Cours de Mécanique des Systèmes de
Solides Indéformables
M. BOURICH (ENSAM)
Deuxième édition 2014
AVANT–PROPOS
Ce manuel est un cours de base de la mécanique des systèmes de solides indéformables,
particulièrement destiné aux étudiants de la deuxième année de l’École Nationale des Sciences Appliquées
de Marrakech. La première édition du présent manuel est constituée du cours que j’ai assuré, entre 2004
et 2010, en deuxième année SMP à la faculté poly-disciplinaire de Safi. Cette seconde édition respecte le
contenu du descriptif de la mécanique des systèmes de solides indéformables de la filière EGT, de l’École
Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech, accréditée.
L'objectif de ce cours est d'apporter une contribution à l'acquisition d'une culture scientifique de
base permettant une meilleure compréhension des lois du mouvement et la maîtrise dans le maniement
des outils de la mécanique.
Chaque chapitre s’ouvre par la précision des objectifs et des compétences visées. L’introduction de
chaque concept est accompagnée par une brève évolution dans le temps, de la sorte que l’étudiant
pourra relater les événements marquants de l’histoire de la mécanique.
Conformément au descriptif de la mécanique des systèmes de solides indéformables, le cours est
articulé en sept chapitres :
Calcul vectoriel-Torseurs,
Cinématique du solide,
Géométrie des masses,
Cinétique du solide,
Dynamique du solide,
Liaisons-Forces de liaison,
Mouvement d’un solide autour d’un point ou d’un axe fixes.
Pour l’élaboration de ce cours polycopié, j’ai utilisé de nombreuses ressources pédagogiques
citées en bibliographie : ouvrages, sites Web et le polycopié de mon cher enseignant Monsieur M.
Hasnaoui.
Gageons que ce cours constituera un précieux outil pédagogique pour les étudiants, tant pour une
préparation efficace des examens que pour l’acquisition d’une solide culture scientifique.
M.Bourich
Illustration de couverture :
GALILÉE (Galileo Galilei, 1564-1642)
(Source : https://www.delcampe.net)
Mathématicien, philosophe et astronome italien. Il utilisa le premier, en 1610, un système optique
pour observer le ciel et révolutionna l'observation de l'Univers. Il découvrit l'inégalité de la surface de la
Lune, les 4 étoiles (satellites) autour de Jupiter, Saturne au triple corps (les anneaux), les phases de
Vénus, et résolut la Voie Lactée en étoiles.
Il fut un des précurseurs de la mécanique classique (celle de Newton), introduisant l'usage des
mathématiques pour l'explication des lois de la physique. Il établit la loi de la chute des corps dans le vide,
et donna une première formulation du principe de relativité. Il défendit ardemment les thèses
héliocentriques de Copernic. Contraire aux Saintes Ecritures, le livre écrit sur le sujet fut interdit et les
exemplaires saisis et brûlés.
A 70 ans (en 1634), jugé par l'église catholique, il fut accusé d'hérésie et dut prononcer un serment
d'abjuration pour ne pas être condamné à mort sur le bûcher. L'Église l'a réhabilité seulement en 1992.
Table des matières
AVANT–PROPOS ................................................................................................................................................................................................... 2
PLAN D’ÉTUDE D’UN SYSTÈME MÉCANIQUE ............................................................................................................................................................... 7
CALCUL VECTORIEL - TORSEURS...................................................................................................................................................................... 10
I– Approche historique ........................................................................................................................................................................... 10 II– Définitions ........................................................................................................................................................................................... 10
1 – Espace vectoriel ........................................................................................................................................................................... 10 2 - Espace vectoriel Euclidien .......................................................................................................................................................... 10
II- Espace Affine-Espace Métrique ....................................................................................................................................................... 10
1 – Espace affine ................................................................................................................................................................................. 10
2 - Espace métrique ............................................................................................................................................................................ 11
III– Vecteurs-Moment d’un vecteur ...................................................................................................................................................... 11
1- Introduction ...................................................................................................................................................................................... 11
2- Vecteur lié-Vecteur glissant ........................................................................................................................................................ 11
3 - Opérations sur les vecteurs ....................................................................................................................................................... 11
4- Moment d’un vecteur en un point............................................................................................................................................... 12
IV- Torseurs .............................................................................................................................................................................................. 13 1 - Introduction .................................................................................................................................................................................... 13
2- Application antisymétrique ......................................................................................................................................................... 13
3- Champ antisymétrique ................................................................................................................................................................. 14
4- Torseurs .......................................................................................................................................................................................... 15
CINÉMATIQUE DU SOLIDE ................................................................................................................................................................................. 20
I. Approche historique ........................................................................................................................................................................... 20
II. Espace Repère-Solide rigide ........................................................................................................................................................... 20
1- Espace repère ................................................................................................................................................................................ 20
2- Définition d’un solide rigide ........................................................................................................................................................ 20 III. Notion des Champs des Vitesse et des Accélérations ............................................................................................................... 21
1-Introduction ...................................................................................................................................................................................... 21 2-Champ des vitesses d’un solide .................................................................................................................................................. 21
3- Champ des accélérations d’un solide ....................................................................................................................................... 21 IV. Mouvements de translation-rotation-tangent ............................................................................................................................ 22
1- Mouvement de translation ........................................................................................................................................................... 22
2- Rotation d’un solide autour d’un axe fixe ................................................................................................................................ 22
3- Mouvement hélicoïdal .................................................................................................................................................................. 23
4- Mouvement général d’un solide : Mouvement tangent ......................................................................................................... 23
IV- Composition des Mouvements ....................................................................................................................................................... 24
1- Dérivation vectorielle ................................................................................................................................................................... 24
2- Composition des vitesses ........................................................................................................................................................... 25 3- Composition des vecteurs rotations ....................................................................................................................................... 25
4- Composition des accélérations ................................................................................................................................................. 26
V- Cinématique des solides en contact............................................................................................................................................. 26 1- Vitesse de glissement ................................................................................................................................................................... 27
2- Roulement et pivotement ............................................................................................................................................................ 28
VI- Mouvement plan d’un solide ............................................................................................................................................................ 28
1- Définition ......................................................................................................................................................................................... 28 2- Centre instantané de rotation (C.I.R.) ...................................................................................................................................... 29
3- Base et roulante-Étude analytique ........................................................................................................................................... 29
GÉOMÉTRIE DES MASSES ................................................................................................................................................................................. 35
I. Approche historique ...........................................................................................................................................................................35
II. Masse - Centre de Masse .................................................................................................................................................................35
1- Définition .........................................................................................................................................................................................35 2- Centre de masse ......................................................................................................................................................................... 36
3- Théorème de Guldin .................................................................................................................................................................... 36 Les méthodes pratiques de recherche de G dans le cas de corps homogènes : ............................................................... 36
4- Centre de masse de volume ou de surface homogènes présentant un axe de révolution ......................................... 38
III. Moment d’inertie - Opérateur d’inertie ....................................................................................................................................... 38 1- Définitions ...................................................................................................................................................................................... 38
2- Moment d’inertie .......................................................................................................................................................................... 39 Les relations entre ces grandeurs :On peut écrire .................................................................................................................. 39
3- Opérateur d’inertie en un point O ............................................................................................................................................. 40
IV- Matrice d’inertie-Matrice principal d’inertie............................................................................................................................... 41
1- Matrice d’inertie ............................................................................................................................................................................. 41
2- Matrice principale d’inertie: ....................................................................................................................................................... 42 V- Théorème de Huygens ...................................................................................................................................................................... 43
1- Relation entre les opérateurs d’inertie d’un système en deux points .............................................................................. 43 2- Théorème de Huygens .................................................................................................................................................................... 1
VI- Exemple de corps homogènes classiques ............................................................................................................................. 44
CINÉTIQUE DU SOLIDE ...................................................................................................................................................................................... 49
I. Introduction ........................................................................................................................................................................................... 49
II. Définitions des cinq quantités cinétiques ...................................................................................................................................... 49
III. Torseur Cinétique ............................................................................................................................................................................... 49
1- Quantité de Mouvement ................................................................................................................................................................ 49 2- Moment Cinétique ........................................................................................................................................................................ 50
IV. Torseur Dynamique [D] ..................................................................................................................................................................... 52 1. Quantité d'accélération (résultante dynamique) .................................................................................................................... 52
2- Moment dynamique ......................................................................................................................................................................53
3- Autres résultats ........................................................................................................................................................................... 54
V. Énergie Cinétique ................................................................................................................................................................................ 56
1- Introduction ................................................................................................................................................................................... 56
2- Deuxième théorème de Kœnig .................................................................................................................................................. 56
DYNAMIQUE DU SOLIDE .................................................................................................................................................................................... 60 I. Approche historique............................................................................................................................................................................ 60
II. Principe Fondamental de la Dynamique - Théorèmes Généraux .............................................................................................. 60
1- Introduction ................................................................................................................................................................................... 60
2- Torseur des forces appliquées à (S) ...................................................................................................................................... 60
3- Classification des forces ............................................................................................................................................................. 61
4- Principe fondamental de la dynamique (PFD) ou axiome de la dynamique ..................................................................... 61
5- Théorème des interactions ou théorème de l’action et de la réaction ............................................................................ 62 III- Changement de repère - Repère galiléen ................................................................................................................................... 63
1- Position du Problème ................................................................................................................................................................... 63
2- Torseur dynamique d’entraînement-Torseur dynamique de Coriolis .............................................................................. 63 IV. Travail et puissance ........................................................................................................................................................................... 64
1- Puissance d’un couple appliqué à un solide ............................................................................................................................. 64
2- Puissance d’un torseur de forces appliquées à un solide .................................................................................................. 64
3- Puissance du torseur des forces appliquées à un système matériel (S) ...................................................................... 65 4- Théorème de l’énergie cinétique .............................................................................................................................................. 66
LIAISONS - FORCES DE LIAISON ...................................................................................................................................................................... 70
I. Introduction ........................................................................................................................................................................................... 70
II. Liaisons-Actions de contact .............................................................................................................................................................. 70
1- Définition ......................................................................................................................................................................................... 70 2- Liaisons ........................................................................................................................................................................................... 70
3- Liaison holonome ........................................................................................................................................................................... 71
4- Action de contact ........................................................................................................................................................................... 71
III. Lois de Coulomb ................................................................................................................................................................................... 71
1- Approche historique ...................................................................................................................................................................... 71 2- Réaction normale ......................................................................................................................................................................... 72
3- Réaction tangentielle ................................................................................................................................................................... 72 4- Vitesse de rotation de pivotement-roulement ....................................................................................................................... 73
5- Puissance totale des actions de contact ................................................................................................................................ 73 IV. Exemple d’application: mouvement d’une sphère sur un plan incliné..................................................................................... 74
MOUVEMENT D’UN SOLIDE AUTOUR D’UN POINT OU D’UN AXE FIXES ................................................................................................................ 79
I- Approche historique ............................................................................................................................................................................ 79
II- Rotation d’un Solide autour d’un Point Fixe (Angles d’Euler) .................................................................................................... 79
1- Angles d’EULER ............................................................................................................................................................................... 79 2- Moment cinétique en O du solide : ........................................................................................................................................... 80
3- Moment dynamique en O: ........................................................................................................................................................... 80 4- Énergie cinétique: ........................................................................................................................................................................ 80
III- Exemple de la toupie symétrique sur sa pointe fixe O ............................................................................................................... 81
VI. Solide mobile autour d’un axe fixe ........................................................................................................................................... 84
1. Exemple ............................................................................................................................................................................................ 84
2. Énergie cinétique .......................................................................................................................................................................... 85
3. Mouvement du centre de gravité ............................................................................................................................................. 85
BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................................................................................................ 87
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 7
PLAN D’ÉTUDE D’UN SYSTÈME MÉCANIQUE
Définir le système mécanique étudié : (S)
Étude cinématique : vecteurs rotation
vecteurs vitesses
veteurs accélérations ….
Géométrie de masse : masse
centre de masse, d’inertie
matrice d’inertie ……
Étude cinétique : déterminer les torseurs des actions mécaniques
extérieures agissant sur (S) et les ramener
en des points judicieusement choisis
Étude dynamique : application des théorèmes généraux au système (S)
Résolution de système différentiel pour l’obtention des équations du mouvement de (S)
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 8
1
Chapitre
Calcul Vectoriel-Torseurs
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 9
Objectifs :
Définir un torseur (torsur symétrique et anti-symétrique, invariants scalaires) ;
Décomposer un torseur (couple et glisseur) ;
Comprendre la notion de torseur équiprojectif ;
Décrire les élements de réduction d’un torseur ;
Déterminer l’axe central.
Galilée : (1564-1642) La philosophie est écrite dans ce grand livre, l'univers,
qui ne cesse pas d'être ouvert devant nos yeux. Mais ce livre ne peut se lire si on ne comprends pas le langage et on ne connaît
pas les caractères avec lesquels il est écrit. Or, la langue est
celle des mathématiques, et les caractères sont triangles,
cercles et d'autres figures géométriques. Si on ne les connaît pas, c'est humainement impossible d'en comprendre même pas
un seul mot. Sans eux, on ne peut qu'aller à la dérive dans un
labyrinthe obscur et inextricable". G. Galilei, "Il Saggiatore",
Rome, 1623
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 10
CALCUL VECTORIEL - TORSEURS
I– Approche historique
Pour les problèmes de physique, l'Allemand Hermann Grassman (1809-1877) fut l’un des
premiers à utiliser la notation vectorielle. L'Américain Gibbs (1839-1903) et l'Anglais Heaviside
(1850-1925), disciples de Hamilton (l'un des premiers à utiliser la notion de vecteur), donnent au
calcul vectoriel sa forme quasi définitive. L’intérêt de la maitrise du calcul vectoriel est
fondamental pour la bonne application des lois de la mécanique.
II– Définitions
1 – Espace vectoriel
On appelle espace vectoriel E sur un corps commutatif K un ensemble d’éléments
(vecteurs) qui vérifient les propriétés suivantes:
- E est muni d’une structure de groupe commutatif pour une loi de composition interne,
l’addition vectorielle, notée (+).
- , K et Evu
, , on a : et
2 - Espace vectoriel Euclidien
Un espace vectoriel E est dit euclidien s’il est muni d’un produit scalaire f qui à ,
fait correspondre le nombre réel tel que:
=
( égalité si )
Notation:
II- Espace Affine-Espace Métrique
1 – Espace affine
On appelle espace affine , un ensemble d’éléments appelés points tels qu’à tout couple
ordonné de deux points A et B (bipoints), on fait correspondre un vecteur d’un espace
vectoriel E et si A, B et C , on a:
O et E, ! A défini par
u v u v
u u
Ev,u
f u v ,
f u v , f v u
,
f u v f u v , ,
f u v w f u v f u w , , ,
f u u , 0
u 0
f u v u v ,
AB
AB BA
AC AB BC
u
uOA
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 11
2 - Espace métrique
Un espace métrique est un espace affine auquel on a associe un espace vectoriel
euclidien.
Pour la suite du cours, on désignera par l’espace métrique associé à un espace vectoriel
euclidien E de dimension 3.
III– Vecteurs-Moment d’un vecteur
1- Introduction
En physique, la modélisation des grandeurs, qui ne peuvent être entièrement définies par
un scalaire ou une fonction numérique seuls, se fait par l’introduction de la notion de vecteur.
Par exemple, pour préciser un déplacement, une vitesse, ou une force, la direction et le sens sont
indispensables.
2- Vecteur lié-Vecteur glissant
On appelle vecteur lié, tout couple (A, ) formé de A appelé origine ou point
d’application et d’un vecteur de E appelé grandeur vectorielle.
Notation: (A, ) = (A) : on lit vecteur lié au point A.
Exemples: - Force résultante appliquée à un point.
- Champ électrique créé par une charge électrique en un point.
On appelle vecteur glissant, un vecteur défini à un glissement près sur un axe () appelé
support.
Notation: (, ) : vecteur glissant
Exemple: - Résultante dans le cas d’un torseur.
Soit b = ( , , ) une base orthonormée directe de E.
E, sera défini par ses composantes ux, uy et uz dans cette base :
ou dans (b)
3 - Opérations sur les vecteurs
3-1 Produit scalaire
Le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux
vecteurs. À deux vecteurs, elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire, d'où son
nom). Elle permet d'exploiter les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs,
angles, orthogonalité.
