E. ANTERRIEU (OMP-LAT2)14, avenue Edouard Belin
31400 TOULOUSE - [email protected]
mip.fr
Atelier «Imagerie Multidimensionnelle & Observatoire Virtuel»Observatoire de Nice - 23/24 Octobre 2006
La mission SMOS de l'ESA:de la radioastronomie
à la télédétection spatiale et chemin inverse
2
Télédétection par Imagerieà Synthèse d’Ouverture
PLAN• Modélisation de l’instrument• Grilles d’échantillonnage• Problème inverse• Simulations numériques
Le projet SMOS • e esahttp://www.esa.int/export/esaLP/smos.html
2nd
opportunitymission
3
Les données interférométriques (visibilités complexes) sont obtenues en corrélant les signaux collectés par des couples d’antennes distantes et ayant un champ de vue vue commun. On accède ainsi
à un échantillonnage de la fonction de cohérence spatiale pour les fréquences spatiales angulaires associées à chaque couple d’antennes.
Modélisation de l’instrument
La synthèse d’ouverture
i
LO
0T 0
T
bo
u =
g
4
Les données interférométriques (visibilités complexes) sont obtenues en corrélant les signaux collectés par des couples d’antennes distantes et ayant un champ de vue vue commun. On accède ainsi
à un échantillonnage de la fonction de cohérence spatiale pour les fréquences spatiales angulaires associées à chaque couple d’antennes.
Modélisation de l’instrument
La synthèse d’ouverture
LO
0T 0
T
bo
u =
5
Les données interférométriques (visibilités complexes) sont obtenues en corrélant les signaux collectés par des couples d’antennes distantes et ayant un champ de vue vue commun. On accède ainsi
à un échantillonnage de la fonction de cohérence spatiale pour les fréquences spatiales angulaires associées à chaque couple d’antennes.
synthèse...
Modélisation de l’instrument
La synthèse d’ouverture
n d²4
d
nn 3 d
6
Modélisation de l’instrument
Équation de base
• F : gain des antennes
• r : fringe washing
• V : visibilités
• T : température
~
-2j ukl·e dVkl
||||2 1
*Fk() Fl()
1-||||2T() rkl(- )
ukl·fo
~1
k l
2
1
O
y
x
z
k
l
bkl
bkl
oukl =
7
n = 3n = 23
Modélisation de l’instrument
Équation de base
r(t) 1, rend compte des effets de décorrélation spatiale :
-2j ukl·e dVkl
||||2 1
*Fk() Fl()
1-||||2T() rkl(- )
ukl·fo
~1
k l
2
1
O
y
x
z
k
l
bkl
bkl
oukl =
~
t = (u ·) / fo [nsec]
r( t )~antennespar bras
8
Modélisation de l’instrument
Opérateur de modélisation
• G : opérateur de modélisation
• V : visibilités
• T : température
-2j ukl·e dVkl
||||2 1
*Fk() Fl()
1-||||2T() rkl(- )
ukl·fo
~1
k l
Vkl = (G T)kl
2
1
O
y
x
z
k
l
bkl
bkl
oukl =
9
Modélisation de l’instrument
Données et inconnues
Vkl = (G T)kl
H 36 fréquences
10 antennes45 visibilités 256
pixels
-2j ukl·e dVkl
||||2 1
*Fk() Fl()
1-||||2T() rkl(- )
ukl·fo
~1
k l
10
Modélisation de l’instrument
Données et inconnues
Vkl = (G T)kl
H 36 fréquences
10 antennes45 visibilités 256
pixels
-2j ukl·e dVkl
||||2 1
*Fk() Fl()
1-||||2T() rkl(- )
ukl·fo
~1
k l
11
Modélisation de l’instrument
Gains des antennes
F(,) = D(,) ej (,)2o
(,) = [Lxsin+Lzx(1-cos)]cos2+[Lysin+Lzy(1-cos)]sin2
D(,) = Do cos2n cos2 + cos2m sin2
D(,) (,)2o
12
Modélisation de l’instrument
Filtres des récepteurs
j[+ 2 (f-f)]eH( f ) = rect[ ] f
f-f f
2
ff
f-f /2 f+f /2
1
f , f
-2j f trkl(t) = Hk( f-fo ) Hl(f-fo ) e df
-+
*~
13
Modélisation de l’instrument
Cette modélisation est celle du démonstrateur MIRAS (10+1 antennes, fo = 1.415 GHz, d = 0.875o) construit par ASTRIUM pour le compte de l’ESA. Il a été testé avec avec succès sur le site de
l’INRA à Avignon et a volé à bord d’un Hercule C130 de la Royal Danish Air Force.
