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CONSIDÉRATIONS SUR LE CALCUL DU BÉTON ARMÉ

A LA FLEXION SIMPLE

P A R

A n d r é P A D U A R T ,

Ingénieur Civil A. I. Br, Agrégé de l 'Enseignement Supérieur.

75 i3h (Met samenvatting in 't Nederlands)

EXTRAIT DES

A N N A L E S D E S T R A V A U X P U B L I C S D E B E L G I Q U E

DECEMBRE 1949.

B R U X E L L E S

I M P R I M E R I E G. L G. 61, avenue de la Liberté

1949

sur le a V

Considérations calcul du béton armé la flexion simple.

A n d r é P A D U A R T .

Ingénieur Civil A. I. Br, Agrégé de l'Enseignement Supérieur.

P R E A M B U L E (*)

L a r é d a c t i o n d e ce m é m o i r e f u t t e r m i n é e e n n o v e m b r e 1948 m a i s d e s r a i s o n s p a r t i c u l i è r e s e n o n t r e t a r d é l a p u b l i c a t i o n .

D e p u i s c e t t e d a t e , d e u x n o u v e l l e s c o n t r i b u t i o n s o n t é t é a p p o r t é e s r e s p e c t i v e m e n t p a r M . R . C h a m b a u d e t p a r M . A . G u e r r i n .

A p r è s a v o i r , d a n s l ' e n t r e t e m p s , p r i s c o n n a i s s a n c e d e ces d o c u m e n t s , n o u s a v o n s m a i n t e n u n o s c o n c l u s i o n s e t a u c u n e r e t o u c h e d u t e x t e n e n o u s a p a r u n é c e s s a i r e .

L o r s q u e l ' o n a sous les y e u x l a l i s t e d e s p u b l i c a t i o n s q u i o n t é t é c o n s a c r é e s à la r é s i s t a n c e à la f l e x i o n d u b é t o n a r m é e t à l ' i n f l u e n c e d e l a p l a s t i c i t é d u b é t o n s u r la r é s i s t a n c e l i m i t e , i l p e u t p a r a î t r e p r é s o m p t u e u x , s i n o n i n u t i l e , d e v o u l o i r e n c o r e l ' a l l o n g e r . E t p o u r t a n t , la d i v e r s i t é d e s

(*) N O T E D U SECRETARIAT. — Ainsi que l'auteur le signale dans son Introduction, le calcul du béton armé à la f l ex ion fait toujours l'objet de discussions dans plusieurs pays.

La publicat ion dans les Annales des Travaux Publics de Belgique du mémoire de M. P A D U A R T doit être considérée c o m m e un honnnage à la compétence de son auteur dans tous les problèmes relatifs au calcul du béton armé.

C'est en vue d'apporter un é lément à la question controversée du calcul du béton arnté à la f l ex ion que les Annales des Travaux Publics publient volontiers le présent travail. Cependant, la Commiss ion Directrice des Annales des Travaux Publics rappelle qu'elle n'entend jamais par une insertion, assumer la responsabilité des théories qui y sont émises.

1. — I N T R O D U C T I O N .

9

a u t e u r s e t des p o i n t s d e v u e q u i s ' a f f r o n t e n t , le g r a n d n o m b r e d ' a r t i c l e s se r a p p o r t a n t à ce s u j e t q u e l ' o n r e n c o n t r e d a n s la p r e s s e t e c h n i q u e e t e n f i n la q u a n t i t é d ' e s sa i s d e l a b o r a t o i r e q u i o n t é t é e f f e c t u é s p l u s o u m o i n s r é c e m m e n t d a n s p l u s i e u r s p a y s s e m b l e n t p r o u v e r q u e l a q u e s t i o n n ' e s t p a s é p u i s é e e t q u e le p r o b l è m e d e l a r é s i s t a n c e à la f l e x i o n d u b é t o n a r m é n ' a p a s e n c o r e t r o u v é sa s o l u t i o n d é f i n i t i v e .

C ' e s t p o u r q u o i i l n o u s a p a r u i n t é r e s s a n t , a p r è s a v o i r essayé d e r a m e n e r le p r o b l è m e à ses axes , d e r a s s e m b l e r u n c e r t a i n n o m b r e d e c o n s i d é r a t i o n s c o n c e r n a n t les d i v e r s e s h y p o t h è s e s d e b a s e q u i o n t é t é p r o p o s é e s çà e t l à e t d e d é v e l o p p e r u n e m é t h o d e d e c a l c u l q u i , t o u t e n é t a n t s u f f i s a m m e n t s i m p l e , n e s ' é c a r t e j a m a i s , o u t r e m e s u r e , d e ces h y p o t h è s e s .

C e t t e n o t e p r é s e n t e d o n c u n c a r a c t è r e p r o v i s o i r e ; e l l e se r a p p o r t e u n i q u e m e n t a u f o n d d e la q u e s t i o n e t n e c o n t i e n t p a s l ' e n s e m b l e d e t a b l e a u x e t d ' a b a q u e s q u i s e r a i e n t n é c e s s a i r e s p o u r la r é s o l u t i o n des p r o b l è m e s v a r i é s q u e l ' o n r e n c o n t r e e n p r a t i q u e .

N o u s e x a m i n e r o n s s u c c e s s i v e m e n t les p r i n c i p a l e s m é t h o d e s q u i o n t é t é p r o p o s é e s p o u r le c a l c u l d e la r é s i s t a n c e e n f l e x i o n s i m p l e s a n s c e p e n d a n t e n t r e r d a n s les d é t a i l s . U n e a n a l y s e c o m p a r a t i v e f o r t d é v e l o p p é e d e ces m é t h o d e s a é t é f a i t e p a r M . A . G u e r r i n (1 ) e t , t o u t r é c e m m e n t , M . P . M o e n a e r t (2 ) a p u b l i é u n e é t u d e a n a l o g u e q u i , p o u r ê t r e p l u s s u c c i n c t e q u e la p r é c é d e n t e , n ' e n e s t p a s m o i n s i n t é r e s s a n t e . Ce s e r a i t d o n c a l l o n g e r i n u t i l e m e n t ce m é m o i r e q u e d e r e f a i r e , à n o t r e t o u r , u n e d e s c r i p t i o n c o m p l è t e des n o m b r e u s e s m é t h o d e s d e c a l c u l e x i s t a n t e s .

N o t r e b u t es t d e r e c h e r c h e r les g r a n d e s a n a l o g i e s o u les g r a n d e s o p p o s i t i o n s e n t r e g r o u p e s d e m é t h o d e s a f i n d e d é c o u v r i r les r a i s o n s p o u r l e s q u e l l e s a u c u n e d e s f o r m u l e s a c t u e l l e s n e d o n n e e n t i è r e sa t i s fac t i o n .

2. — A N A L Y S E D E S P R I N C I P A L E S F O R M U L E S .

T r o i s c a r a c t é r i s t i q u e s d e la s e c t i o n é t u d i é e i n t e r v i e n n e n t d a n s t o u t e s les f o r m u l e s . C e s o n t :

— la h a u t e u r u t i l e d e l a p o u t r e h

— la l a r g e u r d e la p o u t r e b

(1) A. Guerrin. — Les théories nouve l les de la f lex ion dans les pièces en béton. (Essais et calculs — D u n o d 1941).

(2) P. Moenaert. — Etude critique des méthodes de calcul du béton armé en nex ion . (Bul l . Sté Royale des Ing. et Ind. Série A. n° 3 - 1948).

— 3 —

Lia

— la p r o p o r t i o n d ' a r m a t u r e s X = • b h

P o u r l e s u r p l u s , c e r t a i n e s f o r m u l e s t i e n n e n t c o m p t e des t e n s i o n s

a d m i s s i b l e s R ' i , e t R» d u b é t o n c o m p r i m é e t d e l ' a c i e r é t e n d u ; les a u t r e s ,

a u c o n t r a i r e , se b a s e n t s u r les r é s i s t a n c e s l i m i t e s R'br — t e n s i o n d e r u p t u r e p a r é c r a s e m e n t d u b é t o n , v a l e u r g é n é r a l e m e n t d é t e r m i n é e s u r c u b e ,

— e t Rai — l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r . Q u e l q u e s r a r e s f o r m u l e s f o n t m ê m e i n t e r v e n i r l a r é s i s t a n c e l i m i t e R t d u b é t o n s o u m i s à t r a c t i o n .

D ' a u t r e p a r t , c e r t a i n e s f o r m u l e s c o n t i e n n e n t l e r a p p o r t m d e s m o d u

les d ' é l a s t i c i t é d e l ' a c i e r e t d u b é t o n c o m p r i m é ; les a u t r e s se s o n t a f f r a n

c h i e s d e ce c o e f f i c i e n t .

C e t t e b r è v e a n a l y s e f a i t i m m é d i a t e m e n t a p p a r a î t r e u n m o d e d e c las

s e m e n t r a t i o n n e l d e s m é t h o d e s d e c a l c u l e n u t i l i s a n t d e s f o r m e s c a n o n i q u e s .

a ) Méthodes du l"' groupe.

E l l e s c o n d u i s e n t à u n e e x p r e s s i o n d e l a f o r m e :

M r =r= R'b,. bh2.X.[x ( 1 — K.X.(ii)

e t d o n n e n t l e m o m e n t d e r u p t u r e M r d e l a p i è c e é t u d i é e e n f o n c t i o n d e

l a r é s i s t a n c e R'br, d u r a p p o r t y. = Rai/R'br e t d ' u n c o e f f i c i e n t K q u i d é p e n d d e la f o r m e d u d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n

e t q u i v a r i e s u i v a n t les a u t e u r s , c o m m e l e m o n t r e l e t a b l e a u s u i v a n t :

N o m des auteurs Valeur de K

Hajnal-Konyi, Jenssen, R. Coppée 0,5 0,54 0,589 0,625 0,6275 0,67

L e s f o r m u l e s a p p a r t e n a n t à c e g r o u p e d o n n e n t l e m o m e n t d e r u p t u r e e n f o n c t i o n d e s r é s i s t a n c e s l i m i t e s d u b é t o n e t d e l ' a c i e r . E l l e s s o n t é t a b l i e s e n s u p p o s a n t q u ' a u m o m e n t d e l a r u p t u r e , ces d e u x r é s i s t a n c e s l i m i t e s s o n t a t t e i n t e s s i m u l t a n é m e n t e t e n n é g l i g e a n t l a r é s i s t a n c e à l a

t r a c t i o n d u b é t o n ( f i g . 1 ) .

4

— 4

Jbr E l l e s c o n d u i s e n t à u n d i a g r a m m e p a r a b o l i q u e d e l a f o n c t i o n M r / R ' b r b h » . > v

C e t t e f o n c t i o n p a s s e p a r u n

m a x i m u m a n a l y t i q u e ( f i g . 2 ) p o u r

l a v a l e u r c r i t i q u e (X ii.)er d e l a

v a r i a b l e X n é g a l e à

1 (X lJ.)er —

1 + K

A u d e l à d e c e t t e v a l e u r , l a f o n c

t i o n M r / R ' b r b h ^ r e s t e c o n s t a n t e , l a r é s i s t a n c e d u b é t o n e s t c o m p l è t e m e n t e x p l o i t é e e t u n acc ro i s se

m e n t d e X fi. d e v i e n t s a n s e f f e t . C e t t e f o n c t i o n r e s t e é g a l e a u m a x i m u m

1 M r / R ' b r bh2 =

1 + K

N o u s p o u v o n s r a n g e r d a n s ce m ê m e g r o u p e l a f o r m u l e d e G E B A U E R

q u i , t o u t e n a d o p t a n t u n e v a l e u r d u c o e f f i c i e n t K é g a l e à 0 ,5 e s t é t a b l i e e n t e n a n t c o m p t e d e l a r é s i s t a n c e d u b é t o n à l a t r a c t i o n . D e ce f a i t ,

l ' e x p r e s s i o n X \i. q u i f i g u r e d e v a n t l es p a r e n t h è s e s e t e n t r e ce l les -c i s e

t r o u v e ê t r e r e m p l a c é e p a r l e t e r m e

X t / 2 e

e r e p r é s e n t a n t l a d i s t a n c e e n t r e l ' a r m a t u r e e t l a f i b r e e x t é r i e u r e t e n d u e

d e l a p o u t r e e t t é t a n t le r a p p o r t d e l a r é s i s t a n c e l i m i t e d u b é t o n e n t r a c t i o n à l a r é s i s t a n

c e l i m i t e R'br e n c o m p r e s s i o n .

I l c o n v i e n t égal e m e n t d e s i g n a l e r l a

f o r m u l e d e M A I L -L A R T , q u i a é t é é t a b l i e s a n s a u c u n e

h y p o t h è s e s u r l a rép a r t i t i o n d e s t e n s i o n s e t e n v e i l l a n t s eu l e m e n t à ce q u e l a

/ 7 ^ . 2

— 5 —

c o u r b e r e p r é s e n t a t i v e sa t i s fa s se le m i e u x p o s s i b l e à u n e n s e m b l e d e ré su l t a t s e x p é r i m e n t a u x . B i e n q u e t r o u v é e d ' u n e f a ç o n t o u t e spéc ia l e , c e t t e f o r m u l e p e u t c e p e n d a n t se r a t t a c h e r a u l''"' g r o u p e à c o n d i t i o n d e r e m p l a c e r l ' e x p r e s s i o n e n t r e p a r e n t h è s e s (1 — KX [x) p a r

h) Méthodes du 2™" groupe.

Les f o r m e s c a n o n i q u e s s o n t :

M ^ b h 2 x l l ~ \ e t M ^ R ' b b h 2 a / l V k J ], \

Les m é t h o d e s a p p a r t e n a n t à ce g r o u p e c o n d u i s e n t à d e u x v a l e u r s d u m o m e n t f l é c h i s s a n t a d m i s s i b l e , l ' u n d é p e n d a n t d e l a t e n s i o n l i m i t e p e r m i s e d a n s l ' a c i e r e t l ' a u t r e n e f a i s a n t i n t e r v e n i r q u e la c o m p r e s s i o n a d m i s s i b l e d u b é t o n . L a v a l e u r d e M à p r e n d r e e n c o n s i d é r a t i o n est é v i d e m m e n t le p l u s p e t i t des d e u x m o m e n t s f l é c h i s s a n t s .

