����D����
� � � � � ������ −+−=−+−=+−•
� � �������� −+=⇔=+=+• ; � �� −+ ���� ������� �� −
������
��
�
������
�
+=+∈∀==•
=�+=+•
(�( �
(
C(C
�
�( �( �( � ������� −=−=−∈∀ � �� ������� ��(−
������
���������
� �((
�( ((��
×=+=+∈∀ �
���������2������!��� ���+-��������� ����!�� ������
�3� ��3� ��3� ��� ��� ��� ��� ×××++++ �������
+�� ����!���������� ��
. �� �� �������� � � $�!� #���� �#��( 6� � �� � � �"�������� !��
��������� ����� ��������!����/���� ��!� !��� �(�� ��� � ����������� �!�� �� ���� � ������� ��� � � � �� ��� � � ��� �� �� ���� ������ �� ��� !��
��������� ��!� (���� ������� �� ��������!��#�� ���� ����� ����������(��� ������� ��+ 6������ �� ���!��2��/���� ��!� !��� ��� � �����������/���� �!�
!��� (+ 4�� �� ������ �����$��
������ ��� ���� � � �� �� =∈∀ �
��� ����!���������������������������������� �������/���� ���
+ E������ � &! �∈
+ * �� � � �∈ ����'�����#��� ��� �,��$ �� −� (
� �� ��� � � ������� ���(
F ��� ��#���� ������������ !�����!� �� ����������� ��� � � �"������
� ���������. ����������� ����������!� !��������(
. ���� �� →�� !�������������
{ } { }��
��
�
=∈∀==
��
��
�
=∈∀==
����� �
���
���
����� �
���
���
� ��5
�
�
� ��5
�
�
�� �� � �� � � �� !��� � � � ����#�� �� � �� !�� ��������� �� !� !��� ��
��$��������!"��$���������+�?��� ������ ����$ ����$���(
1� ���� �� ���� �� ≠ �
���������
���������
======
� �� ��
� �� ��
�
�
touscours.net
����������� ��������������� ������ ����G����
12�������
+ 6� � �� �� �� �� ��� ��� � � � ��#�� { }� �(((�)�%�= ( ������ �� ��� ��
�� �������!����!���� H� (
• *����!��'���� ��!� %� �
{ }τ�&!% =� � I�
{ } { }���
%�%��&! →
{ } { }%�%�� →τ !��������� �% ;%� == ττ
*������! ����� �� � �
&!
&!&!
&!5
ττττ�
�
• *����!��'���� ��!� )� �
{ }:�����&! �))�%%�) �� τττ=� � I�
{ } { }���
)�%�)�%��&! →
{ } { })�%�)�%��� →��τ !�������� ������ ������ === � ;� ;� ��� τττ ��� �(
{ } { })�%�)�%�� →� !��������� �) ;)�% ;%� === ���
{ } { })�%�)�%��: →� !��������� %�) :;�% :;)� : === ��� (
*������! ����� �� � �
���
���
��
��
��
��
���
�
&!::
&!:
&!:
:&!
:&!
:&!&!
