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Fonctions trigonométriques inverses
Jacques ParadisProfesseur
2Département de mathématiques
Plan de la rencontre
Rappel : graphique d’une fonction inverse
Définition de la fonction arcsinus x (arc sinus)
Dérivée de arcsinus x
Définition de arccos x et sa dérivée
Définition de arctan x et sa dérivée
Définition de arccot x et sa dérivée
Définition de arcsec x et sa dérivée
Définition de arccsc x et sa dérivée
3Département de mathématiques
Rappel : graphique d’une fonction inverse
Soit f(x) une fonction et f-1(x) la fonction inverse de f(x)
Les courbes représentatives de ces fonctions sont symétriques par rapport à la droite y = x
x
y
4Département de mathématiques
Exemple
f(x) = ex
g(x) = lnx
h(x) = x
5Département de mathématiques
Définition de arcsinus x
On a y = arcsin x si et seulement si x = sin yBien noté que y représente un angle et que arcsin x = angle
Domsiny = IRImasiny = [-1 , 1]
Domarcsinx = [-1 , 1]Imaarcsinx = [-/2 , /2]
x
y
6Département de mathématiques
Exemplesarcsin x est égal à l’angle y tel que sin y = x
Arcsin 1 = /2 radians (90º)
Arcsin 0 = 0 (0 º)
Arcsin ½ = /6 (30 º)
Arcsin (0,75) = 0,848 rad (ou 48,6 º)
Arcsin 2 n’existe pas*
/2
-/2
7Département de mathématiques
Dérivée de arcsinus x (1 de 2)
Soit y = arcsin x sin y = x
dycos y 1 (dérivation implicite)
dx
dy 1
dx cos y
2 2
2
sin y cos y 1dy 1
, cardx cos y 0 sur ,1 sin y
2 2
2
dy 1, car sin y x
dx 1 x
8
2
Si y arcsin[f (x)]1Alors y' f '(x)
1 [f (x)]
Département de mathématiques
Dérivée de arcsinus x (2 de 2)
Exemple : Trouver la dérivée de f(x) = arcsin (8x – x3)
Exercice : Trouver la dérivée de g(x) = (arcsin x2)4
9Département de mathématiques
On a y = arccos x si et seulement si x = cos y
On a
Exercice : Démontrer la formule pour dériver y = arccos x.
2
dy 1
dx 1 x
Définition de arccos x et sa dérivée
Domcosy = IRImasiny = [-1 , 1]
Domarccosx = [-1 , 1]Imaarccosx = [0 , ]
10Département de mathématiques
Définition de arctan x et sa dérivéeOn a y = arctan x si et seulement si x = tan y
On a
Domtany = IR/{± /2, ±3/2, …}Imatany = IR
Domarctanx = IRImaarctanx = ]-/2 , /2[
2
dy 1
dx 1 x
11Département de mathématiques
Dérivée de arctan x
Soit y = arctan x
tan y = x
2 dysec y 1 (dérivation implicite)
dx
2
dy 1
dx sec y
2 2
2 2 2 2
dy 1 sin y cos y 1, car
dx 1 tan y cos y cos y cos y
2
dy 1, car tan y x
dx 1 x
12Département de mathématiques
Définition de arccot x et sa dérivéeOn a y = arccot x si et seulement si x = cot y
Imaarccotx = ]0 , [
On a
Démontrer la formule pour dériver y = arctanx.
2
dy 1
dx 1 x
13Département de mathématiques
On a y = arcsec x si et seulement si x = sec y
On a y = arccsc x si et seulement si x = csc y
2
dy 1
dx x x 1
Définitions et dérivées de arcsec x et arccsc x
2
dy 1ou
dx x x 1
2
dy 1
dx x x 1
2
dy 1ou
dx x x 1
14Département de mathématiques
Résumé
Soit u = f(x) et du/dx = f’(x),
2
d(arcsin u) 1 du
dx dx1 u
2
d(arccosu) 1 du
dx dx1 u
2
d(arctan u) 1 du
dx 1 u dx
2
d(arccot u) 1 du
dx 1 u dx
2
d(arcsecu) 1 du
dx dxu u 1
2
d(arccscu) 1 du
dx dxu u 1
15Département de mathématiques
ExemplesCalculer f’(x) si
a) f(x) = arcsin (3x + 7)
b) f(x) = 3arccos (2x2 – 1)
c) f(x) = (arcsin x)3
d) f(x)= (arccos x)/x
e) f(x) = x·arctan x
16Département de mathématiques
ExercicesCalculer f’(x) si
a) f(x) = arcsin (4x2 – 1)
b) f(x) = arctan (x+2)
c) f(x) = arcsin x3
d) f(x)= arccos x – x2
e) f(x) = arcsin [(x +1)/(x – 7)]
17Département de mathématiques
DevoirExercices 10.1, page 399, nos 1 et 3 (sauf h).
Exercices 10.2, page 406, nos 1 (sauf f), 2 (sauf j et l), 3a et 3b.
Exercices 10.3, page 414, nos 1a, 1b et 2a à 2f.
Exercices 10.4, page 420, no 5
Exercices récapitulatifs, page423, nos 4a à 4e, 4h, 4i, 4k et 13.
2 2
arccos t arcsin t4k) x '(t)
1 t (arccos t)
x
2x x
e4i) x '(t)
e 1 Arccot e
18
Devoir (suite)
Réponse du numéro 13 :
a)
b)
c) -0,12 rad/min et -0,1875 rad/min
d) 25 m
Département de mathématiques
tan75
xArc
2
75
5625
d dx
dt x dt