L e c o e f f i c i e n t a, r a p p o r t d e la h a u t e u r v ' d e la z o n e c o m p r i m é e à la h a u t e u r u t i l e h d e la p o u t r e , d é p e n d des d é f o r m a t i o n s de l ' a c i e r e t d u b é t o n e t es t d o n c u n e f o n c t i o n d u r a p p o r t m d e s m o d u l e s d ' é l a s t i c i t é d e s d e u x m a t é r i a u x .

Les f o r m u l e s d e ce g r o u p e f o n t a p p a r a î t r e d e u x p a r a m è t r e s K i e t Ko q u i , e n c o r e u n e fo i s , v a r i e n t d ' u n a u t e u r à l ' a u t r e s e lon la f o r m e d u d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s s u p p o s é . L e t a b l e a u c i - a p r è s i n d i q u e q u e l q u e s v a l e u r s p a r t i c u l i è r e s .

Méthodes K l Observations

Classique . . . . 3 3

von Eniperger 3 2,37 Multiplier }i\ par 0,71

Kazincki et Lyse. 2 2

Elasl ico-plasl ique. 3 2

c) Méthodes particulières.

Q u e l q u e s f o r m u l e s , q u i n e p e u v e n t ê t r e r a n g é e s dans ces d e u x g r o u p e s , m é r i t e n t d ' ê t r e s igna lées . E l l e s se p r é s e n t e n t sous u n e f o r m e

— 6 —

p l u s c o m p l i q u é e q u e les f o r m e s c a n o n i q u e s p r é c é d e n t e s e t o n t é t é é t a b l i e s e n f a i s a n t i n t e r v e n i r c e r t a i n e s c o n s i d é r a t i o n s a r t i f i c i e l l e s d a n s le b u t d ' a d a p t e r les r é s u l t a t s t h é o r i q u e s a u x c o n s t a t a t i o n s e x p é r i m e n t a l e s .

P a r m i ces f o r m u l e s n o u s c i t e r o n s ce l l e d u P r o f e s s e u r P a r i s , ce l le d e S t e u e r m a n n e t ce l l e d e M r G u e r r i n .

B i e n q u e ces f o r m u l e s s o i e n t i n t é r e s s a n t e s , e l les o n t l ' i n c o n v é n i e n t d ' ê t r e i r r a t i o n n e l l e s e t d e n e p a s p o u v o i r se r a t t a c h e r a u x p r i n c i p e s génér a u x d e la r é s i s t a n c e des m a t é r i a u x , p r é c i s é m e n t à c a u s e d e s a r t i f i c e s a u x q u e l s e l les f o n t a p p e l . D e p l u s , e l l e s s o n t i n u t i l e m e n t c o m p l i q u é e s p u i s q u ' e l l e s n e c o n d u i s e n t p a s à d e s c o n c o r d a n c e s m e i l l e u r e s q u e cert a i n e s f o r m u l e s d e s d e u x p r e m i e r s g r o u p e s .

3. — C R I T I Q U E D E L A M E T H O D E C L A S S I Q U E .

L a m é t h o d e c l a s s i q u e , q u i a p p a r t i e n t a u d e u x i è m e g r o u p e , es t la

m é t h o d e a d m i s e o f f i c i e l l e m e n t e n B e l g i q u e .

I l r é s u l t e d e la c o m p a r a i s o n des v a l e u r s c a l c u l é e s p a r c e t t e m é t h o d e a v e c les r é s u l t a t s d ' e s sa i s d e l a b o r a t o i r e q u e la v a l e u r d u m o m e n t a d m i s s i b l e d o n n é e e n f o n c t i o n d e R'b, c ' e s t - à -d i r e l a v a l e u r à c o n s i d é r e r d a n s l e cas d e r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d e b é t o n p o s s è d e u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é excess i f , d é p a s s a n t t r è s s e n s i b l e m e n t c e l u i q u e l ' o n o b s e r v e p o u r le cas d e la r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r . I l s ' en s u i t u n m a n q u e d ' h o m o g é n é i t é e n t r e les d e u x f o r m u l e s q u i c a r a c t é r i s e n t la m é t h o d e c l a s s i q u e e t u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é e f f e c t i f q u i d é p e n d d e s v a l e u r s d e X e t d e |x.

M . M o e n a e r t , a p r è s a v o i r m o n t r é q u ' a u c u n e des m é t h o d e s n e d o n n a i t e n t i è r e s a t i s f a c t i o n , a c o n s t a t é q u ' i l é t a i t p o s s i b l e d ' é l i m i n e r ce m a n q u e d e c o n c o r d a n c e d ' u n e f a ç o n t r è s s a t i s f a i s a n t e , p o u r les p o u t r e s so l l i c i t ée s p a r f l e x i o n s i m p l e e t s a n s a r m a t u r e s c o m p r i m é e s , en augm e n t a n t d a n s les c a l c u l s la t e n s i o n a d m i s s i b l e d u b é t o n d e 30 % . U n r é s u l t a t c o m p a r a b l e a é t é t r o u v é t o u t r é c e m m e n t e n F r a n c e p a r M M . R . C h a m b a u d , P . L e b e l l e e t R . P a s c a l ( 1 ) .

U n e m a j o r a t i o n d e s t e n s i o n s a d m i s s i b l e s d u b é t o n a é t é a d m i s e p a r q u e l q u e s r è g l e m e n t s é t r a n g e r s , n o t a m m e n t d é j à e n 1932 p a r l es p r e s c r i p t i o n s a l l e m a n d e s D I N 1045. Ces r è g l e m e n t s a d m e t t e n t d e s m a j o r a t i o n s a l l a n t d e 15 % à 30 % .

( I ) R. Chambaud, P. Lebe l l e et R. Pascal. Etude expérimentale de la rupture dans les pièces en béton armé à section rectangulaire soumises à la f lex ion. (Trois ième congrès de l 'Association Internationale des Ponts et Charpentes, Liège 1948.)

— 7 —

L ' a d o p t i o n p u r e e t s i m p l e d ' u n c o e f f i c i e n t d e m a j o r a t i o n n o u s p a r a î t c e p e n d a n t u n e s o l u t i o n e m p i r i q u e à é v i t e r . E n e f f e t , une t e l l e f a ç o n d e f a i r e n e s e r a j a m a i s v a l a b l e q u e d a n s les l i m i t e s d e s c o n d i t i o n s d a n s l e s q u e l l e s o n t é t é f a i t e s les e x p é r i e n c e s d e l a b o r a t o i r e e t e l l e s ' o p p o s e à t o u t e g é n é r a l i s a t i o n . L e c o e f f i c i e n t p r o p o s é p a r M . M o e n a e r t c o n c e r n e , n o u s l ' a v o n s d é j à s i g n a l é , la f l e x i o n s i m p l e s a n s a r m a t u r e s c o m p r i m é e s . I l s e r a i t i m p r u d e n t d ' a p p l i q u e r sans p l u s ce m ê m e c o e f f i c i e n t a u x p i è c e s a r m é e s e n c o m p r e s s i o n , a u x p i èce s so l l i c i t ée s p a r f l e x i o n

c o m p o s é e e t a u b é t o n p r é c o n t r a i n t .

D ' a u t r e p a r t , l a m a j o r a t i o n d e l a t e n s i o n d e c o m p r e s s i o n a d m i s s i b l e p e u t c o n d u i r e à u n e i n t e r p r é t a t i o n e r r o n é e c h e z les p e r s o n n e s q u i n e s o n t p a s s u f f i s a m m e n t f a m i l i a r i s é e s avec le c a l c u l d u b é t o n a r m é e t l a i sser c r o i r e q u e la s é c u r i t é d e la c o n s t r u c t i o n es t r é e l l e m e n t d i m i n u é e .

N o u s a v o n s d o n c p r é f é r é r e c h e r c h e r les causes d e l a m a j o r a t i o n d u m o m e n t a d m i s s i b l e , t r a d u i r e cel les-c i auss i f i d è l e m e n t e t auss i s i m p l e m e n t q u e p o s s i b l e d a n s n o s f o r m u l e s e t v é r i f i e r , a posteriori, s i , d a n s les cas particuliers r é a l i s é s p a r les essais d e l a b o r a t o i r e , l a c o n c o r d a n c e es t s a t i s f a i s a n t e .

A v a n t c e l a , e t p o u r é v i t e r les écue i l s q u e l ' o n r e n c o n t r e d a n s l a p l u p a r t des m é t h o d e s q u e n o u s a v o n s d é c r i t e s p l u s h a u t , i l es t n é c e s s a i r e d ' a n a l y s e r la s i g n i f i c a t i o n d u c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é e t l ' i m p o r t a n c e d u r a p p o r t m d e s m o d u l e s d ' é l a s t i c i t é d e l ' a c i e r e t d u b é t o n .

4. — C O E F F I C I E N T S D E S E C U R I T E .

L e b é t o n a r m é é t a n t u n m a t é r i a u h y b r i d e , l a n o t i o n d e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é n ' a p a s l a m ê m e c l a r t é q u e p o u r les m a t é r i a u x h o m o g è n e s , t e l s q u e l ' a c i e r , p a r e x e m p l e .

L a d i f f i c u l t é p r o v i e n t d e ce q u e la r é s i s t a n c e d ' u n e p i è c e e n b é t o n a r m é es t f o n c t i o n d e ce l l e s d e d e u x m a t é r i a u x auss i d i f f é r e n t s l ' u n d e l ' a u t r e q u e l e b é t o n e t l ' a c i e r . O n c o n s t a t e d o n c q u e l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é à la r u p t u r e d ' u n e p o u t r e e n b é t o n a r m é d é p e n d à la f o i s d e l a t e n s i o n a d m i s e p o u r l ' a c i e r e t d e l a t e n s i o n a d m i s e p o u r l e b é t o n , c 'es t -à - d i r e des c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é d e s d e u x m a t é r i a u x e n p r é s e n c e .

I l y a l i e u d e c o n s i d é r e r l es f a c t e u r s s u i v a n t s :

a ) Plasticité de l'acier.

L ' a c i e r d o u x o u d e m i - d u r , q u i es t e m p l o y é c o m m e a r m a t u r e d u b é t o n , p r é s e n t e , à p a r t i r d e sa l i m i t e é l a s t i q u e , u n e c a p a c i t é d ' a l l o n -

g e m e n t sous t e n s i o n c o n s t a n t e t r è s i m p o r t a n t e . I l e n r é s u l t e q u e l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é q u i es t a f f e c t é à la l i m i t e é l a s t i q u e n ' a a u c u n e s i g n i f i c a t i o n q u a n t a u x d é f o r m a t i o n s ; e n d ' a u t r e s m o t s , si o n l i m i t e les t e n s i o n s a d m i s s i b l e s à la m o i t i é d e la l i m i t e é l a s t i q u e c o m m e o n le f a i t g é n é r a l e m e n t , l ' a c i e r p o u r r a s u b i r des d é f o r m a t i o n s d é p a s s a n t d e b e a u c o u p l e d o u b l e d e la d é f o r m a t i o n d e s e rv i ce sans q u e c e t t e l i m i t e é l a s t i q u e n e so i t d é p a s s é e . I l e n r é s u l t e i m p h é n o m è n e d ' a d a p t a t i o n q u e l ' o n c o m m e n c e à e x p l o i t e r s é r i e u s e m e n t d a n s les c o n s t r u c t i o n s m é t a l l i q u e s f l é c h i e s .

Si l ' o n d o n n e à u n e p o u t r e e n b é t o n a r m é , n o r m a l e m e n t c o n d i t i o n n é e , u n e d é f o r m a t i o n p a r f l e x i o n s u p é r i e u r e a u d o u b l e d e la d é f o r m a t i o n d e se rv i ce , les a r m a t u r e s c o n s e r v e n t t o u t e l e u r e f f i c a c i t é p u i s q u ' e l l e s t r a v a i l l e n t e n c o r e à l e u r l i m i t e é l a s t i q u e .

b ) Plasticité du béton.

L o r s q u ' o n e f f e c t u e u n essai d e c o m p r e s s i o n s u r u n p r i s m e d e b é t o n , o n c o n s t a t e dès le d é b u t d e la m i s e e n c h a r g e , à c o n d i t i o n q u e l ' e ssa i soi t f a i t assez l e n t e m e n t , q u e les d é f o r m a t i o n s n e r e s t e n t p a s p r o p o r t i o n n e l l e s a u x t e n s i o n s a p p l i q u é e s à l ' é p r o u v e t t e e t q u e le r a p p o r t d e s a c c r o i s s e m e n t s d e t e n s i o n e t d e d é f o r m a t i o n v a e n d i m i n u a n t . L e d i a g r a m m e r e p r é s e n t a t i f n ' e s t p a s r e c t i l i g n e , m a i s est c o n s t i t u é p a r u n e c o u r b e q u i t e n d à d e v e n i r p a r a l l è l e à l ' a x e des d é f o r m a t i o n s q u a n d la s o l l i c i t a t i o n a u g m e n t e . L e m o d u l e d ' é l a s t i c i t é m o y e n d u b é t o n — r a p p o r t d e la t e n s i o n à la d é f o r m a t i o n t o t a l e — d i m i n u e d o n c a u c o u r s d e l ' e ssa i d e c o m p r e s s i o n e t le r a p p o r t m a u g m e n t e q u a n d la c o n t r a i n t e a p p l i q u é e

a u b é t o n s ' é lève .