:&!5
)�%�)�%
%�)�%)�
%�)�)�%)�%
)�%%�)�)�
)�)�%%�%�
)�%)�%�
)�%)�%�
ττττττ
ττττττττττττ
ττττττ
+ ���� ⊗��� � I�
����#���� �#����� �� � ������� �����$���
⊗ !���������
� � ���� �
�������������
∗→⊗∈∀�
�
1��������!"�#��$������� !�� �(
. �� %� ≥∈ �� � (
6�!������������������ ��≡ ����
� ��� �� �� ��������
∈−⇔≡∈ ��
����������� ��"��������������� �!�� ��������� !�� �(
6�� ������J� ��� � !≡ ���� �� <=��� ≡
touscours.net
����������� ��������������� ������ ���������
����������� ������������� �!"�#��$�������
� ����≡∈∀ �� ����#�� ���� ∈=− C
%�� ��� �� �∈��� ��� ���≡ �� �� ���� ∈− ! �� ���� ∈− � �� ��
�≡
)� . ���� �∈��� �� ( .� ���≡ �� ��
�≡ � �� �� �� − �"����� ���� =− I �∈� �
�� �� − �"����� :���� =− I �∈:� ( � �� ����������� ∈+=−+−=− �: � � (
� �� ���≡ (
� ���≡ ��������2�$� ���'�����#�� %����'�����#�� )���"���! ����������� �
!"�#��$������(����������� ����� ���������$��K�
� ��� �� �∈:��:� ���� �
.� :�: ������≡≡ ��� ���
���� ∈− : � ���� ∈− : ! �� ������ ∈−+− :: � �� ������ ∈+−+ � �:: � �:���+
,+!��� :: �����
+≡+ (
� �� � �� �∈� � � ������� ������ !"�#��$������ � !�� �� �� � � �� �� �
�"��������!����������!�� � �����,�� !�� �( ������� �� ��� ���� ��"��!�#�����#�" ����$������ !�� ��(6���� ���"�#��$�������
<�= �� ������� ≡⇔=∈∀ ��� (
1�������
. ���� �∈���
.� �� �� = (��/,� �� �∈ ����≡ ��������2�$����"���,!��� �� �∈ �! �� <=��� ≡ (
.� <=��� ≡ ( . �� �� �∈ ( �� �� <=��� ≡ ( � �� <=��� ≡ ����≡ ��� ��������$��(
� �� �� �∈ (� �� �� �� ⊂ (���?��� �� �� ⊂ (� �� �� �� = (
�" I�"�#��$�������� ��� �� �∈��� (
6�� �� �� �A �"��������!���������!"�#��$�������� !�� �(
������ { }��� ∈= ��� �A � (
�� � ���� ��!������� ��
�� �A ����������!����!�����(
� ��� �� �∈��� � �� �� ������� +=⊕ (
�� �� ⊕ !������ ��� � � !� � �� ���� � ������� ��� �� �A � �� ��A ⊕�� � ��� ��
�� ���� ��������(��� ������� ��
• . �� �∈� (
�� �����2���� [ ]�C −∈ �� ���#�� �� �� = ��:���+,+!������#�� <=��� ≡ (
1�������
1�������� ���� −= � I [ ]��� = � ���� ���
+<≤ ���� � ! �� ������ +<≤ � � �� ���� <−≤C � �:���+,+!��� C −≤≤ �� �
!" I�"�2�������(
� �� [ ] ����� �� =−∈∃∈∀ ��C��
touscours.net
����������� ��������������� ������ ����L����
� �� �� �A � ������ �� ���� � ��������� , ��$ �� ��� [ ]�C� −∈ ���� ( 6� ! ��
! ������������� �����#��� �������������� ��!��������(
. ���� [ ]�C� −∈ ��� ����� � ��#�� �� �� = ��:���+,+!���#�� <=��� ≡ (
&��2����! �� �∈� ���#�� ���� =− (
�� �� ���� += (6���
C −≤≤ �� (� �� � +<−+≤≤ ��������
� �� +<≤ ���
�
� �� [ ]�
�� = (6�� C −≤≤ �� (� �� C <−≤≤
