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Cours 4
Rappels de cineacutematique
2
1 Introduction Dans les reacuteactions nucleacuteaires on a besoin de connaicirctre les eacutenergies les vitesses (ou les impulsions) des diffeacuterents noyaux (ou particules) qui interviennent Pour ce faire le physicien expeacuterimentateur doit deacutefinir un systegraveme de reacutefeacuterence le plus naturel est celui dit du laboratoire noteacute par la suite L
Deux lois fondamentales de la meacutecanique reacutegissent les chocs
La conservation de leacutenergie totale (Energie cineacutetique + Energie de masse)
La conservation de limpulsion
Appelons P
le vecteur impulsion La conservation de limpulsion entraicircne
finalincident PP
3
Dans une reacuteaction agrave 2 corps + + supposons que la particule soit au repos dans le systegraveme L du laboratoire La position de sera prise comme origine du systegraveme L et laxe des x sera fixeacute par la direction du faisceau incident
Si on construit un repegravere droit tel que le plan (xy) contiens limpulsion 3P
de la
particule alors la conservation de limpulsion entraicircne que 4P
soit dans ce
plan Pour tous les calculs on se placera dans ce plan dit plan de reacuteaction Pour les preacutevisions theacuteoriques un autre systegraveme de reacutefeacuterence noteacute G par la suite permet de simplifier ces calculs le systegraveme dit du centre de masse Le systegraveme du centre de masse est un reacutefeacuterentiel pour lequel la somme des quantiteacutes de mouvement des particules de la voie + dentreacutee (ou de la voie de sortie + ) est nulle Le systegraveme du centre de masse se deacuteplace dans le laboratoire selon laxe des x avec une vitesse constante la vitesse du centre de masse Les 2 systegravemes sont des systegravemes de reacutefeacuterence Galileacuteens En effet
4
On appelle systegraveme de reacutefeacuterence Galileacuteen (ou inertiel) tout systegraveme par rapport auquel tout objet initialement au repos reste au repos ou initialement en mouvement agrave une vitesse constante conserve cette vitesse
Le mouvement drsquoune particule libre dans un systegraveme de reacutefeacuterence donneacute est entiegraverement deacutefini si lrsquoon connaicirct sa masse sa vitesse et sa direction Apregraves une interaction (choc eacutelastique ou ineacutelastique deacutesinteacutegration en vol ou agrave repos mateacuterialisation) on peut calculer n paramegravetres en fonction des paramegravetres initiaux des lois de conservation de lrsquoeacutenergie et des projections des quantiteacutes de mouvement et si lrsquoon se donne des paramegravetres manquants Par exemple dans un choc eacutelastique proton-proton les eacutenergies et directions initiales eacutetant connues si lrsquoon se donne la direction drsquoun proton diffuseacute on pourra calculer son eacutenergie la direction et lrsquoeacutenergie du deuxiegraveme proton diffuseacute Le but de ce cours est drsquoeacutetablir des relations geacuteneacuterales entre les diffeacuterentes grandeurs deacutecrivant le mouvement des particules et nous permettre ainsi de preacutevoir
5
- les conditions eacutenergeacutetiques de production des particules par les diffeacuterents types drsquointeractions possibles - leurs caracteacuteristiques meacutecaniques qui deacutetermineront la meacutethode expeacuterimentale de deacutetection et de mesure des sections efficaces dont la connaissance est neacutecessaire pour eacutetablir les lois de force Ce cours est utile pour comprendre la production et lrsquoutilisation des particules nucleacuteaires et est neacutecessaire pour la reacutesolution des problegravemes expeacuterimentaux Dans ce qui suit traiterons le cas geacuteneacuteral des particules relativistes Nous deacuteduiront eacutegalement les formules dans le cas non relativiste Deacutefinitions Les reacutesultats expeacuterimentaux sont obtenus dans le systegraveme de reacutefeacuterence lieacute au laboratoire (L) Lrsquointerpreacutetation theacuteorique des reacutesultats se fait le plus simplement dans le systegraveme du centre de masse (G) Les reacutesultats expeacuterimentaux devront donc ecirctre transposeacutes dans le systegraveme G pour interpreacutetation
6
Le systegraveme G a lrsquoavantage suppleacutementaire de permettre une simplification des calculs de cineacutematique la reacutesolution des eacutequations de conservation eacutetant souvent tregraves fastidieuse dans le systegraveme L Avant la reacuteaction
Apregraves la reacuteaction
y
x x
y
Systegraveme L Systegraveme G
1 2 1 2
x x
y y
Systegraveme L Systegraveme G
3
4 4
3
7
2 Caracteacuteristiques dune particule dans les 2 systegravemes
Dans tout ce qui suit c repreacutesente la vitesse de la lumiegravere dans le vide (c=310
8 ms)
Une particule dans le systegraveme du laboratoire (L) M masse au repos (en uniteacute deacutenergie MeV) M=mc
2
v vitesse
c
v
21
1
βγ
E eacutenergie cineacutetique W = E + M eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV) Pour eacuteviter davoir c dans lexpression de limpulsion (qui en soit sexprime en MeVc) on lutilise sous la forme P=pc
P = impulsion (en MeV) MP
8
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse
c
v
21
1
E eacutenergie cineacutetique
MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)
P = cp impulsion (en MeV)
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique
Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse
9
c
VΒ
21
1
ΒΓ
3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc
MM
PMEMW
2
22
1
WP
MP
PME
MEE
W
Mβ
22
22
2
21
WβMβ
MβMEEMWP
212222
Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP
10
Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur
est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens
Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(
i ii i mais
attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(
i i
4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G
21 B
Vtxx
21 B
tVxx
2
2
1 B
c
Vxt
t
2
2
1 B
c
xVt
t
yy
11
b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G
cosvtx
sinvty
avec angle entre Ox et limpulsion
costvx
sintvy
avec angle entre xO et limpulsion
22 1
)cos(
1cos
B
tVtv
B
tVxvtx
)θ(βΒ
V)θ(v
tc
xVVv
B
)xc
Vt(
B
tV)θ(tv
t
xv
xv
cos1
cos
)2
1(
)cos(
21
221
coscos
12
)θ(βΒ
B)θ(v
)xc
Vt(
B)θ(tv
t
y
t
yvvy
cos1
1sin1sinsin
2
2
2
Comme x
y
v
vtg
on obtient
Κ)θ(
)θ(
Γtgθ
cos
sin1 ougrave vVBK
c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a
2
22222
2
22
2
22
))cos(1(
)(sin)cos(2
c
vv
c
v yx
13
dougrave ))θ(BβΓ(γ
βγ cos1
1
1
2
Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G
Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1
Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW
x
xx
xxx
v
VvΓγvMβΓ(γ
)θ(βΒ
VvMγMvcp
))cos(1
cos1
On en deacuteduit
Β)WpΓ())θ(β
ΒΓ(pp xxx
cos1
14
De mecircme pour la projection suivant laxe y
yy
y
yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ
ΒvMγMvcp
cos1
cos1
1 2
soit yy pp
Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle
xx p
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
ou dans lautre sens
xxp
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
avec
21
1
BΓ
15
5 Cineacutematique agrave deux corps
51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement
Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121
par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW
Vitesse du centre de graviteacute
txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121
parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale
ci-dessus on obtient t
xx
W
ppB 21
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
2
1 Introduction Dans les reacuteactions nucleacuteaires on a besoin de connaicirctre les eacutenergies les vitesses (ou les impulsions) des diffeacuterents noyaux (ou particules) qui interviennent Pour ce faire le physicien expeacuterimentateur doit deacutefinir un systegraveme de reacutefeacuterence le plus naturel est celui dit du laboratoire noteacute par la suite L
Deux lois fondamentales de la meacutecanique reacutegissent les chocs
La conservation de leacutenergie totale (Energie cineacutetique + Energie de masse)
La conservation de limpulsion
Appelons P
le vecteur impulsion La conservation de limpulsion entraicircne
finalincident PP
3
Dans une reacuteaction agrave 2 corps + + supposons que la particule soit au repos dans le systegraveme L du laboratoire La position de sera prise comme origine du systegraveme L et laxe des x sera fixeacute par la direction du faisceau incident
Si on construit un repegravere droit tel que le plan (xy) contiens limpulsion 3P
de la
particule alors la conservation de limpulsion entraicircne que 4P
soit dans ce
plan Pour tous les calculs on se placera dans ce plan dit plan de reacuteaction Pour les preacutevisions theacuteoriques un autre systegraveme de reacutefeacuterence noteacute G par la suite permet de simplifier ces calculs le systegraveme dit du centre de masse Le systegraveme du centre de masse est un reacutefeacuterentiel pour lequel la somme des quantiteacutes de mouvement des particules de la voie + dentreacutee (ou de la voie de sortie + ) est nulle Le systegraveme du centre de masse se deacuteplace dans le laboratoire selon laxe des x avec une vitesse constante la vitesse du centre de masse Les 2 systegravemes sont des systegravemes de reacutefeacuterence Galileacuteens En effet
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On appelle systegraveme de reacutefeacuterence Galileacuteen (ou inertiel) tout systegraveme par rapport auquel tout objet initialement au repos reste au repos ou initialement en mouvement agrave une vitesse constante conserve cette vitesse
Le mouvement drsquoune particule libre dans un systegraveme de reacutefeacuterence donneacute est entiegraverement deacutefini si lrsquoon connaicirct sa masse sa vitesse et sa direction Apregraves une interaction (choc eacutelastique ou ineacutelastique deacutesinteacutegration en vol ou agrave repos mateacuterialisation) on peut calculer n paramegravetres en fonction des paramegravetres initiaux des lois de conservation de lrsquoeacutenergie et des projections des quantiteacutes de mouvement et si lrsquoon se donne des paramegravetres manquants Par exemple dans un choc eacutelastique proton-proton les eacutenergies et directions initiales eacutetant connues si lrsquoon se donne la direction drsquoun proton diffuseacute on pourra calculer son eacutenergie la direction et lrsquoeacutenergie du deuxiegraveme proton diffuseacute Le but de ce cours est drsquoeacutetablir des relations geacuteneacuterales entre les diffeacuterentes grandeurs deacutecrivant le mouvement des particules et nous permettre ainsi de preacutevoir
5
- les conditions eacutenergeacutetiques de production des particules par les diffeacuterents types drsquointeractions possibles - leurs caracteacuteristiques meacutecaniques qui deacutetermineront la meacutethode expeacuterimentale de deacutetection et de mesure des sections efficaces dont la connaissance est neacutecessaire pour eacutetablir les lois de force Ce cours est utile pour comprendre la production et lrsquoutilisation des particules nucleacuteaires et est neacutecessaire pour la reacutesolution des problegravemes expeacuterimentaux Dans ce qui suit traiterons le cas geacuteneacuteral des particules relativistes Nous deacuteduiront eacutegalement les formules dans le cas non relativiste Deacutefinitions Les reacutesultats expeacuterimentaux sont obtenus dans le systegraveme de reacutefeacuterence lieacute au laboratoire (L) Lrsquointerpreacutetation theacuteorique des reacutesultats se fait le plus simplement dans le systegraveme du centre de masse (G) Les reacutesultats expeacuterimentaux devront donc ecirctre transposeacutes dans le systegraveme G pour interpreacutetation
6
Le systegraveme G a lrsquoavantage suppleacutementaire de permettre une simplification des calculs de cineacutematique la reacutesolution des eacutequations de conservation eacutetant souvent tregraves fastidieuse dans le systegraveme L Avant la reacuteaction
Apregraves la reacuteaction
y
x x
y
Systegraveme L Systegraveme G
1 2 1 2
x x
y y
Systegraveme L Systegraveme G
3
4 4
3
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2 Caracteacuteristiques dune particule dans les 2 systegravemes
Dans tout ce qui suit c repreacutesente la vitesse de la lumiegravere dans le vide (c=310
8 ms)
Une particule dans le systegraveme du laboratoire (L) M masse au repos (en uniteacute deacutenergie MeV) M=mc
2
v vitesse
c
v
21
1
βγ
E eacutenergie cineacutetique W = E + M eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV) Pour eacuteviter davoir c dans lexpression de limpulsion (qui en soit sexprime en MeVc) on lutilise sous la forme P=pc
P = impulsion (en MeV) MP
8
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse
c
v
21
1
E eacutenergie cineacutetique
MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)
P = cp impulsion (en MeV)
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique
Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse
9
c
VΒ
21
1
ΒΓ
3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc
MM
PMEMW
2
22
1
WP
MP
PME
MEE
W
Mβ
22
22
2
21
WβMβ
MβMEEMWP
212222
Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP
10
Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur
est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens
Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(
i ii i mais
attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(
i i
4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G
21 B
Vtxx
21 B
tVxx
2
2
1 B
c
Vxt
t
2
2
1 B
c
xVt
t
yy
11
b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G
cosvtx
sinvty
avec angle entre Ox et limpulsion
costvx
sintvy
avec angle entre xO et limpulsion
22 1
)cos(
1cos
B
tVtv
B
tVxvtx
)θ(βΒ
V)θ(v
tc
xVVv
B
)xc
Vt(
B
tV)θ(tv
t
xv
xv
cos1
cos
)2
1(
)cos(
21
221
coscos
12
)θ(βΒ
B)θ(v
)xc
Vt(
B)θ(tv
t
y
t
yvvy
cos1
1sin1sinsin
2
2
2
Comme x
y
v
vtg
on obtient
Κ)θ(
)θ(
Γtgθ
cos
sin1 ougrave vVBK
c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a
2
22222
2
22
2
22
))cos(1(
)(sin)cos(2
c
vv
c
v yx
13
dougrave ))θ(BβΓ(γ
βγ cos1
1
1
2
Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G
Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1
Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW
x
xx
xxx
v
VvΓγvMβΓ(γ
)θ(βΒ
VvMγMvcp
))cos(1
cos1
On en deacuteduit
Β)WpΓ())θ(β
ΒΓ(pp xxx
cos1
14
De mecircme pour la projection suivant laxe y
yy
y
yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ
ΒvMγMvcp
cos1
cos1
1 2
soit yy pp
Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle
xx p
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
ou dans lautre sens
xxp
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
avec
21
1
BΓ
15
5 Cineacutematique agrave deux corps
51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement
Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121
par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW
Vitesse du centre de graviteacute
txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121
parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale
ci-dessus on obtient t
xx
W
ppB 21
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
3
Dans une reacuteaction agrave 2 corps + + supposons que la particule soit au repos dans le systegraveme L du laboratoire La position de sera prise comme origine du systegraveme L et laxe des x sera fixeacute par la direction du faisceau incident
Si on construit un repegravere droit tel que le plan (xy) contiens limpulsion 3P
de la
particule alors la conservation de limpulsion entraicircne que 4P
soit dans ce
plan Pour tous les calculs on se placera dans ce plan dit plan de reacuteaction Pour les preacutevisions theacuteoriques un autre systegraveme de reacutefeacuterence noteacute G par la suite permet de simplifier ces calculs le systegraveme dit du centre de masse Le systegraveme du centre de masse est un reacutefeacuterentiel pour lequel la somme des quantiteacutes de mouvement des particules de la voie + dentreacutee (ou de la voie de sortie + ) est nulle Le systegraveme du centre de masse se deacuteplace dans le laboratoire selon laxe des x avec une vitesse constante la vitesse du centre de masse Les 2 systegravemes sont des systegravemes de reacutefeacuterence Galileacuteens En effet
4
On appelle systegraveme de reacutefeacuterence Galileacuteen (ou inertiel) tout systegraveme par rapport auquel tout objet initialement au repos reste au repos ou initialement en mouvement agrave une vitesse constante conserve cette vitesse
Le mouvement drsquoune particule libre dans un systegraveme de reacutefeacuterence donneacute est entiegraverement deacutefini si lrsquoon connaicirct sa masse sa vitesse et sa direction Apregraves une interaction (choc eacutelastique ou ineacutelastique deacutesinteacutegration en vol ou agrave repos mateacuterialisation) on peut calculer n paramegravetres en fonction des paramegravetres initiaux des lois de conservation de lrsquoeacutenergie et des projections des quantiteacutes de mouvement et si lrsquoon se donne des paramegravetres manquants Par exemple dans un choc eacutelastique proton-proton les eacutenergies et directions initiales eacutetant connues si lrsquoon se donne la direction drsquoun proton diffuseacute on pourra calculer son eacutenergie la direction et lrsquoeacutenergie du deuxiegraveme proton diffuseacute Le but de ce cours est drsquoeacutetablir des relations geacuteneacuterales entre les diffeacuterentes grandeurs deacutecrivant le mouvement des particules et nous permettre ainsi de preacutevoir
5
- les conditions eacutenergeacutetiques de production des particules par les diffeacuterents types drsquointeractions possibles - leurs caracteacuteristiques meacutecaniques qui deacutetermineront la meacutethode expeacuterimentale de deacutetection et de mesure des sections efficaces dont la connaissance est neacutecessaire pour eacutetablir les lois de force Ce cours est utile pour comprendre la production et lrsquoutilisation des particules nucleacuteaires et est neacutecessaire pour la reacutesolution des problegravemes expeacuterimentaux Dans ce qui suit traiterons le cas geacuteneacuteral des particules relativistes Nous deacuteduiront eacutegalement les formules dans le cas non relativiste Deacutefinitions Les reacutesultats expeacuterimentaux sont obtenus dans le systegraveme de reacutefeacuterence lieacute au laboratoire (L) Lrsquointerpreacutetation theacuteorique des reacutesultats se fait le plus simplement dans le systegraveme du centre de masse (G) Les reacutesultats expeacuterimentaux devront donc ecirctre transposeacutes dans le systegraveme G pour interpreacutetation
6
Le systegraveme G a lrsquoavantage suppleacutementaire de permettre une simplification des calculs de cineacutematique la reacutesolution des eacutequations de conservation eacutetant souvent tregraves fastidieuse dans le systegraveme L Avant la reacuteaction
Apregraves la reacuteaction
y
x x
y
Systegraveme L Systegraveme G
1 2 1 2
x x
y y
Systegraveme L Systegraveme G
3
4 4
3
7
2 Caracteacuteristiques dune particule dans les 2 systegravemes
Dans tout ce qui suit c repreacutesente la vitesse de la lumiegravere dans le vide (c=310
8 ms)
Une particule dans le systegraveme du laboratoire (L) M masse au repos (en uniteacute deacutenergie MeV) M=mc
2
v vitesse
c
v
21
1
βγ
E eacutenergie cineacutetique W = E + M eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV) Pour eacuteviter davoir c dans lexpression de limpulsion (qui en soit sexprime en MeVc) on lutilise sous la forme P=pc
P = impulsion (en MeV) MP
8
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse
c
v
21
1
E eacutenergie cineacutetique
MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)
P = cp impulsion (en MeV)
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique
Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse
9
c
VΒ
21
1
ΒΓ
3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc
MM
PMEMW
2
22
1
WP
MP
PME
MEE
W
Mβ
22
22
2
21
WβMβ
MβMEEMWP
212222
Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP
10
Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur
est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens
Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(
i ii i mais
attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(
i i
4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G
21 B
Vtxx
21 B
tVxx
2
2
1 B
c
Vxt
t
2
2
1 B
c
xVt
t
yy
11
b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G
cosvtx
sinvty
avec angle entre Ox et limpulsion
costvx
sintvy
avec angle entre xO et limpulsion
22 1
)cos(
1cos
B
tVtv
B
tVxvtx
)θ(βΒ
V)θ(v
tc
xVVv
B
)xc
Vt(
B
tV)θ(tv
t
xv
xv
cos1
cos
)2
1(
)cos(
21
221
coscos
12
)θ(βΒ
B)θ(v
)xc
Vt(
B)θ(tv
t
y
t
yvvy
cos1
1sin1sinsin
2
2
2
Comme x
y
v
vtg
on obtient
Κ)θ(
)θ(
Γtgθ
cos
sin1 ougrave vVBK
c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a
2
22222
2
22
2
22
))cos(1(
)(sin)cos(2
c
vv
c
v yx
13
dougrave ))θ(BβΓ(γ
βγ cos1
1
1
2
Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G
Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1
Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW
x
xx
xxx
v
VvΓγvMβΓ(γ
)θ(βΒ
VvMγMvcp
))cos(1
cos1
On en deacuteduit
Β)WpΓ())θ(β
ΒΓ(pp xxx
cos1
14
De mecircme pour la projection suivant laxe y
yy
y
yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ
ΒvMγMvcp
cos1
cos1
1 2
soit yy pp
Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle
xx p
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
ou dans lautre sens
xxp
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
avec
21
1
BΓ
15
5 Cineacutematique agrave deux corps
51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement
Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121
par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW
Vitesse du centre de graviteacute
txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121
parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale
ci-dessus on obtient t
xx
W
ppB 21
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
4
On appelle systegraveme de reacutefeacuterence Galileacuteen (ou inertiel) tout systegraveme par rapport auquel tout objet initialement au repos reste au repos ou initialement en mouvement agrave une vitesse constante conserve cette vitesse