D a n s u n e p i è c e f l é c h i e , les t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n n e s o n t d o n c p a s p r o p o r t i o n n e l l e s à la d i s t a n c e d e la f i b r e n e u t r e , m a i s a u g m e n t e n t m o i n s r a p i d e m e n t l o r s q u e l ' o n s ' é l o i g n e d e cel le-c i . C 'es t c e t t e p r o p r i é t é q u e d e n o m b r e u x a u t e u r s o n t e ssayé d ' e x p l o i t e r e n c o n s i d é r a n t p o u r l e d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n , n o n nn d i a g r a m m e t r i a n g u l a i r e ( m é t h o d e c l a s s i q u e ) , m a i s i m d i a g r a m m e e n f o r m e d e :

t r a p è z e ( v o n E m p e r g e r , J e n s s e n , G u e r r i n ) ;

r e c t a n g l e ( W i t h n e y , C o p p é e , G e b a u e r , K a z i n c k i e t Lyse ) ;

r e c t a n g l e e t p a r a b o l e ( B i t t n e r ) ;

c o u r b e s p é c i a l e ( S a l i g e r ) ;

q u a r t d ' e l l i p s e ( D y s o n ) ;

p a r a b o l e c u b i q u e ( M e n s c h ) .

c) Hétérogénéité du béton.

U n f a c t e u r q u i v i e n t s i n g u l i è r e m e n t c o m p l i q u e r la d é t e r m i n a t i o n d u c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é d ' u n e p i è c e e n b é t o n a r m é , f a c t e u r d o n t l a p l u p a r t des a u t e u r s n e p a r a i s s e n t c e p e n d a n t p a s s ' ê t r e souc iés , r é s i d e d a n s l e f a i t q u e la d i s p e r s i o n d e s r é s i s t a n c e s d ' u n b é t o n d e c o m p o s i t i o n d o n n é e est b e a u c o u p p l u s é t e n d u e q u e ce l l e d ' u n ac ie r . C e t t e d i f f é r e n c e es t i n h é r e n t e à la n a t u r e m ê m e d e ces d e u x m a t é r i a u x e t t i e n t a u t a n t à l e u r s m o d e s d ' é l a b o r a t i o n q u ' à l e u r s t r u c t u r e p r o p r e m e n t d i t e . E l l e s ' a f f i r m e e n p r a t i q u e p a r l ' a p p l i c a t i o n d ' u n p l u s g r a n d c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é a u b é t o n : g é n é r a l e m e n t 4 p o u r le b é t o n p a r r a p p o r t à 1^ r é s i s t a n c e su r c u b e a u m o m e n t d e l a m i s e e n se rv ice e t 2 p o u r l ' a c i e r p a r r a p p o r t à l a l i m i t e é l a s t i q u e .

S a c h a n t q u e les t e n s i o n s a d m i s s i b l e s d e l ' a c i e r e t d u b é t o n s o n t l i m i t é e s d e la so r t e , q u e l e s t l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é q u i e n résvilte d a n s le c o m p l e x e « b é t o n a r m é ». Es t - i l éga l à 2 o u 4, o u b i e n es t - i l c o m p r i s e n t r e ces d e u x v a l e u r s ? I l es t i m p o s s i b l e d e r é p o n d r e a priori à c e t t e q u e s t i o n . A u s s i est- i l i l l o g i q u e d e v o u l o i r u t i l i s e r u n e f o r m u l e d e r é s i s t a n c e f a i s a n t i n t e r v e n i r le r a p p o r t p. d e ces t e n s i o n s d e r u p t u r e . N o u s a v o n s c e p e n d a n t vu q u e la p l u p a r t des a u t e u r s y f o n t a p p e l , n o t a m m e n t d a n s les m é t h o d e s a p p a r t e n a n t a u p r e m i e r g r o u p e .

C 'es t ce q u i e x p l i q u e p o u r q u o i ces a u t e u r s p a r l e n t d e « c a l c u l à la r u p t u r e » e t d é f i n i s s e n t u n « m o m e n t d e r u p t u r e », l a i s s a n t à l ' a u t e u r d e p r o j e t la d i f f i c u l t é d e c h o i s i r l u i - m ê m e le c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é o p p o r t u n . E n r é a l i t é , les c a l c u l s son t t o u j o u r s f a i t s à la r u p t u r e p u i s q u e c 'es t c o n t r e la r u p t u r e q u e l ' o n se c o u v r e e n c a l c u l a n t l es s e c t i o n s d e l a p o u t r e . L a d i f f é r e n c e e n t r e les d e u x c o n c e p t i o n s se t r o u v e u n i q u e m e n t d a n s la f o r m e d u d i a g r a m m e des t e n s i o n s de c o m p r e s s i o n q u e l ' o n c o n s i d è r e ; les i m s e n v i s a g e n t l ' a l l u r e d u d i a g r a m m e c o r r e s p o n d a n t à la

r u p t u r e , les a u t r e s c o n s i d è r e n t le d i a g r a m m e des t e n s i o n s r é e l l e s d a n s la p o u t r e e n se rv ice .

5. — R O L E D U R A P P O R T m D E S M O D U L E S D ' E L A S T I C I T E .

Les f o r m u l e s d u p r e m i e r g r o u p e n e f o n t a u c u n e a l l u s i o n a u r a p p o r t d e s m o d u l e s d ' é l a s t i c i t é e t s u p p o s e n t q u ' a u m o m e n t d e la r u p t u r e d e la p i è c e e s sayée , la r é p a r t i t i o n d e s t e n s i o n s est i n d é p e n d a n t e d e s r a i d e u r s r e l a t i v e s des d e u x m a t é r i a u x associés . Ce te f a ç o n d e f a i r e c h o q u e le b o n sens , c a r e l le es t o p p o s é e a u x p r i n c i p e s é l é m e n t a i r e s d e la r é s i s t a n c e d e s m a t é r i a u x , à s a v o i r q u e les t e n s i o n s n e p e u v e n t ê t r e p r o d u i t e s q u e p a r d e s d é f o r m a t i o n s e t q u e la r é p a r t i t i o n des t ens ions est l i ée à la lo i d e s d é f o r m a t i o n s , q u e cel les-c i s o i e n t é l a s t i q u e s o u p a r t i e l l e m e n t p l a s t i q u e s .

— 10 —

I l e s t f a u x d e s u p p o s e r q u e , q u e l l e s q u e s o i e n t les q u a l i t é s d u b é t o n e t d e l ' a c i e r e t q u e l q u e soi t l e p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e s , la r u p t u r e n e se p r o d u i t q u e l o r s q u e l ' a r m a t u r e e t l a s e c t i o n c o m p r i m é e d e b é t o n s o n t e n t r é e s t o u t e s d e u x d a n s la z o n e p l a s t i q u e e t q u e les d é f o r m a t i o n s n ' o n t p l u s a u c u n e f f e t . Ce r a i s o n n e m e n t est p a r t i c u l i è r e m e n t e n d é f a u t p o u r les f a i b l e s p o u r c e n t a g e s d ' a r m a t u r e s . E n e f f e t , i l es t des cas o ù l ' é t a t d e t e n s i o n l i m i t e n e se r é a l i s e q u ' a p r è s u n a l l o n g e m e n t p l a s t i q u e d e l ' a c i e r t r è s é l e v é e t i n c o m p a t i b l e avec u n c o m p o r t e m e n t n o r m a l d e l ' o u v r a g e et o ù l e s c revasses q u i a p p a r a i s s e n t e n t r a î n e n t l a r u i n e l o n g t e m p s a v a n t la r u p t u r e p r o p r e m e n t d i t e .

D ' a u t r e p a r t , q u a n d i l s ' ag i t d e p i è c e s c o m p o r t a n t u n e a r m a t u r e d e c o m p r e s s i o n , les a d e p t e s d u p r e m i e r g r o u p e d e f o r m u l e s s o n t ob l i gé s d e r e v e n i r a u x h y p o t h è s e s c l a s s i q u e s d e d é f o r m a t i o n s des s ec t i ons t r a n s v e r s a l e s e t d o i v e n t a b a n d o n n e r les c o n c e p t i o n s q u ' i l s d é f e n d e n t à p r o p o s d e la f l e x i o n s a n s a r m a t u r e d e c o m p r e s s i o n .

O n p e u t e n c o n c l u r e q u e ces c o n c e p t i o n s m a n q u e n t d e g é n é r a l i t é et q u e l e s m é t h o d e s a p p a r t e n a n t a u p r e m i e r g r o u p e n e p o u r r o n t j a m a i s c o n d u i r e à i m e s o l u t i o n é l é g a n t e d u p r o b l è m e d e la f l e x i o n d u b é t o n a r m é .

6. — E S S A I S D E R A P P R O C H E M E N T E N T R E L E S G R O U P E S D E M E T H O D E S .

L e s d i v e r s e s c o n s i d é r a t i o n s q u i p r é c è d e n t f a c i l i t e n t l ' é t a b l i s s e m e n t d ' u n e m é t h o d e d e c a l c u l é c h a p p a n t , d a n s l a m e s u r e d u p o s s i b l e , a u x o b j e c t i o n s q u e l ' o n p e u t f o r m u l e r , a v e c r a i s o n , a u s u j e t d e c h a c u n des g r o u p e s d e m é t h o d e s d e c a l c u l q u e n o u s a v o n s d é f i n i s p l u s h a u t .

V o i c i q u e l l e s s o n t l es b a s e s d e ce r a p p r o c h e m e n t :

a) Diagramme des tensions de compression du béton.

I l e s t c u r i e u x d e c o n s t a t e r q u e t o u s les a u t e u r s , à p a r t v o n E m p e r g e r , s u p p o s e n t q u e l e d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s , a u m o m e n t d e la r u p t u r e d ' u n e p o u t r e e n b é t o n a r m é , a u n e f o r m e b i e n d é t e r m i n é e n e d é p e n d a n t e n r i e n d e s q u a l i t é s r e s p e c t i v e s d e s m a t é r i a u x , n i d u p o u r c e n t a g e d ' a c i e r . E t e n c o r e , v o n E m p e r g e r n e cons idè re - t - i l q u e d e u x d i a g r a m m e s b i e n d é f i n i s , s a n s i n t e r m é d i a i r e s : u n d i a g r a m m e t r i a n g u l a i r e si la r u p t u r e a l i e u p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r e t u n d i a g r a m m e t r a p é z o ï d a l si l a r u p t u r e se p r o d u i t p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n . O r , l ' o n c o n ç o i t q u e l e d i a g r a m m e t r i a n g u l a i r e , b i e n j u s t i f i é l o r s q u e le b é t o n es t d e b o n n e q u a l i t é e t q u e le p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e est t r è s f a i b l e , se d é f o r m e progressivement d e

— 11 —

f a ç o n à t e n d r e ve r s u n d i a g r a m m e q u a s i r e c t a n g u l a i r e l o r s q u e la q u a l i t é d u b é t o n d e v i e n t m é d i o c r e e t q u e la q u a n t i t é d ' a c i e r a u g m e n t e . I l e n r é s u l t e q u e la m é t h o d e c l a s s i q u e e s t auss i i n d i q u é e d a n s c e r t a i n s cas q u e les m é t h o d e s d e W i t h n e y o u d e C o p p é e d a n s d ' a u t r e s cas, m a i s q u ' a u c u n e d e cel les-ci n ' e s t c e p e n d a n t g é n é r a l e .

N o u s m o n t r e r o n s p l u s l o i n c o m m e n t à l ' a i d e d ' u n diagramme variable i l es t p o s s i b l e d e p a s s e r s a n s s o l u t i o n d e c o n t i n u i t é d 'vm e x t r ê m e à l ' a u t r e .

b ) Rapport des modules d'élasticité.

C o m m e n o u s l ' a v o n s e x p l i q u é p l u s h a u t , ce r a p p o r t d o i t , à n o t r e avis , i n t e r v e n i r d a n s u n e f o r m u l e g é n é r a l e . Son i n f l u e n c e p e u t c e p e n d a n t ê t r e v a r i a b l e e t m ê m e d i s p a r a î t r e c o m p l è t e m e n t l o r s q u e l a p l a s t i c i t é es t a t t e i n t e d a n s l ' e n t i è r e t é d e la s e c t i o n r é s i s t a n t e .

N o u s f e r o n s i n t e r v e n i r le r a p p o r t m d a n s le c h o i x d e l ' i n c l i n a i s o n d e l a t a n g e n t e à l ' o r i g i n e d u d i a g r a m m e v a r i a b l e des t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n .

P o u r é v i t e r l ' é c u e i l q u e n o u s a v o n s s i g n a l é à p r o p o s d e s m é t h o d e s d u p r e m i e r g r o u p e , n o u s a d m e t t r o n s q u e l a r u p t u r e d o i v e ê t r e c o n s i d é r é e c o m m e a c q u i s e d è s q u e la l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r é t e n d u est e l l e - m ê m e a t t e i n t e e t ce la q u e l l e q u e so i t , à ce m o m e n t , la f o r m e d u d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s . T o u t e a u g m e n t a t i o n d u m o m e n t f l é c h i s s a n t n e p o u r r a i t , e n e f f e t , ê t r e o b t e n u e q u e m o y e n n a n t l ' a p p a r i t i o n d e f i s s u r a t i o n s i m p o r t a n t e s c a u s a n t v r a i s e m b l a b l e m e n t la m i s e h o r s se rv ice d e la c o n s t r u c t i o n .

c) Coefficients de sécurité de F acier et du béton.

N o u s a v o n s m o n t r é p l u s h a u t q u e l l e s son t les d i f f i c u l t é s q u e susc i t e l ' a p p l i c a t i o n d e c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é d i f f é r e n t s à l ' a c i e r e t a u b é t o n . E t c e p e n d a n t , ces c o e f f i c i e n t s s o n t j u s t i f i é s p a r l ' e x p é r i e n c e e t d o i v e n t ê t r e conse rvés . N o u s p o u v o n s n é a n m o i n s r e v e n i r a u c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é

u n i q u e e n r a i s o n n a n t d ' u n e f a ç o n t r è s s i m p l e . U n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é a d e u x f o n c t i o n s essen t i e l l e s b i e n d i s t i n c t e s : 1° t e n i r c o m p t e d e l ' i n d é t e r m i n a t i o n des s u r c h a r g e s q u i p o u r r o n t

r é e l l e m e n t ê t r e a p p l i q u é e s à l ' o u v r a g e a u c o u r s d e son e x p l o i t a t i o n , e t d e s e f f e t s s e c o n d a i r e s , t e l s q u e les so l l i c i t a t i ons d y n a m i q u e s o u r é p é t é e s e t l e v i e i l l i s s e m e n t d e l a c o n s t r u c t i o n ;

2° t e n i r c o m p t e des d é f i c i e n c e s a c c i d e n t e l l e s d e la q u a l i t é d e s m a t é r i a u x e n t r a n t d a n s la c o n s t r u c t i o n .

