Cours 1: Courbes Planes Parametrees 1
Cours 1. Etude des Courbes Planes
Parametrees
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Idee intuitive d’une courbe parametree
Considerons une particule que se deplace dans le plan euclidien.
Nous voulons etudier la trajectoire de la particule ;
– La position de la particule.
– La vitesse de la particule, l’acceleration, peut-etre les derivees
par rapport au temps de l’ordre 3, 4, etc. ( ca veut dire le taux
de changement d’acceleration, etc.).
– La courbure de la trajectoire.
– La trace de la trajectoire pour avoir une vue plus globale.
– Est-ce qu’il y a des points interessants ou la courbe change
direction brutalement, la courbe se croise, etc.
– Par exemple une particule peut se deplacer le long d’une droite,
un cercle, ou des choses plus compliquees :
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a) b)
c)
Figure 1 – a) une droite, b) un cercle, c) un « papillon »
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– En supposant un repere (O;~i;~j) on peut decrire les courbes de la
Fig. 1 avec des equations :
a) y = 2x− 3, b) x2 + y2 = 1, c) y2 − 4x2(1− x2) = 0. (1)
Nous allons trouver une facon plus simple utilisant les
mathematiques plus puissantes.
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Definition plus precise d’une courbe
parametree
– Nous supposons le repere orthornome (O;~i,~j) dans le plan
euclidien.
– On peut reperer la particule avec les deux fonctions coordonnees
x(t) et y(t) qui donnent les distances a l’origine O dans les
directions ~i et ~j en fonction de temps t :
−−→OM(t) = x(t)~i+ y(t)~j. (2)
NB : Les vecteur ~i et ~j sont orthonormaux, d’ou :
~i ·~i = 1, ~i ·~j = 0,
~j ·~j = 1. (3)
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– Une courbe parametree est la donnee du repere et d’une
application a F : I ⊂ R→ R2 continue, ou F (t) = (x(t), y(t)), qui
menent a un ensemble de points M(t) quand t d’ecrit l’intervale
I.
– Remarque : Quand l’intervalle I n’est pas donne explicitement,
on le suppose d’etre le domaine de definition de l’application F .
Souvent c’est un « intervalle avec des trous ». Par exemple, la
courbe parametree definie par l’application
F (t) = (t3 + t, 1/t) (4)
a pour essemble de definition t ∈ R\{0}, ca veut dire tous les
nombres reels sauf 0. Pourquoi ? La fonction y : R→ R defini par
y(t) = 1/t ne donne pas un nombre reel lorsque t = 0. (L’infini
n’est pas un nombre reel.)
a. On lit cette phrase : l’application F est de l’intervalle I reel dans R. Ca veut
dire l’application F prend un argument t qui est un nombre reel dans l’intervalle
I et F donne les couples (x, y) ou x et y sont reels.
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– Quand il y a un trou (respectivement plusieurs trous) le domaine
de definition est l’ensemble de deux intervalles (respectivement
plusieurs intervalles) et ca serait plus precis de parler de deux
courbes (respectivement plusieurs courbes). Mais nous ne ferons
pas la distinction et parlons simplement du intervalle et la courbe
singuliers.
– Nous ferons les deux hypotheses
(i) les fonctions coordonnees sont des fonctions analytiques ; i.e.
elles ont un developpement limite de Taylor autour de n’importe
quel point t0 de leur domaine I :
x(t) =∞∑k=0
(t− t0)k
k!
dkx
dtk
∣∣∣∣∣t=t0
,
y(t) =
∞∑k=0
(t− t0)k
k!
dky
dtk
∣∣∣∣∣t=t0
,
(5)
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(ii) la courbe n’est pas un seul point : M(t) = (x0, y0), avec x0, y0
deux constantes.
Hypothese (i) est important pour nous parce qu’elle implique
tous ordres n ∈ N>0 des derivees de x(t) et y(t)
dnx(t)
dtn, et
dny(t)
dtn. (6)
existent sur I. Hypothese (ii) implique que ce n’est pas le cas ou
toutes les derivees sont zero.
– Nous ferons un rappel quand les hypotheses interviennent.
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Exercice 1
– Pour les exemples dans equation (1)
a) y = 2x− 3, b) x2 + y2 = 1, c) y = ±2x√
1− x2. (7)
trouver les fonctions F : t 7→ (x(t), y(t)) qui parametre courbes.
– a) Solution. On peut decrire une droite avec la somme d’un
vecteur qui donne la position d’un point P sur la droite, par
exemple−−→OP = −3~j et un vecteur u0 =~i+ 2~j parallele a la droite
(on dit un vecteur directeur ) « etendu » ou « dilate » par le
parametre t ∈ R :
−−→OM(t) =
−−→OP + t ~u0,
= −3~j + t (~i+ 2~j),
= x(t)~i+ y(t)~j. (8)
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Alors, F (t) = (x(t), y(y)) est donnee par
x(t) = t,
y(t) = −3 + 2t. (9)
– b) Indice : Designer la Fig. 2 :
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t
Figure 2 – Le cercle unitaire, trouver les coordonnees x(t) et y(t)
comme fonctions trignometriques de l’angle t.
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– c) Indice : Les fonctions coordonnees sont les fonction
trignometriques, periodiques, comme dans b). Mais regardez,
dans b) ils ont la meme periode. Ici, y fait combien de cycles
pour chaque cycle complet de x ?
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Remarques
– Les courbes generales incluent les objets mathematiques plus
generaux ( la courbe de Peano qui rempli le carre par exemple ).
Nous nous concentrons sur les courbe parametrees avec les deux
fonctions coordonnees bien definies par des fonctions analytiques.
– Meme avec cette limitation, on peut voir des choses interessantes ;
par exemple les courbes parametrees pour laquelles il n’y a
aucune droites qui traversent la courbe en un point special.
– Les courbes parametrees sont plus generales que les fonctions
f : R→ R avec y := f(x). Par exemple, considerons le cercle, la
courbe b) de Fig. 1. Est-ce qu’on peut trouver une fonction
analytique f(x) qui decrit cette courbe ? (Rappelez-vous que
l’equation b) dans Eq. (1) n’est pas une fonction, c’est une
relation. Quel est le probleme ?
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– Pour il n’importe quel courbe parametree, il y a un nombre infini
de parametrages differents, qui donnent les memes points. Par
exemple, on peut decrire le cercle avec les applications
F : t 7→ (x(t), y(t)) suivants :x(t) = cos(2t),
y(t) = sin(2t),(10)
x(t) = cos(t3),
y(t) = sin(t3).(11)
et un nombre infini d’autres possibilites. Pourriez-vous en
trouvez une ?
– Il faut donc distinguer entre l’ensemble des points dans la courbe
parametree (F (I) = M(t),∀t ∈ I) et la courbe parametree avec
notre choix de parametrage. L’essemble des points F (I) quel que
soit le parametrage, est appele le support de F . Desole, mais
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 15
dans les cours de Lescop, il appele le support « la courbe », et la
courbe « l’arc parametree ».
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Etude locale : tangente, vitesse,
acceleration
– Dans l’interpretation de la courbe parametree comme la
description d’une particule qui se meut dans le plan, nous nous
interessons la vitesse :
~v :=d−−→OM(t)
dt= x′(t)~i+ y′(t)~j. (12)
– Dans le cas ou ~v(t0) 6= ~0, en t0 ∈ I, la vitesse donne un vecteur
directeur de la tangente a la courbe en t0. Dans ce cas, nous
dissons donc que M(t0) est un point regulier. La courbe est
reguliere si chaque point est regulier.
– Si, par contre, ~v(t0) = ~0, en t0 ∈ I, nous dissons que M(t0) est
un point singulier, ou en particulier un point stationaire. On
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peut toujours a trouver un vecteur directeur pour la tangente a la
courbe en t0. Si l’acceleration ~a :
~a(t) :=d2−−→OM(t)
dt2= x′′(t)~i+ y′′(t)~j, (13)
n’est pas le vecteur nul, ~a 6= ~0, alors ~a donne un vecteur directeur
de la tangente a la courbe en t0.
