Download - Cours Rdm - MS2
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Cours module MS2Organisation du module :
Cours 8hTD 8h
TP 12h (3TP coef 1 = total coef 3)DS 2h (coef 5)
1
-
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Introduction
2
MS1 introduire les concepts de description du comportement des sections unechelle macroscopique.
M
N
V
!"
#
$ $
!,"
#,$
MS2 introduire les concepts de description du comportement des sections unechelle trs locale.
-
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Chapitre 1
Caractristiques gomtriques des sections planes
Aire dune section
Moment statique dune section
Moment quadratique dune section Moment quadratique polaire dune
section
Moment quadratique produit dunesection
3
-
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1. Caractristiques gomtriques des sections planes
Dfinition
Chapitre1
Aire dunesection
Momentdune section statique quadratique quadratique
polaire quadratique
produit
Notation A - Dimensions A=L!Cette grandeur est toujours positive
Echelle microscopique
A cette chelle, soit un lment
de surface infiniment petit dA:
"#
$
%
"$
"%
Echelle macroscopique
Le passage lchellemacroscopique permet de
dfinir la grandeur A pour unesection quelconque:
"#
$
%
"$
"%
-
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1. Caractristiques gomtriques des sections planes
Sens physique de la grandeur
Chapitre1
Aire dunesection
Momentdune section statique quadratique quadratique
polaire quadratique
produit
A1 < A2 < A3
dl1 > dl2 > dl3
Laire dune section est donc unegrandeur lie la capacitdallongement dune picesoumise un effort normal
A est lie la rigidit en dunlment en traction /compression
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1. Caractristiques gomtriques des sections planes
Dfinition
Chapitre1
Aire dunesection
Momentdune section
statique
quadratique quadratique
polaire quadratique
produit
Notation S/%- cette grandeur est toujours calcule par rapport un axeDimensions S/%=L3 Cette grandeur peut tre positive ou ngative
Echelle microscopique
A cette chelle, soit un lmentde surface infiniment petit dA:
Echelle macroscopique
Le passage lchellemacroscopique permet de
dfinir la grandeur S/%pourune section quelconque: "#
$
%
"$
"%
%
"#
$
%
"$
"%
xG
%&
$&
-
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1. Caractristiques gomtriques des sections planes
Application : recherche du centre de gravit dune section
Chapitre1
Aire dunesection
Momentdune section
statique
quadratique quadratique
polaire quadratique
produit
80 mm
10 mm
10 mm
60 mm
z
y
y
z
GyG
zG
1
2
G1
G2
Exemple :
yG?zG?
-
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1. Caractristiques gomtriques des sections planes
Application : recherche du centre de gravit dune section
Chapitre1
Aire dunesection
Momentdune section
statique
quadratique quadratique
polaire quadratique
produit
80 mm
10 mm
10 mm
60 mm
z
y
y
z
GyG
zG
1
2
G1
G2
Exemple :
yG= 56000/1400 = 40 mmzG= 70000/1400 = 50 mm
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1. Caractristiques gomtriques des sections planes
Dfinition
Chapitre1
Aire dunesection
Moment dunesection
statiquequadratique
quadratiquepolaire
quadratiqueproduit
Echelle microscopique
A cette chelle, soit un lmentde surface infiniment petit dA:
Echelle macroscopique
Le passage lchellemacroscopique permet de
dfinir la grandeurI!