Les c a r a c t é r i s t i q u e s d e l ' a c i e r d o u x é t a n t a c t u e l l e m e n t b i e n c o n n u e s e t d ' u n e r é g u l a r i t é v r a i m e n t r e m a r q u a b l e , g r âce à l ' é v o l u t i o n d e l a s i d é r u r g i e , le c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é c o r r e s p o n d a n t a e s s e n t i e l l e m e n t t r a i t à l ' i n d é t e r m i n a t i o n d e s t e n s i o n s a p p l i q u é e s .

— 12 —

L e b é t o n , a n c o n t r a i r e , es t u n m a t é r i a u f a b r i q u é d a n s d e s c o n d i t i o n s b e a u c o u p m o i n s f a v o r a b l e s q u e l ' a c i e r e t p r é s e n t e des c a r a c t é r i s t i q u e s t r è s i r é g u l i è r e s . A u s s i f a u t - i l ê t r e b e a u c o u p p lu s p r u d e n t d a n s la d é t e r m i n a t i o n des t e n s i o n s a d m i s s i b l e s e t u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é é g a l à 4 es t - i l r e c o m m a n d é . Cec i r e v i e n t e n s o m m e à p r e n d r e u n e double sécurité c a r a c t é r i s é e p a r u n c o e f f i c i e n t 2 vis-à-vis des s o l l i c i t a t i o n s e t p a r u n c o e f f i c i e n t 2 vis-à-vis d e la q u a l i t é d e s m a t é r i a u x .

N o u s a d o p t e r o n s d o n c p o u r le c a l c u l d u m o m e n t a d m i s s i b l e u n

c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é éga l à 2 p a r r a p p o r t a u m o m e n t d e r u p t u r e , q u e ce l le -c i se p r o d u i s e p a r a p p a r i t i o n d e la l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r o u p a r é c r a s e m e n t d u b é t o n , m a i s n o u s i n t r o d u i r o n s d a n s l e c a l c u l l a v a l e u r d e la résistance possible d u b é t o n , r é s i s t a n c e q u i es t éga le , p a r d é f i n i t i o n , à la m o i t i é d e la r é s i s t a n c e m o y e n n e s u r c u b e s R'br.

d ) Résistance du béton à la traction.

Q u e l q u e s r a r e s m é t h o d e s d e c a l c u l t i e n n e n t c o m p t e d e la r é s i s t a n c e d u b é t o n à la t r a c t i o n d a n s la d é t e r m i n a t i o n d u m o m e n t d e r u p t u r e . N o u s j u g e o n s p r é f é r a b l e d e s u i v r e la p r a t i q u e c o u r a n t e e t d ' e n f a i r e a b s t r a c t i o n .

B i e n s o u v e n t les essais d e l a b o r a t o i r e s o n t e f f e c t u é s s u r des é p r o u -ve t t e s s a i n e s n e p r é s e n t a n t a u c u n e f i s s u r a t i o n i n i t i a l e . 11 n ' e n es t p a s d e m ê m e des é l é m e n t s d e c o n s t r u c t i o n q u i p e u v e n t p r é s e n t e r des f i s su re s , m ê m e a v a n t l ' a p p l i c a t i o n des s u r c h a r g e s , r i e n q u e p a r l ' a c t i o n d u r e t r a i t e t d e s v a r i a t i o n s t h e r m i q u e s s u r des é l é m e n t s n o n l i b r e m e n t d i l a t a b l e s .

N o t o n s q u e les a u t e u r s q u i t i e n n e n t c o m p t e d a n s l e u r f o r m u l e d e la r é s i s t a n c e e n t r a c t i o n d u b é t o n r e c o n n a i s s e n t e n g é n é r a l q u ' i l n e s ' ag i t là q u e d ' u n artifice a y a n t p o u r b u t d ' a m é l i o r e r la c o n c o r d a n c e d e s d o n n é e s t h é o r i q u e s a v e c l ' e x p é r i e n c e e t q u e le d i a g r a m m e d e r é p a r t i t i o n des t e n s i o n s q u ' i l s e n v i s a g e n t n e c o r r e s p o n d b i e n s û r p a s à la r é a l i t é .

e ) Simplicité de la méthode.

A v a n t d ' e s s a y e r d e t r o u v e r i m e m é t h o d e d e c a l c u l , i l es t n é c e s s a i r e d ' e x a m i n e r i m e n s e m b l e d e r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x e t d e se r e n d r e c o m p t e d e l ' é n o r m e d i s p e r s i o n q u e l ' o n y d é c o u v r e .

L e c a l c u l d u b é t o n a r m é n ' e s t p a s u n e s c i ence e x a c t e . A u s s i est- i l i n u t i l e d e s ' e n f o n c e r d a n s t r o p d e c o n s i d é r a t i o n s s p é c u l a t i v e s c o n d u i s a n t à d e s f o r m u l e s q u i s ' é t e n d e n t s u r d e u x l i gnes d ' i m p r i m e r i e e t q u i f o n t i n t e r v e n i r des c o e f f i c i e n t s a u x q u e l s le c a l c u l a t e u r s e r a s o u v e n t b i e n e n p e i n e d e f i x e r u n e v a l e u r r a i s o n n a b l e .

— 13 —

7. — M E T H O D E D E C A L C U L P R O P O S E E ,

a ) Bases de la méthode.

N o u s a d m e t t o n s q u e le d i a g r a m m e « t e n s i o n - d é f o r m a t i o n » d u b é t o n c o n s t i t u a n t la z o n e c o m p r i m é e des p o u t r e s f l é c h i e s se c o m p o s e d ' u n t r o n ç o n d e p a r a b o l e d u s e c o n d d e g r é s u i v i d ' u n e d r o i t e p a r a l l è l e à l ' a x e des absc isses ( f ig . 3 ) .

L e t r o n ç o n d e p a r a b o l e p a r t d e l ' o r i g i n e d e s axes c o o r d o n n é s avec E ,

u n e t a n g e n t e Eb = . I l a t t e i n t a u s o m m e t la v a l e u r l,^ R'br r e p r é

s e n t a n t , c o m i n e e x p l i q u é p l u s h a u t , la r é s i s t a n c e p o s s i b l e d u b é t o n s u r c u b e . C e t t e v a l e u r m a x i m u m c o r r e s p o n d à u n e d é f o r m a t i o n c r i t i q u e

R 'br Se - .

N o u s s u p p o s o n s q u ' a u d e l à d e c e t t e d é f o r m a t i o n , la t e n s i o n d e v i e n t c o n s t a n t e e t é g a l e à la v a l e u r d e la r é s i s t a n c e p o s s i b l e d u b é t o n s u r

p r i s m e l/^ R'pr- D a n s l ' é t u d e q u i su i t , n o u s a v o n s p r i s m = 15 e t n o u s a v o n s d o n n é a u r a p p o r t R'pr/R'br la v a l e u r 0,8, cel le-ci v a r i a n t d ' a p r è s les a u t e u r s d e 0 ,75 à 0,85.

E n t r e les p o i n t s O e t C, la t e n s i o n d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n p e u t s ' é c r i r e ;

E b S Eb. S ( 1

2 R'b,

— 14 —

A d r o i t e d u p o i n t C, l a v a l e u r z es t c o n s t a n t e p a r h y p o t h è s e e t

R'br é g a l e à (T = 0 ,8 X —

2

A u c o u r s d e l ' é t u d e d ' u n e s e c t i o n f l é c h i e e n b é t o n a r m é , n o u s d e v o n s d o n c c o n s i d é r e r d e u x p h a s e s d i f f é r e n t e s : la p h a s e élastique c o r r e s p o n d a n t a u cas où la d é f o r m a t i o n S c n ' e s t p a s a t t e i n t e a u m o m e n t d e la r u p t u r e e t la p h a s e plastique c o r r e s p o n d a n t a u cas o ù c e t t e d é f o r m a t i o n c r i t i q u e est a t t e i n t e a v a n t q u e n e se p r o d u i s e l a r u p t u r e . D a n s l e p r e m i e r cas, l e d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s s u r b é t o n a u m o m e n t d e l a r u p t u r e s e r a u n f r a g m e n t d e p a r a b o l e ; d a n s l e d e u x i è m e cas , u n e r é g i o n

p l a s t i q u e avec t e n s i o n c o n s t a n t e a p p a r a î t r a . N o u s l i m i t e r o n s p o u r l ' i n s t a n t n o t r e e x p o s é a u cas d ' u n e s ec t i on

r e c t a n g u l a i r e sans a r m a t u r e c o m p r i m é e .

b ) Phase élastique.

L a r é s i s t a n c e p o s s i b l e d u b é t o n n ' é t a n t p a s a t t e i n t e , la r u p t u r e se p r o d u i t p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r t e n d u , d e s o r t e q u e n o u s s avons q u e l a t e n s i o n d e l ' a r m a t u r e , à ce m o m e n t , a t t e i n t la l i m i t e é l a s t i q u e .

D é s i g n o n s p a r A le n i v e a u d e la f i b r e n e u t r e , v ' e t v é t a n t les d i s t a n c e s d e cel le-ci r e s p e c t i v e m e n t à la f i b r e e x t é r i e u r e c o m p r i m é e e t à l ' a r m a t u r e ( f ig . 4 ) .

So i t S s le r a c c o u r c i s s e m e n t d e la f i b r e s u p é r i e u r e .

P a r h y p o t h è s e 5 s < 5 c

1 5

L a r é s u l t a n t e d e s c o m p r e s s i o n s est é g a l e à :

f v ' f v ' / E b S N b = \ b j d y = b E b 8 1

Jq Jo \ 2 R'br

d y

O r S = — 8 a V

D ' o ù N h b E b 8 a v'2

2 V

!ib ô a V

3 V R 'b

N o u s o b t e n o n s d e l a m ê m e f a ç o n le m o m e n t s t a t i q u e d e s c o m p r e s s i o n s p a r r a p p o r t a u p o i n t A :

b E, Sb =

b ô a V 3 E b 8 a v ' 1

3 V \ 8 V R'br

E n ce q u i c o n c e r n e l ' a c i e r t e n d u , n o u s a v o n s i m m é d i a t e m e n t

N a = Qa • Rai e t Sa = • Ral " V

La c o n d i t i o n d ' é q u i l i b r e d e t r a n s l a t i o n c o n d u i t à :

N a = N b

b E b s a v '2 / E b 8 a v ' o u Qa Ral — I 1

2 V 3 V R 'b ( 1 )

M a i s Qa = X b h e t v ' = a h

N o u s s a v o n s e n o u t r e q u e 8a es t l ' a l l o n g e m e n t d e l ' a c i e r à la f i n d e l a p é r i o d e é l a s t i q u e . D o n c :

E b R a l Eb . 8a = • Ra l =

E a m

( 1 ) (2 )

L e m o m e n t d e r u p t u r e s ' o b t i e n t c o m m e s u i t :

M , = Sa + Sb

b E b 8 a v'3 / 3 E b 8 a v ' = Qa «Ta v H ( 1

3 v 8 v R 'b

— 16 —

A p r è s t r a n s f o r m a t i o n s , n o u s t r o u v o n s :

a 3 X (1 — a ) + .

3 m (1 — a )

3 a

8 m (1 — a ) R 'h ( 3 )

L a t e n s i o n m a x i m u m s u p p o r t é e e f f e c t i v e m e n t p a r l e

b é t o n p e u t se c a l c u l e r à p a r t i r d e l a d é f o r m a t i o n S s e t v a u t :

Ral * / * I^al \ a s = • ( 1 • ( 4 )

1 — a 2 m R ' b , /

L e d o m a i n e d ' a p p l i c a t i o n d e s f o r m u l e s ( 2 ) , (3) e t

( 4 ) es t d é f i n i p a r l a c o n d i t i o n S s ^ S c.

Ral R 'b

m E b E b

o u e n c o r e

( 5 )

c ) Phase plastique.

T a n t q u e l a r é s i s t a n c e

t o t a l e d u b é t o n c o m p r i m é n ' e s t p a s é p u i s é e , la r u p

t u r e se p r o d u i t e n c o r e a u m o m e n t o ù l a t e n s i o n d a n s

l ' a r m a t u r e a t t e i n t l a l i m i t e é l a s t i q u e .

^ ^ L a r é g i o n c o m p r i s e e n -t r e l es o r d o n n é e s w e t v '

( f i g . 5) es t e n t r é e d a n s l a p h a s e p l a s t i q u e e t s u b i t u n e c o m p r e s s i o n c o n s t a n t e éga

l e à 0 ,8 . R 'br /2 .

F i g . 5.

— 1 7 —

L a r é s u l t a n t e Nb s ' é c r i t c e t t e f o i s

= b . 5 d y + ( v ' — w ) b . 0 ,4 R V

= b E K 8 1

O r S =

E h 8

2 R' , br

d y + 0,4 ( v ' — w ) b R\

R 'h e t

E b °a

b R 'b .2 V / R'br V

D ' o ù N b = + 0 ,4 v ' 1 b R'br

3 E b 8a y E b Sa

L e m o m e n t s t a t i q u e d e s c o m p r e s s i o n s p a r r a p p o r t a u p o i n t A s ' é c r i t R'br V \ 2 5 b R'br« V2

Sb = h 0,2 2 4 ( E b Sa)2

^'2

E b b R 'b

E n ce q u i c o n c e r n e l ' a c i e r , n o u s t r o u v o n s e n c o r e :

N a = Qa Ral e t Sa = Ral ' V

E n é g a l a n t Na e t Nb, n o u s o b t e n o n s :

b R 'b,^ V / R'br V

Q a R a l = + 0 , 4 v ' ] b R ' b r 3 E b 3 a E b S ,

D ' o ù R 'br m (1 — a ) R'br^

X = 0 ,4 a 0 ,267 R a

( 6 )

L e m o m e n t d e r u p t u r e e s t é g a l à :

M , - b h 2 R u .