Le mouvement drsquoune particule libre dans un systegraveme de reacutefeacuterence donneacute est entiegraverement deacutefini si lrsquoon connaicirct sa masse sa vitesse et sa direction Apregraves une interaction (choc eacutelastique ou ineacutelastique deacutesinteacutegration en vol ou agrave repos mateacuterialisation) on peut calculer n paramegravetres en fonction des paramegravetres initiaux des lois de conservation de lrsquoeacutenergie et des projections des quantiteacutes de mouvement et si lrsquoon se donne des paramegravetres manquants Par exemple dans un choc eacutelastique proton-proton les eacutenergies et directions initiales eacutetant connues si lrsquoon se donne la direction drsquoun proton diffuseacute on pourra calculer son eacutenergie la direction et lrsquoeacutenergie du deuxiegraveme proton diffuseacute Le but de ce cours est drsquoeacutetablir des relations geacuteneacuterales entre les diffeacuterentes grandeurs deacutecrivant le mouvement des particules et nous permettre ainsi de preacutevoir
5
- les conditions eacutenergeacutetiques de production des particules par les diffeacuterents types drsquointeractions possibles - leurs caracteacuteristiques meacutecaniques qui deacutetermineront la meacutethode expeacuterimentale de deacutetection et de mesure des sections efficaces dont la connaissance est neacutecessaire pour eacutetablir les lois de force Ce cours est utile pour comprendre la production et lrsquoutilisation des particules nucleacuteaires et est neacutecessaire pour la reacutesolution des problegravemes expeacuterimentaux Dans ce qui suit traiterons le cas geacuteneacuteral des particules relativistes Nous deacuteduiront eacutegalement les formules dans le cas non relativiste Deacutefinitions Les reacutesultats expeacuterimentaux sont obtenus dans le systegraveme de reacutefeacuterence lieacute au laboratoire (L) Lrsquointerpreacutetation theacuteorique des reacutesultats se fait le plus simplement dans le systegraveme du centre de masse (G) Les reacutesultats expeacuterimentaux devront donc ecirctre transposeacutes dans le systegraveme G pour interpreacutetation
6
Le systegraveme G a lrsquoavantage suppleacutementaire de permettre une simplification des calculs de cineacutematique la reacutesolution des eacutequations de conservation eacutetant souvent tregraves fastidieuse dans le systegraveme L Avant la reacuteaction
Apregraves la reacuteaction
y
x x
y
Systegraveme L Systegraveme G
1 2 1 2
x x
y y
Systegraveme L Systegraveme G
3
4 4
3
7
2 Caracteacuteristiques dune particule dans les 2 systegravemes
Dans tout ce qui suit c repreacutesente la vitesse de la lumiegravere dans le vide (c=310
8 ms)
Une particule dans le systegraveme du laboratoire (L) M masse au repos (en uniteacute deacutenergie MeV) M=mc
2
v vitesse
c
v
21
1
βγ
E eacutenergie cineacutetique W = E + M eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV) Pour eacuteviter davoir c dans lexpression de limpulsion (qui en soit sexprime en MeVc) on lutilise sous la forme P=pc
P = impulsion (en MeV) MP
8
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse
c
v
21
1
E eacutenergie cineacutetique
MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)
P = cp impulsion (en MeV)
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique
Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse
9
c
VΒ
21
1
ΒΓ
3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc
MM
PMEMW
2
22
1
WP
MP
PME
MEE
W
Mβ
22
22
2
21
WβMβ
MβMEEMWP
212222
Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP
10
Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur
est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens
Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(
i ii i mais
attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(
i i
4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G
21 B
Vtxx
21 B
tVxx
2
2
1 B
c
Vxt
t
2
2
1 B
c
xVt
t
yy
11
b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G
cosvtx
sinvty
avec angle entre Ox et limpulsion
costvx
sintvy
avec angle entre xO et limpulsion
22 1
)cos(
1cos
B
tVtv
B
tVxvtx
)θ(βΒ
V)θ(v
tc
xVVv
B
)xc
Vt(
B
tV)θ(tv
t
xv
xv
cos1
cos
)2
1(
)cos(
21
221
coscos
12
)θ(βΒ
B)θ(v
)xc
Vt(
B)θ(tv
t
y
t
yvvy
cos1
1sin1sinsin
2
2
2
Comme x
y
v
vtg
on obtient
Κ)θ(
)θ(
Γtgθ
cos
sin1 ougrave vVBK
c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a
2
22222
2
22
2
22
))cos(1(
)(sin)cos(2
c
vv
c
v yx
13
dougrave ))θ(BβΓ(γ
βγ cos1
1
1
2
Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G
Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1
Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW
x
xx
xxx
v
VvΓγvMβΓ(γ
)θ(βΒ
VvMγMvcp
))cos(1
cos1
On en deacuteduit
Β)WpΓ())θ(β
ΒΓ(pp xxx
cos1
14
De mecircme pour la projection suivant laxe y
yy
y
yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ
ΒvMγMvcp
cos1
cos1
1 2
soit yy pp
Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle
xx p
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
ou dans lautre sens
xxp
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
avec
21
1
BΓ
15
5 Cineacutematique agrave deux corps
51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement
Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121
par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW
Vitesse du centre de graviteacute
txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121
parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale
ci-dessus on obtient t
xx
W
ppB 21
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
5
- les conditions eacutenergeacutetiques de production des particules par les diffeacuterents types drsquointeractions possibles - leurs caracteacuteristiques meacutecaniques qui deacutetermineront la meacutethode expeacuterimentale de deacutetection et de mesure des sections efficaces dont la connaissance est neacutecessaire pour eacutetablir les lois de force Ce cours est utile pour comprendre la production et lrsquoutilisation des particules nucleacuteaires et est neacutecessaire pour la reacutesolution des problegravemes expeacuterimentaux Dans ce qui suit traiterons le cas geacuteneacuteral des particules relativistes Nous deacuteduiront eacutegalement les formules dans le cas non relativiste Deacutefinitions Les reacutesultats expeacuterimentaux sont obtenus dans le systegraveme de reacutefeacuterence lieacute au laboratoire (L) Lrsquointerpreacutetation theacuteorique des reacutesultats se fait le plus simplement dans le systegraveme du centre de masse (G) Les reacutesultats expeacuterimentaux devront donc ecirctre transposeacutes dans le systegraveme G pour interpreacutetation
6
Le systegraveme G a lrsquoavantage suppleacutementaire de permettre une simplification des calculs de cineacutematique la reacutesolution des eacutequations de conservation eacutetant souvent tregraves fastidieuse dans le systegraveme L Avant la reacuteaction
Apregraves la reacuteaction
y
x x
y
Systegraveme L Systegraveme G
1 2 1 2
x x
y y
Systegraveme L Systegraveme G
3
4 4
3
7
2 Caracteacuteristiques dune particule dans les 2 systegravemes
Dans tout ce qui suit c repreacutesente la vitesse de la lumiegravere dans le vide (c=310
8 ms)
Une particule dans le systegraveme du laboratoire (L) M masse au repos (en uniteacute deacutenergie MeV) M=mc
2
v vitesse
c
v
21
1
βγ