pour unesection quelconque:
"#
$
%
"$
"%
%
"#
$
%
"$
"%
xG
%&
$&
Notation I!cette grandeur est toujours calcule par rapport un axe
- DimensionsI!=L4 -Cette grandeur est toujours positive
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1. Caractristiques gomtriques des sections planes
Exemples
Chapitre1
Aire dunesection
Moment dunesection
statiquequadratique
quadratiquepolaire
quadratiqueproduit
"#
#
#
$$
"$"%
&
'
(
)
#
$
Moments quadratiques dans le repre o,y,z
-
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1. Caractristiques gomtriques des sections planes
Exemples
Chapitre1
Aire dunesection
Moment dunesection
statiquequadratique
quadratiquepolaire
quadratiqueproduit
"#
#
#
$$
"$"%
&
'
(
)
#
$
Moments quadratiques dans le repre G,Y,Z
-
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1. Caractristiques gomtriques des sections planes
Exemples
Chapitre1
Aire dunesection
Moment dunesection
statiquequadratique
quadratiquepolaire
quadratiqueproduit
"#
#
#
$$
"$"%
&
'
(
)
#
$
Moments quadratiques dans le repre G,Y,Z
Pour une section rectangulaire, on retiendrala formule suivante :
IG/%=(base.hauteur3)/12
IGy=(bh3)/12
IGz=(hb3)/12
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1. Caractristiques gomtriques des sections planes
Interprtation physique de la grandeur
Chapitre1
Aire dunesection
Moment dunesection
statiquequadratique
quadratiquepolaire
quadratiqueproduit
"
"
#
$
%
&
'
% $
#
#
(%($
Sous le chargement Fz :
Le moment flchissantproduit est My
La rigidit de flexion estproportionnelle IGy=bh3/12
Sous le chargement Fy :
Le moment flchissant
produit est Mz
La rigidit de flexion estproportionnelle IGz=hb3/12
Le moment quadratique est donc en relation directe avec la rigidit de flexion
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1. Caractristiques gomtriques des sections planes
Chapitre1
Aire dunesection
Moment dunesection
statique quadratique
quadratique
polaire quadratique
produit
Dfinition
Notation IQcette grandeur est toujours calcule par rapport unpoint - DimensionsIQ=L4 - Cette grandeur est toujours positive
Echelle microscopique
A cette chelle, soit un lmentde surface infiniment petit dA:
Echelle macroscopiqueLe passage lchelle
macroscopique permet de
dfinir la grandeur IQpour une
section quelconque:"#
$
%
"$
"%
%
"#
$
%
"$
"%
xG
%&
$&
&&
-
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1. Caractristiques gomtriques des sections planes
Chapitre1
Aire dunesection
Moment dunesection
statique quadratique
quadratique
polaire quadratique
produit
Exemple
avec
de plus la symtrie de la section donne
Soit,
C
-
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1. Caractristiques gomtriques des sections planes
Chapitre1
Aire dunesection
Moment dunesection
statique quadratique quadratique
polairequadratique
produit
Dfinition
NotationI
yzcette grandeur est toujours calcule par rapport 2 axes -DimensionsIYZ=L4- Cette grandeur est positive ou ngative
80 mm
10 mm
60 mm
10 mm
y
z
"
#
G2
G1
x$ y
z
zG
yG
-
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Chapitre 2
Moments quadratiquesChangement de repres
Translation daxes : Thorme deHuyghens
Rotation daxes Cercle de Mohr des inerties
17
Ch
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Rappels du cours prcdent
Chapitre2
Translationdaxes -thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
Parmi les grandeurs gomtriques des sections vues au chapitre prcdent nousen avons dfini 2 directement en relation avec les rigidits de traction
(compression) et de flexion :
Aaire dune section
ne dpend
ni dun point,ni dun axe
grandeur lie la
rigidit des lmentssous N
I%moment quadratique
dune section
dpenddun axede calcul
grandeur lie larigidit des lments
sous M
Pour ce dernier il faut donc savoir changer daxe
dobservation (simplement !)
2. Moment quadratique - Changement de repres
Ch i
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Intrt des formules de translation daxes pour I%?
Chapitre2
Translationdaxes -thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
dA
y
z
G+
80 mm
10 mm
10 mm
60 mm
z
y
y
z
G40 mm
50 mm
1
2
G1
G2
Ex. : On veut calculer lesmoments quadratiques IGZet IGY
de la pice ci-contre
2. Moment quadratique - Changement de repres
Ch i
-
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Intrt des formules de translation daxes pour I%?