X (1 — a ) + 0 ,4 R'br R'br^

0,067 ( 1 — a )2 m2 Ral 8 R a , «

( 7 )

L e s f o r m u l e s ( 6 ) e t (7 ) c o r r e s p o n d e n t à l a c o n d i t i o n :

( 8 )

— 1 8 —

8. — F O R M U L E S P A R T I C U L I E R E S .

a ) Notations.

A p r è s a v o i r e x p o s é l a m é t h o d e q u e n o u s p r o p o s o n s , n o u s g r o u p o n s

c i - d e s s o u s les f o r m u l e s d é f i n i t i v e s v a l a b l e s p o u r l a s e c t i o n r e c t a n g u l a i r e

a r m é e e n t r a c t i o n s e u l e m e n t . Ces f o r m u l e s s o n t p r é s e n t é e s d e f a ç o n à

d o n n e r d i r e c t e m e n t l e m o m e n t a d m i s s i b l e M e n f o n c t i o n d e s t e n s i o n s

a d m i s s i b l e s R'b e t Rg.

N o u s i n t r o d u i s o n s l e r a p p o r t d e s r é s i s t a n c e s r é g a l a u q u o t i e n t d e

la t e n s i o n a d m i s s i b l e d e l ' a c i e r p a r c e l l e d u b é t o n .

N o u s a v o n s d o n c p a r d é f i n i t i o n :

R a Ral r = - 2 = 2 [i

R 'b R '

R a p p e l o n s q u e n o u s a v o n s p o s é

v ' D a E a a = X = m = = 15

h b h E b

b ) Phase élastique. 30

a < 30 + r

X = 1 a r

30 (1 — a) \ 90 (1 — a )

1 R ' b 15 1 — a \ 60

M a 3 r / a r = X ( l - « ) r + ^ 1

b h ^ R ' b 4 5 (1 — o() \ 80 (1 — a )

c) Phase plastique.

3 0 a ^

30 + r

— 2 0 —

9. — A B A Q U E .

L e s f o r m u l e s q u e n o u s v e n o n s d e d o n n e r s o n t d ' u n u s a g e c o m m o d e l o r s q u e l ' o n c o n n a î t l a v a l e u r d e a. O r , e n p r a t i q u e , c e t t e v a l e u r n ' e s t

c o n n u e , a p r i o r i , n i d a n s les p r o b l è m e s d ' é t a b l i s s e m e n t , n i d a n s les p r o b l è m e s d e c o n t r ô l e . I l f a u d r a i t d o n c so i t p r o c é d e r p a r t â t o n n e m e n t s , so i t é l i m i n e r a e t e x p r i m e r d i r e c t e m e n t M e n f o n c t i o n d e X o u X e n f o n c t i o n

d e M . M a l h e u r e u s e m e n t , ce s r e l a t i o n s d e v i e n n e n t f o r t c o m p l i q u é e s e t l e u r u t i l i s a t i o n s e r a i t p r a t i q u e m e n t i m p o s s i b l e . N o u s a v o n s p r é f é r é r e m p l a c e r

les f o r m u l e s p a r u n a b a q u e q u e n o u s a v o n s o b t e n u e n d o n n a n t u n e s é r i e

d e v a l e u r s p a r t i c u l i è r e s à l a v a r i a b l e p a r a m é t r i q u e a e t e n c a l c u l a n t les

e x p r e s s i o n s M / b h ^ R ' b e t X p o u r d i f f é r e n t e s v a l e u r s d u r a p p o r t r .

N o u s a v o n s a i n s i é t a b l i l ' a b a q u e I s u r l e q u e l f i g u r e n t é g a l e m e n t les

c o u r b e s d ' é g a l e v a l e u r d e a ' s /R 'b . ( V o i r p a g e 32. )

R a p p e l o n s q u e r es t l e r a p p o r t d e s t e n s i o n s a d m i s s i b l e s e t n o n c e l u i

d e s t e n s i o n s d e r u p t u r e q u i i n t e r v i e n t d a n s l es f o r m u l e s d u 1''"' g r o u p e .

10. — E X E M P L E S D E D I A G R A M M E S D E S T E N S I O N S .

L a f i g u r e 6 r e p r o d u i t u n e n s e m b l e d e d i a g r a m m e s d e s t e n s i o n s p o u r l e cas oiî r = 30. D e s v a l e u r s d e a c r o i s s a n t d e 0 ,1 e n 0 ,1 o n t é t é c h o i s i e s e t c h a q u e f o i s l a v a l e u r d e >. a é t é i n d i q u é e . O n r e t r o u v e d a n s l e s d i a g r a m

m e s l ' a l l u r e i n d i q u é e à l a f i g u r e 3 e t l ' o n r e m a r q u e q u e l a p h a s e p l a s

t i q u e e s t a t t e i n t e p o u r X = 1 ,11 % . L a f i g u r e 6 m o n t r e c o m m e n t l e d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n é v o l u e p r o g r e s s i v e m e n t

d e l a f o r m e t r i a n g u l a i r e à l a f o r m e r e c t a n g u l a i r e ' e n p a s s a n t p a r u n e

f o r m e p a r a b o l i q u e , d e s o r t e q u ' i l n ' y a a u c u n e d i s c o n t i n u i t é d a n s l a m é t h o d e .

11. — I N F L U E N C E D E L A V A L E U R P A R T I C U L I E R E

D O N N E E A U R A P P O R T m .

N o u s a v o n s v o l o n t a i r e m e n t c o n s e r v é l a v a l e u r m = 15 q u i es t r e c o n

n u e p a r les n o r m e s b e l g e s a f i n d e n o u s r a c c r o c h e r à la m é t h o d e r é g l e m e n

t a i r e l o r s q u e l e p o u r c e n t a g e d ' a c i e r d e v i e n t t r è s f a i b l e e t q u e l e d i a g r a m m e des t e n s i o n s d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n t e n d v e r s l a f o r m e t r i a n g u l a i r e .

N o u s a v o n s r e t r a c é q u e l q u e s c o u r b e s d e l ' a b a q u e I e n d o n n a n t c e t t e f o i s à m les v a l e u r s 10 e t 6 ; l a f i g u r e 7 m o n t r e les v a r i a t i o n s q u i e n r é s u l t e n t .

— 2 1 —

L ' o n c o n s t a t e q u e l e s c o u r b e s r e p r é s e n t a t i v e s d e l ' e x p r e s s i o n M / b h ^ R ' b e n f o n c t i o n d e X se m o d i f i e n t t r è s p e u q u a n d m v a r i e d e s o r t e q u e le c a l c u l d u m o m e n t a d m i s s i b l e n ' e s t p r a t i q u e m e n t p a s i n f l u e n c é p a r

la v a l e u r q u e l ' o n a t t r i b u e à c e r a p p o r t . A u c o n t r a i r e , l a c o u r b e

a 'b /R 'b = 1 se d é p l a c e f o r t e m e n t , c e q u i i n d i q u e q u e le c h o i x d e l a v a l e u r d e m a u n e g ros se i n f l u e n c e s u r l a f o r m e d u d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s . C e c i n ' a q u ' u n e i m p o r t a n c e s e c o n d a i r e p u i s q u e ce q u e l ' o n

d é s i r e c o n n a î t r e , a v a n t t o u t , ce n ' e s t p a s l a r é p a r t i t i o n des c o n t r a i n t e s ,

m a i s b i e n l e m o m e n t f l é c h i s s a n t q u e l a s e c t i o n p e u t s u p p o r t e r a v e c u n e

s é c u r i t é n o r m a l e .

12. — I N F L U E N C E D E L A Q U A L I T E D U B E T O N

S U R L A R E P A R T I T I O N D E S T E N S I O N S E T E X E M P L E D E C A L C U L

D E S T E N S I O N S M A X I M A .

S o i t u n e p o u t r e e n b é t o n a r m é c a r a c t é r i s é e p a r :

b = 60 c m h = 8 5 c m Qa = 5 3 cra^ M = 44 ,7

O n d e m a n d e d e c a l c u l e r l es t e n s i o n s m a x i m a p o u r d i f f é r e n t e s v a l e u r s

d u r a p p o r t r d e s t e n s i o n s a d m i s s i b l e s .

N o u s d é d u i s o n s d e s d o n n é e s :

5 3 M 4 .470 .000 k g c m X = = 0 ,0104 e t = = 10,3 k g / c m »

60 X 8 5 b h ^ 60 X 852 ^ ^ s

N o u s c o n s i d é r o n s q u e l q u e s v a l e u r s p a r t i c u l i è r e s d u r a p p o r t r e t , p o u r

c h a c u n e d ' e l l e s , n o u s r e p r o d u i s o n s d a n s l e t a b l e a u c i -dessous l e c a l c u l d e s

t e n s i o n s m a x i m a c'b e t a».

1 2 3 4 5 6

r M (j'b

Ta r R'b

Ta

10 0,089 0,45 116 52,1 1160 20 0,173 0,81 59,5 48,0 1190 30 0,253 0,98 40,7 40,0 1220 40 0,310 33,2 33,2 1330

L e s c o l o n n e s 2 e t 3 s o n t d é d u i t e s d e l ' a b a q u e I . L e s t r o i s d e r n i è r e s c o l o n n e s s o n t e x p r i m é e s e n k g / c m ^ .

M L a c o l o n n e 4 s ' o b t i e n t e n d i v i s a n t 10,3 r e p r é s e n t a n t p a r la

b h ^ c o l o n n e 2. L a c o l o n n e 5 es t le p r o d u i t d e s c o l o n n e s 3 e t 4. L a c o l o n n e 6 est le p r o d u i t des c o l o n n e s 1 e t 4.

L e s v a l e u r s d e R'b, a'b e t (Ta s o n t p o r t é e s e n d i a g r a m m e à la f i g u r e 8. Les v a l e u r s c r o i s s a n t e s d e r c o r r e s p o n d e n t , p o u r u n a c i e r d o n n é , à u n e q u a l i t é p l u s m é d i o c r e d u b é t o n . O n c o n s t a t e q u e la t e n s i o n m a x i m u m d u b é t o n , t o u t e s choses éga l e s d ' a i l l e u r s , c r o î t l é g è r e m e n t q u a n d sa q u a l i t é a u g m e n t e , ce q u i s ' e x p l i q u e p a r l e f a i t q u e le d i a g r a m m e des t e n s i o n s se r a p p r o c h e d e la lo i t r i a n g u l a i r e . S i m u l t a n é m e n t la t e n s i o n d e t r a c t i o n d a n s l ' a c i e r d i m i n u e f a i b l e m e n t p a r s u i t e d e l ' a u g m e n t a t i o n d u b r a s d e l e v i e r d u c o u p l e des f o r c e s é l a s t i q u e s .

D a n s l ' e x e m p l e c o n s i d é r é , a u d e l à d e r = 31, les c o u r b e s r e p r é s e n

t a t i v e s d e R'b e t d e a'b s o n t c o n f o n d u e s d u f a i t q u e l a t e n s i o n a d m i s s i b l e

es t a t t e i n t e e t q u e l ' o n p é n è t r e d a n s l a p h a s e p l a s t i q u e .

13. — P O U R C E N T A G E C R I T I Q U E D ' A R M A T U R E .

N o u s a v o n s v u q u e les m é t h o d e s d u d e u x i è m e g r o u p e c o n d u i s e n t à u n g r o u p e d e d e u x f o r m u l e s , l ' u n e se r a t t a c h a n t à l a t e n s i o n a d m i s s i b l e d e l ' a c i e r , l ' a u t r e à la t e n s i o n a d m i s s i b l e d u b é t o n . Ces m é t h o d e s i n t r o -

— 2 3 —

d u i s e n t l a n o t i o n d e p o u r c e n t a g e c r i t i q u e V.„ p o u r c e n t a g e p o u r l e q u e l l es d e u x f o r m u l e s d o n n e n t l e m ê m e m o m e n t f l é c h i s s a n t . C e t t e v a l e u r c o r r e s p o n d à l a m e i l l e u r e u t i l i s a t i o n d e s d e u x m a t é r i a u x e n p r é s e n c e , p u i s q u e les d e u x t e n s i o n s a d m i s s i b l e s s o n t a t t e i n t e s s i m u l t a n é m e n t . L a v a l e u r Xc d é p e n d é v i d e m m e n t d u r a p p o r t r de s t e n s i o n s a d m i s s i b l e s e t

n o u s r e p r o d u i s o n s à l a f i g u r e 9 l es c o u r b e s r e l a t i v e s à la m é t h o d e r é g l e m e n t a i r e e t à l a m é t h o d e d e v o n E m p e r g e r , a i n s i q u e l a c o u r b e

e x p é r i m e n t a l e i n d i q u é e p a r M . M o e n a e r t .

D a n s l a m é t h o d e ''° q u e n o u s a v o n s e x p o s é e ,

n n e n o t i o n a n a l o g u e

e x i s t e à l a f r o n t i è r e d e s p h a s e s é l a s t i q u e e t p l a s - j „

t i q u e . N o u s a p p e l l e r o n s ^ p o u r c e n t a g e c r i t i q u e l a ^ v a l e u r d e Xc q u i , p o u r i u n r a p p o r t r d o n n é , cor - 1 r e s p o n d à l a c o u r b e

j 'b /R 'b = 1 d e l ' a b a q u e I . C e t t e f o n c t i o n e s t dess i n é e à l a f i g u r e 9 e t n o u s c o n s t a t o n s q u e l a 'o n o t i o n d e p o u r c e n t a g e c r i t i q u e , t e l l e q u e n o u s

1 1 1-,.. . ° <"•' '"^ °" v e n o n s d e l a d é f i n i r , m~Xor

c o n c o r d e a v e c c e l l e q u i a p p a r t i e n t a u x m é t h o d e s d u d e u x i è m e g r o u p e .