La modélisation de SMOS (69 antennes et récepteurs) n’est pas encore arrêtée…
Le démonstrateur MIRAS
14
Modélisation de l’instrument
…des problèmes à résoudre comparables à ceux de l’interféromètre ALMA, mais avec les contraintes du spatial en plus: antennes, récepteurs, corrélateurs…!
L’interféromètre ALMA
15
Modélisation de l’instrument
SMOS ALMAnombre d’antennes
fréquence
longueur d’onde
diamètre des antennes
largeur du lobe primaire
distance minimale
champ synthétisé
distance maximale
résolution angulaire
69
1.415 GHz
21.2 cm
18.5 cm
70°
18.5 cm
(1000 Km) 82°
6.75 m
(50 Km) 3°
64
31 à 950 GHz
1 cm à 300µm
12 m
3’ à 8’’
15 m
2’ à 4’’
150 m à 18 Km
12’ à 0.5’ (compact)0.13’ à 0.01’ (extended)
(Al WOOTTEN)
16
Modélisation de l’instrument
G n ’est pas une transformée de FOURIER
= + +V = G T
T = U T^ = + +
75%||V||² 0.1%||V||²21%||V||²
78%||T||² 20%||T||² 2%||T||²
78%||T||²^ 20%||T||²^ 2%||T||²^
T = + +300 K
100 K
185 K300 K
17
Grilles d’échantillonnage
Domainede FOURIER
Instrument
u = d / o
u(1)
u(2)
dH
18
Grilles d’échantillonnage
Domainede FOURIER
Instrument
u = d / o
u(1)
u(2)
d
19
Grilles d’échantillonnage
Domainede FOURIER
Instrument
u
U(1) = n u(1)
U(2) = n u(2)
ud
20
Grilles d’échantillonnage
Domainede FOURIER
Domainespatial
(1) = n (1)
(2) = n (2)
U(1) = n u(1)
U(2) = n u(2)
u
u
u = u = 2 /3 avec u = n u et = n (i)
U(j) (i) u(j) i,j
21
Grilles d’échantillonnage
Quelle structure de données pourun échantillonnage hexagonal ?
Domainede FOURIER
U(1)
U(2)
22
Grilles d’échantillonnage
n² pixels sur unegrille hexagonale
n² pixels sur unegrille cartésienne
q1
q2q2’
q1’
q’ = q mod n
Domainede FOURIER
23
Grilles d’échantillonnage
Quelle structure de données pourun échantillonnage hexagonal ?
Domainespatial
(1)
(2)
24
Grilles d’échantillonnage
n² pixels sur unegrille hexagonale
n² pixels sur unegrille cartésienne
p2’
p1’
p’ = p mod np1
p2 Domainespatial
25
p1
p2
pp
q1
q2
uq
q^
Grilles d’échantillonnage
Quel algorithme pour calculer latransformée de FOURIER discrète ?
réseaux réciproques:(i)
U(j) = (i) u(j) = i,j
- 2 j p uqeppq =
^
p qn- 2 j
eppq =
^
p = p1 (1) + p2
(2)
Domainespatial
Domainede FOURIER
uq = q1 u(1) + q2 u
(2)
26
p1
p2
pp
q1
q2
uq
q^
Grilles d’échantillonnage
Quel algorithme pour calculer latransformée de FOURIER discrète ?
FFT
p’ q’n- 2 j
ep’p’
’q’ =’̂
p2’
p1’
p’ = p mod n
q2’
q1’
q’ = q mod n
Domainespatial
Domainede FOURIER
p qn- 2 j
eppq =
^
27
p1
p2
pp
Grilles d’échantillonnage
Interpolation
Les fonctions échelles translatées ep() forment un ensemble de fonctions orthogonales centrées sur le pixel p :
ep() = e0( - p ) avec p = p1 (1) + p2
(2)
Toute fonction se décompose alors naturellement dans cette base :
e0() joue donc le rôle d’une fonction d’interpolation.
p
() = p ep()
28
Grilles d’échantillonnage
Interpolation
fonction
échelle
cartésienne
sinc2
sinc1
e0( ) =
1
2
29
Grilles d’échantillonnage
Interpolation
fonction
échelle
hexagonale
sin 3
31 + 32
63 32
sinc3 1 - 32
sin 3
31 - 32
63 32
sinc3 1 + 32 sinc
3 232sinc
21
3 - +e0( ) = 23
1
2
30
Grilles d’échantillonnage
Interpolation
Les cartes de températures reconstruites dans le repère Oxyz attaché à l’interféromètre (cosinus directeurs: 1= sin cos et 2 = sin sin) sur une grille d’échantillonnage hexagonale devront être projetées à la surface de la Terre.
2
1
O
y
x
z
31
d
Grilles d’échantillonnage
Apodisation
En raison de l’extension finie de la couverture fréquentielle et de la coupure fréquentielle abrupte correspondante, il faut s’attendre à observer des oscillations (phénomène de GIBBS) dans les cartes de températures reconstruites.
=32
do
32
Grilles d’échantillonnage
Apodisation
En raison de l’extension finie de la couverture fréquentielle et de la coupure fréquentielle abrupte correspondante, il faut s’attendre à observer des oscillations (phénomène de GIBBS) dans les cartes de températures reconstruites.
33
Grilles d’échantillonnage
Apodisation
En raison de l’extension finie de la couverture fréquentielle et de la coupure fréquentielle abrupte correspondante, il faut s’attendre à observer des oscillations (phénomène de GIBBS) dans les cartes de températures reconstruites.
34
Grilles d’échantillonnage
Apodisation
Des ‘‘facteurs de mérite’’ caractérisent les performances des différentes réponses impulsionnelles apodisées en termes de résolution spatiale et de sensibilité radiométrique.
35
Grilles d’échantillonnage
Apodisation
La projection des cartes de températures reconstruites sur une grille d’échantillonnage hexagonale dans le repère attaché à l’interféromètre se traduit par une résolution spatiale variable dans le champ à la surface de la Terre…
2
1
O
y
x
z
36
Grilles d’échantillonnage
Apodisation
La projection des cartes de températures reconstruites sur une grille d’échantillonnage hexagonale dans le repère attaché à l’interféromètre se traduit par une résolution spatiale variable dans le champ à la surface de la Terre…
2
1
O
y
x
z
37
Grilles d’échantillonnage
Apodisation
La projection des cartes de températures reconstruites sur une grille d’échantillonnage hexagonale dans le repère attaché à l’interféromètre se traduit par une résolution spatiale variable dans le champ à la surface de la Terre…
…un problème semblable à celui du HST avant COSTAR!
38
Problème inverse
G n ’est pas une transformée de FOURIER
Vkl = (G T)kl
nombre de données < nombre d’inconnues
-2j ukl·e dVkl
||||2 1
*Fk() Fl()
1-||||2T() rkl(- )
ukl·fo
~1
k l
39
Problème inverse
Qu’est ce qu’un problème mal posé?J. HADAMARD (1902), R. COURANT (1962):“A problem satisfying the requirements of existence,uniqueness, and continuity is said to be well-posed.’’
Comment régulariser un problème?Le principe général des méthodes de régularisation estd’introduire de l’information a priori pour compenserla perte d’information dans le processus d’imagerie.
Qu’est ce qu’un problème inverse? T G T = V problème direct problème inverse T = G-1
V V
40
Problème inverse
G*G est singulière
TRn2min || V - G T ||
2
G*G T = G* V10-16 10-12 10-8 10-4 100
Tr = G+ V with G+ = (G*G)-1
G*
valeurs propres de G*G
moindres-carrés
41
Problème inverse
est le paramètre de régularisation de LAGRANGE
Tr = G+ V avec G+ = (G*G + I)-1
G*
TRn2min || V - G T ||
2 + || T ||
2
R
10-16 10-12 10-8 10-4 100
valeurs propres de G*G + I
régularisation de TIKHONOV
(G*G + I) T = G* V
42
Problème inverse
m joue le rôle d’un paramètre de régularisation
valeurs singulières de Gmin || T ||
2 TRn2
V = G T
Tr = G+ V with G+ = vi ui G = i ui vi (SVD)
i1Ti
1 Ti1
Tr = G+ V with G+ = vi ui Gm = i ui vi (TSVD)m m m 1im
imi
1 T T
G*(GG*)-1
10-4 10-3 10-2 10-1 100
norme minimale
43
Problème inverse
PH = U*Z Z*U joue le rôle d’un paramètre de régularisation
valeurs singulières de A
TRn2
( I - PH ) T = 0
min || V - G T ||
2
10-4 10-3 10-2 10-1 100
A*A TH = A* V with A = G U*Z
^
Tr = U*Z A+ V with A+ = (A*A)-1
A*
bande-passante limitée
44
Problème inverse
10-1
100
101
102
3100 3200 3300 3400 3500
|| V -
G T
r ||
|| Tr ||
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
=10-6
10-710-8
3230
2826
23
20m=18
16 124 2
A+
G+m
G+
Choix du paramètre de régularisation
45
Problème inverse
Propagation des erreurs aléatoires
L’opérateur de reconstruction R+ reliant les visibilités V à la carte de température reconstruite Tr peut ici inclure des post-traitements (apodisation, …).
! || R+ || f croit avec Nv.
|| V |||| Tr ||
E[ || Tr ||2 ]|| Tr ||
E[ || V ||2 ]|| V ||
|| R+ || f
Nv=
46
Problème inverse
Propagation des erreurs aléatoires
Des artefacts de reconstruction dans Tr peuvent être identifiés, du point de vue qualitatif et quantitatif, au cours d’une analyse d’erreurs complète impliquant les vecteurs singuliers Tk de l’opérateur R (en particulier ceux associés aux plus petites valeurs singulières).
Tr = ( Tk | Tr ) Tkk
47
SVD TSVD
INV INV
Problème inverse
Mise en œuvre numérique
CALL A(T,V)V = A.T
CALL G(T,V)V = G.T
CALL A(T,V)V = A.T
CALL G(T,V)V = G.T
7373 256256A*A G*G
9173 91256A G
bande limitée TIKHONOV / norme minimale
48
Problème inverse
En résumé...
Tr = U*W Z A+ V
A+ = (A*A)-1
A*
avec A = G U* Z
Tr = U*W U G+ V
G+ = (G*G + I)-1
G*
avec R
Tr = U*W U G+ Vm
G+ = vi ui
avec m 1
Ti=m
Nv
i
1m
TRn2
( I - PH ) T = 0
min || V - G T || 2
TRn2
min || V - G T || 2
+ || T || 2 min || T ||
2
TRn2
V = G T
TIKHONOV norme minimalebande limitée
(G*G + I) T = G* VA*A TH = G* V^
49
Problème inverse
Avantages et inconvénients...
bande limitée
TIKHONOV
norme minimale
par
amèt
re d
eré
gula
risa
tion
nom
bre
d’i
nco
nn
ues
stab
ilit
é d
el’
inve
rsio
n
com
ple
xité
de
l’in
vers
ion
apod
isat
ion
resa
mp
lin
g
50
Simulations numériques
carte de température originale,à son plus haut niveau derésolution (utilisée pour simulerles visibilitiés complexes)
carte de température à reconstruire,
au plus haut niveau derésolution de l’instrument
51
Simulations numériques
diagrammesdes
antennes
filtresdes
récepteurs
carte de température à reconstruire,
au plus haut niveau derésolution de l’instrument
norme minimaleT = 1.010 Ko
bande limitéeT = 0.937 Ko
FOURIER
T = 10 Ko
SMOS ALMA
52
Simulations numériques
carte de température à reconstruire,
au plus haut niveau derésolution de l’instrument
norme minimaleT = 1.010 Ko
bande limitéeT = 0.937 Ko T est une erreur systématiqueo
53
Simulations numériques
carte de température à reconstruire,
au plus haut niveau derésolution de l’instrument
norme minimaleT = 1.010 Ko
bande limitéeT = 0.937 Ko
54
Simulations numériques
carte de température à reconstruire,
au plus haut niveau derésolution de l’instrument
norme minimaleT = 1.010 Ko
bande limitéeT = 0.937 Ko
0 T [K
]
size of the discontinuity [K]fraction of the energy in H [%]
55
Simulations numériques
carte de température à reconstruire,
au plus haut niveau derésolution de l’instrument
norme minimaleT = 2.118 K
bande limitéeT = 0.938 K (T)² - (T)² = 0.043 Ko
(T)² - (T)² = 1.862 Ko
23.3 K/K
0.54 K/K
V
= 0.08 K
56
Simulations numériques
carte de température à reconstruire,
au plus haut niveau derésolution de l’instrument
norme minimaleT = 2.118 K
bande limitéeT = 0.938 K
V
= 0.08 K
10,000 tirages V
[0, 0.08 K]
57
Simulations numériques
carte de température à reconstruire,
au plus haut niveau derésolution de l’instrument
norme minimaleT = 2.118 K
bande limitéeT = 0.938 K
V
= 0.08 K
valeurs singulières de A
valeurs singulières de Gvaleurs singulières de G norme minimaleT = 1.011 K
58
Simulations numériques
carte de température à reconstruire,
au plus haut niveau derésolution de l’instrument
bande limitéeT = 0.938 K
V
= 0.08 K
norme minimaleT = 1.011 K
10,000 tirages V
[0, 0.08 K]
59
Modélisation de l’instrument
Équation de base
Opérateur de modélisation
G
91256
-2j ukl·e d
||||2 1
*Fk() Fl()
1-||||2T() rkl(- )
ukl·fo
~Vkl = (G T)kl
60
Modélisation de l’instrument
Équation de base
est la matrice 44 des gains co-polaires (RX et RY ) et cross-
polaires (C X et C
Y ) associés aux ports X et Y des antennes:
*R k C lXX
*C k R lXX
*C k R lYY
*C k R lYY-
-j(
*R k R lXX
*C kC lYY
*R k C lYX
*C k R lXY
*C k R lXY
*R k C lYX+
-
)
*C kC lXX
*R k R lYY
*R k C lXY
*C k R lYX
*R k C lXY
*C k R lYX
+
- )j(
)
)
+
-
-*R k C lXX
*C k R lXX
*R k C lYY
*C k R lYY
*R k R lYX
*C k C lXY
*R k R lXY
*C k C lYX