��
�
� �� [ ] C==�
�� (� �� ����� =+= (
� �� [ ] ������� =�=−∈∀ ����C�
. ������� ����� ���� [ ] ������� �� ≠�≠−∈∀ ��C� (
� �� �� �A � ��������� �������������,��$ ����� [ ]�C� −∈ ����
� �� �� �A ��������!����!�����(
• F ��� �� !�/, #�� �� � � ⊕ ��� ���� !������� �:���+,+!��� #�� � �� � ��
�∈��� � ���+ ��!����!#��!� �� + ���� ����!����!����
.� :� ������#�� �� �� =: ��� :� ���#�� �� �� =: ��� �� ���≡: �� ��
�≡: �� �� ����
�+≡+ ::
! �� ::
����
�� +=+ (
��/,�⊕ ����$�!���������� �!�� �� ���� ����������� �� �A
⊕ ������ �����$����������� ��� �� �∈��� �� � ���
�
�
�
� ������������������ ����
���
��
��� ⊕⊕=+⊕=++=++=⊕+=⊕⊕
� ��� �� �∈� � ���
����� ����
��� ⊕=+==+=⊕ C
CC
C
� �� �� �A �!������������������� ��⊕ �,��$ ��C� (
. �� �∈� �� � �� �� −= ������ �∈� �(6���� ���
������������ �������
�� ⊕=+=+−==−+=+=⊕ � C�
� ��� ���������!� �� �A �!������'�����#��� ��⊕ (
1�����⊕ ���� �������$��� ��� �� �∈��� � ���
�������� ����
�� ⊕=+=+=⊕
� �� ��A ⊕�� � ����������� ���� ��������( �� ��������J�K� ��⊕ �
�������������������������������������������� �
. �� �� � ���� ���(
. ������������!��(
6�!��#���� ���������� ��+�� ���!� �� � � ��#���
� �� ∈
%� �������������× � ������ ∈×∈∀ ��
)� ��������������������,�"��$����� ���� ∈∈∀ −�
touscours.net
����������� ��������������� ������ ����M����
�� � ���� ��
.�������� ��+�� ���!� �� ×� ��� ��× � ����������� �!�� �� ���� ��������
������� �� � ������� ���(
+ ��/,�× ����������� �!�� �� ���� ������������!"����� %�+ 4"��� �����$����"���������!�������������� �(
+ E�������"��� � #�����!����!"����� �
+ 12�������!"����$����� ��� ���!��!"����� )�(
0�12������
+ 3� ��� �� � ��+�� ��� !� �3� � � 3� !� �3� � �� ����� !� �3� � ��
{ }�∈�� �% �{ }�− � 3+� � ��!��� ��+�� ����!� �3� ×�
������� ��+�� ���!� �3� ×� { }� =∈= �� �� �
�� ������ ��+�� ���!� �� ×� { }� =∈= �
� �� �� �
+���� ��+�� ����!� �� +� � ��� { } { }<=� ���3�C��� πα=∈∪ �� ����
4�!������������!� ���!������ ����2�������������
+� �� �∈� � �� ������ ��+�� ���!��(
+.� �� � ��� �� �� ���� �� ��{ }� ��� � �� !�� � ��+�� ���� !�� ��� ������
� ��+�� ����� ������������� ��+�� ������ ����!���
+ { }:��&! �� ��� �� � ��+�� ��� � ��������� !� { }:�����&! �))�%%�) �� τττ=� #��
�"������� ��������(
. �� 3�∈� �����������!�{ }��(((�%� � �$�!�(
. �� { }��� � ⊂∈= � �σσ � � �:���+,+!���#��� ��� �"�������� !�� ��������� ��
#�� �������� ������� �����#��� �� ��∈σ � � ���σ ��� ��/����$�� � �σ � �� �?��
���!����#����! �� ���� =⇔⊂ � � σσ �
�� ��������� ��+�� ���!� �� ��� �
+ �∈&!
