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Page 1: Généralité Abaque de Hall Rapidité Précision Stabilité 2 ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 1 Influence des pôles Correction Perturbation

GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 1

InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 2

InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

(t)correcteur

e(t) s(t)Système

capteur

consigne

S(p)A(p)

B(p)

E(p)

H(p) = )p(B).p(A1

)p(A

Fonction de transfert

Structure généraleStructure généraleGénéralitéGénéralité

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

2ème année Guillaume CHAPEY - lycée du Parc 3

InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

Abaque de Halldans le plande Black

0dB

-10°

M

FTBO

-30°

M'-2dB

FTBO1

FTBO

AbaqueAbaquede Hallde Hall

isomodule

isophase

Pour une pulsation donnée

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

Elle est définie par le temps de réponse du système soumis à un échelon d'amplitude e0.

En général, on prend le temps de réponse à 5%.le temps de réponse à 5%.

RapiditéRapidité

tr 5% tr 5%

RapiditéRapidité

95% de la valeur finale

5

%

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

Pour un 1er ordre :

tr 5% = 3 T avec T : constante de temps

RapiditéRapidité

RapiditéRapidité

Pour un 2nd ordre :

tr 5% mini pour m = 0,69 si dépassements autoriséspour m = 1 sinon.

Si m = 0,69 alors tr 5% = 3 / ω0

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

e0

t

sss(t)

e(t)

t

vv

s(t)

Écart statique en position

notée ss e(t) = e0 u(t)

(p) = E(p) – B(p).S(p)

Écart statique en vitesse

notée vv e(t) = a t u(t)

(p) = E(p) – B(p).S(p)

Précision statiquePrécision statique

0tS

plim ( t ) lim p. ( p )

0tv

plim ( t ) lim p. ( p )

en régime permanent

PrécisionPrécision

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

Précision statiquePrécision statique

PrécisionPrécision

La précision est caractérisée par l'écart entre la consigne et la sortie en régime permanent : elle augmente avec le gain statique de la FTBO

et est liée à la présence d'intégrateurs dans la BOBO.

e(t) E(p) écart statique = 0 = 1 2

u(t) 1/p s (en position) 1/(1+K) 0 0

t.u(t) 1/p2 v (en vitesse) 1/K 0

Classe de la FTBOClasse de la FTBO

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

Condition sur les pôles de la Condition sur les pôles de la FTBFFTBF

StabilitéStabilité

Dans le cas d’une réponse impulsionnelle, l’équation de la sortie peut s’écrire :  . avec pi les pôles et zi les zéros

  Soit dans le domaine temporel :

La partie réelle des pôles doit donc être strictement négativespour que la réponse converge vers 0.

avec pi les pôles réels et ai ± j bi les pôles complexes conjugués

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

StabilitéStabilité

1n

3nn2n1n

a

aaaa

1n

5nn4n1n

a

aaaa

pn an an-2 an-4…

pn-1 an-1 an-3 an-5…

pn-2… …

       

Critère de RouthCritère de Routh

soit D(p) = an pn + … + a0 : dénominateur de la FTBFFTBF

Condition n°1 : Pour que le système soit stable, il faut que tous les ai soient de

même signe.

Condition n°2 : Le système est stable si tous les coefficients de la colonne des pivots sont positifs.

colonne colonne des pivotsdes pivots

++--

++

--++--

??

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AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

GdB

K

stable

instable

Plan de BlackPlan de Black

Le système est stableen boucle fermée si,en parcourant le lieu de transfert de la FTBOFTBO dans le sens des croissants,on laisse le point critique à droite.

Critère de ReversCritère de Revers

StabilitéStabilité

-180°

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AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

K

GdB

-180°

-180°

-180°

stable

Plan de BodePlan de Bode

Le système est stableen boucle fermée si,pour la pulsation correspondant à = -180°,

Critère de ReversCritère de Revers

StabilitéStabilité

instable

la courbe de gainde la FTBOFTBO passe audessous du niveau 0 dB.

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

-180°

-180°

-180°

MMgg -180°

MMgg

-1

1/M1/Mgg

Marge de gainMarge de gain

MMgg = - 20 log |H(j = - 20 log |H(j -180°-180°)|)|

 On prend en général une marge de gain de 6 à 15dB.

StabilitéStabilité

Re(H(j)

GdB

GdB Im(H(j)

BodeBode BlackBlack NyquistNyquist

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

-180°

1

MM

-180°

MM

-1

MM

Marge de phaseMarge de phase

MM = 180° + arg (H(j = 180° + arg (H(j11)))) avec 1 telle que | H(j1)| = 1

 On prend en général une marge de phase de 45°.

StabilitéStabilité

Re(H(j)

GdB

GdB Im(H(j)

BodeBode BlackBlack NyquistNyquist

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

Influence des pôles sur la réponseInfluence des pôles sur la réponse

Les parties réelles des pôles (réels ou complexes) se retrouvent dans les termes exponentiels, et elles permettent de caractériser l’amortissement,  

Les parties imaginaires des pôles complexes conjugués se retrouvent dans les pulsations des termes oscillants, et elles permettent de caractériser la rapidité (fréquence des oscillations).

InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

Dans le cas d’une réponse impulsionnelle, l’équation de la sortie peut s’écrire : 

avec pi les pôles réels et ai ± j bi les pôles complexes conjugués

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AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

Influence des pôles sur la réponseInfluence des pôles sur la réponse

InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

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AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

Influence des pôles sur la réponseInfluence des pôles sur la réponse

InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

La réponse d’un système linéaire est donc déterminée par la position de ses pôles dans le plan complexe :un système du 10ème ordre a 10 pôles, sa réponse comporte au maximum 10 termes.

e0

t

s(t)

Zone d’influencede tous les pôles

Zone d’influencedes pôles dominants

Re( ) 1 1Pôle Cste detps Les réponses lentes sont pénalisantes,

elles imposent donc la formede la réponse globale.

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AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

Un système d’ordre élevé a en général un ou deux pôles dominants et se comporte donc comme un 1er ou un 2nd ordre ; on peut donc simplifier la transmittance d’un système d’ordre élevé en ne conservant que le ou les pôles dominants.

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AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

(t)correcteur

e(t) s(t)Système

capteur

consigne

Structure généraleStructure générale

Les trois performances sont en général incompatibles : il faut donc faire des compromis. On corrige les systèmes asservis en ajoutant un correcteur (de fonction de transfert C(p)) dans la boucle ouverte.

3 types de correction sont au programme :

- Correction intégrale : p

p1)(

KpC

- Correction proportionnelle : KpC )(

- Correction dérivée : paτ

pτKC(p)

1

1

CorrectionCorrection

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

• Pour augmenter la rapidité et la précision, K > 1.

• Pour augmenter la stabilité, K < 1.

Correction proportionnelleCorrection proportionnelle

K n'influe pas sur la phase de la FTBO, ce correcteur génère une translation de la courbe de gain de 20 logK20 logK.

M donnée: = - 180° + M |K.H(j)| = 1 d'où K

Mg donnée: = - 180° 20 log ||K.H(j)| = - Mg d'où KCorrectionCorrection

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

Correction intégraleCorrection intégrale

Comment augmenter la précision d'un système ? en introduisant un intégrateur dans la BO mais on risque ainsi de déstabiliser le système (en diminuant la phase de 90°) on choisit un correcteur qui modifie la phase uniquement pour les basses fréquences

p

p1K)p(C

GdB

-90°

1/

1/

Il faut faire attention à ne pas diminuer la phase à la pulsation critique éloigner 1/ de cette pulsation critique

En général, on place le correcteur une décade avant c soit :

10

1 c

En général, ce correcteur diminue la rapidité du système.

CorrectionCorrection

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

Correction dérivéeCorrection dérivéeQuand on diminue le gain de la BO pour stabiliser le système, on diminue la rapidité et la précision en général. Pour améliorer la stabilité, on peut aussi augmenter la phase donc ajouter un correcteur à phase positive (action dérivée). Un dérivateur pur n'étant pas physiquement réalisable, on utilise un correcteur à avance de phase :

pa1

p1K)p(C

a < 1

GdB

1/ a

maxi

20 log K1/a

90°

1/

20 log (K/a)

maxi pour n tel que :log n = (log (1/) + log (1/a))/2

1

.n

a

maxi = arc tan n - arc tan an a

ai

2

1tan max

Il faut modifier la FTBO au voisinage du point critique donc choisir n proche de c, ensuite on détermine a pour avoir une marge de phase correcte

CorrectionCorrection

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

Correcteur PIDCorrecteur PID

CorrectionCorrection

Le correcteur PID théorique a une fonction de transfert :

En pratique, on prend :

avec a < 1.

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

Compensation par retours dérivésCompensation par retours dérivés

CorrectionCorrection

+-

+-

+-

Consigne

positionRégulateurPosition

RégulateurVitesse

Régulateurcourant

Moteur MécaniquePosition

Capteurd'intensité

Capteurde vitesse

Capteurde position

Les techniques de compensation par retours dérivés consistent à créer des boucles internes sur les grandeurs dérivées de la grandeur commandée ;

par exemple, le système ci-dessus permet de réguler :en position,en vitesse,en courant (puissance moteur) 

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

Influence des perturbations sur la précisionsInfluence des perturbations sur la précisions

PerturbationPerturbation

ᵋentrée ᵋperturbation

Poursuite Régulation

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GénéralitéGénéralité

AbaqueAbaquede Hallde Hall

RapiditéRapidité

PrécisionPrécision

StabilitéStabilité

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InfluenceInfluencedes pôlesdes pôles

CorrectionCorrection

PerturbationPerturbation

Influence des perturbations sur la précisionsInfluence des perturbations sur la précisions

PerturbationPerturbation

0( ) ( )i

ii

p KPosons P p et H p

p p

1

1 2

0 2

0 01 2

: lim . ( ) limpert pertp p

p K palors p p

p K K

1 20 2

1 2

0:1

0pertsip K

K K

10

11 2

0: lim0 pert

p

p psi

K

Besoin d’un intégrateur en amont de la perturbation


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