14. — C O M P A R A I S O N A V E C Q U E L Q U E S A U T R E S F O R M U L E S .

N o u s a v o n s r e p r o d u i t à l a f i g u r e 10 ( p a g e 2 1 ) les c o u r b e s d o n n a n t M / b h ^ R 'b e n f o n c t i o n d e X p o u r r = 15 e t r = 30, a f i n d e l es c o m p a r e r

a v e c l e s c o u r b e s r e p r é s e n t a t i v e s d e l a m ê m e f o n c t i o n c a l c u l é e s u i v a n t

d ' a u t r e s f o r m u l e s , à s a v o i r :

— la f o r m u l e d e R o s e t d e B i t t n e r , c o n s i d é r é e c o m m e e x e m p l e d e s

m é t h o d e s d e c a l c u l d u p r e m i e r g r o u p e ;

— la f o r m u l e d e v o n E m p e r g e r , c o r r e s p o n d a n t à l a r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n ;

— la m é t h o d e c l a s s i q u e b a s é e s u r m = 15, c o r r e s p o n d a n t à l a r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n ;

— 2 4 —

— la m ê m e m é t h o d e c l a s s i q u e a p p l i q u é e e n m a j o r a n t de 30 % la t e n s i o n a d m i s s i b l e d u b é t o n s u i v a n t la p r o p o s i t i o n d e M . M o e n a e r t .

N o u s avons , e n o u t r e , h a c h u r é la z o n e e x p é r i m e n t a l e d é d u i t e d u

d é p o u i l l e m e n t q u e M . M o e n a e r t a f a i t d e s 183 essais e f f e c t u é s d a n s

10 l a b o r a t o i r e s d i f f é r e n t s .

L ' e x a m e n d e la f i g u r e 10 m o n t r e t o u t d ' a b o r d q u e la d i s p e r s i o n des r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x est é n o r m e e t q u ' i l es t a b s u r d e d e r e c h e r c h e r

u n e f o r m u l e a y a n t la p r é t e n t i o n d ' ê t r e t ou j o u r s e x a c t e à 10 % p r è s . I l m o n t r e éga le m e n t q u e les f o r m u l e s d u p r e m i e r g r o u p e , dit e s « c a l c u l à l a r u p t u r e » c o n d u i s e n t à d e u x i n t e r p r é t a t i o n s d i f f é r e n t e s , s e l o n q u e l ' o n c o n s i d è r e l e coef f i c i e n t d e s é c u r i t é 2 a f f e c t é à Rgi o u l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é 4 a f f e c t é à R'br- L e s f i g u r e s 11 ( c i - c o n t r e ) et 12 ( v o i r p a g e s u i v a n t e ) d o n n e n t les m o -

• X m e n t s a d m i s s i b l e s , t e l s q u ' i l s r é s u l t e n t d e s z o n e s e x p é r i m e n t a l e s d e M . M o e n a e r t c o r r e s p o n d a n t à l a r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r a v e c u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é éga l

à 2 e t à l a r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n a v e c u n c o e f f i c i e n t éga l

à 4 ,e t e l l e s y s u p e r p o s e n t les c o u r b e s r e p r é s e n t a t i v e s d e la m é t h o d e

p r o p o s é e . O n r e m a r q u e qvie ces c o u r b e s se s i t u e n t d ' u n e f a ç o n t r è s sat is

f a i s a n t e p a r r a p p o r t à la z o n e h a c h u r é e e t d o n n e n t u n e p r é c i s i o n auss i

b o n n e q u e les m e i l l e u r e s des m é t h o d e s c o n n u e s t o u t e n é t a n t d ' u n e

j u s t i f i c a t i o n p l u s r a t i o n n e l l e e t p l u s s i m p l e .

P o u r la f i g u r e 11 — r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r — la c o u r b e

t h é o r i q u e est assez v o i s i n e d e la l i m i t e i n f é r i e u r e d e l a z o n e e x p é r i

m e n t a l e ; p a r la f i g u r e 12 — r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n — les

c o u r b e s t h é o r i q u e s c h e v a u c h e n t a u c o n t r a i r e la l i m i t e s u p é r i e u r e d e la

— 25 —

z o n e e x p é r i m e n t a l e . C e t t e d i f f é r e n c e , q u i p a r a î t p a r a d o x a l e , se j u s t i f i e p a r le f a i t q u e les c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é a p p l i q u é s à l ' a c i e r e t a u b é t o n n e son t pas les m ê m e s .

15. — C O M P A R A I S O N A V E C L ' E X P E R I E N C E .

P o u r p o u v o i r se f a i r e u n e o p i n i o n c o m p l è t e s u r la v a l e u r d ' u n e f o r m u l e d e c a l c u l , i l n e s u f f i t p a s d e la c o m p a r e r avec d ' a u t r e s f o r m u l e s , m a i s i l est e n c o r e n é c e s s a i r e d e l ' a p p l i q u e r à u n g r a n d n o m b r e d e cas , a f i n d e se r e n d r e c o m p t e d e la s é c u r i t é e f f e c t i v e à l a q u e l l e e l l e c o n d u i t . C e t e x a m e n est p a r t i c u l i è r e m e n t n é c e s s a i r e i c i p a r s u i t e d e la c o m p l i c a t i o n r é s u l t a n t des c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é d i f f é r e n t s . I l i m p o r t e d o n c d e c o m p a r e r , p o u r u n e n s e m b l e d 'essa is auss i vas te q u e p o s s i b l e , les m o m e n t s d e r u p t u r e m e s u r é s e n l a b o r a t o i r e avec les m o m e n t s a d m i s s i b l e s t h é o r i q u e s a f i n d e c o n n a î t r e le c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é r é e l d e la p i è c e q u e l ' o n ca l cu l e .

C 'es t c e q u e n o u s avons f a i t e n c o n s i d é r a n t 142 essais. P o u r c h a c u n d ' e u x , c o n n a i s s a n t les v a l e u r s d e X e t d e r , n o u s a v o n s dét e r m i n é la f o n c t i o n M / b h 2 R ' b a u m o y e n

d e 1 a b a q u e 1, ce q u i — \ n o u s a d o n n é l e m o m e n t a d m i s s i b l e M. E n c o m p a r a n t c e m o m e n t a v e c le m o m e n t d e r u p t u r e M,-, m e s u r é e x p é r i m e n t a l e m e n t , n o u s o b t e n o n s l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é e f f e c t i f S vis-à-vis d e la r u p t u r e .

P o u r c h a c u n d e s e x p é r i m e n t a t e u r s a u x q u e l s n o u s n o u s s o m m e s r é f é r é s , n o u s a v o n s é t a b l i le d i a g r a m m e des c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é S e n f o n c t i o n d u p r o d u i t X r . Novis d o n n o n s le t a b l e a u c o m p l e t des c a l c u l s e t les d i a g r a m m e s c o r r e s p o n d a n t s ( f ig . 13 à 17 ) . N o u s a v o n s c h a q u e f o i s a j o u t é la d r o i t e m o y e n n e t r a d u i s a n t le m i e u x p o s s i b l e l ' e n s e m b l e d e s r é s u l t a t s .

— 2 6 —

bu

1

I-

—\ * • •

\ • tQ.H — tQ.H —

1 1 yç/s -

—^ . + - / yç/s --*• 3

yç/s -

^ •-t

+

4 +

4

+

+ — 1 + •

+

7 -•r- t- i 1

- f t + K , + *̂—

1 , 1+ •(-

•

* H 4 — 1 1 1 1 —

f 1 1

1 1 r 0 jôo /oo /5o ^ 2 oc /" Â Z-^

— 2 7 —

N» b h X R'b Ra

cm cm % kg/cm2 kg/cm2

M

bh2RV M Mr S Xr

Kgm Kgm CL /c

232 665 2,86 37,4 ,221 764 3,45 48,1 244 800 3,28 31,7 284 830 2,92 16,5 222 800 3,60 35,4 233 835 3,58 36,7 255 835 3,27 22.0 260 890 3,42 13,7 334 1210 3,62 69,0 430 1400 3,25 59,2 320 1340 4,19 81,2 441 1340 3,04 51,7 282 1220 4,33 83,8 414 1320 3,19 56,0 537 1520 2,83 41,7 494 1365 2,76 41,4 573 1450 2,53 22,1 153 530 3.46 212,5 385 1460 3,84 84,6 439 1651 3,76 74,0 277 1240 4,47 117,6 544 1930 3,55 51,7 622 1860 2,99 45,1 656 2050 3,12 26,8 641 1930 3,01 31,8

321 1128 3,51 11,1 317 1128 3,56 8,3 559 1860 2,97 20,4 562 1970 3,50 12,6 440 1680 3,82 12,4 450 1730 3,85 9,9 604 2030 3,36 19,9 628 2140 3,41 12,5 912 2960 3,25 46,9 962 3480 3,62 40,7 845 2900 3,43 28,6 855 3080 3,60 15,5 925 3140 3,39 66,8

1275 3860 3,03 24,5 i loi) o / JU OJ,D 1860 5740 3,08 33,2 1300 4250 3,27 63,8 1695 5540 3,27 29,1 1220 3680 3,01 77,8 1750 5000 2,86 44,9 1175 5100 4,33 120,0 2460 7050 2,86 49,2 1280 4750 3,71 100,6 2400 7000 2,92 43,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 I I 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

10

20

Essais de M. Glanvil le (1) . 15,9 0,70

20

1,25

1,96

0,34

0,69

1,54

2,30

32,2 25,0 38,0 72,8 32,0 32,8 54,8 88,3 33,8 46,0 31,8 50,0 28,0 45,5 69,0 63,8

126,8 15,2 38,2 43,8 27,5 62,5 76,2

120,5 101,5

1720 >

1620 1720

1870 2185 2065

1875 2040 2300 2110 2245 1650

1750 1650

53,4 68,7 45,2 23,6 50,6 52,4 31,4 19,5 55,3 47,4 65,0 41,3 67,0 44,8 33,3 33,1 17,7

108,5 43,2 37,7 60,0 26,4 23,0 13,7 16,2

0,286 0,335 0,255 0,155 0,276 0,282 0,185 0,117 0,392 0,372 0,400 0,350 0.400 0,362 0,309 0,308 0,180 0,400 0,400 0,397 0,400 0,346 0,324 0,216 0,251

40,5 54,2 38,8 62,8 50,5 63,8 45,8 72,8 34,2 39,5 44,5 82,3 29,8 81,2 35,5 89,5 42,2 92,2 38,2 66,3 36,8 90,0 40,0 93,3

Essais de Gebauer (1).

1320

2325

1850 »

1320

2325

1850

1290 »

1925 »

1745 »

1290

1925 »

1745

32,6 24,3 60,0 37,0 36,6 29,0 28,8 18,1 68,0 59,0 41,5 22,4 43,3 15,9 54,2 21,5 41,4 18,9 33,8 19,5 52,2 21,4 43,6 18,7

0,099 0,073 0,180 0,112 0,109 0,088 0,165 0,108 0,334 0,305 0,237 0,130 0,388 0,196 0,400 0,260 0,385 0,230 0,400 0,330 0,400 0,342 0,400 0,322

(1) Voir A. Guerrin. La f l e x i o n dans les pièces en béton armé.

N o

50 10 17,4 51 » » 52 » » 53 » » 54 » » 55 » » 56 » » 57 » » 58 » » 59 » » 60 » » 61 « » 62 » » 63 » » 64 » » 65 » » 66 » » 67 » » 68 » » 69 » » 70 » » 71 » » 72 » » 73 » » 74 » » 75 » » 76 » » 77 » » 78 » » 79 » » 80 » » 81 » »

— 2 8 —

M A R ' b K r M Mr

% kg/cni2 kg/(*in2 kgm kgm %

Essais de M, Blévot (1) . 0,34 71 8 2385 33 2 0 1 nn 222 865 3,90 11,20 0,36 71 8 2485 34 6 n 111

u, 111 240 925 3.86 12,45

0,37 i J,U ^ ( o u 0 0 , 0 n 19n 272 1855 6,82 13,30 0,50 70 « n 1 ij. 275 1045 3,81 13,15

» » 1105 4,02 » » » 1105 4,02 »

0,51 fin 97^n ^4 9 n T^n U,l DU

364 1305 3,58 17,45 0,55 79 lO i u 1 S 0

10,7 n no^ 208 625 3,00 10,40

» 07 ^ 109"̂ 10 7 282 925 3,28 10,85 0,66 71 Q / l , o 352 1345 3,82 20,00 0,73 71 P ^1 n

5 l,U n 1QA 412 1465 3,56 22,60

0,87 yu,u l o , o U,1UU 272 1025 3,77 11,60 0,87 yu,U ZUUU 00 0 n 1 ^1 437 1585 3,63 19,30 0,95 /,i,U 0 0 , 0 n 9 7 0 617 2295 3,72 34,80 0,96 71 Q i l , o 01,4- 526 1945 3,70 30,20 1,17 / i oU A "ïnn 730 2065 2,83 40,00 1,19 71,8 2500 34,8 0,305 661 2455 3,72 41,40 1,37 9o!o 1200 13^3 o!l52 414 1645 3,98 18,20 1,37 90,0 2000 22,2 0,243 640 2185 3,41 30,40 1,60 75,0 2750 36,6 0,369 835 2125 2,54 58,6 1,84 74,5 1330 17,8 0,257 577 1855 3,22 32,8 1,84 70,0 1940 27,7 0,348 736 2485 3,38 51,0 2,00 64,0 2750 43,0 0,400 772 2875 3,73 86,0 2,10 64,0 2750 43,0 0,400 773 1945 2,52 90,4 2,24 70,0 1400 20,0 0,330 696 2065 2,96 44.8 2,54 71,5 1900 26,6 0,388 839 2985 3,56 67.5 2,70 72,5 2750 38,0 0,400 875 2185 2,50 102,4 3,00 74,5 1455 19.5 0,374 840 2745 3,27 58,5 3,00 70.0 1900 27,1 0.400 845 3085 3.65 81,3 3,08 90,0 1200 13.3 0,313 850 2760 3,24 41,0 3,08 90,0 2000 22,2 0,392 1065 3870 3,64 68,4 3,40 72,5 2750 38,0 0,400 875 1945 2,22 129,0

Essais de Griffel (2). 82 20 42 0,64 73 2100 28,8 0,155 3990 10100 2,52 18,4 83 » 0,64 75 2100 28,0 0.152 4020 10100 2.50 17,9 84 » » 0,64 78 2100 26,9 0,147 4040 10100 2,54 17,2 85 » 0,96 73 1335 18,3 0,145 3740 9450 2,52 17,6 86 0,96 75 1335 17,8 0,142 3760 9400 2,50 17,1 87 » » 0,96 78 1335 17,1 0,138 3800 9610 2,53 16,4

Essais de Evans (3) . 88 13.0 22,2 3,50 64,4 1330 20,7 0,397 1630 4730 2,90 72,5 89 13.5 22,4 3,36 95,5 3220 33,8 0,400 2590 8060 3,11 113,0 90 12,3 22,5 3,65 73,7 3220 43,7 0,400 1830 5150 2,81 159,5 91 13,3 23,8 2,70 46,2 3290 71,2 0,400 1395 4040 2,90 192,0 92 13.5 23,4 0,83 89,3 1330 14,9 0,106 700 1680 2,40 12,4 93 13,0 23,0 1,90 108,2 1330 12,3 0,191 1420 3305 2,32 23,4

(1) Résultats publiés dans les Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics, de mars-avril 1937, et reproduits dans l'ouvrage de M. Guerrin.