*C k C lXY
*R k R lYX
*R k R lXY
*C k C lYX
()
()
(
(
+ -
+
-- ++
-- +
( )
( ) *R k R lYX
*C k C lXY
*R k R lXY
*C k C lYX
*C k C lXY
*R k R lYX
*R k R lXY
*C k C lYX- ++
-- +
( )
( )12
j2
12
12
j2
12
j2
j2
||||2 1
ukl·fo
~
Vkl
Vkl
Vkl
Vkl
(2)
(3)
(4)
(1) T()
T()
T()
T()
(2)
(3)
(4)
(1)
-2j ukl·e drkl(- )
1-||||2 ()kl
kl
61
Modélisation de l’instrument
Gains des antennes
est la matrice 44 des gains co-polaires (RX et RY ) et cross-
polaires (C X et C
Y ) associés aux ports X et Y des antennes:
*R k C lXX
*C k R lXX
*C k R lYY
*C k R lYY-
-j(
*R k R lXX
*C kC lYY
*R k C lYX
*C k R lXY
*C k R lXY
*R k C lYX+
-
)
*C kC lXX
*R k R lYY
*R k C lXY
*C k R lYX
*R k C lXY
*C k R lYX
+
- )j(
)
)
+
-
-*R k C lXX
*C k R lXX
*R k C lYY
*C k R lYY
*R k R lYX
*C k C lXY
*R k R lXY
*C k C lYX
*C k C lXY
*R k R lYX
*R k R lXY
*C k C lYX
()
()
(
(
+ -
+
-- ++
-- +
( )
( ) *R k R lYX
*C k C lXY
*R k R lXY
*C k C lYX
*C k C lXY
*R k R lYX
*R k R lXY
*C k C lYX- ++
-- +
( )
( )12
j2
12
12
j2
12
j2
j2
kl
C YC
XRYRX
62
Modélisation de l’instrument
Opérateur de modélisation
G
3641024
C YC
XRYRX
63
Modélisation de l’instrument
Opérateur de modélisation
G
3641024
C YC
XRYRX
64
Simulations numériques
G (-25 dB) complète
T = 0.55 Ko T = 0.50 Ko
T = 0.05 KoT = 0.30 Ko
T = 0.65 Ko T = 0.67 Ko
T = 0.06 KoT = 0.40 Ko
bande-limitée norme minimale
cartes de température à reconstruire,
au plus haut niveau derésolution de l’instrument
65
Simulations numériques
G (-25 dB) bloc-diagonale
cartes de température à reconstruire,
au plus haut niveau derésolution de l’instrument
bande-limitée norme minimaleT = 0.99 Ko T = 1.26 Ko
T = 0.86 KoT = 2.92 Ko
T = 0.99 Ko T = 1.26 Ko
T = 0.86 KoT = 2.94 Ko
66
Simulations numériques
G (-10 dB) complète
cartes de température à reconstruire,
au plus haut niveau derésolution de l’instrument
bande-limitée norme minimaleT = 0.95 Ko T = 0.50 Ko
T = 0.10 KoT = 0.64 Ko
T = 1.07 Ko T = 0.75 Ko
T = 0.12 KoT = 1.26 Ko
67
Simulations numériques
G (-10 dB) bloc-diagonale
cartes de température à reconstruire,
au plus haut niveau derésolution de l’instrument
bande-limitée norme minimaleT = 13.2 Ko T = 11.9 Ko
T = 2.65 KoT = 20.4 Ko
T = 13.0 Ko T = 11.7 Ko
T = 2.65 KoT = 19.9 Ko
68
Conclusion
•problématique identique aux préoccupations de la synthèse d’ouverture en astronomie (ALMA);
• formulation du problème indépendante de la méthode numérique d’inversion/résolution;
• régularisation du problème et sa solution unique ont une signification physique;
•nombre d’inconnues réduit au strict minimum; •propagation des erreurs sous contrôle et artefacts de reconstruction identifiables;
•méthode numérique d’inversion/résolution choisie parmi les plus récentes/performantes;
• traitement temps réel (différé) et reconstruction simultanée de plusieurs scènes possibles.