Chapitre2
Translationdaxes -thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
80 mm
10 mm
10 mm
60 mm
z
y
y
z
G40 mm
50 mm
1
2
G1
G2
I/G%=base.hauteur3/12
On peut facilement calculer lesmoments quadratiques IGiZet
IGiYde chaque pice :
G1 y
z
10 mm
80 mmOn obtient :IG1Z=10.803/12 = 42,67 cm4
et IG1Y= 80.103/12 = 0,67 cm4y
z
G
Changement daxe :IGZ=IG1Z
IGY= ?
besoin de formules pour lestranslations daxes
2. Moment quadratique - Changement de repres
Ch i
-
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Translation daxes - thorme de Huyghens
Chapitre2
Translationdaxes -thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
z
y
dA
Z
YG
y
yG Y
zzG
ZY = y - yGy = Y+ yG
etZ = z - zGz = Z+ zG
On a :
On suppose IGYet IGZconnus,on cherche Iyet Iz
2. Moment quadratique - Changement de repres
Ch i
-
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Translation daxes - thorme de Huyghens
Chapitre2
Translationdaxes -thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
z
y
dA
Z
YG
y
yG Y
zzG
ZY = y - yGy = Y+ yG
etZ = z - zGz = Z+ zG
On a :
2. Moment quadratique - Changement de repres
Ch it
-
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Translation daxes - thorme de Huyghens
Chapitre2
Translationdaxes -thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
z
y
dA
Z
YG
y
yG Y
zzG
Z
Y = y - yG et Z = z - zG
On a :
Le thorme de Huyghens snonce alors :
o "et G!sont deux axes parallles et d reprsente la distance entre
ces axes.
2. Moment quadratique - Changement de repres
Ch it
-
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Translation daxes - thorme de Huyghens
Chapitre2
Translationdaxes -thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
80 mm
10 mm
10 mm
60 mm
z
y
y
z
G40 mm
50 mm
1
2
G1
G2
Dans notre exemple on a :
sections
lmentaires
A
cm2
IGiZ
cm4
d2
cm4
IGZ
cm4
IGiY
cm4
d2
cm4
IGY
cm4
1 8 42,67 0 42,67 0,67 2,25 18,67
2 6 0,5 0 0,5 18 4 42
14 43,17 60,67
Cette pice sera plus rigide pour unchargement Pz que pour un chargement Py
(1,4 fois plus)
La semelle (1) apporte 99% de la rigidit enflexion sous un chargement Py
Lme (2) apporte 69% de la rigidit enflexion sous un chargement Pz
2. Moment quadratique - Changement de repres
Ch it
-
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Translation daxes - thorme de Huyghens
Chapitre2
Translationdaxes -thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
Optimisation dun profil pour la flexion au regard du momentquadratique et des considration de masse totale
y
Pz
z
G
PzMy
on mobilise IGy
Plus IGy est grand
et plus la pice est rigide
Pour augmenter IGyil faut augmenter
la hauteur de la pice suivant z
IGy=''z2dA= base.hauteur3
12
Pz
z
yG
Inconvnient :
la masse augmentele prix aussi!
Pz
z
yG
Optimisationdu profilsous Pz
2. Moment quadratique - Changement de repres
Cha itre
-
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Intrt des formules de rotation daxes pour I%?
Chapitre2
Section en I
y
z
G
Pz
Py
On sait prsent calculerIGyrigidit mobilise en flexion sous Pz (My)
et IGzrigidit mobilise en flexion sous Py (Mz)
20
y
z
G
P
z
y
Comment calculerIGyet
IGz?
besoin de formulespour les rotations
daxes
Translationdaxes -thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
2. Moment quadratique - Changement de repres
Chapitre
-
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dA
Rotation daxes
Chapitre2
Translationdaxes -thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
Z
YG
Y
Z
Q
YQ
ZQ
Y =
(
(
(
(ZQ
YQ
Z =
Y.cos( + Z.sin(
-Y.sin(+ Z.cos(
2. Moment quadratique - Changement de repres
Chapitre
-
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Rotation daxes
Chapitre2
Translationdaxes -thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
Formules de trigonomtrie utiles :
sin2#= 2cos#sin# cos!#= (1+cos2#)/2cos2#= cos!# sin!# sin!#= (1-cos2#)/2
On suppose connues les grandeurs IGY, IGZ et IGYZ et on cherche calculer ces grandeurs dans le repre OYZ :
Calcul de IGYZ Y = Y.cos(+ Z.sin(
Z = -Y.sin(+ Z.cos(
2. Moment quadratique - Changement de repres
Chapitre
-
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Rotation daxes
Chapitre2
Translationdaxes -thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
Formules de trigonomtrie utiles :
sin2#= 2cos#sin# cos!#= (1+cos2#)/2cos2#= cos!# sin!# sin!#= (1-cos2#)/2
On suppose connues les grandeursI
GY,I
GZ etI
GYZ et on cherche calculer ces grandeurs dans le repre OYZ :
Calcul de IGYZ
Cette quation a deux solutions #1 et #2=#1+"/2
Recherche de valeurs particulires de IGYZ
2. Moment quadratique - Changement de repres
Chapitre
-
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Rotation daxes
Chapitre2
Translationdaxes -thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
Formules de trigonomtrie utiles :
sin2#= 2cos#sin# cos!#= (1+cos2#)/2cos2#= cos!# sin!# sin!#= (1-cos2#)/2
On suppose connues les grandeurs IGY, IGZ et IGYZ et on cherche calculer ces grandeurs dans le repre OYZ :
Calcul de IGY Y = Y.cos(+ Z.sin(
Z = -Y.sin(+ Z.cos(
2. Moment quadratique - Changement de repres
-
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Chapitre
-
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Rotation daxes
Chapitre2
Translationdaxes -thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
Formules de trigonomtrie utiles :
sin2#= 2cos#sin# cos!#= (1+cos2#)/2cos2#= cos!# sin!# sin!#= (1-cos2#)/2
On suppose connues les grandeurs IGY, IGZ et IGYZ et on cherche calculer ces grandeurs dans le repre OYZ :
Calcul de IGZ Y = Y.cos(+ Z.sin(
Z = -Y.sin(+ Z.cos(
2. Moment quadratique - Changement de repres
Chapitre
-
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Rotation daxes
Chapitre2
Translationdaxes -
thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
Formules de trigonomtrie utiles :
sin2#= 2cos#sin# cos!#= (1+cos2#)/2cos2#= cos!# sin!# sin!#= (1-cos2#)/2
On suppose connues les grandeurs IGY, IGZ et IGYZ et on cherche calculer ces grandeurs dans le repre OYZ :
Calcul de IGZ
2. Moment quadratique - Changement de repres
Chapitre
-
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Rotation daxes
Chapitre2
Translationdaxes -
thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
On suppose connues les grandeurs IGY, IGZ et IGYZ et on cherche calculer ces grandeurs dans le repre OYZ :
Remarques, on a trouv :
et
On constate que la somme des moments quadratiques calculs dans dessystmes daxes orthogonaux obtenus par rotation dangle #autour de
lorigine de repre est invariante : elle est gale au moment quadratiquepolaire.
on a donc...
2. Moment quadratique - Changement de repres
Chapitre
-
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Rotation daxes
Chapitre2
Translationdaxes -
thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
On suppose connues les grandeursI
GY,I
GZ etI
GYZ et on cherche calculer ces grandeurs dans le repre OYZ :
Remarques, on a trouv :
Ce systme daxe est caractris par langle # solution de
lquation :
Il existe donc un systme daxes orthogonaux pour lesquels on obtientsimultanment la valeur maximale et la valeur minimale du momentquadratique de la section.
ou
2. Moment quadratique - Changement de repres
Chapitre
-
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Rotation daxes
Chapitre2
Translationdaxes -
thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle deMohr desinerties
Recherche dextremum pour IGYet IGZ
soit Dj vu!