E eacutenergie cineacutetique W = E + M eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV) Pour eacuteviter davoir c dans lexpression de limpulsion (qui en soit sexprime en MeVc) on lutilise sous la forme P=pc
P = impulsion (en MeV) MP
8
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse
c
v
21
1
E eacutenergie cineacutetique
MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)
P = cp impulsion (en MeV)
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique
Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse
9
c
VΒ
21
1
ΒΓ
3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc
MM
PMEMW
2
22
1
WP
MP
PME
MEE
W
Mβ
22
22
2
21
WβMβ
MβMEEMWP
212222
Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP
10
Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur
est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens
Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(
i ii i mais
attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(
i i
4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G
21 B
Vtxx
21 B
tVxx
2
2
1 B
c
Vxt
t
2
2
1 B
c
xVt
t
yy
11
b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G
cosvtx
sinvty
avec angle entre Ox et limpulsion
costvx
sintvy
avec angle entre xO et limpulsion
22 1
)cos(
1cos
B
tVtv
B
tVxvtx
)θ(βΒ
V)θ(v
tc
xVVv
B
)xc
Vt(
B
tV)θ(tv
t
xv
xv
cos1
cos
)2
1(
)cos(
21
221
coscos
12
)θ(βΒ
B)θ(v
)xc
Vt(
B)θ(tv
t
y
t
yvvy
cos1
1sin1sinsin
2
2
2
Comme x
y
v
vtg
on obtient
Κ)θ(
)θ(
Γtgθ
cos
sin1 ougrave vVBK
c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a
2
22222
2
22
2
22
))cos(1(
)(sin)cos(2
c
vv
c
v yx
13
dougrave ))θ(BβΓ(γ
βγ cos1
1
1
2
Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G
Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1
Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW
x
xx
xxx
v
VvΓγvMβΓ(γ
)θ(βΒ
VvMγMvcp
))cos(1
cos1
On en deacuteduit
Β)WpΓ())θ(β
ΒΓ(pp xxx
cos1
14
De mecircme pour la projection suivant laxe y
yy
y
yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ
ΒvMγMvcp
cos1
cos1
1 2
soit yy pp
Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle
xx p
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
ou dans lautre sens
xxp
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
avec
21
1
BΓ
15
5 Cineacutematique agrave deux corps
51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement
Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121
par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW
Vitesse du centre de graviteacute
txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121
parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale
ci-dessus on obtient t
xx
W
ppB 21
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
6
Le systegraveme G a lrsquoavantage suppleacutementaire de permettre une simplification des calculs de cineacutematique la reacutesolution des eacutequations de conservation eacutetant souvent tregraves fastidieuse dans le systegraveme L Avant la reacuteaction
Apregraves la reacuteaction
y
x x
y
Systegraveme L Systegraveme G
1 2 1 2
x x
y y
Systegraveme L Systegraveme G
3
4 4
3
7
2 Caracteacuteristiques dune particule dans les 2 systegravemes
Dans tout ce qui suit c repreacutesente la vitesse de la lumiegravere dans le vide (c=310
8 ms)
Une particule dans le systegraveme du laboratoire (L) M masse au repos (en uniteacute deacutenergie MeV) M=mc
2
v vitesse
c
v
21
1
βγ
E eacutenergie cineacutetique W = E + M eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV) Pour eacuteviter davoir c dans lexpression de limpulsion (qui en soit sexprime en MeVc) on lutilise sous la forme P=pc
P = impulsion (en MeV) MP
8
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse
c
v
21
1
E eacutenergie cineacutetique
MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)
P = cp impulsion (en MeV)
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique
Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse
9
c
VΒ
21
1
ΒΓ
3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc
MM
PMEMW
2
22
1
WP
MP
PME
MEE
W
Mβ
22
22
2
21
WβMβ
MβMEEMWP
212222
Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP
10
Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur
est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens
Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(
i ii i mais
attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(
i i
4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G
21 B
Vtxx
21 B
tVxx
2
2
1 B
c
Vxt
t
2
2
1 B
c
xVt
t
yy
11
b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G
cosvtx
sinvty
avec angle entre Ox et limpulsion
costvx
sintvy
avec angle entre xO et limpulsion
22 1
)cos(
1cos
B
tVtv
B
tVxvtx
)θ(βΒ
V)θ(v
tc
xVVv
B
)xc
Vt(
B
tV)θ(tv
t
xv
xv
cos1
cos
)2
1(
)cos(
21
221
coscos
12
)θ(βΒ
B)θ(v
)xc
Vt(
B)θ(tv
t
y
t
yvvy
cos1
1sin1sinsin
2
2
2
Comme x
y
v
vtg
on obtient
Κ)θ(
)θ(
Γtgθ
cos
sin1 ougrave vVBK
c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a
2
22222
2
22
2
22
))cos(1(
)(sin)cos(2
c
vv
c
v yx
13
dougrave ))θ(BβΓ(γ
βγ cos1
1
1
2
Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G
Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1
Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW
x
xx
xxx
v
VvΓγvMβΓ(γ
)θ(βΒ
VvMγMvcp
))cos(1
cos1
On en deacuteduit
Β)WpΓ())θ(β
ΒΓ(pp xxx
cos1
14
De mecircme pour la projection suivant laxe y
yy
y
yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ
ΒvMγMvcp
cos1
cos1
1 2
soit yy pp
Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle
xx p
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
ou dans lautre sens
xxp
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
avec
21
1
BΓ
15
5 Cineacutematique agrave deux corps
51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement
Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121
par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW
Vitesse du centre de graviteacute
txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121
parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale
ci-dessus on obtient t
xx
W
ppB 21
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
7
2 Caracteacuteristiques dune particule dans les 2 systegravemes
Dans tout ce qui suit c repreacutesente la vitesse de la lumiegravere dans le vide (c=310
8 ms)
Une particule dans le systegraveme du laboratoire (L) M masse au repos (en uniteacute deacutenergie MeV) M=mc
2
v vitesse
c
v
21
1
βγ
E eacutenergie cineacutetique W = E + M eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV) Pour eacuteviter davoir c dans lexpression de limpulsion (qui en soit sexprime en MeVc) on lutilise sous la forme P=pc
P = impulsion (en MeV) MP
8
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse
c
v
21
1
E eacutenergie cineacutetique
MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)
P = cp impulsion (en MeV)
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique
Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse
9
c
VΒ
21
1
ΒΓ
3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc
MM
PMEMW
2
22
1
WP
MP
PME
MEE
W
Mβ
22
22
2
21
WβMβ
MβMEEMWP
212222
Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP
10
Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur
est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens
Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(
i ii i mais
attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(
i i
4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G
21 B
Vtxx
21 B
tVxx
2
2
1 B
c
Vxt
t
2
2
1 B
c
xVt
t
yy
11
b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G
