Formation des images par des
surfaces simples
Filières SM et SMI, année 2006-2007
H. EL RHALEBUniversité Mohammed V, Rabat, AgdalFaculté des Sciences, Département de Physique,Laboratoire de Spectronomie Moléculaire, d’Optique et d’Instrumentation [email protected]
2/40
Ce chapitre étudie en détailles surfaces simples, c'est-à-dire les dioptres et les miroirs plans ou sphériques dans le but d'associer de telles surfaces pour former de véritables systèmes optiques (lentilles,...)
Dans chaque cas, on se place dans l'approximation de Gauss et on établit les relations essentielles (relations de conjugaison, distances focales,...) liées à ces systèmes optiques "élémentaires".
3/40I – Les surfaces réfractantesI.1 Le dioptre
sphérique I.1.1 Définition
n n´axe
optiqueSC
+
Un dioptre sphérique est une portion de sphère caractérisée par son centre de courbure C, son rayon de courbure et par les indices de réfraction n et n´ de part et d'autre de sa surface.
+
n n´
S C
Le point, S sommet du dioptre correspond à l'intersection de sa surface avec l'axe optique.
SC
0SC0SC
4/40
I.1.2 Relation de conjugaison, grandissements
I.1.2.a - Relation de conjugaison de
Descartes On repère les positions de l'objet A et de son image
A´ à partir d'une origine; le choix le plus simple consiste à prendre l'origine au sommet S. Il existe d'autres choix possibles (origine au centre C par exemple).
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Considérons un point objet A sur l'axe optique et A´ son image. Si nous supposons que n´ < n. Compte tenu du sens de propagation de la lumière, choisi comme sens positif, on constate que SA, SA´ et SC sont négatifs.
n n´
+
AA´
N
H SCαα´ ω
i´
i
I
n<
6/40
Dans les triangles AIC et A´IC nous pouvons écrire (les angles étant comptés positivement s'ils sont orientés dans le sens trigonométrique) respectivement :
Au point I, la loi de Snell-Descartes s'écrit :
et
ωα i ωα i´
i´sin´nisinn i´nin ´
n n´
+
AA´
N
H SCαα´ ω
i´
i
I
7/40
En combinant ces trois relations, on obtient :
Par ailleurs, l'approximation de Gauss nous permet de confondre les points H et S et d'écrire :
et de la même façon :
CSHItan ωω
ASHIα
S´AHIα´
´´nn´nn ααω
8/40En reportant ces valeurs dans l'équation : ω(n-n´) = nα – n´α´, on obtient la relation de conjugaison (de Descartes)
avec l'origine au sommet, valable quel que soit le point I :
On peut choisir l'origine au centre C; dans ces conditions, cette dernière équation devient :
SC´nn
´SA´n
SAn
CS´nn
CA´n
´CAn
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Nous devons construire l'image B´ du point B. Pour cela nous orientons les objets et les images, puis nous effectuons une construction géométrique utilisant un rayon passant par S et un rayon passant par C. Le rayon passant par S subit une réfraction tandis que celui passant par C, confondu avec un rayon de la sphère, n'est pas dévié.
i´
iA´
B´
A
B
+
n
n´
SC
+
I.1.2.b - Grandissements transversal
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En appliquant n i = n´ i´ on en déduit :
et
Pour les mêmes raisons que ci-dessus :
´SA´B´A´iitan
SAAB
iitan
AB´B´Aγ
SA´SA
´nnγ
i´
iA´
B´
A
B
+
n
n´
SC
+
11/40I.1.2.c - Le grandissement longitudinal est :
On retrouve bien le fait qu'objet et image se déplacent dans le même sens.