– C’est bien possible que tous les deux ~v = ~a = ~0 en t0. Dans le cas
general, soit p > 0 le plus petit entier tel que
dp−−→OM(t)
dtp6= ~0, (14)
alors un vecteur directeur de la tangente en t0 est dp−−→OM(t)/dtp.
a. rapplez-vous notre deux hypotheses : (i) les fonctions coordonnees sont des
fonctions analytiques, (ii) la courbe n’est pas un seul point
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Exercice 2 : tangente, vitesse,
acceleration
Pour une particule qui suit le cercle parametree comme dans
Eqs. (10) et (11) :
– (a) Est-ce qu’il y a des points stationaires ?
– (b) Calculer la vitesse au temps t = 0. Trouver un vecteur
directeur pour la tangente en t = 0.
– (c) Si les fonctions coordonnees ont des unites de metres, et le
parametre t a des unites de secondes, essayez de trouver les
unites de la vitesse que nous avons trouve dans (b). Il faut tirer
quelle lecon de cet exercice ? Indice : penser a la definition d’une
fonction trignometrique comme sin(θ). Quelles sont les unites de
θ ?
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– (d) Est-ce que l’acceleration est toujours orthogonale a la vitesse
pour cette courbe ?
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Exercice 1 : Solution
Pour une particule qui suit le cercle parametree comme dans
Eqs. (10) et (11) :
– (a) Les points stationaires : Le parametrage de l’Eq. (10)
n’admet aucuns points stationaires. En particulier, pour que
x′(t) = −2 sin(2t) = 0, on a t = nπ/2, n = 0, 1, . . .. Mais dans ces
cas on a y′(t) = 2 cos(2t) = ±1.
Par contre, le parametrage de l’Eq. (11) admet un point
stationaire en t = 0. En particulier, pour que
x′(t) = −3t2 sin(t3) = 0, on a t = nπ/2, n = 0, 1, . . .. Et dans ces
cas on a y′(t) = 3t2 cos(t3) = 0 en t = 0.
– (b) La vitesse : La vitesse est donnee par Eq. (12). Pour le
parametrage Eq. (10), on a au temps t = 0, x′(0) = 0 et
y′(0) = 2 cos(0) = 2, alors ~v(0) = 2~j . C’est un vecteur directeur
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de la tangente a la courbe en t = 0.
– Pour le parametrage de l’Eq. (11) nous venons de trouver au
temps t = 0 qu’il y a un point stationaire en t = 0 :
x′(0) = −3t2 sin(t3)|t=0 = 0, y′(0) = 3t2 cos(t3)|t=0 = 0, (15)
La vitesse est nulle : ~v(0) = ~0. Mais le graphe indique que la
tangente au point (x(0), y(0)) = (1, 0) est verticale.
On cherche le vecteur derive de plus petit ordre qui n’est pas
egale a ~0. La derivee seconde donne le vecteur nul aussi :
x′′(0) = −3t(2 sin(t3) + 3t3 cos(t3)
)|t=0 = 0,
y′′(0) = 3t(2 cos(t3)− 3t3 sin(t3)
)|t=0 = 0. (16)
Finalement on trouve, pour la derivee troisieme :
x′′′(0) = 3(9t6 sin(t3)− 18t3 cos(t3)− 2 sin(t3)
)|t=0 = 0,
y′′′(0) = 3(−9t6 cos(t3)− 18t3 sin(t3) + 2 cos(t3)
)|t=0 = 6. (17)
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 22
et donc
d3−−→OM
dt3(0) = 6~j. (18)
La tangente en t = 0 admet 6~j pour vecteur directeur, qui est
bien verticale comme dans le graphe du cercle unitaire au point
(1, 0).
– (c) Unite de la vitesse : Pour le parametrage du cercle dans
Eq. (10),
x(t) = cos(2t), y(t) = sin(2t), (19)
on voit qu’il y a un « 1 [m] » implicite devant le cosinus et le
sinus pour que x et y ont les unites de metre :
x(t)[m] = 1[m] cos(2t), y(t)[m] = 1[m] sin(2t), (20)
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Mais les derivees semblent d’avoir les unites de metres aussi,
x′(t) = −2 sin(2t)[m], y′(t) = 2 cos(2t)[m], (21)
bien que nous voulons unites de [m/s] ! Ou ce trouve l’erreur ?
L’indice indique il faut penser aux unites des arguments d’une
fonction trignometrique :
sin(θ) =b
c, θ =
s
R=
une longueur
une longueur[sans dimension] (22)
Comment avoir les arguments des fonctions trigonometrique de
l’Eq. (20) sans dimension ? Il faut avoir une echelle de temps
implicite dans le denominateur :
x(t)[m] = 1[m] cos
(2t[s]
1[s]
), y(t)[m] = 1[m] sin
(2t[s]
1[s]
), (23)
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 24
Puis on prend la derivee,
x′ = −21[m]
1[s]sin
(2t[s]
1[s]
)= 2[m s−1] sin
(2t[s]
1[s]
), (24)
ce qui donne l’unite de vitesse.
– La lecon a tirer est que les fonctions trignometriques (et
l’exponentiel, logarithme, . . . ) ont des arguments sans
dimensions. Dans les applications practiques, c’est plus facile de
suivre les unites si l’on ecrit :
x(t) = R cos(ωt), y(t) = R sin(ωt), (25)
ou R a des unites de longueur, en SI les metres, et ω est la
pulsation avec dimensions l’inverse du temps, en SI (rad · s−1).
– (d) Pour le parametrage de l’Eq. (10), la norme de la vitesse est
constante :
‖~v‖ :=√~v · ~v =
√(−2 sin(2t))2 + (2 cos(2t))2 = 2. (26)
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 25
La vitesse ne peut que changer de direction, alors l’acceleration
est forcement perpendiculaire a la vitesse. L’acceleration est
~a =d~v
dt= −4 cos(2t)~i− 4 sin(2t)~j, (27)
et donc
~v · ~a = +8 sin(2t) cos(2t)− 8 sin(2t) cos(2t) = 0. (28)
Par contre pour le parametrage de l’Eq. (11), la norme de la
vitesse n’est pas constante :
‖~v‖ :=√~v · ~v =
√(−3t2 sin(t3))2 + (3t2 cos(t3))2 = 3t2. (29)
Alors l’acceleration n’est pas toujours perpendiculaire a la
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 26
vitesse :
~v · ~a = −3t2 sin(t3)[−3t(2 sin(t3) + 3t3 cos(t3)
)]
+ 3t2 cos(t3)3t(2 cos(t3)− 3t3 sin(t3)
),
= 18t3. (30)
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 27
Etude globale
Quelles sont les questions que l’on peut poser sur la nature globale
de la courbe ?
Comparer les courbes dans Fig. 3
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 28
a) b)
c)
Figure 3 – a) une droite, b) un cercle, c) un « papillon »
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 29
– Le cercle et le papillon ne depassent pas au-dela d’une certaine
distance a l’origine, mais la droite tend vers l’infini dans les deux
sens :
Lorsque t→ +∞, x(t), y(t)→ +∞Lorsque t→ −∞, x(t), y(t)→ −∞
(31)
– Cette observation mene a la definition d’une branche infinie
ci-dessous.
– Alors, nous appelerons t0 une extremite de I ; t0 n’appartient pas
a I et t0 peut etre un reel ou +∞ ou −∞.
Branche Infinie Si au moins une des fonctions coordonnees
tend vers l’infini lorsque t tend vers t0, on dit que la courbe
parametree admet une branche infinie en t0.
– Alors une question importante on peut poser : Est-ce que la
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 30
courbe s’approche a l’infini ? Plus formalement : est-ce que la
courbe parametree admet une branche infinie ?
– Mais il y a plusieurs facons d’approcher a l’infini :
1. Seulement une des coordonnees tend vers l’infini, lorsque
l’autre reste finie. C’est-a-dire on peut avoir une asymptote
verticale ou horizontale :
limt→t0
x(t) =∞, asymptote horizontale d’equation y = a.
limt→t0
y(t) = a ∈ R. (32)
Ou
limt→t0
x(t) = a ∈ R, asymptote verticale d’equation x = a.
limt→t0
y(t) =∞. (33)
Voir Fig. 4.
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 31
a) b)
Figure 4 – a) F (t) = (t, 1/t) : Une asymptote verticale en t0 =
0, d’equation x = 0. b) F (t) = (t, 2π arctan(t)) : Les asymptotes
horizontales en t0 = ±∞ d’equation y = ±1.
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 32
2. Tous les deux coordonnees tendent vers l’infini. Mais dans ce
cas, il y a encore des possibilites differentes. Comparer la
droite de Fig. 3 avec la parabole
x(t) = t,
y(t) = t2. (34)
Voir Fig. 5.
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 33
a) b)
Figure 5 – a) F (t) = (t,−3+2t) : Une droite, limt→∞ y(t)/x(t) = 2.
b) F (t) = (t, t2) : Une parabole, limt→∞ y(t)/x(t) =∞.
Pour la droite le rapport des deux reste fini :
limt→∞ y(t)/x(t) = constante. Par contre, pour la parabole, y
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 34
tend vers l’infini plus vite que x.
3. Cette observation mene a la definition suivante : Considerons
une courbe qui admet une branche infinie en t0 tel que tous
les deux coordonnees tendent vers l’infini. Si y(t) tend vers
l’infini plus vite que x(t) on dit que la courbe admet une
branche parabolique de direction Oy. Par contre si x(t) tend
vers l’infini plus vite que y(t) on dit que la courbe admet une
branche parabolique de direction Ox.
limt→t0
y(t)
x(t)=∞, branche parabolique de direction Oy.
limt→t0
y(t)
x(t)= 0, branche parabolique de direction Ox. (35)
4. Revenons a la droite et la possibilite que le rapport des
coordonnees tend vers une constante, a ∈ R. La droite est un
cas triviale parce que la courbe est egale a la droite tout le
long de la courbe. Mais il y a des courbes qui s’approchent de
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 35
la droite seulement dans la limite t→ t0. Pour cela nous ne
demandons seulement pas que y(t)/x(t)→ a mais aussi que
limt→t0
(y(t)− ax(t)) = b ∈ R, (36)
et dans ce cas nous disons que la courbe parametree admet
une asymptote oblique d’equation y = ax+ b.
5. Meme si y(t)/x(t)→ a on peut avoir aussi
limt→t0
(y(t)− ax(t)) = ±∞, (37)
et dans ce cas nous disons que la courbe parametree admet
une branche parabolique de direction y = ax.
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 36
Autres possibilites au extremites de
l’intervalle
– Il arrive que les limites aux extremites n’existent pas.
– Par exemple, nous avons vu que le cercle peut etre parametre par
x(t) = cos(t), y(t) = sin(t). (38)
L’intervalle de definition des fonctions coordonnees est tous les
reels, I =]−∞; +∞[. Donc les extremites de l’intervalle I sont
t0 = ±∞. Mais les limites aux extremites n’existent pas :
limt→±∞
x(t), y(t) limites n’existent pas (39)
– Une troisieme possibilite est que la courbe s’approche en un
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 37
point a une extremite :
limt→t0
x(t) = a ∈ R, limt→t0
y(t) = b ∈ R, (40)
On dit que le point de coordonnees (a; b) est un point asymptote
a la courbe, ou que la courbe admet (a; b) comme point d’arret
quand t tend vers t0 (Ramis and Warusfel , 2006, Module III.2
§1.2.3).
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 38
Etude globale : reduire l’intervalle
d’etude
– Revenons au cercle parametre comme
x(t) = cos(t), y(t) = sin(t), t ∈ I =]−∞; +∞[. (41)
– Les fonctions coordonnees sont toutes les deux periodique de
periode 2π. Alors nous n’avons que besoin d’etudier un intervalle
I = [θ; θ + 2π[ ; par exemple I = [−π; +π[.
– Il y a plusieurs autres possibilites pour reduire l’intervalle
d’etude. La fonction x est paire : x(t) = x(−t). La fonction y est
impaire : y(t) = −y(−t). Alors par consequence, il y a une
symetrie par rapport a l’axe des x ; pour chaque point (x, y) qui
appartient a la courbe il y a un autre point (x,−y) qui
appartient a la courbe. On peut donc reduire l’intervalle d’etude
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 39
a t ∈ I = [0; +π], qui donne les points sur et au dessus de l’axe
des x, puis apres on peut trouver les points de la courbe avec
y(t) < 0 utilisant la symetrie
x(u) = x(t), y(u) = −y(t), u = −t. (42)
– Notons enfin que x(π − t) = −x(t) et y(π − t) = y(t). On peut le
demontrer avec les identites trigonometriques, ou simplement
voir Fig. 6.
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 40
tt
Figure 6 – Le cercle unitaire : x(t) = cos(t) = − cos(π − t) et
y(t) = sin(t) = sin(π − t).
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 41
– Par consequent, il nous suffit d’etudier la courbe parametree avec
t ∈ I = [0;π/2]. Puis apres on peut construire la courbe pour
u ∈ [π/2;π] a partir de
x(u) = −x(t), y(u) = y(t), u = π − t, t ∈ [0;π/2]. (43)
– Au resume, nous avons reduit l’intervalle d’etude de ]−∞; +∞[
a [0;π/2]. Voir Fig. 7
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 42
Figure 7 – Le cercle unitaire : t ∈ I = [0;π/2] donne la partie
rouge. A partir de la partie rouge et la transformation (43) on re-
construit la partie bleue. Puis a partir des parties rouge et bleue et
la transformation (42) on reconstruit la partie verte.
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 43
Etude globale : reduire l’intervalle
d’etude
– On peut utiliser une ou pleusieurs des symetries que nous venons
d’utiliser pour le cercle pour les autres courbes parametrees.
– Il y a une autre symetrie que le cercle ne possede pas. Ca arrive
que nous savons les fonctions coordonnees pour (x(1/t), y(1/t)) a
partir des (x(t), y(t)) pour t ∈ I =]0;∞[. Par exemple,
considerons la coube parametree F (t) := (1/t, ln(t)). La
transformation
x(u) = 1/x(t), y(u) = −y(t), u = 1/t, (44)
nous permets de trouver (x(u), y(u)) sur u ∈]1,∞[ a partir de
(x(t), y(t)) sur t ∈]0; 1].
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 44
Plan d’etude d’une courbe parametree
Voir Ramis and Warusfel (2006, Module III.2 §1.3).
1. Determiner l’ensemble de definition de la courbe ; c’est
l’intersection des ensembles de definition des fonctions
coordonnees x et y.
2. Essayer de reduire l’ensemble d’etude en utilisant les
eventuelles symetries.
3. Etudier conjointement les variations des fonctions coordonnees
x et y. Dresser un tableau ou figurent simultanement x′, x, y′, y.
4. Rechercher les points stationnaires et etudier l’allure de la
courbe au voisinage de ces points. Determiner les tangentes.
5. Rechercher et etudier la nature des eventuelles branches
infinies.
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 45
6. Tracer la courbe.
Cours 1: Courbes Planes Parametrees 46
References
Ramis, J.-P., and A. Warusfel (2006), Mathematiques : Tout-en-un
pour la Licence : Niveau L1, 861 pp., Dunod, Paris, 861 + XX pp.