+������������� � ��� �� ⊂� σ � �� ⊂� :σ ��� �� �� ⊂� :σσ �
+�����������������������'�����#����� �� ⊂� σ ��� �� �� ⊂− � σ
1�������
.��� � ��#�� �� ⊂� σ (�� �� �� =� σ
. �� ��∈ (� �� � �� σ∈ (
&��2����! ���!�������#�� � �� σ= ��$�� ��∈
� �� �� =− � σ �! �� �� ∈− � σ
�" I�"������� � �� ⊂− � σ ���?���"�����������#�� −σ �����/����$��
+���� ��+�� ����!� ���� +��� �
• 4"��������!��� ���� ��� �'� ������
• { }�∈λλ �� I���������������2�!� �� ��� (
• { }C�C ��� =∈ �� ���
• �� ���� I �∈� � �� ��
�� I �∈�
• 1�������!��� ���� ���+���� !�#��� ,���2��
• 1�������!��� ���� ���+��������8����� ,���2��
touscours.net
����������� ��������������� ������ ����N����
• 1�������!��� ���� ������ �������� �������
• 1�������!��� ���� �����������������@
+. ��+�� ����!� �� �A �
� �� �=� �
{ }{ } { }{ }�����
������������
�� ������ ����+� ��
)�C�D�%�C�G�D�)�%��C�C
� �����!�� �� �A �G� �����(
%� �� D� �����!����{ }D�%�C ��� (
)� �����!��{ })�C �� (
6�!��#��� ������������!" �!���� %� �� D� !" �!��)�)� !" �!��%(
��4��� ��+�� ����!� �� +� (
��/,���� �� � I �∈� �� ��!��� ��+�� ����!��(O���+�+��!"������P
. ������ ��+�� ���!�������#��{ }C (
&� � ������ ! �� ��������� � � ��� !� �� �� � � �� �� �"��!"��2����� �� ��
!��� 3� �(� ���"�������� 3�∩� ���� �$�!���������������!��(���!���! ��
�������������������!�� �� ≥� (�� �� ��� = (1�������
��/,������������������!�� ����#�� ���� ∈∈∀ �� ������ �������������
����������,�"��$����� ���� ∈∈∀ �� �! �� �� ⊂�
4"������������ ������������
. �� ��∈ (4�!�$��� ������!�����!������! ����
���� += � I �∈� �� [ ]�C −∈ �� (
� �� � ����
�
�������
∈∈
−+=−= � (
� �� ��∈ (� �������������������������!� 3�∩� � ����������������
C=� ��� �� < �
� �� ���∈
���������� ��+�� ����!��� ���2����������� �� � I �∈� (
������������������ �� �!�����!��� ��+�� ����
�� � ���� ��
. �� �� � ���� ��������������!��(
�� ��������� ��+�� ���!����
∈∈∀∈
⇔× − ������
��
�
��
��
��� ������� ��4������������������ �����$�!����(� ���"������
.��� � ��#�����
∈∈∀∈
− ������
��
��
touscours.net
����������� ��������������� ������ ����C����
�� ��!�/, �� ∈ @
1���������� = ��� ���� ��� �� ��∈ � �� ∈− (
� ��� �� ��� ∈� � �� ∈− �! �� ��� ∈−− � �:���+,+!��� ���∈
1�&��������� ��!�� ��+�� ����
*�� �����
. �� �� � ���� ���(
�� ��� ������������� �!�� ��+�� ����!�������� ��+�� ���!��(
��� ������� ��
. ������ ∈� ����������!�� ��+�� ����!����!�2������(E � ��
��
���∈
=
��/,� �� ∈ �����#���� ��� ∈∈∀ � (
. ���� ��� ∈� (�� ���� ��� �� ��∈ � ���∈ � ���∈ ! �� ���� ∈− (
� �� ��� ∈− (
� ��������� ��+�� ���!� �� � (
Q�. ��+�� ��������!��������������
. �� �� � ���� ���(