Par définition : soit :
I.1.2.d - Grandissement angulaire
0SA
´SA´n
nn´n
2
2
γγ
i´iGa
´SASA
Ga
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foyer image
foyer objet´n
I.1.3 Éléments cardinaux du dioptre sphérique
Nous savons que le foyer image F´ est le point conjugué d'un point objet situé à l'infini sur l'axe
optique :
I.1.3.a - Foyers et distances
focales
De même le foyer objet est le point conjugué d'un point image situé à l'infini sur l'axe optique. La relation de conjugaison donne immédiatement la position des foyers :
avec
nn
SCSFn´n´n
SC´SF
SCSF´SF
F´A´SA
13/40
Le dioptre est dit convergent si ses foyers sont réels (F dans l'espace objet, F´ dans l'espace image) :
Il est dit divergent si ses foyers sont virtuels (F dans l'espace image, F´ dans l'espace objet) :
et
et
0SF 0´SF
0´SF 0SF
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Figure (a) Figure (b) Figure (c) Figure (d)
n´ - n < 0 > 0 > 0 < 0
< 0 > 0 < 0 > 0
< 0 réel > 0 réel > 0 virtuel > 0 virtuel
> 0 réel > 0 réel < 0 virtuel < 0 virtuel
dioptre convergent convergent divergent divergent
et
et
avec
SF
´SF
´SF R´, SCRSF
SC
SF
´SF
sont les distances focales objet et image.
15/40
SF´
++
S
SF´
+
F´
+
SF´
Figure (a) Figure (b)
Figure (c) Figure (d)
n
n´
n
n´
n
n´
n
n´
16/40
n n n nV
SA´ SA SF´ SF
Dans le cas du dioptre sphérique, on a donc l'expression :
En introduisant cette grandeur, la relation de conjugaison peut s'écrire :
On rappelle que la vergence s'écrit :
I.1.3.b Vergence
[5]
On retrouve bien le fait que, si V > 0, le dioptre est convergent et, si V < 0, le dioptre est divergent.
SFn
´SF´n
V
SCn´n
V
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ou relation de conjugaison de Newton.
Si on pose :la relation de conjugaison :
devient :
Exercice
et
VSFn
'SF´n
SAn
´SA´n
´σσ
FAσ ´A´Fσ
18/40
Les plans principaux sont confondus avec le plan tangent en S (sommet) au dioptre (dans un schéma, on peut donc remplacer le dioptre par son plan tangent en S).
Les points nodaux sont confondus avec le centre du dioptre.
I.1.3.c Plans principaux et points nodauxL'exploitation de la relation γ = 1 conduit sans
difficulté à :
L'exploitation de Ga = 1 donne de la même façon :
SC´´SNSN
0SH´SH
19/40
n'n
I.2 Le dioptre planC'est un cas particulier du dioptre sphérique pour
lequel le rayon de courbure est infini : donc V = 0. Les foyers sont rejetés à l'infini, le dioptre plan
est un système afocal.
n´ < n
n'nA A´
n'n
A´
An´ > n
A´A
n'nA´ A
SC
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La relation de conjugaison donne :
et sont toujours du même signe donc un objet réel donne une image virtuelle et inversement.
et par suite le grossissement et le grandissement angulaire deviennent :
et
n´nA A´
n´n
A´
A
Remarque 1 : Le dioptre plan est rigoureusement stigmatique pour les points à l'infini et les points de sa surface.
´SA SA
´n/nGa 1γ
SAn
´SA´n
21/40II – Les surfaces réfléchissantesII.1 Le miroir
sphérique II.1.1 DéfinitionDans l'approximation de Gauss, un miroir
sphérique est une calotte sphérique réfléchissante de centre C et de sommet S. La droite passant par ces points C et S est l'axe optique.
Miroir convexe
+
CS C
Miroir concave
+
S
0SC0SC
22/40
Remarquons que l'espace image est replié sur l'espace objet. Les objets et images virtuels sont situés "de l'autre côté du miroir".
II.1.2 Relation de conjugaison, grandissements
Pour déterminer la relation de conjugaison, on procède de la même façon que pour le dioptre sphérique.
II.1.2.a - Relation de conjugaison de Descartes
23/40Triangle AIC et A´IC : α – i = ω et ω + i´ = α´
et on en déduit :Or ,
Loi de Snell-Descartes : i = - i´ ; donc α + α´ = 2ω.
A´A Hα´α ωi´
i
+
SC
nI
CSHIω
ASHIα
S´AHI´α
SC2
´SA1
SA1
24/40
On remarque que la relation de conjugaison du miroir sphérique peut se déduire directement de celle
du dioptre sphérique en écrivant n´ = - n. En effet pour le dioptre, on utilise la loi n i = n´ i´, tandis que,
pour le miroir, on utilise i = - i´.
SC2
´SA1
SA1
SC´nn
´SA´n
SAn
25/40II.1.2.b Grandissement transversal et
grandissement longitudinal
D'après la figure, on peut écrire :
et SAAB
i´SA
BAi
A SC
B+
ii´
A´B´
La loi de réflexion donne i = - i´ en déduit :
[9]SA
´SAAB
BA -
26/40Le grandissement longitudinal est :
objets et images se déplacent en sens inverse.