Soient et deux vecteurs libres non nuls de E.
u
u
u
u
u
u
ijk
u
u
kujuiuu zyx
z
y
x
u
u
u
u
u
v
zzyyxx vuvuvuvu
0vu
u
v
u
()
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 12
3-2 Produit vectoriel
Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens
orientés de dimension 3. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel
d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique.
Aux deux vecteurs et de E, on peut associer un vecteur (unique) tel que:
On a , et ( , , ) forme un trièdre direct.
Conséquences
- Si et sont dans le plan de la feuille, est à ce plan.
-
- : le produit vectoriel est anti-commutatif.
3-3 Double produit vectoriel
Soient , et E.
3-4 Produit mixte
Considérons , et E.
Propriétés
: le produit mixte est invariant par permutation circulaire.
: le produit mixte change de signe dans le cas d’une permutation
non circulaire.
4- Moment d’un vecteur en un point
En physique, les moments des vecteurs sont grandement utilisés, ils permettent de
modéliser des grandeurs comme, moment d’une force, moment d’inertie et moment
cinétique…etc.
Soit (A, ) un vecteur lié et O .
Le moment en O du vecteur lié est le vecteur
Soit (, ) un glisseur et O .
est indépendant du point M .
u
v
w
xyyxz
zxxzy
yzzyx
z
y
x
z
y
x
vuvuw
vuvuw
vuvuw
v
v
v
u
u
u
vuw
w
u
w
v
u
v
w
u
v
w
0uu
uvvu
u
v
w
wvuvwuwvu
u
v
w
zzz
yyy
xxx
wvu
wvu
wvu
detw,v,uw∧vu
u,w,vv,u,ww,v,u
w,u,vv,w,uw,v,u
u
Au
u∧OA)A(u,O→→
M
u
( )u,O→ M
u
v
w
A
u
M(O,u(A))
O
u
u
M
O
M(O, u)
M'
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 13
Preuve:
IV- Torseurs
1 - Introduction
Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide
indéformable, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu'ils subissent
de la part d'un environnement extérieur. Un certain nombre de vecteurs utilisés en mécanique
sont des moments : moment d'une force, moment cinétique, moment dynamique. Les champs
vectoriels utilisés en mécanique (moment d'une force, moment cinétique, moment dynamique..)
possèdent des propriétés communes, d’où l’intérêt d’être modélisés par un même objet
mathématique appelé « torseur
».
2- Application antisymétrique
Définition: : E E
( )
est antisymétrique , E; ( ) = - ( )
Exemple: a: E E
(où est un vecteur donné non nul).
Proposition : Si est antisymétrique, E tel que:
( ) = ( E)
Démonstration
Si [L] est la matrice associée à dans la base ( , , ), alors ( ) = [L]
avec
Considérons les produits scalaires suivants :
( ) = - ( ) = 0
( ) = 0
( ) = 0
( ) = - ( )
0
uM'Mu'OMuOM
u
u
u
v
u
v
v
u
u
a
u
a
R
u
R
u
u
ijk u
u
[ ]L
11 12 13
21 22 23
31 32 33
i
i
i
i 0
0
0
1
0
0
1
ii]L[
333231
232221
131211
11 0
j
j 22 0
k
k 33 0
i
j
ji
12
3231
2321
1312
21
3231
2321
1312
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 14
( ) = - ( )
( ) = - ( )
( ) = - ( )
Posons , et . Il en résulte :
( ) = [L]
avec
3- Champ antisymétrique
3-1 Définitions
Soit D un sous-ensemble de (D ). On appelle champ de vecteurs sur D, une application de
D dans E qui à M D E.
Notation: D E
M
Un champ de vecteurs est dit antisymétrique s’il existe une application antisymétrique
telle que M, N , on a la relation = + ( ).
Si est le vecteur associé à on aura = + , M, N .
Un champ de vecteurs est dit équiprojectif si M, N :
Propriété
Un champ de vecteurs est antisymétrique est équiprojectif.
Preuve
= +
Achever la démonstration dans l'autre sens.
i
j
ji 21 12
i
k
k
i 31 13
j
k
k
j 23 32
12 3 r 13 2 r 23 1 r
u
u
uR
urur
urur
urur
u
u
u
0rr
r0r
rr0
u]L[
y1x2
z1x3
z2y3
z
y
x
12
13
23
krjrirR 321
Mu
Mu
Mu
Nu
Mu
MN
R
Nu
Mu
MNR
Mu
MuMNNuMN
Mu
Mu
Nu
Mu
MNR
0
MNRMNMuMNNuMN
u(M)
u(N)
M
N
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 15
4- Torseurs
4-1 Définition
On appelle torseur [ ] un ensemble formé d’un champ de vecteurs antisymétrique et de
son vecteur .
Conséquence
Soit O et M quelconque, on a
Un torseur est donc caractérisé par la donnée de et de son champ en un point.
Notation: .
Les vecteurs et sont appelés les éléments de réduction du torseur [] en O ou ses
coordonnées en O.
Exemple: Le champ des moments d’un vecteur est un torseur.
Considérons un vecteur lié à un point A et M un point quelconque de . Le moment en
M de vérifie la relation :
= =
= + = +
Ainsi, le champ est antisymétrique. On peut donc lui associer un torseur avec
comme résultante.
4-2 Opération sur les torseurs
Addition des torseurs
Considérons les torseurs et .
Le champ possède la propriété suivante:
Il vérifie donc la propriété d’un torseur et caractérise la somme [ (O) ] = [1(O) ] + [2(O) ] .
Ses éléments de réduction en O sont :
Remarque:
- Cette loi d’addition est commutative et associative,
- Elle a un élément neutre: le torseur nul (résultante et moment nuls),
Mu
R
OMROuMu
R
R),O(u)O(
Ou
R
du torseurrésultante:R
Ointpoautorseurdumoment:Ou
F
F
FM
,M F∧MA
F∧AMMM
)''(
F∧→
A'M
F∧→
'MM
FM
,M F∧→
'MM
MM
F
111 R),O(u)O(
222 R),O(u)O(
MuMuMu 21
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) iqueantisymétrest champce:'MM∧RMu
'MM∧RMu'MM∧RMu'Mu'Mu'Mu
→
→
22
→
1121
+=
+++=+=
)O(u)O(u)O(u
RRR
21
21
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 16
- Tout torseur [ (O) ] a un torseur opposé .
Multiplication d’un torseur par un scalaire
[ (O) ] = [1(O) ] ;
Exercice : Vérifier que [1(O) ] est un torseur.
Comoment ou produit scalaire de deux torseurs
Considérons les deux torseurs:
considérons OO et examinons
Cette quantité, indépendante de O et par conséquent invariante, représente par définition le
produit scalaire (on utilise également la terminologie de comoment) des deux torseurs [1 ] et [2 ].
Définition du comoment:
Égalité de deux torseurs: [1 ] = [2 ] M ,
Conséquence: [1(O) ] = [2(O) ]
4-3 Invariant scalaire d’un torseur
Soit un torseur défini par ses coordonnées en O. La quantité ,
indépendante du point O, est appelée invariant scalaire ou automoment du torseur.
Preuve: ( O)
4-4 Axe central d’un torseur
Définition : On appelle axe central () d’un torseur avec , le lieu des
points P
tel que
Équation de ()
Soit P ()
R),O(u
)O(u)O(u
RR
1
1
222
111
R),O(u)O(
R),O(u)O(
)'O(uR)'O(uR 1221
'OORR'OORR)O(uR)O(uR
'OOR)O(uR'OOR)O(uR)'O(uR)'O(uR
12211221
1122211221
)O(uR)O(uR)O()O( 122121
)M(u)M(u
et
RR
21
21
)O(u)O(u
RR
21
21
R),O(u)O(
)O(uRI
'OOR)O(u)'O(u
I
0
OORROuROuR
')()'(
R),O(u)O(
0R
0R)P(u
0R)P(u
0ROPR)O(u
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 17
Multiplions vectoriellement () par
Donc tel que
Ainsi, si P à l’axe central (avec ).
Remarque:
L’axe central d’un torseur est la droite () de vecteur directeur et passant par le
point P0 tel que:
4-5 Classification des torseurs
Glisseur
Le torseur est un glisseur, si son invariant scalaire est nul.
et .
Remarque :
Sur l’axe central d’un glisseur, P () car et avec .
Couple : est un couple si . Le champ devient alors indépendant de
M.
Remarque :
Il n’existe pas d’axe central pour un couple.
Proposition: Le torseur peut se décomposer en la somme d’un glisseur
et d’un couple.
Démonstration :
N.B.: Cette décomposition n’est pas unique; il y a une infinité de décompositions possibles
qui dépendent du choix de O.
0ROPROPRR)O(u 2
R ( ) 0
0
R∧R)OP.R(-OP∧RRR∧)O(u∧R→→
2
=
=
+
0OPRR)O(uR 2
ROPRR)O(u 2
22 R
R)O(u
R
ROP
2R
)O(uRROP
R),O(u
R
20R
)O(uROP
R),O(u)O(
0)O(uRI
0R
0)P(u
)P(u//R
0)P(uR
0R
R),O(u)O(
0R
)M(u
R),O(u)O(
)]O(C[)]O(G[0),O(uR,0R),O(u)O(
CoupleGlisseur
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 18
2
Chapitre
Cinématique du Solide
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 19
Objectifs :
Décrire et analyser la nature du mouvement d’un système;
Différencier entre les vitesse linéaire et angulaire ;
Recenser le nombre de paramètres indépendants intervenant dans l’étude cinématique ;
Savoir choisir une base dans laquelle expliciter simplement le mouvement ;
Savoir mettre en œuvre les formules de changement de référentiel pour les vitesses et les
accélérations;
Déterminer le centre instantané de rotation ;
Savoir mettre en œuvre la condition de roulement sans glissement ;
Savoir analyser le mouvement instantané d’un solide et déterminer la base et la roulante.
René Descartes : (1596-1650) René Descartes a écrit les principes de la philosophie en 1644, dont l’objectif est de « donner des fondements rigoureux à la
philosophie». La physique cartésienne est fondée sur
l’identification de la matière avec la quantité géométrique : la pesanteur et le mouvement sont ramenés à une explication
mécaniste. Sa description du monde est essentiellement
cinématique, le mouvement se transmettant de proche en
proche par contact. Dans les Principes de la Philosophie, Descartes distingue la cause première de tous les mouvements
(Dieu, auteur de la nature), des causes secondes appelées les lois De la nature, qui régissent le mouvement des parties de la
matière.
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 20
CINÉMATIQUE DU SOLIDE
I. Approche historique
En mécanique, la cinématique (tiré du nom grec : kinêma) est l'étude des mouvements des
corps sans tenir compte des causes qui les produisent. Au côté de la notion d'espace qui fut
l'objet de la géométrie, la cinématique introduit en outre la notion du temps. On peut dater la
naissance de la cinématique moderne à l'allocution de Pierre Varignon en 1700 qui a démontré
qu’il est possible de déduire l’accélération de la vitesse instantanée à l'aide d'une simple
procédure de calcul différentiel.
II. Espace Repère-Solide rigide
1- Espace repère
On considère que l’espace dans lequel évoluent les systèmes est homogène (indépendant
du lieu), isotrope (indépendant de la direction) et euclidien (muni d’un produit scalaire). Il est
défini par l’association de l’horloge H et d’un repère R0 (O, b0).
L’existence du temps absolu H est unique.
O : origine du repère
b0 est une base orthonormée directe.
Un point M est en mouvement par rapport à R0 si ses coordonnées varient en fonction du
temps, i.e. :
On définit aussi:
La vitesse de M par rapport à R0 :
L’accélération de M par rapport à R0 :
2- Définition d’un solide rigide
Un solide rigide ou indéformable est un ensemble de points matériels dont les distances
mutuelles restent constantes au cours du temps.
Soient A et B deux points d'un solide (S).
000 k,j,i
)t(z
)t(y
)t(x
OM
0R
0
→
dt
OMd)R/M(v =
0R
2
2
0R
00
dt
OMd
dt
)R/M(vd)R/M(
AB
(S)(R)
io
jo
ko
O
(R) lié à (S)
(Ro)
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 21
(c’est le carré de la distance entre les points A et B), alors que peut dépendre du
temps par sa direction.
En effet: (vecteur variable)
Or
III. Notion des Champs des Vitesse et des Accélérations
1-Introduction
En mécanique du point matériel (sans dimension), il est impossible de lui concevoir un
mouvement de rotation propre. Par contre, pour la mécanique du solide, ce dernier peut effectuer
une rotation sur lui-même, elle est définissable et mesurable. D’où l’intérêt de l’introduction de
la notion des champs des vitesses et des accélérations afin de décrire et de modéliser les rotations
de l'objet sur lui-même.
2-Champ des vitesses d’un solide
Pour un solide on a A, B (S)
Donc ou bien
On déduit que le champ des vitesses d’un solide est équiprojectif et par conséquent c’est un champ
antisymétrique. Ainsi, tel que
Soit R un repère lié au solide. En utilisant la relation
, on voit que n'est autre que le vecteur rotation instantané de
R par rapport à R0.
Le champ des vitesses d’un solide est donc un torseur, on l’appelle torseur cinématique. Ses
éléments de réduction (ou coordonnées) au point A sont:
On le note [ (A)] =
3- Champ des accélérations d’un solide
Pour A, B (S) on a
En dérivant cette relation par rapport au temps on obtient:
cteAB2
AB
)t(OA)t(OBAB
cteABABAB2
0dt
ABdAB
0dt
ABdAB
0)R/A(v)R/B(vAB 00
)R/A(vAB)R/B(vAB 00
AB)R/A(v)R/B(v 00
AB)R/R(dt
ABd
dt
ABd0R0R
R dans fixeest ABcar 0
dt
ABdR
momentvecteurson:)R/A(v
résultante sa:)R/S(
0
0
)R/S(),R/A(v 00
AB)R/A(v)R/B(v 00
)o
(A/Rv)o
(B/RvΩABdt
Ωd)
o(A/Rγ)
o(B/Rγ
0R
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 22
Finalement
En général, le terme n’est pas nul. Par conséquent, le champ des
accélérations d’un solide n’est pas un torseur.
IV. Mouvements de translation-rotation-tangent
1- Mouvement de translation
Le solide (S) est animé d’un mouvement de translation par rapport à R0 si , t.
Il en résulte que A, B (S),
De plus, dans un mouvement de translation on a:
et t (le vecteur reste équipollent à lui même)
Dans ce cas [ (A)] = : dans un mouvement de translation, le torseur
cinématique est un couple.
2- Rotation d’un solide autour d’un axe fixe
Supposons que (S) est en mouvement de rotation autour d’un axe (), fixe dans R0 (de
manière instantanée ou permanente).
Soit A un point appartenant à () (on retiendra comme remarque le fait
que tous les points fictifs ou géométriques appartenant à l’axe de rotation sont considérés
comme des points du solide et peuvent être utilisés dans les relations de transfert).
Soit M un point (S) alors:
, avec (si non le solide serait au repos).
L’invariant scalaire
Dans un mouvement de rotation autour d’un axe fixe (), le torseur cinématique est un glisseur
[ ].
Appelons () l’axe central du torseur cinématique et () l’axe de rotation du solide.
Proposition: Les axes () et () sont confondus.
)AB(ABdt
d)R/A()R/B(
0R
00
AB)AB(ABdt
d)R/A()R/B( 2
R
00
0
AB)AB( 2
0S/R 0
)R/A(v)R/B(v 00
BAAB BBAA AB
]0),R/A(v[ 0
0)R/A(v 0
AM)R/S(
0
)R/A(v)R/M(v 000
0)R/S( 0
0)R/S()R/M(vI 00
io
jo
ko
O
(Ro)
AB
(S)(R)
A"
B"
(S)(R)
B'
A'
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 23
Démonstration: A (), on a
A ()
() ()
Remarques
Lorsqu’il s’agit d’une rotation de (S) autour d’un axe () on retient que:
- le torseur cinématique est un glisseur;
- l’axe de rotation du solide est l’axe central du glisseur;
- [ (A)] = si A ();
- [ (B)] = si B ().
3- Mouvement hélicoïdal
Dans un mouvement hélicoïdal, tout point M (S) tourne autour d’un axe () et, en même
temps, se déplace suivant cet axe.
Soit A un point de (S) appartenant à (). On a:
Schématisation - Interprétation
D’après la figure, le point P représente la projection de M sur le plan (). Ainsi, on a:
L’invariant scalaire n’est pas nul dans un mouvement hélicoïdal.