(2) V o i r Béton und Eisen, du 20 mai 1938. Vcrgleichsversuche mit Rundeisen — und Griffelstahl — bewerkten Eisenbetonbalken.

(3) Voir Journal of the Institute of Civil Engineers, n° 21, décembre 1943. The plastic théories for the Ultimate strength of rcinforced concrète beams.

— 2 9 —

M TVTn b h R'b Ru r IVI Mr c 3

cm cm % kg/cm - k g / c m 2 kgm kgm %

Essais de Evans (Suite) . 94 12 7 22,2 1,79 73,7 1330 18,1 0,258 1190 2900 2.44 32,4 95 10,2 12,4 2,28 46,3 1330 28,7 0,386 281 735 2,62 65,5 96 10,4 12,3 4,55 46,3 1330 28,7 0,400 292 876 3,00 130,0 97 12 9 23,2 1,90 57,4 3226 56,0 0,400 1590 4690 2 94 106,4 98 12,9 23,2 1,90 103,0 3220 31,2 0,373 2665 6980 2,62 59,0 99 12,9 23,8 0,83 76,1 1330 17,5 0,124 689 1935 2,81 14,5

100 12 7 23 8 0,84 102,9 1330 12,9 0,093 688 1818 2,64 10,8 101 12 9 22 9 2 75 64,5 3220 50,0 0,400 1740 5070 2 91 137,5 102 13 0 23 6 5 07 80,6 3290 40,8 0,400 2335 6640 2,84 206,0 103 12 8 23 5 6 73 113,2 3270 34,6 0,400 3200 9690 3,02 233,0 104 13 1 23 5 6 an 87,3 2360 27,0 0,400 2520 7520 2,98 178,0 105 12 8 23 5 1 68 46,6 2350 50,5 0,400 1320 3880 2,94 85,0 106 13 3 ^0,0 'i 97 0,^ l 44,4 1350 30,4 0,400 1285 3860 o,uu 107 9^ n fi ÏÏ7 111,2 3310 29,8 0,400 3030 9040 2 98 205 0 108 13 2 99 7 o,oo 54,5 2330 42,7 0,400 1482 4240 2 86 144 0 109 13 0 22 6 0,10 88,4 3310 37,4 0,400 2340 7460 3 18 193 0 110 19 fi 99 ^ 1 70

1, / y 52,2 2280 43,6 0,400 1332 3820 2 86 78 0

111 13 5 9*1 îl 1 7ÎÏ 1, t o 44,8 2290 51,2 0,400 1368 4180 3 06 91 0 112 13 2 23 4 1 fil 30,0 2280 76,0 0,400 867 3020 3 48 125 0 113 12 4 22 8 1 7ÎÏ 1, j o 32,0 1350 42,2 0,400 825 2420 2 93 75,0 114 13l6 23^8 1,56 27,0 2290 85,0 0,400 832 2870 3 4 5 133^0 115 13,3 23,5 1,24 36,4 3240 89,0 0,400 1070 3460 3,23 111,0 l l o ion 23,3 0,95 21,2 3310 156,0 0,400 oVo ZUoU 0.40 14o,U 117 1

10,J 9*1 R 1 7^ 101,0 3310 32,8 0,400 3085 8840 2 86 155,0

11R J1 o 10,J 9^ fi ^0,D fi '^'^ U,00

136,0 3290 24,2 0,400 4090 12600 3 08 153 0 119 13 4 9^ 7 ^0, J 1 7ft 126,0 3310 26,2 0,400 3790 11750 3 10 125,0 120 12 8 23 4 o,oo 64,8 1350 20,8 0,394 1785 5090 2,84 70,0 121 12 7 23 2 1 ^9 1,0^ 27,0 1330 49,2 0,385 711 2220 3,12 65*0 122 12 9 23 0 3 43 73,4 1350 18,4 0,384 1920 4980 2,61 63'o 123 12 9 23 0 3 43 92,5 1330 14,4 0,351 2040 5300 2,42 49.4 124 12 9 23 0 1 92 63,7 1350 21,2 0,311 1350 3130 2,32 40,7

Essais de M. Ros (1). 125 43 16,5 0,44 83,2 2245 27,0 0,105 1025 2570 2.52 11,9 126 0,44 63,5 2245 35,3 0,133 990 2650 2,68 15,3 127 0 45 76,2 2070 27,2 0,108 962 2840 2 95 12,2 128 0 45 49,0 2070 42,2 0,167 957 2920 3,05 19,0 129 0 64 82,8 1530 18,5 0,103 998 2560 2,57 11,8 130 0 64 65,6 1530 23,3 0,126 966 2600 2,68 14 9 131 0 87 77,8 2260 29,1 0,210 1910 4720 2 48 25 3 132 » 0,87 46,9 2260 48,2 0,304 1665 4560 2'74 42^0 133 0,89 63,8 1920 30,1 0,221 1650 4900 2,97 26,8 134 0,89 50,0 1920 38,4 0,270 1580 4560 2,89 34,2 135 » 1,42 87,2 1625 18,6 0,215 2195 5520 2,52 26,4 136 » 1,42 57,2 1625 28,4 0,304 2035 5600 2,75 40,4 137 1,79 75.0 2185 29,1 0,353 3100 8480 2,74 52,2 138 » 1,79 53,1 2185 41,1 0,398 2475 8240 3,33 73,5 139 » 1,79 80,3 1440 18,0 0,254 2390 6000 2,52 32,2 MO » » 1,79 44,7 1440 32.2 0,368 1925 5360 2,79 57,7 141 » 1,83 74,4 1985 26,7 0,340 2950 8800 2,98 49,0 142 » 1,83 65,3 1985 30,4 0,365 2780 8320 3,00 55,6

(1) Festigkeit und Verformung von auf Biegung beanspruchten Eisenbeton-Balken (EMPA, Bericht n' 141, Zurich, 1941).

— 30 —

T o u t e s les d r o i t e s m o y e n n e s o n t é t é r e p r i s e s à la f i g u r e 18 q u i const i t u e l ' a b o u t i s s e m e n t d e c e t t e c o n f r o n t a t i o n e t q u e n o u s c o m m e n t o n s c i -dessous :

a ) N o u s r e t r o u v o n s l a f o r t e d i s p e r s i o n q u e n o u s a v o n s d é j à s i g n a l é e e t q u i p r o v i e n t d e la n a t u r e m ê m e d u m a t é r i a u ;

b ) Les r é s u l t a t s d i f f é r e n t assez b i e n d ' u n e x p é r i m e n t a t e u r à l ' a u t r e a u p o i n t q u e les d r o i t e s m o y e n n e s , q u i s o n t a s c e n d a n t e s c h e z c e r t a i n s , s o n t d e s c e n d a n t e s c h e z les a u t r e s . Ces d i s c o r d a n c e s s o n t i n é v i t a b l e s ; e l l e s p e u v e n t r é s u l t e r d u m o d e d e f a b r i c a t i o n des é p r o u v e t t e s , d e l a m a n i è r e d o n t les c h a r g e s s o n t a p p h q u é e s , d e l a v i tesse avec l a q u e l l e les essais s o n t c o n d u i t s , e t d e b i e n d ' a u t r e s causes e n c o r e ;

c) L e s essais d o n n e n t t o u s vme s é c u r i t é s u p é r i e u r e à 2 e t l e u r m o y e n n e se t r a d u i t g r a p h i q u e m e n t p a r i m e h o r i z o n t a l e d o n t l ' o r d o n n é e est p r a t i q u e m e n t é g a l e à 3.

C e l a s i g n i f i e q u e l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é q u e l ' o n o b t i e n t e n a p p l i q u a n t la m é t h o d e p r o p o s é e n e d é p e n d p a s d e X r , c ' e s t - à -d i r e n i d u p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e , n i d u r a p p o r t des r é s i s t ance s e t q u e p o u r u n g r a n d n o m b r e d ' e s sa i s i l a t t e i n t u n e v a l e u r m o y e n n e d e 3 a v e c i m m i n i m u m t o u j o u r s s u p é r i e u r à 2.

16. — R E S O L U T I O N D U C A S G E N E R A L ,

a ) Exposé de la méthode.

C'es t v o l o n t a i r e m e n t q u e , j u s q u ' i c i , n o u s avons l i m i t é n o t r e e x p o s é a u x s e c t i o n s r e c t a n g u l a i r e s , so l l i c i t ées p a r f l e x i o n s i m p l e e t a r m é e s e n t r a c t i o n s e u l e m e n t . N o u s n e c o n s i d é r e r o n s p r o v i s o i r e m e n t p a s les cas p a r t i c u l i e r s d e p o u t r e s d o u b l e m e n t a r m é e s o u d e p o u t r e s e n T , n i l a f l e x i o n c o m p o s é e d e s e c t i o n s r e c t a n g u l a i r e s , c i r c u l a i r e s o u a u t r e s . .

A f i n d e l i m i t e r la l o n g u e u r d e la p r é s e n t e n o t e , n o u s e x p o s e r o n s imi -q u e m e n t la m é t h o d e g é n é r a l e d e r é s o l u t i o n b a s é e s u r l es c o n c e p t i o n s q u e n o u s a v o n s d é f i n i e s p r é c é d e m m e n t .

So i t ( f i g u r e 19) u n e s e c t i o n e n b é t o n d e f o r m e q u e l c o n q u e symét r i q u e p a r r a p p o r t a u p l a n u — u . C e t t e s ec t i on c o m p o r t e u n e a r m a t u r e d e t r a c t i o n Qa = r é p a r t i e e n p l u s i e u r s n a p p e s e t u n e a r m a t u r e d e c o m p r e s s i o n Sw 'a é g a l e m e n t r é p a r t i e e n p l u s i e u r s n a p p e s .

N o u s c o n n a i s s o n s , d ' a u t r e p a r t , la q u a l i t é , r é e l l e o u p r o b a b l e des m a t é r i a u x , c ' e s t - à -d i r e les t e n s i o n s a d m i s s i b l e s Ra e t R'b- C o n n a i s s a n t

— 3 1 —

l ' e f f o r t l o n g i t u d i n a l N q u i e s t a p p l i q u é à la s ec t ion , o n d e m a n d e d e d é t e r m i n e r le m o m e n t f l é c h i s s a n t M q u ' e l l e p o u r r a s u p p o r t e r s a n s q u e les t e n s i o n s a d m i s s i b l e s n e s o i e n t dépas sées .

O n p r o c è d e p a r t â t o n n e m e n t s e n c h o i s i s s a n t à p r i o r i u n e pos i

t i o n d e l a f i b r e n e u t r e n -— n .

S o i e n t Vg e t V les d i s t a n c e s d e c e t t e f i b r e resp e c t i v e m e n t à l ' a r m a t u r e é t en d u e la p l u s é loi g n é e e t a u c e n t r e d e g r a v i t é d e l ' en s e m b l e des a r m a t u r e s é t e n d u e s .

O n p e u t i m m é d i a t e m e n t c a l c u l e r la t e n s i o n a d m i s s i b l e m o y e n n e Ram d e l ' a c i e r é t e n d u d e t e l l e f a ç o n q u e la t e n s i o n a d m i s s i b l e R» n e soi t d é p a s s é e d a n s a u c u n e b a r r e :

V Ram ^ R a

O n c o n n a î t d o n c a i n s i l e r a p p o r t des r é s i s t ance s r :

•Ram

~ R'b

L a r é s u l t a n t e N'b d e s c o m p r e s s i o n s d u b é t o n est é g a l e à :

. v ' N ' b = \ ' 'b b d y

Les v a l e u r s des t e n s i o n s a'b s o n t d o n n é e s p a r l ' a b a q u e I I , oii

(Tb

R'b

e t 5 = 2 m

— 3 2 -

L ' i n t é g r a l e p r é c é d e n t e p e u t , d a n s u n cas g é n é r a l , ê t r e r e m p l a c é e p a r u n e s o m m a t i o n d e q u a n t i t é s f i n i e s :

R\ S b Y) A y

L o r s q u e b est c o n s t a n t e n t r e les n i v e a u x yi e t y2, o n o b t i e n t d i r ec t e m e n t l a v a l e u r c o r r e s p o n d a n t e d e 'N\ à l ' a i d e d e la f o r m u l e s u i v a n t e :

2 m N 'b = R'b v b {<ù2 — tùi)

(ùo e t « i é t a n t d o n n é s e n f o n c t i o n d e y p a r le m ê m e a b a q u e .