. ������������!��(6��������� ��+�� ��������!������������������ ��+�� ���!��� ��������(
&�'��������������#��!�/,�� �������(� ���"��������ε !��� ��+�� ����!��� ���������"������$�!�(
� ���!�� ���� ��ε∈�
� (�"������ ��+�� ���!��� �� � ������������� �����
!���� ��� ��+�� ���!��� ��������(
6�� ���� �� ε∈
=�
��
���������������
�� � ��+�� ��� �����!�������������� �{ }� ��� � �� � ��� ������!�� ��+
�� ��������!������"��������(12�������
+���� �� �A �
{ }D�%�C% ���� =
{ })�C) ��� =
�� �AG =� �!��#��G� ���������������!� �� �A �
{ } �� �A)�% =�� { })�% �� �����������������������!� �� �A �
+���� �� +� � �ππ %% =
+���� { }:�����&! �))�%%�) �� τττ=� �
{ }:��&! ��� = ; { }:��&!: ��� = ; { }%�%� �&! ττ = ; )�� �=��� τ
touscours.net
����������� ��������������� ������ ��������
���� ���� � ������������ ��
. �� �� � ���� ���(
6� !�� #��� ��� � � ���� � ��#�"�� �!��� �� ����������� �:���+,+!��� � ��#�"��
�2���� ��∈ ���#�� �� = ��:���+,+!���� ���� =∈∃ �
-����#���
{ }�∈= ��� � �
1�������+. ��� �� � ��+�� ��� !�� � ������� �( �� ��� � ���� ��� ������ ���× ��
�������,�"��$�������������������$�!����� ����#�"�� ���� ������{ }�∈�� � � (
+4"��������{ }�∈�� � � ����������$�������� ��+�� ���!��� ����������
&�� ������ C �� = (
&�������������× �����#��� ��� �� { }�∈∈ ���� � �� ���"����� ��� = �� �"�����:��� = I �∈:��� ��� { }�∈∈== + ������� ����� �::
&� ��� ������ ��� ������� , �"��$���� ����#�� � �� � �� { }�∈∈ ��� � � � � �"�������� = I �∈� ��� { }�∈∈== −−− ����� ��� �� (
�"���! ����� ��+�� ���!������������� �����������#�� �� = (
� ��{ }�∈�� � � ������ ��+�� ���!��#��� �����������"��������������(
-����#���
����������������� � ����"��������!���� !����!�����������!"��������!��(
�������� ������ �������!���'���#��� ��#�"������ � ����������(12�������
+ �� +� ���� � ����������� { } �( =∈= �� �� ������� ��� ���� ��!!���$��
* ������ ��+�� ����!��� ��� � ����� ��������� { } ����� =∈= �� �(
+ ��A +�� � ����'���#��������!������ #���"�������������������������
+ �� ×�� ���������'���#��� { } ωω =∈= �� ��
� � I ��
�π%
(
�������� ���������������� F ��������������� � ��!�� � � ��������
���������� � ��� ���� �7��8����9�
. ���� �R� � �� �� ♥� !��2�� ����(
��� �������!� �R� � $��� �� ♥� ��������������� � �� →�ϕ �����#���
� � �R �� ������� ϕϕϕ ♥=∈∀
12�������
�2�• ������ �������!� �� +� $��� �3� ×�
touscours.net
����������� ��������������� ������ ����%����
���• !� ��3 ×+� $��� �3� ×� �$��� ��3 ×+� ������
����• !� �� +� $��� �� +� θθ ���• !� �3� +� $��� �3� ×�
• 4"�������� �� ���� !�� ������ ������� � �$�������� ��� �� � ��+�� ��� !�
�� +�� �� �"��������� � ���� � ��� �� � ������� !� ���� +���� $���
�� +� (
0��� ������� � ���� �������������$��
�� � ���� ��
. ��ϕ ��� �������!"���� ��� �� ×� $������� ��� �� ×� (
�� ���
��
��
�����
����
�������
�� � ��
�� � �
�
� � � ��
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
=∈∀∈∀•=∈∀•
=•=∈∀•
−−
�
��� ������� ��
• �"�����!������� �(
• � � � � ����� ϕϕϕϕ ×=×= (
4"������� � �� ϕ= !��$������! �� ��� =× (� �� ���� =×= −
• . �� ��∈ (�� �� ������ � � � � === −− ϕϕϕϕ
���?��� ��� � � =−ϕϕ
� �� �� � −− = �� ϕϕ
• . �� ��∈ (F ��� ���������������#�� �� ��� �� � � ϕϕ =∈∀ � �
� �� C=� � CC �� � � �� �� ϕϕϕ ===
. �� �∈� ����� � ��#�� �� �� �� � ϕϕ = (
�� �� �� � �� � � � � ++ ==== ����� �������� ϕϕϕϕϕϕϕ
6��������2����������$����� ��������!���(
��E '���������!"��� �������
�������� ���� � ���� ��
. ��ϕ ��� �������!"���� ��� �� ×� $������� ��� �� ×� (
4"�����!�ϕ �� ��� ϕ&� ��"��� � �ϕ ��:���+,+!���{ }��� ∈�� ϕ
�� �� ϕ&� ������ ��+�� ���!��(
��� ������� ��
+ ϕ&� � ������ � ��� � �� ϕ=
+ ϕ&� ������������× �
. ���� ϕ&�� ∈� (�� ���"����� � �ϕ I ��∈ ���"����� � �ϕ I ��∈ (
� �� ϕϕϕϕ &�� � � ∈=×=× �����
touscours.net
����������� ��������������� ������ ����)����
+ ϕ&� �������������������,�"��$�����
. �� ϕ&�∈ (�� ���"����� � �ϕ I ��∈ (
1�� ϕϕϕ &�� �� ∈== −−− ��
�������� ��
. ��ϕ ��� �������!"���� ��� �� ×� $������� ��� �� ×� (
4�� '��!�ϕ �� �� ϕS�� ������!������� ��
{ }���� � �S�� =∈= ϕϕ
�� � ���� ��
ϕS�� ������ ��+�� ���!��(
��� ������� ��
+ ϕS�� ∈����
�� � =ϕ (
+� ��� �� ϕS��� ∈�� � �� ������� � � � =×=×= ϕϕϕ ! �� ϕS��∈�� (
+� ��� �� ϕS��∈� � ���� � �� � === −−− ϕϕ ! �� ϕS�� ∈−� (
*�� �����
. ��ϕ ��� �������!"���� ��� �� ×� $������� ��� �� ×� (�� ���
� � ��� �� ��� ∈� � ϕϕϕ S��� � ∈⇔= −����
%� ϕ �����/����$� { }�S�� =⇔ ϕ
��� ������� �� � 6������#��$��������
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
S��
� � � �� � � �
∈⇔
=⇔=⇔=⇔=−
−−−
��
�������� ���
%� .��� � ��ϕ ��/����$��
. �� ϕS��∈� (�� �� � � ��� ϕϕ == (
� ���� ���ϕ �����/����$�� �� = (� �� { }�S�� ⊂ϕ
������� ϕS�� ������ ��+�� ���!���! �� ϕS�� ∈� �! ��{ } ϕS�� ⊂� (
�" I�"�������(
-����� #����������� � ��#�� { }�S�� =ϕ �
. ������ �� ��� ∈� (.��� � ��#�� � � �� ϕϕ = (
�� �� ϕS�� ∈−�� (� �� ��� =− (� �� �� = (
� ��ϕ �����/����$�(
12������
4"��������� �θθ
ϕ���3� �� → ��� �� � ������� !� �� +� $��� �3� ×� !� � '��
�π% ��!"����� �
��� �� ���� �
�� � ���� ��4� � �� ���� #���! ���� ��� !������� !� !��2 � �������� !� �� ���� ��� ��
� �������!��� ����(
touscours.net
����������� ��������������� ������ ����D����
��� ������� ��
. ���� �� ��R� ��� ♥∗ ��� �� ���� ����(
. ���� ���� →�ϕ �� ���� →�ϕ !��2� ��������(