Le systme daxes dorientation #qui donne simultanment unevaleur maximale et minimale des moments quadratiques faitgalement apparatre un moment quadratique produit nul
Le repre associ ce systme daxes particulier est appelrepre principal dinertie et ses axes sont nomms axesprincipaux dinertie
2. Moment quadratique - Changement de repres
Chapitre
-
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Cercle de Mohr des inerties : construction gomtrique
Chapitre2
Translationdaxes -
thorme deHuyghens
Rotationdaxes
Cercle de
Mohr desinerties
2. Moment quadratique - Changement de repres
X
"
#
$
On suppose que le calcul donne :IGY > IGZ etIGYZ
-
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38/56
Chapitre 3Contraintes et dformations dans les sections droiteset planes
Contraintes et dformations normales
Sous N Sous M (flexion uniaxiale)
Flexion bi-axiale
Flexion compose (M et N) Contraintes et dformations tangentielles
38
Chapitre
-
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39/56
Introduction
Chapitre3
Contraintes etdformationsnormales
Sous N Sous M Flexion bi-
axiale
Flexioncompose
M et N
Contraintes etdformationstangentielles
3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
M
N
V
!"
#
$ $
!,"
#,$
Notion de contraintes : reprsentation des effort internes en tout pointsdune section
Notion de dformations : reprsentation locale de leffet des effort internesen tout points dune section
Contraintes normales : ! Contraintes tangentielles : #
Dformations normales : " Dformations Tangentielles :$
Chapitre
-
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40/56
Contraintes et dformations normales
Les contraintes et les dformations normales sont lies N, My et Mz
x
z
y
G
N N
MyMy
dxComment a marche?
Les sections droites restent droitesHypothses de Navier-Bernoulli
effet de N effet de M
Contraintes etdformationsnormales
Sous N
Sous M Flexion bi-
axiale
Flexioncompose
M et N
Contraintes etdformationstangentielles
Chapitre3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
Chapitre
-
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41/56
Contraintes et dformations normales
Comment a marche?
Les sections droites restent droitesHypothses de Navier-Bernoulli
effet de N effet de M
x
z
G
Ncessairement la dformation globale est de la forme :
En lasticit on observe une proportionnalit entre cause et effet :
Les contraintes sont donc de la forme :
Contraintes etdformationsnormales
Sous N
Sous M Flexion bi-
axiale
Flexioncompose
M et N
Contraintes etdformationstangentielles
Chapitre3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
Chapitre
-
7/21/2019 Cours Rdm - MS2
42/56
Contraintes et dformations normales sous N
Contraintes etdformationsnormales
Sous N
Sous M Flexion bi-
axiale
Flexioncompose
M et N
Contraintes etdformationstangentielles
"
#
$#%
"
%'
&(
&)*!&(
Chapitre3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
Chapitre
-
7/21/2019 Cours Rdm - MS2
43/56
Contraintes et dformations normales sous N
Contraintes etdformationsnormales
Sous N
Sous M Flexion bi-
axiale
Flexioncompose
M et N
Contraintes etdformationstangentielles
"
#
$#%
"
%'
&(
&)*!&( "
!#$"%
"
!#$"%
Reprsentation
des dformations
Reprsentation
des contraintes
Chapitre3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
Chapitre
-
7/21/2019 Cours Rdm - MS2
44/56
Contraintes et dformations normales sous N
Contraintes etdformationsnormales
Sous N
Sous M Flexion bi-
axiale
Flexioncompose
M et N
Contraintes etdformationstangentielles
"
#
$#%
"
%'
!