L ' e f f o r t r e p r i s p a r l es ar-— — ~ ' m a t u r e s p l a c é e s d a n s la z o n e

c o m p r i m é e v a u t :

N ' a = S Q ' a . is\

Si v'a ^ Ve, o n p e u t é c r i r e :

V a

s'a = R a Ve

Si v'a > Vc, o n d o i t p r e n d r e

a'a = R a

c a r l ' a r m a t u r e a t t e i n t d a n s ce cas sa l i m i t e é l a s t i q u e a v a n t la r u p t u r e d e la p o u t r e .

L a r é s u l t a n t e g é n é r a l e des e f f o r t s l o n g i t u d i n a u x s ' é c r i t p a r conséq u e n t :

N ' = N 'b + N 'a . R a

L a p o s i t i o n d e la f i b r e n e u t r e n — n q u e l ' o n a c h o i s i e n e s e r a c o r r e c t e q u e si c e t t e r é s u l t a n t e est é g a l e à l ' e f f o r t l o n g i t u d i n a l ex té r i e u r N . I l s e r a d o n c n é c e s s a i r e d e t â t o n n e r j u s q u ' à ce q u ' o n a i t :

N ' = N

o u , d a n s le cas d e l a f l e x i o n s i m p l e ,

N ' = O

A y a n t a i n s i r e p é r é le n i v e a u e x a c t d e n — n , o n d é t e r m i n e le m o m e n t f l é c h i s s a n t a d m i s s i b l e e n a d d i t i o n n a n t les m o m e n t s s u i v a n t s c a l c u l é s p a r r a p p o r t à la f i b r e n e u t r e :

1) — moment des aciers étendus :

Ma = . Ram • V

— 33 —

2 ) — moment des aciers comprimés

M ' = S Q 'a V' 2 t a n t q u e v \ < Ve

M'a = Ra S Q'a v'a si v'a dépaSSC Vg.

3) — moment du béton comprimé :

M'b = a'b- b y d y

q u e l ' o n p e u t é c r i r e d a n s le cas g é n é r a l

2 m V

Si b es t c o n s t a n t e n t r e les n i v e a u x y i e t y2, o n a auss i

/ 2 m \ 2

R ' , j v 2 b ( S , Si )

les t e r m e s S2 e t Si é t a n t l ' ourn i s p a r l ' a b a q u e I I ci-c o n t r e .

O n p e u t d o n c é c r i r e :

M = Ma + M'a + M'b

b ) Exemple.

O n d o n n e l a s e c t i o n e n T , r e p r é s e n t é e à la f i g u r e 21, a r m é e e n t r a c t i o n d e 4 l i ts d e b a r r e s c o n t e n a n t c h a c u n 114 cm^ d ' a c i e r ; l ' a r m a t u

r e c o m p r i m é e est é g a l e à 4,5 c m - . Les t e n s i o n s a d m i s s ib l e s s o n t d e 65 k g / c m ^ p o u r le b é t o n c o m p r i m é e t d e 1250 k g / c m ^ p o u r l ' a c i e r . O n d e m a n d e l e m o m e n t f lé -

— V \ b r j Ç A y r o

10

o.3o o 6 0 > 3o-

4 .5<

r/ç.z/

h, 11-1 odî' cJci^

/

tic

— 3 4 —

c h i s s a n t q u e l a s e c t i o n p e u t s u p p o r t e r , e n l ' a b s e n c e d ' e f f o r t l o n g i

t u d i n a l .

N o u s a p p l i q u o n s l a m é t h o d e g é n é r a l e q u e n o u s v e n o n s d e d é c r i r e . A p r è s q u e l q u e s t â t o n n e m e n t s , q u e n o u s n e r e p r o d u i s o n s p a s ic i , o n

t r o u v e q u e l a p o s i t i o n d e l a f i b r e n e u t r e es t d é f i n i e p a r Ve = 105 c m ,

c e q u i d o n n e v = 9 3 c m e t v ' = 139 c m .

O n e n d é d u i t s u c c e s s i v e m e n t :

9 3 Ram — X 1 2 5 0 k g / c m 2 - 1 1 0 8 k g / W

1 0 5

1 1 0 8 r = = 1 7 , 0

6 5

1 3 9 1 7 8 9 1 7 • — = 0 , 8 4 6 e t = — • — = 0 , 5 4 1

9 3 3 0 9 3 3 0

« A = 0 , 5 1 2 SA = 0 , 2 8 0 e t UB = 0 , 2 4 0 SB = 0 , 0 8 5

3 0

N 'b = 6 5 — 9 3 ( 0 , 5 1 2 X 1 2 0 — 0 , 2 4 0 X 6 0 ) = 5 0 2 . 0 0 0 k g , 1 7

N ' a = 1 2 5 0 X 4 , 5 = 5 . 6 0 0 k g .

N a = — 1 1 0 8 X 4 5 6 = — 5 0 6 . 0 0 0 k g .

N = 1 . 7 0 0 k g .

N e s t d o n c p r a t i q u e m e n t n u l , c e q u i c o n f i r m e l a p o s i t i o n d e l a f i b r e n e u t r e .

L e m o m e n t f l é c h i s s a n t s ' o b t i e n t e n a d d i t i o n n a n t les t r o i s c o m p o s a n t e s :

/ 3 0 X 9 3 x 2 M ' b = 6 5 / \ ( 0 , 2 8 0 X 1 2 0 — 0 , 0 8 5 X 6 0 ) = 4 9 . 9 0 0 . 0 0 0 k g c m .

M'a — 1250 X 4,5 X 1 3 3 = 750 .000 k g c m .

M , = 1108 X 4 5 6 X 9 3 = 47 .000 .000 k g c m .

M = 97 .650 .000 k g c m .

— 35 —

L a s e c t i o n d o n n é e p e u t d o n c s u p p o r t e r , avec u n e s é c u r i t é n o r m a l e , u n m o m e n t d e 976,5 T m .

L ' a p p l i c a t i o n d e l a m é t h o d e c l a s s ique a u r a i t m o n t r é q u e l e p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e s d é p a s s e le p o u r c e n t a g e c r i t i q u e e t a u r a i t c o n d u i t à i m m o m e n t a d m i s s i b l e d e 794 T m , so i t les 0,815 d e la v a l e u r p r é c é d e n t e .

17. _ C O N C L U S I O N S .

a ) L a m é t h o d e c l a s s i q u e c o n d u i t à u n m o m e n t f l é c h i s s a n t q u i p r é s e n t e u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é excessif p a r r a p p o r t a u m o m e n t d e •

r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d u b é t o n .

b ) D e n o m b r e u s e s m é t h o d e s o n t é t é p r o p o s é e s p o u r c o r r i g e r ce t é c a r t , les u n e s i n t r o d u i s a n t les v a l e u r s des t e n s i o n s d e r u p t u r e , les a u t r e s ce l les d e s t e n s i o n s a d m i s s i b l e s des m a t é r i a u x ; c e r t a i n e s d ' e n t r e e l les t i e n n e n t c o m p t e d u r a p p o r t m des m o d u l e s d ' é l a s t i c i t é .

c) Q u e l q u e s m é t h o d e s f o n t a p p e l à des a r t i f i c e s d e r a i s o n n e m e n t q u i s ' é c a r t e n t c o m p l è t e m e n t d e la r é a l i t é des p h é n o m è n e s .

d ) L ' e x a m e n d ' u n g r a n d n o m b r e d 'essa i s d e l a b o r a t o i r e m o n t r e q u e la d i s p e r s i o n d e s r é s u l t a t s es t t r è s g r a n d e e t i l e s t i m p o s s i b l e d e concev o i r u n e f o r m u l e a y a n t u n e p r é c i s i o n m a t h é m a t i q u e p o u r le c a l c u l d e s s ec t i ons e n b é t o n a r m é .

e ) I l est d é s i r a b l e q u e la f o r m u l e u t i l i s é e p o u r l e c a l c u l d o n n e e n m o y e n n e la m ê m e s é c u r i t é p a r r a p p o r t à la r u p t u r e q u e l s q u e s o i e n t le p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e s e t les q u a l i t é s d u b é t o n e t d e l ' ac ie r .

f ) J u s q u ' à p r é s e n t , c h a q u e f o r m u l e a é t é é t a b l i e e n s u p p o s a n t q u e le d i a g r a m m e d e s t e n s i o n s s u r b é t o n a v a i t u n e f o r m e i n v a r i a b l e .

g) L ' u t i h s a t i o n d e c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é d i f f é r e n t s p o u r l e b é t o n e t p o u r l ' a c i e r c o m p l i q u e la d é t e r m i n a t i o n t h é o r i q u e d u c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é d e la p i è c e e n b é t o n a r m é .

h ) L a m é t h o d e p r o p o s é e s u p p o s e q u e le d i a g r a m m e des t e n s i o n s s u r b é t o n est v a r i a b l e e t q u ' i l s ' é t e n d d e la f o r m e t r i a n g u l a i r e p o u r les p i è c e s t r è s p e u a r m é e s à la f o r m e r e c t a n g u l a i r e p o u r les p i èces a r m é e s à l ' excès , e n p a s s a n t p a r la f o r m e p a r a b o l i q u e .

i ) L a m é t h o d e p r o p o s é e s c i n d e le c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é a p p l i q u é a u b é t o n e t i n t r o d u i t la n o t i o n d e « r é s i s t a n c e p o s s i b l e » d e ce lu i -c i , vis-à-vîs d e l a q u e l l e o n p r e n d la m ê m e s é c u r i t é q u e p o u r l ' a c i e r .

— 36 —

j ) P o u r les p i èce s t r è s p e u a r m é e s , la m é t h o d e p r o p o s é e se c o n f o n d avec la m é t h o d e c l a s s i q u e .

k ) L a c o m p a r a i s o n d e s r é s u l t a t s o b t e n u s p a r l a m é t h o d e p r o p o s é e avec c e u x q u i o n t é t é t r o u v é s e x p é r i m e n t a l e m e n t m o n t r e q u e l e coe f f i c i e n t d e s é c u r i t é m o y e n vis-à-vis d e la r u p t u r e est c o n s t a n t e t n e d é p e n d n i d u p o u r c e n t a g e d ' a c i e r , n i d u r a p p o r t d e s r é s i s t a n c e s des m a t é r i a u x associés .

SAMENVATTING :

Enkele beschouwingen aangaande de berekening van het gewapend béton

tegen enkelvoudige doorbuiging.

De studie van de weerstand van het gewapend béton tegen doorbuiging heejt reeds het voorwerp uitgemaakt van talrijke publicaties, en menigvuldige berekeningsmethcdcs wcrden hierbij voorgesteld.

Een vergelijkende analyse van deze méthodes werd in België uitge-voerd door de heer P. Moenaert en in Frankrijk door de heer A. Guerrin.

Over 'f algemeen beschouwd, voeren deze méthodes : — hetzij tôt een formule van de vorm :

M , - R ' b . . b h 2 X ;A (1 — KX [A)

loaarin X het wapeningspercentage voorstelt, [). de verhouding Ra/R\r en K een coëfficient waarvan de waarde, volgens de auteurs, schommelt tussen 0,5 en 0,67;

— hetzij tôt een dubbele formule van de vorm :

M ^ R a b h 2 X (1 ) e n M ^ R'b b h ^ a ( 1 ) Kl Kj

— 3 7 —

welke de waarde beperkt van het toelaathaar moment, im functie van de

Vit de vergelijking van de volgens deze miethode berekende waarden met de resultaten van laboratoriumproeven, blijkt dat de waarde van het toelaatbaar moment, uitgedrukt in functie van R'b, eera overdreven veiligheidscoëfficient behelst, welke deze vastgesteld bij de breuk door ontoereikendheid aan staal aanzienlijk te boven gaat.

De heer Moenaert stelde voor de toelaatbare spanningen voor het béton, in de berekeningen met 30 % te verhogen. Steller is echter van oordeel dat de aanwending, zonder meer, van een dergelijke verho-gingscoëfficient een empirische oplossing uitmaakt en dient venvorpen.

De definitie van de veiligheidscoëfficient bij gewapend béton stuit op grote moeilijkheden, omdat deze coefficient afhangt van twee mate-rialen met uiterst verschillende eigenschappen en voor dewelke de opgelegde veiligheidscoëfficienten geenszins de zelfde zijn.

Aile tôt nu toe gekende formules berusten op de veronderstelling dat het spanningsdiagram in het béton een onveranderlijke vorm ver-toont bij de breuk. De door steller uiteengezette méthode veronderstelt, daarentegen, dat de vorm van het spanningsdiagram, op het ogenblik van de breuk, afhangt van het staalpercentage en dat hij wisselt van de driehoeksvorm voor zeer weinig bewapende elementen, tôt de recht-hoekige vorm voor overvloedig bewapende elementen, met de daartussen liggende parabolische vorm, zoals aangeduid op figuur 6.

De voorgestelde méthode splitst, daarenboven, de op het béton toe-gepaste veiligheidscoëfficient in een eerste coëfficient, rekening houdend met de onbepaaldheid van de belastingen welke op de constructie inwer-ken, alsmede met de secundaire invloeden, — zoals dynamische of her-haalde sollicitaties, — en in een tweede coëfficient, rekening houdend met de mogelijke tekortkomingen in de kwaliteit van het materiaal.

Dit komt er op neer, voor het béton een minimum breukweerstand te beschouwen, waarop dan de zelfde veiligheidscoëfficient wordt toe-gepast als voor het staal, hetgeen het probleem aanzienlijk vergemak-

tœlaatbare spanningen in het staal en in het béton.

De klassieke méthode voert tôt de dubbele formule :

e n

kelijkt.

— 3 8 —

Voor licht bewapende stukken, stemt de voorgestelde méthode vol-komen overeen met de klassieke méthode.

De vergelijking tussen de resultaten verkregen door de voorgestelde méthode met deze opgeleverd door 142 proeven, die door verschillende auteurs werden uitgevoerd, toont aan dut de gemiddelde veiligheids-coefficient ten opzichte van de breuk constant is en geenszins afhangt, noch van het staalpercentage, noch van de verhouding tussen de respec-tieve weerstanden van de samenstellende materialen.

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