cosvtx
sinvty
avec angle entre Ox et limpulsion
costvx
sintvy
avec angle entre xO et limpulsion
22 1
)cos(
1cos
B
tVtv
B
tVxvtx
)θ(βΒ
V)θ(v
tc
xVVv
B
)xc
Vt(
B
tV)θ(tv
t
xv
xv
cos1
cos
)2
1(
)cos(
21
221
coscos
12
)θ(βΒ
B)θ(v
)xc
Vt(
B)θ(tv
t
y
t
yvvy
cos1
1sin1sinsin
2
2
2
Comme x
y
v
vtg
on obtient
Κ)θ(
)θ(
Γtgθ
cos
sin1 ougrave vVBK
c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a
2
22222
2
22
2
22
))cos(1(
)(sin)cos(2
c
vv
c
v yx
13
dougrave ))θ(BβΓ(γ
βγ cos1
1
1
2
Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G
Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1
Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW
x
xx
xxx
v
VvΓγvMβΓ(γ
)θ(βΒ
VvMγMvcp
))cos(1
cos1
On en deacuteduit
Β)WpΓ())θ(β
ΒΓ(pp xxx
cos1
14
De mecircme pour la projection suivant laxe y
yy
y
yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ
ΒvMγMvcp
cos1
cos1
1 2
soit yy pp
Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle
xx p
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
ou dans lautre sens
xxp
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
avec
21
1
BΓ
15
5 Cineacutematique agrave deux corps
51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement
Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121
par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW
Vitesse du centre de graviteacute
txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121
parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale
ci-dessus on obtient t
xx
W
ppB 21
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
8
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse
c
v
21
1
E eacutenergie cineacutetique
MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)
P = cp impulsion (en MeV)
angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique
Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse
9
c
VΒ
21
1
ΒΓ
3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc
MM
PMEMW
2
22
1
WP
MP
PME
MEE
W
Mβ
22
22
2
21
WβMβ
MβMEEMWP
212222
Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP
10
Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur
est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens
Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(
i ii i mais
attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(
i i
4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G
21 B
Vtxx
21 B
tVxx
2
2
1 B
c
Vxt
t
2
2
1 B
c
xVt
t
yy
11
b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G
cosvtx
sinvty
avec angle entre Ox et limpulsion
costvx
sintvy
avec angle entre xO et limpulsion
22 1
)cos(
1cos
B
tVtv
B
tVxvtx
)θ(βΒ
V)θ(v
tc
xVVv
B
)xc
Vt(
B
tV)θ(tv
t
xv
xv
cos1
cos
)2
1(
)cos(
21
221
coscos
12
)θ(βΒ
B)θ(v
)xc
Vt(
B)θ(tv
t
y
t
yvvy
cos1
1sin1sinsin
2
2
2
Comme x
y
v
vtg
on obtient
Κ)θ(
)θ(
Γtgθ
cos
sin1 ougrave vVBK
c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a
2
22222
2
22
2
22
))cos(1(
)(sin)cos(2
c
vv
c
v yx
13
dougrave ))θ(BβΓ(γ
βγ cos1
1
1
2
Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G
Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1
Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW
x
xx
xxx
v
VvΓγvMβΓ(γ
)θ(βΒ
VvMγMvcp
))cos(1
cos1
On en deacuteduit
Β)WpΓ())θ(β
ΒΓ(pp xxx
cos1
14
De mecircme pour la projection suivant laxe y
yy
y
yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ
ΒvMγMvcp
cos1
cos1
1 2
soit yy pp
Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle
xx p
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
ou dans lautre sens
xxp
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
avec
21
1
BΓ
15
5 Cineacutematique agrave deux corps
51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement
Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121
par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW
Vitesse du centre de graviteacute
txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121
parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale
ci-dessus on obtient t
xx
W
ppB 21
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
9
c
VΒ
21
1
ΒΓ
3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc
MM
PMEMW
2
22
1
WP
MP
PME
MEE
W
Mβ
22
22
2
21
WβMβ
MβMEEMWP
212222
Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP
10
Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur
est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens
Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(
i ii i mais
attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(
i i
4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G
21 B
Vtxx
21 B
tVxx
2
2
1 B
c
Vxt
t
2
2
1 B
c
xVt
t
yy
11
b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G
cosvtx
sinvty
avec angle entre Ox et limpulsion
costvx
sintvy
avec angle entre xO et limpulsion
22 1
)cos(
1cos
B
tVtv
B
tVxvtx
)θ(βΒ
V)θ(v
tc
xVVv
B
)xc
Vt(
B
tV)θ(tv
t
xv
xv
cos1
cos
)2
1(
)cos(
21
221
coscos
12
)θ(βΒ
B)θ(v
)xc
Vt(
B)θ(tv
t
y
t
yvvy
cos1
1sin1sinsin
2
2
2
Comme x
y
v
vtg
on obtient
Κ)θ(
)θ(
Γtgθ
cos
sin1 ougrave vVBK
c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a
2
22222
2
22
2
22
))cos(1(
)(sin)cos(2
c
vv
c
v yx
13
dougrave ))θ(BβΓ(γ
βγ cos1
1
1
2
Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G
Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1
Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW
x
xx
xxx
v
VvΓγvMβΓ(γ
)θ(βΒ
VvMγMvcp
))cos(1
cos1
On en deacuteduit
Β)WpΓ())θ(β
ΒΓ(pp xxx
cos1
14
De mecircme pour la projection suivant laxe y
yy
y
yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ
ΒvMγMvcp
cos1
cos1
1 2
soit yy pp
Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle
xx p
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
ou dans lautre sens
xxp
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
avec
21
1
BΓ
15
5 Cineacutematique agrave deux corps
51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement
Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121
par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW
Vitesse du centre de graviteacute
txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121
parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale
ci-dessus on obtient t
xx
W
ppB 21
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
10
Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur
est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens
Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(
i ii i mais
attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(
i i
4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G
21 B
Vtxx
21 B
tVxx
2
2
1 B
c
Vxt
t
2
2
1 B
c
xVt
t
yy
11
b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G
cosvtx
sinvty
avec angle entre Ox et limpulsion
costvx
sintvy
avec angle entre xO et limpulsion
22 1
)cos(
1cos
B
tVtv
B
tVxvtx
)θ(βΒ
V)θ(v
tc
xVVv
B
)xc
Vt(
B
tV)θ(tv
t
xv
xv
cos1
cos
)2
1(
)cos(
21
221
coscos
12
)θ(βΒ
B)θ(v
)xc
Vt(
B)θ(tv
t
y
t
yvvy
cos1
1sin1sinsin
2
2
2
Comme x
y
v
vtg
on obtient
Κ)θ(
)θ(
Γtgθ
cos
sin1 ougrave vVBK
c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a
2
22222
2
22
2
22
))cos(1(
)(sin)cos(2
c
vv
c
v yx
13
dougrave ))θ(BβΓ(γ
βγ cos1
1
1
2
Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G
Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1
Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW
x
xx
xxx
v
VvΓγvMβΓ(γ
)θ(βΒ
VvMγMvcp
))cos(1
cos1
On en deacuteduit
Β)WpΓ())θ(β
ΒΓ(pp xxx
cos1
14
De mecircme pour la projection suivant laxe y
yy
y
yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ
ΒvMγMvcp
cos1
cos1
1 2
soit yy pp
Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle
xx p
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
ou dans lautre sens
xxp
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
avec
21
1
BΓ
15
5 Cineacutematique agrave deux corps
51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement
Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121
par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW
Vitesse du centre de graviteacute
txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121
parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale
ci-dessus on obtient t
xx
W
ppB 21
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
11
b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G
cosvtx
sinvty
avec angle entre Ox et limpulsion
costvx
sintvy
avec angle entre xO et limpulsion
22 1
)cos(
1cos
B
tVtv
B
tVxvtx
)θ(βΒ
V)θ(v
tc
xVVv
B
)xc
Vt(
B
tV)θ(tv
t
xv
xv
cos1
cos
)2
1(
)cos(
21
221
coscos
12
)θ(βΒ
B)θ(v
)xc
Vt(
B)θ(tv
t
y
t
yvvy
cos1
1sin1sinsin
2
2
2
Comme x
y
v
vtg
on obtient
Κ)θ(
)θ(
Γtgθ
cos
sin1 ougrave vVBK
c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a
2
22222
2
22
2
22
))cos(1(
)(sin)cos(2
c
vv
c
v yx
13
dougrave ))θ(BβΓ(γ
βγ cos1
1
1
2
Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G
Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1
Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW
x
xx
xxx
v
VvΓγvMβΓ(γ
)θ(βΒ
VvMγMvcp
))cos(1
cos1
On en deacuteduit
Β)WpΓ())θ(β
ΒΓ(pp xxx
cos1
14
De mecircme pour la projection suivant laxe y
yy
y
yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ
ΒvMγMvcp
cos1
cos1
1 2
soit yy pp
Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle
xx p
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
ou dans lautre sens
xxp
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
avec
21
1
BΓ
15
5 Cineacutematique agrave deux corps
51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement
Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121
par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW
Vitesse du centre de graviteacute
txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121
parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale
ci-dessus on obtient t
xx
W
ppB 21
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
12
)θ(βΒ
B)θ(v
)xc
Vt(
B)θ(tv
t
y
t
yvvy
cos1
1sin1sinsin
2
2
2
Comme x
y
v
vtg
on obtient
Κ)θ(
)θ(
Γtgθ
cos
sin1 ougrave vVBK
c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a
2
22222
2
22
2
22
))cos(1(
)(sin)cos(2
c
vv
c
v yx
13
dougrave ))θ(BβΓ(γ
βγ cos1
1
1
2
Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G
Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1
Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW
x
xx
xxx
v
VvΓγvMβΓ(γ
)θ(βΒ
VvMγMvcp
))cos(1
cos1
On en deacuteduit
Β)WpΓ())θ(β
ΒΓ(pp xxx
cos1
14
De mecircme pour la projection suivant laxe y
yy
y
yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ
ΒvMγMvcp
cos1
cos1
1 2
soit yy pp
Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle
xx p
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
ou dans lautre sens
xxp
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
avec
21
1
BΓ
15
5 Cineacutematique agrave deux corps
51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement
Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121
par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW
Vitesse du centre de graviteacute
txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121
parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale
ci-dessus on obtient t
xx
W
ppB 21
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
13
dougrave ))θ(BβΓ(γ
βγ cos1
1
1
2
Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G
Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1
Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW
x
xx
xxx
v
VvΓγvMβΓ(γ
)θ(βΒ
VvMγMvcp
))cos(1
cos1
On en deacuteduit
Β)WpΓ())θ(β
ΒΓ(pp xxx
cos1
14
De mecircme pour la projection suivant laxe y
yy
y
yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ
ΒvMγMvcp
cos1
cos1
1 2
soit yy pp
Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle
xx p
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
ou dans lautre sens
xxp
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
avec
21
1
BΓ
15
5 Cineacutematique agrave deux corps
51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement
Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121
par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW
Vitesse du centre de graviteacute
txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121
parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale
ci-dessus on obtient t
xx
W
ppB 21
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
14
De mecircme pour la projection suivant laxe y
yy
y
yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ
ΒvMγMvcp
cos1
cos1
1 2
soit yy pp
Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle
xx p
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
ou dans lautre sens
xxp
W
ΓΓB
ΓBΓ
p
W
yy pp
avec
21
1
BΓ
15
5 Cineacutematique agrave deux corps
51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement
Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121
par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW
Vitesse du centre de graviteacute
txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121
parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale
ci-dessus on obtient t
xx
W
ppB 21
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
15
5 Cineacutematique agrave deux corps
51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement
Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121
par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW
Vitesse du centre de graviteacute
txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121
parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale
ci-dessus on obtient t
xx
W
ppB 21
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
16
52 Retour sur linvariant relativiste
Linvariant 22 )P()W(
iii i est tregraves utile pour calculer simplement les
constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules
Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2
21
2
21 (une certaine valeur)
Dans le systegraveme du centre de masse 0P
KW)WW( t 22
21
Pour le cas dune cible au repos 111220
2EM WM WP
22
121
2
2
2
1 2 tWPWWWW soit 12
2
2
2
1
2 2 WMMMWt
ou encore 12
2
21
2 2 EM)M(MWt
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
17
53 Reacuteaction + +
Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau
2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par
tW
p
MW
βW
MγM
γβMB 1
21
11
211
111
Dans la voie de sortie nous avons
2
3
2
3333 MWWP
2
4
2
44
2
44 MWβWP
Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt
t
t
t
t
ΓW
)M(MΓW
W
MMWW
22
2
4
2
3
222
4
2
3
2
3
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
18
3
2
3
2
4
222
3
2
4
2
422
WWΓW
)M(MΓW
W
MMWW t
t
t
t
t
Si 2413 et MMMM on a 13 PP
54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)
Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par
Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)
Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24
13
MM
MM
dougrave Q=0
Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
19
Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse
Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire
444
333
22
111
MEW
MEW
MW
MEW
et 1434321 EEEQWWWW
(conservation de leacutenergie totale)
Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)
4433
44331
sinsin0
coscos
PP
PPP
soit 3344
33144
sinsin
coscos
PP
PPP
et apregraves eacuteleacutevation au
carreacute et sommation
331
2
3
2
1
2
4 cos2 PPPPP
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
20
En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44
2
4
2
4 2 EMEP
En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale
03cos33223112
212)43(32)314(12)314(2
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par
M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)
avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3
si en keV)
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
21
55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse
)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)
21121 WMWWWt
Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la
reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)
En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2
2
2
2
2
2
2
2
221
1
)P(P)W(W
WW
)P(PW
W
ΒΓ
ss
s
st
t
(2)
En remplaccedilant Pi par22
ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation
suivante
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
22
0)2())(2(44 2
2122212
22
2 aEMMEaMMEEEM ss
avec
)](2[ 21 MMQQa
Si la particule 2 est au repos 2
21
2
)](2[
M
MMQQEs
56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil
Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n
))cos(1 nnnn βΓ(WW
Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n
dougrave ΓMW nns
et )(ΓME nns 1
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
23
En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM
WWΓ s
21
2
dougrave
QMM
QEE
QMM
QMWMW
QMM
WWΓ sss
21
2
21
221
21
2 11
on obtient
QMM
QEEME s
nns
21
2
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
24
57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est
dd
d
ddd
d
dtot )sin(
)()sin(
)(
d
d )( et d
d )( sont les
sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont
indeacutependantes de lrsquoangle
d
d
d
d
)sin(
)sin(
)(
)(
Κθ
θ
Γtgθ
cos
sin1 (1) ougrave BK et )(1
)()sin(
2
tg
tg
(2)
En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation
)(sin))(cos(
)sin(
)(1
)()sin(
2222
tg
tg
)(sin))(cos(
)sin(
)sin( 222
(3)
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
25
En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons
))θ(ΚΓ(
)θ(Κ))θ((Γ
dθ
θd
cos1
sincos 222
(4)
23222 ))(sin))(cos((
))cos(1(
)sin(
)sin(
)(
)(
d
d
d
d
58 Cas particuliers
Deacutesinteacutegration dune particule en vol
Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule
βW
p
W
ppΒ
t
xx 21
Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M
MWWWW tt
t
Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
26
1
2
4
2
3
2
1
2
4
2
3
2
322 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
3
2
33 1
W
M
1
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
422 M
MMM
W
MMWW
t
t
2
4
2
44 1
W
M
et dans le laboratoire
))θ(ββγ(WW 3333 cos1
))cos(1( 4444 WW
β))θ(β
β)θ(β)tg(θ
33
2
33
3cos
1sin
34
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
27
Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos
La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1
11 MWWW tt
Pour la voie de sortie
1
2
4
2
3
2
133
2M
MMMWW
2
3
2
3
3 1W
M
1
2
3
2
4
2
144
2M
MMMWW
2
4
2
44 1
W
M
Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire
1
2
4
2
31333
2
)(
M
MMMMWE
1
2
3
2
41444
2
)(
M
MMMMWE
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
28
)()cos(
)sin()( n
n
nn tgtg
33 34
Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
29
6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples
1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2
EMcβMcP 222 on retrouve 2
21
MvE
2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au
repos) nous avons obtenu c
v
MME
ME
MW
WB 1
211
11
21
11
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
Vvv
11 soit 1
21
21 v
MM
Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
MEEMEM
MM
MEQ
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
v
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
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35
1
1
2
33
3lim3
Kv
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Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
30
Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c
v
MM
MB 1
21
1
et 1
21
1 vMM
MV
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11 soit 1
21
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Mv
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
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32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
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33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
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35
1
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Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
31
3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale
0cos222)(2)(2)(2 333
2
311
2
14333141314
2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ
En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave
)1()cos(2
)1(4
1133311
44
33
M
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32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
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33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
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35
1
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Kv
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Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
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sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
32
En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse
v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv
soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne
avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la
construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V
3v 3v
En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G
v
V
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33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
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V
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35
1
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Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
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sin donc 1313 M
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Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
33
Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour
3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes
Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg
il ny a pas dangle limite
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
34
b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes
La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3
On a
V
v3lim3sin
ougrave
3 lim 3v
V
v3
35
1
1
2
33
3lim3
Kv
vtg
Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg
35
1
1
2
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3lim3
Kv
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Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique
1
2lim3
sin donc 1313 M
Mθvv pp
Exemple 12
C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg