Corso di Circuiti a Microonde
Filtri a microonde
Tipi di filtriTipi di filtri
• Passa basso
• Passa alto
• Passa banda
• Arresta banda
Attenuazione e Perdita di Riflessione (1/3)Attenuazione e Perdita di Riflessione (1/3)
b1
ZL = 50
S11 S12
S21 S22
ZG = 50
VG
b2
a2 a1
eRiflession di erditaPLP
Plog10L
nedissipazio per neAttenuazioA
eriflession per neAttenuazioA
neAttenuazioA
AAP
Plog10
P
Plog10
P
Plog10A
RdBR
I10RdB
DdB
RdB
dB
DdBRdBO
E10
E
I10
O
I10dB
Attenuazione e Perdita di Riflessione (2/3)Attenuazione e Perdita di Riflessione (2/3)
uscente PotenzaPSZ2
1
Z2
1Re
2
1P
entrante PotenzaPS1Z2
1
Z2
1P
riflessa PotenzaPSZ2
1
Z2
1Re
2
1P
incidente PotenzaPZ2
1Re
2
1P
50ZZZZ/)(
O2
212
10
22
0
*OOO
E2
112
10
21
21
0E
R2
112
10
21
0
*RRR
I2
10
*III
0LG0iiiiii
abIV
aba
abIV
aIV
baIbaV
Attenuazione e Perdita di Riflessione (3/3)Attenuazione e Perdita di Riflessione (3/3)
211
10211
21
0
21
010
R
I10RdB
221
10DdBRdBdB
221
211
10221
21
0
211
21
010
O
E10DdB
211
10211
21
0
21
010
E
I10RdB
S
1log10
SZ21
Z21
log10P
Plog10L
S
1log10AAA
S
S1log10
SZ21
S1Z21
log10P
Plog10A
S1
1log10
S1Z21
Z21
log10P
Plog10A
a
a
a
a
a
a
Passa basso prototipo di riferimento (PBPR)Passa basso prototipo di riferimento (PBPR)
Ratio Loss PowerP1
1P
AAS1Plog101
1log10AA
eS
LR2LR
dBRdB2
212
LR10210RdBdB
j11
• Si riconduce il progetto del filtro ad un passa basso con frequenza di taglio normalizzata c' = 1
• I filtri si suppongono privi di perdite ( sono attenuatori per riflessione)
• Per le proprietà delle trasformate di Fourier di segnali reali [v(t); i(t)] V(f) = V*(-f); I(f) = I*(-f) Z(f) = V(f) / I(f) = Z*(-f) (f) = *(-f) è funzione pari di ' 2 è funzione pari di '
2
2
LR2LR22
22
'N
'M1P
N
NM
MNM
NM
NMM
1
1
1
1P
'N'M
'M
Filtri massimamente piatti (Butterworth) (1/2)Filtri massimamente piatti (Butterworth) (1/2)
N2210dB
N22LR
N2222
'K1log10A
'K1P
filtro del rdineoN
filtro del tolleranzaK
'K)'(M1)'(N
PLR
1 + K2
1 1
’
N=1
N=2
Proprietà: le prime (2 N – 1) derivate sono nulle per ' = 0 massima piattezza nell’origine
Filtri massimamente piatti (Butterworth) (2/2)Filtri massimamente piatti (Butterworth) (2/2)
'logN20Klog10'log10Klog10A
'KP
1'elevate frequenze Per
dB3A1Koff-cut al neattenuazioK110K
K1log10A
K1P
1'off-cut Al
102
10N2
102
10dB
N22LR
CdB10/A2
210CdB
2LR
CdB
AdB aumenta di 20 N dB per decade N pendenza del filtro
Filtri a ripple costante (Chebyshev) (1/2)Filtri a ripple costante (Chebyshev) (1/2)
)'(TK1log10A
)'(TK1P
filtro del rdineoNfiltro del ipplerK
1'per'24/1'T
1'per]'coshNcosh['T
1'per]'cosNcos['T
N grado di Chebyshev di polinomio)'(T
)'(TK)'(M1)'(N
2N
210dB
2N
2LR
N22N
1N
1N
N
2N
222
Proprietà: TN(') oscilla fra ±1 per ' < 1 ripple costanteA parità di attenuazione al cut-off massima pendenza
PLR
1 + K2
1 1
’
N=1
N=2
Filtri a ripple costante (Chebyshev) (2/2)Filtri a ripple costante (Chebyshev) (2/2)
N21010
210
N210
N210
210dB
N22LR
210CdB
2LR
24
1log10'logN20Klog10
24
1log10'log10Klog10A
'2K4
1P
1'elevate frequenze Per
rippledB31Koff-cut al neattenuazio e rippleK
K1log10AK1P
1'off-cut Al
AdB aumenta di 20 N dB per decade, ma è (1/4) (22 N) volte più grande rispetto a Butterworth N pendenza del filtro
Trasformazione PBPR Trasformazione PBPR → passa basso→ passa basso
LR
2LRC
LR
N2
C
2LR
C
P'
K1P1'
1P0'0
K1P
:hButterwort.Es
'
:frequenzaioneTrasformaz
PLR
1 + K2
0 C -C
1
Trasformazione PBPR Trasformazione PBPR → passa alto→ passa alto
1P0'
K1P1'
P'0
K1P
:hButterwort.Es
'
:frequenzaioneTrasformaz
LR
2LRC
LR
N2C2
LR
C
PLR
1 + K2
0 C - C
1
Trasformazione PBPR Trasformazione PBPR → passa banda→ passa banda
2
LR112
2121
10
20
21
12
0
1
0
0
1
12
01
LRLR0LR
N2
0
012
02LR
0
12
210
0
0
0
012
0
K1P1'
P'1P0'P'0
K1P
:hButterwort.Es
)frazionalebanda(
)bandacentro(:con
1'
:frequenzaioneTrasformaz
PLR
1 + K2
0 1 0
2
1
-1 -0 -2
Trasformazione PBPR Trasformazione PBPR → arresta banda→ arresta banda
2LR
2121
11220
21
10
0
12
1
1
0
0
1
0
121
LRLR0LR
N21
0
00
122LR
0
12
210
1
0
0
1
0
00
12
K1P1'
1P0'P'1P0'0
K1P
:hButterwort.Es
)frazionalebanda(
)bandacentro(:con
'
:frequenzaioneTrasformaz
0 1 0
2
PLR
1 + K2
1
-1 -0 -2
Realizzazione circuitale del PBPRRealizzazione circuitale del PBPR
• La risposta in frequenza del PBPR può essere ottenuta con dei circuiti elettrici a costanti concentrate realizzati con induttanze e capacità, in numero pari all’ordine del filtro
• Per avere comportamento passa basso si avranno induttanze in serie e capacità in parallelo
• Scegliendo i gi opportunamente si possono avere risposte predefinite (p.es. Butterworth o Chebyshev)
• Se gN è un condensatore in parallelo (ammettenza) gN+1 è una resistenza; se gN è un induttore (impedenza) gN+1 è una conduttanza
G0 = go
C2 = g2gN+1C4 = g4
CN = gN
L1 = g1 L3 = g3LN-1 = gN-1 R0 = go
C1 = g1 gN+1C3 = g3 CN = gN
L2 = g2 L4 = g4LN-1 = gN-1
Dimensionamento del filtroDimensionamento del filtro
• Si sceglie il tipo di risposta (p.es. Butterworth o Chebyshev)
• Sulla base della specifica sull’attenuazione al cut-off o sul ripple si sceglie il parametro K
• Sulla base della specifica sull’attenuazione fuori banda si fissa l’ordine N (usando dei grafici di progetto o per tentativi)
• Si calcolano i coefficienti gi (usando tabelle di progetto o formule analitiche)
• Le gi, che sono normalizzate e quindi adimensionali, vengono denormalizzate tramite l’impedenza caratteristica R0 (50 ) del circuito
• Si applicano le trasformazioni di frequenza, che si traducono in trasformazioni degli elementi circuitali, arrivando così al circuito finale
Filtro ButterworthFiltro Butterworth
Attenuazione al cut-off: 3 dB
' - 1
Filtro ButterworthFiltro Butterworth
Attenuazione al cut-off: 3 dB
Filtro ChebyshevFiltro Chebyshev
Ripple: 0.5 dB
' - 1
Filtro ChebyshevFiltro Chebyshev
Ripple: 0.5 dB
Filtro ChebyshevFiltro Chebyshev
Ripple: 3 dB
' - 1
Filtro ChebyshevFiltro Chebyshev
Ripple: 3 dB
Denormalizzazione rispetto all’impedenzaDenormalizzazione rispetto all’impedenza
50R
SR
g
R
G'G
gRRR'R
SR
g
R
C'C
gRLR'L
0
0
K
0
KK
K0K0K
0
K
0
KK
K0K0K
Filtro passa bassoFiltro passa basso
paralleloCparalleloCFf2R
g
f2R
C'C"C
S'C'C''B
paralleloC
serieLserieLHf2
gR
f2
LR'L"L
'L'L''X
serieL
'
C0
K
C0
K
C
KK
KC
KK
C
K0
C
K0
C
KK
KC
KK
C
Filtro passa altoFiltro passa alto
paralleloLparalleloCHf2g
R
f2C
R
'C
1"L
S'C'C''B
paralleloC
serieCserieLFf2gR
1
f2LR
1
'L
1"C
'L'L''X
serieL
'
CK
0
CK
0
CKK
KC
KK
CK0CK0CKK
KC
KK
C
Filtro passa bandaFiltro passa banda
CeLdi////CHg
R
CL;F
R
g'C"C
SL
1C
'C'C'C'C''B
paralleloC
CeLdiserieserieLFgRL
C;HgR'L
"L
C
1L
'L'L'L'L''X
serieL
'
K20
120'K
20
12''K
120
K
12
KK
''K
''K
K
12
20
12
KK
0
012
0KK
K020
12'K
20
12''K
12
K0
12
KK
''K
''K
K
12
20
12
KK
0
012
0KK
0
012
0
Filtro arresta bandaFiltro arresta banda
CeLdiserie//CFR
gC;H
g
R"L
C
1L
'C
1
'C'C
1
'C'
1'X
paralleloC
CeLdi//serieLHgR
L;FgR
1"C
SL
1C
'L
1
'L'L
1
'L'
1'B
serieL
'
020
12K''K
12K
0K
''K
''K
K12
20
K12K
0
012
0
KK
20
K012''K
K012K
''K
''K
K12
20
K12K
0
012
0
KK
1
0
00
12