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COSINUS D ’UN ANGLE AIGU
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Construire des triangles rectangles et
comparer les résultats de certains quotients
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5
3
,83
R S
T
40°TR
TS 3,83
5
TRTS 0,766
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4E
F
G
3,06
40° EG
EF 3,06
4
EGEF 0,765
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CB
CA 6
7,83
CBCA0,766
CA
B
6
7
,83
40°
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KI
KJ 5
6,53
KIKJ 0,766
K
J
I
5
6,53
40°
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Un peu de vocabulaire….
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B
C
A
HYPOTENUSE
ABC est un triangle rectangle en C
Côté adjacent à l’angle BAC
Côté adjacent à l'angle ABC
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40°40°
C
CBCA0,766
Les triangles rectangles suivants ont tous un angle de 40°.
R
ST 40° TRTS0,766 40°
EFEG
0,765
KIKJ 0,766A
B I
JK
Remarque : Côté adjacent à l’angle de 40°
hypoténuse0,766
E
FG
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Et si on changeait la mesure de l’angle …
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TR
TS 4,33
5
TRTS 0,866
30°
R
T
S
5
4,33
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EG
EF 3,46
4
EGEF 0,865
E
F
G
30°4
3,46
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CB
CA 7
8,08
CBCA0,866
30°
B
CA 7
8,08
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R
ST 30° TRTS0,866
30°
EFEG
0,865
30°
CBCA 0,866B
C
A
Côté adjacent à l’angle de 30°
hypoténuse 0,866
On remarque que :
Les triangles rectangles suivants ont tous un angle de 30°.
E
FG
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Conclusion : Si ABC est un triangle rectangle en A.
Pour un angle ABC donné, le quotient
AB
CBABC
est constant.
Ce nombre ne dépend que de la mesure de l’angle ABC.
C’est le cosinus de l’angle ABC.
cos (ABC) se lira « cosinus de l’angle ABC »
cos (ABC) = Côté adjacent à l'angle ABC
Hypoténuse=
BA
BC
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AB
C
C'
A'
Les droites (AC) et (A'C') sont perpendiculaires à la droite (AB)
Donc les droites (AC) et (A'C') sont parallèles.
D'après la propriété de Thalès BC'BC
=BA'BA
Donc BC' x BA = BC x BA'
On divise chacun des deux membres de l'égalité par BC' x BC
BC' x BABC' x BC
=BC x BA'BC' x BC
et on obtient : BABABCBC
==BA'BA'
BC'BC'
Démonstration :
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Propriété :Propriété :Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est :
Le plus grand côté
Donc BA < BC
AB
C
Cos ABC = BA
BC
Donc Cos ABC < 1