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Cours de béton armé14: Flambement
Dr Ir P. Boeraeve - Unité 9 Construction - 2007
BAC3 - Helmo -Gramme
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Effet du second ordre
� = Effets induits par la déformation de la structure
� Compression centrée
d’une colonne idéale « parfaitement droite »
Pas d’effet du second ordre
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Effet du second ordre
� Prise en compte des effets du 2nd ordre� MEd = M0Ed+ M2
où :
� M0Ed est le moment du premier ordre, compte tenu de l'effet des imperfections :
� EC2 6.1(4) excentricité minimale:
e0 = max(h/30;20 mm), h étant la hauteur de la section
� EC2 5.2 (9) voiles et poteaux isolés dans les structures contreventées : excentricité additionnelle ei = l0/400 pour couvrir les imperfections liées aux tolérances normales d'exécution.
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Exemple
� Béton C25/30, enrobage 25mm
� Colonne 30cmx30cm avec 4Φ16 dans les coins, étriers Φ6.
� h=4m, bi-articulée� NED= 1000 kN
� Excentricité minimale (20mm)� Excentricité additionnelle ei = l0/400=1cm � -> exc tot=30mm� M0ED= 1000.0,03= 30 kN.m
0000
542
0
M min
0.1fcuAc
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0 20 40 60 80 100MOMENT Mx
kNm
AX
IAL
CO
MP
RE
SS
ION
, N
, kN
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Effet du second ordre
� Prise en compte des effets du 2nd ordre� MEd = M0Ed+ M2
où :
� M2 est le moment nominal du second ordre et vaut :
� M2 = NEd e2
� où :
� NEd est l'effort normal agissant de calcul
� e2 est la déformation de second ordre
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Effet du second ordre
� Non prise en compte des effets du 2nd ordre si :
λλλλ = l0 / i < λλλλlim
où :� l0 est la longueur efficace de la colonne
� i est le rayon de giration de la section de béton non fissurée
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Effet du second ordre
� Non prise en compte des effets du 2nd ordre si :
λλλλ = l0 / i < où :
� A = 1 / (1+0,2ϕϕϕϕ ef) (si ϕ ϕ ϕ ϕ ef n'est pas connu, on peut prendre A
= 0,7) � B = (1 + + + + 2ω) ω) ω) ω) 0,5 (si ωωωω n'est pas connu, on peut prendre B =
1,1)� C = 1,7 - rm (si rm n'est pas connu, on peut prendre C = 0,7)� ϕϕϕϕ ef coefficient de fluage effectif � ω ω ω ω = Asfyd / (Acfcd) (ratio mécanique d'armatures )
� As est l'aire totale de la section des armatures longitudinales � n = NEd / (Acfcd); effort normal relatif � rm = M01/M02; rapport des moments
� M01, M02 sont les moments d'extrémité du premier ordre,
M02 ≥≥≥≥ M01
lim = 20 A B C / n λ
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Exemple
� Béton C25/30, enrobage 25mm
� Colonne 30cmx30cm avec 4Φ16 dans les coins, étriers Φ6.
� h=4m, bi-articulée, pas de prise en compte du fluage� NED= 1000 kN
� l0= 400 cm3 /12
8.6612
I bh hi cm
A bh= = = =
0 / 46.19l iλ = =
12
Exemple
� Non prise en compte des effets du 2nd ordre si :
λλλλ = l0 / i = 46.2 < où :
� A = 1 (ϕ ϕ ϕ ϕ ef =0 pas de prise en compte du fluage)� B = (1 + + + + 2ω) ω) ω) ω) 0,5 =1.24 � C = 1,7 - rm = 0.7 � ω ω ω ω = Asfyd / (Acfcd) = 0.2743� n = NEd / (Acfcd) = 106/(300x300x14.17)=0.78� rm = M01/M02 = 1
lim = 20 A B C / n λ
lim = 20 A B C / n =15.82λ
� prise en compte des effets du 2nd ordre
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Longueur de flambement : lo
� Structures contreventées (Braced)
� Structures non contreventées (Unbraced)
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Effet du second ordre
� Prise en compte des effets du 2nd ordre� MEd = M0Ed+ NEd e2
où :
NEd est l'effort normal agissant de calcul
e2 est la déformation de second ordre
e2 = (1/c) . (1/r) lo2
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Effet du second ordre
� Prise en compte des effets du 2nd ordree2 = (1/c) . (1/r) lo
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1/r est la courbure, mais la courbure n’est pas constante sur la hauteur de la colonne.
Variation de la courbure sur la hauteur
1/r = Kr⋅Kϕ⋅1/r0
2
2
1d y
dx rχ= =
1/c ≅ 1/10 (EC2)
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Calcul de la courbure 1/r
� Que vaut la courbure en ce point du diagramme d’interaction?
0
1(0.0035 / ) /
1' 2 : /(0.45 )
yd sbal
yd
f E dr
l EC prend dr
ε
= +
=
20
Exemple
� Béton C25/30, enrobage 25mm
� Colonne 30cmx30cm avec 4Φ16 dans les coins, étriers Φ6.
� h=4m, bi-articulée, sans fluage
� NED= 1000 kN
Calc effet 2nd ordre1/rbal 1.851E-05 mm-1
Kφ 1
Kr 0.5431948
1/r 1.005E-05 mm-1
e2 20.108273 mm
M2 20.108273 kNm
Mtot 50.108273 kNm
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FluageFluage
Ec,eff = Ecm(t0) / (1 + φ(t,t0))
-t0 est l'instant initial du chargement-t est l'instant considéré du calcul-Ecm(t0) le module d'Young au moment du chargement-φ(t,t0) le coefficient de fluage à la référence de 28 jours
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FluageFluage
3ème étape : calculer h0 et rechercher φ(∞,t0)
A
Colonne 30cmx30cm
� h0= 2x30x30/(4x30)=15cm�φ(∞,t0)=2.8
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FluageFluage
Colonne 30cmx30cm�h0= 2x30x30/(4x30)=15cm�φ(∞,t0)=2.8et on a :
ϕϕϕϕef = ϕϕϕϕ (∞∞∞∞,t0) ⋅⋅⋅⋅M0Eqp / M0Ed
donnée
ho 150 mm
ϕϕϕϕ (∞∞∞∞,t 0) 2.8M0Eqp= 17.6471 kNmM0ED= 30 kNm
φef= 1.64706
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Fluage
� Prise en compte du fluage � effets du second ordre encore plus forts
50.7
56.5
42.0
M min
0.1fcuAc
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0 20 40 60 80 100MOMENT Mx
kNm
AX
IAL
CO
MP
RE
SS
ION
, N
, kN
selon EC nu 1.27425327
n 0.78431373
nbal 0.4
Kr 0.56040917
Kφ 1.27519035
1/r= 1.3227E-05
e2= 26.4544898 mm
M2 26.4544898 kNm
Mtot= 56.4544898 kNm
Au lieu de Mtot=50.7 kNm, sans fluage