Calcul des dformations sous N
E est appel module dYoungcest une constante pour un matriau
donn qui traduit la rigidit du matriau
Calcul de lallongementdune pice :
Chapitre3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
Chapitre
-
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45/56
Contraintes et dformations normales sous N
Contraintes etdformationsnormales
Sous N
Sous M Flexion bi-
axiale
Flexioncompose
M et N
Contraintes etdformationstangentielles
Bilan :"
#
$#%
"
%'
&(
&)*!&("
!#$"%
"
!#$"%
Convention :
est la rigidit de traction/compression
Chapitre3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
Chapitre
-
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46/56
Contraintes et dformations normales sous M (flexion uniaxiale)
Contraintes etdformationsnormales
Sous NSous M
Flexion bi-axiale
Flexioncompose
M et N
Contraintes etdformationstangentielles
"
#$
%#
"
$&
%'
%()!%'
*+
avec!
0= 0!
on a donc
C ap t3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
Chapitre
-
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47/56
Contraintes et dformations normales sous M (flexion uniaxiale)
Contraintes etdformationsnormales
Sous NSous M
Flexion bi-axiale
Flexioncompose
M et N
Contraintes etdformationstangentielles
"
#$
%#
"
$&
%'
%()!%'
*+
avec !0= 0!avec
soit"
#$
%#
"
$&
%'
%()!
%'*$+
,
,&&
,&
"%"
p3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
Chapitre
-
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Contraintes et dformations normales sous M (flexion uniaxiale)
Contraintes etdformationsnormales
Sous NSous M
Flexion bi-axiale
Flexioncompose
M et N
Contraintes etdformationstangentielles
"
#$
%#
"
$&
%'
%()!%'
*$+
,,&&
,&
"%"
MS3
p3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
Chapitre
-
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Contraintes et dformations normales sous M (flexion uniaxiale)
Contraintes etdformationsnormales
Sous NSous M
Flexion bi-axiale
Flexioncompose
M et N
Contraintes etdformationstangentielles
Convention de signe : Fd
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p3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
Chapitre
-
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Contraintes et dformations normales sous M (flexion uniaxiale)
Contraintes etdformationsnormales
Sous NSous M
Flexion bi-axiale
Flexioncompose
M et N
Contraintes etdformationstangentielles
Convention de signe : FgSi My>0 Si My>0
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p3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
Chapitre
-
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Contraintes et dformations normales en flexion bi-axiale
Contraintes etdformationsnormales
Sous N
Sous MFlexion bi-axiale
Flexioncompose
M et N
Contraintes etdformationstangentielles
fd fg
y
z
G
Pz
Py
p3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
Chapitre
-
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Contraintes et dformations normales en flexion compose
Contraintes etdformationsnormales
Sous N
Sous M Flexion bi-
axiale
Flexioncompose
M et N
Contraintes etdformationstangentielles
fd fg
y
z
G
Pz
Py x Px
p3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
Chapitre
-
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Contraintes et dformations tangentielles
Contraintes etdformationsnormales
Sous N
Sous M Flexion bi-
axiale
Flexioncompose
M et NContraintes etdformationstangentielles
p3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
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A
Chapitre
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Contraintes et dformations tangentielles
Contraintes etdformationsnormales
Sous N
Sous M Flexion bi-
axiale
Flexioncompose
M et NContraintes etdformationstangentielles
p3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
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A
Formule de Jouravski
Chapitre
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Contraintes et dformations tangentielles
Contraintes etdformationsnormales
Sous N
Sous M Flexion bi-
axiale
Flexioncompose
M et NContraintes etdformationstangentielles
p3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
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Cas dune section rectangulaire :
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Chapitre
-
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Contraintes et dformations tangentielles
Contraintes etdformationsnormales
Sous N
Sous M Flexion bi-
axiale
Flexioncompose
M et NContraintes etdformationstangentielles
p3 3. Contraintes dformations dans les sections droites et planes
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O G est appel module cisaillement ouencore module dlasticit transverse, cestune caractristique intrinsque du matriauconstitutif.