�� �� ���� ϕϕ � �������!���������$�!� �� ∗� !��� �� ♥� (
. ���� ��� ∈� (6���
�� ��
�� ��
�� �R
�� �
��
��
��
����
��������
��������
������
��������
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕ
��
�
♥=♥=
=∗=∗
1�&� � �������
�� � ���� ��!������� ��
. ��ϕ ��� ���������/����� !� �� ×� $��� �� ×� ( �� �� −ϕ ��� ��� �������
��/������!� �� ×� $��� �� ×� (6�!��#��ϕ ������� � �������(
4 ��#�"���2�������� � ������������!��2�� ����� �!��#�����!��2�� ����� ���� � �����(
��� ������� ��
. ��ϕ ��� ���������/�����!� �� ×� $��� �� ×� (
. ���� ��� ∈� (
. ���� �� ∈� ����#�� ��� == � �� ϕϕ ( �:���+,+!��� � �� ��� −− == ϕϕ �(
�� �� � � �� �� � � ������� −−−−− ×=×==×=× ϕϕϕϕϕϕϕϕ
� �� −ϕ ������ �������!� �� ×� $��� �� ×� (
12�������
�=�� <%%
∗−• ππ �� �� +� � ���� � ������ I∗ ������ �!����������
������ ���������� =��<�%%
+=∗−∈∀ ππ
�:���+,+!��� ���� ���������=��<�%%
������ +=∗−∈∀ ππ
������ � � � =��<�%%
������ ϕϕϕππ +=∗−∈∀ � I ���=ϕ � #�� ������� ���� ���
��/���� �!� =�<%%ππ− !�����
���
���
π%�
��� →• ��� �� � ������� ���/����� !� �� +� $��� �� ×�� ���� � �
��/�����(. �� '����� �� �
��/,��"������ ������������#��� ��� �� �∈��� � ���
� � � %%� %
���������� �
��
���
�
���
===++ πππ
(
�������/����$�����#��� ��������� �� �∈ �"����� ���
�π%
I �∈� (
F�����"��������/����$��� ��� �� �∈� � ������#��$��������
��� ��������
�� ∈⇔∈⇔∈⇔=⇔∈ ππ %� S�� %
� ����� '��!����� �� �! ����"��������/����$�(
���
�
�
�π
ϕ%
A�
�
��� → I�������#�� � =� ���� ���������/�����(
touscours.net
����������� ��������������� ������ ����G����
��� ������� ��
��/,�������� �����#����!������� �!�ϕ ���� ���������:���+,+!���#�� ���
�
π%
��
!����!#��!� �� ��� ����!��(
.�!��2�������� �∈:��� � ������#�� :�� �� = � ���� ���
���� ∈− : (� �� ��� S��:∈− (� �� �: � ���� = ������� ���� ��!!���$��
� �� ���
���
��ππ :%%
= (�"������ ��������
� ��� �� �� � A:� ∈ �"����$��� � �= �� :: � �= I �∈:��� �
�: � �: :%%�: %
��� ���
���
�
���
ϕϕϕπππ
===++
(
ϕ ������/����$������#��� ����������� �∈ �"����� �
��
�π%
I �∈� (
ϕ ����������/����$��
. �� ϕS��∈ (�� ���"����� �� I �∈� (
�� �� � %
== ���
�π
ϕ (� �� ��� ∈ (� �� C�� == � (� �� { }CS�� �⊂ϕ (
� ��� ϕS�� ��� �� � ��+�� ��� !� �� � � � ����� �"����� ������� � �� ! ��
�"�������(� ��ϕ �����/����$�(
� ��ϕ �����/����$�(� �� �� ×�� �� ��A +�� � � ���� � �����(
-����#���4������� �7?����� � ����,9������������ �!"�#��$����������"��������!��
�� �����+1�����������2�$� �"�!������������� � �������!"���� ����$�����+1�������'�����#�� �������� � ����,���� �������� � ����,��+1��������������$� ��� �� ���!�!��2�� � ��������������� � ��������
Q�T ��������� ��������+��� �������!��$������������������� � � �������!��$����(+���� � �������!��$���������� ���������/�����!��$����(+����! � �������!�������� �������!��$����(+����� � �������!�������� ���������/�����!��$������+�?��( �� � �������!��$������+�?��( ��! � ���������/�����!��(
���������� ����������� ����������
. �� �� � ���� ���(
*�� �����!������� ��
. ���� 3� �∈∈ ��� (�� ������� ����������� �����$������ ���#��$��������
� � ���������!����!�����(
%� &��2���� 3�∈� ���#���
�� = ������������������!������������(
)� 4"��������{ }���� � =∈ � �"��������!���,{ }C ��"����?�� �� (
4 ��#�� �"��� !�� ��� ��������� �� �� ! �� ��� �� ��� ��� $����� � !�� #�� � ��� ���������!" �!������!�������,�(
touscours.net
����������� ��������������� ������ ���������
��� ������� ��
� ���!�� ������
�→��ϕ (�� ��ϕ ������ �������!� �� +� $��� �� ×� (
1������� ::�:� ���� ����� =∈∀ +� (
6���
{ } ���� =∈= ��&�ϕ
ϕS�� ������ ���� ���!� �� +� ! ��!��'�� � I �∈ (
+ .� C= � { }CS�� =ϕ ! ��ϕ ��� ��/����$�( � ��ϕ ������� ��� ��/���� � !� � ���
�=ϕ&� (� �� � ���������(
+ .� ≥ � { }C �(((� −= ���� (1�������
������������������ ��{ } ���� ⊂−C �(((� ���!�/,�$�!����(
. ������������ ��∈ (
�� ����"����� �� I �∈� (4�!�$��� ������!�����!����� C≠ �! ����
� �� += �$�� [ ]�C −∈ � (
� �� { }C
S�����
�(((�� −
=∈=
+ ∈=== ��
� � � ��������
�
���
ϕ�
�!" I�"������������ �����"�������(
������� � =� ���! ����"�2������� !�� !��������!��� [ ]�C − ����#�� !� �� = ���
�� ��� �2����� C −≤<≤ !� � �� �� � �$��� !� �� = � ������� �
!�� =− ��#�� �� �� ����
������ C −≤−< !� ! �� � �! ∉− (
�$����������������������������!�� �����#�� � �% � �� �� � �) � �� �
.��� � �� �(
�� ��������!������� ���� �������!������ � = (
� �� � ��� ���� �� ���� ����� !�� 3�∈� ���� #�� �
�� = � ��� �
� = ��
[ ]�
�� � �� ≠−∈∀ ����#�� �� C = �� ��� ����#����� [ ]�C� −∈ ��� � ��!���������
1�!"����������"��������!�� �∈� ����#�� �
�� = ������� �� �"��� ϕS�� �
� �� �% � � �� �) � � (
.��� � ������������ )��6������ ��!������������ � ≥= � ��� { }CS�� ≠ϕ �
� ����� ��+�� ��������!���������!����!�����(
���?��� � �% � (
12�������
���� ���A +�� �
%� ���!" �!��)� { }D�%�C% ���� = !����!����)
�����/���������� �� C%%%%() ����� =++= �� CD%(%�C%%( ������ ≠=≠=
)� ���!" �!��%�� ��G� � ��!" �!����C� ���!" �!��(
���� �� +� �C���!" �!���� ������������ ��!" �!��������(
���� �� M �� �
E ���� � !��� �� ������������� � ((( �� ���� ��������������� ��
�
�
�
M)%
M)%
����
(
���� ������2����� ��
�
�
�=�MD%LG)
ML�GD)%σ (�� ��σ ���!" �!���������� M�∈σ �� M�
���!����!�������� � ��������σ ���!" �!�������!�����,��$ ��G�
touscours.net