II.1.2.c Grandissement angulaire Il est évident que
:[10]
´SASA
Ga
022 nn
27/40
II.1.3 Éléments cardinaux du miroir sphérique
Par définition des foyers, si , A´ F´ = foyer image et si , A F = foyer objet. La relation [8] montre que les foyers sont confondus.
[11]
On obtient :
SA´SA
2SC
´SFSF
II.1.3.a Foyers et distances focales
28/40
Pour un miroir convexe, SF > 0 et SF´ > 0, les foyers sont virtuels, le miroir est dit divergent.
SC
F:F´
miroir convexe
Pour un miroir concave, SF < 0 et SF´ < 0, les foyers (confondus) sont réels, le miroir est dit convergent.
miroir concave
C SF
F´
29/40II.1.3.b Vergence
ce qui permet d’écrire la relation de conjugaison sous la forme :
V > 0 pour un miroir concave et V < 0 pour un miroir convexe.
Elle est égale à
[12]
La relation de conjugaison de Newton s'écrit ici : 2´ σσ
SC2
´SF1
SF1
V
V´SA
1SA1
30/40
L'exploitation de la relation = 1 conduit sans difficulté à :
Les plans principaux sont confondus avec le plan
tangent en S (sommet) au miroir (dans un schéma, on
remplace le miroir par son plan tangent en S).
II.1.3.c Plans principaux et points nodaux
L'exploitation de Ga = 1 donne de la même
façon :
Les points nodaux sont confondus avec le centre C du miroir.
0´SHSH
SC´´SNSN
31/40II.2 Le miroir planC'est le cas particulier du miroir sphérique pour
lequel le rayon de courbure est : donc V = 0 (afocal) ; la relation de conjugaison s'écrit :
et sont toujours de signes opposés donc un objet réel donne une image virtuelle et inversement.
A SA´
A´ S A
I I
Les relations [9] et [10] donnent : 1Ga
1γ
SA ´SA
SC
0´SASA
32/40
Comme nous travaillons dans les conditions de Gauss, un miroir sphérique sera quasiment confondu avec son plan tangent en S.
Modélisation et constructions
Le problème usuel est de construire l’image d’un objet AB perpendiculaire à l’axe optique.Le système étant aplanétique, il suffit de trouver
l’image B´ de B puis de projeter B´ sur l’axe optique pour trouver A´.
concave convexe plan
33/40
A
B
B´
A´
Construire l’image B´ de B ne nécessite que deux rayons lumineux parmi les quatre fondamentaux.
3- Le rayon passant par C revient sur lui-même.
2- Le rayon passant par B et S revient symétriquement par rapport à l’axe optique.
4- Le rayon passant par B et F revient parallèlement à l’axe optique.
1- Le rayon issu de l’infini, parallèle à l’axe optique et passant par B revient en passant par F.
C SF
34/40Exercice d’application : Miroir concave
A
B
B´
A´CF
S
C FS
A´
B´
B
A
Objet réel avant C1
Objet réel entre C et F2
Ces 2 cas se déduisent l’un de l’autre par le principe du retour inverse.
Image réelle -1 < γ < 0
Image réelle γ < -1
35/40
Objet réel entre F et S3
A´
B´
CF S
B
A
Image virtuelle γ > 1
Objet virtuel4
Image réelle 0 < γ < 1A
BB´
A´C F S
Ces 2 cas se déduisent l’un de l’autre par le principe du retour inverse.
36/40
Objet
Image
F SC
C F S
γ < -1
-1 < γ < 0
0 < γ < 1 γ > 1
37/40Exercice d’application : Miroir convexe
Objet réel 1
Objet virtuel entre S et F 2
Image virtuelle 0 < γ < 1
Image réelle γ > 1
A
BB´
A´S CF
A´
B´B
ASC
F
38/40
Objet virtuel entre F et C 3
Image virtuelle γ < -1
A´
B´
B
ASC
F
Objet virtuel après. 4
Image virtuelle
-1 < γ < 0
A´
B´
B
AS CF
39/40
Objet
Image
F´ CS
S F´ Cγ > 1 0 < γ < 1
-1 < γ < 0
γ < -1
FIN