4- Mouvement général d’un solide : Mouvement tangent
A, B (S), on a la relation de transfert suivante:
Si, à un instant t donné, , et on dira alors, qu’à cet instant,
le mouvement du solide est tangent à une translation.
0)R/A(v 0
0)R/S()R/A(v 00
)]R/S(,0[ 0
)]R/S(),R/B(v[ 00
rotation
AM)R/S(
ntranslatio
)R/A(v)R/M(v 000
OPOHHMOHOM
axel'deautourrotation
HM∧)R/S(
axel' de long lentranslatio
)R/H(v
OP∧)R/S()R/H(v
)R/P(v)R/H(v)R/M(v
00
00
000
+=
+=
+=
AB)R/S()R/A(v)R/B(v 000
0)R/S( 0
)R/A(v)R/B(v 00
A
V(A/Ro)
MH
P
O
V(H/Ro)
(S/Ro)
P est animé d'un mouvement
de rotation autour de ()
M reste à une
distance fixe de ()
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 24
Si, à un instant t donné , on dira alors, qu’à cet instant, le torseur cinématique
admet un axe central ().
Soit H () on a:
Si , on dira que le mouvement du solide est tangent à une rotation d'axe
().
Si le mouvement du solide est dit tangent à un mouvement hélicoïdal ayant
() comme axe instantané de rotation.
IV- Composition des Mouvements Il s’agit de déterminer le mouvement du solide par rapport à un repère R0, sachant que son
mouvement est connu par rapport à un repère R1.
Considérons: R0 (O, , , ) un repère absolu (repère fixe);
R1 (O1, , , ) un repère mobile (repère relatif);
R (G, , , ) un repère lié au solide.
1- Dérivation vectorielle
Soient A et B deux points , fixes dans R1 est un vecteur constant dans R1.
Puisque, par définition, un repère d’espace est un ensemble de points dont les distances
mutuelles sont invariables dans le temps, on appelle également ce repère un solide de référence.
Conséquences
, et
Considérons maintenant A, B , mobiles dans R1
On peut obtenir le vecteur dérivé de dans R0 en prenant en
considération le fait que les vecteurs varient dans ce repère.
0)R/S( 0
HA)R/S()R/S(
HA)R/S()R/H(v)R/A(v
00
000
0)R/H(v 0
0)R/H(v 0
0i
0j
0k
1i
1j
1k
i
j
k
AB
AB)R/R()R/A(v)R/B(vdt
ABd0100
R0
101
R
1 i)R/R(dt
id
0
101
R
1 j)R/R(dt
jd
0
101
R
1 k)R/R(dt
kd
0
111 k)t(j)t(i)t(AB
111
1R
k)t(j)t(i)t(dt
ABd
111 k)t(j)t(i)t(AB
111 k,j,i
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 25
: Ce résultat est général
2- Composition des vitesses
Soit M (S), on peut écrire
: vitesse absolue du point M
: vitesse relative du point M
: vitesse d’entraînement du point M.
Remarque :
La vitesse d’entraînement s’interprète comme étant la vitesse absolue d’un point Me fixe dans R1
et coïncidant avec M à l’instant t.
3- Composition des vecteurs rotations
On a : (1)
(2)
(3)
En éliminant entre les équations (1) et (2), on obtient:
(4)
En comparant (2) et (4) on déduit que :
On peut généraliser cette dernière relation à plusieurs repères:
0R1
0R1
0R1
1R0Rdt
kd)t(
dt
jd)t(
dt
id)t(
dt
ABd
dt
ABd
AB)R/R(dt
ABd
dt
ABd01
RR 10
MOOOOM 11
MO)R/R(dt
MOd)R/O(v
dt
MOd)R/O(v)R/M(v 101
R
101
R
1010
10
)M(v)M(vMO∧)R/R()R/O(v)R/M(v)R/M(v er1010110
)R/M(v)M(v 0a
)R/M(v)M(v 1r
MO)R/R()R/O(v)M(v 10101e
AB)R/R(dt
ABd
dt
ABd01RR 10
AB)R/R(dt
ABd
dt
ABd0RR1
AB)R/R(dt
ABd
dt
ABd0RR0
1Rdt
ABd
AB)R/R()R/R(dt
ABd
dt
ABd011RR0
)R/R()R/S()R/S( 0110
)R/R()R/R()R/R()R/R()R/S()R/S( 0nn1n322110
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 26
4- Composition des accélérations
Considérons M (S) et utilisons la loi de composition des vitesses:
En dérivant cette expression par rapport à t dans R0, on obtient:
En définitive on obtient:
V- Cinématique des solides en contact
Considérons deux solides (S1) et (S2) en mouvement par rapport à un référentiel R0 (O, ,
, ) de manière à ce que leurs surfaces restent en contact ponctuel.
A chaque instant, on doit distinguer 3 points confondus dont les vitesses et les
accélérations sont différentes en général :
- le point matériel I1 (I1 S1);
- le point matériel I2 (I2 S2);
- le point géométrique I ( non lié ).
era v
MO)R/R()R/O(v
v
)R/M(v
v
)R/M(v 1010110
000 R
1011
R
01
01
R
10
dt
MOd)R/R(MO
dt
)R/R(d)R/O(
dt
)R/M(vd)R/M(
MO)R/R()R/M(vdt
MOd1011
R
1
0
)R/M(v)R/R()R/M()R/M(v)R/R(dt
)R/M(vd
dt
)R/M(vd1011101
R
1
R
1
10
)MO∧(∧MO∧dt
d)R/O()R/M(v∧)R/R(2)R/M()R/M( 11
R
0110110
0
++++=
)M()M()M()M()R/M( ecra0
ntentraînemed'on accélérati :)MO(MOdt
d)R/O()M(
Coriolis deon accélérati :)R/M(v)R/R(2)M(
relativeon accélérati:)R/M()M(
11
0R
01e
101c
1r
0i
0j
0k
io
jo
ko
O
(Ro)
(R2)
(R1)
(S1)
(S2)
I1
I2
I
O1
O2
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 27
Au cours du temps, le point I est confondu avec les différents points matériels de contact.
1- Vitesse de glissement
Le glissement décrit un mouvement relatif entre deux solides en contact.
.
Définition
On appelle vitesse de glissement de (S1) sur (S2), la vitesse de I1 par rapport à (S2).
Notation: (I1 S1 et R2 lié à S2)
Autres expressions de cette vitesse ?
Considérons R0 absolu et R2 relatif et cherchons
Or:
En définitive:
De manière plus générale:
( le repère R)
C’est une vitesse indépendante du repère par rapport auquel (S1) et (S2) sont en mouvement, et
elle est contenue dans le plan tangent () commun à (S1) et (S2).
Démonstration
La loi de composition des vitesses nous permet d’écrire :
(R1 relatif)
(R2 relatif)
Or :
Cas particulier
Lorsque la vitesse de glissement est nulle, on dit qu’il y a absence de glissement.
)R/I(v)S/I(v)S/S(v 212121g
==
)I(v)I(v)R/I(v 1e1r01
)S/S(v)R/I(v)I(v 21g211r
21020202
021202021e
OI)R/R()R/I(v)R/O(v
)R/I(vIO)R/R()R/O(v)I(v
)R/I(v)I(v 021e
)R/I(v)R/I(v)R/I(v 022101
)S/S(v)R/I(v)R/I(v)R/I(v 21g020121
)R/I(v)R/I(vdt
IId)S/S(v 21
R
1221g
)R/I()I(
IO∧)R/R()R/O(v)R/I(v)R/I(v
01vev
1010110
)R/I(v)R/I(v)R/I(v 0110
)R/I(v)R/I(v)R/I(v 0220
∈
)R/I(v
π∈
)R/I(v)R/I(v)R/I(v)S/S(v 12020121g ==
O
(Ro)(S1)
(S2)
I1
I2
I
jo
ko
io
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 28
( R0)
Si l’on choisit R1 ou R2 comme repères de travail on aura:
2- Roulement et pivotement
Soit M S1, la relation de transfert du torseur cinématique
Le vecteur peut être décomposé comme suit:
Le vecteur exprime une rotation instantanée autour d’un axe du plan tangent; il caractérise le
roulement de (S1) / (S2).
Le vecteur exprime une rotation instantanée autour d’un axe au plan tangent; il caractérise
le pivotement de (S1)/(S2). Ainsi, /( ) est la vitesse angulaire de roulement/(pivotement).
Finalement: .
Remarque
Lorsque la vitesse de glissement est nulle, on dit qu’il y a roulement et pivotement.
VI- Mouvement plan d’un solide
1- Définition
On appelle mouvement plan d’un solide (S), un mouvement tel que chaque point de (S) se
déplace dans un plan parallèle à un plan fixe (0) dans le référentiel considéré R0.
Exemple:
- Cas d’un disque vertical évoluant sur un axe.
Les vecteurs de base restent constamment
dans le plan x0Oy0.
Considérons deux points M et M de (S) évoluant dans un même plan () parallèle à (0) .
()
L’invariant scalaire et le torseur cinématique est un glisseur dans ce
cas.
)R/I(v)R/I(v0)S/S(v 020121g
)R/I(v)R/I(v 0201
0)R/I(v)R/I(v)R/I(v)R/I(v 22211211
MI)S/S()S/I(v)S/M(v 121212
MI)S/S()S/S(v)S/M(v 12121g2
)S/S( 21
nt21 )S/S(
)(plan au normale )S/S( de composante :
)(plan le danscontenu )S/S( de composante :
21n
21t
t
n
t
n
pivotementdevitesse
MI∧
roulementdevitesse
MI∧
glissementdevitesse
)S/S(v)S/M(v 1n1t21g2 ++=
)j,i(
MM)R/S()R/M(v)R/M(v 000 )R/S( 0
0)R/S()R/M(vI 00
(S1)
(S2)
( / )S S1 2
t
n
GO
j
0
i
0
j
i
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 29
(I point commun à () et ()).
Le mouvement plan peut s’interpréter comme étant une rotation (instantanée) pure autour
de l’axe () à () en I avec I appartenant à l’axe central () du glisseur (l'axe () peut changer
avec le temps).
2- Centre instantané de rotation (C.I.R.)
L'axe instantané de rotation est un terme utilisé en mécanique classique et plus
particulièrement en cinématique pour désigner l'axe autour duquel tourne un solide à un instant
donné par rapport à un référentiel. Si l'on peut utiliser la simplification des problèmes plans, on
parle alors du centre instantané de rotation (CIR).
C’est un point lié à (S) par nature et admettant une vitesse nulle dans R0 à l’instant
considéré.
Le point I () () est le centre instantané de rotation.
Preuve
car I est lié à S
car I (), axe fixe dans R0
Exemple
Cas d’une roue en rotation autour d’un axe fixe au plan de la roue et passant par son centre de
masse G. Le point G est de nature lié à (S) et G C.I.R.
Remarques :
- I est donc un point central du torseur cinématique de S par rapport à R0. Le C.I.R
correspond donc à l'intersection de l'axe central du torseur cinématique de S/R avec le
plan d'évolution du solide S.
- Le CIR est "instantané", c'est à dire que, dans le cas général, sa position est attachée à un
instant donnée et à une position particulière du mécanisme.
- Le CIR peut être un point défini en dehors de la limite matérielle du solide S.
3- Base et roulante-Étude analytique
Par définition, la base est le lieu des C.I.R. dans R0 lorsque t varie et la roulante est le lieu
des C.I.R. dans R (lié à S) lorsque t varie.
IM)R/S(
0
)R/I(v)R/M(v 000
MI)R/S(
0
)R/I(v)R/M(v 000
0)S/I(v
0)R/I(v 0
0)R/G(v 0
G
j
0
i
0
v M R
( / )0
v M R
( / )0
(S1)
I
( / )S R0v M R
( / )0
M
M'v M R
( / )0
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 30
Soit M (S)
(x et y sont des constantes)
O1 (S)
(1)
et
On retrouve :
Le C.I.R. est tel que et
Considérons I qui présente ces caractéristiques au lieu de M.
Dans le repère R0 :
avec
(2)
Ce sont les équations paramétriques de la roulante.
Équations paramétriques de la base :
Compte tenu des équations (1) et (2) on a:
: Ce sont les équations paramétriques de la base.
Remarque: Ces équations sont utiles quand la détermination graphique du C.I.R. n’est pas
évidente.
Exemple
Cas d’une barre glissant sur les axes de R0.
La base?
OI = AB = cte la base est le cercle de centre O et de rayon AB.
Mx
ydansR
Mx
ydansR
0
0
0
jyixjijyixMOOOOM 00000011
00
00
jcosisinj
jsinicosi
cosysinxy
sinycosxx
0
0
)sinycosx(dt
d
dt
dy
)cosysinx(dt
d
dt
dx
0
0
00 k)R/S(
)M(vMO)R/S()R/O(v)R/M(v e10010
0)R/I(v 0
0)R/I(v
0)sinycosx(dt
d
dt
dy
0)cosysinx(dt
d
dt
dx
0
0
d
dt
0
0)sinycosx(dt
d
0)cosysinx(dt
d
x x
y y
( )
( )
xd
d
yd
d
0
0
Oxo
yo
O1
dans R0
x
yM
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 31
La roulante?
GI = AB/2 = cte la roulante est le cercle de centre G et de rayon AB/2.
Méthode analytique
D’après la figure, on a : + = /2 = /2 -
Composantes de G dans R0 de base
Équation paramétrique de la roulante:
: équation d’un cercle de centre G et de rayon r = /2.
Équation paramétrique de la base:
: équation d’un cercle de centre O et de
rayon
Autre exemple
Détermination graphique de la position du CIR, I, dans le cas d’un disque se déplaçant dans un
plan vertical.
Pour les 3 cas de figures, si on utilise le CIR, I, dans les relations de transfert, on obtient :
est proportionnel à IM i.e. .
cos2
sin2
sin2
cos2
OG
)j,i( 00
d
dx y x y
d
dx y x y
( sin cos ) cos ( sin cos )
( cos sin ) sin ( cos sin )
20
20
x y
x y
sin cos cos
cos sin sin
2
2
x y2 22
4
xd
d
yd
d
0
0
2 2
2 2
sin sin sin
cos cos cos
x y0
2
0
2 2
IM)R/R()R/M(v 00
)R/M(v 0
IM)R/M(v 0
Oxo
yo
j
0
i
0
j
i
G
IA
B
v A R
( / )0
v R
( / )B 0
u
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 32
RSG : I1 ≡ I RAG : I au disque RAG : I au disque
(grande vitesse de rotation) (faible vitesse de rotation)
0)R/I(v)R/I(v 001
0)R/I(v 01
≠ 0)R/I(v 01
≠
Iv I R
( / )1 0
G
v M R
( / )0
yo
xo
I1
IG
v M R
( / )0
yo
xo
I1
G
v M R
( / )0
yo
xo
I1
v G R
( / )0v G R
( / )0 v G R
( / )0
v I R
( / )1 0
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 33
3
Chapitre
Géométrie des Masses
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 34
Objectifs : Savoir calculer et commenter la matrice d’inertie ;
Savoir déterminer le repère et l’axe principal d’inertie ;
Déterminer et différencier entre centre de masse et centre d’inertie ;
Comprendre la notion de moment d’inertie ;
Savoir appliquer le théorème de Guldin .
Roger Josef Boscovich : (1711-1787) Pour R.J. Boscovich, les corps ne sont continus qu’en
apparence, en réalité, ils sont formés de points matériels isolés ; « un corps continus soit un concept intuitif, primitif, on peut toujours le penser comme un ensemble de points matériels, liés
entre eux par des liens sans masse, de telle sorte que la masse totale soit la somme de la masse des tous les points, et que la
forme, donc la disposition des ces points, soit garantie par le
"squelette" des liens imaginaires ».
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 35
GÉOMÉTRIE DES MASSES
I. Approche historique
La notion de barycentre est utilisée en physique, et en particulier en mécanique et en
astronomie, pour simplifier l'étude du mouvement d’un système. Le premier à avoir étudié le
barycentre en tant que centre des poids (ce qu'on appelle de nos jours le centre de gravité) est le
mathématicien et physicien Archimède. Il est un des premiers à comprendre et expliciter le
principe des moments, le principe des leviers et le principe du barycentre. Il écrit dans son traité
sur le centre de gravité de surface plane : « Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en
lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré ».
Il est le premier à avoir
cherché des centres de gravité de surface comme des demi-disques, des paraboles. Il procède par
approximations successives et a pu prouver que la recherche d'un centre de gravité utilise des
méthodes analogues à celle du calcul d'aire. Par la suite, sur la base de ses travaux, Guldin à
développé les deux théorèmes portant son nom.
II. Masse - Centre de Masse
1- Définition
La mécanique classique associe à tout corps matériel une grandeur qui représente sa masse notée
m. La masse vérifie les trois axiomes suivants:
Positivité: le système matériel (S), m(S) 0;
Additivité: la fragmentation de (S) en sous-systèmes (Si), m(S) = im(Si);
Invariabilité: La masse de tout système est invariante dans tout mouvement de ce système
(vitesses très faibles devant la célérité de la lumière).
Si (S) est un corps continu, sa masse est l’une des intégrales suivantes:
: intégrale de volume (distribution volumique de la masse)
: intégrale de surface ( une dimension négligeable devant les deux autres)
: intégrale de ligne (deux dimensions négligeables devant la troisième)
Pour toutes ces intégrales, l’élément de masse dm contient le point P. Les quantités (P), (P) et
(P) sont appelées respectivement masse volumique locale, masse surfacique locale et masse
linéique locale.
S’il s’agit de corps homogènes alors (P) = cte, (P) = cte et (P) = cte.
Point matériel: c’est un point géométrique affecté d’une masse m. La masse spécifique ne peut
être définie dans ce cas.
VS
dv)P(dmm
ds)P(dmm
S
d)P(dmm
S
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 36
2- Centre de masse
On l’appelle également centre d’inertie ou centre de gravité et on le note G en général.
Définitions
Système discret: Dans le cas de n point matériels Pi de masse mi on a:
: O est un point quelconque de l’espace
Si O G on aura:
Système continu:
, avec dm désignant un élément de masse autour du point P et
.
Si O G on aura :
Remarque
Si (S) = (S1) + (S2) + …+ (Sn) alors
avec mi = mi(Si), i = 1, 2, …., n et
3- Théorème de Guldin
Les méthodes pratiques de recherche de G dans le cas de corps homogènes :
a- Quand c’est possible, on décompose le système en éléments plus simples dont on
connaît les centres de masse, puis on détermine le barycentre de ceux-ci (exemple : centre de
masse du système sphère - cylindre).
b- Utiliser les symétries du système lorsqu’elles existent : le centre de masse appartient
aux éléments de symétrie.
c- Lorsqu’il s’agit de déterminer les centres de masse d’arcs, de courbes planes ou de
surfaces planes on regarde s’il y a une possibilité d’utiliser un des deux théorèmes de Guldin.
3-1 Théorème 1
AB est une courbe homogène située dans le plan xOy.
Une rotation de AB autour de Oy/(Ox) engendre une surface Sy/(Sx). La rotation autour de Oy du
petit élément , construit autour de P, engendre une surface
m S OG m OPi i
i
n
( )
1
i
i
i
i )S(mm)S(m
m GPi i
i
n
01
mOG OP dmS
( )
m dmS
( )
0dmGP)S(
mOG m OGi i
i
n
1
∑n
1i
imm
d dS xdy 2
AB
y xd2S
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 37
La rotation du même élément autour de Ox engendre la surface
Le centre de masse G de (AB) est tel que .
Par projection dans le plan xOy:
et
Exemple d’application
Détermination du centre de masse G d’un quart de cercle de rayon R.
Sy = 2R2, Sx = 2R
2 (surface d’une demi-sphère)
d’où et
3-2 Théorème II
Soit (S) une surface plane située dans le plan xOy.
Une rotation de l’élément dS autour de Oy engendre le volume élémentaire dVy = 2xdS
De même, une rotation de dS autour de Ox engendre le volume élémentaire dVx = 2ydS
Comme
Par projection on aura :
dS ydx 2 S ydx
AB
2
mOG OP dmAB
L OG OP dAB
xL
xdS
LG
AB
y
1
2
y
Lyd
S
LG
AB
x 1
2
2
R
4
R2L)AB(
xS
L
RG
y
2
2
y
S
L
RG
x 2
2
SS
yy xdS2dVV
SS
xx ydS2dVV
mOG OP dmS
)S(
dSOPS
1OG
xS
xdSV
SG
S
y
1
2y
SydS
V
SG
S
x 1
2
x
y
O B
A
G
y
x
dS
Py
xO
x
O
y
y
B
A
P( )x
y
x
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 38
Exemple: Détermination du centre de masse d’un quart de disque homogène de rayon R
et
4- Centre de masse de volume ou de surface homogènes présentant un axe de révolution
Exemple: Cas d’un demi-disque homogène de rayon R.
Ce demi-disque est l’union de deux quarts de disque. Le centre de masse G est tel que :
xG = 0 et yG = 4R/3
Calcul direct de G
Par raison de symétrie, l’élément de surface de côte y et d’épaisseur dy, admet P comme
centre de masse tel que:
avec dm = 2rdy et m = S
r = Rcos
y = Rsin dy = Rcosd
III. Moment d’inertie - Opérateur d’inertie
1- Définitions
La notion de moment d'inertie présente un grand intérêt sur le plan de la véritable histoire
de la mécanique et sur celui de la philosophie et de ses principes. C'est en 1673 que Huygens,
dans la solution du problème du centre d'oscillation du pendule composé (livre : Traité du
Pendule), fit apparaître pour la première fois une quantité de la forme 𝑚𝑟2 . C'est en 1810-1811
que cette quantité intervint pour la première fois sous le nom de moment d'inertie, et d'une
3
R4
4
R2
R3
2
S2
Vx
2
3
y
G
3
R4
4
R2
R3
2
S2
Vy
2
3
xG
OG)mm(OGmOGm 212211
mOG OP dmS
my ydmG
S
3
R4dsincosR
S
2rydy
S
2y
2
0
23
S
G
x
y
O
G2 G1
x
O
yx=
y=
4R
4R
x=-
y=
4R
4R
G1
G2
x
y
O
P
R
r
z
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 39
manière officielle et systématique, dans l'enseignement de la Mécanique des solides
indéformables
Concernant la signification physique, le moment d'inertie est une grandeur qui caractérise
la géométrie des masses d'un solide, c'est-à-dire la répartition de la matière en son sein. Il
quantifie également la résistance à une mise en rotation de ce solide (ou plus généralement à une
accélération angulaire).
2- Moment d’inertie
On peut définir la distance de M par rapport à un point O, une droite () ou un plan (). Il leur
correspond respectivement des moments d’inertie par rapport à un point, un axe ou un plan. Ils
sont définis par r2dm, avec r désignant la distance du point M, de masse dm, par rapport au point
O, à l’axe () ou au plan ().
Pour le solide c’est
Notations: I(O, S), I(, S) et I(, S) ou simplement Io, I et I.
Considérons le cas de la figure ci-contre:
Soit un élément de masse dm autour de M (S).
La distance entre M et le plan xOy est z.
Le moment d’inertie de M par rapport à ce plan est z2dm
Le moment d’inertie de S par rapport à xOy est
Par simple permutation, on aura
et
Le carré de la distance de M par rapport à Oz est (Om)2 = x
2 + y
2
De même : et
Le carré de la distance entre les points M et O est (OM)2 = x
2 + y
2 + z
2
: c’est le moment d’inertie de S par rapport au point O.
Les relations entre ces grandeurs :On peut écrire
x2 + y
2 + z
2 = ( x
2 ) + ( y
2 ) + ( z
2 ) I(O,S) = I(yOz, S) + I(xOz, S) + I(xOy, S)
x2 + y
2 + z
2 = 1/2[(x
2 + y
2) + (x
2 + z
2) + (y
2 + z
2)]
I(O,S) = 1/2[I(Oz, S) + I(Oy, S) + I(Ox, S)]
r dmS
2
( )
I xOy S z dmS
( , ) 2
I xOz S y dmS
( , ) 2 I yOz S x dm
S
( , ) 2
S
22 dm)yx()S,Oz(I
I Ox S y z dmS
( , ) ( ) 2 2 I Oy S x z dm
S
( , ) ( ) 2 2
S
222 dm)zyx()S,O(I
z
x
z y
y
x
M
m
O
(S)
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 40
x2 + y
2 + z
2 = (x
2 + y
2) + z
2 = (x
2 + z
2) + y
2 = x
2 + (y
2 + z
2)
I(O,S) = I(Oz, S) + I(xOy, S) = I(Oy, S) + I(xOz, S) = I(yOz, S) + I(Ox, S)]
3- Opérateur d’inertie en un point O
Considérons l’axe () passant par O et de vecteur unitaire : I(, M) = r2dm et
D’après la figure on a:
Donc :
Par permutation circulaire on obtient:
I(, S) = multiplié scalairement par une certaine opération faite sur le vecteur .
On symbolise cette opération par un opérateur appelé opérateur d’inertie en O et noté J(O,S).
Cet opérateur a les dimensions d’un moment d'inertie (kgm2).
On pose
Finalement on a:
L’opérateur J(O, S) dépend du point O puisque les distances sont mesurées par .
Considérons l’application de E E
J(O,S)( )
J(O,S) est une application linéaire
J(O,S) est une application symétrique i.e.
u
I S r dmS
( , ) 2
OMusinuOMsinOMr
)
3
OM
2
u()
1
OMu(OMur2
2
)]OMu(OM[uu)]OMu(OM[r2
SS
2 dm)]OMu(OM[udmr)S,(I
u
u
S
dm)]OMu(OM[)u)(S,O(J
I S u J O S u( , ) ( , )( )
OM
u
u
vS,OJuuS,OJv?
z
x
O y
M
(S)
u
r
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 41
Démonstration
J(O,S)( ) =
=
= J(O,S)( )
IV- Matrice d’inertie-Matrice principal d’inertie
1- Matrice d’inertie
Soit b = ( , , ) une base orthonormée directe de E.
A l’opérateur J(O,S), on peut associer une matrice dans cette base.
= x + y + z , avec M (S).
Finalement:
Habituellement, les moments d’inertie du solide par rapport aux 3 axes sont notés A, B et C, les
autres termes, notés D, E et F, sont appelés les produits d’inertie.
Les termes A, B, C 0 alors que D, E, F ou 0.
Considérons = + + ( vecteur unitaire: alors on a :
I(,S) = J(O,S)( ) = ( + + )[J(O,S) ( )+J(O,S)( )+ J(O,S)( )]
= ( + + )[(A -F -E )+ (-F +B -D )+(-E -D +C )]
Soit: I(,S) = 2A +
2B +
2C - 2D - 2E - 2F
De la relation de J(O,S)( ), on peut déduire que l’on passe de à J(O,S)( ) par une
application linéaire représentée, dans la base b, par la matrice symétrique (33) suivante:
v
u
SSS
dm)OMv()OMu(dm)]OMu(OM[vdm)]OMu(OM[v
SS
dm)]OMv(OM[udmu)]OMv(OM[
u
v
i
j
k
OM
i
j
k
SS
dm)]jzky()kzjyix[(dm)]OMi(OM[)i)(S,O(J
SSS
22
S
22 dmkxzdmjxydmi)zy(dm)iziykxzjxy()i)(S,O(J
kIjIiI)k)(S,O(J
kIjIiI)j)(S,O(J
kIjIiI)i)(S,O(J
Ozyzxz
yzOyxy
xzxyOx
A I y z dmOx
S
( )2 2 B I x z dmOy
S
( )2 2 C I x y dmOz
S
( )2 2
S
yzdmD S
xzdmE S
xydmF
u
i
j
k
u
)1222
u
u
i
j
k
i
j
k
i
j
k
i
j
k
i
j
k
i
j
k
u
u
u
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 42
: matrice d’inertie ou tenseur d’inertie en O dans la base b.
C’est la représentation de l’opérateur d’inertie dans la base de projection.
La connaissance de la matrice d’inertie en O permet de déduire facilement les composantes du
vecteur J(O,S)( ):
I(,S) = I = J(O,S)( ) = =
2A+
2B+
2C-2D-2E-2F
Remarque
Dans la représentation matricielle, l’écriture de I est une écriture symbolique qui présente
l’avantage de la simplicité et de la commodité.
2- Matrice principale d’inertie:
Lorsque les produits d’inertie de la matrice II(O,S) sont nuls dans la base b, le repère R(O, , ,
) sera appelé repère principal d’inertie, ses axes sont les axes principaux d’inertie et la matrice
II(O,S) est la matrice principale d’inertie.
dans une base principale d’inertie b ( , , )
Examinons les trois cas suivants:
Lorsque les trois éléments de la diagonale sont distincts (A B C), il existe un seul
repère principal d’inertie.
Lorsque deux parmi les trois éléments de la diagonale sont identiques et différents du
troisième (exemple A = B C), il existe une infinité de repères principaux d’inertie ayant l’axe
Oz en commun (symétrie cylindrique).
Lorsque les éléments de la diagonale sont identiques (A = B = C), toute direction
passant par O est une direction principale d’inertie et tout repère ayant O comme origine est un
repère principal d’inertie. On dira alors que l’opérateur est sphérique (symétrie sphérique).
II O S
A F E
F B D
E D C
( , )
u
)13()u)(S,O(Jdescomposante
CDE
DBF
EFA
)13(udescomposante
)33(inertie'dmatrice
CDE
DBF
EFA
u
u
)13(
CDE
DBF
EFA
)31(
i
j
k
II O S
A
B
C
( , )
0 0
0 0
0 0
i
j
k
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 43
Examinons les deux cas de symétrie suivants:
a- Le plan xOy est un plan de symétrie pour le système.
Conclusion
Tous les termes d’inertie en z sont nuls tout axe à un plan de symétrie matérielle est un axe
principal d’inertie.
b- L’axe Oz est un axe de symétrie matérielle pour (S)
En regroupant 2 à 2 les éléments qui ont le même côte z (xzdm et (-x)zdm; yzdm et (-y)zdm),
ces éléments ont respectivement des x et des y opposés Ixz = Iyz = 0
Conclusion
Tout axe de symétrie matérielle est un axe principal d’inertie.
En résumé:
- Tout repère orthonormé dont deux de ses plans sont des plans de symétrie matérielle pour (S)
est un repère principal d’inertie.
- Tout repère dont deux de ses axes sont des axes de symétrie matricielle pour (S) est un repère
principal d’inertie.
V- Théorème de Huygens
1- Relation entre les opérateurs d’inertie d’un système en deux points
Soit M (S) de masse dm.
Considérons O et A deux points de et un vecteur unitaire d’un axe passant par O.
0E0xzdmI ∫S
xz
0D0yzdmI ∫S
yz
u
S
dm)]AMu(AM[)u)(S,A(J
SS
dm)]AMOA(u[)AMOA(dm)]OMu(OM[)u)(S,O(J
z
x
z
y
y
x
z
dIxz = (-x)zdm
dIxz = xzdm
dIyz = (-y)zdm
dIyz = yzdm
O
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 44
=
=
=
En définitive:
Si on considère A G, on aura:
On pose : opérateur d’inertie d’un point matériel se trouvant en G
et ayant pour masse la masse totale de (S).
Ainsi:
Pour la matrice d’inertie on aura:
II(O,S) = II(G,S) + II(O, mG) : c’est le théorème de Huygens généralisé.
Si = xG + yG + zG ,
2- Théorème de Huygens
Considérons le cas de la figure suivante:
On a: I(,S) = J(O,S)( ) = J(G,S)( ) + J(O,mG)( )
= I(G ,S) + m [ ( )]
= I(G ,S) + m( )( )
= I(G ,S) + m( )2
Théorème de Huygens classique
VI- Exemple de corps homogènes classiques
Quart de cercle matériel de rayon R
Le repère en question n’est pas un repère principal d’inertie; seuls les termes d’inertie en z sont
nuls ( z = 0 ).
SSSS
dm)]AMu(AM[dm)]OAu(AM[dm)]AMu(OA[dm)]OAu(OA[
SSS
dm)]AMu(AM[)OAu(]dmAM[]dmAMu[OA)OAu(OAm
)u)(S,A(J)OAu(AGm]AGu[OAm)OAu(OAm
)OAu(AGm)AGu(OAm)OAu(OAm)u)(S,A(J)u)(S,O(J
)OGu(OGm)u)(S,G(J)u)(S,O(J
)OGu(OGm)u)(m,O(J G
)u)(m,O(J)u)(S,G(J)u)(S,O(J G
OG
i
j
k
II O m m
y z x y x z
x y x z y z
x z y z x y
G
G G G G G G
G G G G G G
G G G G G G
( , )
2 2
2 2
2 2
u
u
u
u
u
u
u
OG
u
OG
u
OG
u
OG
u
OG
I S I S md GG , , , 2
G
xR
yR
G
G
2
2
z
x
y
G
O
u
G
d(G,)
x
y
R
M
zO
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 45
dIxy = xydm = R2cossindm = R
3 cossind
Opérateur d’inertie d’un quart de disque de rayon R.
La matrice d’inertie n’est pas diagonale.
dm = ds = rdrd et dIxy = xydm.
Cas d’un disque de rayon R
Le repère choisi est un repère principal d’inertie.
C mR x y dm x dm y dm 2 2 2 2 22 2
A y z dm y dmC mR
2 2 2
2
2 2
B x z dm x dmC mR
2 2 2
2
2 2
2
20
23
xy
mRsin
2
RI
II O S mR( , )
2
1
2
10
1 1
20
0 0 1
dI r dmr
drOz 232
4
C IR mR
Oz
2 4 2
4 2
A BC mR
2 4
2
x r
y r
cos
sin
2
mR
2
1
4
RdrdsincosrIF
24R
0
2
0
3xy
II O S mR( , )
2
1
4
1
20
1
2
1
40
0 01
2
x
y
r
zdrO
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 46
,
Cas d’un cylindre plein de rayon R de hauteur h
Le solide admet une symétrie cylindrique A = B C
Cas d’une sphère pleine de rayon R
Le solide admet une symétrie sphérique A = B = C.
(élément de volume sphérique)
drr2dmrdI 32Oz
2
mR
4
R2IC
24
Oz 4
mR
2
CBA
2
100
02
10
002
1
2
Rm)S,O(II
2
dm2
RdI
2
Oz
2
mRdm
2
RIC
22
Oz
xOy22
Ox I2
CdmzdmyIA
dI z dm R z dzxOy 2 2 2 IR h mh
xOy 2 3 2
3 4 12
12
mh
4
RmBA
22
IA B C
AO
2
3
2A IO
2
3
ddrdsinrdrrddsinrd 2
dI r dm r drd dO 2 4 sin
IR
mRO 5
2
52 2
3
5A I mRO
2
3
2
5
2
II O S mR( , )
2
5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2
r
y
xz
O
h
x
y
R
z
O
rd
x
y
z
aO
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 47
4
Chapitre
Cinétique du Solide
Système de freinage
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 48
Objectifs : Maitriser la notion du Torseur cinétique (quantité de mouvement, moment cinétique) ;
Maitriser la notion du Torseur dynamique (quantité d’accélération, moment dynamique) ;
Comprendre la notion de référentiel barycentrique ;
Comprendre et savoir appliquer le théorème de Koenig ;
Johan Samuel König (Koenig) : (1712-1757) Les travaux de Koening publié dans son livre « Elément de
géométrie contenant les six premiers livres d’Euclide »,
permettent le rapprochement des concepts de la cinématique
(vitesse, accélération) et ceux de la géométrie des masses
(centre de masse, moment d’inertie) donnant naissance à La
cinétique (appellée aussi cinématique des masses).
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 49
CINÉTIQUE DU SOLIDE
I. Introduction
Dans un modèle mécanique, les étapes qui suivent la modélisation du mouvement
(cinématique) et la géométrie des masses, consistent à formuler les principes de conservation
de la mécanique (dans le cadre de la cinématique retenue), conservation de la masse, de la
quantité de mouvement, de l’énergie. En effet, formuler pour les systèmes de solides
indéformables le principe fondamental de la dynamique, permettra de faire apparaître les
notions de torseur cinétique, de centre d’inertie et de tenseur d’inertie. Le rapprochement des
concepts de la cinématique (vitesse, accélération) et ceux de la géométrie des masses (centre
de masse, moment d’inertie) est l’objet de la cinétique du solide (ou cinématique des masses).
II. Définitions des cinq quantités cinétiques
Considérons R0(O, , , ) un repère fixe, M un point matériel de masse m, de vitesse
(M/R0) et d’accélération (M/R0). Pour ce point matériel, on introduit cinq quantités
cinétiques qui sont fonctions de sa masse, de sa vitesse et de son accélération.
La quantité de mouvement: (M/R0) = m (M/R0)
Le moment cinétique (ou moment de la quantité de mouvement) / à O:
La quantité d’accélération:
Le moment dynamique (ou moment de la quantité d’accélération) / à O:
L’énergie cinétique:
III. Torseur Cinétique
Soit (S) un système matériel et dm un élément de masse autour de M (S).
1- Quantité de Mouvement
1-1 Introduction
La quantité de mouvement est une grandeur physique qui est associée à la masse et à la
vitesse d’un objet. On l’utilise pour étudier le comportement des objets qui entrent en
collision les uns avec les autres.
1-2 Définition
La quantité de mouvement de (S) est définie par:
oi
oj
ok
v
p
v
)R/M(vmOM)R/M(pOM)R/M,O( 000
)R/M(m)R/M(a 00
)R/M(mOM)R/M(aOM)R/M,O( 000
)R/M(vm2
1)R/M(E 0
20c
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 50
2- Moment Cinétique
2-1 Introduction
Le moment cinétique, est la grandeur physique qui joue dans le cas d'une rotation, un
rôle analogue à celui de la quantité de mouvement pour une translation ; si la conservation de
la quantité de mouvement pour un système isolé est liée à l'invariance par translation dans
l'espace (propriété d'homogénéité de l'espace), la conservation du moment cinétique est liée à
l'isotropie de l'espace.
2-2 Définition
Le moment cinétique de (S) par rapport à O est défini par:
Soit A (le point A est quelconque).
ou bien : : Cette écriture vérifie la structure
d’un torseur appelé torseur cinétique , noté [C].
Ses éléments de réduction on O sont:
Ainsi: [C(O)] = [ , ].
Si A G, alors
avec désignant le moment cinétique par rapport à O d’un point matériel de
masse m placé en G, animé de la même vitesse que G et mG = m(S).
En résumé:
: (1er
théorème de Koenig)
2-3 Moment cinétique par rapport à G
Définition du repère barycentrique:
C’est un repère, noté RG, lié au centre de masse G du solide et dont les axes gardent une
direction fixe par rapport à ceux de R0.
Ainsi RG (G, , , ) est en translation par rapport à R0 (O, , , ).
)S(
0
)S(
00 dm)R/M(v)R/M(pd)R/S(p
)R/G(vmdt
)OGm(ddmOM
dt
ddm
dt
OMddm)R/M(v)R/S(p 0
R)S()S( R)S(
00
00
)S(
00 dm)R/M(vOM)R/S,O(
)S(
0
)S(
0
)S(
00 dm)R/M(vAMdm)R/M(vOAdm)R/M(vAMOA)R/S,O(
→
000 AO∧)R/G(vm)R/S,A()R/S,O(
+=
cinétique résultante :)R/G(vm
cinétiquemoment :)R/S,O(
0
0
)R/S,O( 0
)R/G(vm 0
)R/m,O()R/S,G(
)R/G(vmOG)R/S,G()R/S,O(
0G0
000
)R/m,O( 0G
)R/m,O()R/S,G()R/S,O( 0G00
oi
oj
ok
oi
oj
ok
)R/S,A()R/G(vmOA)R/S,O( 000
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 51
Évaluons
Soit:
Remarque
On utilise le repère RG pour le calcul de
2-4 Moment cinétique par rapport à un axe
Soit () un axe de vecteur unitaire et A un point quelconque ().
Ce résultat est indépendant de A () en raison de l’équiprojectivité du torseur cinétique.
2-5 Autres résultats relatifs à un solide
Considérons :
R (G, , , ) : un repère lié au solide
R0 (O, , , ) : un repère fixe
RG (G, , , ) : un repère barycentrique
a- Le solide (S) est animé d’un mouvement de translation / R0
Soit A un point quelconque. On a :
)S(
eG
)S(
00 dm)M(v)R/M(vGMdm)R/M(vGM)R/S,G(
)R/S,G()R/G(v
0
dmGM)R/S,G()R/S,G( G0
)S(
G0
)R/S,G()R/S,G( G0
)R/S,G( 0
u
u)R/S,A()R/S,( G0
i
j
k
oi
oj
ok
oi
oj
ok
GA)R/G(vm
0
)R/S,G(
GA)R/G(vm)R/S,G()R/S,A(
0G
000
0dmGM∧
0
)R/S(∧GMdm
0
)R/G(v∧GMdm)R/M(v∧GM)R/S,G( ∫∫∫S
GS
GS
GG
=
=
+
=
==
O
(Ro)
io
G
io
jo
joko
(RG)ko
()(A,S/Ro)
A
(,S/Ro)
u
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 52
En définitive :
b- Le point A est un point du solide (S), fixe dans R0
Soit A un point du solide (S) fixe dans R0
Représentation matricielle : .
Remarque très importante
Il faut toujours exprimer et dans la même base que II (O, S).
c- Le solide (S) est en rotation autour d’un axe () fixe dans R0
Soit A () A est fixe dans R0 i.e.
Posons
d- Le mouvement de (S) est quelconque
On a
avec G fixe dans RG
En revenant à l’expression générale de :
IV. Torseur Dynamique [D]
1. Quantité d'accélération (résultante dynamique)
La quantité d’accélération de (S) est définie par :
)R/G(vmAG)R/S,A( 00
0)R/A(v 0
AM)R/S()R/M(v 00
)R/S()S,A(JdmAM)R/S(AMdm)R/M(vAM)R/S,A( 0
S
0
S
00
)13(
)R/S(
)33(
)S,A(II
)13(
)R/S,A( 00
)R/S,O( 0
0R/S(
0)R/A(v 0
AM)R/S()R/M(v 00
0
S
0
S
00 R/S()S,A(JdmAM)R/S(AMdm)R/M(vAM)R/S,A(
u)R/S( 0
)S,(Iu)S,A(Ju)R/S()S,A(Juu)R/S,A()R/S,( 000
)S,(I)R/S,( 0
)R/S,G()R/S,G( G0
)R/S()S,G(J)R/S()S,G(J)R/S,G( 0GG
)R/S,O( 0
)R/G(vOGm)R/S,G()R/S,O( 000
ntranslatio
)R/G(vOGm
rotation
)R/S()S,G(J)R/S,O( 000
()
A
u
(S)
M
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 53
: résultante dynamique
2- Moment dynamique
2-1 Définition
Le moment dynamique du solide (S) par rapport à O est défini par:
Considérons un point quelconque A .
: vérifie la structure d’un torseur.
On définit ainsi un torseur appelé torseur dynamique noté [D].
Ses éléments de réduction en O sont:
Ainsi: [D(O)] = [ , ]
2-2 Moment dynamique par rapport à un axe ()
Soit un vecteur unitaire porté par () et A ():
Ce résultat est indépendant de A () à cause de l’équiprojectivité du champ des vecteurs
.
2-3 Relation entre [ ] et [D]
Soit A un point quelconque .
.
En dérivant dans R0.
)R/G(mdt
)R/G(vdm
dm)R/M(vdt
ddm
dt
)R/M(vddm)R/M()R/S(a
0
R
0
)S(
0
)S( R
0
)S(
00
0
0
)R/G(mdm)R/M()R/S(a 0
)S(
00
∫)S(
00 dm)R/M(∧OM)R/S,O(
=
)S(
0
)S(
0
)S(
00 dm)R/M(AMdm)R/M(OAdm)R/M()AMOA()R/S,O(
)R/G(mOA)R/S,A()R/S,O( 000
dynamique résultante :)R/G(m
dynamiquemoment :)R/S,O(
0
0
)R/S,O( 0
)R/G(m 0
u
u)R/S,A()R/S,( 00
)R/S,O( 0
C
)S(
00 dm)R/M(vAM)R/S,A(
)S(
000
)S(
0
R
0 dm)R/M(v)R/A(v)R/M(vdm)R/M(AMdt
)R/S,A(d
0
)S(
000
R
0 dm)R/M(v)R/A(v)R/S,A(dt
)R/S,A(d
0
)R/G(vm)R/A(vdt
)R/S,A(d)R/S,A( 00
R
00
0
()(A,S/Ro)
,S/Ro)
u
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 54
Donc en général [ ] [D], l'égalité [ ] = [D] est vérifiée dans les quatre cas particuliers
suivants:
R0 est le repère barycentrique RG ;
Le point A est fixe dans le repère R0 de manière permanente ou instantanée (ceci est vrai
pour I1 et I2 mais pas pour le point géométrique I).
A G
( t)
Ainsi
Remarque importante
A chaque instant, les points I1 et I sont confondus (I1 I)
Ne pas oublier de prendre en considération la dérivée par rapport au temps du vecteur nul,
, à l'instant considéré.
3- Autres résultats
3-1 Le solide (S) est animé d’un mouvement de translation /à R0.
En choisissant les éléments de réduction en G on aura:
[ (G)] = [D(G)]
car dans un mouvement de translation.
3-2 Le solide (S) a un de ses points fixe dans R0.
Soit A (S) tel que A est fixe dans R0 [ (A)] = [D(A)]
Puisque A est fixe dans R0
C C
0)R/G(v 0
)R/G(v//)R/A(v 00
)R/G(vm)R/I(vdt
)R/S,I(d)R/S,I(
Ràrapportpar)(Sdeglissementdeabsenceayils':dt
)R/S,I(d)R/S,I(
dt
)R/S,G(d)R/S,G(
00
0R
00
01
0R
011011
0R
00
0
II∧)R/G(vm)R/S,I()R/S,I( 10001
=
+=
)R/S,I()R/S,I( 001
10 II∧)R/G(vm
C
0dt
)R/S,G(d)R/S,G(
0R
00
0)R/S,G()R/S,G( G0
C
0R
00
dt
)R/S,A(d)R/S,A(
)R/S()S,A(J)R/S,A( 00
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 55
En pratique, est connu par ses composantes dans un repère Ri lié au solide où
J(A,S) aurait été calculé.
Cas particulier : Ri est un repère principal d’inertie lié au solide (S).
dans et
: Formules d’Euler obtenues avec l’hypothèse de A (S) et fixe dans
R0.
La matrice II(A,S) est exprimée dans Ri lié à (S) et Ri est un repère principal d’inertie.
3-3 Le solide (S) est en rotation autour d’un axe fixe dans R0
Soit () un axe fixe dans R0 de vecteur unitaire et R un repère lié à (S).
Puisque le vecteur est porté par (), .
Considérons A (), donc A est fixe dans R0.
3-4 Le mouvement de (S) est quelconque
Soit A (A quelconque)
(formule de transfert du torseur dynamique)
Attention
Ne pas oublier que, même si la dérivation est effectuée par rapport à R0, l’opérateur J(G,S) est
souvent exprimé dans un repère lié à (S).
)R/S,A( 0
)R/S,A()R/R(dt
)R/S,A(d
dt
)R/S,A(d)R/S,A( 00i
R
0
R
00
i0
II A S
A
B
C
( , )
0 0
0 0
0 0
k,j,i
krjqipR/R 0i
)k ,j ,i( dans
0i0
Cr
Bq
Ap
r
q
p
C00
0B0
00A
)R/R().S,A(II)R/S,A(
kCrjBqiApkrjqipkrCjqBipAR/S,A 0
pq)AB(rC
pr)CA(qB
qr)BC(pA
R/S,A 0
u
)R/R( 0
u)R/R( 0
00 R
0
R
000
dt
u)R/S,A(du
dt
)R/S,A(du)R/S,A()R/S,(
)S,(Idt
)R/S,(d)R/S,(
0R
00
GA)R/G(m)R/S,G()R/S,A( 000
0
0
R0
R
00 )R/R()S,G(J
dt
d
dt
)R/S,G(d)R/S,G(
GA)R/G(m)R/R()S,G(Jdt
d)R/S,A( 0R00
0
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 56
V. Énergie Cinétique
1- Introduction
En histoire des sciences, G. Leibniz, s'opposant à Descartes, qui estimait que la quantité
de mouvement se conservait toujours, développa l'idée de la «
force vive » (vis viva), à
laquelle il attribuait la valeur mv2. La force vive est donc le double de l'énergie cinétique. La
force vive est un concept obsolète où on trouve la première expression mathématique de ce
qui sera connu comme la loi de la conservation de l'énergie. Elle peut être considérée comme
une sorte d'énergie cinétique ou d'énergie reliée au mouvement des objets. D’où la naissance
du concept énergie cinétique (du Grec « énergeia
»), qui détermine l’énergie que possède un
corps du fait de son mouvement par rapport à un référentiel donné.
2- Deuxième théorème de Kœnig
L’énergie cinétique de (S), calculée dans le repère R0, est définie par:
, on a :
: C’est le deuxième théorème de
Kœnig.
2-1 Le solide (S) est animé d’un mouvement de translation /R0
Dans un mouvement de translation, tous les points du solide sont animés de la même vitesse.
2-2 Le solide (S) a un de ses points fixe dans R0
Soit A (S) tel que A est fixe dans R0.
S
0c
S
2
00c )R/M(dEdm)R/M(v2
1)R/S(E
GM
0
)R/R()R/G(v)R/M(v)R/M(v 0G0G0
)R/G(v)R/M(v)R/M(v 0G0
S
2
0G
S
2
00c dm)R/G(v)R/M(v2
1dm)R/M(v
2
1)R/S(E
S
G0
S
2
0
S
2
G0c dm)R/M(v)R/G(vdm)R/G(v2
1dm)R/M(v
2
1)R/S(E
0
dmGMdt
d)R/G(vdm)R/G(v
2
1dm)R/M(v
2
1)R/S(E
S
0
S
2
0
S
2
G0c
( ) 20Gc0c )R/G(vm
2
1)R/S(E)R/S(E
+=
0GM
0
)R/S(
0
)R/G(v)R/M(v GGG
0dm)R/M(v2
1)R/S(E
S
2
GGc
200c )R/G(vm2
1)R/S(E
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 57
Sous forme matricielle:
Conséquence
Le centre de masse G étant fixe dans RG, on a alors:
Comme
[R est un repère lié à (S)]
2-3 Le solide (S) est animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe () fixe dans R0
Soit un vecteur directeur de () et A ().
On pose
2-4 Le solide (S) est animé d’un mouvement quelconque
On utilise le deuxième théorème de Kœnig:
.
AM)R/S(
0
)R/A(v)R/M(v 000
AM)R/R()R/M(v)R/M(v 00
2
0
S
00
S
00
S
2
00c
dm)R/M(vAM)R/R(2
1dmAM)R/R()R/M(v
2
1
dm)R/M(v2
1)R/S(E
)R/R()S,A(J)R/R(2
1dmAM)R/R(AM)R/R(
2
1)R/S(E 00
S
000c
)R/S,A()R/R(2
1)R/R()S,A(J)R/R(
2
1)R/S(E 00000c
)13(
)R/R(
)33(
)S,A(II
)31(
)R/R(2
1)R/S(E 00
t0c
×××
=
)R/S()S,G(J)R/S(2
1)R/S(E GGGc
)R/S()R/S( 0G
)R/R()S,G(II)R/R(2
1)R/S(E 00
tGc
u
u)R/R( 0
=
)S,(I2
1
u)S,A(Ju2
1
)R/R()S,A(J)R/R(2
1)R/S(E
2
2
000c
)S,(I2
1)R/S(E 2
0c
20Gc0c )R/G(vm2
1)R/S(E)R/S(E
2
0000c )R/G(vm2
1)R/R()S,G(J)R/R(
2
1)R/S(E
ntranslatio
)R/G(vm2
1
rotation
)R/R()S,G(II)R/R(2
1)R/S(E
2
0
→
0
→
0
→t
0c
()
u
A
(S/Ro)
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 58
5
Chapitre
Dynamique du Solide
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 59
Objectifs : Comprendre la notion de référentiel galiléen ;
Maitriser et savoir appliquer le principe fondamental de la dynamique ;
Savoir mettre en oeuvre les théorèmes généraux;
Maitriser les notion de fonction de forces ,de potentiel et de la puissance;
Interpretation de la résolution des équations différentielles du mouvement ;
Isaac Newton : (1642-1727) Newton formule l'hypothèse audacieuse selon laquelle la
Lune « tombe » sur la Terre de la même manière qu'un objet une pomme par exemple... tombe sur le sol. Mais en raison de sa
vitesse initiale, la Lune décrit une trajectoire curviligne. Chute
verticale et mouvement orbital sont donc des mouvements de
même nature. Puis Newton étend cette hypothèse à tout corps
céleste en orbite et aboutit à la loi suivante : « Deux corps quelconques s'attirent selon une force proportionnelle au produit
de leur masse et inversement proportionnelle au carré de la
distance qui les sépare ».
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 60
DYNAMIQUE DU SOLIDE
I. Approche historique La cinématique ne peut constituer à elle seule la science du mouvement, dans la mesure
précisément où elle ne tient compte ni des causes qui le produisent ni de ce à quoi il
s'applique. La science galiléenne laisse sans réponse la question des rapports entre la matière
et le mouvement, qui, par contre, était au cœur de la théorie d'Aristote. On verra comment
Newton, par l'introduction d'une dynamique fondée sur les concepts renouvelés de masse et de
force, pensera avoir réglé cette question. On constatera que, comme l'ont souligné les auteurs
du XIXe siècle, et notamment Mach, Newton n'est pas parvenu à remplir entièrement son
programme, dans la mesure où il n'a pas su donner du mouvement de translation uniforme, dit «inertiel
», une explication
«matérialiste
», c'est-à-dire uniquement en termes d'espace, de temps
et de matière. On verra comment Einstein, avec la théorie de la relativité générale et l'idée que
la structure géométrique de l'espace est déterminée par la distribution des masses qui s'y
trouvent, a finalement résolu le problème du lien entre la cinématique et la dynamique.
II. Principe Fondamental de la Dynamique - Théorèmes Généraux
1- Introduction
L'action mécanique est un concept utilisé en mécanique appliquée pour décrire tous les
phénomènes provoquant un mouvement ou une déformation. Ce concept regroupe les notions
de force et de couple utilisées en mécanique générale. Pour représenter les actions
mécaniques, on utilise souvent un torseur d'action.
2- Torseur des forces appliquées à (S)
2-1 Somme ou résultante
Pour un solide soumis à des forces ponctuelles, volumiques et surfaciques, la résultante
générale de ces forces s’écrit:
avec désignant une force ponctuelle et des densités de forces
volumique et surfacique, respectivement.
2-2 Moment résultant en O,
On écrira de manière générale, pour un système soumis à des forces volumiques, surfaciques
et ponctuelles:
Ici, représente une éventuelle densité volumique du couple en M.
R
SSi
i )'M(d)'M(f)M(d)M(f)M(fR
)M(f i
)'M(fet)M(f
)SF,O( M
SSSi
ii )M(d)M(C)'M(d)'M(fMO)M(d)M(fOM)M(fOM)SF,O(
M
)M(C
Mi
M'
Mf(Mi)
f(M')d
f(M)d
d
d
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 61
Le terme est rajouté car, lorsque , et , la résultante
générale du torseur est nulle et le torseur est un couple de moment . Ce qui justifie
l’appellation de densité volumique de couple (ce couple peut être nul).
Si on prend une autre origine pour calculer le moment résultant, on obtient facilement:
.
On a ainsi défini un champ de force auquel on a associé un torseur [F S] dont les éléments
de réduction en A sont:
3- Classification des forces
Dans cette classification on distingue les interactions de chaque point du système (S)
avec les autres points du système (forces intérieures) et les forces s’exerçant sur les points du
système et dues à des éléments extérieurs à (S) (forces extérieures).
Ainsi, le torseur [F S] peut être décomposé comme suit:
[F S] = [Fint S]+ [Fext S]
[Fint S] torseur des forces intérieures.
[Fext S] torseur des forces extérieures.
4- Principe fondamental de la dynamique (PFD) ou axiome de la dynamique
On admet l’existence de repères privilégiés dits “repères absolus”, Ru, et une
chronologie de temps “temps absolu” tels que, dans tout mouvement d’un système matériel
rapporté à ces repères et temps, le torseur dynamique soit équivalent au torseur des forces
extérieures:
[D(S/Ru)] = [Fext S]
A chaque instant, le torseur dynamique est égal au torseur des forces extérieures.
Remarques
Compte tenu des approximations tolérées, on peut considérer comme absolus des repères
terrestres (galiléens).
En écrivant l’égalité entre les éléments de réduction des torseurs dynamique et celui des
forces extérieures, on recouvre deux théorèmes généraux:
On remarquera que les forces intérieures à un système matériel n’apparaissent pas dans la loi
fondamentale de la dynamique ce qui sous-entend que le torseur des forces intérieures à un
système matériel (S) est nul : [Fint S] = [0].
S
d)M(C
0)M(f i
0)M(f
0)'M(f
S
d)M(C
OO)SF(R)SF,O()SF,'O(
MM
SSSi
ii
SSi
i
:d)M(Cd)'M(fMAd)M(fAM)M(fAM)SF,A(
:)'M(d)'M(f)M(d)M(f)M(f)SF(R
moment M
résultante
cinétiquemomentduThéorème:)SF,A()R/S,A(
massedecentreduThéorème:)SF(R)R/G(m
extu
extu
M
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 62
5- Théorème des interactions ou théorème de l’action et de la réaction
Considérons le système matériel (S) formé de deux solides disjoints (S1) et (S2):
(S) = (S1) (S2) et (S1) (S2) =
On a :
[Fext S] = [Fext à S S1]+ [Fext à S S2]
Appelons:
[FS1 S2]: torseur des efforts exercés par (S1) sur (S2)
[FS2 S1]: torseur des efforts exercés par (S2) sur (S1)
Appliquons le P.F.D. à (S1) et (S2) séparément, on aura :
[D(S1/Ru)] = [Fext à S S1] + [FS2 S1]
[D(S2/Ru)] = [Fext à S S2] + [FS1 S2]
Faisons la somme:
Ainsi:
Le torseur des efforts exercés par (S1) sur (S2) et le torseur des efforts exercés par (S2) sur (S1)
sont opposés dans le cas où les systèmes matériels (S1) et (S2) sont disjoints.
Conséquences
Éléments de réductions
5-1 Torseur des forces intérieures à un solide (S)
C’est l’ensemble des actions mutuelles entre les divers points M (S). Ces actions assurent la
propriété de rigidité du solide: [Fint S] = [0].
5-2 Torseur des actions intérieures à un système matériel (S)
On peut décomposer ce torseur en la somme de deux torseurs:
Le torseur des forces intérieures à chaque solide (Si) de (S)
Le torseur des actions mutuelles entre tous les solides de (S)
Si (S) = (S1) (S2) (Sn)
nultorseur0
SFSFSF)R/S(D 2S1Sextu 12
)SF,A()SF,A(
)SF(R)SF(R
1S2S
1S2S
21
21
MM
0
SF
0
SFSF
ji
jiS
n
1i
iiSàintint
0Sint F
(S2)
(S1)
(S)
(Ru)
z
yO
x
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 63
III- Changement de repère - Repère galiléen
1- Position du Problème
Le choix du référentiel d'étude n'est pas uniquement guidé par des considérations
techniques de complexité plus ou moins grande d'écriture des équations du mouvement, par
exemple selon l'orientation des axes, le système de coordonnées (cartésiennes, sphériques,
etc.), ou l'origine des dates, mais détermine également du point de vue fondamental le cadre
spatio-temporel d'étude des phénomènes considérés.
En effet, pour un référentiel quelconque, l'espace n'apparaîtra pas nécessairement
homogène et / ou isotrope, ni le temps uniforme. Ainsi, par exemple, l'étude du mouvement
d'un corps par rapport au référentiel lié à un wagon en mouvement accéléré par rapport aux
voies fera apparaître une direction privilégiée, celle de du vecteur accélération, soit un
anisotropie de l'espace. Il en sera de même pour un référentiel lié un corps en mouvement de
rotation autour d'un axe fera à la fois apparaître une direction privilégiée, celle de l'axe de
rotation (anisotropie), mais aussi des effets "centrifuges" dépendant de la distance à l'axe
(non-homogénéité de l'espace), voire du temps si la vitesse de rotation n'est pas constante
(non-uniformité du temps).
Une telle situation conduirait à devoir écrire les équations de la Physique, et notamment
celle de la mécanique, d'une façon distincte selon le référentiel d'étude, c'est-à-dire sous une
forme non covariante, à moins de définir une classe de référentiels particuliers, dits galiléens,
par rapport auxquels ces équations prennent justement une forme covariante.
2- Torseur dynamique d’entraînement-Torseur dynamique de Coriolis
Considérons Ru repère absolu et Rr repère relatif. De la loi de composition des
accélérations, on déduit:
[D(S/Ru)] = [D(S/Rr)] + [De(S)] + [Dc(S)]
: Torseur dynamique d’entraînement
: Torseur dynamique de Coriolis
Or, le P.F.D. appliqué dans Ru [D(S/Ru)] = [Fext S]
Ainsi : [D(S/R r)] = [Fext S] - [De(S)]-[Dc(S)]
Cherchons un repère Rg tel que: [De(S)]+[Dc(S)] = [0]
Ceci est particulièrement vrai si [De(S)] = [Dc(S)] = [0]
O/moment
dm)M(OM
résultante
,dm)M()S(D ee)O(e
O/moment
dm)M(OM
résultante
,dm)M()S(D cc)O(c
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 64
Or [Dc(S)] = [0] en particulier si γ c(M) = 0 M (S).
C'est-à-dire
Rg est en translation par rapport à Ru.
De même, [De(S)] = [0] en particulier si M (S)
Rg est en translation rectiligne uniforme par
rapport à Ru.
Conclusion
Les torseurs dynamiques d’entraînement et de Coriolis sont nuls dans les repères Rg animés
d’un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à Ru : ces repères sont appelés
galiléens. Dans la pratique, un référentiel lié à des corps réels ne peut être
qu'approximativement, localement et momentanément galiléen.
IV. Travail et puissance
1- Puissance d’un couple appliqué à un solide
Un couple est un torseur de forces dont la résultante est nulle. Son moment résultant est
le même en tout point du solide. On le notera avec .
La puissance du couple est
Le travail élémentaire du couple est
2- Puissance d’un torseur de forces appliquées à un solide
Dans le cas d’un solide soumis à des forces ponctuelles et volumiques on a:
Soit A un point quelconque de (S)
Le résultat est indépendant de A (S).
Donc le résultat est le comoment du torseur des forces appliquées et du torseur cinématique.
0)R/M(v)R/R(2 gug
0)R/R( ug
0)M(e
0)R/O( ug
cte)R/O(v ug
)S(
d)M(C
)R/S()R/(P 00
dt)R/S(dt)R/(P)R/(W 000
S
0
i
0ii0 )M(d)R/M(v)M(f)R/M(v)M(f)R/SF(P
S
00
i
i00i0 )M(dAM)R/S()R/A(v)M(fAM)R/S()R/A(v)M(f)R/SF(P
)R/S()M(d)M(fAM)M(fAM
)R/A(v)M(d)M(f)M(f)R/SF(P
0
Si
ii
0
Si
i0
)R/S()SF,A()R/A(v)SF(R)R/SF(P 000
M
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 65
Conséquences
Si deux torseurs de forces appliquées à un solide sont égaux, les puissances qu’ils
développent sont égales.
Si un torseur de forces appliquées à un solide est nul, la puissance qu’il développe est nulle
dans tout mouvement de ce repère. Donc dans tout repère (puissance des
forces intérieures à un solide).
3- Puissance du torseur des forces appliquées à un système matériel (S)
Considérons deux repères: R0 absolu et Rr relatif.
avec [Ve(S)] désignant le torseur cinématique des vitesses d’entraînement de (S).
Finalement:
Avec
Exercice d’application
Montrer que la puissance des forces intérieures à un système matériel est indépendante du
repère et que celle relative à un solide est nulle.
P F S R( / )int 0 0
S
0
i
0ii0 )M(d)R/M(v)M(f)R/M(v)M(f)R/SF(P
S
er
i
ierii0 )M(d)M(v)R/M(v)M(f)M(v)R/M(v)M(f)R/SF(P
2
)M(d)M(v)M(f
1
)M(v)M(f)R/SF(P)R/SF(PS
e
i
ieir0
i
i10r01i
i
iei MO)R/R()R/O(v)M(f
)1(
)M(v)M(f
S
10r01
S
e dMO)R/R()R/O(v)M(f
)2(
d)M(v)M(f
)R/R(d)M(fMO)M(fMO)R/O(vd)M(f)M(f)2()1( 0r
S
1
i
ii101
Si
i
)]S([]S[)R/R()SF,O()R/O(v)SF(R)2()1( 0r101 eVFM
)]S([]S[)R/SF(P)R/SF(P r0 eVF
)R/R(,R/O(v)]S([ 0r01)O( 1
eV
(R0)
(Rr)
(S)
o
o1zo
yo
xo
y1
x1
z1
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 66
4- Théorème de l’énergie cinétique
L’utilisation de ce théorème conduit à l’obtention d’une équation scalaire.
4-1 Mouvement dans un repère galiléen
- Système matériel (S)
Soit M (S) un point matériel de masse dm et la résultante des forces agissant sur M.
Ces forces appartiennent au torseur des forces extérieures et intérieures à (S).
On a :
En étendant la somme à tous les points de (S) on aura:
: Puissance des torseurs des forces intérieures et extérieures.
Ici [F S] = [Fext S] + [Fint S] (la contribution des forces intérieures doit être prise en
considération dans le cas d’un système matériel).
- Cas d’un solide (S)
Pour un solide (S) on a: P(Fint S/Rg) = 0.
D’où:
Soit la résultante des forces extérieures agissant sur (S).
On peut faire la décomposition suivante:
Ainsi :
Finalement:
)M(f
)M(fdm)R/M( g
)R/M(v)M(fdm)R/M(v)R/M( ggg
)R/M(fP)R/M(v2
dm
dt
dg
R
2
g
g
g
R
gcR/SFP
dt
)R/S(dE
g
gext
R
gcR/SFP
dt
)R/S(dE
g
)SF(R ext
)SF(R)SF(R)SF(R ncextcoextext
vesconservatinonforcesdestorseur
R/S
vesconservatiforcesdestorseur
R/SR/S gncextgcoextgext FFF
gncext
p
gncextgcoextgext R/SFPdt
dER/SFPR/SFPR/SFP
gncext
p
gext
R
gcR/SFP
dt
dER/SFP
dt
)R/S(dE
g
Mf(M)
(S)
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 67
avec Em(S/Rg) = Ec(S/Rg) + Ep(S) : énergie mécanique du solide.
Lorsque la puissance du torseur des forces extérieures non-conservatives est nulle, on aura:
Em(S/Rg) = constante (conservation de l’énergie mécanique).
Dans ce cas, on dira que le torseur des forces extérieures agissant sur (S) est conservatif.
4-2 Mouvement dans un repère non galiléen:
- Système matériel (S)
Soit la résultante de toutes les forces agissant sur M.
En considérant Rg absolu et Rr relatif on aura:
d’où :
En étendant la sommation à tous les points du système on obtient:
avec: [Fie(S)] = -[De(S)]
- Cas d’un solide (S)
gncextRgmRpgc R/SFP)R/S(Edt
dE)R/S(E
dt
d
gg
)M(f
dm)M(dm)M(dm)R/M()M(fdm)R/M( cerg
dm)M(dm)M()M(fdm)R/M( cer
dm
0
)R/M(v)M()R/M(v
)M(f
dm)M()R/M(v)M(fdm)R/M(v)R/M( rcr
ie
errr
)M(fPR/)M(fP)R/M(Edt
d)R/M(v
2
dm
dt
dierRrc
R
2
rr
r
SFPR/SFP)R/M(Edt
dierRrc
r
)S(S)S(F)S(SF
SFPR/SFP)R/M(Edt
d
rierext
ierextRrcr
VV
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 68
6
Chapitre
Liaisons-Forces de Liaison
Les liaisons piston-bielle et piston-chemise
sont des pivots glissants
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 69
Objectifs : Comprendre la notion de liaisons ;
Différencier entre liaisons unilatérales et liaisons bilatérales;
Comprendre la notion de liaison holomone;
Achever l’étude dynamique en applicant les lois de Coulomb.
Charles Coulomb : (1736-1806) La loi de Coulomb en mécanique, nommée en l'honneur de
Charles de Coulomb, exprime sous une forme très simplifiée
l'intensité des forces de frottements qui s'exercent entre deux solides. Selon que ces solides glissent ou non l'un contre l'autre,
on parle de glissement (frottement dynamique) ou d'adhérence (frottement statique). Dans les deux cas, les actions réciproques
qui s'exercent entre ces solides comportent : une composante
normale N qui les presse l'un contre l'autre, une composante
tangentielle T qui s'oppose, ou tend à s'opposer, au glissement.
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 70
LIAISONS - FORCES DE LIAISON
I. Introduction Un mécanisme est l'association de plusieurs pièces liées entre elles par des contacts
physiques qui les rendent totalement ou partiellement solidaires, selon qu'ils autorisent ou non
des mouvements relatifs. La liaison mécanique est le modèle utilisé pour décrire cette relation
dont la considération est primordiale dans l'étude des mécanismes. Elle emploie des
représentations mathématiques qui diffèrent suivant qu'on l'aborde sous l'aspect cinématique
(étude des mouvements ou guidages) ou sous l'aspect statique (étude de la transmission
d'efforts).
La notion de liaison mécanique se définit plus généralement entre groupes de pièces,
appelés classes d'équivalence contenant respectivement des pièces entièrement solidaires.
II. Liaisons-Actions de contact
1- Définition
Lorsqu’on étudie le mouvement d’un solide en contact avec un autre solide, on doit
prendre en considération de nouvelles forces dites forces de contact.
2- Liaisons
Considérons un système matériel (S) constitué de p solides et de q points matériels. Si le
système est entièrement libre (absence des forces de contact), la position d’un solide dans
l’espace, par rapport à un repère R, est définie par 6 paramètres ( xG, yG, zG, , , ), celle
d’un point matériel est définie par 3 paramètres (coordonnées du point).
La position de (S) par rapport à R est définie par: m = 6p + 3q paramètres.
On pourra avoir un nombre d’équations identique au nombre m de paramètres en appliquant:
- le P.F.D. à chaque point matériel Mi (S):
; avec i = 1, 2, …, q (3q équations)
- le P.F.D. à chaque solide (Si) de (S):
En pratique, le système n’est pas totalement libre car il existe des relations de liaison (égalités
ou inégalités entre les paramètres) à prendre en considération.
)M(f)M(m iiii
)pi1,ichaquepouréquations3()SF,O(M)S,O(
)pi1,ichaquepouréquations3(R)G(m
ii
iiSi
Forces de
contact
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 71
Pour un système soumis à des liaisons, celles-ci sont dites:
- unilatérales, quand elles se traduisent par des inégalités (N 0 ou ).
- bilatérales quand elles se traduisent par des égalités ( ).
3- Liaison holonome
Une liaison est dite holonome si la relation de cette liaison fait apparaître les paramètres
de position (coordonnées et angles) sans faire apparaître leurs dérivées par rapport au temps.
Si la relation de liaison contient des dérivées des paramètres par rapport au temps, la liaison
sera dite non holonome.
On s’intéressera par la suite uniquement aux forces de liaisons dues au contact entre deux
solides (S1) et (S2).
4- Action de contact
On considère le cas de deux solides (S1) et (S2) assujettis à
rester en contact ponctuel au cours de leurs mouvements. On
désignera par I et () respectivement le point de contact et le
plan tangent commun aux deux solides (S1) et (S2).
Les actions de contact exercées par (S2) sur (S1) et celles exercées par (S1) sur (S2) constituent
deux torseurs: et dont la somme est nulle.
D’après le principe de l’action et de la réaction, on a:
: réaction normale; elle s’oppose à la pénétration d’un solide dans l’autre.
: Force de frottement ou force de résistance au glissement.
: Moment de résistance au pivotement.
: Moment de résistance au roulement.
III. Lois de Coulomb
1- Approche historique
Ces lois, largement empiriques, ont été introduites par Coulomb en 1871. Elles
dépendent de l’état des surfaces en contact. Trop souvent considéré comme un élément
perturbateur pour les calculs, on s’aperçoit très vite que le frottement est tout simplement
NfT
0vg
12 SS F
21 SS F
1212
12
12
SSSS
SS
SS
)R,I(
NTR
MF
122121
1221
21
SSSSSS
SSSS
SS
)R,I(
RR
MF
N
T
n
t
I
(S1)
(S2)
I
(S1)
(S2)
t
nS2--S1
T
N RS2--S1
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 72
indispensable : si les vis de fixation restent serrées, le clou en place, les échelles debout et les
voitures sur la route, c’est grâce au frottement. C’est aussi sur ce phénomène que repose le
fonctionnement des freins et embrayages.
2- Réaction normale
a- Son sens: la réaction normale exercée par (S2) sur (S1) est dirigée vers l’intérieur de (S1):
c’est une force répulsive.
b- Sa norme: elle a une valeur arbitraire qui dépend du mouvement ou de l’équilibre et des
actions qui s’exercent sur (S1).
Comme N 0 la liaison de contact entre (S1) et (S2) est unilatérale.
3- Réaction tangentielle
3-1 Contact sans glissement: .
L’expérience montre qu’il existe, dans ce cas, un scalaire f0 tel que: (on a l’égalité
à la limite du glissement).
f0 : coefficient de frottement de non glissement.
On pose f0 = tg (0)
Soit l’angle tel que
0 géométriquement, la réaction est située à l’intérieur
d'un cône appelé cône de frottement, d’axe normal en I à (), de sommet I, et de demi-angle
0.
3-2 Contact avec glissement : .
1ère
loi: et sont colinéaires (même support) .
2ème
loi: (sens opposés).
3ème
loi: (f = coefficient de frottement)
4ème
loi: est pratiquement indépendant de .
Lorsque la vitesse de glissement n’est pas trop grande, f reste pratiquement constant. On a f <
f0 et f = f0 - f << f.
Dans la pratique, on prend f = f0.
Remarque
Si f = 0 : on dira alors que la liaison de contact est parfaite (sans
frottement).
0)S/S(v 21g
NfT 0
N
Ttg 0
N
Ttg
tg tg 0 )SS(R 12
0)S/S(v 21g
T
)S/S(v 21g
0)S/S(vT 21g
0)S/S(vT 21g
NfT
T
)S/S(v 21g
0T
NR12 SS
I
(S1)
(S2)
RS2--S1
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 73
4- Vitesse de rotation de pivotement-roulement
On décompose ce vecteur comme suit : (composantes normale et
tangentielle).
Dans le chapitre relatif à la cinématique, on a vu que:
: vitesse de rotation de pivotement
: vitesse de rotation de roulement.
On admet l’existence de deux scalaires et appelés respectivement coefficients de frottement
de roulement et de pivotement.
- Cas où
(colinéaires)
(sens opposés)
- Cas où a une direction arbitraire dans le plan ().
- Cas où
(colinéaires)
(sens opposés)
- Cas où est normal au plan ().
Remarque
Ces relations sur sont rarement utilisées car on néglige souvent les coefficients
et ( 0).
5- Puissance totale des actions de contact
Les solides (S1) et (S2) sont en mouvement par rapport à R0 et en contact pseudo-ponctuel
entre eux. On étudie la puissance des actions de contact de (S2) sur (S1).
or
et
Finalement:
Si tous les coefficients de frottement sont nuls, i.e. f = = = 0 .
tnSS 12
tn12 )S/S(
n
t
0t
0tt
0tt
N
0t
t
Nt
0n
0nn
0nn
Nn
0n
n
Nn
)SS( 12
)S/S()S/S(vR)R/R(P 21SS21gSS01S2S 1212
0)S/S(vT)S/S(vNT)S/S(vR 21g21g21gSS 12
0)S/S( nntt21SS 12
0)(P 1S2S F
0)(P 1S2S F
I
(S1)
(S2)
t
nS2--S1
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 74
IV. Exemple d’application: mouvement d’une sphère sur un plan incliné La sphère a un rayon r et une masse m. On désigne par f le
coefficient de frottement résultant du contact entre la sphère et
le plan incliné. Les résistances au roulement et au pivotement
sont négligées ( = = 0).
- Étude du mouvement
Le mouvement de la sphère étant plan, on aura besoin au plus
de 3 paramètres primitifs pour le décrire (xG, yG et ).
La liaison de contact en I impose yG = r (t)
Le mouvement dépend donc uniquement des paramètres xG et .
La force de contact (T grandeur algébrique ou 0).
Les inconnus du problème sont xG, , T et N.
Le P.F.D. appliqué au solide en mouvement est
Égalité des résultantes
Égalité des moments:
(solide en rotation autour d’un axe fixe /RG)
Théorème du moment cinétique:
Cas du roulement sans glissement
Finalement on a un système de 4 équations à 4 inconnus.
L’équation (4)
L’équation (3)
L’équation (1)
00 iTjNTNR
Sext0 )R/S( FD
Rgm)R/G(m o
)2(Ncosmg0
)1(Tsinmgxm G
)F,G(dt
)R/S,G(dSext
Ro
o
M
o
2
oGzGo kmr5
2kI)R/S,G()R/S,G(
o2
Ro
o kmr5
2
dt
)R/S,G(d
oooSext krTiTjr
0
gmGGRGI)F,G(
M
rTmr5
2 2 )3(mr5
2T
oGoooG
ooog
irxjrkix
GI)R/S()R/G(v)R/SI(v0)plan/S(v
)4(0rxG
)5(r
xG
Gxm5
2mr
5
2T
sinmgT2
7TsinmgT
2
5
x0
y0
i0
j0j
i
I
mg
TN
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 75
L’équation (1) à nouveau
L’équation (5)
L’équation (2)
Dans le cas d’un roulement sans glissement on a l'inégalité suivante:
Cas du roulement avec glissement
Si il y aura glissement
Cette équation va remplacer l’équation (4).
Or
L’équation (6)
+1: si est opposée à ( sphère tournant trop vite: c’est un cas très rare)
-1: si est de même sens que (cas très fréquent)
L’équation (1)
L’équation (3)
Après intégration, on obtient:
(La constante = 0 si à t = 0 on a )
avec
La condition de roulement avec glissement impose ( )
= -1 (d’après une des lois de Coulomb).
Les équations du mouvement deviennent alors:
T mg 2
70sin
mx mg T mg mg mgG sin sin sin sin 2
7
5
7
sinx gG 5
7
sin 5
7
g
r
N mg cos
T f N
2
7mg fmgsin cos f tg
2
7
f tg2
7
T f N ( )6
N mg cosT fmg cos ( ) 7
)1avec(cosfmgT
)R/S(v og
oi
)R/S(v og
oi
fmgcosinmgTsinmgxm G
sinx g fgcoG
cos
5
2
5
2
T
mr rfg
CtetfgcosingxG xG 0
tcosfgr2
5
0)0t(
)f2
7tg(cosgt
)cosf2
7(singtrx)R/S(v Gog
tg f 7
2tg f
7
2
v S Rg o( / ) 0
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 76
Remarque
Dans le cas de cet exemple, on a trouvé = -1 puisque les conditions initiales utilisées sont
celles du repos. Cependant, on peut avoir la situation où = +1 (situation plus rare) et ce,
dépendamment des conditions initiales.
sin
cos
x g fgco
rfg
G
5
2
N mg
T fmg
cos
cos
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 77
7
Chapitre
Mouvement d’un Solide Autour d’un
Point ou d’un Axe Fixes
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 78
Objectifs : Maitriser les angles d’Euler ;
Différencier entre mouvements de rotation propre, mutation et précession ;
Comprendre et savoir appliquer les théorèmes généraux dans le cas d’un mouvement de
rotaion autour d’un point fixe ou d’un axe fixe.
Leonhard Euler : (1707-1783) L. Euler est la plus grande figure de mathématicien et
mécanicien du XVIIIème siècle, ses études sont extrêmement
nombreuses (plus de 800 publications, dont la moitié vers la fin
de sa vie, quand il était devenu aveugle) et ses contributions et
découvertes de premiers ordre. En mécanique, L. Euler
découvre les fameuses lois du mouvement des corps rigides qui
portent son non.
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 79
MOUVEMENT D’UN SOLIDE AUTOUR D’UN POINT OU D’UN AXE FIXES
I- Approche historique Euler a fait voir, le premier, que quand un corps est retenu par un point fixe tout
mouvement infiniment petit du corps n’est autre qu’un mouvement de rotation autour d’une
certaine droite passant par le point fixe.
Lagrange a donné, dans la première édition de sa mécanique analytique en 1788, les
formules qui servent à décomposer ce mouvement de rotation en trois autres se faisant autour de
trois axes rectangulaires menés par le point fixe. Ces formules offraient une ressemblance
remarquable avec celles qui servent à décomposer le mouvement rectiligne d’un point en trois
autres mouvements rectilignes. Plus lard Lagrange a complété cette analogie en donnant dans la
seconde édition de sa Mécanique analytique en 1811 la construction géométrique des trois
rotations qui peuvent remplacer une rotation unique.
