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Dérivation et Intégration numérique
Dérivation et Intégration numérique
Généralités
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Différentier : déterminer la vitesse à laquelle une courbe change en un certain
point de l'équation
Ceci revient à calculer la dérivée y’
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Intégrer : signifie calculer l’aire (la
surface sous la courbe.
Ceci revient à calculer l’intégrale b
a
xf )(
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I. Dérivation numérique
A. Définition - Introduction
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Différentier signifie trouver la pente de la
tangente à la courbe.
Ceci revient à calculer la dérivée y’
Comment Δy et Δx peuvent être
utilisés pour évaluer la dérivée?
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I. Dérivation numérique
B. Schémas aux différences
Equations aux différences
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A. Différences en avant
la valeur d'une abscisse comme point de départ
Une autre abscisse plus loin sur la courbe.
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A. Différences en Arrière
la valeur d'une abscisse comme point de départ
Une autre abscisse en arrière sur la courbe.
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A. Différence centrale
la valeur d'une abscisse comme point de départ
Une autre abscisse un peu loin sur la courbe.
Une autre abscisse un peu en arrière sur la courbe.
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Dérivation numérique
ExemplesProgramme
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Intégration numérique
A. Définition - Introduction
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Intégration numérique
Raffiner les subdivision pour minimiser l’erreur
La courbe est divisée en parties plus petites
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Applications
1. Un géomètre peut avoir besoin de connaître l'aire d'un champ limité par une rivière et deux routes.
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Applications
2. Un ingénieur des eaux peut avoir besoin de connaître l'aire de la coupe transversale d'une rivière pour en calculer le débit.
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II. Intégration numérique
B. Méthode des trapèzes
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Règle des trapèzes
Utilisez un trapèze au lieu d’un rectangle.
Formule de la surface d’un trapèze :Multiplier la hauteur par la moyenne des bases
Raffiner pour minimiser l’erreur
I = (b-a)[(f(a)+f(b)]/2
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Règle des trapèzes
ai = h/2[f(xi-1) + f(xi)]
h = (b-a)/n
- Calculer la largeur de chaque sous intervalle
- Déterminer l'aire pour chaque sous-intervalle
- Additionner toutes ces sous-intervalles et déterminer l'aire totale.
- Sous une forme plus courte :
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II. Intégration numérique
Exemples
Programme
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Intégration numérique
C. Méthode de Simpson
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Règle des Simpson
Courbe estimée est une parabole y = Ax2 + Bx + C
Raffiner pour minimiser l’erreur
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Règle des Simpson - Evaluer les coefficients de la parabole :
A = (xi-1, yi-1)B = (xi, yi)C = (xi+1, yi+1)
- L'aire sous une parabole dans une sous-intervalle :
Avec : h = (b-a)/n.
- Utiliser la règle de Simpson pour déterminer une intervalle entière :
- Sous une forme plus courte :
n
n
x
x
x
x
x
x
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxfI2
4
2
2
0
).(...).().().(
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Intégration numérique
Exemples
Programme