II- Rotation d’un Solide autour d’un Point Fixe (Angles d’Euler)
1- Angles d’EULER
Considérons un solide (S) en mouvement autour d’un point fixe O de sorte qu'il existe un
point de (S) coïncidant en permanence avec O. L'étude du mouvement de (S) par rapport au
repère fixe R0(O, , , ) est caractérisée par 3 paramètres (angles d’Euler) qui permettent
d’exprimer de manière intéressante.
Si on considère le repère R (O, , , ) comme étant lié au solide, le passage de (R0) à (R) est
possible moyennant trois rotations successives:
Première rotation: on passe de R0 (O, , , ) à R1 (O, , , ) par une rotation d’angle
autour de .
Deuxième rotation: on passe de R1 (O, , , ) à R2 (O, , , ) par une rotation d’angle
autour de .
Troisième rotation: on passe de R2 (O, , , ) à R (O, , , ) par une rotation d’angle
autour de .
Les différentes rotations sont schématisées sur les figures suivantes:
0i
0j
0k
)R/S( 0
i
j
k
0i
0j
0k
u
v
0k
0k
u
v
0k
u
k
u
u
k
i
j
k
k
jo
io
v
u
ko
i
w
u
k
( / ) R R k1 0 0
u v k base directe
, , 0
( / ) R R u2
u
w
v
ko
k
j
( / ) R R u2 1
u w k base directe
, , i j k b a se d ire c te
, ,
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 80
Les trois angles , et sont appelés angles d’Euler et chacun d’eux caractérise un mouvement
particulier. Les noms qui leur sont attribués ont été empruntés de l’astronomie. Ainsi, est un
angle qui caractérise la précession (mouvement conique très lent effectué par l’axe de rotation de
la terre), l'angle caractérise la nutation (léger balancement, de caractère périodique que subit
l’axe de rotation de la terre) alors que l'angle caractérise la rotation propre du solide.
En utilisant la loi de composition des vecteurs rotations, on obtient:
dans
dans avec
2- Moment cinétique en O du solide :
On admet, pour raison de simplification, que le repère R lié au solide est un repère principal
d’inertie pour (S):
dans
O est un point fixe dans R0
3- Moment dynamique en O:
O étant un point fixe dans R0
: Formules d’Euler dans
4- Énergie cinétique:
L'énergie cinétique du solide, en rotation autour du point fixe O, par rapport à R0 est:
kuk)R/R()R/R()R/S()R/R( 0011220
cos
cossinsin
sinsincos
)R/S( o
( , , ) i j ko o o
r
q
p
)R/S( o
( , , ) i j k
p
q
r
cos sin sin
sin sin cos
cos
)R/S,O( o
II O S
A
B
C
( , )
0 0
0 0
0 0
( , , ) i j k
kCrjBqiAp)R/S()S,O(II)R/S,O( oo
)R/S,O( o
0R
oo
dt
)R/S,O(d)R/S,O(
)R/S,O()R/S(dt
)R/S,O(d)R/S,O( oo
R
oo
pqABrC
prCAqB
qrBCpA
)R/S,O( o
( , , ) i j k
222oo
toc CrBqAp
2
1)R/S()S,O(II)R/S(
2
1)R/S(E
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 81
III- Exemple de la toupie symétrique sur sa pointe fixe O
On suppose que (S) est une toupie de révolution autour de reposant par sa pointe fixe sur un
sol horizontal.
Les repères (lié au solide) et (non lié au solide) sont des repères
principaux d’inertie.
Pour simplifier les écritures, on exprimera la matrice d’inertie en O dans le repère R2 (non lié au
solide). Ainsi:
dans
Or
Remarque très importante
La base n’est pas liée au solide, mais on peut quand même utiliser les équations d’Euler
sans grand changement car, à cause de la symétrie du solide par rapport à sont
équivalents à de point de vue des moments d’inertie.
Ici :
Remarque
Pour ne pas avoir à exprimer Mu et Mw on peut procéder différemment.
On détermine le moment résultant par rapport à l’axe Oz de vecteur unitaire :
Mk = Mk = 0
L’équation (c) Cr1 = cte = C1
(1ère
constante du mouvement) (1)
k
R O i j k( , , , )
R O u w k2 ( , , , )
II O S
A
A
C
( , )
0 0
0 0
0 0
( , , ) u w k
kuk)R/S( oo
krwqupkcoswsinu)R/S( 111o
kCrwAquAp)R/S()S,O(II)R/S,O( 111oo
( , , ) u w k
wetu,k
jeti
)S,O(dt
)R/S,O(d)R/S,O(
ext
R
o
o
0
FM
)c(rC
)b(AprpCAqA
)a(AqrqACpA
)R/S,O(
k1
w1111
u1111
o
M
M
M
cosr
sinq
p
1
1
1
k
0kROOkgmOG
0rC 1
1CcosC
O
G
mg
R
io u
jo
ko
k
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 82
La constante C1 est déterminée par les conditions initiales.
Rappel
A et C ne dépendent pas du temps dans la base de R2.
Remarque
Le moment résultant des forces extérieures par rapport à l’axe Ozo, de vecteur unitaire , est
nul.
En effet: rencontre en O et est parallèle à .
Appliquons le théorème du moment cinétique:
avec (2)
La constante C2 est déterminée par les conditions initiales.
Les constantes C1 et C2 permettent d’exprimer en fonction de seulement.
Les équations (1) et (2)
Il reste donc à trouver une équation différentielle contenant
Appliquons le théorème de l’énergie cinétique.
La réaction ne travaille pas car elle est appliquée en O dont la vitesse est nulle.
La seule force restante est le poids qui est une force conservative conservation de l’énergie
mécanique du solide.
Ec(S/Ro) + Ep (S) = Em(S/Ro) = C3
En effet:
On a:
ok
R
ok
gm
ok
)S,O(dt
)R/S,O(dext
R
o
0
FM
0k)S,O(kdt
)R/S,O(doexto
R
o
0
FM
0
dt
k)R/S,O(d
0R
oo
2oo Ck)R/S,O(
wsinkcosk o
2
2 CcoscosCsinA
et
)d(sinA
cosCC
2
12
)e(
sinAC
cosCCcosCsinAC
2
222
1
ou/et,
R
0)R/O(vRR/RPdt
dE00
R
m
0
0
0
RR
0p OGgmdOGdgmR/gmWdE
ctekkmgcteOGgmE 0p
a ctecosmgEp a
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 83
La constante est nulle si Ep = 0 en z = 0 (origine des potentiels)
Donc:
Conservation de l’énergie mécanique:
(3)
Dans l’équation (3), on remplace par son expression de l’équation (d) et par
d’après l’équation (1). On aura alors:
(équation différentielle en ne contenant que )
avec
Allure du mouvement
f() pour 0 ou
f() passe donc nécessairement par un minimum
entre ces deux valeurs de .
Or
Pour le niveau d’énergie Em = C3 (énergie totale de la
toupie dans sons mouvement par rapport à R0), les
seules valeurs de possibles sont comprises entre 1
et 2. Ainsi, la partie de la courbe physiquement valable est celle qui vérifie
f() Em 1 2.
Cas où Em > E0
Plusieurs cas sont à considérer selon le signe de .
Or : est de même signe que
)R/S,O()R/S(2
1)R/S()S,O(II)R/S(
2
1)R/S(E oooo
toc
2220c cosC
2
1sinA
2
1A
2
1)R/S(E
3
222 CcosmgacosC2
1sinA
2
1A
2
1
cosC
C1
3
2
1
2
2
122 CcosmgaC
C
2
1
sinA
cosCC
2
1A
2
1
32 C)(fA
2
1 2
cosmga
C
C
2
1
sinA
cosCC
2
1)(f
2
1
2
2
12
)(fA2
1C 2
3
0)(fCA2
13
2 m3 EC)(f
2
12
sinA
cosCC cosCC 12
f
O
E 0
C 3 = E m
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 84
Les constantes C1 et C2 étant fixées par les conditions initiales, il en est de même pour 1 et 2
qui ne dépendent que de C1, C2 et C3 [en résolvant C3 = F()].
a- , [1, 2 ]
Dans ce cas, garde un signe constant le mouvement se fait toujours dans le même sens.
En représentant, par exemple, la trajectoire de G sur la sphère de rayon OG (sphère car O est
fixe), on obtient la trajectoire de la figure 1.
b- C2 – C1cos change de signe entre 1 et 2
Il en résulte que change également de signe pour une valeur de [1, 2 ] tantôt croît,
tantôt décroît, d’où la représentation de la figure 2.
c- C2 – C1cos s’annule sans changer de signe
Si s’annule pour une valeur n de sans changer de
signe, la courbe obtenue est différente mais difficile à différentier
de celle représentée en (a) sauf si n = 1 ou n = 2.
Par exemple, si n = 1 on aura à l’instant où cette condition est
réalisée, un point G avec une vitesse nulle et sa trajectoire
présente des points de rebroussement comme indiqué sur la figure
3.
Cas où Em = E0
Dans ce cas , = 0 =cte et le mouvement est stationnaire en et sont des
constantes lors du mouvement. Ainsi, la toupie précessionne et tourne uniformément sur elle
même.
Les cas singuliers ( = 0 ou = ) correspondent à une toupie “dormante” en position haute ou
basse.
VI. Solide mobile autour d’un axe fixe
1. Exemple
On considère un solide (S) mobile dans R0 autour d’un axe fixe (). On a intérêt à prendre
le repère R1 lié au solide dont l’origine O1 () et dont l’un de ses axes (axe par exemple),
est un vecteur directeur de ().
0cosCC 12
cosCC 12
0
1k
Figure 1: C2 - C1cos s'annule
sans changer de signe
k
O
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 85
Il en résulte que et
l’expression de ce vecteur est
particulièrement simple :
(par choix)
(O1 fixe)
Remarque
Si la rotation du solide est uniforme ( = cte) est un vecteur constant dans R1.
2. Énergie cinétique
Le point O1 étant fixe dans R0
Soit la résultante des forces agissant sur (S) (y compris les forces de contact).
( O1 lié au solide)
M: est le moment des forces extérieures par rapport à l’axe (). Le calcul de M permettra de
connaître donc (t) si l’intégration est possible puis, (t) par une nouvelle intégration.
(t): angle repérant la rotation du solide autour de l'axe ().
3. Mouvement du centre de gravité
La trajectoire de G est connue : c’est un cercle centré sur l’axe
de rotation.
Le théorème du centre de masse
Soit
: résultante des forces extérieures de liaison ou de contact.
: résultante des forces autres que celles de liaison.
On peut toujours choisir O1 et R1 de telle sorte que G O1x1.
Posons
001 R/SR/R
1101 kk)t(R/R
0R/Ov 01
0101 R/SS,OIIR/S,O
1Rdans
01
C
D
E
)t(
0
0
CDE
DBF
EFA
R/S,O
11101 kCjDiER/S,O
01 R/S,O
20100c C
2
1R/S,OR/S
2
1R/SE
f
1M
O001
R
0c R/SR/Ovfdt
R/SdE
0
MM
1O1kC
MC
fR/Gm 0
ac fff
cf
af
11 iGO
a
k
ji
(S)
k
j
iO
O
k
ji G
O
S/R
Mécanique des systèmes de solides indéformables
M.BOURICH 86
et
D’où les forces de liaison:
Ainsi, même pour une rotation uniforme ( ), le terme ma2 peut atteindre des valeurs très
élevées conduisant à des valeurs élevées de , donc des efforts considérables au niveau des
liaisons (pivots, paliers, etc. …) pour les machines tournant à grande vitesse.
Remède à ce problème
C’est l’équilibrage statique qui consiste à ramener G sur l’axe de rotation ( a =0)
Le torseur des forces extérieures, est alors équivalent à un couple puisque sa résultante générale
est nulle.
Équilibrage dynamique
Supposons une machine tournant à la vitesse constante et déjà équilibrée statiquement.
= cte est un vecteur constant dans R1.
D’après le théorème du moment cinétique:
tend à désaxer le solide ( le faire tourner autour d’un axe à l’axe de rotation ()).
Comme est proportionnel à 2 les efforts sont nuisibles à grande vitesse.
Remède à ce problème: rendre ( 2) E = D = 0 l'axe () est un axe principal
d'inertie.
Dans ce cas ( vecteurs colinéaires )
Donc est // à l’axe de rotation: c’est l’équilibrage dynamique.
0
)G(GOR/SR/SGOdt
R/Sd
0
R/O
0
R/GR/G c1001
R
00110
0
10 kR/S
1
R
0 kdt
R/Sd
0
1
2
111
2
10 ijjkjR/G
aaaa
a1
2
1a0c fijmfR/Gmf
a
0
cf
0R/Gm 0
0fff ac
11101 kCjDiER/S,O
010
R
01
R
01 R/S,OR/S
0
dt
R/S,Od
dt
R/S,Od
10
01O010
R/S,OR/S,OR/S
1M
222
O
01O
01OEDet
R/S,O
R/R
1
1
1
M
M
M
1OM
1OM
01O M
0R/S,OR/S 010
01 R/S,O
BIBLIOGRAPHIE
- Mémoires couronnés par l’académie royale des sciences et belles-Lettres de Bruxelles, tome XI,
chapitre VI, 1873.
- Luis Figuier, Les Merveilles de la science ou description populaire des inventions modernes,
Librairie Furne, Editeurs Jouvet et Cie, Tome 1 des suppléments, 1891
- P.Duhem, L’évolution de la mécanique, A. Hermann, Paris, 1905.
- R. Bricard, Calcul Vectoriel, Armand colin, Paris, 1929.
- P.Costabel, Histoire du moment d’inertie, Revue d’histoire des sciences et leurs applications,
tome3, n°4, pp. 315-336, 1950.
- F. Halbwachs, Angles d'Euler, rotation instantanée et opérateurs quantiques de rotation dans
l'espace temps, Volume 16, Partie 3 de Annales de l'Institut Henri Poincaré, 1959.
- F. Balibar, Galilée, Newton lus par Einstein, PUF,1984.
- C. Chauviré, L’essayeur de Galilée, Belles Lettres, 1989.
- AGATI, LEROUGE et ROSSETTO, Liaisons, mécanismes et assemblages, DUNOD 1994.
- S. Pommier & Y. Berthand, Mécanique générales, Dunod, Paris, 2010.
- M.Hasnaoui et A. EL Maâchai, cours de mécanique 2, Première édition, FSSM, 2010.
Sites WEB
http://www.apprendre-en-ligne.net/MADIMU2/GEOME/GEOME3.PDF
https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit vectoriel https://fr.wikipedia.org/wiki/Torseur https://fr.wikipedia.org/wiki/Les Principes de la philosophie https://fr.wikipedia.org/wiki/Théories scientifiques de Descartes
https://fr.wikipedia.org/wiki/Cinnématique https://fr.wikipedia.org/wiki/Axe instantané de rotation https://fr.wikipedia.org/wiki/Barycentre
https://fr.wikipedia.org/wiki/Eléments d’Euclide https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment cinétique https://fr.wikipedia.org/wiki/Energie cinétique https://fr.wikipedia.org/wiki/Action mécanique https://fr.wikipedia.org/wiki/Référentiel galiléen
https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi de Coulomb https://fr.wikipedia.org/wiki/Liaisons mécaniques
Mécanique des Systèmes de Solides Indéformables
M. BOURICH
Ce cours de mécanique des systèmes de solides indéformables s’adresse aux étudiants en tout
domaine faisant intervenir la mécanique des systèmes de solides indéformables. Mais il est tout
autant destiné aux étudiants des classes préparatoires de la deuxième année de l’école nationale des
sciences appliquées. Il peut être consulté avec profit par les étudiants en DEUG.
Ce manuel expose les principaux concepts de la mécanique des systèmes de solides
indéformables avec une démarche pédagogique innovante incluant les événements clés marquant
histoire de la mécanique. L’ensemble du cours est construit en sept chapitres:
Calcul vectoriel-Torseurs,
Cinématique du solide,
Géométrie des masses,
Cinétique du solide,
Dynamique du solide,
Liaisons-Forces de liaison,
Mouvement d’un solide autour d’un point ou d’un axe fixes.
M. BOURICH, Docteur ès Sciences, Enseignant chercheur à l’École Nationale des Sciences Appliquées-
Marrakech, Spécialité : Énergétique, membre du laboratoire Mécanique des Fluides et Énergétique de
la Faculté des Sciences Semlalia-Marrakech.
On ne peut rien apprendre aux gens. On peut seulement les aider à découvrir qu’ils possèdent déjà
en eux tout ce qui est à apprendre.
Citation de G. Galilée